数值分析-常微分方程初值问题的解法
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x x i 0 , ... , n 1 ) 通常取节点间距 h 为步长，通常采用等 i i 1 i(
距节点，即取 hi = h (常数)。它适合计算机求解,应用广泛,具
有应用价值。
Taylor级数复习
( x) 函数 y y 在
x 点作 x 0 Taylor级数展开：
1 2 yx ( )=yx ( 0) + y ( x ) ( x -x ) + y ( x ) ( x -x ) 0 0 0 0 2 ! 1 (n n + + y )( x ) ( x -x ) 0 0 + n !
6.1.2 Euler公式 利用等距分割，数值微分来代替导数项，建立差分格式。 b- a xi = i 称为局部截断误差。 m 1、向前差商公式
y ( x ) y ( x ) h n 1 n y ' ( x ) y ' ' ( ) n n h 2 y ( x ) y ( x ) h n 1 n f ( x , y ( x )) y ' ' ( ) n n n h 2 2 h y ( x ) y ( x ) hf ( x , y ( x )) y ' ' ( ) n 1 n n n n 2 所以，可以构造差分方程
显然，这个误差在 逐步计算过程中会 传播，积累。因此 还要估计这种积累
y y hf ( x , y ) n 1 n n n
定义: 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考 虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差。 定义: 若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度。 收敛性： 考察局部误差的传播和积累
-x2
其解析解为：
y 1 e d t x [, 0 1 ]
t2 0
x
很难得到其解析解
例如：
=x+y , x [01 ,] y (0 )1 y
其解析解为
y x 1 2 ex
只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式
表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解。 因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。 要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值 y y ( x ) ( i 1 , ... , n ) i i
2 n h h ( n ) y ( x ) y ( x + h ) y ( x ) h y ( x ) y ( x ) y ( x ) i + 1 i i i i i 2 ! n !
2 n h ( h ) ( n ) y () x y ( x h ) y ( x ) h y ( x ) y ( x ) y ( x ) i 1 i i i i i 2 ! n !
例如：
=x+y , x [01 ,] y (0 )1 y
x
其解析解为： y x 1 2 e
但是, 只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析 表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解 析解。 因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。
y =e , x [0,1] 例如： y(0) 1
2 h y ( x ) y ( x ) hf ( x , y ( x )) y ' ' ( ) n 1 n n n n 2 y y hf ( x , y ) n 1 n n n
2、向后差商公式
y ( x ) y ( x ) h n 1 n y ' ( x ) y ' ' ( ) n 1 n h 2 y ( x ) y ( x ) h n 1 n f ( x , y ( x )) y ' ' ( ) n 1 n 1 n h 2 2 h y ( x ) y ( x ) hf ( x , y ( x )) y ' ' ( ) n 1 n n 1 n 1 n 2
计算方法
第六章 常微分方程初值 问题的数值解法
计百度文库方法课程组
华中科技大学数学与统计学院
§6 常微分方程数值解法 §6.1 基本离散方法
§6.2 Runge-Kutta方法 §6.3 线性多步法
§6.4 收敛性与稳定性
§6.1 基本离散方法
考虑一阶常微分方程的初值问题 :
dy f (x , y) dx (a ) y 0 y x [a ,b ]
2 n h h ( n + 1 ) y ( x ) y ( x h ) y ( x ) h y ( x ) y ( x ) y ( x ) i + 1 i i i i i 2 ! n !
2 n h ( h ) ( n + 1 ) y () x y ( x h ) y ( x ) h y ( x ) y ( x ) y ( x ) i 1 i i i i i 2 ! n !
这里 x , x0 都可以是任意一点。
Taylor级数复习
y y( x)
x x0
则：
1 1 2 ( n ) n y ( x )( = y x )( + y x ) ( x x ) + y ( x ) ( x x ) + + y ( x ) ( x x ) + 0 0 0 0 0 0 0 2 ! n !
y y hf ( x , y ) n 1 n n 1 n 1
是隐格式，要迭代求解
y n 1 y n 1
( k 1 ) ( 0 )
y hf ( x ,y n n 1 n 1 )
( k )
可以由向前差商公式求出
3、中心差商公式
y ( x ) y ( x ) h n 1 n 1 y ' ( x ) y ' ' ( ) n 1 n h 2 y y hf ( x , y ) n 1 n 1 n 1 n 1
距节点，即取 hi = h (常数)。它适合计算机求解,应用广泛,具
有应用价值。
Taylor级数复习
( x) 函数 y y 在
x 点作 x 0 Taylor级数展开：
1 2 yx ( )=yx ( 0) + y ( x ) ( x -x ) + y ( x ) ( x -x ) 0 0 0 0 2 ! 1 (n n + + y )( x ) ( x -x ) 0 0 + n !
6.1.2 Euler公式 利用等距分割，数值微分来代替导数项，建立差分格式。 b- a xi = i 称为局部截断误差。 m 1、向前差商公式
y ( x ) y ( x ) h n 1 n y ' ( x ) y ' ' ( ) n n h 2 y ( x ) y ( x ) h n 1 n f ( x , y ( x )) y ' ' ( ) n n n h 2 2 h y ( x ) y ( x ) hf ( x , y ( x )) y ' ' ( ) n 1 n n n n 2 所以，可以构造差分方程
显然，这个误差在 逐步计算过程中会 传播，积累。因此 还要估计这种积累
y y hf ( x , y ) n 1 n n n
定义: 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考 虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差。 定义: 若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度。 收敛性： 考察局部误差的传播和积累
-x2
其解析解为：
y 1 e d t x [, 0 1 ]
t2 0
x
很难得到其解析解
例如：
=x+y , x [01 ,] y (0 )1 y
其解析解为
y x 1 2 ex
只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式
表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解。 因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。 要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值 y y ( x ) ( i 1 , ... , n ) i i
2 n h h ( n ) y ( x ) y ( x + h ) y ( x ) h y ( x ) y ( x ) y ( x ) i + 1 i i i i i 2 ! n !
2 n h ( h ) ( n ) y () x y ( x h ) y ( x ) h y ( x ) y ( x ) y ( x ) i 1 i i i i i 2 ! n !
例如：
=x+y , x [01 ,] y (0 )1 y
x
其解析解为： y x 1 2 e
但是, 只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析 表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解 析解。 因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。
y =e , x [0,1] 例如： y(0) 1
2 h y ( x ) y ( x ) hf ( x , y ( x )) y ' ' ( ) n 1 n n n n 2 y y hf ( x , y ) n 1 n n n
2、向后差商公式
y ( x ) y ( x ) h n 1 n y ' ( x ) y ' ' ( ) n 1 n h 2 y ( x ) y ( x ) h n 1 n f ( x , y ( x )) y ' ' ( ) n 1 n 1 n h 2 2 h y ( x ) y ( x ) hf ( x , y ( x )) y ' ' ( ) n 1 n n 1 n 1 n 2
计算方法
第六章 常微分方程初值 问题的数值解法
计百度文库方法课程组
华中科技大学数学与统计学院
§6 常微分方程数值解法 §6.1 基本离散方法
§6.2 Runge-Kutta方法 §6.3 线性多步法
§6.4 收敛性与稳定性
§6.1 基本离散方法
考虑一阶常微分方程的初值问题 :
dy f (x , y) dx (a ) y 0 y x [a ,b ]
2 n h h ( n + 1 ) y ( x ) y ( x h ) y ( x ) h y ( x ) y ( x ) y ( x ) i + 1 i i i i i 2 ! n !
2 n h ( h ) ( n + 1 ) y () x y ( x h ) y ( x ) h y ( x ) y ( x ) y ( x ) i 1 i i i i i 2 ! n !
这里 x , x0 都可以是任意一点。
Taylor级数复习
y y( x)
x x0
则：
1 1 2 ( n ) n y ( x )( = y x )( + y x ) ( x x ) + y ( x ) ( x x ) + + y ( x ) ( x x ) + 0 0 0 0 0 0 0 2 ! n !
y y hf ( x , y ) n 1 n n 1 n 1
是隐格式，要迭代求解
y n 1 y n 1
( k 1 ) ( 0 )
y hf ( x ,y n n 1 n 1 )
( k )
可以由向前差商公式求出
3、中心差商公式
y ( x ) y ( x ) h n 1 n 1 y ' ( x ) y ' ' ( ) n 1 n h 2 y y hf ( x , y ) n 1 n 1 n 1 n 1