三模理科数学评分标准-2019-2020学年度高三年级第三次模拟

的斜率分别为
k A1N
＝y2－2， x2
k
A1G
＝－y1＋2，(10 3x1
分)
∴ k A1N
k A1G
＝y2－2＋y1＋2
x2
3x1
＝kx2＋2＋kx1＋6
x2
3x1
＝4k＋2（x1＋x2）
3
x1x2
40k －
4 ＝ k＋2×
4＋5k2
3
60
4＋5k2
44 ＝ k－ k＝0，
33
即 kA1N =kA1G ，(11 分)
∴P(X＝3)＝C35
1 4
3
1 1－
4
2 ＝
45
.(12
分)
512
19．解：(Ⅰ)∵BM⊥平面 AEB1，EB1 平面 AEB1，
∴BM⊥EB1.
又∵在三棱柱 ABC－A1B1C1 中， 侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1， ∴四边形 MB1BE 是正方形．(3 分) 又∵底面三角形 A1B1C1 是边长为 2 的正三角形， ∴CC1＝BB1＝MB1＝1.(5 分) (Ⅱ)取 B1C1 的中点 O，连接 OA1，OE， ∵底面三角形 A1B1C1 是边长为 2 的正三角形， ∴OA1⊥OB1， 在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1， ∴OA1，OB1，OE 三条直线两两互相垂直． 以 O 为坐标原点，OA1，OB1，OE 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角 坐标系．(6 分)（没说明建系扣 1 分）
则随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，
学与考联合体 则 P(X＝0)＝C257＝266，
C2 60
295
P(X＝1)＝C157C13＝ 57 ，
C2 60
590
P(X＝2)＝ C23 ＝ 1 ，(5 分)
C2 60
590
故随机变量 X 的分布列为
X
0
1
2
266
57
1
P
295
590
590
(6 分)
2
2 13
3 13
其中 sinβ＝ ，cosβ＝ ，(8 分)
13
13
4－ 13 4 2－ 26
所以|PQ|min＝
＝
.(10 分)
2
2
23．解：(Ⅰ)由题意得不等式 f(x)>11，
即|2x－4|－|x＋3|>11.
①当 x<－3 时，－(2x－4)＋(x＋3)>11，∴x<－4；
②当－3≤x≤2 时，－(2x－4)－(x＋3)>11，∴解集为空集；
x
（ex－1）（x－1）
则φ′(x)＝
，
x2
令φ′(x)＝0 得 x＝1，(9 分)
∴当 x∈[e1－e，1)时，φ′(x)<0，φ(x)在[e1－e，1)上单调递减；
当 x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)≥φ(1)＝0，符合题意；(10 分)
④当 k>1 时，若 x≥e1－e，则 k(lnx＋e－1)单调递增无最大值，故不符合题意．(11 分)
266
57
11
故 E(X)＝0× ＋1× ＋2× ＝ .(8 分)
295 590 590 10
(Ⅲ)由频率分布直方图可知重量在[40，60]的产品个数为(0.020＋0.005)×10×60＝
15(个)，
15 1 故重量在[40，60]的频率为 ＝ .(10 分)
60 4
1 5， 由题意可知 X～B 4 ，
综上所述，k∈[0，1]．(12 分)
x ＝cosα，
3
x＝3cosα，
y
22．解：(Ⅰ)由 y＝2sinα
(α为参数)得
＝sinα， 2
x2 y2 则 ＋ ＝1.(2 分)
94
π
θ＋
由ρcos
4 ＝2 2，
π
π
得ρcosθcos －sinθsin ＝2 2，
4
4
ρcosθ－ρsinθ＝4，
即 x－y－4＝0，(4 分)
∴数列{bn}是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，
∴bn＝2n－1.(6 分)
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1
1
(Ⅱ)∵
＝
bn·bn＋1 （2n－1）（2n＋1）
1
1
1
－
＝ 2n－1 2n＋1 ，(8 分)
2
1
11111
1
1
n
∴Tn＝ ×（1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － ）＝ .(10 分)
2
33557
2n－1 2n＋1 2n＋1
c＝1，
x2 y2 故椭圆 C 的标准方程为 ＋ ＝1.(5 分)
54
x2 y2 (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知椭圆 C： ＋ ＝1，
54
与 y＝kx＋4 联立，得(4＋5k2)x2＋40kx＋60＝0.
若有两个不相等的实数根， 则Δ＝(40k)2－4(4＋5k2)×60＝80(5k2－12)>0，
∴k2>12.(6 分) 5
→
→
→
则EB1＝(0，1，－1)，AB1＝(－ 3，1，－1)，BB1＝(0，0，－1)．
设平面 ABB1 的法向量为 m＝(x，y，z)，
m·A→B1＝0， － 3x＋y－z＝0，
则
得
m·B→B1＝0， z＝0，
x＝1， 令 x＝1，则 y＝ 3， 则 m＝(1,
z＝0，
3，0)．(10 分)
设直线 EB1 与平面 ABB1 所成的角为θ，
③当 x>2 时，(2x－4)－(x＋3)>11，∴x>18，(3 分)
故不等式 f(x)>11 的解集为{x|x<－4 或 x>18}．(5 分)（写成区间形式同样给分）
学与考联合体 －x＋7， x<－3，
－3x＋1， －3≤x≤2，
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知函数 f(x)＝ x－7，
x>2，
∴函数 f(x)的最小值为－5.(7 分)
故 N，G，A1 三点共线，即点 N，G，A1 在一条直线上．(12 分) 21．解：(Ⅰ)当 k＝ e3 时，函数 f(x)＝ex－e3x，
e－1 则 f ′(x)＝ex－e3.(1 分)
令 f ′(x)＝0，得 x＝3，
令 f ′(x)<0，解得 x<3，∴函数 f(x)在(－∞，3)上单调递减；
2019—2020 学年度高三年级第三次模拟 数学理科
答案及评分标准
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
选择题评分标准：选对得分，错选，多选，不选均不得分。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
C
D
C
B
A
C
B
B
10 11 12
B
B
C
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 填空评分标准：按参考答案给分，结果必须化简，完全正确，写错、未化简、多写答案、少 写答案均不给分。
13．2
1 14．y＝－
7
学与考联合体 3 15. 5
16．①③
（选多或选不全不得分）
三、解答题：共 70 分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。
解答题评分标准
（1）导函数： 求单调区间过程要清楚，分类讨论各区间情况需做到无遗漏。遗漏不给分。 取值写成区间或者集合的形式，未写扣 1 分。 （2）选做题： [极坐标方程]直角坐标方程转换需要过程，没有过程不得分。 [解不等式]解集要写成集合或区间，未写扣 1 分。 （3）具体步骤分参照答案解析，没有步骤只有答案均不给分。 （4）试题有不同解法时，解法正确即可酌情给分。
x2 y2 故曲线 C 的普通方程为 ＋ ＝1，
94
直线 l 的直角坐标方程为 x－y－4＝0.(5 分)
(Ⅱ)依题意设点 P(3cosα，2sinα)，|PQ|的最小值即为点 P 到直线 l 的距离．
|3cosα－2sinα－4| | 13cos（α＋β）－4|
因为|PQ|＝
＝
，(6 分)
12＋12
∵ x∈R，使不等式 f(x)≤－3a2＋2a 成立，(8 分)
∴－3a2＋2a≥－5，即－1≤a≤5，(9 分) 3
5
－1，
故实数 a 的取值范围是
3 .(10 分)（写成集合形式同样给分）
x
ex－1 令函数 h(x)＝ －k(lnx＋e－1)，x>0，
x
ex（x－1）－kx＋1
则 h′(x)＝
，x>0.(5 分)
x2
令函数 t(x)＝ex(x－1)－kx＋1，x>0，
则 t′(x)＝xex－k，x>0.
①当 k<0 时，t′(x)>0，t(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∵t(0)＝0，∴h′(x)>0，h(x)在(0，＋∞)上单调递增，无最小值，不符合题意；(6 分)
学与考联合体 ∵OA1∥AE，∴AE⊥BC. 又∵BB1∥AA1，∴BB1⊥平面 ABC，∴BB1⊥AE. 又∵BB1∩BC＝B， ∴AE⊥平面 BB1C1C，∴AE⊥B1E， ∴∠BEB1 是二面角 B1－AE－B 的平面角， π 即∠BEB1＝ ，BB1＝1.(8 分) 4
由题意可知 E(0，0，1)，B(0，1，1)，B1(0，1，0)，A( 3，0，1)，
学与考联合体 ex－1 ②当 k＝0 时，h(x)＝ >0，符合题意；(7 分) x
③当 0<k≤1 时，若 0<x<e1－e，ex－1>0，k(lnx＋e－1)<0，ex－1－k(lnx＋e－1)>0，符
x
x
合题意；
若 x≥e1－e，k(lnx＋e－1)≤(lnx＋e－1)，(8 分)
ex－1 令φ(x)＝ －lnx－e＋1，
设点 M(x1，y1)，N(x2，y2)且点 A1(0，2)，A2(0，－2)，
40k
学与考联合体 x1＋x2＝－4＋5k2，
由韦达定理得
60
x1·x2＝4＋5k2.
又 y1＝kx1＋4，y2＝kx2＋4，(7 分)
则直线
A2M：y＋2＝y1＋2x，∴点
G
3x1 ，1 y1＋2
，
x1
∴直线
A1N，A1G
∵ n > 9 ，即 19n>18n＋9(n∈N*)， 2n＋1 19
∴n>9，即 n 的最小值为 10.(12 分)
18．解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知
1－10×（0.010＋0.030＋0.020＋0.005） a＝
10
＝0.035.(2 分)
(Ⅱ)由题意可知重量在[50，60)的产品个数为 60×10×0.005＝3(个)，(3 分)
则 sinθ＝|cos〈E→B1，m〉|＝
36 ＝ ，(11 分)
2×2 4
6 故直线 EB1 与平面 ABB1 所成角的正弦值为 .(12 分)
4
20．解：(Ⅰ)设椭圆 C 的焦距为 2c(c>0)，
c5 ＝，
a5 则由题意可得 a2＝b2＋c2，(3 分)
4a＝4 5，
a＝ 5， 解得 b＝2，
17．解：(Ⅰ)证明：设等比数列{an}的公比为 q，
由已知得 q4＝a8＝28. a4
∵数列{an}是各项均为正数的等比数列，
∴q＝4，∴a1＝aq43＝2， ∴an＝2×4n－1＝22n－1.(2 分)
又∵bn－bn－1＝log2an－log2an－1＝log24＝2(n≥2)，b1＝log2a1＝1，(4 分)
令 f ′(x)>0，解得 x>3，∴函数 f(x)在(3，＋∞)上单调递增，(3 分)
∴函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，3)，单调递增区间为(3，＋∞)．(4 分)
(Ⅱ)由题意得 x∈(0，＋∞)，f(x)－kxlnx≥1， ex 1 kx(ln x e 1) 0 ，
ex－1 即 －k(lnx＋e－1)≥0.