碰撞散射理论

i ( kr − lπ ) 2
1 1 jl ( kr ) → sin(kr − lπ ) kr 2
1 0 ψi = ∑ Al Pl (e 2ikr l =0
∞
−e
−i ( kr −
lπ ) 2
),
对于散射后的波，我们来求径向方程的渐近解： →∞ →∞, 对于散射后的波，我们来求径向方程的渐近解：r→∞ V(r ) →0, 方程为
微观粒子的散射也可分为弹性散射和非弹性散射两种： 微观粒子的散射也可分为弹性散射和非弹性散射两种： 弹性散射和非弹性散射两种 弹性散射：碰撞前后粒子的性质和内部能级都不变， 弹性散射：碰撞前后粒子的性质和内部能级都不变，仅仅发 生整体的动量和能量交换 动量和能量交换。 生整体的动量和能量交换。 非弹性散射：碰撞前后粒子的性质没变， 非弹性散射：碰撞前后粒子的性质没变，但内部能级发生了 跃迁。 跃迁。
散射角θ 入射粒子受 的散射作用而偏离原来的运 散射角θ：入射粒子受A的散射作用而偏离原来的运 动方向与入射方向成夹角。 动方向与入射方向成夹角。
dS dS’ A θ
单位时间内散射到面积元 上的粒子数 单位时间内散射到面积元dS上的粒子数 应与 内散射到面积元 上的粒子数dn应与 dS成正比，与dS到A点的距离的平方成反比。 成正比， 点的距离的平方成反比 成正比 到 点的距离的平方成反比。
ψ1 =1
2
散射的几率流密度为 散射的几率流密度为
* ∂ψ 2 ih * ∂ψ 2 Jr = [ψ 2 −ψ 2 ] 2µ ∂r ∂r ih ik ik υ 2 2 = f (θ , ϕ ) [ − 2 − 2 ] = 2 f (θ , ϕ ) 2µ r r r
表示单位时间内穿过球面上单位面积的粒子数, 表示单位时间内穿过球面上单位面积的粒子数 故单位时 单位时间内穿过球面上单位面积的粒子数 间穿过面积dS的粒子数是 间穿过面积 的粒子数是
Al 1 ' ψ ( r,θ ) → ∑ sin(kr − lπ + δ l ) Pl (cosθ ) 2 l =0 kr
r →∞ ∞
散射后的 波函数
Al 1 ψ (r ,θ ) → ∑ sin(kr − lπ + δ l ) Pl (cosθ ) 2 l = 0 kr
1 i ( kr − lπ +δ l ) 2 1 −i ( kr − lπ +δ l ) 2
1 i q(θ，ϕ)的量纲为 [dn ] = , [ N ] = θ 的量纲为 , 2 T LT dn 2 [q] = [ ]= L NdΩ
q(θ，ϕ)具有面积的量纲，因此称为微分散射截面。 θ 具有面积的量纲 微分散射截面。 具有面积的量纲，因此称为微分散射截面 如果在垂直于粒子流的入射方向取面积q(θ 如果在垂直于粒子流的入射方向取面积 θ，ϕ)dΩ，则单 Ω 位时间内穿过该面积的粒子数等于dn, 对所有方向积分 位时间内穿过该面积的粒子数等于 总的散射截面
Al ψ =∑ [e l = 0 2ikr
∞
1 i ( kr − lπ +δ l ) 2
−e
1 −i ( kr − lπ +δ l ) 2
]Pl (cosθ )
1 0 ψi = ∑ Al Pl (e 2ikr l =0
∞
i ( kr −
lπ ) 2
−e
−i ( kr −
lπ ) 2
),
1 0 ψ −ψ i = ∑ Al Pl e 2ikr l =0 1 = ∑e 2ikr l =0
dS dn ~ 2 = dΩ r
dn还应与入射粒子流强度N成正比。 还应与入射粒子流强度 成正比 还应与入射粒子流强度 成正比。 粒子流强度应为垂直于入射粒子流前进的方向取一 单位面积 面积S 单位时间内穿过 内穿过S 粒子数就是 就是入射 单位面积 0，单位时间内穿过 0的粒子数就是入射 粒子流强度N 粒子流强度
第八章 散射
8.1 散射现象的一般描述 8.2 分波法 8.3 玻恩近似
8.1 散射现象的一般描述
原子核物理以及粒子物理的建立和发展都离不开散 射实验及其理论分析。定态微扰问题只能解决分立能级 射实验及其理论分析。定态微扰问题只能解决分立能级 的能量和对波函数的修正。 的能量和对波函数的修正。 而当粒子被力场散射时，粒子的能量组成连续谱 组成连续谱。 而当粒子被力场散射时，粒子的能量组成连续谱。 在量子学中，将碰撞现象称为散射现象 散射现象。 在量子学中，将碰撞现象称为散射现象。
因为f只是θ的函数。 的渐近式也只与θ 因为 只是θ的函数。ψ的渐近式也只与θ有关 只是
eik ⋅r ψ → Aeikz + f (θ ) r
将平面波e 将平面波 ikz按球面波展开公式
ψi = e
ikz
1 ∞ 0 = ∑ Al jl (kr ) Pl (cosθ ), kr l =0
1 iα −iα sin α = ( e − e ) 2i
N 0 = ρdρdϕ = N 0 q (θ ) sin θdθdϕ
q(θ ) = ρdρ / sin θdθ
θ + 2α = π , α = π
2 −
θ
2
θ
2
1 2 ρdρ = − a sin θdθ 4
1 2 q (θ ) = a 4
ρ = a sin α = a cos
σ总 = ∫
1 2 q (θ )dΩ = 4π a = πa 2 4
dn ~ NdΩ
比例系数与观察的θ，ϕ有关，因此，将比例系数表示 比例系数与观察的θ 有关，因此， 系数与观察的 θ 为q(θ，ϕ)
dn = q(θ , ϕ ) NdΩ
q(θ，ϕ)与入射粒子、散射中心的性质以及它们之间 θ 与入射粒子 与入射粒子、散射中心的性质以及它们之间 相互作用和相对动能有关 和相对动能有关。 的相互作用和相对动能有关。
作为散射过程的量子力学描述， 作为散射过程的量子力学描述，设入射粒子流为平面 波 ikz
e
表明每单位体积只入射一个粒子。入射波粒子的几率密度为 表明每单位体积只入射一个粒子。入射波粒子的几率密度为 单位体积只入射一个粒子
ih ∂ψ * ∂ψ 1 Jz = [ψ 1 −ψ 1 ] 2µ ∂z ∂z p hk ih υ= = * * = [−ikψ 1ψ 1 − ikψ 1ψ 1 ] = υ p µ µ 2µ
1 d 2 dRl ( r ) l (l + 1) 2 r [( 2 + [k − V ( r ) − ]R ( r ) = 0) 2 r dr dr r
设
ul ( r ) Rl ( r ) = r
d 2ul l (l + 1) 2 + [k − V ( r ) − ]ul = 0) 2 2 dr r
常数表示散射结果是 各项均匀的
8.2 分波法
本节将介绍粒子受到中心力场的弹性散射时， 本节将介绍粒子受到中心力场的弹性散射时，从解方 粒子受到中心力场的弹性散射时 程求出散射截面的一种方法。在中心力场中，势能U 散射截面的一种方法 程求出散射截面的一种方法。在中心力场中，势能 只与粒子到散射中心的距离r有关 （r )只与粒子到散射中心的距离 有关，与r的方向无 只与粒子到散射中心的距离 有关， 的 关。方程为 2 2
ψ 2 = f (θ , ϕ )
e
r
该球面散射波是由散射中心向外传播的. 该球面散射波是由散射中心向外传播的
ψ → ψ 1 + ψ 2 = Ae + f (θ , ϕ )
ikz
e
ik ⋅r
r
f(θ, ϕ)称为散射振幅，是与角度相关的函数。 θ 称为散射振幅 是与角度相关的函数。 称为散射振幅，
我们只考虑弹性散射 所以散射波的能量守恒 能量守恒. 我们只考虑弹性散射, 所以散射波的能量守恒 即 弹性散射 只与角度有关， 波矢k 数值不变。由于f(θ, φ)只与角度有关，与r 只与角度有关 波矢 数值不变。由于 无关。取入射波的归一化常数 无关。取入射波的归一化常数A=1，则 ，
在质心坐标系中，弹性散射过程相当于质量为 在质心坐标系中，弹性散射过程相当于质量为m 的 粒子从远方入射，受势场V(r )的作用而改变其运动 的作用而改变其运动 粒子从远方入射，受势场 的作用而改变其 方向。 方向。
dS dS’ A θ
考虑一束粒子流沿着z轴方向向粒子 射来 考虑一束粒子流沿着 轴方向向粒子A射来，A为散射 轴方向向粒子 射来， 为 中心。 远远大于入射粒子的质量，碰撞后粒子A 中心。MA远远大于入射粒子的质量，碰撞后粒子 的运动可忽略。 的运动可忽略。
* 1
取散射中心为坐标原点， 取散射中心为坐标原点，用U（r）表示入射粒子与散 （ ） 射中心之间的相互作用能，则体系的薛定谔方程 射中心之间的相互作用能， 相互作用能
h 2 − ∇ ψ + U ( r )ψ = Eψ 2µ
2 µE p 2 p hk 2 k = 2 = 2 ,υ = = h h µ µ
2
2µ V (r) = 2 U (r) h
∇ ψ + [k − V ( r )]ψ = 0
2 2
一般观察被散射的粒子都是远离散射中心的 一般观察被散射的粒子都是远离散射中心的, 所以只 远离散射中心 讨论r→∞时的ψ就足够了。 →∞时的 讨论 →∞时的ψ就足够了。 当r→∞，U(r ) →0. 因此，波函数应由两部分构成： →∞， 因此，波函数应由两部分构成： →∞ 一部分是入射粒子的平面波 平面波; 一部分是入射粒子的平面波 另一部分是描写散射粒 子的球面散射波 远离散射中心处， 球面散射波(远离散射中心处 子的球面散射波 远离散射中心处，散射波应取外向 球面波的形式)。 球面波的形式 。 ik⋅r
∇ ψ + [k − V ( r )]ψ = 0
取粒子入射方向并通过散射中心的轴为极轴 该轴为旋转对 取粒子入射方向并通过散射中心的轴为极轴, 该轴为旋转对 中心的轴 无关。 称轴。波函数ψ 称轴。波函数ψ和散射振幅 f 都与 ϕ无关。
ψ ( r,θ , ϕ ) = ∑ Rl ( r )Ylm (θ , ϕ )
由于ψ 由于ψ与ϕ无关，m=0。其一般解可以写为 无关， 。其一般解可以写为:
lm
ψ ( r,θ ) = ∑ Rl ( r ) Pl (cosθ )
lBaidu Nhomakorabea
该展式中的每一项称为一个分波， 是第l 该展式中的每一项称为一个分波，Rl(r )Pl(cosθ)是第 分波 θ 是第 个分波。每一个分波都是方程的解。通常称l=0,1,2,… 个分波。每一个分波都是方程的解。通常称 的分波分别为s, 分波。 的分波分别为 p, d,…分波。径向波函数满足方程； 分波 径向波函数满足方程；
r →∞ ∞
Al =∑ [e l = 0 2ikr
代入到方程
∞
−e
]Pl (cosθ )
eik⋅r ψ → Aeikz + f (θ ) r
可求的散射振幅f(θ 可求的散射振幅 θ)
ikr
散射波 函数
等式两边的e 应该相等 等式两边的 /r应该相等
e ψ −ψ i ≈ ψ s = f (θ ) r ikr
dn = J r dS =
υ
r
2
f (θ , ϕ ) dS = υ f (θ , ϕ ) dΩ
2 2
因为υ 微分散射截面为 因为υ＝N，可知微分散射截面 ，可知微分散射截面
dn = q(θ , ϕ ) NdΩ
q(θ , ϕ ) = f (θ , ϕ )
2
例题： 粒子束被半径为a的刚体球散射 试求经典散射截面. 的刚体球散射， 例题： 粒子束被半径为 的刚体球散射，试求经典散射截面 总散射截面显然等于刚体的几何截面π 问题是找出微 解： 总散射截面显然等于刚体的几何截面πa2,问题是找出微 分散射截面。 分散射截面。 ϕ α αθ ρ α
π
2π
Q = ∫ q (θ , ϕ )dΩ = ∫
0
∫
0
q (θ , ϕ ) sin θdθdϕ
散射理论的主要内容是建立微分散射截面 q(θ,ϕ)与总截面 的理论方法，从理论和实验 与总截面Q的理论方法 θ ϕ 与总截面 的理论方法， 的比较中研究散射作用势V(r )的性质。 的比较中研究散射作用势 的性质。 的性质
d 2ul + k 2ul = 0) dr 2
方程的解为
ul ( r ) = A sin(kr + δ )
' l ' l
渐近解为
1 Al sin(kr − lπ + δ l ) r →∞ A' 2 Rl ( r ) → l sin(kr + δ l' ) = r kr
引入A 引入Al=kAl’, δl=δl’+lπ/2 δ π