初中数学竞赛辅导课件_数与式
专题一：数与式课件
总复习1—数与式（一）知识点1．数的分类0⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎩正整数整数负整数有理数实数正分数分数负分数无理数——无线不循环小数0⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正数有理数正数分数无理数实数整数有理数负数分数无理数 2．有关概念：实数、有理数、无理数、数轴、相反数、绝对值、倒数、自然数、平方根、算术平方根、立方根、二次根式、最简二次根式、同类二次根式、分母有理化（1）实数：有理数和无理数统称为实数 （2）有理数：整数和分数统称为有理数（3）无理数：无限不循环的小数叫无理数。
如：1.413……，，带且开方开不尽的数。
（4）数轴：规定原点、正方向、单位长度的直线。
（5）相反数：只有符号不同的两个数（6）绝对值：在数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值。
绝对值意义：一个正数的绝对值等于它本身； 一个负数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值等于零。
即=（7）倒数：如果两个数的积等于1，那么这两个数互为倒数（0没有倒数） （8）自然数：非负整数，如：0、1、2、3、4、…… （9）平方根、算术平方根：如果，那么x 叫做a 的平方根。
其中叫非负数a 的算术平方根平方根意义：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；零的平方根是零。
（10）非负数a 的正的平方根叫做a 的是算术平方根（11）立方根：如果= a，那么x叫做a的立方根x =（12）二次根式：式子(a0)叫做二次根式（13）最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开放数中不能含有开得尽方的因数或因式②被开方数中不含有分母（14）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式（15）分母有理化：利用= a（a）和平方差公式将分母中的化去的过程叫分母有理化。
3．有理数加减乘除运算（1）有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
中考数学复习数与式1.2整式及因式分解省公开课一等奖百校联赛赛课微课获奖PPT课件
【提分必练】
陕西考点解读
6.如图，填在各正方形中四个数之间都有相同规律，依据这种规律m值为( ) C
A.180
B.182
C.184
D.186
【解析】由前三个正方形中数字关系：1，3，5；3，5，7；5，7，9，可得最终一 个正方形中左上角、左下角、右上角数分别为11，13，15。∵3×5-1=14，5×73=32，7×9-5=58，∴m=13×15-11=184。故选C。
【提分必练】
5.以下各式分解因式正确是( A) A.x2+6xy+9y2=(x+3y)2 C.2x2-8y2=2(x+4y)(x-4y)
B.2x2-4xy+9y2=(2x-3y)2 D.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)(x+y)
第9页
陕西量(数或图形)，要求我们依据这 些已知量找出普通规律，找出规律通常与序列号相关。解题普通思 绪是抓住“编号”或“序号”增加时数量或图形个数改变，推出普 通性结论。 1.数字类规律探索题。 2.图形类规律探索题。
第11页
重难突破强化
重难点1 整式运算(重点)
例1 (·某铁一中模拟)以下运算正确是( ) B
3.除法运算 (1)单项式除以单项式，把系数分别相除，作为商因式，对于只在被除式中含 它⑨指数作为商一个因式。 (2)多项式除以单项式，用多项式每一项分别除以单项式，再把所得商相加。 4.混合运算法则：先乘方，再乘除，最终加减，假如有括号，先计算括号内。
第6页
陕西考点解读
【知识延伸】
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab； (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3； (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3； (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca; (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3； (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3。
数与式求值
例题2 原式 =
1 2 3 4 1999 ( 2000 ) ( ) ( ) 2000 2001 2 3 4 5
规律：1. 分子分母交错相约； 2. 共有2000个乘数，正负各半。
二、灵活运用公式、定理
例题3 解： 2 2 2 a ＋b ＋c －ab－bc－ca 1 2 2 2 = 2 [(a b) + (b c) + (c a) ] = 3.
例题4
解：
25 x 15 y 6 x 15 y 75 y 30 x 75 y x 25 x 15 y ) x 31x x = 3y. 1 31x
三、分析讨论
例5 由题设
10+a = 12+b = 15 + c. 若c是奇数，c 1, 则10+a 和12+b是大于16的偶数， 于是a、b是大于4的偶数， 与它们都是质数矛盾。 c是偶数，c ＝ 2, a = 7, b = 5.
10 12
15
例题6 取整函数[x]的定义： 对于任意实数 x ,[x]表示 不大于 x 的最大整数。
x – 1 < [x] ≦ x < [x] + 1.
四、结合方程、函数、 不等式等知识，利用定义 、性质、取值范围求解.
例题7 条件式 a2 + ab – 2b2 = 0 是关于 a、b的齐次方程. 因为 ab 0,
同学好! 请做好课前准备.
数与式求值问题解题 技巧
一、寻找规律 二、活用公式定理 三、分析讨论 四、结合方程、函数、不等式， 注意取值范围
一、寻找规律
例题1 个位数是5的的两位整数的平方.
规律: (10a + 5)2 = 100a2 + 100a + 25 = 100 a(a + 1) + 25
数与式的知识点总结PPT
乘法运算
两数相乘，同号得正，异号得 负，并把绝对值相乘。
除法运算
除以一个数等于乘以这个数的 倒数。
有理数性质及应用
稠密性
有理数在实数范围内是稠密的， 即任意两个不相等的实数之间都
存在有理数。
可数性
有理数集是可数的，即可以与自然 数集建立一一对应关系。
应用领域
有理数在数学、物理、化学、工程 等领域都有广泛应用，如分数运算 、百分比计算、速度、加速度等。
分式化简与求值技巧
分式的化简
通过约分、通分等技巧将复杂的分式 化简为简单的形式。
分式的求值
给定具体的数值或条件，通过代入计 算求出分式的值。
07
二次根式知识点
二次根式定义及性质
01
定义：形如$\sqrt{a}$（ $a\geq0$）的代数式称为二
次根式。
02
性质
03
04
非负性：$\sqrt{a}\geq0$（ $a\geq0$）。
合并同类项
将多项式中相同字母且相同指数的项合并在 一起。
应用公式化简
如平方差公式、完全平方公式等。
提取公因式
将多项式中各项都含有的公共因子提取出来 。
整体代入法
将某个复杂的代数式看作一个整体进行代入 化简。
06
分式知识点
分式定义及基本性质
分式定义
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B就叫做分式 ，其中A叫做分子，B叫做分母。
分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
分式运算规则
分式的加减运算
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的 分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
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初中数学竞赛辅导资料一元一次方程解的讨论甲内容提要1， 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解分别是： x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。
2， 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b 后，讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x=ab ； 当a=0且b ≠0时，无解；当a=0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立）3, 求方程ax=b(a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b乙例题例1 a 取什么值时，方程a(a －2)x=4(a －2) ①有唯一的解？②无解？③有无数多解？④是正数解？解：①当a ≠0且a ≠2 时，方程有唯一的解，x=a 4 ②当a=0时，原方程就是0x= －8，无解；③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解④由①可知当a ≠0且a ≠2时，方程的解是x=a4,∴只要a 与4同号， 即当a>0且a ≠2时，方程的解是正数。
例2 k 取什么整数值时，方程①k(x+1)=k －2（x －2）的解是整数？②（1－x ）k=6的解是负整数？解：①化为最简方程（k ＋2）x=4当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。
②化为最简方程kx=k －6，当k ≠0时x=k k 6 =1－k6， 只要k 能整除6, 即 k=±1，±2，±3，±6时，x 就是整数当 k=1,2,3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。
初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套)
第一讲 有 理 数一、有理数的概念及分类。
二、有理数的计算：1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。
三、例题示范例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？例2、 将9998,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。
提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；提示2：先考虑其相反数的大小顺序；提示3：考虑其倒数的大小顺序。
例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。
试确定三个数ca b ab 1,1,1-的大小关系。
分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较ca b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。
例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。
提示：P=na b a -+（n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。
2、符号和括号在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。
例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。
3、算对与算巧例6、 计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002提示：1、逆序相加法。
2、求和公式：S=(首项+末项)⨯项数÷2。
例7、 计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002例8、 计算9999991999999个个个n n n +⨯ 提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n +99…9，99…9=10n -1。
初中数学竞赛辅导讲座19讲全套.docx
第一讲有理数一、冇理数的概念及分类。
二、有理数的计算：1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧(凑整法、分拆法等)。
三、例题示范1、数轴与大小例1、己知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1,点A与原点0的距离为3, 那么满足条件的点B与原点0的距离之和等于多少？满足条件的点B有多少个？例2、将—122Z,_97 1998 98这四个数按由小到大的顺序，用连结起来。
1998 98 1999 99提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；提示厶先考虑其相反数的大小顺序；提示3：考虑其倒数的大小顺序。
例3、观察图中的数轴，用字母a、b、c依次表示点A、B、C对应的数。
试确定三个数丄，丄丄的大小关系。
cib b-a c3 3分析：由点B在A右边，知b・a〉O,而A、B都在原点左边，故ab〉O,又c>l>0,故耍比较丄，丄丄的大小关系，只要比较分母的大小关系。
ab b- a c例4、在有理数a与b(b>a)之间找出无数个冇理数。
捉示：Pp + 山5为大于是的自然数) n注：P的表示方法不是唯一的。
2、符号和括号在代数运算中，添上(或去掉)括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。
例5、在数1、2、3、…、1990前添上“ + ”和“一”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？提水：造零:n-(n+1 )-(n+2)+(n+3)=0注：造零的基本技巧「两个相反数的代数和为零。
3、算对与算巧例6、计算-1-2-3— -2000-2001-2002提示：1、逆序相加法。
2、求和公式：S二(首项+末项)x项数+2。
例7、计算1+2—3—4+5+6—7-8+9+…—2000+2001+2002提示：仿例5,造零。
结论：2003o例8、计算99...9x99・・・9 + 199 (9)s_V~v_V_z x~V~'n个9 拜个9 〃个9提示1：凑整法，并运用技巧:199…9二10"+99…9, 99・・・9二10"-1。
初中数学竞赛辅导讲义(总77页)
初中数学竞赛辅导讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算[知识点击]1、分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。
2、综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。
3、分式运算：实质就是分式的通分与约分。
[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x例2． 已知z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。
解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。
解：1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51+ …… +121-n - 121+n ） =21（1- 121+n ）∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21 [小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - kx +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。
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证 （反证法）
2
所以p一定是偶数．设p=2m(m是自然数)，代入①得 4m2＝2q2，q2＝2m2，
例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2为有理数，a为 无理数)，则a1=a2，b1=b2，反之，亦成立．
性质4 整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a 能被b×c整除. 例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72能被3与4的 乘积12整除.
2.数的整除特征
（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是 偶数，那么它必能被2整除.
（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是 0或5，那么它必能被5整除. （3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各 位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整 除.
证：将原式变形为(b1-b2)a=a2-a1．若b1≠b2，则
反之，显然成立．
实数
１.实数集R对加、减、乘、除 ( 除数不为0 ) 四则运算 是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商 ( 除数不 为0 ) 仍然是实数． ２.实数集是有序的，即任意两实数a，b必满足下述三个 关系之一: a<b,a=b,a>b 3. 实数的大小关系具有传递性，即若a>b,b>c,则a>c 4.实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何
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有理数
形如 m（n 0）的数叫有理数。其中m，n为整数。 n
性质1 任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作 小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然．
例1：证明循环小数2.615&4&为有理数。
证明：设2.615&4& x，
两边同乘100，则有261.5&4&=100x
性质1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整 除（这里设a>b）.
例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.
性质2 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24.
性质3 如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的 最小公倍数整除. 例如：6丨36，9丨36，6和9的最小公倍数是18，18丨36.
把55□99拆成两个数的和：55A00＋B99，其中□=A+B. 因为7丨55300，7丨399，所以□=3+3＝6.
注意：记住111111能被7整除是很有用的.
分解质因数
一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数 （也叫素数）.例如，2，5，7，101，….
一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合 数.例如，4，12，99，501，…. 1不是质数，也不是合数. 也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至 少有3个约数的整数是合数，1只有一个1.54 2.61
则 x 258.93 25893
99
9900
无理数
无限不循环小数称为无理数．有理数对四则运算是封闭 的，而无理数与无理数的和，差，积，商不一定是无理 数．如： 2 2 0， 1， 3g2 3 6
即无理数对四则运算不封闭．但它有下列性质：
例２下面这个41位数
能被7整除，
中间方格代表的数字是几？
解：因为 111111＝3×7×11×13×37， 所以555555＝5×111111和999999＝9×111111都能被7整除. 这样，18个5和18个9分别组成的18位数，也都能被7整除.
上边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只 要中间的55□99能被7整除，原数就能被7整除.
例１ 一本老账本上记着：72只桶，共 □67.9□元，其中□处是被虫蛀掉的数字， 请把这笔账补上.
解：把□67.9□写成整数a679b ， 72∣a679b．72＝9×8，（9，8）＝１.
按照前面的性质4，8∣a679b且９∣a679b． 按被8整除的特征，8∣79b，因此b＝2. 按照被9整除特征，9∣a+24，因此a＝3. 这笔帐是367.92元.
a , b R,若b a 0，则存在正整数n，使得na b
5．实数集R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间 必有另一个实数， 且既有有理数，也有无理数． 6．实数集R具有完备性，即实数集R与数轴上的点有着 一一对应关系．
例1 比较下列各组数的大小．(不查表)
若a＞b＞0，则an＞bn(n为大于1的整数) 反之，若a＞0，b＞0，且an＞bn，则a＞b．
比较法则： （1）作差比较法： ab0 ab ab0 ab ab0 ab
(2)作商比较法： 若a，b同号，则
a 1 a b b a 1 a b b a 1 a b b
例2： 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，求证：a与b 之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性)．
（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末 两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.
（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的 末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125） 整除.
（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数 字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那 么它必能被11整除.
证： 因为a＜b，所以2a＜a+b＜2b，即
a１＋b
a１＋b
例４： 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，问是否存 在无理数α，使得a＜α＜b成立？
即 由①，②有
存在无理数α，使得a＜α＜b成立．
整除问题
整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除 以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除， 或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因 数（约数），a是b的倍数. 1.整除的性质
质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但 是奇数不一定是质数，例如，15，33，….