初中数学竞赛辅导课件_数与式
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证： 因为a＜b，所以2a＜a+b＜2b，即
a１＋b
a１＋b
例４： 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，问是否存 在无理数α，使得a＜α＜b成立？
即 由①，②有
存在无理数α，使得a＜α＜b成立．
整除问题
整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除 以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除， 或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因 数（约数），a是b的倍数. 1.整除的性质
两式相减得： 99x 261.54 2.61
则 x 258.93 25893
99
9900
无理数
无限不循环小数称为无理数．有理数对四则运算是封闭 的，而无理数与无理数的和，差，积，商不一定是无理 数．如： 2 2 0， 1， 3g2 3 6
即无理数对四则运算不封闭．但它有下列性质：
把55□99拆成两个数的和：55A00＋B99，其中□=A+B. 因为7丨55300，7丨399，所以□=3+3＝6.
注意：记住111111能被7整除是很有用的.
分解质因数
一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数 （也叫素数）.例如，2，5，7，101，….
一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合 数.例如，4，12，99，501，…. 1不是质数，也不是合数. 也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至 少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本 身.
例２下面这个41位数
能被7整除，
中间方格代表的数字是几？
解：因为 111111＝3×7×11×13×37， 所以555555＝5×111111和999999＝9×111111都能被7整除. 这样，18个5和18个9分别组成的18位数，也都能被7整除.
上边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只 要中间的55□99能被7整除，原数就能被7整除.
a , b R,若b a 0，则存在正整数n，使得na b
5．实数集R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间 必有另一个实数， 且既有有理数，也有无理数． 6．实数集R具有完备性，即实数集R与数轴上的点有着 一一对应关系．
例1 比较下列各组数的大小．(不查表)
若a＞b＞0，则an＞bn(n为大于1的整数) 反之，若a＞0，b＞0，且an＞bn，则a＞b．
质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但 是奇数不一定是质数，例如，15，33，….
证：将原式变形为(b1-b2)a=a2-a1．若b1≠b2，则
反之，显然成立．
实数
１.实数集R对加、减、乘、除 ( 除数不为0 ) 四则运算 是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商 ( 除数不 为0 ) 仍然是实数． ２.实数集是有序的，即任意两实数a，b必满足下述三个 关系之一: a<b,a=b,a>b 3. 实数的大小关系具有传递性，即若a>b,b>c,则a>c 4.实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何
比较法则： （1）作差比较法： ab0 ab ab0 ab ab0 ab
(2)作商比较法： 若a，b同号，则
a 1 a b b a 1 a b b a 1 a b b
例2： 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，求证：a与b 之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性)．
性质4 整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a 能被b×c整除. 例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72能被3与4的 乘积12整除.
2.数的整除特征
（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是 偶数，那么它必能被2整除.
（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是 0或5，那么它必能被5整除. （3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各 位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整 除.
（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末 两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.
（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的 末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125） 整除.
（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数 字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那 么它必能被11整除.
性质2 设a为有理数，b为无理数，则 (1)a+b，a-b是无理数； (2)a≠0时，ab与a／b为是无理数. 有理数和无理数统称为实数，记作Ｒ．即
证 （反证法）
2
所以p一定是偶数．设p=2m(m是自然数)，代入①得 4m2＝2q2，q2＝2m2，
例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2为有理数，a为 无理数)，则a1=a2，b1=b2，反之，亦成立．
例１ 一本老账本上记着：72只桶，共 □67.9□元，其中□处是被虫蛀掉的数字， 请把这笔账补上.
解：把□6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.9□写成整数a679b ， 72∣a679b．72＝9×8，（9，8）＝１.
按照前面的性质4，8∣a679b且９∣a679b． 按被8整除的特征，8∣79b，因此b＝2. 按照被9整除特征，9∣a+24，因此a＝3. 这笔帐是367.92元.
初中数学竞赛辅导
有理数
形如 m（n 0）的数叫有理数。其中m，n为整数。 n
性质1 任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作 小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然．
例1：证明循环小数2.615&4&为有理数。
证明：设2.615&4& x，
两边同乘100，则有261.5&4&=100x
性质1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整 除（这里设a>b）.
例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.
性质2 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24.
性质3 如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的 最小公倍数整除. 例如：6丨36，9丨36，6和9的最小公倍数是18，18丨36.
a１＋b
a１＋b
例４： 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，问是否存 在无理数α，使得a＜α＜b成立？
即 由①，②有
存在无理数α，使得a＜α＜b成立．
整除问题
整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除 以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除， 或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因 数（约数），a是b的倍数. 1.整除的性质
两式相减得： 99x 261.54 2.61
则 x 258.93 25893
99
9900
无理数
无限不循环小数称为无理数．有理数对四则运算是封闭 的，而无理数与无理数的和，差，积，商不一定是无理 数．如： 2 2 0， 1， 3g2 3 6
即无理数对四则运算不封闭．但它有下列性质：
把55□99拆成两个数的和：55A00＋B99，其中□=A+B. 因为7丨55300，7丨399，所以□=3+3＝6.
注意：记住111111能被7整除是很有用的.
分解质因数
一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数 （也叫素数）.例如，2，5，7，101，….
一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合 数.例如，4，12，99，501，…. 1不是质数，也不是合数. 也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至 少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本 身.
例２下面这个41位数
能被7整除，
中间方格代表的数字是几？
解：因为 111111＝3×7×11×13×37， 所以555555＝5×111111和999999＝9×111111都能被7整除. 这样，18个5和18个9分别组成的18位数，也都能被7整除.
上边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只 要中间的55□99能被7整除，原数就能被7整除.
a , b R,若b a 0，则存在正整数n，使得na b
5．实数集R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间 必有另一个实数， 且既有有理数，也有无理数． 6．实数集R具有完备性，即实数集R与数轴上的点有着 一一对应关系．
例1 比较下列各组数的大小．(不查表)
若a＞b＞0，则an＞bn(n为大于1的整数) 反之，若a＞0，b＞0，且an＞bn，则a＞b．
质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但 是奇数不一定是质数，例如，15，33，….
证：将原式变形为(b1-b2)a=a2-a1．若b1≠b2，则
反之，显然成立．
实数
１.实数集R对加、减、乘、除 ( 除数不为0 ) 四则运算 是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商 ( 除数不 为0 ) 仍然是实数． ２.实数集是有序的，即任意两实数a，b必满足下述三个 关系之一: a<b,a=b,a>b 3. 实数的大小关系具有传递性，即若a>b,b>c,则a>c 4.实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何
比较法则： （1）作差比较法： ab0 ab ab0 ab ab0 ab
(2)作商比较法： 若a，b同号，则
a 1 a b b a 1 a b b a 1 a b b
例2： 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，求证：a与b 之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性)．
性质4 整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a 能被b×c整除. 例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72能被3与4的 乘积12整除.
2.数的整除特征
（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是 偶数，那么它必能被2整除.
（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是 0或5，那么它必能被5整除. （3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各 位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整 除.
（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末 两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.
（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的 末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125） 整除.
（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数 字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那 么它必能被11整除.
性质2 设a为有理数，b为无理数，则 (1)a+b，a-b是无理数； (2)a≠0时，ab与a／b为是无理数. 有理数和无理数统称为实数，记作Ｒ．即
证 （反证法）
2
所以p一定是偶数．设p=2m(m是自然数)，代入①得 4m2＝2q2，q2＝2m2，
例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2为有理数，a为 无理数)，则a1=a2，b1=b2，反之，亦成立．
例１ 一本老账本上记着：72只桶，共 □67.9□元，其中□处是被虫蛀掉的数字， 请把这笔账补上.
解：把□6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.9□写成整数a679b ， 72∣a679b．72＝9×8，（9，8）＝１.
按照前面的性质4，8∣a679b且９∣a679b． 按被8整除的特征，8∣79b，因此b＝2. 按照被9整除特征，9∣a+24，因此a＝3. 这笔帐是367.92元.
初中数学竞赛辅导
有理数
形如 m（n 0）的数叫有理数。其中m，n为整数。 n
性质1 任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作 小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然．
例1：证明循环小数2.615&4&为有理数。
证明：设2.615&4& x，
两边同乘100，则有261.5&4&=100x
性质1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整 除（这里设a>b）.
例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.
性质2 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24.
性质3 如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的 最小公倍数整除. 例如：6丨36，9丨36，6和9的最小公倍数是18，18丨36.