基本不等式(第二课时

解析：(1) x 1 x 1 0
(2)0 x 11 x 0
x 1 (x 1) 1 1
x 1
x 1
2 (x 1) 1 1 3
x(1 x) (x 1 x)2 1
4
4
x 1
(1)x=2 (2)x=1/2
思考：取到最值时x的值呢？
解：(1)∵x>0，y>0，1x＋9y＝1， ∴x＋y＝(1x＋9y)(x＋y)＝yx＋9yx＋10≥6＋10＝16. 当且仅当yx＝9yx， 又1x＋9y＝1， 即 x＝4，y＝12 时，上式取等号． 故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
(2)设 x>0，y>0，且 2x＋8y＝xy，求 x＋y 的最小值．
（2）应用口诀：“一正，二定，三相等”
探究：下面几道题的解答可能有错，如果
错了，那么错在哪里？
１．已知函数 f (x) x 1 ，求函数的 最小值和此时x的取值． x
运用基本不等式的过程中，忽略了“正数” 这个条件．
２．已知函数 f (x) x 3 (x 2) ， x2
求函数的最小值．
3.已知 a, b R， 求证 a b a b
ba
变式：已知 a, b R，求证
b2 a2 ab
ab
思考:
下列函数中，最小值为4的有那些? B
(A)
y wenku.baidu.com 4 x
(B) y 4e x e-x
(C) y log3 x log x 30 x 1
用基本不等式求最值，必须满足“定值”这 个条件．
3 求函数y sin 4 其中 （0， ]
sin
2
的最小值。
解：y sin 4 2 sin 4
sin
sin
4,函数的最小值为4。
用基本不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件.
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
1、已知a、b、c都是正数， 求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥ 8abc。
变式、已知a、b、c都是正数，a + b + c = 1, 求证：（1 – a）（1 – b）（1 – c）≥ 8abc。
2、证明：a2＋b2＋c2≥ ab + bc + ca。
变式：已知a、b、c都是正数，证明：
a2b2 b2c2 c2a2 abc(a b c)
构造法
变式：（1）已知x>-2,求 x 1 的最小值； x2
（2）已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值.
变式：（1）已知x>-2,求
x

x
1
2
的最小值；0
（2）已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值. 1
8
1.凑项 ：使积成为定值
2.凑系数 ：使和成为定值
3.分离法
例.求y
xy x
y
xy
2y 当且仅当 x

x y
时，即x
x 2 y 1
2 1, y 1 2 时取到等号. 2
“1”的代换
变式：(1)已知 x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值；
(2)设 x>0，y>0，且 2x＋8y＝xy，求 x＋y 的最小值．
(1)已知 x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值；
法二：由 2x＋8y－xy＝0 及 x>0，y>0，得8x＋2y＝1. ∴x＋y＝(x＋y)(8x＋2y)＝8xy＋2yx＋10
≥2 8xy·2yx＋10＝18.
当且仅当8y＝2x，即 xy
x＝2y＝12
时等号成立．
∴x＋y 的最小值是 18.
5.基本不等式与对数相结合
例：已知lgx+lgy＝1，5 x

2 y
的最小值是___2___.
练习：正数x, y满足x y 20,lg x lg y的最大值__2__;
小结:
在利用基本不等式求最值时要注意三点：
一是各项为正；
二是寻求定值， （1）求和式最小值时应使积为定值， （2）求积式最大值时应使和为定值 (恰当变形，合理发现拆分项或配凑因式、 “1”的代换是常用的解题技巧)；
注意:在使用“和为常数，积有最大值”
和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应 把握三点：“一正、二定、三相等”.当条件不 完全具备时，应创造条件.
一正：两项必须都是正数； 二定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；
求两项积的最大值，它们的和应为定值。
三相等 ： 等号成立的条件必须存在.
热身练习

x2
7x 10 (x

1)的最小值.
x1
9
练 习:
若x 1,求当x __2__时, y x2 2x 2 有 2x 2
最 小 值____1_____.
例2 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求 u 1 1
xy
的最小值．
解析：u 1 1 x 2y x 2 y 3 2 y x 3 2 2
(2)法一：由 2x＋8y－xy＝0，得 y(x－8)＝2x. ∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝x－ 2x8， ∴x＋y＝x＋x－ 2x8＝x＋2x－x－168＋16
＝(x－8)＋x1－68＋10≥2 x－8×x－ 168＋10 ＝18. 当且仅当 x－8＝x－ 168，即 x＝12 时，等号成立． ∴x＋y 的最小值是 18.
3.4《基本不等式》
(第二课时)
复习
1.重要不 如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab 等式： （当且仅当a=b 时取“=”） 2等.基式本：不（当如且果仅a当, ba∈=bR+时，，那式么中a等2 b号成a立b ）
注：（1）常用变形：① a b 2 ab
② ab (a b)2 4
三是考虑等号成立的条件．
例4．求函数 f (x) 2x2 x 3 (x 0) 的最大
(D)
y
sinx
4 sinx
0
x

已知a，b为正数，试
2 11
ab a b 2
a2 b2 2
ab
调和 平均 数
几何 平均 数
算术平 均数
平方 平均 数
基本不等式的主要应用——求最值
例1：（1）已知x>1,求 x 1 的最小值； x 1
（2）已知0<x<1,求x(1-x)的最大值.