对数函数与反三角函数

对数函数与反三角函数

大家应该都知道，这两个函数是高中里的重要的反函数。

然而呢，这两个反函数又与一般的反函数不一样。因为原函数是代数函数，一般的反函数是属于代数函数，而指数函数和三角函数都是超越函数，所以对数函数与反三角函数也是超越函数。

在学习的时候，不难发现，对数函数与反三角函数这两个函数很多类似点。首先，这两个函数都是出于逆向研究而建立的。一个是要研究全体实数和指数的关系，一个是要研究三角函数值与弧度的关系。而且两个都引入了新的数学符号，都有一系列的恒等公式和反演式。

当然，它们也有许多不同点，因为值域和定义域的不同，反三角函数常常在化简时要非常小心。而且反三角函数有周期性，一般都取一个周期来算。对数函数则全体一一对应。

对于代数函数，我曾经推导过导数。那么对数函数和反三角函数的导数又如何求呢？

首先，用一般的极限法来对对数函数x x f ln )(=求导：

x x x x

x x x x x f x x f x y x f x x x x ∆∆+=∆-∆+=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆→∆)1ln()ln()ln()()()('0

0000000lim lim lim

lim

接下来的就感觉无从入手了，无法将x ∆消去。

用同样的方法对反三角函数)sin(arc )(x x f =求导：

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x f x y x f x x x x x x ∆--∆+-∆+=∆-∆+∆+=∆-∆+=∆-∆+=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆→∆→∆→∆)

1)(1)arcsin(()))(cos(arcsin ))(sin(arcsin ))(cos(arcsin ))(arcsin(arcsin(sin )))arcsin()(arcsin(arcsin(sin )arcsin()arcsin()()()('2002000

000000000000000lim lim

lim

lim

lim

lim

很显然，遇到了和对数函数差不多的情况。

对数函数与反三角函数的加减相当的麻烦，几乎如果不是凑好的数据，很难进行运算。

那么反三角函数和对数函数有没有什么另外的方法求导呢？

在前面求导过程中，反三角函数的反演公式的运用给了我启发。

既然x e x =)(ln ，那么令)ln()(,x x f e y x ==

则=)('x e f 1 （1为x 求导后的结果）

那么)('y f 又等于什么呢？ 很明显，这是一个复合函数的求导，那么要用到链式法则

)()(')('x x e y f e f ⨯=的导数

而x e 的导数刚好也是x e

1)('-=∴=y y f y

e x

那么一般的对数函数一样可以这样求，不过略微复杂一些

1log )(',log )(-⨯==x e x f x x f a a

反三角函数是不是也可以这样求导呢？

既然x x =)(sin arcsin ，那么令)arcsin()(,sin x x f x y ==

则=)(sin 'x f 1 （1为x 求导后的结果）

链式法则(CHAIN RULE) 若H(X)=F(G(X)) 则H'(X)=F'(G(X))G'(X)

x y f x f cos )(')(sin '⨯=

2211

)('cos 1y y f x

y -=∴-=

一样的方法，所以对数和反三角函数很多时候是可以互相参照一下的。