沈阳市120中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题(含答案和解析)
高中试卷-专题5.5 三角恒等变换(含答案)
专题5.5 三角恒等变换（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β；S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β；T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；.sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，3．辅助角公式：函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＋φ)或f(α)＝－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式1.S 2α：sin 2α＝2sin αcos α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.2.变形公式：（1）降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，sin αcos α＝12sin 2α.（2）升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2.)4sin(2cos sin πααα±=±（3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)21±sin α＝(sin α2±cos α2)2,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2（4）sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.（三）常见变换规律(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，(π4＋α)＋(π4－α)＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．一、单选题1．sin 40sin 50cos 40cos50°°-°°等于（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．cos10-°【来源】陕西省西安市莲湖区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】由两角和的余弦公式得：()()sin 40sin 50cos 40cos50cos 40cos50sin 40sin 50cos 4050cos900°°-°°=-°°-°°=-+=-=o o o 故选：C2．已知()5cos 2cos 22παπαæö-=+ç÷èø，且()1tan 3αb +=，则tan b 的值为（ ）A ．7-B ．7C ．1D ．1-【来源】辽宁省沈阳市第一中学2021-2022学年高一下学期第三次阶段数学试题【答案】D【解析】：因为()5cos 2cos 22παπαæö-=+ç÷èø，所以sin 2cos αα=，所以sin tan 2cos ααα==，又()1tan 3αb +=，所以()()()12tan tan 3tan tan 111tan tan 123αb αb αb ααb α-+-=+-===-éùëû+++´.故选：D3．已知,αb 均为锐角，且1sin 2sin ,cos cos 2αb αb ==，则()sin αb -=（ ）A ．35B ．45CD ．23【来源】辽宁省县级重点高中协作体2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题【答案】A【解析】：因为1sin 2sin ,cos cos 2αb αb ==，所有22221sin cos 4sin cos 14ααb b +=+=，则2153sin 44b =，又,αb均为锐角，所以sin b =cos b =所以sin αα==所以()3sin sin cos cos sin 5αb αb αb -=-=.故选：A.4．已知()1sin 5αb +=，()3sin 5αb -=，则tan tan αb 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【来源】内蒙古自治区包头市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】()()1sin sin cos cos sin 53sin sin cos cos sin 5αb αb αb αb αb αb ì+=+=ïïíï-=-=ïî，解得2sin cos 51cos sin 5αb αb ì=ïïíï=-ïî，所以tan sin cos 2tan cos sin ααbb αb==-.故选：B5．已知sin sin 13πq q æö++=ç÷èø，则tan 6πq æö+=ç÷èø（ ）ABC ．D ．【来源】陕西省汉中市六校联考2021-2022学年高一下学期期末数学试题（B 卷）【答案】D【解析】sin sin(13πq q ++=，则1sin sin 12q q q +=，即312q =，1cos 2q q +=sin 6πq æö+ç÷èøcos 6πq æö+==ç÷èø所以tan 6πq æö+==ç÷èø故选：D6．下面公式正确的是（ ）A ．3sin cos 2πq q æö+=ç÷èøB ．2cos212cos q q =-C ．3cos sin 2πq q æö+=-ç÷èøD ．cos(sin 2πq q-=【来源】陕西省宝鸡市渭滨区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D 【解析】对A ，3sin cos 2πq q æö+=-ç÷èø，故A 错误；对B ，2cos 22cos 1q q =-，故B 错误；对C ，3cos sin 2πq q æö+=ç÷èø，故C 错误；对D ，cos()sin 2πq q -=，故D 正确；故选：D7．已知2tan()5αb +=，1tan(44πb -=，则tan()4πα+的值为（ ）A ．16B ．322C ．2213D ．1318【来源】内蒙古自治区呼伦贝尔市满洲里市第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】：因为2tan()5αb +=，1tan()44πb -=，所以()tan()tan 44ππααb b éùæö+=+--ç÷êúèøëû()()tan tan 41tan tan 4παb b παb b æö+--ç÷èø=æö++-ç÷èø213542122154-==+´.故选：B 8．设1cos102a =o o，22tan131tan 13b =+oo，c =，则a ，b ，c 大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b<<D ．b c a<<【来源】湖北省云学新高考联盟学校2021-2022学年高一下学期5月联考数学试题【答案】C【解析】()1cos10cos 6010cos 70sin 202a =°=°+°=°=°o ，2222sin132tan13cos132sin13cos13sin 26sin 131tan 131cos 13b °°°===°°=°°+°+°，sin 25c ===o ，因为函数sin y x =在0,2πæöç÷èø上是增函数，故sin 20sin 25sin 26<<o o o ，即a c b <<.故选：C.9．已知sin()6πα+=2cos(2)3πα-=（ ）A ．23-B ．13-C ．23D ．13【来源】海南省海口市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题（A ）【答案】B【解析】：因为sin()6πα+=，所以2cos 2cos 263παππαéùæöæö-=-ç÷ç÷êúèøë+øèû6cos 2πα÷+æö=-çèø212n 6si παéùæö=--ç÷êúøë+èû21123éùæêú=--=-ççêúèëû故选：B10．若11tan ,tan()72b αb =+=，则tan =α（ ）A ．115B ．112C ．16D ．13【来源】北京市房山区2021—2022学年高一下学期期末学业水平调研数学试题【答案】D【解析】：因为11tan ,tan()72b αb =+=，所以()()()11tan tan 127tan =tan 111tan tan 3127αb b ααb b αb b -+-+-===éùëû+++´.故选：D.11．已知3cos 16πααæö--=ç÷èø，则sin 26παæö+=ç÷è（ ）A ．13-B ．13C ．D【来源】四川省内江市2021-2022学年高一下学期期末数学理科试题【答案】B【解析】：因为3cos 16πααæö--=ç÷èø，即3cos cos sin sin 166ππαααæö-+=ç÷èø，即13sin 12αααö-+=÷÷ø3sin 12αα-=1cos 123παααöæö=+=÷ç÷÷èøø，所以cos 3παæö+=ç÷èø所以sin 2cos 2662πππααæöæö+=-++ç÷ç÷èøèø2cos 22cos 133ππααéùæöæö=-+=-+-ç÷ç÷êúèøèøëû21213éùêú=--=êúëû.故选：B 12．已知4sin 5α=，π5,π,cos ,213αb b æöÎ=-ç÷èø是第三象限角，则()cos αb -=（ ）A ．3365-B ．3365C ．6365D ．6365-【来源】西藏林芝市第二高级中学2021-2022学年高一下学期第二学段考试（期末）数学试题【答案】A【解析】由4sin 5α=，π,π2αæöÎç÷èø，可得3cos 5α===-由5cos ,13b b =-是第三象限角，可得12sin 13b ===-则()3541233cos cos cos sin sin 51351365αb αb αb æöæöæö-=+=-´-+´-=-ç÷ç÷ç÷èøèøèø故选：A13．若sin 2α=()sin b α-=,4απéùÎπêúëû，3,2b ππéùÎêúëû，则αb +的值是（ ）A ．54πB ．74πC ．54π或74πD ．54π或94π【答案】B【解析】,,2,242ππαπαπéùéùÎ\ÎêúêúëûëûQ ，又∵sin 22,,,242πππααπαéùéù=\ÎÎêúêúëûëû，∴cos2α==又∵35,,,224πππb πb αéùéùÎ\-Îêúêúëûëû，∴()cos b α-==于是()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αb αb ααb ααb α+=+-=---éùëûææ==ççççèè5,24αb πéù+Îπêúëû，则74αb π+=.故选：B.14．)sin20tan50=oo （ ）A ．12B ．2C D ．1【来源】安徽省宣城市泾县中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】D 【解析】原式()()()2sin 20sin 50602sin 20sin 9020cos50cos 9050++===-oooooooo o 2sin 20cos 20sin 401sin 40sin 40===o o o o o.故选：D.15．若1cos ,sin(),0722ππααb αb =+=<<<<，则角b 的值为（ ）A ．3πB ．512πC ．6πD ．4π【来源】陕西省西安中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】A 【解析】∵0,022ππαb <<<<，0αb π\<+<，由1cos 7α=，()sin αb +=sin α=，11cos()14αb +=±，若11cos()14αb +=，则sin sin[()]b αb α=+-sin()cos cos()sin αb ααb α=+-+1110714=-<，与sin 0b >矛盾，故舍去，若11cos()14αb +=-，则cos cos[()]b αb α=+-cos()cos sin()sin αb ααb α=+++111147=-´+12=，又(0,)2πb ÎQ ，3πb \=.故选：A.161712πα<<，且7cos 268παæö+=-ç÷ø，则αö=÷ø（ ）A ．B ．CD ．14-【来源】河南省南阳地区2021-2022学年高一下学期期终摸底考试数学试题【答案】A【解析】由27cos 212sin 6128ππααæöæö+=-+=-ç÷ç÷èøèø，得215sin 1216παæö+=ç÷èø．因为7171212ππα<<，所以233122πππα<+<，所以sin 12παææö+Î-çç÷çèøè，所以sin 12παæö+=ç÷èø所以5cos cos sin 1221212ππππαααæöæöæöæö-=-+=+=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø故选：A17．已知sin cos αα-=π£，则sin 2æçè ）A C ．D 【来源】湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D【解析】：因为sin cos αα-=()22sin cos αα-=，即222sin 2sin cos cos 5αααα-+=，即21sin 25α-=，所以3sin 25α=，又sin cos 4παααæö--=ç÷èø即sin 4παæö-=ç÷èø因为0απ££，所以3444πππα-£-£，所以044ππα<-£，即42ππα<£，所以22παπ<£，所以4cos 25α==-，所以sin 2sin 2cos cos 2sin333πππαααæö-=-ç÷èø314525æö=´--=ç÷èø；故选：D18．若10,0,cos ,cos 224342ππππb αb αæöæö<<-<<+=-=ç÷ç÷èøèøcos 2b αæö+=ç÷èø（ ）A B ．C D ．【来源】广东省佛山市顺德区乐从中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】C 【解析】cos cos cos cos sin sin 2442442442b ππb ππb ππb ααααéùæöæöæöæöæöæöæö+=+--=+-++-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøèøèøèøèøëû，因为0,022ππαb <<-<<所以3,444πππαæö+Îç÷èø，,4242πb ππæö-Îç÷èø，因为1cos 43παæö+=ç÷èø，cos 42πb æö-=ç÷èø所以sin 4παæö+=ç÷èø，sin 42πb æö-=ç÷èø则1cos 23b αæö+==ç÷èøC19．已知πcos sin 6ααæö-+ç÷èø，则2πcos 3αæö+ç÷èø的值是（ ）A ．45-B ．45C ．D 【来源】广东省汕尾市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】A【解析】由πcos sin 6ααæö-+=ç÷èøππ3πcos cossin sin sin sin 6623ααααααæö++=+=-=ç÷èø所以，π4cos 35αæö-=ç÷èø，所以，2πππ4cos cos πcos 3335αααæöæöæöæö+=--=--=-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø.故选：A.20．已知,2παπæöÎç÷ø，且25，则cos()α-=（ ）A B C D 【来源】陕西省商洛市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】因为,2παπæöÎç÷èø，所以35,444πππαæö+Îç÷èø．又2sin 45παæö+=ç÷èø，所以cos 4παæö+==ç÷èøcos()cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααααéùæöæöæö-==+-=+++=ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëû故选：C.二、多选题21．对于函数()sin 22f x x x =，下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的最小值为2-C ．()f x 的图象关于直线6x π=-对称D ．()f x 在区间,26ππæö--ç÷èø上单调递增【来源】湖北省部分普通高中联合体2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题【答案】AB【解析】()1sin 222(sin 22)2sin(223f x x x x x x π==+=+，22T ππ==，A 正确；最小值是2-，B 正确；()2sin()0633f πππ-=-+=，C 错误；(,)26x ππÎ--时，22(,0)33x ππ+Î-，232x ππ+=-时，()f x 得最小值2-，因此函数不单调，D 错误，故选：AB ．22 ）A ．222cos2sin 1212ππ-B ．1tan151tan15+°-°C ．cos 75°°D ．cos15°°【来源】江西省南昌市第十中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题【答案】ABC【解析】A ：222cos 2sin 2cos12126πππ-==B ：1tan15tan 45tan15tan 601tan151tan 45tan15+°°+°==°=-°-°°C ：cos 75sin1530°°=°°=°=，符合；D ：cos152sin(3015)2sin15°°=°-°=°¹.故选：ABC23．已知函数2()cos sin 222x x xf x =-，则下列结论正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为4πB ．直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在0,2πæöç÷èø上单调递增D ．若()f x 在区间,2m πéù-êúëû上的最大值为12，则3m π³【来源】江苏省南京师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】BD【解析】：()21cos 1cos sin sin 222262x x x x f x x x π-æö=-=-=+-ç÷èø，所以()f x 的最小正周期为2,π故A 不正确；因为2362πππ-+=-，所以直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴，故B 正确；当02x π<<时，2+663x πππ<<，而函数sin y x =在2,63ππæöç÷èø上不单调，故C 不正确；当2x m π-££时，++366x m πππ-££，因为()f x 在区间,2m πéù-êúëû上的最大值为12，即11sin 622x πæö+-£ç÷èø，所以sin 16x πæö+£ç÷èø，所以+62m ππ³，解得3m π³，故D 正确.故选：BD.24．已知函数22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->的周期为π，当π[0]2x Î，时，()f x 的（ ）A ．最小值为2-B ．最大值为2C ．零点为5π12D ．增区间为π06éùêúëû，【来源】江苏省徐州市2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】BCD【解析】22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->2cos 2x xωω=+2sin 26x πωæö=+ç÷èø，因为()f x 的周期为π，所以22ππω=，得1ω=，所以()2sin 26f x x πæö=+ç÷èø，当π[02x Î，时，72,666x πππéù+Îêúëû，所以1sin 2126x πæö-£+£ç÷èø，所以12sin 226x πæö-£+£ç÷èø，所以 ()f x 的最小值为1-，最大值为2，所以A 错误，B 正确，由()2sin 206f x x πæö=+=ç÷èø，72,666x πππéù+Îêúëû，得26x ππ+=，解得512x π=，所以()f x 的零点为5π12，所以C 正确，由2662x πππ£+£，得06x π££，所以()f x 的增区间为π06éùêëû，，所以D 正确，故选：BCD25．关于函数()cos 2cos f x x x x =-，下列命题正确的是（ ）A ．若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()12f x f x =成立；B ．()f x 在区间ππ,63éù-êúëû上单调递增；C ．函数()f x 的图象关于点π,012æöç÷èø成中心对称；D ．将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后将与2sin 2y x =的图象重合．【来源】广东省佛山市顺德区第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】ACD【解析】()1cos 2cos cos 222cos 222f x x x x x x x x æö=-==ç÷ç÷èøπ2cos 23x æö=+ç÷èø，对于A ，若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()()1222ππ2cos 2π2cos 233f x x x f x éùæö=++=+=ç÷êúëûèø成立，故A 正确；对于B ，由ππ2π22π2π,3k x k k Z +£+£+Î，得：π5πππ,36k x k k +££+ÎZ ，即()f x 在区间π5π,36éùêúëû上单调递增，故B 错误；对于C ，因为πππ2cos 2012123f æöæö=´+=ç÷ç÷èøèø，所以函数()f x 的图象关于点π,012æöç÷èø成中心对称，故C 正确；对于D ，将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后得到7π7ππ3π2cos 22cos 22sin 2121232y f x x x x éùæöæöæö=+=++=+=ç÷ç÷ç÷êèøèøèøëû，其图象与2sin 2y x =的图象重合，故D 正确．故选：ACD三、解答题26．求下列各式的值(1)cos54cos36sin54sin36×-×o o o o (2)sin7cos37cos(7)sin(37)×+-×-o o o o (3)ππcos sin 1212×(4)22ππsincos 88-【来源】黑龙江省鸡西市第四中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】(1)0；(2)12-；(3)14；(4)【解析】(1)cos54cos36sin54sin36cos(5436)cos900×-×=+==o o o o o o o .(2)sin7cos37cos(7)sin(37)sin7cos37cos7sin37×+-×-=×-×o o o o o o o o1sin(737)sin(30)2=-=-=-o o o .(3)ππ1π1cossin sin 1212264×==.(4)22πππsin cos cos 884-=-=27．已知3sin 5α=，其中2απ<<π.(1)求tan α；(2)若0,cos 2πb b <<=()sin αb +的值.【来源】广东省珠海市2021-2022学年高一下学期期末数学试题（A 组）【答案】(1)34-(2)【解析】(1)由3sin 5α=可得4cos 5α==±，因为2απ<<π，故4cos 5α=-，进而sintan cos ααα==(2)π0,cos 2b b <<，故sinb =；()34sin =sin cos cos sin 55αb αb αb ++=28．已知角α为锐角，2πb απ<-<，且满足1tan23=α，()sin b α-(1)证明：04πα<<；(2)求b .【来源】江西省名校2021-2022学年高一下学期期中调研数学试题【答案】(1)证明见解析(2)3.4πb =【解析】(1)证明：因为1tan23α=，所以2122tan332tan 1tan 1441tan 129απαα´===<=--，因为α为锐角且函数tan y x =在0,2πæöç÷èø上单调递增，所以04πα<<(2)由22sin 3tan cos 4sin cos 1αααααì==ïíï+=î，结合角α为锐角，解得3sin 5α=，4cos 5α=，因为2πb απ<-<)=所以()cos b α-==()()()sin sinsin cos cos sin b αbααb ααbαéù=+-=-+-ëû3455æ=´+=çè又5224πππαb πα<+<<+<，所以3.4πb =29．已知α，b 为锐角，πsin 3αæö-=ç÷èø()11cos 14αb +=-．(1)求cos α的值；(2)求角b ．【来源】江苏省南京市六校联合体2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)17(2)π3【解析】(1)因为π0,2αæöÎç÷èø，所以ππ336παæö-Îç÷ø-，，又πsin 3αæö-=ç÷èø所以π13cos 314αæö-===ç÷èø所以ππcos =cos +33ααéùæö-ç÷êúèøëûππππ1cos cos sin sin =33337ααæöæö=---ç÷ç÷èøèø(2)因为α，b 为锐角，所以0αb <+<π，则()sin 0αb +>，因为()11cos 14αb +=-，所以()sin αb +==又α为锐角，1cos 7α=，所以sin α==故()()()sin sin sin cos cos sin b αb ααb ααb α=+-=+-+éùû111714=+=因为b 为锐角，所以π3b =．30．已知sincos22αα-=(1)求sin α的值；(2)若αb ，都是锐角，()3cos 5αb +=，求sin b 的值.【来源】湖北省部分市州2021-2022学年高一下学期7月期末联考数学试题【答案】(1)12【解析】(1)解：2221sin cos sin 2sin cos cos 1sin 2222222a ααααααæö-=-+=-=ç÷èø，1sin 2a =.(2)因为αb ，都是锐角,所以0αb <+<π，()4sin 5αb +==，1sin cos 2a a =Þ=，()()()43sin cos c s 1si o 55n sin sin 2αb ααb ααb b α=+=+-=+-=´éùëû31．已知tan ,tan αb 是方程23570x x +-=的两根，求下列各式的值：(1)()tan αb +(2)()()sin cos αb αb +-；(3)()cos 22αb +.【来源】江苏省泰州市兴化市楚水实验学校2021-2022学年高一下学期阶段测试一数学试题【答案】(1)12-(2)54(3)35【解析】（1）由题意可知：57tan tan ,tan tan 33αb αb +=-=-()5tan tan 13tan 71tan tan 213αb αb αb -++===--+（2）()()5sin sin cos cos sin tan tan 537cos cos cos sin sin 1tan tan 413αb αb αb αb αb αb αb αb -+++====-++-（3）()22222211cos ()sin ()1tan ()34cos 221cos ()sin ()1tan ()514αb αb αb αb αb αb αb -+-+-++====++++++。
辽宁省沈阳市第一二六中学2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试题(含答案)
2022-2023学年度（下）5月阶段作业反馈八年级数学考试时间：120分钟 满分：120分一、单选题（共10小题，共20分）1.下图是某校艺术节徽标征集活动4件入围作品，共中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A.B. C. D.2.如果，那么下列各式中一定正确的是（）A. B.C.D.3.无论取何值，下列分式中，总有意义的是（ ）A. B. C. D.4.一元一次不等式的解集是（ ）A. B.C. D.5.一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形6.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，把线段绕点逆时针旋转90°后得到线段，则点的坐标是（ ）A. B. C. D.7.如图，在中，，是角平分线，是中线，则的长为（）a b >33a b -<-am bm >()()2211a c b c +>+1133a b -<-a 311a -2a a -211a a --221a a +423x +≥A ()4,0B ()0,3BA B BC C ()3,4()4,3()4,7()3,7ABC △8AB AC ==AD BE DEA.3B.4C.5D.68.如图，在平行四边形中，，，，过的中点作于，与的延长线相交于点，则的面积是（ ）A. B. C.4 D.69.如图中，，，，为的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（ ）A.4.8B.2.4C.6D.510.如图，为等腰内一点，过点分别作三条边、、的垂线，垂足分别为、、，已知，，且，则的长为（ ）A. B. C.7 D.8二、填空题（共6小题，共18分）11.将因式分解为________.ABCD 3AB =4AD =60ABC ∠=︒BC E EF AB ⊥F DC H DEF △ABC △5AC BC ==6AB =4CD =CD ABC △E F CD CA AE EF AE EF +P ABC △P BC CA AB D E F 10AB AC ==12BC =::1:3:3PD PE PF =AP 432032312m -12.计算：________.13.已知，，为的三边，且，则的形状为________.14.已知不等式组有解但没有整数解，则的取位范围为________.15.如图，为钝角中边的中点，经过的直线将分成了周长相等的两部分，已知，，则________.16.在平面直角坐标系中，直线，直线交于点，为直线上的个动点，，则的最小值为________.三、解答题.（第17，18，19，20，21，22题各8分，第23题10分，第.24，25各12分，共82分）17.（1）解不等式：（2）解不等式组：18.分解因式：（1）（2）19.先化简，再求值：，其中20.如图，已知，，点、、、在同一直线上且.求证：四边形是平行四边形.21.作图题.在平面直角坐标系中，每个网格单位长度为1，的位置如图所示，解答下列问题：2269329x x x x x ++-⋅=+-a b c ABC △2222b ab c ac +=+ABC △010x a x ->⎧⎨->⎩a M ABC △BC M MN ABC △8AB =120A ∠=︒MN =4:4AB y x m =-+:4m OC y x =P N 4x =(2,0)M MN NP +3(1)4(2)3x x +<--273(1)423133x x x x -≤-⎧⎪⎨+>-⎪⎩221218m n mn n-+()()22259m n m n +--229312344a a a a a a --÷⋅++++2a =-//AD BC //DE BF A E F C AF CE =DEBF ABC △（1）将先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到，画出平移后的.（2）直接写出的面积.（3）在轴上有一动点，直接写出当最大时，点的坐标为________.22.一二六中学的小聪同学帮妈妈开的了圣书店采购文具，计划从批发店购进甲、乙两种圆珠笔，己知甲种圆珠笔每盆进价比乙种圆珠笔多5元，若购进甲种圆珠笔20盒，乙种圆珠笔30盒，则费用为600元.（1）求甲、乙两种圆珠笔的每盒进价分别是多少元？（2）甲、乙两种圆珠笔每盆售价分别为25元和18元.妈妈计划购进这两种圆珠笔总费用不超过2200元且甲种圆珠笔不低于20盒，若购进的甲、乙两种圆珠笔共200盒，且全部售出，则甲种圆珠笔为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？23.一次函数的图象经过点、，且和一次函数的图象交于点，如图所示.（1）填空：不等式的解集是________.（2）若不等式的解集是，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，点是直线上一动点.且在点上方，当时，直接写出点的坐标.24.在平面直角坐标系中，为坐标原点，选取轴上一点，建立平行四边形，与轴交于点，已知.ABC △111A B C △111A B C △111A B C △y N 1C N CN -N y kx b =+()2,0A -()1,1B -2y x a =-+C 0kx b +<2kx b x a +>-+1x >C P 2y x a =-+C 15PAC ∠=︒P O x A ABCO CB y E ()C -图1图2图3（1）如图1，求的长；（2）如图2，为的角平分线，分别交轴、于点、，为平行四边形边上一动点，从点出发，以2个单位长度/秒的速度，沿运动，到达点停止运动.设的面积为，运动时间为，求与的函数关系式。
辽宁省沈阳市2019-2020学年高一下学期期中数学试卷A卷
辽宁省沈阳市2019-2020学年高一下学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若角α是第二象限的角，则是（）A . 第一象限或第二象限的角B . 第一象限或第三象限的角C . 第二象限或第四象限的角D . 第一象限或第四象限的角2. （2分）把77化成四进制数的末位数字为（）A . 4B . 3C . 2D . 13. （2分）(2017·厦门模拟) 某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三位同学选择同一款餐的概率为（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高三上·威海期末) 设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列四个命题为真命题的是（）①若m⊥α，n⊥m，则n∥α；②若α∥β，n⊥α，m∥β，则n⊥m；③若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β．A . ②③B . ③④C . ②④D . ①④5. （2分）为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为（）A . 9B . 8C . 10D . 76. （2分）运行如图所示的程序，若输出y的值为1，则可输入x的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 37. （2分）已知角2α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且2α∈[0，2π），则tanα等于（）A .B . -C .D . -8. （2分）某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如表：零件数x（个）102030加工时间y（分钟）213039现已求得上表数据的回归方程=x+中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（）A . 84分钟B . 94分钟C . 102分钟D . 112分钟9. （2分）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则的值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一下·三原期中) ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）设函数的图像关于直线对称，且它的最小正周期为，则（）A . f(x)的图像经过点B . f(x)在区间上是减函数C . f(x)的图像的一个对称中心是D . f(x)的最大值为A12. （2分）已知函数，，则y=f(x)与图像在区间内交点的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知多项式p(x)=3x5+9x4+x3+kx2+4x+11当x=3时的值为1616,则k=________.14. （1分） (2017高一下·苏州期末) 若数据x1 ， x2 ，…，x8的方差为3，则数据2x1 ， 2x2 ， ..，2x8的方差为________．15. （1分） (2016高二上·上海期中) 如图，根据如图的框图所打印出数列的第四项是________16. （1分）(2017·重庆模拟) 已知函数f（x）=Asin（x+ ），且f（π）= ，则A的值为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分）求值：．18. （5分）由程序框图写出程序．19. （15分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.分组频数频率[10,15)100.25[15,20)24n[20,25)m p[25,30]20.05合计M1（1）求出表中M，p及图中a的值；（2）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；（3）估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．20. （5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+θ）+1，（A＞0，0＜θ＜π），振幅为1，图象两个相邻最高点间距离为π，图象的一条对称轴方程为x=，若将f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位得到函数g （x）图象．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，若，试判断△ABC的形状．21. （15分） (2017高一下·广东期末) 已知圆C的方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）求m的取值范围；（2）若圆C与直线3x+4y﹣6=0交于M、N两点，且|MN|=2 ，求m的值；（3）设直线x﹣y﹣1=0与圆C交于A、B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．22. （15分） (2019高二下·安徽期中) 已知函数，x R其中a>0.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间(-3,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a=1时，设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t),记,求函数g(t)在区间[-4,-1]上的最小值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、。
2022-2023学年辽宁省沈阳市重点高中联合体高一年级下册学期期中检测数学试题【含答案】
2022-2023学年辽宁省沈阳市重点高中联合体高一下学期期中检测数学试题一、单选题1．下列与120︒角的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A ．()2π2π3k k +∈Z B ．()ππ3k k +∈Z C ．()2ππ3k k +∈Z D ．()π2π3k k +∈Z 【答案】A【分析】根据终边相同角的定义即可求解.【详解】120︒角用弧度制表示为2π3，B 、D 错误；终边相同应加上2πk ，故C 错误．故选：A ．2．已知向量()()1,2,,2a b m =-=，若,a b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围是（）A ．4m <B ．4m <且1m ≠-C ．4m >D ．4m ≥【答案】B【分析】根据向量的数量积和共线条件即可求解.【详解】若a ，b的夹角为钝角，则0a b ⋅< ，且a 与b不共线，即40m -<，且22m -≠，解得4m <且1m ≠-．故选：B ．3．已知角α的终边经过点(1,2)P -，则cos α为（）A ．2-B ．255C ．55-D ．55【答案】C【分析】利用三角函数的定义计算即可.【详解】由题意得()22125OP =-+=（O 为坐标原点），根据余弦函数的定义，得15cos 55α-==-．故选：C ．4．已知向量()()2,,4,4a m b ==-，且()b a b ⊥+ ，则实数m =（）A ．2B ．6C ．8D ．10【答案】D【分析】根据平面向量数量积的坐标表示计算即可.【详解】由()b a b ⊥+ ，可得()0b a b ⋅+= ，即284320a b b m ⋅+=-+= ，解得10m =．故选：D ．5．一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形中心角的弧度数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【分析】根据扇形面积和弧长公式计算即可得出结果.【详解】设扇形中心角的弧度数为α，半径为r ，由题意可知，扇形面积2122S r α==，弧长2l r α==，解得2,1r α==，即扇形中心角的弧度数为1.故选：D6．若平面向量a 与b的夹角为60°，()2,0a = ，1b = ，则2a b + 等于（）．A ．3B ．23C ．4D ．12【答案】B【分析】利用22a a = 转化即可【详解】解析：因为()2,0a = ，所以||2a = ，又因为向量a 与b的夹角为60°，||1=b ，所以1cos 602112a b a b ⋅=︒=⨯⨯= ，所以2224444423a b a a b b +=+⋅+=++=．故选：B7．已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3-=αβ，则()cos αβ+的值为（）A ．1372-B ．1372C ．5972-D ．5972【答案】C【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.【详解】()2221cos cos cos 2cos cos cos 4αβααββ+=++=，()2221sin sin sin 2sin sin sin 9αβααββ-=-+=，两式相加得()()62221113cos cos sin sin 2cos 493αβαβαβ-=+=+=++，()59cos 72αβ∴+=-.故选：C.8．设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (π)=（）A ．32B ．33C ．22D ．12【答案】D【分析】设()f x 的最小正周期为T ，则由图可得()4ππ94ππ29T T ⎧⎛⎫<-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪>---⎪⎩，结合2πT ω=，可得ω范围，后由42962ππππ，Z ωk k -+=-+∈，可确定ω，即可得答案.【详解】设()f x 的最小正周期为T ，由图可得()4ππ94ππ29T T ⎧⎛⎫<-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪>---⎪⎩，又2πT ω=，则189135ω<<.又由图可得4ππππZ 962k k ω-+=-+∈，，则()323Z 4k k ω=-∈，，故0k =，得32ω=.故π()3()os 6c 2f x x =+，则f (π)=312662ππcos π+sin ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：D二、多选题9．已知函数()πtan 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列叙述中，正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于点0π4,⎛⎫⎪⎝⎭-对称B ．函数()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()f x 的图象关于直线π2x =对称D ．函数()y f x =是偶函数【答案】AB【分析】根据正切函数的对称性判断AC ，利用正切函数的单调性判断B ，由偶函数的定义，利用特殊值判断D ．【详解】00πtan 4f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，A 正确；当ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ0,42x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因此此时()f x 单调递增，B 正确；函数tan y x =的图象不是轴对称图形，函数()f x 的图象是由tan y x =的图象向左平移π4个单位得到的，所以其图象也不是轴对称图形，C 错误；因为04πf ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，但π4f ⎛⎫⎪⎝⎭不存在，D 错误，故选：AB ．10．下列计算或化简正确的是（）A ．2cos4952︒=-B ．1tan10531tan1053+︒=-︒C ．若1sin cos 5θθ=，则cos tan 5sin θθθ+=D ．若α为第二象限角，则22cos sin 01sin 1cos αααα+=--【答案】ACD【分析】根据诱导公式和两角和的正切公式，同角的三角函数基本关系式即可求解.【详解】()2cos495cos 495360cos1352︒=︒-︒=︒=-，A 正确；由tan451︒=，可得()1tan105tan45tan1053tan 45105tan1501tan1051tan45tan1053+︒︒+︒==︒+︒=︒=--︒-︒︒，B 错误；22cos sin cos sin cos tan 5sin cos sin sin cos θθθθθθθθθθθ++=+==，C 正确；若α为第二象限角,所以cos 0α<，sin 0α>，2222cos sin cos sin cos sin 0cos sin 1sin 1cos cos sin αααααααααααα+=+=+=---，D 正确；故选：ACD ．11．已知正六边形ABCDEF 的边长为1，P 为正六边形边上的动点，则AD BP ⋅的值可能为（）A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】BCD【分析】根据向量的数量积a b ⋅ 的几何意义：数量积a b ⋅ 等于a 的长度a r 与b 在a方向上的投影数量cos b θ 的乘积，先求出向量BP 在AD 方向上的投影的数量的最值，从而得出AD BP ⋅的范围，对各选项判断即可．【详解】由题意知，2AD =，当P 点与D 重合时，向量BP 在AD 方向上的投影的数量最大，为32，当P 点与A 重合时，向量BP 在AD 方向上的投影的数量最小，为12-，所以AD BP ⋅ 的最大值为3232⨯=，最小值1212-⨯=-．可知[]21,3-∉-，故A 不满足，BCD 都满足．故选：BCD ．12．一半径为4.8m 的水轮示意图如图所示，水轮圆心O 距离水面2.4m ，已知水轮每60s 逆时针转动一圈，若当水轮上点P 从水中浮出时（图中点0P ）开始计时，则（）A ．点P 距离水面的高度()m h 与()s t 之间的函数关系式为ππ4.8sin 2.4306h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．点P 第一次到达最高点需要10sC ．在水轮转动的一圈内，有20s 的时间，点P 距离水面的高度不低于4.8mD ．当水轮转动50s 时，点P 在水面下方，距离水面1.2m 【答案】AC【分析】对于选项A ，先由题意结合图象可判断函数关系为三角函数模型，代入相关数据即可；对于B 项，由三角函数最值判定；对于C 项，利用三角函数的单调性解不等式即可；对于D 项，带入函数关系式求函数值即可.【详解】对于A ，由题意可判定点P 距离水面的高度()m h 与()s t 的函数关系为三角函数模型，以水轮中心为原点，以平行水平面的直线x 轴建立平面直角坐标系，当0=t 时，()02.43, 2.4P -，以OP 为终边的角为π6-，根据水轮每60s 逆时针转动一圈可知水轮的角速度为π30，由题意可得：ππ4.8sin 2.4306h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，A 正确；对于B ，令ππ02π36t -=，解得20t =，点P 第一次到达最高点需要20s ，B 错误；对于C ，令()ππ4.8sin 2.4 4.8060306t t ⎛⎫-+≥≤≤ ⎪⎝⎭，解得1030t ≤≤，即在水轮转动的一圈内，有20s的时间，点P 距离水面的高度不低于4.8m ，C 正确；对于D ，当50t =时，ππ4.8sin 50 2.4 2.4306h ⎛⎫=⨯-+=- ⎪⎝⎭，即点P 在水面下方，距离水面2.4m ，D错误，故选：AC ．三、填空题13．已知单位向量21,e e的夹角为150︒，则12e e ⋅= _________．【答案】32-【分析】利用平面向量的数量积计算即可.【详解】121233cos1501122e e e e ⎛⎫⋅=︒=⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：32-．14．已知函数：①tan y x =，②sin y x =，③cos y x =，则其中最小正周期为π的函数的序号是______．【答案】①③【分析】根据正余弦函数以及正切函数的性质或结合周期函数定义判断选项中函数的周期性即可得答案.【详解】对于①tan y x =的最小正周期为π；对于②设()sin f x x =，因为不存在非零实数T ，使得()sin ()f x T x T f x +=+=，故sin y x =不是周期函数；对于③cos y x =，因为该函数图象可由cos y x =的图象保留x 轴上方部分不变，将x 轴下方部分翻折到x 轴上方得到，故其最小正周期为12ππ2⨯=，因此最小正周期为π的函数的序号是①③，故答案为：①③15．已知夹角为60的非零向量,a b满足2a b = ，()2a tb b -⊥ ，则t =__________.【答案】2【分析】由()2a tb b -⊥ 得()20a tb b -⋅= ，化简代入结合数量积的定义即可得出答案.【详解】因为,a b 的夹角为60，且2a b = ，而()2a tb b -⊥ ，则()20a tb b -⋅=，所以()22222cos600a tb b a b tb a b t b -⋅=⋅-=⋅︒-=，则2212202b t b ⨯⋅⋅-= ，解得：2t =.故答案为：2.16．如图，OPQ 是半径为2，POQ α∠=的扇形，C 是弧PQ 上的点，ABCD 是扇形的内接矩形，设COP θ∠=，若3cos 5α=，四边形ABCD 面积S 取得最大值，则cos θ的值为_______.【答案】255/255【分析】先把矩形的各个边长用角θ表示出来，进而表示出矩形的面积；结合辅助角公式与三角函数的基本关系式即可求得矩形面积最大时角θ的值.【详解】因为在直角OBC △中，COP θ∠=，所以cos cos ,2in 2s sin OB OC BC OC θθθθ====，因为在直角OAD △中，tan ,AD OA α=且3cos 5α=，π02α<<，所以24sin 1cos 5αα=-=，sin 4tan cos 3ααα==，所以33332sin sin 4442tan AD O B A AD C θαθ===⨯==，所以()32cos sin 2sin 2ABCD S S AB BC OB OA BC θθθ⎛⎫==⋅=-⋅=-⨯ ⎪⎝⎭23332sin 23sin 2sin 2(1cos 2)2sin 2cos 2222θθθθθθ=-=--=+-53sin(2)22θϕ=+-，其中43cos ,sin 55j j ==，当sin(2)1θϕ+=时，S 取得最大值，此时43sin 2cos 2155θθ+=，则222283sin cos (cos sin )cos sin 55θθθθθθ+-=+，即2(2sin cos )0θθ-=，即2sin cos θθ=，因为22πsin cos 1,02θθθ+=<<，所以25cos 5θ=.故答案为：255.【点睛】关键点睛：本题的突破口是利用直角三角形中三角函数定义求得四边形ABCD 各边关于θ的表达式，从而利用辅助角公式得解.四、解答题17．（1）计算：cos157sin 97sin 60cos97︒+︒︒︒；（2）已知tan 1α=-，求2cos 2sin cos 1ααα--的值．【答案】（1）12；（2）12【分析】（1）()cos157cos 9760︒=︒+︒，由和角公式化简求值即可；（2）齐次化，化弦为切，代入求值.【详解】（1）cos157sin 97sin 60cos97︒+︒︒︒()cos 9760sin 97sin 60cos97︒+︒+︒︒=︒cos 97cos 60sin 97sin 60sin 97sin 60cos 97︒︒-︒︒+︒︒=︒cos 60=︒12=．（2）2cos 2sin cos 1ααα--222cos 2sin cos 1cos sin ααααα-=-+212tan 11tan αα-=-+()()2121111-⨯-=-+-12=．18．已知向量a 与b的夹角3π4θ=，且3a = ，22b = .(1)求()()2a b a b +⋅-；(2)求a b + ；(3)a与a b +的夹角的余弦值.【答案】(1)1-(2)5(3)55【分析】（1）由向量数量积定义可求得a b ⋅，根据向量数量积运算律可求得结果；（2）结合向量数量积运算律可求得2a b + ，由此可得a b + ；（3）利用向量夹角公式直接求解即可.【详解】（1）由题意得：2cos 32262a b a b θ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，()()222296161a b a b a a b b ∴+⋅-=-⋅-=+-=-.（2）222291285a b a a b b +=+⋅+=-+= ，5a b ∴+= .（3）()2963a a b a a b ⋅+=+⋅=-=，5a b += ，()35cos ,535a a b a a b a a b⋅+∴<+>===⨯⋅+.19．已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r ．(1)若150,10r α=︒=，求扇形的弧长．(2)若扇形的周长为24，当α为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．【答案】(1)25π3(2)2,36S α==【分析】（1）由扇形弧长公式计算；（2）由扇形面积公式及二次函数求最值即可.【详解】（1）设扇形的弧长为l ．因为150α=︒，即5π,106r α==，所以5π2510π63l r α==⨯=．（2）由题设条件，知224l r +=，则242(012)l r r =-<<，所以扇形的面积()()22112421263622S lr r r r r r ==-=-+=--+．当6r =时，S 有最大值36，此时24212,2ll r rα=-===，所以当2α=时，扇形的面积最大，最大面积是36．20．已知函数()()()5sin cos π2co πs tan π2f ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭.(1)化简()f α；(2)求函数()()2222πg x fx f x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的值域.【答案】(1)()cos f αα=(2)333,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）直接利用诱导公式化简即可；（2）先将()g x 化简，然后利用换元法将()g x 转化为二次函数，然后利用二次函数的性质求解值域.【详解】（1）()()()()5sin cos πsin sin sin sin 2cos sin sin tan si c πn cos tan πos 2f ααααααααααααααα⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭====⎛⎫⋅-+-+ ⎪⎝⎭；（2）由（1）可得()()2222cos cos 221sin sin 22sin sin 42πg x x x x x x x ⎛⎫=+-++=-++=-++ ⎪⎝⎭，令sin t x =，02πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，[]0,1t ∴∈，()()224h t g x t t ∴==-++，[]0,1t ∈，对称轴为14t =，当14t =时，()2max 11133244448h t h ⎛⎫⎛⎫==-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1t =时，()()min 12143h t h ==-++=，故函数()g x 的值域为333,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21．如图，在直角三角形ABC 中，90,22A CB CA ∠=︒==．点,D E 分别是线段,AB BC 上的点，满足,(0,1),A B D A C B BE λλλ==∈uur uuu r uuu r uuu r ．(1)求AE BC ⋅ 的取值范围；(2)是否存在实数λ，使得AE CD ⊥ 若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(3,1)-(2)存在，23λ=【分析】（1）由题意得()()AE BC AB BE BC AB BC BC λ⋅=+⋅=+⋅ 34λ=-+，结合(0,1)λ∈即可得解；（2）由()()()()AE CD AB BE AD AC AB BC AB AC λλ⋅=+⋅-=+⋅- 2230λλ=-=，求解即可.【详解】（1）在直角三角形ABC 中，90,22A CB CA ∠=︒==．∴30,3B BA ∠=︒=，32cos303BA BC ⋅=⨯⨯︒= ，2()()AE BC AB BE BC AB BC BC AB BC BC λλ⋅=+⋅=+⋅=⋅+ 234BA BC BC λλ=-⋅+=-+ ，∵(0,1)λ∈，∴(3,1)AE BC ⋅∈- ．（2）()()()()AE CD AB BE AD AC AB BC AB AC λλ⋅=+⋅-=+⋅- 22AB AB AC BC AB BC ACλλλ=-⋅+⋅-⋅ 23023cos15021cos 60λλλ=-+⨯⨯⨯︒-⨯⨯⨯︒2230323λλλλλ=---=-令2230λλ-=，得23λ=或0λ=（舍）.∴存在实数23λ=，使得AE CD ⊥ ．22．已知函数()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 图象上所有的点向左平移4π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若对于任意的[]12,,x x m m π∈-，当12x x >时，()()()()1212f x f x g x g x -<-恒成立，求实数m 的最大值.【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)1724π【分析】（1）根据图像得出周期，即可根据三角函数周期计算得出ω，将点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入新解析式，得5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据已知得出范围，结合三角函数的零点得出ϕ，将点()0,1代入新解析式，即可得出A ，即可得出答案；（2）设()()()h x f x g x =-，根据已知结合诱导公式与辅助角公式化简，结合已知与函数单调性的定义得出()h x 在区间[],m m π-上单调递减，由三角函数的单调区间解出()h x 的单调递减区间，即可根据范围结合集合包含关系列出不等式组，即可解出答案.【详解】（1）由图像可知，周期11521212T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，22Tπω∴==，因为点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数图像上，所以5sin 2012A πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又02πϕ<<，554663πππϕ∴<+<，则56πϕπ+=，即6πϕ=，因为点()0,1在函数图像上，所以sin 16A π=，即2A =，故函数()f x 的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）由题意可得()2sin 22cos 2466g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，设()()()2sin 22cos 266h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin 222sin 2,6412x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[]12,,x x m m π∈-，当12x x >时，()()()()1212f x f x g x g x -<-恒成立，即()()()()1122f x g x f x g x -<-恒成立，即()()12h x h x <恒成立，()h x ∴在区间[],m m π-上单调递减，令32222122k x k πππππ+≤-≤+，解得719,2424k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因为m m π-<，所以2m π>，则2m ππ-<，故7241924m m πππ⎧-≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得17224m ππ<≤，所以m 最大值为1724π.。
2021-2022学年辽宁省沈阳市高一年级下册学期4月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年辽宁省沈阳市高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．（ ）()o sin 1020=-A ．BC ．D ．1212-【答案】B【分析】利用诱导公式即可求解.【详解】.()()o sin 1020sin 603603sin 60-=︒-︒⨯=︒=故选：B.2．已知向量的夹角为，且，则（ ）,a b 23π||3,||4a b ==2ab +=A ．49B ．7C D【答案】B【分析】根据向量数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得；a b ⋅ a +【详解】解：因为向量的夹角为，且，所以,a b 23π||3,||4a b ==，所以21346o32c s a ba b π⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⋅=⎭a+= ；7==故选：B3．函数的图象的对称中心是tan(2)4y x π=+A ．B ．(,0)4k k Zππ-∈(,0)24k k Z ππ-∈C ．D ．(,0)28k k Z ππ-∈(,0)48k k Z ππ-∈【答案】D【详解】试题分析：令2x+=，k ∈z ，求得x=-，k ∈z ．4π2k π4πk 8π故函数y ＝tan(2x+)的图象的对称中心是（-，0），k ∈z ，4π4πk 8π故选D ．【解析】正切函数的奇偶性与对称性．4．当时，若，则的值为（ ）()0,πθ∈2π3cos 35θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．45-4545±35【答案】B【分析】利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求解即可.【详解】因为，所以，()0,πθ∈()π,0θ-∈-所以，2ππ2π,333θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭又因为，所以，2π3cos 035θ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭2ππ2π,323θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭所以，2π4sin 35θ⎛⎫-==⎪⎝⎭又因为，π2ππ()33θθ+=--所以.π2π2π4sin sin πsin 3335θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选:B.5．的值为（ ）2π4πsin sin sin 33x x x ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．B ．C ．D ．01212-2【答案】A【分析】直接利用诱导公式和两角和的正弦展开公式求解即可.【详解】原式2π2π4π4πsin sin coscos sin sin cos cos sin 3333x x x x x =++++ππππsin sin cos πcos sin πsin cos πcos sin π3333x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππsin sin cos cos sin sin coscos sin3333xx x x x =-+--11sin sin sin 0.22x x x x x =--=故选:A.6．电影《长津湖》中，炮兵雷公牺牲的一幕看哭全网，他的原型是济南英雄孔庆三．因为前沿观察所距敌方阵地较远，需要派出侦察兵利用观测仪器标定目标，再经过测量和计算指挥火炮实施射击．为了提高测量和计算的精度，军事上通常使用密位制来度量角度，将一个圆周分为6000等份，每一等份的弧所对的圆心角叫做1密位．已知我方迫击炮连在占领阵地后，测得敌人两地堡之间的距离是54米，两地堡到我方迫击炮阵地的距离均是1800米，则我炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后，为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡，需要立即将迫击炮转动的角度（ ）．α=注：（ⅰ）当扇形的圆心角小于200密位时，扇形的弦长和弧长近似相等；（ⅱ）取等于3进行计算．πA ．30密位B ．60密位C ．90密位D ．180密位【答案】A【分析】求出1密位对应的弧度，进而求出转过的密位.【详解】有题意得：1密位=，因为圆心角小于200密位，扇形的弦长和弧长近似相等，2π160001000=所以，因为，所以迫击炮转动的角度为30密位.5431800100α==31301001000÷=故选：A7．已知为所在平面内一点，且满足，则点（ ）O ABC 22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+ O A ．在边的高所在的直线上B ．在平分线所在的直线上AB C ∠C ．在边的中线所在直线上D ．是的外心AB ABC 【答案】A【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算律即可得，进而可判断.BA OC ⊥ 【详解】由得，所以22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+ 220BA OA BC AB OB AC ⋅+-⋅-= ,()()()0BA OA BC AC BC AC BA OB BA OA OB BC AC ⋅+⋅-+⋅++⋅++⇒==,所以，所以在边的高所在的直线上，20BA OC ⋅= BA OC ⊥O AB 故选：A8．设，，若函数恰好有三个不同的零点，分别为、()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭90,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()y f x a =-1x 、，则的值为（ ）2x ()3123x x x x <<1232x x x ++A ．B ．C ．D ．π34π32π74π【答案】C【分析】根据三角函数的对称性，先求出函数的对称轴，结合函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可．【详解】由，得对称轴，()242x k k Z πππ+=+∈()28k x k ππ=+∈Z ，由，解得，90,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 90288k πππ≤+≤124k -≤≤当时，对称轴，时，对称轴.0k =8x π=1k =58x π=由得，()0f x a -=()f x a=若函数恰好有三个不同的零点，等价于函数与的图象有三个交点，()y f x a=-()y f x =y a =作出函数的图象如图，得，()f x ()0f 1a ≤<由图象可知，点、关于直线对称，则，()()11,x f x ()()22,x f x 8x π=124x x π+=点、关于直线对称，则，()()22,x f x ()()33,x f x 58x π=2354x x π+=因此，.1231223532442x x x x x x x πππ++=+++=+=故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数的零点之和问题的求解，解题的关键就是分析出正弦型函数图象的对称轴，结合对称性求解.二、多选题9．若满足，，则可以是（ ）,αβ1sin 2α=-1cos()2αβ-=βA ．B ．C ．D ．6π2π56ππ【答案】AC【分析】利用特殊角的三角函数值求解.【详解】因为，，1sin 2α=-所以或，112,6k k Zπαπ=-+∈2252,6k k Z παπ=-+∈因为，1cos()2αβ-=所以或，332,3k k Zπαβπ-=+∈442,3k k Zπαβπ-=-+∈所以()131322,,2k k k k Zπβπ=-+-∈或，()2323722,,6k k k k Z πβπ=-+-∈或，()141422,,6k k k k Zπβπ=+-∈因为范围不定，,αβ当时，，当时，=，14k k =6πβ=231k k -=β56π故选：AC10．已知、、均为非零向量，下列命题错误的是（ ）a b cA ．，B ．可能成立R λ∃∈()a b a bλ+=⋅ ()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ C ．若，则D ．若，则或a b b c ⋅=⋅a c= 1a b ⋅= 1a = 1b = 【答案】ACD【分析】利用平面向量积的定义可判断A 选项；利用特例法可判断BCD 选项.【详解】仍是向量，不是向量，A 错；()+a bλ a b ⋅ 不妨取，，，则，()1,1a =()2,2b =()3,3c =()()()43,312,12a b c ⋅⋅==，此时，B 对；()()1212,12a b c a ⋅⋅==()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ 若，，，则，但，C 错；()1,0b = ()3,2a = ()3,3c = 3a b b c ⋅=⋅= a c ≠若，，则，但，，D 错.()2,1a = ()1,1b =- 1a b ⋅= 1a > 1b > 故选：ACD.11．在平面四边形ABCD 中，，，则（ ）2221AB BC CD DA DC ===⋅= 12⋅=BA BC A ． B ．21AC = CA CD CA CD+=-C ．D ．AD = BD CD ⋅=【答案】ABD【分析】根据所给的条件，判断出四边形ABCD 内部的几何关系即可.【详解】由已知可得，1AB BC CD ===又由，可得，12⋅=BA BC 3B π=所以△ABC 为等边三角形，则 ，故A 正确；21AC = 由 ，得，2CD DA DC =⋅ ()20DC DA DC DC DC DA DC AC -⋅=⋅-=⋅=所以，则，故B 正确；AC CD ⊥CA CD CA CD+=- 根据以上分析作图如下：由于BC 与AD 不平行，故C 错误；建立如上图所示的平面直角坐标系，则，，，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,02C⎛⎫ ⎪⎝⎭12D ⎫⎪⎪⎭，，12BD ⎫=⎪⎪⎭ 12CD ⎫=⎪⎪⎭所以D 正确；BD CD ⋅ 故选：ABD.12．设函数的最小正周期为，且过点，则()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++>≤ ⎪⎝⎭π下列正确的为（ ）A ．4πϕ=-B ．在单调递减()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭C ．的周期为(||)f x πD ．把函数的图像向左平移个长度单位得到的函数的解析式为()f x 2π()g x ()2g x x =【答案】BC【分析】把函数式化为一个角的一个三角函数形式，根据三角函数的性质求出参数值，然后判断各选项．【详解】由已知，())))4f x x x x πωϕωϕωϕ⎤=++=++⎥⎦所以，，2T ππω==2ω=又，，又，所以，A错误；()4f x πϕ=+=242k ππϕπ+=+Z k ∈2πϕ≤4πϕ=，时，，由余弦函数性质得B 正确；())22f x x xπ=+=0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()20,x π∈是偶函数，，周期为，C 正确；()f x (||)()f x f x =π把函数的图像向左平移个长度单位得到的函数解析式这()f x 2π，D错．()2())22g x x x xππ+=+=故选：BC ．三、填空题13__________.=【答案】2【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可.【详解】因为，()()2220cos 20sin 20cos 20sin 20cos s 0i 2n -=-+，()cos155cos 25cos 4520=-=--，20sin 20=- cos 20sin 20=-==()()cos 20sin 2021cos 20sin 202+==+故答案为：2.14．已知函数在区间上的最小值为-1，则__________．sin (0)y x x ωωω=+>[0,6πω=【答案】5【详解】整理函数的解析式有：，2sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,,,63363x x πππωππω⎡⎤⎡⎤∈∴+∈+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 函数的最小值为，则：.1-7,5636ωπππω+=∴=15．已知，又在方向上的投影向量为，则的值为__________.||4,||3,6a b a b ==⋅= a b c ()c a b⋅+ 【答案】10【分析】由已知先求出在方向上的投影向量的，再计算的值.a b c ()c a b ⋅+ 【详解】由已知，可得，||4,||3,||||cos 6a b a b a b θ==⋅=⋅⋅= 1cos 2θ=所以在方向上的投影向量，a b 2cos 3b c a bb θ=⋅⋅=所以.()2222263103333c a b c a c b b a b b ⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅=⨯+⨯= 故答案为：1016．如图，在中，已知，点分别在边上，且ABC ∆4,6,60AB AC BAC ==∠=︒,D E ,ABAC ，点为中点，则的值为_________________.2,3AB AD AC AE == F DE BF DE【答案】4【详解】试题分析：1111()()()()2223BF DE BD DF DA AE AB DE AB AC ⋅=+⋅+=-+⋅-+111113111()()()()246234623AB AB AC AB AC AB AC AB AC =--+⋅-+=-+⋅-+223113111163646624 4.818381832AB AC AB AC =+-⋅=⨯+⨯-⨯⨯⨯=+-= 【解析】向量数量积四、解答题17．在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角的终边与单位圆交于点α，角的终边所在射线经过点.34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭β(,)(0)Q m m m -<（1）求的值；sin tan αβ⋅（2）求.223sin sin 22sin()sin 2sin cos ππαβπαβββ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++【答案】（1）；（2）.4574-【分析】（1）根据三角函数的定义求和的值，即可求解.sin αtan β（2）利用诱导公式化简，再化弦为切即可求解.【详解】（1）点到原点O 的距离，P 11r =由三角函数定义知4sin 5α=-由角的终边所在射线经过点，由知，β(,)m m -0m <|||OQ m =由三角函数定义知，sinβ==cos β==则tan 1β=-所以.4sin tan 5αβ⋅=（2）22223sin sin cos cos 22sin()sin 2sin cos sin sin 2sin cos ππαβαβπαβββαβββ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=+++-+21tan tan 2tan αββ=-++由三角函数定义知，，所以且 4sin 5α=-3cos 5α=-4tan 3α=tan 1β=-所以原式.3174124=-+=--18．已知向量．(1,1),(3,1)a b ==-(1)若有，求值；(2)()a b a b λ-⊥+2()a b λ+ (2)若，向量与的夹角为钝角，求实数m 的取值范围．(2,)c m = 2a b - c 【答案】(1)136(2)6610,,553⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】（1）根据向量的坐标运算可得，，再由2(5,3)a b -=- (3,1)a b λλλ+=+-代入坐标运算求出，再求即可；(2)()0a b a b λ-⋅+= λ2()a b λ+（2）由向量与的夹角为钝角，首先满足，再排除与的夹角为平角的2a b - c (2)0a b c -⋅< 2a b - c 情况即可得解.【详解】（1）由题可得：，2(1,1)2(3,1)(5,3)a b -=--=-，(1,1)(3,1)(3,1)a b λλλλ+=+-=+-因为，所以有，(2)()a b a b λ-⊥+(2)()0a b a b λ-⋅+= 所以，解得，515330λλ--+-=9λ=-(1,1)(3,1)=(3,1)(6,10)a b λλλλ+=+-+-=--故的值为136．2()a b λ+ （2）2(1,1)2(3,1)(5,3)a b -=--=-向量与的夹角为钝角，2a b -c 首先满足，得：，所以．(2)0a b c -⋅< 3100m -<103<m 其次当与反向时，，所以．(2)a b - c 650m +=65m =-所以且，即m 的取值范围是．103<m 65m ≠-6610,,553⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 19．如图：四边形ABCD 是边长为4的菱形，∠ABC =，E 为AO 的中点，3π（）．CF CD λ=01λ≤≤(1)求；BE BD ⋅ (2)求当取最小值时，的值．EF λ【答案】(1)24(2)38λ=【分析】（1）由平行四边形法则结合数量积公式得出；BE BD ⋅ （2）当时，取到最小值，再由直角三角形的边角关系得出，进而得出的值．EF CD ⊥EF CF λ【详解】（1），BD BA BC =+ 11312244BE BA BD BA BC ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 223144BE BD BA BA BC BC ⋅=+⋅+∴ 1244cos 4243π=+⨯⨯+=（2）当时，取到最小值，此时EF CD ⊥EF 33cos 602CF ⋅=︒= ∴33248λ==20．已知，，．()cos ,5sin m x x = ()sin ,cos nx x x =- ()f x m n =⋅+ (1)将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求的解析式及最小正周期；()f x π3()g x ()g x (2)当时，求函数的单调递增区间、最值及取得最值时的值．,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x ()g x x 【答案】(1)，最小正周期为()π6sin 23g x x =+⎛⎫ ⎪⎝⎭π(2)函数的单调增区间为；的最大值为，此时；的最小值为，()g x 5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()g x 6π12x =()g x 6-此时512x π=-【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换公式可得函数，再进行伸()f x 缩平移可得及其图象性质；()g x （2）利用整体代入法可得单调区间，进而得最值.【详解】（1）由已知得，()()cos sin 5sin cos x x x x x f x =⋅-++2cos sin 5sin cos x x x x x =⋅-+⋅+26cos sin x x x =⋅-+1cos 23sin 22x x +=-+3sin 22x x=-．6sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，()f x 3π()g x 所以．()6sin 26sin 2333g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=+-=+⎭⎝⎭所以的最小正周期．()g x 22T ππ==（2）由（1）得，当时，．()6sin 23g x x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦242,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦令，解得，2232x πππ-≤+≤51212x ππ-≤≤所以函数的单调增区间为，()g x 5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以的最大值为，此时，；()g x 6232x ππ+=12x π=的最小值为，此时，．()g x 6-232x ππ+=-512x π=-21．已知函数的部分图像如图所示.()()cos (0,0,)2f x A x a πωϕωϕ=+>><(1)求的解析式；()f x(2)设为锐角，的值.,αβ()cos sin ααβ=+=2f β⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）.()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭713-【详解】试题分析：（1）根据函数图象求出，和的值即可；（2）利用两角和差的余弦公式A ωϕ和正弦公式进行化简求解．试题解析：(1)由图可得,ππ3πω2f cos 0,ω88844A πππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+⇒==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.()1A cos ,244A f x x ππ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭(2)为钝角，()cos sin αααβαβ==>+=∴+，()()125cos sin sin cos 1313αββαβαβ+==+-===.7cos sin 2413f βπβββ⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点睛：本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析()sin y A x ωφ=+()sin y A x ωφ=+式，理解解析式中的意义是正确解题的关键，属于中档题．为振幅，有其控制最大、最小,,A ωφA 值，控制周期，即，通常通过图象我们可得和,称为初象，通常解出，之后，ω2T πω=2T 4T φA ω通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.22．已知函数()2sin 23f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（1）求函数的单调区间()f x （2）将函数的图象先向左平移个单位，再把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到()f x 6π函数的图象.若对任意的，不等式成立，求实数()h x 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()1122p h x h x h x π⎡⎤⎛⎫⋅-⋅+-<⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦的取值范围.p【答案】（1）增区间；（2）.5,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z (,6p ∈-∞+【分析】（1）将函数转化为，然后利用正弦函数的性质求解；()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）根据平移变换和伸缩变换得到，然后将不等式()sin h x x =恒成立，转化为，成立()()1122p h x h x h x π⎡⎤⎛⎫⋅-⋅+-<⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦()()sin 1cos 1sin 2p x x x ⋅--<0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求解.【详解】（1），()2sin 23fx x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1cos 2sin 2cos sin cos 2332xx x ππ+=+-，1sin 2222x x x =，1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭由于的单调增区间为，，sin y θ=2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 令，，22,2322x k k πππππ⎡⎤-∈-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 得：，，5,1212x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z ∴单调增区间为，.()f x 5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z （2），()sin 23πfx x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移个单位得，6πsin 2sin 263x xππ⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再将各点横坐标伸长为原来的两倍得：，1sin 2sin 2x x ⋅=故，()sin h x x =不等式，()()1122p h x h x h x π⎡⎤⎛⎫⋅-⋅+-<⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦即，()sin 1sin 1sin 22p x x x π⎡⎤⎛⎫⋅-+-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，成立，()()sin 1cos 1sin 2p x x x ⋅--<0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭此时，，，()sin 0,1x ∈()cos 0,1x ∈(]sin 20,1x ∈∴，，()()sin 1cos 10x x -->sin 20x >当时，不等式恒成立，0p ≤当时，，0p >()()max sin 1cos 11sin 2x x p x --⎡⎤>⎢⎣⎦令，()()()sin 1cos 1sin 2x x F x x --=sin cos 1cos sin 11cos sin 2sin cos 22sin cos xx x x x xx xx x +----==+设，则，cos sin 4t x x x π⎛⎫=+=+∈⎪⎝⎭22sin cos 1x x t =-则，211113(0,21212t y t t -=+=-∈-+所以，即，132p >06p <<+综上，.(,6p ∈-∞+。
辽宁省沈阳市郊联体2019-2020学年高一下学期期末考试+数学含答案
2019－2020学年度下学期沈阳市郊联体期末考试高一试题数学考试时间：120分钟试卷总分：150分注意事项：本试卷由第I 卷和第II 卷组成。
第I 卷为选择题部分，一律用2B 铅笔按题号依次填涂在答题卡上：第II 卷为非选择题，按要求答在答题卡相应位置上。
第I 卷(选择题60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a 的值是A.4B.－3C.433D.－4332.已知向量a ＝(x －5，3)，b ＝(2，x)，且a ⊥b，则由x 的值构成的集合是A.{2，3}B.{－1，6}C.{2}D.{6}3.如图，正方形O'A'C'B'的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则它的原图形面积2B.24C.2(1＋3)D.64.已知0<α<π，2sin2α＝sinα，则sin(α－2π)＝A.－154B.－14C.154 D.145.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cosA ＝12，a 3，则a b c sinA sinB sinC++++＝A.12B.323D.26.在200米高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为A.2003B.100mC.4003D.90m7.在直角三角形ABC 中，角C 为直角，且AC ＝BC ＝2，点P 是斜边上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=A.0B.4C.94D.－948.若将函数f(x)＝2sin(x ＋6π)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向下平移一个单位得到的函数g(x)的图象，函数g(x)A.图象关于点(－12π，0)对称 B.最小正周期是2πC.在(0，6π)上递增 D.在(0，6π)上最大值是19.已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出m ⊥l 的所有序号是①m ⊥α，l ⊥β，α⊥β；②m ⊥α，l //β，α//β；③m ⊂α，l ⊥β，α//β；④m ⊂α，l //β，α⊥βA.①②③B.①②C.②③④D.③④10.△ABC 中，若sin(A ＋B －C)＝sin(A －B ＋C)，则△ABC 必是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形11.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋3π)(ω>0)，若f(x)在[0，23π]上恰有两个零点，则ω的取值范围是A.(1，52) B.[1，52) C.(52，4) D.[52，4)12.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1，点P 是线段BC 1上的动点，则CP ＋PA 1的最小值为＋1 D.6第II 卷(非选择题90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2024届辽宁省沈阳市第120中学高三上学期第四次质量监测数学试题及答案
沈阳市第120中学2023－2024学年度上学期高三年级第四次质量监测数学试题满分：150分 时间：120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.设集合{}28150A x x x =-+=，集合{}10B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 取值集合的真子集的个数为（）A.2B.3C.7D.82.已知复数z 满足(12i)32i z +=-，则z 的虚部为（ ）A85B. 85-C.15D. 15-3.若22nx ⎫-⎪⎭的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（ ）A.90B.-90C.180D.-1804.向量1a b ==，c = 0a b c ++=，则cos ,a c b c --= （）A.1314B. C.45D. 45-5.在《九章算术⋅商功》中将正四面形棱台体(棱台的上、下底面均为正方形)称为方亭．在方亭1111ABCD A B C D -中，1122AB A B ==，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为则该方亭的体积为（）A.72 B.76C.D.6.在数列{}n a 中，11a =，且函数()()51sin 233n n f x x a x a x +=+-++导函数有唯一零点，则9a 的值为（）．A.1021B.1022C.1023D.10247.已知点P 是圆22:(2)(2)2M x y -+-=上的动点，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||AB =，则||PA PB +的最大值是（）A.B.C.D.2+.的8.已知三棱锥-P ABC 的底面ABC 为等腰直角三角形，其顶点P 到底面ABC 的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O 的半径为5，则满足上述条件的顶点P 的轨迹长度为（ ）A.6π B.30πC.(9π+D.(6π+二、多选题（本题共4小题，共20分，每题选项全对给5分，少选或漏选给2分，错选、多选和不选给0分）9.下列命题正确的是（）A.在回归分析中，相关指数r 越小，说明回归效果越好B.已知2( 3.841)0.05P χ≥=，若根据2×2列联表得到2χ的观测值为4.1，则有95%的把握认为两个分类变量有关C.已知由一组样本数据(),i i x y （1i =，2，⋅⋅⋅，n ）得到的回归直线方程为 420y x =+，且1110ni i x n ==∑，则这组样本数据中一定有()10,60D.若随机变量()~,4X N μ，则不论μ取何值，()46P X μμ-<<+为定值10.若函数()()()sin cos 2f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++< ⎪⎝⎭的图象关于直线6x π=对称，则（ ）A.3πϕ=B.点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭是曲线()y f x =的一个对称中心C.直线3x π=-也是一条对称轴D.函数()f x 在区间,312ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调11.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且21n n S S n +=-+，则下列选项中正确的是（ ）.A.121n n a a n ++=-（2n ≥）B.22n n a a +-=C.若10a =，则1004950S =D.若数列{}n a 单调递增，则1a 的取值范围是11,43⎛⎫-⎪⎝⎭12.若正实数a b ，满足a b >，且ln ln 0a b ⋅>，则下列不等式一定成立的是（ ）A.log 0a b > B.11a b b a->-C.122ab a b++< D.11b a a b --<三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若直线1l ：90x ay ++=与2l ：()2330a x y a -++=平行，则1l ，2l 间的距离是______．14.已知锐角α，β满足sin 21tan cos 211tan αβαβ-=-+，则()cos αβ+=__________.15.第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有__________.（用数字作答）16.在锐角ABC 中，1cos 4A =，若点P 为ABC 的外心，且AP xAB y AC =+ ，则x y +的最大值为___________.四、解答题（本题共6小题，共70分）17.ABC 的内角A ，B ，C a ，b ，c ，已知cos cos 2a b b B A c -=+．（1）求tan A ；（2）若a =，ABC面积为ABC 的周长．18.已知点()()4,4,0,3A B ，圆C 的半径为1.（1）若圆C 的圆心坐标为()3,2C ，过点A 作圆C 的切线，求此切线的方程；（2）若圆C 的圆心C 在直线:1l y x =-上，且圆C 上存在点M ，使2MB MO =，O 为坐标原点，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.19. 已知数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且32n n a S n =+.（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）证明：12123nn S S S ++⋅⋅⋅+<的.20.已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?21.在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种.单项选择题，每道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得5分，选择错误得0分；多项选择题，每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分.（1）小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测.已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是12.问小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单项选择题正确答案的概率；（2四个选项他均无把握判断正误，于是他考虑了以下两种方案：方案①单选：在四个选项中，等可能地随机选择一个；方案②多选：在有可能是正确答案的所有选项组合（如AB 、BCD 等）中，等可能地随机选择一种.若该多项选择题有三个选项是正确的，请从数学期望的角度分析，小明应选择何种方案，并说明理由.22.设函数()21ex x f x ax +=+，其中a ∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点，设极大值点为01,x x 为()f x 的零点，求证：01ln2x x -≥.的沈阳市第120中学2023－2024学年度上学期高三年级第四次质量监测数学试题满分：150分 时间：120分钟 命题人：马健 于茂源 校对人：高越一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.设集合{}28150A x x x =-+=，集合{}10B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 取值集合的真子集的个数为（）A.2B.3C.7D.8【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，然后分0a =和0a ≠两种情况由B A ⊆可求出a 的值，从而可求出实数a 取值集合，进而可求出其真子集的个数.【详解】由28150x x -+=，得(3)(5)0x x --=，解得3x =或5x =，所以{}3,5A =，当0a =时，B =∅，满足BA ⊆，当0a ≠时，1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，因为BA ⊆，所以13a=或15a =，得13a =或15a =，综上，实数a 取值的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，所以实数a 取值集合的真子集的个数为3217-=，故选：C2.已知复数z 满足(12i)32i z +=-，则z 的虚部为（ ）A.85B. 85-C.15D. 15-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得18i 55z =--，得到18i 55z =-+，结合复数的定义，即可求解.【详解】由复数(12i)32i z +=-，可得()()()()32i 12i 32i 18i 12i 12i 12i 55z ---===--++-，所以18i 55z =-+，所以复数z 的虚部为85.故选：A.3.若22nx ⎫-⎪⎭的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（ ）A.90B.-90C.180D.-180【答案】C 【解析】【分析】由已知可知项数n =10，再表示通项并令其中x的指数为零，求得指定项的系数即可.【详解】解：因为22nx ⎫-⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则项数n =10，即2102x ⎫-⎪⎭，则通项为()10510211021022rrrr rrr T x x C C --+⎛⎫=⋅⋅=-⋅ ⎪⎝⎭-，令105022r r -=⇒=，则()223102180T C =-=.故选：C.4.向量1a b ==，c = 0a b c ++=，则cos ,a c b c --= （）A.1314B. 1314-C.45D. 45-【答案】A 【解析】【分析】利用平面向量的数量积及模长计算夹角即可.【详解】由已知可得()222122c a b c a b a b a b =-+⇒=++⋅⇒⋅= ，又2,2a c a b b c b a -=+-=+，所以13cos ,14a c b c --===.故选：A5.在《九章算术⋅商功》中将正四面形棱台体(棱台的上、下底面均为正方形)称为方亭．在方亭1111ABCD A B C D -中，1122AB A B ==，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为则该方亭的体积为（ ）A.72B.76C.D.【答案】D 【解析】【分析】先根据方亭四个侧面的面积之和得到1AA 的长度，然后作辅助线找到并求方亭的高，最后利用棱台的体积计算公式求解即可．【详解】如图，过1A 作1A E AB ⊥，垂足为E ，由四个侧面的面积之和为11ABB A∴1111()2AB A B A E +⋅=，则1A E =由题意得：1111()22AE AB A B =-=，在1Rt AA E △中，11AA ===．连接AC ，11A C ，过1A 作1A F AC ⊥，垂足为F ，易知四边形11ACC A 为等腰梯形且AC =，11AC =()1112AF AC A C =-=∴1A F ==，∴该方亭的体积221(123V =++=，（棱台的体积公式）．故选：D ．6.在数列{}n a 中，11a =，且函数()()51sin 233n n f x x a x a x +=+-++的导函数有唯一零点，则9a 的值为（）．A.1021B.1022C.1023D.1024【答案】A 【解析】【分析】对应函数求导，利用奇偶性定义判断()f x '为偶函数，根据有唯一零点知(0)0f '=，构造法有132(3)n n a a ++=+，应用等比数列定义写出通项公式并求对应项.【详解】由()14()5cos 23n n f x x a x a +'=+-+在R 上有唯一零点，而()()4114()5()cos()235cos 23()n n n n f x x a x a x a x a f x ++''-=-+--+=+-+=，所以()f x '为偶函数，则1(0)230n n f a a +'=--=，故132(3)n n a a ++=+，且134a +=，所以{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列，则113422n n n a -++=⋅=，则109231021a =-=.故选：A【点睛】关键点点睛：判断导函数()f x '为偶函数，进而得到(0)0f '=为关键.7.已知点P 是圆22:(2)(2)2M x y -+-=上的动点，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||AB =，则||PA PB +的最大值是（）A. B. C. D.2+【答案】D 【解析】【分析】作出图象，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，连接CB ，则有||1CD =，从而得点D 的轨迹方程为2(1)(1)x y +++²1=，由向量的加法法则可得2PA PB PD +=，根据圆与圆的位置关系求出max ||PD 即可得答案.【详解】解：圆22:(2)(2)2M x y -+-=的圆心为()2,2M，圆22:(1)(1)4C x y +++=的圆心为()1,1C --，半径为2，如图，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，连接CB ，D ∴为AB 中点，即||BD =又||2CB =，||1CD ∴=，∴点D 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，∴点D 的轨迹方程为2(1)(1)x y +++²1=，D 是AB 中点，2PA PB PD ∴+= ，max ||111PD CM ==++=，所以||PA PB +的最大值为1) 2.=+故选：D.8.已知三棱锥-P ABC 的底面ABC 为等腰直角三角形，其顶点P 到底面ABC 的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O 的半径为5，则满足上述条件的顶点P 的轨迹长度为（ ）A.6π B.30πC.(9π+ D.(6π+【答案】D 【解析】【分析】利用三棱锥-P ABC 的体积，求解底边边长，求出ABC 的外接圆半径，以及球心O 到底面ABC 的距离，判断顶点P 的轨迹是两个不同截面圆的圆周，进而求解周长即可．【详解】依题意得，设底面等腰直角三角形ABC 的边长为()0x x >，∴三棱锥-P ABC 的体积21132432V x =⋅⋅⋅=解得：x =ABC ∴的外接圆半径为112r ==∴球心O 到底面ABC的距离为11d ===，又 顶点P 到底面ABC 的距离为3，∴顶点P 的轨迹是一个截面圆的圆周当球心在底面ABC 和截面圆之间时，球心O 到该截面圆的距离为2312d =-=，截面圆的半径为2r===，∴顶点P的轨迹长度为22r π=；当球心在底面ABC 和截面圆同一侧时，球心O 到该截面圆的距离为3314d =+=，截面圆的半径为33r===，∴顶点P 的轨迹长度为326r ππ=；综上所述，顶点P轨迹的总长度为(6π+故选：D ．【点睛】本题考查空间几何体外接球的问题以及轨迹周长的求法，考查空间想象能力、转化思想以及计算能力，题目具有一定的难度．二、多选题（本题共4小题，共20分，每题选项全对给5分，少选或漏选给2分，错选、多选和不选给0分）9.下列命题正确的是（）A.在回归分析中，相关指数r 越小，说明回归效果越好B.已知2( 3.841)0.05P χ≥=，若根据2×2列联表得到2χ的观测值为4.1，则有95%的把握认为两个分类变量有关C.已知由一组样本数据(),i i x y （1i =，2，⋅⋅⋅，n ）得到的回归直线方程为 420y x =+，且的1110n i i x n ==∑，则这组样本数据中一定有()10,60D.若随机变量()~,4X N μ，则不论μ取何值，()46P X μμ-<<+为定值【答案】BD【解析】【分析】A.由相关指数的意义判断；B.由临界值表判断；C.由样本数据和回归直线方程的关系判断；D.由正态曲线的3σ原则判断.【详解】A.在回归分析中，相关指数r 越大，说明回归效果越好，故错误；B.已知2( 3.841)0.05P χ≥=若根据2×2列联表得到2χ的观测值为4.1，且4.1 3.841>，则有95%的把握认为两个分类变量有关，故正确；C.已知由一组样本数据(),i i x y （1i =，2，⋅⋅⋅，n ）得到的回归直线方程为 420y x =+，由1110n i i x x n ===∑，得到 60y =，则()10,60是样本点的中心，一定在直线上，但这组样本中数据不一定有()10,60，故错误；D.若随机变量()~,4X N μ，则2σ=，所以()()()()332246222P X P X P X P X μσμσμσμσμμμσμσ-<<+--<<+-<<+=-<<++，()()33220.99740.95440.975922P X P X μσμσμσμσ-<<++-<<++===，所以不论μ取何值，()46P X μμ-<<+为定值.故选：BD10.若函数()()()sin cos 2f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++<⎪⎝⎭的图象关于直线6x π=对称，则（ ）A. 3πϕ=B.点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是曲线()y f x =的一个对称中心C.直线3x π=-也是一条对称轴D.函数()f x 在区间,312ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调【答案】CD【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数()f x ，再根据三角函数性质进行求解即可.【详解】由题意函数()42f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其对称轴为0,()42k x k Z πϕπ++=∈，即024k x ππϕ=--，所以令06x π=，解得5212k πϕπ=-，5,,21212ππϕϕπϕ<∴=-= 对于选项A, 5,1212πϕπϕ=-=因此A 错误；对于选项B ，该函数没有对称中心，因此B 错误；对于选项C ，令03x π=-，解得212k πϕπ=+，取0,122k ππϕ==<，符合题意，因此C 正确；对于选项D ，函数()f x 在42k x k πππϕπ<++<+单调递增，即44k x k πππϕπϕ--<<-+，当12πϕ=时，函数()f x 在区间,312ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，当512πϕ=-时，函数()f x 在区间,312ππ⎛⎫- ⎪⎭上单调递减，因此选项D 正确.故选：CD11. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且21n n S S n +=-+，则下列选项中正确的是（ ）.A.121n n a a n ++=-（2n ≥）B.22n n a a +-=C.若10a =，则1004950S =D.若数列{}n a 单调递增，则1a 的取值范围是11,43⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】AC【解析】【分析】对于A ， 由 21n n S S n +=-+，多写一项，两式相减即可得出答案.对于B ，由 121n n a a n ++=-（2n ≥），多递推一项，两式相减即可得出答案少了条件2n ≥.对于C ，由分析知22n n a a +-=，所以{}n a 奇数项是以10a =为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以21a =为首项，2为公差的等差数列，由等差数列得前n 项和公式即可得出答案.对于D ，因为数列{}n a 单调递增，根据1234n a a a a a <<<<< ，即可求出1a 取值范围.【详解】对于A ，因为21n n S S n +=-+，当()2121n n n S S n -≥=-+-，，两式相减得：121n n a a n ++=-（2n ≥）,所以A 正确.对于B ，因为121n n a a n ++=-（2n ≥）,所以()+122+11=21n n a a n n ++=-+，两式相减得：22n n a a +-=（2n ≥），所以B 不正确.对于C ，21n n S S n +=-+ ，令1n =，则211S S =-+，1211a a a +=-+，因为10a =，所以21a =.令2n =，则324S S =-+，112234a a a a a ++=--+ ，所以32a =.因为22n n a a +-=（2n ≥），而312a a -=，所以22n n a a +-=.所以{}n a 奇数项是以10a =为首项，2为公差的等差数列.偶数项是以21a =为首项，2为公差的等差数列.则：()()10012399100139924100=+++S a a a a a a a a a a a =+++++++++ 5049504950025012=495022⨯⨯⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确.对于D ，21n n S S n +=-+，令1n =，则211S S =-+，1211a a a +=-+，则2121a a =-+又因为+12=21n n a a n +++，令1n =则23=3a a +，所以()3211=332122a a a a -=--+=+，同理：()4311=552223a a a a -=-+=-+，()5411=772324a a a a -=--+=+，因为数列{}n a 单调递增，所以1234n a a a a a <<<<< ，解12a a <得：113a <，解23a a <得：114a >-，解34a a <得：114a <，的解45a a <得：114a >-，解56a a <得：114a <，所以1a 的取值范围是11,44⎛⎫-⎪⎝⎭，所以D 不正确.故选：AC.【点睛】本题考查的是等差数列的知识，解题的关键是利用121n n a a n ++=-，得出{}n a 的奇数项、偶数项分别成等差数列，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题.12.若正实数a b ，满足a b >，且ln ln 0a b ⋅>，则下列不等式一定成立的是（ ）A.log 0a b > B.11a b b a ->-C.122ab a b++< D.11b a a b --<【答案】AD【解析】【分析】因为0a b >>，ln y x =为单调递增函数，故ln ln a b >，由于ln ln 0a b ⋅>，故ln ln 0a b >>，或ln ln 0b a <<.对于ABC ，分ln ln 0a b >>、ln ln 0b a <<，结合对数函数的性质及作差比较法即可判断；对于D ，由11b a a b --<两边取自然对数得到()()1ln 1ln b a a b -<-，即ln ln 11a b a b <--，构造函数()ln 1x f x x =-（0x >且1x ≠），通过导数判断单调性即可判断.【详解】因为0a b >>，ln y x =为单调递增函数，故ln ln a b >，由于ln ln 0a b ⋅>，故ln ln 0a b >>，或ln ln 0b a <<，当ln ln 0a b >>时，1a b >>，此时log 0a b >；()11110a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫---=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11a b b a ->-；()()()1110ab a b a b +-+=-->，122ab a b ++>；当ln ln 0b a <<时，01b a <<<，此时log 0a b >，()11110a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫---=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11b aa b -<-；()()()1110ab a b a b +-+=-->，122ab a b ++>；对于ABC ，A 正确，BC 均错误；对于D ，11b a a b --<，两边取自然对数，()()1ln 1ln b a a b -<-，因为不管1a b >>，还是01b a <<<，均有()()110a b -->，所以ln ln 11a b a b <--，故只需证ln ln 11a b a b <--即可，设()ln 1x f x x =-（0x >且1x ≠），则()()211ln 1x x f x x --'=-，令()11ln g x x x=--（0x >且1x ≠），则()22111x g x x x x -'=-=，当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，所以()()10g x g <=，所以()0f x '<在0x >且1x ≠上恒成立，故()ln 1x f x x =-（0x >且1x ≠）单调递减，因为a b >，所以ln ln 11a b a b <--，结论得证，D 正确．故选：AD ．【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若直线1l ：90x ay ++=与2l ：()2330a x y a -++=平行，则1l ，2l 间的距离是______．【答案】【解析】【分析】先根据两直线平行得出a 的值，再根据平行线的距离公式计算即可.【详解】因为两直线平行可得()132a a ⨯=-且()1392a a ⨯≠-，解之得1a =-，所以1:90l x y -+=，2:333010l x y x y -+-=⇒-+=，故两直线的距离为d ==故答案为：14.已知锐角α，β满足sin 21tan cos 211tan αβαβ-=-+，则()cos αβ+=__________.【答案】【解析】【分析】根据二倍角公式与同角三角函数的关系可得()tan 1αβ+=-，进而可得()cos αβ+.【详解】由题意，sin 21tan cos 211tan αβαβ-=-+，由二倍角公式与同角三角函数的关系可得22sin cos 1tan 2sin 1tan ααβαβ-=-+，即11tan tan 1tan βαβ--=+，整理可得tan tan tan tan 1βααβ+=-，故()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--，又锐角α，β，故()0,παβ+∈，3π4αβ+=故()3πcos cos 4αβ+==故答案为：15.第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”各2个，将这63个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有__________.（用数字作答）【答案】336【解析】【分析】考虑到前排是有两种不同名称的吉祥物，还是有三种不同名称的吉祥物，分类求出排法数，根据分类加法计数原理即可得答案.【详解】由题意可分两种情形：①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，其中一种取两个，另一种选一个，有2232211222C C C C A 24=种排法；其次，后排有22A 2=种排法，故共有24248⨯=种不同的排法；②前排含有三种不同名称的吉祥物，有1113222348C C C A =种排法；后排有33A 6=种排法，此时共有486288⨯=种排法；因此，共有48288336+=种排法，故答案为：336【点睛】关键点睛：解答本题的关键是分类考虑，即考虑到前排是有两种不同名称的吉祥物，还是有三种不同名称的吉祥物，分类求解即可.16. 在锐角ABC 中，1cos 4A =，若点P 为ABC 的外心，且AP xAB y AC =+ ，则x y +的最大值为___________.【答案】45##0.8【解析】【分析】通过向量的减法，把AB ，AC 转化为AP PB + 与AP PC + ，进行整理后再平方处理即可得解.【详解】()()AP xAB y AC x AP PB y AP PC =+=+++ ，整理得：()1x y AP xPB yPC --=+ 设锐角ABC 外接圆的半径为R ，所以AP PB PC R === ，则上式两边平方得：()222222212cos x y R x R y R xyR BPC --=++∠①，其中2BPC A ∠=∠，27cos 2cos 18BPC A ∠=-=-代入①式，得：()222714x y x y xy --=+-，整理得：()422115x y xy +-=，由基本不等式得：()24x y xy +≤，当且仅当x y =时，等号成立即()()24221154x y x y ++-≤，解得：43x y +≥或45x y +≤当43x y +=时，此时23x y ==，2233AP AB AC =+ ，此时P 点在△ABC 外部，△ABC 为钝角三角形，与题干矛盾，所以43x y +≥舍去，45x y +≤成立故答案为：45四、解答题（本题共6小题，共70分）17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2a b b B A c -=+．（1）求tan A ；（2）若a =，ABC 的面积为，求ABC 的周长．【答案】（1）tan A =-（2）5+【解析】【分析】（1）根据正弦定理得1cos 3A =-，从而求得tan A ；（2）根据面积公式和余弦定理即可求得ABC 周长.【小问1详解】因为cos 2cos a b b B A c -=+，所以由正弦定理可得sin cos 2sin cos sin sin A B B A B C -=+．又()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以3sin cos sin B A B -=．因为sin 0B ≠，所以1cos 3A =-．又()0,πA ∈，所以sin A =，tan A =-【小问2详解】ABC的面积n 12si A S bc ===6bc =．由余弦定理：22222c 232os a b c bc b c bc A =+-=++，得()224253b c a bc +=+=，所以5b c +=，故ABC的周长为5+．18.已知点()()4,4,0,3A B ，圆C 的半径为1.（1）若圆C 的圆心坐标为()3,2C ，过点A 作圆C 的切线，求此切线的方程；（2）若圆C 的圆心C 在直线:1l y x =-上，且圆C 上存在点M ，使2MB MO =，O 为坐标原点，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.【答案】（1）4x =或3440x y -+=（2a ≤≤a ≤≤.【解析】【分析】（1）根据圆心到直线距离分直线斜率存在与不存在求解；（2）由条件求出M 所在圆，利用两圆相交求出a 的取值范围.【小问1详解】由题意得圆C 标准方程为22(3)(2)1x y -+-=，当切线的斜率存在时，设切线方程为()44y k x -=-，的的由1d ，解得：34k =，当切线的斜率不存在时，切线方程为4x =，满足题意；所以切线的方程为4x =或3440x y -+=.【小问2详解】由圆心C 在直线:1l y x =-上，设(),1C a a -，设点(),M x y ，由2MB MO =，=化简得：22(1)4x y ++=，所以点M 在以()0,1D -为圆心，2为半径的圆上.又点M 在圆C 上，所以圆C 与圆D 有交点，则13CD ≤≤，即13≤≤，a ≤≤a ≤≤.19.已知数列{}n a 中，11a =，S 是数列{}n a 的前n 项和，且32n n a S n =+.（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）证明：12123nn S S S ++⋅⋅⋅+<.【答案】（1）()12n n n a +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用n a 与n S 关系可推导得到111n n a n a n -+=-，利用累乘法即可求得n a ；（2）由32n n a S n =+，结合n a 可得n S ，并由此得到n n S ；采用裂项相消法可整理得到121211622n n S S S n ⎛⎫++⋅⋅⋅+=- ⎪+⎝⎭，由102n >+可证得结论.【小问1详解】由32n n a S n =+得：()32n n S n a =+且0n a ≠；当2n ≥且n *∈N 时，()()1133321n n n n n a S S n a n a --=-=+-+，整理可得：()()111n n n a n a --=+，111n n a n a n -+∴=-，则122n n a n a n --=-，2313n n a n a n ---=-，⋅⋅⋅，3242a a =，2131a a =，各式相乘得：()111143123212n n n a n n n a n n n ++-=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=---，又11a =，()12n n n a +∴=.当1n =时成立，故()12n n n a +=.【小问2详解】由32n n a S n =+得：()()12236n n n n n n S a +++==，()()()()61161212126n n n n n n S n n n n ⎛⎫∴===- ⎪++++++⎝⎭，1212111111116623341222n n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫∴++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，又102n >+，12121632n n S S S ∴++⋅⋅⋅+<⨯=.20. 已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）证明见解析；（2）112B D =【解析】【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；【详解】（1）[方法一]：几何法因为1111,//BF AB AB AB ⊥，所以BF AB ⊥．又因为1AB BB ⊥，1BF BB B ⋂=AB ⊥平面11BCC B ．又因为2AB BC ==，构造正方体1111ABCG A B C G -，如图所示，过E 作AB 的平行线分别与AG BC ，交于其中点,M N ，连接11,AM BN ，因为E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，所以N 是BC 的中点，易证1Rt Rt BCF B BN ≅ ，则1CBF BBN ∠=∠．又因为1190BBN BNB ∠+∠=︒，所以1190CBF BNB BF BN ∠+∠=︒⊥，．又因为111111,BF AB BN AB B ⊥= ，所以BF ⊥平面11A MNB ．又因为ED ⊂平面11A MNB ，所以BF DE ⊥． [方法二] 【最优解】：向量法因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，1BB ∴⊥底面ABC ，1B B AB ∴⊥11//A B AB ，11BF A B ⊥，BF AB ∴⊥，又1BB BF B ⋂=，AB ∴⊥平面11BCC B ．所以1,,BA BC BB 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以1,,BA BC BB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图．()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,B A C ∴()()()1110,0,2,2,0,2,0,2,2B A C ，()()1,1,0,0,2,1E F ．由题设(),0,2D a （02a ≤≤）．因为()()0,2,1,1,1,2BF DE a ==--，所以()()0121120BF DE a ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，所以BF DE ⊥．[方法三]：因为11BF A B ⊥，11//A B AB ，所以BF AB ⊥，故110BF A B ⋅= ，0BF AB ⋅=，所以()11BF ED BF EB BB B D ⋅=⋅++ ()11=BF B D BF EB BB ⋅+⋅+ 1BF EB BF BB =⋅+⋅ 11122BF BA BC BF BB ⎛⎫=--+⋅ ⎪⎝⎭11122BF BA BF BC BF BB =-⋅-⋅+⋅ 112BF BC BF BB =-⋅+⋅111cos cos 2BF BC FBC BF BB FBB =-⋅∠+⋅∠1=2202-=，所以BF ED ⊥．（2）[方法一]【最优解】：向量法设平面DFE 的法向量为(),,m x y z =，因为()()1,1,1,1,1,2EF DE a =-=--，所以00m EF m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即()0120x y z a x y z -++=⎧⎨-+-=⎩．令2z a =-，则()3,1,2m a a =+-因为平面11BCC B 的法向量为()2,0,0BA =，设平面11BCC B 与平面DEF 的二面角的平面角为θ，则cos m BA m BA θ⋅=⋅==当12a =时，22214a a -+取最小值为272，此时cos θ=所以()minsin θ==，此时112B D =． [方法二] ：几何法如图所示，延长EF 交11A C 的延长线于点S ，联结DS 交11B C 于点T ，则平面DFE 平面11B BCC FT =．作1BH F T ⊥，垂足为H ，因为1DB ⊥平面11BB C C ，联结DH ，则1D H B ∠为平面11BB C C 与平面DFE 所成二面角的平面角．设1,B D t =[0,2],t ∈1B T s =，过1C 作111//CG AB 交DS 于点G．由111113C S C G SA A D==得11(2)3C G t =-．又1111B D B T C G C T=，即12(2)3t s s t =--，所以31t s t =+．又111B H BT C F FT=，即11B H =，所以1B H =所以DH ===．则11sin B D DHB DH∠===所以，当12t =时，()1min sin DHB ∠=[方法三]：投影法如图，联结1,FB FN ，DEF 在平面11BB C C 的投影为1BN F ，记面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的平面角为θ，则1cos B NF DEFS S θ=．设1(02)BD t t =≤≤，在1Rt DB F中，DF ==．在Rt ECF中，EF==，过D 作1B N 的平行线交EN 于点Q．在Rt DEQ △中，DE ==在DEF 中，由余弦定理得222cos 2DF EF DE DFE DF EF+-∠=⋅=，sin DFE ∠=1sin 2DFES DF EF DFE =⋅∠ =13,2B NF S = 1cos B NF DFES S θ==，sin θ=，当12t =，即112B D =，面11BB C C与面DFE 【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面DFE 在面11BB C C 上的投影三角形的面积与DFE △面积之比即为面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．21.在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种.单项选择题，每道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得5分，选择错误得0分；多项选择题，每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分.（1）小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测.已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是12.问小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单项选择题正确答案的概率；（2）小明同学在做某道多项选择题时，发现该题的四个选项他均无把握判断正误，于是他考虑了以下两种方案：方案①单选：在四个选项中，等可能地随机选择一个；方案②多选：在有可能是正确答案的所有选项组合（如AB 、BCD 等）中，等可能地随机选择一种.若该多项选择题有三个选项是正确的，请从数学期望的角度分析，小明应选择何种方案，并说明理由.【答案】（1）45（2）选择方案①.【解析】【分析】（1）根据全概率公式可求得该单项选择题回答正确的概率，由条件概率公式可求得结果；（2）分别计算方案①②的得分期望，比较大小即可.【小问1详解】记事件A 为“该单项选择题回答正确”，事件B 为“小明知道该题的正确答案”，()()()()()111512248P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯= ，()()()142558P AB P B A P A ∴===，即小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，他知道这道单项选择题正确答案的概率为45.【小问2详解】方案①单选：记小明做这道多项选择题所得的分数为X ，则X 的可能取值为0,2，()104P X ==，()324P X ==，则期望()32E X =，方案②多选：记小明做这道多项选择题所得的分数为Y ，则Y 的可能取值为0,2,5，()12332344C C 30C C 5P Y +===+，()232344C 32C C 10P Y ===+，()2344115C C 10P Y ===+，则期望()311125101010E Y =⨯+⨯=，则()()E X E Y >，故选择方案①.22.设函数()21ex x f x ax +=+，其中a ∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点，设极大值点为01,x x 为()f x 的零点，求证：01ln2x x -≥.【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，对a 分类讨论，求出()0,()0f x f x ''><的解，得出单调区间；（2）分10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭两种情况讨论，10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时易得零点为0，直接比较可得，1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时01ln 2x a =，再由1021110e 1e 2x x x ax a +⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩求解即可.【小问1详解】由()()22e 1e exx x x x f x ax a ='-=+-①0a ≤时，由2e 10x a -<，令()0f x '=，解得0x =，所以0x <时，()0,0f x x '>>时，()0f x '<，则()f x 在(),0∞-单调递增，在()0,∞+单调递减；②0a >时，由()21e e 2x x ax f x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'，（i ）12a =时，因为()e 10xx -≥，则()()0,f x f x '≥在(),-∞+∞单调递增，（ii ）10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '=，解得0x =或1ln 02x a=>，所以()1,0ln,2x a ∞∞⎛⎫∈-⋃+ ⎪⎝⎭时，()10;0,ln 2f x x a ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭'时，()0f x '<，则()f x 在(),0∞-，1ln,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,ln 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；（iii ）1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，由1ln02x a=<，所以()1,ln0,2x a ∞∞⎛⎫∈-⋃+ ⎪⎝⎭时，()10;ln ,02f x x a ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭'时，()0f x '<，则()f x 在1,ln2a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,∞+上单调递增，在1ln ,02a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；综上：0a ≤时，()f x 的单调递增区间为(),0∞-，单调递减区间为()0,∞+；10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 的单调递增区间为(),0∞-和1ln ,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,ln 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；12a =时，()f x 单调递增区间为(),-∞+∞；1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 的单调递增区间为1,ln 2a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,∞+，单调递减区间为1ln ,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；【小问2详解】根据题意结合（1）可知110,,22a ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()f x 存在两个极值点，由1x 为()f x 的零点，则121110e x x ax ++=，则121110ex x ax +=-<，故()1,1x ∈-∞-，若10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）可知00x =，则()01011ln2x x ->--=>；若1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则01ln2x a =，故1021110e 1e 2x x x ax a +⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，化简得101211e 12e x x x a x a +⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即012e x =故()()()0121111112e1224,1011x x x x x x x --==++-≤--=-+<++当且仅当11111x x --=--，即12x =-时等号成立，即01e 2x x -≥，故01ln2x x -≥，当且仅当122e 4x a =-⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，综上，01ln2x x -≥恒成立.【点睛】关键点点睛：本题解决过程，关键在于分类讨论思想的应用，求函数单调区间时，的需分类讨论才能解不等式，研究函数零点与极值点关系时，也需要分10,2a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和1,2a⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭两种情况讨论.。
辽宁省沈阳市东北育才中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
¹
x2
，都有
f
( x1 ) -
x1 -
f ( x2 )
x2
>
0 成立，
所以 f ( x) 在(-¥, -2] 上为增函数.
又因为 f ( x) 的图象关于 x = -2 对称， f (0) = 0 ， 所以 f ( x) 在(-2, +¥ ) 为减函数，且 f (-4) = 0 .
用折线图表示函数 f ( x) 的单调性，如图所示：
A．{1}
B．{1, 2, 4}
C．{2, 4}
D．{1, 4}
2．已知命题 p : "x ³ 0, x3 > x ，命题 q : $x < 0, x2 +1 > 0 ，则（ ）
A． p 和 q 均为真命题
B． Øp 和 q 均为真命题
C． p 和 Øq 均为真命题
D． Øp 和 Øq 均为真命题
3．已知函数 f ( x) = (m + 2) x2 + 2mx +1 的定义域为 R ，则实数 m 的取值范围是（ ）
数，在(-2, +¥ ) 上为减函数，且 f (-4) = 0 ，再画出折线图表示出函数 f ( x) 的单调性，即
可得到答案.
【详解】因为数 f ( x) 满足 f (-2 - x) = f (-2 + x) . 所以 f ( x) 的图象关于 x = -2 对称.
因为函数
f
( x) 对任意 x1, x2 Î(-¥ , -2] ，且 x1
对于 D，若 1 b
>
1 a
，取 b
= 1, a
=
-2 ，则 a
< b ，故 D 错误.
辽宁省沈阳市第三十一中学、丹东二中2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题
D．若把函数
f
x
图像上所有点的横坐标缩短为原来的
2 3
倍，纵坐标不变，得到的函数
在 , 上是增函数
11．在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，下列说法正确的是（ ） A．若 sin A sin B ，则 A B B．若 ABC 是锐角三角形， sin A cos B 恒成立 C．若 a 10 ， b 9 ， B 60 ，则符合条件的 ABC 有两个 D．若 B 60 ， b2 ac ，则 ABC 是等边三角形
c a
b
c
D．若 a c a b， a 0 ，则 b c
10．函数 f x 2sin x 0, 的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
f
x
2
sin
1 3
x
6
B．若把函数 f x 的图像向左平移 个单位，则所得函数是偶函数
2
C．函数 y f x 的图像关于直线 x 4 对称
x
12
,
6
时恒成立，求实数
a 应满足的条件：
(3)将函数
f
x
的图像向左平移
12
个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变
为原来的 1 ，得到函数 g x 的图像，若存在非零常数 ，对任意 x R ，有
m
g x g x 成立，求实数 m 的取值范围．
试卷第 5页，共 5页
观察图形可知，当点 P 在线段 CD 上时， AP 在 AB 方向上的射影取最大值，
且 CBM
6
，则
BM
2
2 cos
2 ，所以，
AM
2
2 2，
2019-2020学年辽宁省沈阳市重点高中协作校高一上学期期中数学试题(解析版)
故选：D.
【点睛】
本题考查运用奇函数的图像的对称性与函数的单调性的关系，求解抽象不等式，关键在于由奇函数的性质和图像特征得出函数值在相应区间的符号，属于中档题.
11．设 在 上有定义，要使函数 有定义，则a的取值范围为
A． ；B． C． ；D．
【答案】B
【解析】由条件得：
【详解】
因为 ，所以 函数的函数值的求解，注意将自变量代入相应的解析式中计算，属于基础题.
7．若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据已知得函数 的对称轴 ，解之可得选项.
【详解】
由已知得函数 的对称轴 ，解得 ，
当 时，要使关于 的方程 的两根分别在区间 和 内，则需满足 ，即 解得 无解，
综上可知：实数 的取值范围是 ，
故答案为： .
【点睛】
本题考查一元二次方程的根和二次函数之间的关系，在满足一元二次方程的根的区间时，常需考虑对应的二次函数的判别式的符号，函数图像的开口方向，对称轴，特殊函数值的符号等方面，属于中档题.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先判断 , 的符号,再根据函数零点的判定定理,可求得结论.
【详解】
因为函数 的定义域是 ，所以 无意义，
而 ， ， ， ,
所以根据零点存在定理得函数 的零点所在的区间为 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查函数的零点存在定理,注意需判断区间端点的函数值的符号，属于基础题.
对于④项，举反例，取 ，满足 且 ，但此时 ，可判断④项；
对于⑤项，举反例，当 ， 时，满足 ，此时 ，可判断⑤项；
辽宁省沈阳市2019-2020学年中考中招适应性测试卷数学试题(3)含解析
辽宁省沈阳市2019-2020学年中考中招适应性测试卷数学试题（3）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列方程中有实数解的是（ ）A ．x 4+16=0B ．x 2﹣x+1=0C ．+2x x =-D ．22111x x x =-- 2．下列各式中，正确的是（ ）A ．﹣（x ﹣y ）=﹣x ﹣yB ．﹣（﹣2）﹣1=12 C ．﹣x x y y -=- D ．3882÷= 3．有一组数据：3，4，5，6，6，则这组数据的平均数、众数、中位数分别是（ ）A ．4.8，6，6B ．5，5，5C ．4.8，6，5D ．5，6，64．如图，BC ∥DE ，若∠A=35°，∠E=60°，则∠C 等于（ ）A ．60°B ．35°C ．25°D ．20°5．如果一元二次方程2x 2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么实数m 的取值为（ ）A ．m ＞98B ．m 89fC ．m=98D ．m=896．如图，已知点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，圆心O 在∠D 内部，四边形ABCO 为平行四边形，则∠DAO 与∠DCO 的度数和是（ ）A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°7．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积约为250000m 2，则250000用科学记数法表示为( )A ．25×104m 2B ．0.25×106m 2C ．2.5×105m 2D ．2.5×106m 28．若关于x 的分式方程2122x a x -=-的解为非负数，则a 的取值范围是（ ） A ．a≥1 B ．a ＞1C ．a≥1且a≠4D ．a ＞1且a≠4 9．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC 是（ ）A ．13寸B ．20寸C ．26寸D ．28寸10．对于反比例函数y=k x（k≠0），下列所给的四个结论中，正确的是（ ） A ．若点（3，6）在其图象上，则（﹣3，6）也在其图象上 B ．当k ＞0时，y 随x 的增大而减小C ．过图象上任一点P 作x 轴、y 轴的线，垂足分别A 、B ，则矩形OAPB 的面积为kD ．反比例函数的图象关于直线y=﹣x 成轴对称11．下列各数中，相反数等于本身的数是（ ）A ．–1B ．0C ．1D ．212．计算tan30°的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．已知b 是a ，c 的比例中项，若a=4，c=16，则b=________．14．有4根细木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．15．如图，已知长方体的三条棱AB 、BC 、BD 分别为4，5，2，蚂蚁从A 点出发沿长方体的表面爬行到M 的最短路程的平方是_____.16．如图，正比例函数y 1=k 1x 和反比例函数y 2=2k x的图象交于A （﹣1，2），B （1，﹣2）两点，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是_____．17．解不等式组1 (1)1212xx⎧-≤⎪⎨⎪-<⎩，则该不等式组的最大整数解是_____．18．分解因式：mx2﹣4m＝_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图所示，直线y=12x+2与双曲线y=kx相交于点A(2，n)，与x轴交于点C．求双曲线解析式；点P在x轴上，如果△ACP的面积为5，求点P的坐标.20．（6分）如图，在△ABC中，∠C=90°．作∠BAC的平分线AD，交BC于D；若AB=10cm，CD=4cm，求△ABD的面积．21．（6分）某中学为了解学生平均每天“诵读经典”的时间，在全校范围内随机抽查了部分学生进行调查统计（设每天的诵读时间为t分钟），将调查统计的结果分为四个等级：Ⅰ级(020)t≤≤、Ⅱ级(2040)t≤≤、Ⅲ级(4060)t≤≤、Ⅳ级(60)y>．将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）请补全上面的条形图．（2）所抽查学生“诵读经典”时间的中位数落在__________级．（3）如果该校共有1200名学生，请你估计该校平均每天“诵读经典”的时间不低于40分钟的学生约有多少人？22．（8分）如图，点A ，C ，B ，D 在同一条直线上，BE ∥DF ，∠A=∠F ，AB=FD ，求证：AE=FC ．23．（8分）小马虎做一道数学题，“已知两个多项式24A x x =-W ，2234B x x =+-，试求2A B +.”其中多项式A 的二次项系数印刷不清楚.小马虎看答案以后知道2228A B x x +=+-，请你替小马虎求出系数“W ”；在（1）的基础上，小马虎已经将多项式A 正确求出，老师又给出了一个多项式C ，要求小马虎求出A C -的结果.小马虎在求解时，误把“A C -”看成“A C +”，结果求出的答案为262x x --.请你替小马虎求出“A C -”的正确答案.24．（10分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：∠A ＝∠ADE ；（2）若AB ＝25，DE ＝10，弧DC 的长为a ，求DE 、EC 和弧DC 围成的部分的面积S ．（用含字母a 的式子表示）．25．（10分）某校七年级（1）班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类记为A ；音乐类记为B ；球类记为C ；其他类记为D ．根据调查结果发现该班每个学生都进行了等级且只登记了一种自己最喜欢的课外活动．班主任根据调查情况把学生都进行了归类，并制作了如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：七年级（1）班学生总人数为_______人，扇形统计图中D 类所对应扇形的圆心角为_____度，请补全条形统计图；学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A 类4名学生中有两名学生擅长书法，另两名擅长绘画．班主任现从A 类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率．26．（12分）经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．27．（12分）已知关于x 的一元二次方程()2()20(x m x m m ---=为常数)． ()1求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；()2若该方程一个根为5，求m 的值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】A 、B 是一元二次方程可以根据其判别式判断其根的情况；C 是无理方程，容易看出没有实数根；D 是分式方程，能使得分子为零，分母不为零的就是方程的根．A.中△=02﹣4×1×16=﹣64＜0，方程无实数根；B.中△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程无实数根；C.x=﹣1是方程的根；D.当x=1时，分母x2-1=0，无实数根．故选：C．【点睛】本题考查了方程解得定义，能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.解答本题的关键是针对不同的方程进行分类讨论.2．B【解析】【分析】A.括号前是负号去括号都变号；B负次方就是该数次方后的倒数，再根据前面两个负号为正；C. 两个负号为正；D.三次根号和二次根号的算法．【详解】A选项，﹣（x﹣y）=﹣x+y，故A错误；B选项，﹣（﹣2）﹣1=12，故B正确；C选项，﹣x xy y-=，故C错误；D=2÷2=，故D错误．【点睛】本题考查去括号法则的应用，分式的性质，二次根式的算法，熟记知识点是解题的关键．3．C【解析】【分析】【详解】解：在这一组数据中6是出现次数最多的，故众数是6；而将这组数据从小到大的顺序排列3，4，5，6，6，处于中间位置的数是5，平均数是：（3+4+5+6+6）÷5=4.8，故选C．本题考查众数；算术平均数；中位数．4．C【解析】【分析】先根据平行线的性质得出∠CBE=∠E=60°，再根据三角形的外角性质求出∠C的度数即可．【详解】∵BC∥DE，∴∠CBE=∠E=60°，∵∠A=35°，∠C+∠A=∠CBE，∴∠C=∠CBE﹣∠C=60°﹣35°=25°，故选C．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键. 5．C【解析】试题解析：∵一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，∴△=32-4×2m=9-8m=0，解得：m=98．故选C．6．A【解析】试题解析：连接OD，∵四边形ABCO为平行四边形, ∴∠B=∠AOC，∵点A. B. C.D在⊙O上，180B ADC∴∠+∠=o，由圆周角定理得,12ADC AOC ∠=∠，2180ADC ADC ∴∠+∠=o ，解得, 60ADC ∠=o ，∵OA=OD ，OD=OC ，∴∠DAO=∠ODA ，∠ODC=∠DCO ，60.DAO DCO ∴∠+∠=o 故选A.点睛：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.7．C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数． 【详解】解：由科学记数法可知：250000 m 2=2.5×105m 2， 故选C ．【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a 与n 值是关键．8．C【解析】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为1求出a 的范围即可．解：去分母得：2（2x ﹣a ）=x ﹣2，解得：x=223a -， 由题意得：223a -≥1且223a -≠2， 解得：a≥1且a≠4，故选C ．点睛：此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为1．9．C【解析】分析：设⊙O 的半径为r ．在Rt △ADO 中，AD=5，OD=r-1，OA=r ，则有r 2=52+（r-1）2，解方程即可. 详解：设⊙O 的半径为r ．在Rt △ADO 中，AD=5，OD=r-1，OA=r ，则有r 2=52+（r-1）2，∴⊙O的直径为26寸，故选C．点睛：本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题10．D【解析】分析：根据反比例函数的性质一一判断即可；详解：A．若点（3，6）在其图象上，则（﹣3，6）不在其图象上，故本选项不符合题意；B．当k＞0时，y随x的增大而减小，错误，应该是当k＞0时，在每个象限，y随x的增大而减小；故本选项不符合题意；C．错误，应该是过图象上任一点P作x轴、y轴的线，垂足分别A、B，则矩形OAPB的面积为|k|；故本选项不符合题意；D．正确，本选项符合题意．故选D．点睛：本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．B【解析】【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．【详解】解：相反数等于本身的数是1．故选B．【点睛】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，1的相反数是1．12．C【解析】tan30°=．故选C．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．±8【解析】【分析】根据比例中项的定义即可求解.∵b 是a ，c 的比例中项，若a=4，c=16，∴b 2=ac=4×16=64，∴b=±8，故答案为±8 【点睛】此题考查了比例中项的定义，如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a ∶b=b ∶c 或=a b b c ，那么线段b 叫做线段a 、c 的比例中项.14．34【解析】【分析】根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．【详解】根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P=34. 故其概率为：34． 【点睛】 本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．61【解析】分析: 要求长方体中两点之间的最短路径,最直接的作法,就是将长方体展开,然后利用两点之间线段最短解答,注意此题展开图后蚂蚁的爬行路线有两种,分别求出,选取最短的路程.详解: 如图①:AM 2=AB 2+BM 2=16+(5+2)2=65;如图②:AM 2=AC 2+CM 2=92+4=85;如图:AM 2=52+(4+2)2=61.。
辽宁省沈阳市第一二0中学2024-2025学年高三上学期第四次(期中)质量检测数学试题(解析)
沈阳市第120中学2024-2025学年度上学期高三年级第四次质量检测试题数学满分：150分 时间：120分钟命题人：高越 李天刚 审题人：孙爽一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{11}P x x =-<，{}11Q x a x a =-≤≤+，且P Q =∅ ，则实数a 的取值范围为（ ）A. 1a ≤-或3a ≥ B. 13a -≤≤ C. 3a ≥ D. 1a ≤-【答案】A 【解析】【分析】首先化解集合A ，又Q ≠∅，即可得到10a +≤或12a -≥，解得即可.【详解】由11x -<，即111x -<-<，解得02x <<，所以{}{11}|02P x x x x =-<=<<，又{}11Q x a x a =-≤≤+，显然Q ≠∅，因为P Q =∅ ，所以10a +≤或12a -≥，解得1a ≤-或3a ≥，即实数a 的取值范围为1a ≤-或3a ≥.故选：A2. 已知命题:p x ∀∈R ，()ln 210x+>，命题:1q x ∃>，()sin 233x +=，则（ ）A. p 和q 都是真命题B. p ⌝和q 都是真命题C. p 和q ⌝都是真命题D. p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】C 【解析】【分析】解不等式()ln 210x+>，结合()sin y x ωϕ=+的值域为[]1,1-，及命题的真假判断即可.【详解】()ln 210x+>，即ln (2x +1)>ln1，因为函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增，所以211x +>，即20x >，解得x ∈R ，所以命题p 是真命题；()sin y x ωϕ=+的值域为[]1,1-，所以命题q 是假命题，则q ⌝是真命题.故选：C .3. 已知a ，b 为单位向量，若a b a b ⋅=+ ，则⋅= a b （ ）A. 1±B. 1C. 1-D.1【答案】C 【解析】【分析】a b a b ⋅=+ 两边同时平方，利用向量数量积的运算解方程求a b ⋅ 的值.【详解】a，b 为单位向量，则有1==a b r r ，a b a b ⋅=+ ，则22222a b a b a a b b ⋅=+=+⋅+ ，得()2220a ba b ⋅-⋅-=，解得1a b ⋅= ，又1a b a b ⋅=≤，1a b +⋅=舍去，故1a b ⋅=.故选：C.4. 在等比数列{}n a 中，记其前n 项和为n S ，已知3212a a a =-+，则84S S 的值为（ ）A. 2 B. 17 C. 2或8D. 2或17【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列通项公式求得1q =或2q =-，再利用等比数的求和公式求解即可.【详解】解：由等比数列的通项公式可得21112a q a q a =-+，整理得220q q +-=，解得1q =或2q =-．当q =1时，1841824S a S a ==；当2q =-时，()()814844184111117111a q S q q q S q a q q ---====-+--．所以84S S 的值为2或17．故选：D ．5. 已知直线1:(2)20l ax a y +++=与2:10l x ay ++=平行，则实数a 值为A. －1或2 B. 0或2C. 2D. －1【答案】D 【解析】【分析】根据两直线平行，列方程，求的a 的值.【详解】已知两直线平行，可得a•a -（a+2）=0，即a 2-a-2=0，解得a=2或-1．经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．∴a=-1．故选D【点睛】对于直线1111222200l A x B y C l A x B y C ++=++=：，：，若直线12122112211221000l l A B A B A C A C B C B C ⇔-=-≠-≠ 且（或）；6. 设函数()()2ln f x x ax b x =++，若()0f x ≥，则a 的最小值为（ ）A. 2-B. 1-C. 2D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数性质判断ln x 在不同区间的符号，在结合二次函数性质得1x =为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值.【详解】函数()f x 定义域为(0,)+∞，而01ln 0x x <<⇒<，1ln 0x x =⇒=，1ln 0x x >⇒>，要使()0f x ≥，则二次函数2y x ax b =++，在01x <<上0y <，在1x >上0y >，所以1x =为该二次函数的一个零点，易得1b a =--，则2(1)(1)[(1)]y x ax a x x a =+-+=-++，且开口向上，所以，只需(1)0101a a a -+≤⇒+≥⇒≥-，故a 的最小值为1-.故选：B7. 如图，将绘有函数()πsin 3f x M x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭（0M >，0πϕ<<）部分图像的纸片沿x 轴折成钝二面的角，夹角为2π3，此时A ，Bϕ=（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】过,A B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,C D ，过,A D 分别作y 轴、x 轴的垂线相交于点E ，利用周期求AE ，利用余弦定理求BE ，然后由勾股定理求出M，根据图象过点⎛ ⎝即可得解.【详解】过,A B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,C D ，过,A D 分别作y 轴、x 轴的垂线相交于点E ，连接AB BE ,，则2π,3BDE BD DE M ∠===，由余弦定理得222222π2cos 33BE M M M M =+-=，由上可知，x 轴垂直于,BD DE ，又,,BD DE D BD DE =⊂I 平面BDE ，所以x 轴垂直于平面BDE ，又//AE x 轴，所以AE ⊥平面BDE ，因为BE ⊂平面BDE ，所以AE BE ⊥，因为()f x 的周期2π6π3T ==，所以3AE CD ==，由勾股定理得23915M +=，解得M =由图知，()f x的图象过点⎛ ⎝，且在递减区间内，所以(0)f ϕ==，即sin ϕ=，因为0πϕ<<，点⎛ ⎝在递减区间内，所以2π3ϕ=.故选：C8. 已知函数()()2ln sin ,sin f x x x g x ax x =+=+，若函数()f x 图象上存在点M 且()g x 图象上存在点N ，使得点M 和点N 关于坐标原点对称，则a 的取值范围是（ ）A. 1,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B.1,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C. 21,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. 21,e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】由对称性可得()()g x f x -=-，从而分离参数得2ln x a x =-，令()2ln xh x x =-，利用导数求得函数()h x 最小值为12eh=-，从而得解.【详解】设()(),M x f x ，则()(),,N x f x --点N 在()g x 的图象上，()()g x f x ∴-=-，即()22ln sin ln sin ,xax x x x a x +-=--∴=-.令()2ln xh x x =-，则()432ln 2ln 1x x x x h x x x--=-='，令()0h x '>，则x >()h x 递增，令()0h x '<，则0x <<，此时()h x 递减，()h x ∴最小值为11,2e 2eha =-∴≥-.故选：A.二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9. 下面是关于复数2721iz =--（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）A. z 的共轭复数为1i-+ B. z 在复平面内对应的点在第二象限C. 若01z z -=，则0z 的最大值是1+D. z 的虚部为i-【答案】AC 【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数， 对于A ，利用共轭复数的定义可判断；对于B ，利用复数的几何意义可判断；对于C ，利用复数模的三角不等式可判断；对于D ，利用复数的概念可判断.【详解】因为()()1313272i i i 1i i =⋅=-⋅=-，所以()()()2721i 21i 1i 1i 1i z --===-----+--，对于A ，利用共轭复数的定义可知1i z =-+，故A 正确；对于B ，复数在复平面内对应的点在第三象限，故B 错误；对于C ，由复数模的三角不等式可得0001z z z z z z z =-+≤-+=+，故C 正确；对于D ，z 的虚部为1-，故D 错误.故选：AC10. 电子通讯和互联网中，信号的传输､处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和或余弦函数）的线性组合.例如函数()sin sin3sin5sin1313513x x x xf x =++++ 的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（ ）A. ()f x 为周期函数，且最小正周期为πB. ()f x 为奇函数C. ()y f x =的图象关于直线2x π=对称D. ()f x 的导函数()f x '的最大值为7【答案】BCD 【解析】【分析】利用函数的性质逐项分析判断即可.【详解】()sin sin3sin5sin1313513x x x xf x =++++ .对于A ，()()()()()()sin sin3sin5sin1313513x x x x f x f x πππππ+++++=++++=- ，π∴不是()f x 的周期，故A 错误；对于B ，()f x 的定义域为()()()()()()sin sin 3sin 5sin 13,13513x x x x f x f x -----=++++=-R ，()f x \为奇函数，故B 正确；对于C ，()()f x f x π+=- ，且()f x 为奇函数，()()(),f x f x f x π∴+=-∴的图象关于直线2x π=对称，故C 正确；对于D ，()cos cos3cos5cos13f x x x x x =+++'+ ，当()2x k k π=∈Z 时，cos 1(1,3nx n ==，()5,,13),f x ∴' 取最大值7，故D 正确.故选：BCD.11. 在四面体ABCD 中，1AB CD ==，2AC AD BC BD ====，E ，F ，G 分别是棱BC ，AC ，AD 上的动点，且满足AB ，CD 均与面EFG 平行，则（ ）A. 直线AB 与平面ACDB. 四面体ABCD 被平面EFG 所截得的截面周长为定值1C. EFG 面积的最大值为18D. 四面体ABCD 的内切球的表面积为7π30【答案】ACD 【解析】【分析】利用面面垂直性质找出直线AB 与平面ACD 所成的角，即可求得其余弦值，判断A ；明确截面四边形的形状即可求得其周长，判断B ；根据截面四边形形状结合基本不等式可判断C ；利用割补法结合等体积法即可判断D.【详解】对于A ，取AB 的中点Q ，CD 的中点M ，连接,,AM BMQM ，的由于2AC AD BC BD ====，故,CD AM CD BM ⊥⊥，而,,AM BM M AM BM =⊂ 平面ABM ，故CD ⊥平面ABM ，又CD ⊂平面ACD ，故平面ACD ⊥平面ABM ，则BAM ∠即为直线AB 与平面ACD 所成的角，又11,22AQ AB AM ====，而BM ==故AM BM =，则MQ AB ⊥，故cos AQBAM AM∠==，A 正确；对于B ，设平面EFG 与棱BD 的交点为P ，因为AB ∥平面EFG ，且AB ⊂平面ABC ，平面ABC 平面EFG EF =，故AB EF ∥，且由题意知AB EF ≠，否则,AB EF 重合，不合题意，故四边形ABEF 为梯形，同理四边形FCDG 梯形，所以,EF CF FG AFAB AC CD AC==，由于1AB CD ==，故1,1CF AF EF FGEF FG AC AC AB CD+=+=∴+=，又因为AB EF ∥，同理可证AB GP ∥，则//EF GP ；同理证明FG EP ∥，则四边形EFGP 为平行四边形，故四边形EFGP 的周长为2，即四面体ABCD 被平面EFG 所截得的截面周长为定值2，B 错误；对于C ，因为CD ⊥平面ABM ，AB ⊂平面ABM ，故CD AB ⊥；而AB EF ∥，同理可证FG CD ∥，故EF FG ⊥，结合1EF FG +=，故21112228EFG EF FG S EF FG +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭ ，当且仅当12EF FG ==时等号成立，即EFG 的面积的最大值为18，C 正确；对于D，由以上分析知1AM BM AB ===，故112ABM S =⨯=，而CD ⊥平面ABM ，1CD =，故13A BCD ABM V S CD -=⋅=，而112ABC ABD ADC BCD S S S S ====⨯= ，为设四面体ABCD 的内切球的半径为r ，则1()3A BCD ABC ABD ADC BCD V S S S S r -=+++⋅ ，1,3r r =∴=，故四面体ABCD 的内切球的表面积为27π4π30⨯=，D 正确，故选：ACD【点睛】难点点睛：解答本题要充分发挥空间想象，明确空间图形结构特征，难点在于C 、D 选项的判断，解答时要推出截面的形状，明确其中的数量关系，结合基本不等式判断C ；利用割补法可求得四面体内切球的半径.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，14题第一空2分，第二空3分，共15分.12. 若π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且πcos2cos 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则α=__________.【答案】π12-【解析】【分析】化简三角函数式，求出1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即可求解.【详解】由πcos2cos 4αα⎛⎫=+⎪⎝⎭，得)22cos sin cos sin αααα-=-.因为π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以cos sin 0αα-≠，则cos sin αα+=1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.由π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得πππ,444α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，则ππ46α+=，解得π12α=-.故答案为：π12-.13. 已知(3,1)A ，(1,2)B -，若ACB ∠的平分线方程为1y x =+，则AC 所在直线的一般方程为_____.【答案】210x y --=【解析】【分析】先求得直线AB 与直线1y x =+的交点，然后利用角平分线定理求得C 点坐标，进而求得直线AC 的方程.【详解】直线AB 的斜率211134AB k -==---，其方程为11(3)4y x -=--，即1744y x =-+，由17441y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩，解得3585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，令38(,)55D ， 依题意，ACB ∠的平分线为直线CD ，由正弦定理得,sin sin sin sin22BD BC AD AC ACB ACB BDC ADC ==∠∠∠∠，由于sin sin BDC ADC ∠=∠，由此整理得BD BC ADAC=，则2222BD BC AD AC =，设3(,1),5C t t t +≠，则2222222238(1)(2)(1)(12)5538(3)(11)(3)(1)55t t t t --+-+++-=-++--+-，整理得251290t t +-=，解得3t =-，则()3,2C --，211332AC k --==--，直线AC 的方程为12(3)2y x +=+，即210x y --=.故答案为：210x y --=14. 已知函数()()()1,131,1x a x f x a x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，（0a >，且1a ≠）.若关于x 的方程()3f x a =-恰有三个不相等的实数根123,,x x x ，则a 的取值范围为________；123x x x ++的取值范围为__________【答案】 ①. ()3,4 ②. (],2-∞【解析】【分析】第一空：由题意首先得3a >，然后在同一平面直角坐标系中画出函数3y a =-的图象与函数。
辽宁省沈阳市第120中学2023-2024学年高二下学期第二次质量监测数学试题(解析版)
沈阳市第120中学2023-2024学年高二下学期第二次质量监测数 学满分：150分 考试时间：120分钟一、单选题；本题共8小题，满分40分．每小题给出的选项中，只有1顶是符合题目要求的．1. 求值：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+2017﹣2019＝（ ）A. ﹣2020 B. ﹣1010C. ﹣505D. 1010【答案】B 【解析】【分析】分组求和，奇数项和相邻的偶数和均为-2，即可求出结果.【详解】.故选:B【点睛】本题考查分组并项求和，考查计算能力，属于基础题.2. 等差数列和的前项和分别记为与，若，则（ ）A.B.C.D. 【答案】D 【解析】【分析】由等差数列下标和的性质可得，进而代值计算即可得解.【详解】因为，所以.故选：D .3. 已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）135720172019-+-++- (13)(57)(20172019)(2)5051010=-+-+-=-⨯=- {}n a {}n b n n S n T 2835n n S nT n =+293a ab +=127321716721029110101553521025S a a a a Sb b T b T ++===+2835n n S n T n =+1029110101553521023552585S a a a a S b b T b T ++===+⨯+⨯==()y f x =()f x '()f xA. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】根据图象，由导数的意义和割线的斜率求解即可.【详解】因为在上为递增函数，由导数的意义可知，为曲线在处切线的斜率，所以，又由斜率定义可以，表示割线的斜率，所以，故选：A.4. 在等比数列中，则为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先根据基本量运算求出等比数列中，从而判断是等比数列，最后应用求和公式计算即可.【详解】令的公比为，因为，所以，解得.根据等比数列的性质可知，数列是公比为首项为的等比数列，的2(2)(4)(2)2(4)f f f f <-'<'2(4)2(2)(4)(2)f f f f ''<<-2(2)2(4)(4)(2)f f f f <<-''(4)(2)2(4)2(2)f f f f ''-<<()f x []2,4()()2,4f f ¢¢2,4x =()()24f f ''<()()()()4242422f f f f k --==-()()()()()()()()42242242242f f f f f f f f -¢¢¢¢<<Þ<-<{}n a 2512,,4a a ==12231n n a a a a a a ++++ 16(14)n --32(14)3n --16(12)n --32(12)3n --{}n a 11,42q a =={}1n n a a +{}n a q 2512,,4a a ==35218a q a ==11,42q a =={}1n n a a +14q =128a a =所以.故选：B.5. 设等差数列的前n 项和为，若，则( )A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】由又，可得公差，从而可得结果.【详解】是等差数列又，∴公差，，故选C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.6. 已知数列满足，，令．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】数列是公比为2的等比数列，可得，则有，累加法结合等比数列求和公式，计算.()12231181324141314n n n n n S a a a a a a +-⎛⎫- ⎪⎝⎭===++-+- {}n a n S 112,0,3m m m S S S -+=-==m =0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-113m m m a S S ++=-=11m m d a a +=-={}n a ()102ms m m a a S +∴==()112m m m a a S S -⇒=-=--=-113m m m a S S ++=-=11m m d a a +=-=11325m a a m m m +==+=-+⇒={}n a 10a =231a a ==()*12N n n n n b a a a n ++=++∈{}nb 2024a =2024247-2024237+2024247+2024267+{}n b 2nn b =32nn n a a +-=2024a【详解】，数列是公比为2的等比数列，则，即，.故选：B【点睛】关键点睛：本题关键点是利用数列的通项得到，用累加法即可计算.7. 已知是公比不为1的等比数列的前项和，则“成等差数列”是“存在不相等的正整数，使得成等差数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合等差数列性质及等比数列通项公式和求和公式，根据充分条件、必要条件的概念判断即可.【详解】因为是公比不为1的等比数列的前项和，所以若成等差数列，则，从而，结合化简得，若成等差数列，则，即，所以，故当时，有，即“成等差数列”能推出“存在不相等的正整数，使得成等差数列”；反之，满足不一定是，如，，，满足，但不满足，即“存在不相等的正整数，使得成等差数列”推不出“成等差数列”；所以“成等差数列”是“存在不相等的正整数，使得成等差数列”的充分不必要条11230112b a a a =++=++={}n b 2nn b =()13123121222n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a b b ++++++++-=++-++=-=-=()()()()2024202420212021201820182015522a a a a a a a a a a =-+-+-++-+ ()67423202420242021201820152212242322221111877⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=+++++=+=+=- {}n b 32nn n a a +-=2024a n S {}n a n 263,,S S S ,m n ,,m mn n a a a n S {}n a n 263,,S S S 6232S S S =+()()()6231112111111a q a q a q qq q---=+---1q ≠421qq =+,,m mn n a a a 2mn m n a a a =+2mn m n q q q =+()121n m m n q q --=+()141n m m n ⎧-=⎨-=⎩23n m =⎧⎨=⎩263,,S S S ,m n ,,m mn n a a a ()121n m m n q q --=+421q q =+1n =3m =1q =-()121n m m n q q --=+421q q =+,m n ,,m mn n a a a 263,,S S S 263,,S S S ,m n ,,m mn n a a a件.故选：A8. 已知数列满足，，且（，），设（表示不超过实数的最大整数），又，则的最小值是（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】由经过因式分解后得到递推关系，从而得到数列的通项公式，进而得到； 可以表示为两点之间的距离的平方，根据和满足的关系式，通过求距离最小值得到的最小值.详解】因为，所以，所以，左右两边同时减得，即，左右两边同时除以得，，所以，，则，设是抛物线上的整点，为直线上的任意一点，则，点到直线的距离为当即时，，故，当且仅当，时，等号成立，【{}n a 11a =25a =()()()223311116n n n n n n n n a a a a a a a a +---+++=-2n ≥*N n ∈13ni n i i ia c =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑[]x x 23(R)=-+∈m b m m ()222()n m c b n m ++-13141516()()()223311116n n n n n n n n a a a a a a a a +---+++=-{}n a n c ()222()n m c b n m ++-n c n b ()222()n m c b n m ++-()()33221111-+--+=--+n n n n n n n n a a a a a a a a 22110--++>n n n n a a a a ()116+-+=-n n n n a a a a 1156n n n a a a +-=-2n a ()()11121232323-+--=-=-=n n n n n n a a a a a a 123n n n a a +-=3n1121333n n nn a a +--=⨯11233333n nnn a a +-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1123233n nn a --⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭32n nn a =-()21113232-==⎡⎤--⎢⎥===⎢⎥⎣⎦∑∑i inn n i i i i n nc i (),2n P n c 2y x x =-(),m Q mb -23y x =-()2222()=++-n m c b n PQ m P 230x y --=d 235n -=4n =min d =22m i n15P Q d ≥=4n =6n c =从而的最小值为.故选：C.二、多选题：本题共3小题，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9. 过点且与曲线相切的直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】【分析】设过点的切线与曲线相切于点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点求出，即可得解.【详解】设过点的切线与曲线相切于点，因为，则曲线在点处切线斜率为，所以切线方程为，因为切线过点，所以，解得或，故切线方程为或.故选：BC .10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”：“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设第n 层有个球，从上往下n 层球的总数为，则下列结论正确的是（ ）A. B. C ， D.【答案】BCD的.()222()n m c b n m ++-15()1,2P ()32y f x x ==680x y +-=640x y --=3210x y -+=3270x y +-=()1,2P ()y f x =()300,2A x x ()1,2P 0x ()1,2P ()y f x =()300,2A x x ()26f x x '=()y f x =A 206x ()3200026y x x x x -=-()1,2P ()320002261x x x -=-01x =012x =-640x y --=3210x y -+=n a n S 1n n n a a +-=656S =()112n n n n S S -+-=2n ≥123202*********1012a a a a ++++=【分析】根据题意，归纳可得，由此求出数列的通项公式，据此分析选项，即可得答案.【详解】根据题意，，则有，当时，，也满足，所以.，A 选项错误；，B 选项正确；，， C 选项正确；，，D 选项正确.故选：BCD11. 对于无穷数列，定义：，称数列是的“倒差数列”，下列叙述正确的有（ ）A. 若数列单调递增，则数列单调递增B. 若数列是常数列，，则数列是周期数列C. 若，则数列没有最小值D. 若，则数列有最大值1n n a a n --=12341,3,6,10,a a a a ==== 213212,3,,n n a a a a a a n --=-=-= 2n ≥()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ()()()112212n n n n n +=+-+-+++=11a =()12n n n a +=11n n a a n +-=+612345613610152156S a a a a a a =+++++=+++++=2n ≥()112n n n n n S S a -+-==()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭12320231111111111202321212232023202420241012a a a a ⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ {}n a ()1n n nb a n a *=-∈N {}n b {}n a {}n a {}n b {}n b 10n n a a +-≠{}n a 112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭{}n b 112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭{}n b【解析】【分析】可通过反例说明A 错误；令，可推导得到，由此整理得，知B 正确；分别在为偶数和为奇数两种情况下，根据的单调性可确定的单调性和正负，由此确定最大值和最小值，知CD 的正误.详解】对于选项：例如，则，，可知，故错误；对于选项：因为是常数列，可设，则，可得，又因为不是常数列，则，可得，整理得：，所以，可知数列是以为周期的周期数列，故B 正确；对于选项CD ：若，则，①当为偶数时，且单调递增，则，所以且单调递增，此时；②当为奇数时，且单调递减，则，【1n n n b a t a =-=11n na a +=-2n n a a +=n n {}n a {}nb A 52n a n =-213222b =-+=313222b =-=-23b b >A B {}n b 1n n nb a t a =-=111n n a t a ++-=()111111110n n n n n n n n a a a a a a a a ++++⎛⎫--+=-+= ⎪⎝⎭{}n a 10n n a a +-≠1110n n a a ++=11n n a a +=-21111n nn na a a a ++=-=-=-{}n a 2112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1112112nn nb ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭n ()110,12n na =-∈{}n a 11n n a a >>0n b <{}n b ()2min 11347114431214n b b ==--=-=--n 1112n na =+>{}n a 11n n a a >>所以且单调递减，此时；综上所述：既有最大值，又有最小值，C 错误；D 正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，满分15分．12. 已知，则__________．【答案】1024【解析】【分析】对等式两边同时求导可得：，令即可得结果.【详解】因为，两边同时求导可得：，令，可得.故答案为：1024.13. 已知，记，，，，则______．【解析】【分析】多列几项，可以发现计算规律，每四项组合一起求和为，然后每四项组合在一起来求和.【详解】解：，，，，，则所以0nb >{}nb ()1max 1132511223612n b b ==+-=-=+{}n b 56712-8280128(1)x a a x a x x α+=++++ 81ii ia==∑277188(1)28x x a a x α+=+++L 1x =8280128(1)x a a x a x x α+=++++ 277188(1)28x x a a x α+=+++L 1x =87128128821024ii iaa a α==++=⨯=+∑L ()1sin cos f x x x =+()()21f x f x '=⋯()()1n n f x f x +'=⋯12320213333f f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0()1sin cos f x x x =+2()cos sin f x x x =-3()sin cos f x x x =--4()cos sin f x x x =-+51()sin cos ()f x x x f x =+=1234sin cos cos sin sin cos cos sin 03333f f f f x x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++----+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，14. 数列满足，前16项和为540，则 ______________.【答案】【解析】【分析】对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.【详解】，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为，，.故答案为：.【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．12320211234202112342021133335053333350533333()sincos3f f f f f f f f f f f f f f f x πππππππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==+ 132π=={}n a 2(1)31nn n a a n ++-=-1a =7n 1a 1a 2(1)31nn n a a n ++-=-n 231n n a a n +=+-n 231n n a a n ++=-{}n a n n S 16123416S a a a a a =+++++ 135********()()a a a a a a a a =+++++++ 111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++11(102)(140)(5172941)a a ++++++++118392928484540a a =++=+=17a ∴=715. 已知函数.（1）分别求出和的导数；（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）应用导数运算律及复合函数求导即可；（2）先分别求出切线斜率再根据平行线斜率相等求参.【小问1详解】由导数公式得，由复合函数求导法则得；【小问2详解】由可得曲线在点处的切线的斜率，从而切线方程为，即.由，可得曲线在处的切线斜率为，由题意可得，从而，此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为，即，故符合题意.16. 已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，. （1）求和的通项公式；（2）求数列的前n 项和.【答案】（1）()()3211,ex f x x x g x -+=-++=()f x ()g x ()y f x =()1,1()y g x =()R x t t =∈t ()231f x x '=-+()212ex g x -+=-'12t =()231f x x '=-+()212e x g x -+=-'()231f x x '=-+()y f x =()1,1()1312k f ='=-+=-()121y x -=--23y x =-+()212ex g x -+=-'()y g x =()R x t t =∈()212et g t -+=-'212e 2t -+-=-12t =1,12⎛⎫⎪⎝⎭()y g x =12x =1122y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭22y x =-+{}n a {}n b 1121322,21,22a b a b b a ===-=+{}n a {}n b {}n n a b ⋅()*1,2,Nnn n a n b n =+=∈（2）【解析】【分析】（1）直接由等差数列、等比数列的基本量的计算算出公差，公比即可得解.（2）直接由等比数列公式法、错位相减法求和运算即可得解.【小问1详解】由题意设等差数列等比数列的公差公比分别为，则由题意有，解得，所以和的通项公式分别为.【小问2详解】设数列的前n 项和为，由（1）可得，所以，，两式相减得，所以数列的前n 项和为.17. 牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加．（1）设n 年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求，的表达式；（2）至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（，）【答案】（1），（2）至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入【解析】【分析】(1)利用等比数列求和公式可求出n 年内的旅游业总收入与n 年内的总投入；(2)设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，可得，结合(1)进行化简并换元参数解不等式，进而可得结果.()1*2,N n n S n n +=⋅∈,0d q >()223,2222d q d +==++1,2d q =={}n a {}n b ()()1*211,222,N n n n n a n n b n -=+-=+=⋅=∈{}n n a b ⋅n S ()()*12,Nnn n a b n n ⋅=+⋅∈()12223212nn S n =⋅+⋅+++⋅ ()2312223212n n S n +=⋅+⋅+++⋅ ()()()112111412222212412212n n n n n n S n n n -+++⨯--=⋅+++-+=+-+=-⋅- {}n n a b ⋅()1*2,N n n S n n +=⋅∈1514n a n b n a n b lg 20.30≈lg 30.48≈42002005n n a ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭51201204nn b ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭n 0n n b a ->【小问1详解】由题知，每年的追加投入是以40为首项，为公比的等比数列，所以，；同理，每年牧草收入是以30为首项，为公比的等比数列，所以，.【小问2详解】设至少经过n 年，牧草总收入超过追加总投入，即，即，令，，则上式化为，即，解得，即，所以，，即，所以，所以，至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入．18. 过点作曲线（，常数，）的切线．切点为，点在x 轴上的投影是点；又过点作曲线C 的切线，切点为，点在x 轴上的投影是点；……依此类推，得到一系列点，，…，，设点的横坐标为．（1）求数列的通项公式；（2）求证：；（3）求证：．454145402002004515nnn a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯=-⨯ ⎪⎝⎭-545154301201205414nnn b ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯=⨯- ⎪⎝⎭-0n n b a ->545412012020020012020032004545n n n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯---⨯=⨯+⨯->⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦45nt ⎛⎫= ⎪⎝⎭01t <<1202003200t t +->25830t t -+>305t <<4355n⎛⎫< ⎪⎝⎭43lg lg 55n <3lglg 3lg 5lg 3lg 215 2.24lg 4lg 53lg 21lg 5n -+->==≈--3n ≥(1,0)P :k C y x =0x >N k +∈1k >1Q 1Q 1P 1P 2Q 2Q 2P 1Q 2Q ()N ,3n Q n n +∈≥n Q n a {}n a 11n na k ≥+-21ni iik k a =<-∑【答案】（1）（2）证明见详解 （3）证明见详解【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义和数列的递推关系即可求解；（2）由（1）可得，利用二项式定理放缩即可求解；（3）由（1）可得，利用裂项相消法分析证明；【小问1详解】因为，则，若切点是，则切线斜率，则切线方程为.①当时，切线过点，即，得；②当时，切线过点，即，得.所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.【小问2详解】因为，可知，所以.()*N 1nn k a n k ⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭111nn a k ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭()()2121111n n nn k n n k k k k k kn k a k n k k k +--⎡⎤=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-⎝-⎣⎭-⎦()0ky xx =>1k y kx -'=(),kn n n Q a a 1k n k ka -=1()k k n n n y a ka x a --=-1n =(1,0)P 11110()kk a ka x a --=-11k a k =-1n >11(,0)n n P a --110()k k n n n n a ka a a ---=-11n n a k a k -=-{}n a 1k k -1k k -()*N 1nn k a n k ⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭1k >101k >-201211111C C C C 11111nnnn n n n n n k a k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭011C C 111n nnk k ≥+=+--【小问3详解】因为，可得，又因为，则，可得，所以，即.19. 已知数列的前项和为，且（）求数列的通项公式；（）若数列满足，求数列的通项公式；（）在（）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】⑴；⑵.【解析】【详解】试题分析：（1）由递推关系式消去，可得，数列为等比数列，且首项为，公比，所以．（2）由递推得：两式相减得：又当时,所以()()22111111n n nn n k n k k n n k k k n a k k kn k k k k k +---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎡⎤=-++---+--⎝⎭⎣⎦⎪()()12211111i ni i n i i k i k k ki k k k k i a k k =+=⎡⎤=-++--⎧⎫--⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎨⎬⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩-⎭-+⎣⎦∑∑()12211n k n k k k k k k +-⎛⎫ ⎪⎡⎤=-++-⎝+⎣⎭-⎦1k >20,10k k k k --<>()21011n k k k n k k +-⎛⎫ ⎪⎝⎭⎡⎤-++-<⎣⎦()221211n k n k k k k k k k k +-⎛⎡⎤-++-+-<-⎣⎫⎭⎦⎪⎝21ni ii k k a =<-∑{}n a n n S ()22n n S a n N *=-∈1{}n a 2{}n b ()1312231*********n n n n b b b b a +=-+-+-++++ {}n b 322nn n c b λ=+λ{}()n c n N*∈λ2n n a =12832,3519λ-<<n S 12,n n a a +={}n a 22q =2n n a =()()13122311,221212121n n n n b b b b n N +*=-+-+-∈++++ ()()31121231112.221212121nn n n b b b b n ---=-+-+-≥++++ ()()1112.2nn n b n ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭1n =1113,.212b a b ==+()()()3,12{111.2,2n n n n b n n N*==⎛⎫-+≥∈ ⎪⎝⎭（3） 因为所以当时,依据题意,有即分类讨论，为奇数或偶数，分离参数即可求出的取值范围是试题解析：⑴ 由得两式相减,得所以由又得所以数列为等比数列，且首项为，公比，所以．⑵ 由 ⑴ 知由得故即当时,所以⑶ 因为所以当时,依据题意,有即①当为大于或等于的偶数时,有恒成立．2,nn n c b λ=+3n ≥()()111111211,211.22nn nn n n n n c c λλ----⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1132120,2n n n n n c c λ--⎛⎫-=+-+> ⎪⎝⎭()121.322n nnλ-->-+n λ12832,3519λ-<<22,n n S a =-1122n n S a ++=-．1122,n n a a a ++=-12,n n a a +=1122,S a =-11122,2,a a a =-={}n a 22q =2nn a =()*112n n n N a =∈．()()1*3122311,221212121n n n n b b b b n N +=-+-+-∈++++ ()()31121231112221212121nn n n b b b b n ---=-+-+-≥++++ ．()11111,2221n n n n nb +--=-+()()11122n n n b n ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭．1n =1113,212b a b ==+．()()()*3,12{1112,2n n n n b n n N ==⎛⎫-+≥∈ ⎪⎝⎭．2,nn n c b λ=+3n ≥()()111111211,21122nn nn n n nn c c λλ----⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()1132120,2n n n n n c c λ--⎛⎫-=+-+> ⎪⎝⎭()121322n nn λ-->-+．n 412322n nλ->-+又随增大而增大,则当且仅当时,故的取值范围为②当为大于或等于的奇数时,有恒成立,且仅当时,故的取值范围为又当时,由得综上可得,所求的取值范围是点睛：本题考查了数列的递推公式，数列求和及与数列有关的含参问题，涉及分类讨论，属于难题．根据数列前项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析，在处理涉及的数列问题，一般要考虑分为奇数和偶数来分类讨论，含参的的恒成立，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理．1212213312222n n n n ---=-++n 4n =1min2128,33522n n -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭λ128;35λ>-n 312322n nλ-<+3n =1min232,31922n n -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭λ32;19λ<2n =212153220,42n n c c c c λλ-⎛⎫⎛⎫-=-=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8λ<．λ12832,3519λ-<<n 1,2n n =≥(1)n -n。
辽宁省沈阳市联合体2022-2023学年高一下学期期末数学试题(原卷+解析版)
2022—2023学年度（下）联合体高一期末检测数学（满分：150分 考试时间：120分钟）注意事项：1．答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效．4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. cos1560°的值为（ ）A.12B. 12−C.D.2. 已知i 为虚数单位，复数)R z a ∈，则它的共轭复数z 为（ ） A.34i 55+ B. 34i 55−C. 41i 5+D. 41i 5−3. 如图，一个水平放置的四边形ABCD 的斜二测画法的直观图是矩形A B C D ′′′′，A B ′′=O ′是A D ′′的中点，则原四边形ABCD 的面积是（ ）A. B. C. D.4. 已知π02α<<，π2cos 65α+=−，则5πtan 6α −= （ ）A.B. C.D. 5. 已知ABC 的外接圆半径为1，π3A =，则cos cos AC C AB B ⋅+⋅=（ ）A. 12B. 1C.D.6. 已知向量a 、b 满足2= a ，b = 2a b ⋅=− ，设a 与a b + 的夹角为θ，则cos θ=（ ）A.12B. 12−C.D. 7. 函数()1πtan 23f x x =− 在一个周期内的图像是（ ）A. B.C. D.8. 龙洗是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．如图，现有一龙洗盆高15cm ，盆口直径为40cm ，盆底直径为20cm ．往盆内倒入水，当水深6cm 时，盆内水的体积近似为（ ）A. 3581πcmB. 3872πcmC. 31152πcmD. 31436πcm二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 已知i 为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 234i i i i 0+++=B. 2i 2+=C. 若()212i z =−，则z 虚部为4D. 已知复数z 满足2z =，则复数z 在复平面内对应点的集合是以O 为圆心、以2为半径的圆 10. 已知,A B 为点，,,l m n 为直线，,αβ为平面，则下列命题成立的是（ ） A 若m l ⊥，n l ⊥，则//m nB. 若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥C. 若∈A l ，B l ∈，且A α∈，B α∈，则l ⊂αD. 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥11. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ） A. 若A B >，则sin sin A B > B. 若cos sin +ba C c A ，则45A=° C. 若0AB AC BC AB AC+⋅=，则B C = D. 若4a =，π6B =，符合条件的ABC 只有一个，则24b << 12. 如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，P 是正方形1111D C B A 的中心，E 是PC 的中点，则以下结论正确的是（ ）A. BD ⊥平面PACB. 平面1//PAD 平面BDEC. 三棱锥D BCE −的体积为112D. 异面直线PC 与AB 所成的角为45°第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）的.13. 若5sin cos 4αα+=，则sin 2α=______．14. 已知复数13i z =+，213i z =−+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点分别为1Z ，2Z ，则12OZ OZ ⋅=______． 15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=°，15BDC DCA ∠=∠=°，120ACB ∠=°，则A ，B 两点间的距离为______.16. 已知四棱锥P ABCD −底面四边形ABCD且PA ⊥平面ABCD，PA =点M 为线段PC ，则当三棱锥M BCD −的外接球的体积最小时，CM 的长为_________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知复数()()2220235i z mm m m =−−++−，m ∈R ．（1）若复数z 为纯虚数，求实数m 的值； （2）当3m =时，求i z z +．18. 如图，AB 为半圆O 的直径，2AB =，C 为 AB 上一点（不含端点）.（1）用向量的方法证明AC BC ⊥；的（2）若C 是 AB 上更靠近点B 三等分点，Q 为 AC 上的任意一点（不含端点），求QA CB ⋅的最大值.19. 如图，在正六棱锥S ABCDEF −中，O 为底面中心，8SO =，4OB =．（1）若M ，N 分别是棱SB ，SC 的中点，证明：//MN 平面SAD ； （2）若该正六棱锥的顶点都在球Q 的表面上，求球Q 的表面积和体积．20. 已知ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2sin tan b A a B =． （1）求角B ；（2）若4a c +=，求ABC 周长的最小值，并求出此时ABC 的面积．21. 已知向量()cos ,cos a x x =，()cos b x x = ，函数()2f x a b =⋅，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最小正周期、值域；（2）对任意实数1x ，2x ，定义{}11212212,max ,,x x x x x x x x ≥ = < ，设()}maxsin ,cos g x x a x =，x ∈R ，a 为大于0的常数，若对于任意1x ∈R ，总存在2x ∈R ，使得()()12g x f x =恒成立，求实数a的取值范围．22. 如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠= ，//AD BC ，AB AC ⊥，AB AC ==E 在AD 上，且2AE ED =．（1）已知点F 在BC 上，且2=CF FB ，证明：平面PEF ⊥平面PAC ；的的（2）求点D到平面PAB的距离．2022—2023学年度（下）联合体高一期末检测数学（满分：150分 考试时间：120分钟）注意事项：1．答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效．4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. cos1560°的值为（ ）A.12B. 12−C.D. 【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式与特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】()1cos1560cos 4360120cos1202°=×°+°=°=−. 故选：B.2. 已知i 为虚数单位，复数()2iR 2iz a −∈+，则它的共轭复数z 为（ ） A.34i 55+ B. 34i 55−C. 41i 5+D. 41i 5−【答案】A 【解析】【分析】利用复数的四则运算与共轭复数的概念即可得解.【详解】因为2i (2i)(2i)34i 34i 2i (2i)(2i)555z−−−−====−++−，所以34i 55z =+. 故选：A.3. 如图，一个水平放置的四边形ABCD 的斜二测画法的直观图是矩形A B C D ′′′′，A B ′′=O ′是A D ′′的中点，则原四边形ABCD 的面积是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先求出O B ′′，A D ′′，即可得到平面图形中AD ，OB 的值，即可求出四边形ABCD 的面积.【详解】在直观图中O A B ′′′△为等腰直角三角形，所以O A A B ′′′′==所以O B ′′O ′是A D ′′的中点，所以2A D O A ′′′′==，所以在平面图形中AD =，2OB O B ′′==所以ABCD S AD OB =×==故选：A 4. 已知π02α<<，π2cos 65α+=−，则5πtan 6α −= （ ）A.B. C.D. 【答案】C 【解析】【分析】利用三角函数的基本关系式与诱导公式即可得解.【详解】因为π02α<<，所以ππ2π663α<+<，则πsin 6α +所以πsin π6tan π6cos 6ααα+ += +，所以5πtan 6α−= ππtan πtan 66αα−+=−+.故选：C.5. 已知ABC 的外接圆半径为1，π3A =，则cos cos AC C AB B ⋅+⋅=（） A. 12B. 1C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理化边为角，再利用两角和的正弦公式结合三角形内角和定理即可得解. 【详解】由正弦定理可得2sin sin sin AB AC BCC B A===， 所以2sin,2sin ABC AC B ==， 则()cos cos 2sin cos 2sin cos 2sin 2sin AC C AB B B C C B B C A ⋅+⋅=+=+==.故选：D6. 已知向量a 、b满足2= a ，b = 2a b ⋅=− ，设a 与a b + 的夹角为θ，则cos θ=（ ） A.12B. 12−C.D. 【答案】C 【解析】【分析】由已知条件，求出a b + 及()a ab ⋅+，然后利用向量的夹角公式即可求解.【详解】解：因为2a = ，b = 2a b ⋅=−，所以a + ，.()22222a b a b a a ⋅++=⋅==− ，所以()cos a b ba a aθ⋅==++故选：C.7. 函数()1πtan 23f x x =− 在一个周期内的图像是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用正切函数的周期及单调区间排除错误选项，即可得到正确结果.【详解】函数()1πtan 23f x x =−的最小正周期π2π12T ==， ∵选项D 的最小正周期5πππ66T=−−=，D 错误； 令π1ππππ,2232k x k k −<−<+∈Z ，解得π5π2π2π,33k x k k −<<+∈Z ，故()1πtan 23f x x =− 的单调递增区间为()π5π2π,2π33k k k−+∈ Z ，取0k =，则()1πtan 23f x x =− 的单调递增区间为π5π,33 − ，故A 正确，B 、C 错误； 故选：A.8. 龙洗是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．如图，现有一龙洗盆高15cm，盆口直径为40cm，盆底直径为20cm ．往盆内倒入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（ ）A. 3581πcmB. 3872πcmC. 31152πcmD. 31436πcm【答案】B【解析】 【分析】结合题意，利用平行线分线段成比例求得EF ，从而利用圆台的体积公式即可得解.【详解】如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长EC 与FD 交于点G .根据题意，得20cm,10cm,15cm,6cm AB CD AC EC ====.设cm,cm CG x EF y ==,CG CD CG AG EF EG=，即1010,20156x x x y x ==++，解得15,14x y ==，所以盆内水的体积为(()2231π14106872πcm 3V =+×. 故选：B. 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 已知i 为虚数单位，下列说法正确的是（ ）A. 234i i i i 0+++=B. 2i 2+=C. 若()212i z =−，则z 的虚部为4D. 已知复数z 满足2z =，则复数z 在复平面内对应点的集合是以O 为圆心、以2为半径的圆【答案】AD【解析】【分析】根据复数的乘方判断A ，根据复数的模判断B ，根据复数的乘法化简，再由复数的概念判断C ，根据复数的几何意义判断D.【详解】对于A ：234i i i i i 1i 10+++=−−+=，故A 正确；对于B ：2i +=，故B 错误； 对于C ：()()22i 12i 412i 34i z =−=−−−+=，所以z 的虚部为4−，故C 错误；对于D ：令i z x y =+，,R x y ∈，因为2z =2=，则224x y +=， 所以复数z 在复平面内对应点的集合是以O 为圆心、以2为半径的圆，故D 正确；故选：AD10. 已知,A B 为点，,,l m n 为直线，,αβ为平面，则下列命题成立的是（ ）A. 若m l ⊥，n l ⊥，则//m nB. 若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥C. 若∈A l ，B l ∈，且A α∈，B α∈，则l ⊂αD. 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥【答案】BC【解析】【分析】对于AD ，利用线面的位置关系直观想象即可判断；对于B ，利用线面与面面平行与垂直的性质与判定定理判断即可；对于C ，利用平面的性质即可判断.【详解】对于A ，若,m l n l ⊥⊥，则直线,m n 可能平行、相交或异面，故A 错误；对于B ，因为//,m n m α⊥，所以n α⊥.又因为//n β，所以β内存在一条直线//l n ，所以l α⊥.由l β⊂，从而得到αβ⊥，故B 正确；对于C ，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在此平面内.因为∈A l ，B l ∈，且,A B αα∈∈，则l ⊂α，故C 正确；对于D ，由m n ⊥，如下图示//,m m m β′′⊂，此时//αβ，故D 错误.故选：BC.11. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ）A. 若A B >，则sin sin A B >B. 若cos sin +b a C c A ，则45A=° C. 若0AB AC BC AB AC+⋅=，则B C = D. 若4a =，π6B =，符合条件的ABC 只有一个，则24b << 【答案】ABC【解析】 【分析】根据正弦定理判断A 、D ，利用正弦定理将边化角，再结合诱导公式及两角和正弦公式即可判断B ，根据单位向量及向量加法的平行四边形法则判断C.【详解】对于A ：在三角形中，由A B >可得a b >，根据正弦定理可得sin sin A B >，故A 正确； 对于B ：因为cos sin +b a C c A ，由正弦定理可得sin sin cos sin sin sin()sin cos cos sin B A C C A A C A C A C =+=+=+， 所以sin sin cos sin C A A C =，由在三角形中sin 0C >，所以tan 1A =，又0180A <<°°，所以45A=°，故B 正确； 对于C ：由AB AB 、AC AC分别为向量AB 、AC 方向上单位向量， 根据平行四边形法则向量AB AC AB AC+ 平分角BAC ∠， 又0AB AC BC AB AC+⋅=， 的的所以AB AC =，所以B C =，故C 正确；对于D ：若24b <<，即sin a B b a <<，此时符合条件的ABC 有两个，故D 错误．故选：ABC ．12. 如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，P 是正方形1111D C B A 的中心，E 是PC 的中点，则以下结论正确的是（ ）A. BD ⊥平面PACB. 平面1//PAD 平面BDEC. 三棱锥D BCE −的体积为112 D. 异面直线PC 与AB 所成的角为45°【答案】ABC【解析】 【分析】对于A ，利用线面垂直的判定定理即可得解；对于B ，利用线面平行与面面平行的判定定理即可得解；对于C ，利用三棱锥的体积公式即可得解；对于D ，利用异面直线的定义与余弦定理即可得解.详解】对于A ，设AC 与BD 交于点O ，连接PO ，如图，则PO ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以PO BD ⊥，又,,,AC BD PO AC O PO AC ⊥=⊂ 平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，故A 正确； 对于B ，连接OE ，因为,O E 分别是,AC PC 的中点，则//OE PA ，又OE ⊄平面1PAD ，PA ⊂平面1PAD ，故//OE 平面1PAD ，【易得1//D P BD ，又BD ⊄平面1PAD ，1D P ⊂平面1PAD ，故//BD 平面1PAD ，又OE BD O = ，,OE BD ⊂平面BDE ，所以平面1//PAD 平面BDE ，故B 正确；对于C ，因为E 是PC 的中点，所以E 到底面ABCD 的距离为1122PO =， 则11111132212D BCE E BCD V V −−==××××=，故C 正确； 对于D ，因为//CD AB ，所以异面直线PC 与AB 所成的角为DCP ∠或其补角，连接PD，则1,CD PC PD == PCD中，221cos DCP +−∠≠ 所以异面直线PC 与AB 所成的角不等于45°，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题C 选项解决的关键是利用中点的性质得到E 到底面ABCD 的距离，从而利用等体积法即可得解.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共45分，共20分）13. 若5sin cos 4αα+=，则sin 2α=______． 【答案】916【解析】【分析】根据二倍角的正弦公式及平方关系运算求解即可． 【详解】∵5sin cos 4αα+=， ∴()225sin cos 12sin cos 1sin 216ααααα+=+=+=， ∴9sin 216α=， 故答案为：916． 14. 已知复数13i z =+，213i z =−+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点分别为1Z ，2Z ，则12OZ OZ ⋅=______． 在【答案】0【解析】【分析】利用复数的几何意义得到12,Z Z 的坐标，从而得到12,OZ OZ ，由此利用向量的数量积运算即可得解. 【详解】因为复数123i,13i z z =+=−+在复平面上对应的点分别为12,Z Z ，所以12(3,1),(1,3)Z Z −，则12(3,1),(1,3)OZ OZ − ，所以123(1)130OZ OZ ⋅=×−+×=.故答案为：0.15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=°，15BDC DCA ∠=∠=°，120ACB ∠=°，则A ，B 两点间的距离为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，求得各个角度，即可得AD 长，根据正弦定理，可得BD 长，根据余弦定理，即可得答案.【详解】因为135ADB ∠=°，15BDC DCA ∠=∠=°， 所以150ADC ∠=°，15DAC DCA ∠=∠=°，所以80AD CD ==，又因为120ACB ∠=°，所以135,30BCD CBD ∠=°∠=°，由正弦定理得：sin sin BD CD BCD CBD =∠∠8012=，解得BD = 在ABD △中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+−⋅∠，所以22280280AB =+−×× ，解得AB =m .故答案为：16. 已知四棱锥P ABCD −的底面四边形ABCD且PA ⊥平面ABCD，PA =，点M 为线段PC 上的动点（不包含端点），则当三棱锥M BCD −的外接球的体积最小时，CM 的长为_________．【答案】2【解析】【分析】连接MA ，由题意知三棱锥M BCD −的外接球即四棱锥M ABCD −的外接球，然后设四棱锥M ABCD −外接球的球心为O ，半径为R ，连接AC 与BD 交于点1O ，利用几何体的结构特征分析出当O 与1O 重合时，三棱锥M BCD −的外接球的体积最小，然后设CM 的中点为N ，连接1O N ，利用三角形相似求得CN ，即可求得CM 的长【详解】因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥，连接MA ，由题意可知三棱锥M BCD −的外接球即四棱锥M ABCD −的外接球，则当三棱锥M BCD −外接球的体积最小时，四棱锥M ABCD −外接球的半径最小，设四棱锥M ABCD −外接球的球心为O ，半径为R ，连接AC 与BD 交于点1O ，当O 与1O 不重合时，连接1OO ，易知1OO ⊥平面ABCD ，则11OO O C ⊥，连接OC ，在1Rt OO C △中，1R OC O C =>，当O 与1O 重合时，1R OC O C ==， 所以当三棱锥M BCD −的外接球的体积最小时，O 与1O 重合，1R O C =.设CM 的中点为N ，连接1O N ，易知1O N CM ⊥，则11cos CN AC O CN CO PC∠==，=1CN =，所以22CM CN ==，故答案为：2四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知复数()()2220235i z m m m m =−−++−，m ∈R ．（1）若复数z 为纯虚数，求实数m 的值；（2）当3m =时，求i z z +．【答案】（1）4−（2）66i +【解析】【分析】（1）根据实部为0，虚部不为0得到方程（不等式）组，解得即可；（2）首先求出z ，再根据复数代数形式的运算法则计算可得.【小问1详解】因为复数()()2220235i z m m m m =−−++−为纯虚数，所以222002350m m m m −−= +−≠ ，解得4m =−【小问2详解】当3m =时1420i z =−−， 所以()()2i i 1420i 1420i 14i 20i 1420i 66i z z +=−−+−+=−−−+=+. 18. 如图，AB 为半圆O 的直径，2AB =，C 为 AB 上一点（不含端点）.（1）用向量的方法证明AC BC ⊥；（2）若C 是 AB 上更靠近点B 的三等分点，Q 为 AC 上的任意一点（不含端点），求QA CB ⋅ 的最大值. 【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可证； （2）利用坐标表示出QA CB ⋅ ，然后由三角函数性质可得.【小问1详解】如图，建立平面直角坐标系.（方法一）由题意可知1OB =，设COB α∠=，则()0,απ∈， ()1,0A −，()10B ,，()cos ,sin C αα，得()cos 1,sin AC αα=+ ，()cos 1,sin BC αα=− ，所以22cos 1sin 110AC BC αα⋅=−+=−= ，故⊥ AC BC ，即AC BC ⊥. （方法二）由题意可知1OB =，()1,0A −，()10B ,，设(),C a b ，则1OB OC ==，得221a b +=，得()1,AC a b =+ ，()1,BC a b =− ，所以221110AC BC a b ⋅=−+=−= ，故⊥ AC BC ，即ACBC ⊥. 【小问2详解】 由题意得3COB π∠=，则12C ， 设QOB β∠=，则,3πβπ ∈，()cos ,sin Q ββ， 由（1）得1,2CB OB OC =−= ，()1cos ,sin QA ββ=−−− ，所以111cos sin 2262QA CB πβββ ⋅=−−=−−， 由,3πβπ ∈ ，得5,666πππβ −∈ ，当62ππβ−=，即23πβ=时，()max 12QA CB ⋅= . 故QA CB ⋅ 的最大值为12.19. 如图，在正六棱锥S ABCDEF −中，O 为底面中心，8SO =，4OB =．（1）若M ，N 分别是棱SB ，SC 的中点，证明：//MN 平面SAD ； （2）若该正六棱锥的顶点都在球Q 的表面上，求球Q 的表面积和体积．【答案】（1）证明见解析 （2）100πS =，500π3V = 【解析】【分析】（1）依题意可得//MN BC ，再由正六边形的性质得到//AD BC ，即可得证；（2）依题意可知球心Q 一定在直线SO 上，设球Q 的半径为R ，利用勾股定理求出R ，在根据球的表面积与体积公式计算可得. 【小问1详解】因为M ，N 分别是棱SB ，SC 的中点，所以//MN BC ，在正六边形ABCDEF 中，60AOB OBC ∠=∠=°，所以//AD BC ， 所以//MN AD ，又MN ⊄平面SAD ，AD ⊂平面SAD ，所以//MN 平面SAD 【小问2详解】依题意可知球心Q 一定在直线SO 上，设球Q 的半径为R ，则QSQB R ==， 又222QB OQ OB =+，所以()22284R R =−+，解得5R =，所以球Q 的表面积24π100πS R ==，体积34π500π33R V ==.20. 已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2sin tan b A a B =． （1）求角B ；（2）若4a c +=，求ABC 周长的最小值，并求出此时ABC 的面积． 【答案】（1）π3（2）ABC 的周长的最小值为6，ABC S = 【解析】【分析】（1）将切化弦，再由正弦定理将边化角，即可得解；（2）利用余弦定理及基本不等式求出b 的最小值，即可求出周长的最小值，与此时三角形的面积. 【小问1详解】因为sin 2sin tan cos BbA aB a B==，即2sin cos sin b A B a B =， 由正弦定理可得2sin sin cos sin sin B A B A B =， 因为sin 0A >，sin 0B >，所以2cos 1B =，所以1cos 2B =， 因为()0,πB ∈，所以π3B =. 【小问2详解】由余弦定理()22222cos 3163b a c ac B a c ac ac =+−=+−=−， 即2316ac b =−，所以223163122a c ac b + =−≤=，所以24b ≥，解得2b ≥或2b ≤−（舍去）， 当且仅当2a c ==时取等号，所以min 2b =，即ABC 的周长的最小值为6，此时1sin 2ABC S ac B == 21. 已知向量()cos ,cos a x x =，()cos b x x = ，函数()2f x a b =⋅，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最小正周期、值域； （2）对任意实数1x ，2x ，定义{}11212212,max ,,x x x x x x x x ≥ =< ，设()}maxsin ,cos g x x a x =，x ∈R ，a 为大于0的常数，若对于任意1x ∈R ，总存在2x ∈R ，使得()()12g x f x =恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）π；[1,3]−（2）【解析】【分析】（1）利用向量的数量积运算与辅助角公式化简()f x ，从而利用三角函数的性质即可得解； （2）将问题转化为{}{}()()y y g x y y f x =⊆=，从而结合{}12max ,x x 的定义，分类讨论求得()g x 的值域，由此利用数轴法即可得解.【小问1详解】因为()cos ,cos a x x =，()cos b x x = ，函数()2f x a b =⋅ ，所以2()2cos cos cos 2212 f x x x x x b x a =⋅=+=++π2sin 216x++，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==， 因为x ∈R ，所以πsin 2[1,1]6x +∈−，所以π2sin 21[1,3]6x++∈−， 故函数()f x 的值域为[1,3]−. 【小问2详解】若对于任意1x ∈R ，总存在2x ∈R ，使得()()12g x f x =恒成立， 则{}{}()()y y g x y y f x =⊆=，因为}sin sin cos ()max sin ,cos cos sin cos x x a xg x x a x a x x a x≥< ，sin cos x a x ≥sin cos 0x a x −≥，即π2sin 06a x−≥， 因为0a >，则πsin 06x −≥，即π2π2ππ,6k x k k ≤−≤+∈Z ，解得π7π2π,2π,66x k k k∈++∈Z ，则()sin g x x =∈；sin cos x a x <时，则5ππ2π,2π,66x k k k∈−++∈ Z，()cos ,g x a x a =∈ ， 综上：()g x的值域为， 又()f x 的值域为[1,3]−，所以013a >≥− ≤，解得a ∈ ，所以实数a 的取值范围是 .【点睛】关键点睛：本题解决的关键有二，一是将问题转化为()f x 与()g x 的值域之间的关系，二是理解新定义的含义，结合三角函数的性质，分类讨论求得()g x 的值域，从而得解.22. 如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠= ，//AD BC ，AB AC ⊥，AB AC ==E 在AD 上，且2AE ED =．（1）已知点F 在BC 上，且2=CF FB ，证明：平面PEF ⊥平面PAC ； （2）求点D 到平面PAB 的距离． 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）证明出EF ⊥平面PAC ，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）取BC 的中点G ，连接DG ，取AB 的中点H ，连接GH ，分析可知点D 到平面PAB 的距离等于点C 到平面PAB 的距离，证明出GH ⊥平面PAB ，求出GH 的长，即为所求. 【小问1详解】由AB AC ⊥且AB AC ==ABC 是等腰直角三角形，且2BC ，又因为四边形ABCD 为直角梯形，且90ADC ∠= ，//AD BC ，则45CAD ACB ∠=∠= ，所以，cos 451AD DC AC === ， 因为2BC =，2AE ED =，2=CF FB ，所以，2221333AE AD ==×=，1122333BF BC ==×=，又因为//AD BC ，即//AE BF ，且AE BF =， 所以，四边形AEFB 为平行四边形，即//EF AB ， 又因为AB AC ⊥，故EFAC ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，EF ⊂底面ABCD ，所以，EF PA ⊥， 因为PA AC A = ，PA 、AC ⊂平面PAC ，所以，EF ⊥平面PAC ， 因为EF ⊂平面PEF ，因此，平面PEF ⊥平面PAC . 【小问2详解】取BC 的中点G ，连接DG ，因为//AD BG ，12AD BC BG ==，则四边形ADGB 为平行四边形，所以，//AB DG ， 因为AB ⊂平面PAB ，DG ⊄平面PAB ，所以，DG//平面PAB ， 所以，点D 到平面PAB 的距离等于点G 到平面PAB 的距离， 因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以，AC PA ⊥，又因为AC AB ⊥，AB PA A = ，AB 、PA ⊂平面PAB ，所以，AC ⊥平面PAB ， 取AB 的中点H ，连接GH ，因为H 、G 分别为AB 、BC 的中点，所以，//GH AC ，所以，GH ⊥平面PAB ，又因为45ABC ∠= ，所以，点G 到平面PAB 的距离为12GHAC ==，所以，点D 到平面PAB .。
辽宁省沈阳市第一二〇中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题
．．．．若实数a ，b ，c 满足2log a =其中()1,2k ∈，则下列结论正确的是．b c a b >log log a b b c >log b a c>．b ac b >“”=212照上面的方式任意叠放，则得到的二进制数所对应的十进制数小于（1）根据频率分布直方图，求这100个奶嘴的挥发性物质含量的中位数；（2）为了解产品不合格的原因，用分层抽样的方法从分析，然后从这6个中抽取2个进一步实验，求在（3）若这100个奶嘴的挥发性物质含量的平均值大于新产品是否需要技术改进？19．在OAB 中，设,OA a OB b ==，若1,4 OC a OD =(1)用,a b 表示OM；(2)在线段AC ，BD 上分别取,E F ，使EF 过M 最小值.20．设函数()()1x xf x a k a -=--，（0a >且a由图可知，直线1y =与曲线()y f x =有2个交点，即方程()1f x =只有所以，方程()f x a =有3解，即直线y a =与曲线()y f x =有3个交点，则故选：A.9．ABC【分析】将平行四边行转化为向量相等，通过向量的坐标表示可得结果由图像可知，函数()f x 的图像与直线y k =不可能有4个交点，所以不存在()y f x k =-有4个零点，A 选项错误；当0a =时，()f x x x =，函数定义域为R ，()f x x x x x f -=--=-=-函数，B 选项正确；当0a ≤或2a ≥时，()f x 在区间[]0,1上单调递增，最大值为()1f ；当12a ≤<时，12a <，()f x 在区间0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最大值为2a f ⎛⎫⎪⎝⎭，不合题意；当01a <<时，()f x 在区间0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间调递增，若最大值为()1f ，则有()1()2a f f ≥，即122a a a a -≥-，由0a <<解得0222a <≤-；综上，()f x 在区间[]0,1上最大值为()1f ，则a 的取值范围为222a ≤-计算()35g -=，()37g =，要使()g x a <的解集是区间(-所以实数a 的取值范围是(,5-∞故答案为：(],5-∞.17．(1)1[,)2-+∞(2)3[,1)2--【分析】(1)根据给定条件可得(2)求出R A ð，再求出非空集合【详解】（1）集合{1A x =-≤得B A ⊆，当B =∅时，21m ≥，解得m 当B ≠∅时，2121m m <⎧⎨≥-⎩，解得所以实数m 的取值范围为1[2-（2）依题意，()R ,1A =-∞- ð从而得R ()2,1)((B A m ⋂=⋂-∞ð。