三角函数诱导公式教学课件
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人教高中数学必修一A版《诱导公式》三角函数说课教学课件复习(诱导公式二、三、四)
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1．如果 α，β 满足 α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是( )
①sin α＝sin β；②sin α＝－sin β；③cos α＝－cos β；④cos α＝cos β；
⑤tan α＝－tan β.
A．1
B．2
C．3
D．4
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C [因为 α＋β＝π，所以 sin α＝sin(π－β)＝sin β，
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1．计算：(1)cosπ5＋cos25π＋cos35π＋cos45π； (2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)．
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[解] (1)原式＝cosπ5＋cos45π＋cos25π＋cos35π
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B.
3 3
C．－ 3
D. 3
C [tan－43π＝tan－2π＋23π＝ 2π tan 3
＝tanπ－π3＝－tanπ3＝－ 3.]
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3．已知 tan α＝3，则 tan(π＋α)
＝________.
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60°)＝－sin 60°＝－ 23. 法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
三角函数的诱导公式 课件
诱导公式五、六
自学导引
1．诱导公式五、六
公式五：sin π2－α＝ cos α ，cos π2－α＝ sin α ； 公式六：sin π2＋α＝ cos α ，cos π2＋α＝－sin α . 公式五和公式六可以概括如下：
π 2±α
的正弦(余弦)函数值，分别等于
α
的余弦(正弦)函数值，前
面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
由 cos α≤0 可知，角 α 的终边也可以在坐标轴上．
[正解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限或 x 轴的非正半轴上或 y 轴上．
角的概念推广后，按角的终边的位置，可以将角分为 象限角与坐标轴上的角．同学们在学习过程中，不能只记住了 象限角，而把终边在坐标轴上的角遗忘了．
2．利用诱导公式可得到如下结论： sin 32π－α＝－cos α，cos 32π－α＝－sin α； sin 32π＋α＝－cos α，cos 32π＋α＝sin α.
想一想：你能结合诱导公式三、五推导出诱导公式六吗？ 提示 诱导公式六的推导： ∵π2＋α＝π2－(－α)，由诱导公式五得： sin π2＋α＝sin π2－－α＝cos (－α)＝cos α， cos 2π＋α＝cos 2π－－α＝sin (－α)＝－sin α. 即 sin π2＋α＝cos α，cos 2π＋α＝－sin α.
－cos 3π＝－12.
(12 分)
【题后反思】 这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时， 可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角 三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．
误区警示 对角的终边位置考虑不全面而出错 【示例】 若|cos α|＝sin 32π－α，请指出角 α 的终边的位置． [错解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限．
自学导引
1．诱导公式五、六
公式五：sin π2－α＝ cos α ，cos π2－α＝ sin α ； 公式六：sin π2＋α＝ cos α ，cos π2＋α＝－sin α . 公式五和公式六可以概括如下：
π 2±α
的正弦(余弦)函数值，分别等于
α
的余弦(正弦)函数值，前
面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
由 cos α≤0 可知，角 α 的终边也可以在坐标轴上．
[正解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限或 x 轴的非正半轴上或 y 轴上．
角的概念推广后，按角的终边的位置，可以将角分为 象限角与坐标轴上的角．同学们在学习过程中，不能只记住了 象限角，而把终边在坐标轴上的角遗忘了．
2．利用诱导公式可得到如下结论： sin 32π－α＝－cos α，cos 32π－α＝－sin α； sin 32π＋α＝－cos α，cos 32π＋α＝sin α.
想一想：你能结合诱导公式三、五推导出诱导公式六吗？ 提示 诱导公式六的推导： ∵π2＋α＝π2－(－α)，由诱导公式五得： sin π2＋α＝sin π2－－α＝cos (－α)＝cos α， cos 2π＋α＝cos 2π－－α＝sin (－α)＝－sin α. 即 sin π2＋α＝cos α，cos 2π＋α＝－sin α.
－cos 3π＝－12.
(12 分)
【题后反思】 这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时， 可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角 三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．
误区警示 对角的终边位置考虑不全面而出错 【示例】 若|cos α|＝sin 32π－α，请指出角 α 的终边的位置． [错解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限．
三角函数的诱导公式ppt课件
这些公式通过角度的加、减、乘、除和周期性，将任意角度的三角函数转换为基 本角度（0度、90度、180度、270度、360度）的三角函数。
三角函数诱导公式的重要性
三角函数诱导公式是学习和研究三角函数的基础，是解决三角函数问题的重要工具。
通过诱导公式，我们可以简化复杂的三角函数表达式，求解三角函数的值，以及进 行三角函数的化简和恒等变换。
利用三角函数的和差角公式推导
和差角公式总结
三角函数还有一些和差角公式，如$sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y$和$cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y$。利用这些公式可以推导出一些诱导公式。
具体推导
例如，利用和差角公式，我们可以推导出$sin(180^circห้องสมุดไป่ตู้- x) = sin 180^circ cos x + cos 180^circ sin x = cos x$。同样地，利用和差角公式，也可以推导出其他诱导公式。
在工程领域的应用
在工程领域中，三角函数诱导公式被 广泛应用于各种实际问题的解决。例 如，在机械工程中，三角函数诱导公 式可以帮助我们更好地设计和分析机 械零件的力学性能。
VS
在航空航天工程中，三角函数诱导公 式被用于分析和设计飞行器的姿态控 制和导航系统。此外，在土木工程、 水利工程和交通运输等领域中，三角 函数诱导公式也有着广泛的应用。
已知$tangamma = -frac{1}{3}$，求 $tan(180^circ + gamma)$的值。
高阶练习题
总结词
综合运用诱导公式解决复杂问题
练习题7
已知$cos(180^circ + alpha) = -frac{4}{5}$，求$sin(270^circ + alpha)$的值。
三角函数诱导公式的重要性
三角函数诱导公式是学习和研究三角函数的基础，是解决三角函数问题的重要工具。
通过诱导公式，我们可以简化复杂的三角函数表达式，求解三角函数的值，以及进 行三角函数的化简和恒等变换。
利用三角函数的和差角公式推导
和差角公式总结
三角函数还有一些和差角公式，如$sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y$和$cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y$。利用这些公式可以推导出一些诱导公式。
具体推导
例如，利用和差角公式，我们可以推导出$sin(180^circห้องสมุดไป่ตู้- x) = sin 180^circ cos x + cos 180^circ sin x = cos x$。同样地，利用和差角公式，也可以推导出其他诱导公式。
在工程领域的应用
在工程领域中，三角函数诱导公式被 广泛应用于各种实际问题的解决。例 如，在机械工程中，三角函数诱导公 式可以帮助我们更好地设计和分析机 械零件的力学性能。
VS
在航空航天工程中，三角函数诱导公 式被用于分析和设计飞行器的姿态控 制和导航系统。此外，在土木工程、 水利工程和交通运输等领域中，三角 函数诱导公式也有着广泛的应用。
已知$tangamma = -frac{1}{3}$，求 $tan(180^circ + gamma)$的值。
高阶练习题
总结词
综合运用诱导公式解决复杂问题
练习题7
已知$cos(180^circ + alpha) = -frac{4}{5}$，求$sin(270^circ + alpha)$的值。
诱导公式的应用教学课件
在积分运算中的应用
积分运算
诱导公式在积分运 算中有着广泛的应 用，通过诱导公式 可以将复杂的积分 问题化简为简单的 计算。
三角函数积 分
利用诱导公式，可 以快速求解三角函 数的积分，提高解 题效率。
拓展应用
诱导公式不仅在积 分运算中有应用， 还可以拓展到其他 数学领域，如求解 微分方程等。
04
诱导公式的应用 实例
诱导公式的应用教 学课件
目录
01 诱导公式的基本概念 02 诱导公式的基本应用 03 诱导公式的拓展应用 04 诱导公式的应用实例 05 诱导公式的注意事项
01
诱导公式的基本 概念
诱导公式定义
基本概念
诱导公式是三角函数中一些具有 特殊性质的恒等式。
应用领域
诱导公式在三角函数的化简、求 值、证明等方面有广泛应用。
导公式来解决一些复杂的数学问题。
解决实际问题
三角函数的图像变换
诱导公式可以应用于三角函数的图像变换中， 例如平移、伸缩和对称变换等，以帮助我们更
好地理解和分析函数的性质。
03
诱导公式的拓展 应用
在解三角形中的应用
解决角度问题
诱导公式可以用于解决解三角形 中的角度问题，通过将角度转换 到已知的坐标系中，简化计算过 程。
角度的化简
利用诱导公式，将角度化简到0到 360度之间，便于后续的三角函数 计算。
特殊角的三角函数值
利用诱导公式，求出特殊角的三 角函数值，为解决实际问题提供 基础数据。
三角函数的求值
在解决三角函数的求值问题时，需 要将角度与弧度制进行转换，利用 诱导公式简化计算。
利用诱导公式，可以快速求出特殊 角的三角函数值，如30°、45°、 60°等。
高中数学《诱导公式》课件
sin
α＝y，cos
α＝x，当x≠0时，tan
α＝
y x
.
(1)如图5.2-8(1)，作点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，－y)，则∠xOP1=－α.
由三角函数的定义可得
sin(－α)＝－y＝－sin α，
cos(－α)＝x＝cos α，
当x≠0时，tan(－α)＝
y x
y x
tan.
(1) 图5.2-8
2 诱导公式．
诱导公式揭示了终边具 有某种对称关系的两个角三 角函数之间的关系.
一 诱导公式
例
12
化简：
(1)
sin
3
2
；
(2)
cos
3
2
.
解
(1)
sin
3
2
sin
2
sin
2
cos
；
(2)
cos
3
2
cos
2
cos
2
sin
.
一 诱导公式
例
13
化简：cos cos
探究α与π －α之间的函数 关系，我们还可以从这两个角 的终边关于y轴对称来推导，试 试看.
一 诱导公式
为了使用方便，我们将上述探究得到的公式总结如下：
公式二 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α.
公式三 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.
利用公式五，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
一 诱导公式
当角α的终边不在坐标轴上时，还可以得出以下公式：
公式六
(2024年)三角函数的诱导公式说课完整版PPT课件
三角函数的诱导公式说课完整版PPT课件•课程介绍与目标•三角函数基本概念回顾•诱导公式推导与理解目录•典型例题分析与解答•学生自主练习与互动环节•课程总结与拓展延伸课程介绍与目标说课内容01020304知识与技能过程与方法情感态度与价值观030201教学目标教学方法与手段教学方法教学手段三角函数基本概念回顾三角函数定义及性质三角函数值的范围三角函数的定义正弦、余弦函数值在正切函数值在全体实数范围内。
三角函数的周期性三角函数在各象限的符号规律正弦、余弦、正切函数均为正值。
正弦函数为正值，余弦、正切函数为负值。
正弦、余弦函数为负值，正切函数为正值。
余弦函数为正值，正弦、正切函数为负值。
第一象限第二象限第三象限第四象限三角函数线及其应用三角函数线的定义三角函数线的性质三角函数线的应用诱导公式推导与理解角度制与弧度制转换关系角度制与弧度制的定义及关系角度与弧度的互化方法特殊角的弧度表示诱导公式推导过程口诀记忆法通过编口诀或顺口溜等方式帮助记忆规律记忆法根据公式间的内在联系和规律进行记忆图像记忆法结合三角函数图像进行记忆和理解诱导公式记忆方法典型例题分析与解答例题1例题2分析解答解答分析利用诱导公式求三角函数值例题3例题4分析解答解答分析判断三角函数符号问题学生自主练习与互动环节学生自主完成练习题练习题一01练习题二02练习题三03小组内成员相互激励和讨论，共同探究解题方法和思路。
通过交流和比较，发现自身在解题过程中的不足和错误，并及时进行纠正和改进。
小组代表向全班汇报讨论结果和解题思路，促进全班同学的共同进步。
小组讨论与交流解题思路教师点评与总结教师针对学生在自主练习和小组讨论中的表现进行点评，肯定学生的优点和进步，指出需要改进的地方。
教师总结本节课的重点和难点，强调诱导公式在三角函数求解中的重要性和应用广泛性。
教师引导学生对本节课所学内容进行回顾和反思，帮助学生加深对知识点的理解和记忆。
课程总结与拓展延伸本节课重点内容回顾三角函数的定义及基本性质三角函数的诱导公式推导与记忆方法诱导公式在三角函数计算中的应用举例三角函数在其他领域的应用举例物理学中的应用振动、波动等物理现象中，三角函数可描述周期性变化。
《三角函数的诱导公式》ppt课件
sin y cos x y tan x
sin( ) y cos( ) x y tan( ) x
y
α的终边
P1 (x, y)
公式三：
α
O
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
数的过程.
(3)熟练掌握三角函数的诱导公式.
作业：
P29 习题1.3 A组 2、3、4
思考：已知A、B、C是ABC的三个内角， 求证（ ： 1 ） cos(2 A B C ) cos A （2） tan( A B) tan(3 C )
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式一：
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan
公式三：
公式二：
cos cos tan tan
三角函数的诱导公式
1.利用单位圆表示任意角α的三角函数值 y α的终边 由定义有： ． P(x,y) sin y ． (1,0) x o cos x y tan x 2.诱导公式一 sin(α+k·360°) = sinα
cos(α+k·360°) = cosα
tan(α+k·360°) = tanα 其中 k∈Z
x A(1,0)
P3 (x,-y)
－的终边
sin( ) y cos( ) x y tan( ) x
sin y cos x y tan x
－的终边
P4 (-x, y)
y α的终边
精品_优质课_三角函数的诱导公式课件
(3)tan(-1560 )
3π 11 π 3π π π(2) π 2 + 4 4 4 4 4
(3) -1560 1560 4 360 +120 120
° °
°
180 - 60
°
°
60°
三角函数的诱导公式
应用数学
变式训练
π 变式一： 求 sin(kπ + ) (k Z) 的值。 6
π 1 当K为偶数时， 原式＝ sin = 6 2 π 1 当K为奇数时， 原式＝ -sin = 6 2
1 变式二： 已知：cos = - , [0, 2 ] 2 试求： 的值。
π 2 π 4 α = π- = π 或 α = π+ = π 3 3 3 3
解后反思
求任意角的三角函数值的具体算法
课外作业
(1). (合作探究)用本课知识方法探究终边关 于y=x对称的角的三角函数的关系。 (2).教材P24： 13, 14
建构数学
诱导公式 sin( + α) = -sinα sin(α + 2kπ) = sinα cos(α + 2kπ) = cosα cos( + α) = -cosα tan(α + 2kπ) = tanα tan( + α ) = tan α (k Z)
O
β
P (x,-y)
x
sinβ -sinα tanβ = = = -tanα cosβ cosα
特别地，可取 β = -α
自主探究
探究3(自主)
如果角α与β的终边关于y 轴对称，那么角α与β的三 角函数值有关系吗？
y
三角函数诱导公式(公开课)ppt课件
cosθ = 邻边/斜边
正切函数
tanθ = 对边/邻边
余切函数
cotθ = 邻边/对边
正割函数
secθ = 斜边/邻边
余割函数
cscθ = 斜边/对边Fra bibliotek 三角函数的性质
01
02
03
04
周期性
正弦、余弦函数周期为2π， 正切、余切函数周期为π
奇偶性
正弦、正切、余割为奇函数， 余弦、余切、正割为偶函数
有界性
证明问题
利用诱导公式证明三角恒等式
通过角度的变换和诱导公式的应用，可以将一些复杂的三角 恒等式转化为简单的等式进行证明。
利用诱导公式证明几何定理
在几何问题中，经常需要利用三角函数来解决。通过诱导公 式的应用，可以将几何问题转化为三角函数的计算问题，从 而证明几何定理。
解方程问题
利用诱导公式解三角方程
复变函数中三角函数的性质
复变函数中三角函数的应用
探讨了复变函数中三角函数的性质，如周 期性、奇偶性、可微性等，并与实数域中 的性质进行了比较。
举例说明了复变函数中三角函数在解析函 数、微分方程等方面的应用，展示了其在 复数域中的独特作用。
感谢观看
THANKS
教学内容与方法
教学内容
三角函数诱导公式的推导 过程、记忆方法和应用举 例。
教学方法
采用讲解、示范、练习等 多种方式进行教学，注重 学生的参与和互动。
教学手段
使用PPT课件、数学软件 等辅助工具进行演示和讲 解，提高教学效果。
02
三角函数基本概念
三角函数的定义
正弦函数
sinθ = 对边/斜边
余弦函数
建筑设计
在建筑设计中，三角函数可用于 计算建筑物的倾斜度、角度和高
正切函数
tanθ = 对边/邻边
余切函数
cotθ = 邻边/对边
正割函数
secθ = 斜边/邻边
余割函数
cscθ = 斜边/对边Fra bibliotek 三角函数的性质
01
02
03
04
周期性
正弦、余弦函数周期为2π， 正切、余切函数周期为π
奇偶性
正弦、正切、余割为奇函数， 余弦、余切、正割为偶函数
有界性
证明问题
利用诱导公式证明三角恒等式
通过角度的变换和诱导公式的应用，可以将一些复杂的三角 恒等式转化为简单的等式进行证明。
利用诱导公式证明几何定理
在几何问题中，经常需要利用三角函数来解决。通过诱导公 式的应用，可以将几何问题转化为三角函数的计算问题，从 而证明几何定理。
解方程问题
利用诱导公式解三角方程
复变函数中三角函数的性质
复变函数中三角函数的应用
探讨了复变函数中三角函数的性质，如周 期性、奇偶性、可微性等，并与实数域中 的性质进行了比较。
举例说明了复变函数中三角函数在解析函 数、微分方程等方面的应用，展示了其在 复数域中的独特作用。
感谢观看
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教学内容与方法
教学内容
三角函数诱导公式的推导 过程、记忆方法和应用举 例。
教学方法
采用讲解、示范、练习等 多种方式进行教学，注重 学生的参与和互动。
教学手段
使用PPT课件、数学软件 等辅助工具进行演示和讲 解，提高教学效果。
02
三角函数基本概念
三角函数的定义
正弦函数
sinθ = 对边/斜边
余弦函数
建筑设计
在建筑设计中，三角函数可用于 计算建筑物的倾斜度、角度和高
1.3三角函数的诱导公式课件
一.复习回顾
任意角三角函数的定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x， y)，那么：
（1）正弦sinα＝ （2）余弦cosα＝
y
P(x,y)
y
x
O
（3）正切tanα＝
y x
x
问题探究
1.终边相同的角的同一三角函数值有什么关系 ? 相等
2.角 -α与α的终边 有何位置关系?
终边关于x轴对称 3.角 -α与α的终边 有何位置关系?
3 当n为奇数时， 4
练习1 求sin(2n+2/3)· cos(n+4/3)的值(nZ)
3 当n为偶数时， 4
2 化简 cos[(4n+1)/4+x]+ cos[(4n-1)/4-x]
当n为奇数时，原式=-2cos(/4+x) 当n为偶数时，原式=2cos(/4+x)
小结
①三角函数的简化过程图：
终边关于y轴对称
4.角 +α与α的终边 有何位置关系? 终边关于原点对称
终边相同的角的同一三角函数值相等
（公式一）
sin( 2k ) sin ( k Z )
cos( 2k ) cos (k Z )
tan( 2k ) tan ( k Z )
三角函数
负化正，大化小，化到锐角为终了。
上述过程体现了由未知到已知的化归思想。
2 (1) cos225 cos(180 45) cos 45 2 11 sin 3 (2) sin sin( 4 ) 3 3 2 3
3 16 n ) (3) sin( ) sin 3 3 2 3 3
-1 0 -1
任意角三角函数的定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x， y)，那么：
（1）正弦sinα＝ （2）余弦cosα＝
y
P(x,y)
y
x
O
（3）正切tanα＝
y x
x
问题探究
1.终边相同的角的同一三角函数值有什么关系 ? 相等
2.角 -α与α的终边 有何位置关系?
终边关于x轴对称 3.角 -α与α的终边 有何位置关系?
3 当n为奇数时， 4
练习1 求sin(2n+2/3)· cos(n+4/3)的值(nZ)
3 当n为偶数时， 4
2 化简 cos[(4n+1)/4+x]+ cos[(4n-1)/4-x]
当n为奇数时，原式=-2cos(/4+x) 当n为偶数时，原式=2cos(/4+x)
小结
①三角函数的简化过程图：
终边关于y轴对称
4.角 +α与α的终边 有何位置关系? 终边关于原点对称
终边相同的角的同一三角函数值相等
（公式一）
sin( 2k ) sin ( k Z )
cos( 2k ) cos (k Z )
tan( 2k ) tan ( k Z )
三角函数
负化正，大化小，化到锐角为终了。
上述过程体现了由未知到已知的化归思想。
2 (1) cos225 cos(180 45) cos 45 2 11 sin 3 (2) sin sin( 4 ) 3 3 2 3
3 16 n ) (3) sin( ) sin 3 3 2 3 3
-1 0 -1
三角函数的诱导公式 课件
sin n
θ＋cos θ－cos
θ θ
右边
公式―一―→、二
tan tan
θ＋1 θ－1
切化―弦―，→化简
sin sin
θ＋cos θ－cos
θ θ
→ 得证
证明：左边 ＝－2sin321π－－2θs·in－2 θsin θ－1 ＝2sinπ＋1－π2－ 2siθn2sθin θ－1 ＝－2sin1－π2－2sθins2inθ θ－1 ＝cos－2 θ2＋cossinθ2siθn－θ2－si1n2 θ
• 【特别提醒】灵活运用几个诱导公式进行化简，在化简的 过程中一定要谨慎，防止出现错误功亏一篑．
求证：2sinθ1－－322πsinc2osπ＋θ＋θπ2－1＝ttaann9ππ＋＋θθ－＋11.
【思路点拨】
左边
―选公―用式→
－2cos θsin 1－2sin2
θ－1 θ
“消1―”公―的因→代式换
12 分
• 【题后总结】遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善
于利用角的变换的思想方法解决问题．
三角函数的诱导公式
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先 行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行 切化弦，以保证三角函数名最少．
(2)对于 kπ±α 和π2±α 这两套诱导公式，切记运用前一套公式 不变名，而后一套公式必须变名．
• 【特别提醒】运用诱导公式时要特别注意三角函数在各象 限的符号．
又 α 为第三象限角
∴cos α＝－
1－sin2
α＝－2 5
6 .
• 【即借题f(α发)的挥值】为熟2练56地. 运用诱导公式进行化简求值时，特别 应注意三角函数的符号．
5.3三角函数的诱导公式课件(人教版)
2
(2)原式＝cos13＋60c°o＋s1108°0°＋－810－°ssiinn29108°＋0°－801°0° ＝ 1＋－cos80°cos80°＝ 1－cos280°
cos10°＋ 1－sin210° 2cos10° ＝2scions8100°°＝2ccooss1100°°＝12.
题型二 三角恒等式的证明 例 2：求证：
sin2(α－π)＝sin2[－(π－α)]＝1
6
6
－cos2(π－α)＝1－( 6
3)2＝2， 33
－c∴osc2o(π6s(－56πα＋)＝α1)－－s(in332()α2＝－23π6，)＝－
3－2＝－2＋
33
3
3.
5.3.2 三角函数的诱导公式
（第二课时）
探究点一 诱导公式五
思考1 如图，在直角三角形中，根据正弦、余弦的定义有
8
【牛刀小试】
例1、求下列各三角函数值：
(1) sin( );
6
(2) cos( );
4
解：
(1) sin( )
6
sin
6
1 2
(2) cos( ) cos
4
4
2 2
(3) tan 210 0.
(3) tan 210 0 tan(180 0 300 ) tan 300 3
3
cos( ) cos, 公式二： sin( ) sin,
tan( ) tan.
7
探究2、角α与角-α的三角函数间的关系. 角α与角-α的三角函数间的关系是：
cos( ) cos , 公式三： sin( ) sin ,
tan( ) tan.
利用公式，我们可以用正角的三角函数表示负角的三角函数.
三角函数的诱导公式课件
公式四
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
α + k ·2 π ( k ∈ Z ) , －α,π±α的三角 函数值,等于α的 同名函数值,前 面加上一个把α 看成锐角时原 函数值的符号.
例1.利用公式求下列三角函数值:
(1) cos225; (2)sin( ); (3) tan120.
（4）角 与角 的三角函数值有什么关
系？ 公式二
y
P(x,y)
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα
π +α α
O
x
tan(π+α)=tanα
P`(-x,-y)
未命1.gsp
自主探究
(1) 同学们, 根据角 终边,那如何找到
角 和角 的终边呢?
(2)这两个角的终边和角 的终边有怎
2
例2、证明（1）sin( ) cos;(2) cos( ) sin
2
2
证明：（1）sin(
2
)
sin
2
(
)
cos(
)
cos
(2) cos(
2
)
cos2
( )
sin(
)
sin
公式六
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
公式五
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
公式六
sin
3
解：(1) cos 225 cos(180 45) cos 45 2 ; 2
(2) sin( ) sin 3 ;
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y=sinx
y=cosx
X
c2=a2+b2
Y
பைடு நூலகம்结论
O
X
由上述推导可得公式二，同理可证公式三和四。
sin（Π+α）= -sinα cos（Π+α）= cosα tan（Π+α）= tanα
sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα
y=sinx
y=cosx
sin（Π-α）= sinα cos（Π-α）= -cosα tan（Π-α）= -tanα
y=cosx
X
c2=a2+b2
Y
观察
O
观察图像，易知： Π-α的终边与角α的终边关于y轴对称； Π+α的终边与角α的终边关于原点对称； 角-α的终边与角α的终边关于x轴对称； 角Π/2 -α的终边与角α的终边关于y=x
对称。
那么，这些角的三角函数又有什么关系呢？
y=sinx
y=cosx
X
c2=a2+b2
2
思考？
y=sinx
y=cosx
c2=a2+b2
Y
推导
O
设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为
P1（x，y）。由于角Π+α的终边与角α的终 边关于原点对称，角Π+α的终边与单位圆的
交点P2与点P1关于原点O对称，因此点P2的坐标 是（-x，-y），由三角函数的定义得：
sinα=y sin（Π+α）=-y
cosα=x cos（Π+α）=-x
tanα=y/x tan（Π+α）=y/x
sinα=y sin（Π -α）=x
2
cosα=x cos（ Π -α）=y
2
y=sinx
y=cosx
X
c2=a2+b2
Y
结论
O
X
由上述推导可得公式五
，又
Π 2
+α=Π-(
Π
2 -α
),由公式四、五
可得公式六。
sin（ Π -α）= cosα
2
cos（Π -α）= sinα
2
sin（Π +α）= cosα
三角函数的诱导公式
sinx cosx tanx cotx
正弦
余弦
余切 正切
Y
思考
O
X
我们利用单位圆定义了三角函数，而圆 具有很好的对称性，能否利用圆的这种对称 性来研究三角函数的性质呢？例如，能否从 单位圆关于x轴、y轴、直线y=x的轴对称性 以及关于原点O的中心对称性等出发，获取 一些三角函数的性质呢？
sin（ Π -α）= cosα sin（ Π +α）= cosα
2
2
cos（Π -α）= sinα
2
Π
cos（ 2 +α）= - sinα
tan（2kΠ+α）
= tanα）， tan（Π+α） tan（-α）= tan（Π-α）
k∈Z
= tanα
-tanα
= -tanα
tan（Π -α）= ？
2
tan（Π +α）= ？
公式 三或一
任意正角的三角 函数
公式一
0-2Π的角的三角 函数
公式 二或三
锐角的三角函数
y=sinx
y=cosx
c2=a2+b2
Y
推导
O
设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为 P的1（终x边，关y于）y。=x由对于称角，（角Π2（-Π2α-）α的）终的边终与边角与单α
位圆的交点P2与点P1关于y=x对称，因此点P2的 坐标是（y，x），由三角函数的定义得：
O
X
公式一～六都叫做诱导公式。（要理解并熟记)
sin（2kΠ+α） sin（Π+α） sin（-α）= sin（Π-α）
= sinα，k∈Z = -sinα
-sinα
= sinα
cos（2kΠ+α） = cosα，k∈Z
cos（Π+α） = cosα
cos（-α）= cosα
cos（Π-α） = -cosα
c2=a2+b2
Y
归纳
O
X
回忆公式一﹝sin（2kΠ+α）= sinα，cos（2kΠ+α）=
cosα，tan（2kΠ+α）= tanα），k∈Z﹞
可归纳概括公式一至四：
2kΠ+α（k∈Z），-α，Π+α，Π-α的三角函数值， 等于α的同名函数值，前面加上一个吧α看成锐角时 原函数值得符号。
y=sinx
2
cos（ Π +α）= - sinα
2
y=sinx
y=cosx
c2=a2+b2
Y
归纳
O
X
归纳概括公式五和六，可得：
Π/2 +α和 Π/2 -α的正弦（余弦） 函数值，分别等于α的余弦（正弦） 函数值，前面加上一个把α看成锐角 时原函数值得符号。
y=sinx
y=cosx
c2=a2+b2
Y
本章小结
y=cosx
c2=a2+b2
Y
例题
O
X
cos（-2040°） = cos2040° = cos（6*360°-120°） = cos120°=cos（180°-60°） = -cos60°= - 1
2
由例题可得出：利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角 三角函数，一般可按下边步骤进行：
任意负角的三角 函数
y=sinx
y=cosx
c2=a2+b2
Y
探究
O
给定一个角α. 角Π-α、Π+α的终边与角α的终边有
什么关系？它们的三角函数之间有什么 关系？ 角-α的终边与角α的终边有什么关系？ 它们的三角函数之间有什么关系？ 角Π/2 -α的终边与角α有什么关系它 们的三角函数之间有什么关系？
y=sinx