第六章 可修系统的可靠性分析

2.2
0.78846
13 1
2.5
9.91629
14 1
2.7
0.99325
15 2
3.0
1.09861
组 观 修复时间 y 对数修复
号察
小时
时间
频
X=lny
数n
16 3
3.3
1.19392
17 2
4.0
1.38629
18 1
4.5
1.50408
19 1
4.7
1.54756
20 1
5.0
1.60944
21 1
5.4
1.68640
22 1
5.5
1.70475
23 1
7.0
1.94591
24 1
7.5
2.01490
25 1
8.8
2.17475
26 1
9.0
2.17922
27 1
10.5
2.33214
28 1
22.0
3.09104
29 1
24.5
3.19867
总 46
数
维修时间服从对数正态分布
N
x
系统平均可用度:
A(t)
t2
1
t1
tt12 A(t)dt
其中(t2 t1 ) 是系统的任务时间间隔，由此可定义系统
的任务时间间隔（0，T）的平均可用度 A* (T ) ，其中，
T 可以是设计寿命；
A
*(T)
1 T
0TA(t)dt
如果系统为不可修系统
A(t) R(t)
,
A*
(T
)
1 T
0T R(t )dt
如果要求不可修系统的平均任务可用度为 95%时，那么可以
求出在指数分布情况下，R(t) et ，可按下列计算得到最
大的设计寿命:
A* (T
)
1 T
0Te t dt
1
T
(1
e T
)
1 (1 1 T 1 (T )2 ) 1 1 T
T
2
2
当T 1，则可求得0.95 1 1 T , T 0.1，
w(T * ) (T * )m 3162 0.09986
m 1000 2
C(T ) C p C f w(T ) 100 1000 0.09986 0.632 / h
T
316
(二)更新型预防维修最佳维修周期的确定
系统停工时间 MDT 可以表示为
MDT R(T )TP (1 R(T )T f
i jT ， j 0,1,2 0 T
1 R(2)
A(t)
0
T
2T
3T
时间
图 5.2-1 理想化保养方式对系统可用度的影响
其中是检查保养期间内的时间，假定系统经每次保养后，
其可靠性如同新的一样，R(T ) 是系统在没有任何保养条件
下，工作到 T 时间的可靠度。理想预防维修系统的可靠度计
②威布尔分布情况：
RPM
(t)
exp
j
T
m
exp
t
jT
m
jT t ( j 1)T
假定t jT ,比较效益如下：
RPM (t) R(t)
RPM ( jT ) R( jT )
exp
j
T
m
jT
m
如果： 则有：
jT
m
j
T
m
j m1 0
m 1
X=lny
数n
11
0.2
-1.60944
21
0.3
-1.20397
34
0.5
-0.69315
42
0.6
-0.51083
53
0.7
0.35667
62
0.8
-0.22314
74
1.0
0.00000
81
1.1
0.09531
91
1.3
0.26236
10 4
1.5
0.40547
11 2
2.0
0.69315
12 1
2 节省费用，提高系统的可用度。
3 用随机变量 来描述部件的维修时间
4 维修度
M(t)
P{τ
t r
}，tr
0
:部件在时刻tr 以
前修复的概率
5 维修密度函数g(t)：
tr
M (tr ) g(t)dt 0
6 平均修复时间：MTTR t g(t)dt
0
串联系统平均修复时间
指数分布
MTTR S
算公式如下：
RPM ( jT ) [R(T )] j R( )
j 0,1,2
0 T
每一次运行时间 T，连续运行j 次的概率为[R(T )] j ，第 j 1 次运行到时间 的概率为R( ) 。
①指数分布情况：
RPM (t) (e ) e t j (t jT ) et 0 t
不必进行预防维修。
系统的平均工作时间 MUT 为
MUT 0T R(t)dt
系统平均可用度 UTR，可由下式计算：
UTR A() MUT MUT MDT
更新型预防维修公式
dUTR 0 dT
Tf TP
Tf T f TP
(T )0T R(t)dt R(T ),
TP T f TP
(T
T
)0
R(t )dt
i
i
MTTR
i
i
i
g(t) et ，MTTR 1 。
维修特征方程： (t) g(t)
1 M (t)
t
M (t) 1 exp (t)dt
0
t
g(t) (t) exp (t)dt
0
计算串联系统的 (MTTR )s
MTTF=500h MTTR=2h
MTTF=400h MTTR=2.5h
MTTF
T MTTR
T
1
T
1
T
f
f
f P0 P1.
故障频率的计算一般情况
fs poa03 p1a13 p2a23
MTBF A() fs
T*
(T
)
0T (t)dt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
T
m
例 5.2-2 某设备工 作 寿命 为 威布 尔分 布 ， m=2 ，
1000hr ，实行维修型预防维修，一次预防性维修
平 均 费 用 C p 100 ， 一 次 故 障 修 理 平 均 费 用 C f 1000 ，试确定这种维修方式的最优维修周期T * 和最小维修费用C *
2 因此，T 0.1 MTTF ，最大的设计寿命为平均寿命的
1/10。
所谓 RAM 分析是指系统的可靠度（Reliability），可用 度（Availability），维修度（Maintainability）的分析。 RAM 分析系统是设计、运行和管理人员有用的技术。 维修有两类性质，即预防维修（事先维修）和修复维修（事 后维修）。预防维修是设备未损坏前进的维修，目的是把设 备修复到具有规定功能的可使用状态，而修复维修是设备已 经出了故障或损坏后进行的维修，目的是把故障或损坏状态 的设备修复到具有原有规定功能的可使用状态。
ni
i1
N
x
30.30439 46
0.65879
29
(x x)2
x i1 N 1 1.11435
g x (x)
1
2
x
exp
1
2
2 x
(x
x
)
2
可用度的定义：
A(t): 在规定的时间 t，系统正处于能完成规定功
能状态的概率，称之为系统的点有效度。
A() : 系统进入稳定状态的可用度，
(1
R(T
)),
讨论几种更新型预防维修的情况
1．(T )=常数，指数分布不必进行预防维修。
TP Tf TP
0T et dt
[1 eT ] 0 ,
TP 0 ，
2．(T )是时间递增函数，如威布尔分布，
0T
R(t)dt
R(T )TP (1 R(T )Tf
(T )(Tf TP )
时间递增函数：威布尔分布
R(
)d
j0
0TR( )d
1 R(T )
两种预防维修的模型
T
TP
T1
TC
T2
TP
故障 修复 （a）维修型
T
TP
T1
TC
T
TP
故障 更新 （b）更新型
TP：预防维修时间；Tf：修复维修时间
(一) 维修型预防维修最佳维修周期的确定
T P 为平均预防维修时间，
T f 为平均修复维修时间， (t) 为故障率，
1 0.05次 / 天
20
1 05次 / 天
2
A() 0.91
6.4 系统可用度
A(t) Ai (t) i
A()
i
i i i
A()
i
1
i i
1 i
i i
6．5 故障频率与故障持续时间
P0
MTTF MTTF MTTR
P1
MTTR MTTF MTTR
P0 P1
可用性又称广义可靠性，广义可靠性是指系统在整个寿命 周期内，在可以维修的情况下，完成规定功能的能力。而狭 义可靠性不考虑系统的可维修性。
6．2 预防维修模型及其维修周期的确定
预防维修是一种计划性的维修活动，不论是保养、维修和 更换都是为了延长设备有用的工作寿命，而最终的目的是为 了使用费用最小。按照规定的程序，每隔一定时间进行检查 保养一次，假定起始时间为零，检查保养的时间间隔为 T， 那么用以下形式来表示 t
RPM (t) R(t)
RPM ( jT ) R( jT )
exp
j
T
m
jp
jT
m
为使预防维修有效，要求：
p
j
m 1
1
T
m
④ 理想预防维修系统的平均失效时间
平均失效时间可积分得到：(MTTF )PM
0 RPM ( jT
)d
0T[
R(T
)]
j
R(
)d
j0
[
R(T
)]
j
0T
MTTF=250h MTTR=1h
2 2.5 1 0.5
MTTRS
解：
500 1
400 1
250 1
100 1
500 400 250 100
0.01925 1.04h 0.0185
MTTF=100h MTTR=0.5h
表5-1 系统修复时间数据
组 观 修复时间 y 对数修复
号察
小时
时间
频
则每一个周期内的平均停用时间（MDT）为
MDT TP T f 0T (t)dt
每一个周期内的平均可用时间（MUT）为
MUT T
维修型预防维修公式
A MUT
T
MUT MDT
T
TP
T
f
T
0
(t )dt
T
(T
)
T
0
(t)dt
TP Tf
T
0
t
'
(t)dt
TP Tf
例6.2-1：
例: 某飞机液压油泵寿命服从威布尔分布， m 1.36 ，
即 m>1 时，威布尔分布情况下，才可能进行预防维修。
③ 在预防维修时，可能引入错误情况：
假定每次预防维修，可能引入人的错误的概率为 p ：
RPM (t) R(T ) j (1 p) j R(t jT ) jT t ( j 1)T
假定 p 1 , (1 p) j e jp 在第j 次预防维修后, 即t jT
第六章 可修系统的可靠性分析
• 6．1 维修度与可用度 • 6．2 预防维修模型及其 • 维修周期的确定 • 6．3 事后维修系统模型 • 6. 4 系统可用度 • 6．5 故障频率与故障持续时间
6．1 维修度与可用度
1 修理或更换，系统恢复功能，过程称之为修复。可修复系
统的可靠性计算通常建立在马尔可夫过程的基础上。
m 790 ，TP TC 1 3，求最大有效度时的维修周期。
1
解:
T
TP m
(m 1)T
f
m
1
T
790 (1.36 1)
1 3
1.36
127.65 小时。
预防维修周期的最小维修费用
CP 为平均预防维修费用， C f 为事后修理费用，
平均维修费用以权重方式：最小维修费用
C(T * ) C p C f (T * )
解:单位时间平均修理费用：
C(T ) Cp C f (T ) , (t) mtm1
T
m
一个周期内的维修次数
(T)=E[n(T)]
T
(t)dt
T
(t)dt
0
0
dC(T ) 0 dT
T (T
)
T
(t )dt
Cp
0
Cf
1
1
T *
(m
Cp 1)C
f
m
1000
100
2
11000
316hr
1 A()
1 (T )(Tf TP )
6．3 事后维修系统模型
A(t) 1 [1 e()t ]
A(T
)
1 T
T
0
[1
exp
(
)t ]dt
T
T
0
tdt
T (T )
2
2
例5.3-1 计算机从以往的经验知道，平均无故障时间为20天， 如果出了毛病，则计算机需要2天的修复，假定计算机发生 故障时间及修复时间遵守指数分布，求长时间运行，计算机 平均工作时间？