五年级奥数春季班第14讲从反面情况考虑

第十四讲从反面情况考虑

模块一、几何中的反面考虑

例1．如图长方形ABCD 的长AD 为9cm ，宽AB 为6cm ，AE =4cm ，F C =5cm ，则阴影部分的面积是__17__.

解：长方形ABCD 的面积是9×6=54（cm 2），

又AE =4，FC =5；所以BE =2，BF =4，所以S △AED =18cm 2，S △DFC =15cm 2，

S △BEF =4cm 2，于是S △DEF =54?18?15?4=17（cm 2）。

例2．如图所示，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形，则阴影部分的面积为 412平方厘米。（圆周率π取3.14）

解：由图知，正六边形的边长是20厘米，每个内角是120°，六个扇形拼成2个圆。

这2个圆的面积是2×π×102=628平方厘米，

所有阴影部分的面积是1040?628=412平方厘米。

模块二、计数中的反面考虑

例3．下图为4×4的点阵，取不同的三个点可能组合成一个三角形，问总共可能组成516个三角形。

解：三角形的个数为3331643104560404516C C C -?-?=--=个。

例4．（1）所有三位数中，与456相加至少出现一次进位的数有800个；

（2）所有三位数中与456相加产生的进位次数少于三次的数有720个。

解：（1）在百位与4相加不进位的有1、2、3、4、5共5个数，在十位与5相加不进位的有0、1、2、3、4共5个数，在个位与6相加不进位的有0、1、2、3共4个数，

所有三个位置都不进位的有5×5×4==100个，

三位数共有900个，所以至少出现一次进位的有900?100=800（个）；

（2）在个位与6相加进位的有9、8、7、6、5、4共6个数，在十位与5相加进位的有9、8、7、6、5，4（包含从个位进上来的1）有6个，在百位与4相加进位的有9、8、7、6、5（包含从个位进上来的1）共5个数，

所以进行三次进位的有5×6×6=180（个），于是进行次数少于三次的有900?180=720（个）。

例5．从15个同学中选出3人做游戏，甲、乙、丙三人至少有一人被选中的方法共有235种。

解：15个人中选取3人的方法有3

15455

C=（种），从12个人中选取3人的方法有3

12220

C=（种），所以甲、乙、丙三人至少有一人被选中的方法共有455?220=235（种）。

模块三、最值中的反面考虑

例6．有13个不同的正整数，它们的和是100，其中偶数最多有7个，最少有5个。

解：100是偶数，13个正整数相加，应该是偶数个奇数和若干个偶数的和为100.

从最小的看起，1+2+3+……+13=91，100?91=7，其中有7个奇数，6个偶数，

但是奇数不能是奇数个，如果再减少一个奇数，增加一个偶数，可以得到1+2+3+……+12+14=92，这时有6个奇数，7个偶数。只要适当增加14的大小，用22换掉14，这13个数的和为100。

而如果偶数的个数还要增加，就要增加2个偶数，使偶数的个数达到9个，而奇数为4个；

最小的4个奇数是1、3、5、7；最小的9个偶数为2、4、6、8、10、12、14、16、18，

这13个数的和是16+90=106>100，所以不可能有9个偶数，最多有7个偶数；

同样考虑1+2+3+……+13=91，100?91=7，其中有7个奇数，6个偶数，

把奇数的个数增加到8个为1、3、5、7、9、11、13、15，它们的和为64，

5个最小的偶数的和2、4、6、8、10，它们的和为30，只要把10换成16，这13个数的和为100.

而如果偶数的个数还要少，比如为3个，最小的三个偶数为2、4、6，

而10个奇数最小为1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，这10个数的和已经是100了，矛盾。

所以偶数最少为5个。

随堂测试

1．下图是面积为9的正方形，其中四条线段的长度已知，则阴影部分的面积是4.25。

解：面积为9的正方形，边长为3，所以四个小三角形的面积分别是1

、2、0.75、1.5，

1.5

所以阴影部分的面积是9?(0.5+2+0.75+1.5)=4.25.

2．如下图，边长为4的正方形中放入一个半圆，则阴影部分的面积是9.72。（圆周率π取3.14）

解：正方形的边长为4，正方形的面积是16，半圆的直径为4，半径为2，所以半圆的面积是6.28，所以阴影部分的面积是16?6.28=9.72.

3．如下图，直角三角形的三条边上有6个点，以这6个点为顶点可以画出19个三角形。

解：从6个点中任选三个点的方法3

620

C=种，其中有丧点在一条直线上，

所以可以画出20?1=19个三角形。

4．所有四位数中，与6789相加至少产生一次进位的数有8982个。

解：在千位不进位选取1、2、3有3种方法，在百位不进位有0、1、2，有3种方法，在十位不进位有0、1、两种方法，在个位不进位只能取0，1种方法。

所以在四个数位上都不进位有3×3×2×1=18个数，

四位数一共有9000个，所以至少产生一次进位的有9000?18=8982个数。

5．从A、B、C、D、E这5本不同的书中选出两本书，A、B至少一本被选中的情况有7种。

解：从5本书中选两本书，有2

510

C=种方法，不选A、B有2

C=种方法，所以A、B至少一本被选中的情况有10?3=7种。

五年级春季奥数教学内容

第1讲观察物体例1（如下图）让同学们观察它的形状，说一说从不同的角度看到的形状，并且画出从正面和上面看到的图形。例2：积木是我们小时候的玩具，它有很多种形状，小正方体的积木可以堆成不同的立体图形。如果从正面看到的图形是这样的（如下图），用7个小正方体应该怎么摆？例3：老师在桌面上摆有一些大小一样的正方体木块。从上面和正面看到的图形如下图。要摆出这样的图形，最多需要多少块正方体木块？最少需要多少块正方体木块？例4:把一个大正方体的表面涂上红色，再把它切成64个小正方体，在切成的小正方体中，三面涂有红色的有多少块？两面涂有红色的有多少块？大胆闯关第1题1. 观察下图，请画出从正面和上面看到的图形

大胆闯关第2题 2、有一些大小一样的小正方体。如果从正面看到的图形如图（1），从上面看到的图形如图（2）。要摆出这样的图形，最多需要多少块正方体木块？最少需要多少块正方体木块？大胆闯关3、用小正方体摆立体图形，如果从正面看到的图形如下图，你会怎样摆？如果用5个小正方体该怎样摆？大胆闯关4、把一个大正方体的表面涂上红色，再把它切成27个小正方体，在切成的小正方体中，一面涂有红色的有多少块？两面涂有红色的有多少块？补充题目1、下列图形都是由相同小正方形组成，( )不能折成正方体。 2、观察下图，如果将这个立体的表面涂上颜色（包括底面），则一面涂色的有（）个，两面涂色的有（）个，三面涂色的有（）个，四面涂色的有（）个，五面涂色的有（）个。 3、观察下图，请画出从正面看到的和从上面看到的图形。

4、有一些大小相同的正方体木块堆成一堆，从上面看是图（1），从前面看是图（2），从左面看到的是图（3），这堆木块共有多少块？第2讲因数和倍数第一关：20分例1：四位数6A2B能同时被2、3、5整除，这样的四位数有多少个？解析：能同时被2和5整除的数个位上必须是_____；能被3整除，这个数____________________________。第二关：30分例2：一个两位数，它既是2的倍数，也是5的倍数，并且要最大。（1）这个两位数是多少？（2）这个两位数的因数有多少个？它的所有因数的和是多少？大胆闯关第1题在四位数5□8□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除又含有因数5？第三关：50分

五年级下册课本配套奥数教材

倍数与因数(一) 【例1】(★★★) 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。【例2】(★★) 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____。【例3】(★★★) 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____。【例4】(★★) 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____。【例5】(★★★) 5. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个。

倍数与因数(二) 【例1】(★★★) 有一个五位数2□69□，它的千位和个位看不清楚了，小明知道这个数既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数。小朋友你知道这个数可能是多少吗？【例2】(★★) 回答下列问题： ⑴把16拆成两个质数的和共有多少种拆法？它们分别是什么？ ⑵两个质数的和是39，这两个数的差是多少？ ⑶三个质数的乘积是70，其中两个数的和正好等于第三个数，其中最大的那个数是多少？【例3】(★★★) 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字组成若干个质数，每个数字恰好使用一次，请问：最多能组成多少个质数？请找出一种满足要求的组法。【例4】(★★) 一天，小明的房间里亮着灯，突然停电了，小明以为灯泡坏了，所以就拨了几下开关，他清楚的记得自己一共拨动了7下开关，那么当来电时，他房间的灯是亮的还是暗的？如果在关灯的状态下拨动100次开关，那么灯会亮着还是不亮？【例5】(★★★) 有一列数，它们是1、1、2、3、5、8、13、21 …，从第三个数起，往后每个数都是相邻的前两个数的和。有人说这个数列中的第105个数是奇数，你认为对吗？你能判断这个数列里的第1000个数是奇数还是偶数吗？请说明理由。

六年级奥数第五讲——简便运算(教师用)

远辉教育秋季奥数班第五讲 ——简便运算主讲人：杨老师学生：六年级电话：62379828 一、知识点：根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。计算过程中，我们先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘法分配律来简算，这种思考方法在四则运算中用处很大。在进行分数运算时，除了牢记运算定律、性质外，还要仔细审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理地把参加运算的数拆开或者合并进行重新组合，使其变成符合运算定律的模式，以便于口算，从而简化运算。运用拆分法（也叫裂项法、拆项法）解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般地，形如1a×(a+1) 的分数可以拆成1a －1a+1 ；形如1a×（a+n ）的分数可以拆成1n ×（1a －1a+n ），形如a+b a×b 的分数可以拆成1a +1b 等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。二、典例剖析：例题1:计算4.75-9.63+（8.25-1.37）原式＝4.75+8.25－9.63－1.37 ＝13－（9.63+1.37）＝13－11 ＝2 练习1 计算下面各题。 1． 6.73-2 817 +（3.27－1 917 ） 2. 759 －（3.8+1 59 ）－115 3. 1 4.15－（778 －61720 ）－2.125 4. 13713 －（414 +3713 ）－0.75 练一： 1、＝6 2、＝1 3、＝11 4、＝5 例题2:计算33338712 ×79+790×6666114 原式＝333387.5×79+790×66661.25 ＝（33338.75+66661.25）×790 ＝100000×790 ＝79000000 练习2 计算下面各题： 1. 3.5×114 +125％+112 ÷45 2. 975× 0.25+934 ×76－9.75 3. 925 ×425+4.25÷160 4. 0.9999× 0.7+0.1111×2.7

五年级学生怎样学好奥数

五年级学生怎样学好奥数五年级学生怎样学好奥数这里的数论和方程的方法是目前北京市考试的重要考点。学习新课时应该选择一本经典的教材，仁华课本非常不错，它是一套很完整、成熟的教材，也是目前选用最多的一本教材，几乎涵盖了全部的五年级奥数重点，拿下仁华课本可以打下很好的基础。 2、多做专题的练习。 3、多做真题。真题的练习包括历年的竞赛真题和考试真题。做真题可以使自己更好的了解近几年的考试方向和考试的重点，有助于在平时的学习中找到突破口，集中力量学好考试中最常见的专题。 4、巩固基础知识。由于还有半年就要转入的复习阶段，所以五年级之前的奥数基础内容一定要掌握好。之前的奥数内容以应用题、计算为主。对于基本应用题建议利用方程的方法求解，可以达到事半功倍的效果。计算问题需要对基本的简算方法了如指掌，因为这些方法也是以后分数计算和综合混合运算的基础。学习重点难点解析：五年级属于小学高年级，孩子进入五年级以后，随着年龄的增长，孩子的计算能力，认知能力，逻辑分析能力都比以前有很大的提高，这个时期是奥数思维形成的关键时期，是学奥数的黄金时段，所以是否把握住五年级这个黄金时段，关系到以后的成与败。那么在整个五年级阶段都有哪些重点知识呢？为了孩子更好的把握五年级的学习重点，下面就介绍一下五年级的关键知识点。 1.进入数学宝库的分析方法——递推方法。

1条直线最多有0个交点0 2条直线最多有1个交点1 3条直线最多有3个交点1+2=3 4条直线最多有6个交点1+2+3=6 5条直线最多有10个交点1+2+3+4=10 6条直线最多有15个交点1+2+3+4+5=15 …… 所以2008条直线有1+2+3+4+5＋…+2007=2015028个交点。那么聪明的你，你能算出2008条直线最多可以把圆分成几部分么？ 2.变化无穷、形迹不定的行程问题。提到行程问题，同学们可能就感到头疼，的确不错，因为行程问题中各个物体的速度、时间、路程都在变化，而且各个物体都是在运动中，位置是随着时间在变化，所以分析起来就很麻烦，为了更好的解决这个问题，我们把行程问题进行了细分：基本行程（单个物体）、平均速度、相遇、追及、流水行船、火车过桥、火车错车、钟表问题、环形线路上行程。只要我们掌握这些每个小类型中的.诀窍，形成一种分析思路，复杂的行程问题无非是这些类型的变形而已，解决起来就容易多了。 3.抽象而又杂乱的数论问题。数论是从五年级的核心知识，无论是在哪本教材里，都用了很多的章节来讲解数论，要想解决复杂的数论问题，我们首先得掌握数论的基本知识：数的奇偶性、约数（现在叫因数）、倍数、公约数及最大公约数、公倍数及最小公倍数、质数、合数、分解质因数、整除、余数及同余等。这些基本知识点里又有些非常有代表性的例题，只要能掌握好这些知识点，然后做一定量的数论综合习题，碰到难的数论问题我们就容易解决了。

六年级奥数-第5讲浓度问题

时钟问题【知识点拔】浓度= 溶剂溶质溶质×100% 溶剂=溶液×（1－浓度）溶质=溶液×浓度【典型例题】【例1】现在是2点正,什么时刻时针与分针第一次重合? 例2: 晚上到8点之间电视里播出一部动画片,开始时分针与时针正好在成一条直线上,结束时两针正好重合.这部动画片最少播出了多长时间? 例3: 胖胖家有一个闹钟,每小时比标准时间慢1分钟。有一天晚上8点整时，胖胖对准了闹钟，他想第二天早上5点55分起床，于是他就将闹钟定在了5点55分。请问；这个闹钟将在标准时间的什么时刻响铃？【竞赛题选】李老师家有两只挂钟，一只每天快20分，另一只每天慢30分。现在将这两只挂钟调到标准时间，它们至少再经过多少天才能再次同时显示标准时间？ 1、钟面上三时多少分时，分针与时针恰好重合？ 2、在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？ 3、在3点与4点之间，时针与分针在什么时刻位于一条直线上？

4、3点过多少分时，时针与分针离“3”的距离相等并且在“3”的两边？ 5、东东家有一个闹钟,每小时比标准时间快2分钟。星期天上午9点整时，东东对准了闹钟，他想让闹钟在了标准时间的11点30分响起。请问：他应该将闹钟定在什么时刻？ 6、东东的手表每小时比标准时间慢30秒。早上6点时，东东把手表与标准时间对准。请问：标准时间中午12点时，东东的手表是几点几分？ 7、0点0分时，时针与分针重合。请问：1---12点之间（不包括12点），时针与分针重合了几次？ 8、时针和分针每隔多少时间重合一次？钟面上时针与分针一昼夜重合多少次？ 9、钟面上8时20分时，时针与分针之间的夹角是多少度？ 10、钟面上12时整时针与分针重合，至少再过多少分钟，时针与分针再一次重合？

五年级奥数小学数学培优第6讲巧解余数和同余问题

第___讲巧解余数与同余问题第一节余数方法和技巧：（1）被除数=商×除数+余数。（2）借助约数和倍数的知识。上面两个性质是解题的关键。例1：一个两位数除310的余数是37，求这样的两位数。做一做1：237除以一个两位数所得的余数是6，问：这样的两位数是多少？例2:一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。那么，被除数、除数、商及余数之和是多少？做一做2：两数相除，商是498，余数是3。那么，被除数、除数、商及余数之和最小是多少？例3:两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商、余数之和是866。求这两个数。

做一做3：两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数之和等于415。问：被除数是多少？例4:伸出你的左手，从大拇指开始按右图所示的那样数数字：1，2,,3，…问：数到2003时，你数在哪个手指上？做一做4：将全体非零自然数按下列方式排列，问：数1000排在哪个字母的下面？ A B C D E F G ___________________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 … 例5:把化为循环小数，问：小数点后1999个数字是几？这1999个数字的总和是几？做一做5：问：化成小数后，小数点的右边第1991位上的数字是多少？这1991个数字的和是多少？

例6:某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小值能是多少？做一做6：一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余5。求这个自然数能取得的最小值。例7:有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和为25,那么这三个余数中最小的数是多少? 巩固练习： 1、填空：（1）顺次写出除以4余2，除以5余3的三个数__________________。（2）被2,3,5除都余1，且不等于1的最小整数是_______________。（3）有一队民兵在操场上列队，只知道民兵人数在90至110之间，排成三列无余，排成五列不足2人，排成七列不足4人，则共有民兵_______人。（4）五（1）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，那么体育课的同学最少有________名。（5）一个教练数田径队的学生，每4个一数，最后剩下2人；每5个一数，最后剩下1人。田径队女生比男生多，女生有15人，则男生有__________人。（6）某会议有代表不到200人，分住房时，每5人一间多3人；吃饭时，每9人一桌少一人；开小组会时，每7人一组多6人，那么到会的代表有_______人。（7）一个自然数除以19余9，除以23余7，那么这个自然数最小是_______。（8）被4除余1，被5除余2，被6除余3的最小自然数是________。 2、1～100中的哪个自然数被3和5除余1，且能被7整除？

五年级奥数第五讲巧求分数1

第五讲五年级奥数（巧求分数）例1、有一个分数约成最简分数是511 ，约分前分子分母的和是48，约分前的分数是多少？例2、一个分数的分子、分母之和是100，将分子、分母都减去6，约分得到的最简分数是35 。求原来的分数。例3、一个分数，分子加2等于35 ，分子减去2等于13 ，求这个分数。例4、分数5564 的分子减去一个数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后是413 ，减去的这个数是多少？例5、有一个分数，分子加1，这个分数等于12 ，分母加1，这个分数等于13 ，求这个分数。

拓展练习 1、一个分数约成最简分数是713 ，约分前分子分母的和是200，约分前的分数是多少？ 2、一个分数约分后等于57 ，已知原分数的分子、分母之和是72，求原分数。 3、一个分数约分后等于411 ，已知原分数的分子、分母之差是63，求原分数。 4、一个最简分数的分子、分母之和是23，分子增加5后，得到的最简分数的分子、分母之和是4。求原来的分数。 5、一个分数的分子、分母之和是21，分母增加19后，得到的最简分数是14 。求原来的分数。 6、、一个分数，分子加1等于23 ，分子减去4等于14 ，求这个分数。 7、有一个分数，分母加2等于25 ，分母减去3等于12 ，求这个分数。 8、分数823 的分子分母都加上同一个质数，分数变成58 ，这个质数是多少？ 9、将分数1755 的分子加上一个自然数，、同时分母减去这个自然数，约分得到另一个分数为35 。求这个自然数。 10、有一个分数，分母加1等于12 ，分子减去1等于25 ，求这个分数。星级擂台有一个最简分数，将它得分子、分母同时加上它得分母，分数值将变为原来分数的10倍，求原来得分数。

五年级奥数春季实验班第12讲计算综合之不定方程

第十二讲计算综合之不定方程模块一、基础不定方程的解法例1．不定方程x+y=2有组解，有组自然数解，有组正整数解。解：不定方程x+y=2有无穷组解，对于自然数有0+2=2，1+1=2，2+0=2，所以自然数解有3组，正整数解有1组。例2．求不定方程的正整数解：2x+3y=8. 解：不定方程2x+3y=8，两边取模2的运算得，y≡0 (mod 2)，取y=2，x=1，所以方程的解是 1 2 x y = ? ? = ? 。例3．求不定方程的正整数解：3x+5y=31. 解：方程3x+5y=31，两边取模3运算，2y≡1 (mod 3)，得到y=2，x=7 所以方程的解是 7 2 x y = ? ? = ? 或 2 5 x y = ? ? = ? 。例4．已知5x?14y=11，x和y都是正整数，x+y的最小值是。解：方程5x?14y=11，两边取模5的运算，y≡1 (mod 3)，解得x=5，所以方程的解是 5 1 x y = ? ? = ? ， 19 6 x y = ? ? = ? ，……， 514 15 x k y k =+ ? ? =+ ? （k为自然数）。所以x+y的最小值是6. 模块二、复杂不定方程的解法例5．小张带了5元钱去买橡皮和圆珠笔，橡皮每块3角，圆珠笔每支1元1角，问5元钱刚好买块橡皮和支圆珠笔。解：设买了x块橡皮，y支圆珠笔，所以3x+11y=50，两边取模3的运算得2y≡2 (mod 3)，所以y=1，x=13，或x=2，y=4，即方程的解是 13 1 x y = ? ? = ? 或 2 4 x y = ? ? = ? 。所以买13块橡皮和1支圆珠笔或2块橡皮和4支圆珠笔。例6．今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，则鸡翁、鸡母、鸡雏各只。解：设买到x只鸡翁，y只鸡母，则有100?x?y只鸡雏，则5x+3y+100 3 x y -- =100，整理得7x+4y=100，两边取模4的运算3x≡0 (mod 4)，所以x=0，y=25，方程的解为 4 18 x y = ? ? = ? ，解得z=100?x?y=78，或 8 11 x y = ? ? = ? ，z=81，或 12 4 x y = ? ? = ? ，z=84. 例7．现有一架天平和很多3克和4克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。（砝码只能放在天平的一边）解：由于4?3=1，3×3?4×2=1，即如果称出的重量中有1个3，则将3换成4，则能称出下一个重量；如果称出的重量中有2个4，则可以将2个4换成3个3，也能称出下一个重量，从6以后的所有重量都可以称出来，所以不能称出的最大重量是5克。 1 2 3 456 789 10 11 12 13 14 15 ……

六年级奥数——第五讲长方体和正方体(附习题及解答)

第五讲长方体和正方体长方体和正方体在立体图形中是较为简单的，也是我们较为熟悉的立体图形．如下图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱．在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．两个全等图形的面积相等，对应边也相等）．长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：S长方体＝2（ab＋bc＋ac）；长方体的体积：V长方体＝abc．正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a，那么： S正方体=6a2，V正方体=a3．例1 有一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体表面积的和为240平方厘米，求原来长方体的体积．解：设原来长方体的底面边长为a厘米，高为h厘米，则它被截成两个长方体后，两个截面的面积和为2a2平方厘米，而这也就是原长方体被截成两个长方体的表面积的和比原长方体的表面积所增加的数值，因此，根据题意有： 190＋2a2＝240，可知，a2＝25，故a＝5（厘米）．又因为2a2＋4ah＝190，所以，原来长方体的体积为： V＝a2h＝25×7＝175（立方厘米）．例2 如下图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口的边长．

解：原来正方体的表面积为： 6×3a×3a＝6×9a2（平方厘米）．六个边长为a的小正方形的面积为： 6×a×a＝6a2（平方厘米）；挖成的每个长方体空洞的侧面积为： 3a×a×4＝12a2（平方厘米）；三个长方体空洞重叠部分的校长为a的小正方体空洞的表面积为： a×a×4＝4a2（平方厘米）．根据题意：6×9a2－6a2＋3（12a2－4a2）＝2592，化简得：54a2－6a2＋24a2＝2592，解得a2＝36（平方厘米），故a＝6厘米．即正方形截口的边长为6厘米．例3 有一些相同尺寸的正方体积木，准备在积木的各面上粘贴游戏所需的字母和数目字．但全部积木的表面总面积不够用，还需增加一倍，请你想办法，在不另添积木的情况下，把积木的各面面积的总和增加一倍．解：把每一块积木锯三次，锯成8块小立方体（如下图）．这样，每锯（倍），因此全部小积木的表面总面积就比原积木表面总面积增加了一倍．例4 有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米，把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，大水池水面将升高多少厘米？解：水池中水面升高部分水的体积就是投入水中的碎石体积．沉入中、小水池中的碎石的体积分别是：

五年级下册数学专项训练小学奥数第五讲同余的概念和性质_通用版(习题无答案)

第五讲同余的概念和性质 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。你会解答下面的问题吗？我国古代的读书人，从上学之日起，就日诵不辍，一般在几年内就能识记几千个汉字，熟记几百篇文章，写出的诗文也是字斟句酌，琅琅上口，成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天，我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生，竟提起作文就头疼，写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差，中学语文毕业生语文水平低，……十几年上课总时数是9160课时，语文是2749课

时，恰好是30%，十年的时间，二千七百多课时，用来学本国语文，却是大多数不过关，岂非咄咄怪事!”寻根究底，其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文，初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证，也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题，但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”，就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来，抄人家的名言警句，抄人家的事例，不参考作文书就很难写出像样的文章。所以，词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题，不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫，必须认识到“死记硬背”的重要性，让学生积累足够的“米”。问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教

五年级下册奥数培训教材

倍数问题（一）典型例题1 两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。原来两根铁丝各长多少厘米？模拟练习 1、两根一样长的绳子，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩下部分第二根是第一根的3倍。两根绳子原来各长多少？ 2、一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和15个梨后，剩下的梨是苹果的6倍，原来两筐水果一共有多少个？ 3、两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个加数。这两个加数各是多少？典型例题2 甲组的图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍，甲组原来有图书多少本？模拟练习 1、甲库的存粮是乙库的4倍，如果从乙库取出6吨放入甲库，则甲库的粮食正好是乙库的6倍。原来两库各有多少吨粮食？

2、一个书架分上、下两层，上层的书的本数是下层的4倍。从下层拿5本放入上层后，上层的本数正好是下层的5倍。原来下层有几本书？ 3、小明原来的画片是小红的3倍，后来两人各买了5张，小明的画片就是小红的2倍。两人原来各有多少张画片？倍数问题（二）典型例题1 幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。如果每组领3个梨和4个苹果，梨正好分完，苹果还剩16个。两种水果原来各有多少个？模拟练习 1、同学们带着水果去看敬老院的老人，带的苹果是橘子的3倍。如果每位老人拿2个橘子和4个苹果，那么，橘子正好分完，苹果还多14个。同学们把苹果分给了几位老人？ 2、甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，甲粮库每天运出粮食40吨，乙粮库每天运出30吨。若干天后，乙粮库的粮食全部运完，而甲粮库还有80吨。甲、乙两粮库原来各有粮食多少吨？典型例题2 某车间有两个小组，A组的人数比B组人数的2倍多2人。如果从B组中抽10人去A组，则A组人数是B组的4倍。原来两组各有多少人？

六年级奥数第五讲——简便运算(学生用)

远辉教育秋季奥数班第五讲 ——简便运算主讲人：杨老师学生：六年级电话：62379828 一、知识点：根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。计算过程中，我们先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘法分配律来简算，这种思考方法在四则运算中用处很大。在进行分数运算时，除了牢记运算定律、性质外，还要仔细审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理地把参加运算的数拆开或者合并进行重新组合，使其变成符合运算定律的模式，以便于口算，从而简化运算。运用拆分法（也叫裂项法、拆项法）解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简 1 1 1 1 化运算的目的。一般地，形如 a×(a+1) 的分数可以拆成 a －a+1 ；形如a×（a+n ）的分数可 1 1 1 a+b 1 1 以拆成n ×（a －a+n ），形如a×b 的分数可以拆成a +b 等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。二、典例剖析：例题 1:计算 4.75-9.63+（8.25-1.37）练习 1 计算下面各题。 8 9 5 5 1 1． 6.73-2 17 +（3.27－1 17 ） 2. 79 －（ 3.8+1 9 ）－15 7 17 7 1 7 3. 1 4.15－（78 －620 ）－2.125 4. 1313 －（44 +313 ）－0.75 1 1 例题 2:计算 3333872 ×79+790×666614 练习 2 计算下面各题： 1 1 4 3 1. 3.5×14 +125％+12 ÷5 2. 975×0.25+94 ×76－9.75

五年级奥数举一反三第5讲分类数图形含答案

第5讲分类数图形一、知识要点我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，能使数出的结果准确。但是在数图形的个数的时候，往往就不容易了。分类数图形的方法能够帮助我们找到图形的规律，从而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数。二、精讲精练【例题1】下面图形中有多少个正方形？【思路导航】图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成的有6×3=18个，2×2的正方形有5× 2=10个，3×3的正方形有4×1=4个。因此图中共有18＋10＋4=32个正方形。练习1： 1.下图中共有多少个正方形？ 2.下图中共有多少个正方形？ 3.下图中共有多少个正方形，多少个三角形？

【例题2】下图中共有多少个三角形？【思路导航】为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。（1）图中共有6个小三角形；（2）由两个小三角形组合的三角形有3个；（3）由三个小三角形组合的三角形有4个；（4）由六个小三角形组合的三角形有1个。所以共有6＋3＋4＋1=14个三角形。练习2： 1.下面图中共有多少个三角形？ 2.数一数，图中共有多少个三角形。 3.数一数，图中共有多少个三角形？第1题第2题第3题【例题3】数出下图中所有三角形的个数。【思路导航】和三角形AFG一样形状的三角形有5个；和三角形ABF一样形状的三角形有10个；和三角形ABG一样形状的三角形有5个；和三角形ABE 一样形的三角形有5个；和三角形AMD一样形状的三角形有5个，共35个三角形。

练习3：数出下面图形中分别有多少个三角形。【例题4】如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？【思路导航】把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图中可以看出：（1）最小的正方形有6个；（2）由4个小正方形组合而成的正方形有2个；（3）中间还可围成2个正方形。所以共有6＋2＋2=10个。练习4： 1.下图中共有8个点，连接任意四点围成一个长方形，一共能围成多少个长方形？

五年级奥数教材

- 1 - 第1讲数阵一、精讲精练【例题1】把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a 使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。练习1： 1.把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。 2.把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。 3.将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。【例题2】将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。练习2： 1.把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。 2.把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。 3.将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。【例题3】将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。练习3： 1.将1——6六个数分别填入下图的圆圈内，使每边上的三个数的和相等。

- 2 - 2.将1——9九个数分别填入下图圆圈内，使每边上四个数的和都是17。 3.将1——8八个数分别填入下图的圆圈内，使每条安上三个数的和相等。【例题4】将1——7分别填入下图的7个圆圈内，使每条线段上三个数的和相等。练习4： 1.将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。 2.将1——11这十一个数分别填进下图的○里，使每条线上3个○内的数的和相等。 3.将1——8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。【例题5】如下图(a)四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数的和相等。问这六个质数的积是多少？练习5： 1.将九个不同的自然数填入下面方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的积都相等。 2.将1——9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能大。这五个数之和最大是多少？ 3.将1——9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。

同步奥数培优六年级上第五讲比(比在实际的应用)(可编辑修改word版)

第五讲比（比在实际的应用）【知识概述】 “比”在实际生活中的应用十分广泛，解答关于“比”的问题时要及时沟通“比”和“分数”之间的联系，已知两个量的比，就是已知一个量是另一个量的几分之几，同时也知道了其中一个量是两个量之和的几分之几，从而把这类应用题转化为分数应用题来进行解答。例题精学例 1 一块长方形地的周长是20 米，长与宽的比是3：2，它的面积是多少? 【思路点拨】长方形的周长是指两条长和两条宽的长度之和，用长方形的周长除以2，即20÷2=10（米），长方形的一条长和一条宽的和是 10 米，再把 10 米按 3：2 进行分配，分别求出长方形的长和宽，最后求出长方形的面积。同步精练 1.一块长方形地的周长是 80 米，它的长和宽的比是 3：2，这块长方形地的面积是多少平方米? 2.一个长方体棱长的和是 144 厘米，它的长、宽、高之比是 4:3:2，长方体的体积是多少？ 3.有一个等腰三角形，它的两个角的度数之比是 1：2，这个三角形按角分类可能是什么三角形?（三角形内角和是180°）例 2 五（1）班男、女生人数比是12:11，又转来4 名女生后，全班共有50 人。求现在男、女生的人数比。【思路点拨】求现在男、女生的人数比，就要用现在男生的人数比现在女生的人数。50-4=46（人），原来五（1)班有46人，再把46人按12:11进行分配，分别求出原来男、女生人数，“又转来4名女生”，现在男生的人教没有变，女生增加 4 人，求出现在女生的人数，最后求出所求问题。同步精练 1.六年级（1）班男、女生人数比是 3：2，又转来 4 名男生后，全班共有 44 人。求现在的男、女生人数比。 2.一杯盐水 200 克，其中盐与水的比是 1：24，如果再放入 4 克盐，这时盐与水的比是多少?

五年级奥数春季班第10讲比例法解行程资料讲解

五年级奥数春季班第10讲比例法解行程

第十讲比例法解行程模块一、比例的简单运用例1．A、B两地相距300千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发。（1）甲车的速度是30千米/时，乙车的速度是20千米/时，相遇时距A地千米；（2）甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是40千米/时，相遇时距A地千米；（3）甲车的速度是40千米/时，乙车的速度是20千米/时，各自走完全程，两车行驶的时间之比是；（4）如果两地距离未知，甲车的速度是50千米/时，乙车的速度是30千米/时，相遇时，甲车走了全程的，各自走完全程，两车行驶的时间之比是。解：（1）V甲 : V乙=30 : 20=3 : 2，所以S甲 : S乙=3 : 2， 300×3 32 + =180（千米）；（2）V甲 : V乙=60 : 40=3 : 2，所以S甲 : S乙=3 : 2， 300×3 32 + =180（千米）；（3）V甲 : V乙=40 : 20=2 : 1，所以t甲 : t乙=1 : 2，（4）V甲 : V乙=50 : 30=5 : 3，所以S甲 : S乙=5 : 3，t甲 : t乙=3 : 5，相遇时，甲走了全程的 55 = 538 + ，各自走完全程，两车行驶的时间之比是3 : 5. 例2．（1）甲、乙两人的速度比是4 : 5，两人同时出发，行走的时间比为3 : 7，则甲、乙走的路程比为；（2）甲、乙两人要走的路程比为3 : 2，甲、乙的速度比是4 : 3，则甲、乙的时间比是；（3）甲、乙两人的路程比为7 : 8，两人用的时间比为6 : 5，甲的速度为70千米/时，则乙的速度为。解：（1）已知V甲 : V乙=4 : 5，t甲 : t乙=3 : 7，所以S甲 : S乙=12 : 35；（2）S甲 : S乙=3 : 2，V甲 : V乙=4 : 3，所以t甲 : t乙=32 : 43 =9 : 8；（3）S甲 : S乙=7 : 8，t甲 : t乙=6 : 5，所以V甲 : V乙=78 : 65 =35 : 48；于是70 : V乙=35 : 48，V乙=96千米/小时。模块二、行程的正比例模型行程的正比例模型是指时间一定，路程和速度成正比。在没有发生变速的情况下，路程比等于速度比。如果两人同时从同地出发，速度比为 1 : n，则路程比也为1 : n，相遇时，两人各自走了 2 1 S n+ ， 2 1 nS n+ 。例3．甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲骑车的速度是15米/秒，乙步行的速度是5米/秒，如果甲到达B地后立即返回，请问两人在相遇。解：设A、B两地的距离为S，V甲 : V乙=15 : 5=3 : 1，

六年级奥数-第五讲.几何-立体部分.教师版

第五讲几何——立体部分教学目标：对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．知识点拨：一、长方体和正方体如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱． c b a H G F E D C B A ①在六个面中，两个对面是相等的，即三组对面两两相等． ②长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体；长方体的体积：V abc =长方体． ③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．二、圆柱与圆锥例题精讲：【例 1】如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【解析】我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：．【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【例 2】如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．

【例 3】如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14) 1110.51 1.5 【例 4】有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？【例 5】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14= ) 【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14=) 【例 6】把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？

小学奥数经典教材

小学奥数经典教材来源：鼎杰教育 1. 《仁华学校奥林匹克数学课本》(俗称“课本”，一共六册，从一年级到六年级) 这套书写的非常详细，把小学奥数基本内容都涵盖了，而且内容不太复杂，非常适合让孩子自学！。如果孩子不太自觉，那可以报一个班儿，让老师来教，监督孩子扎实地掌握里面的内容。里头每一讲都既有例题又有练习，而且练习不光有答案，还有解答。大家可以学完例题，然后做练习。注意，练习一定要做，而且要一道不落！因为光看是绝对学不会数学的！三年级孩子比较适合从这套书入手开始奥数的学习。需要注意的是这套书一二年级两本书编排的相对差一些，比如二年级很多计算学校课堂还没有学，但是题目中却经常出现（这对孩子理解会造成非常大的障碍）；二年级仁华课本中经常有枚举类问题（比如整数拆分问题等等），这类问题逻辑严谨性很高，对二年级学生来讲比较难，但是课本中很前面就出现了。所以我们建议如果低年级学生学习该课本时，应该在相应章节讲之前补充适当的基础知识，一些较难的章节应适当放在后面学习。另外，这套书成书较早，很多内容相对简单。作为基础教材，必须有一个超前使用的意识。比如三年级的孩子，不要仅仅局限于学习三年级的课本，很多四年级课本的知识也可以给孩子学，比如整数的简便运算，四年级课本里就有，但三年级的孩子完全可以学。一般到了五年级，在接触了分数的四则运算之后，学习六年级课本里的绝大多数内容是没有问题的了，所以五年级的孩子就应该当六年级的孩子来看待了。不过话说回来，超前学是一方面，无论如何学踏实是一定要有的，绝对不能盲目追求速度，学得囫囵吞枣。 2. 《仁华学校数学思维训练导引》（俗称“导引”，一共两册，三、四年级一册，五、六年级一册）这套书是其实就是习题集，而且是难题集。里面的大多数题目都有一定难度，有的甚至是IMO（国际数学奥林匹克竞赛）的题目。而且，里面的内容并不是完全按题目难度来编排的，而是根据所需要的数学知识。这会导致一个比较麻烦的问题，那就是：一道题目所需要的数学知识可能很简单，也许只需要三年级孩子都会的整数四则运算，但题目的思考难度却远远不是一个三年级的孩子所能承受的。所以，这套丛书的三、四年级分册一定要慎用。尤其是低年级的孩子，比如三年级，如果一上来就学思维导引，大多数孩子都会感到“很”吃力，而且由于题目难度太大，学得半懂不懂，往往收效甚微。有些思维导引里三年级的题目，到了五年级之后才能给孩子们讲懂，甚至不少孩子到了六年级了还未必完全搞懂。另外，这本书是习题集，没有例题，可以拿来当课下练习使用。但这是一本难题集，里面的大多数题目都是难题，所以拿它来作为课下训练，孩子本身必须有扎实的基本功，否则光啃难题，学习效率太低，往往效果不大。这本书中对每道题目都作了难度分级，凡是三星或三星以上的题目都属于较为难的题目。都需要动动脑子才能想出来。至于五星难度的题目，基本上没几个孩子能真正做出来，至于能搞懂的也没几个，所以不必盲目追求做出五星题来。把四星或四星以下的题目完全搞懂就不错了。 3. 《奥林匹克训练题库》（俗称题库作者：刘京友出版社：北京师范大学出版社）《刘京友题库》因其作者为刘京友而得名，其实，书的正名应该为《奥林匹克训练题库》。这是一本融合了许多竞赛试题的习题集。适用对象：有一定奥数基础的孩子。本书优势：《刘京友题库》中的题目被许多重点中学考试选拔中选用，使用过本书的孩子在重点中学的考试中都感到比较轻松，占了很大优势。本书特点：题型比较好，融会了大量杯赛真题；题量大，统计共有二千多道题目；本书中的习 1 / 2

五年级奥数春季班第14讲 从反面情况考虑