第四章 空间力系和重心

平面解法：
Fz Fx
2r 2
z
z
F 45 F z Fx ° h
z
Fz
2r 2
Fy
x
O
O
y
Fy 30 °
O
y
x
解：1.将F沿坐标轴方向分解
2.在坐标平面分别取投影 2r 6Fh 2Fr M x ( F ) Fy h Fz yz平面 2 4 4
xz平面 xy平面
M y ( F ) Fx h Fz
2r 2
2r 6Fh 2Fr x 2 4 4 2r 2r 3Fr 3Fr 3Fr M z ( F ) Fx Fy 2 2 4 4 2
O
6F Fx 4
6F Fy 4
F Fz 2
2r 2
y Fy
45 Fx °
本课节小结
一.力在空间直角坐标轴上的投影
0: Fy 0 : Fz 0 : M x (F ) 0 : M y (F ) 0 : M z (F ) 0 :
Fx
M3 FR ( Fx) 2 ( Fy) 2 ( Fz) 2 ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
FBx (a b) F a 0 FBx FAx FBx F 0
F
y
FBx
F a O FAx ab
x
Fx
0:
FAx FBx F
Fb ab
例4-4 传动轴如图，已知带轮半径Ｒ＝0.6m，自重Ｇ2＝2kN；齿轮 半径r=0.2m，轮重G1=1kN。其中AC=CB=l=0.4m，BD=0.2m，圆周 力Fτ=12kN，径向力Fr=1.5kN，轴向力Fa＝0.5kN，紧边拉力FT,松边 拉力Ft，FT=2Ft 。试求轴承Ａ、Ｂ两处的约束反力。 解：画受力图列平衡方程求解
五、平面解法 解：已知各分力
6F 4 2F Fy 4 2F Fz 2 Fx
x
z
50
Fz
Fz C
Fx Fy
Fx Fxy
O
1.在yz平面取平面投影
M x ( F ) M 0 ( Fyz ) 2 1000 0.06 42.4N m 2
z O
40 20 F z Fy
y
2.在xz平面取平面投影
2.平衡方程
三、空间约束 1.轴承
FX
FZ FY FZ
FX
向心轴承：限制了轴端的上下移 动和前后移动，不限制轴向移动。 约束力用上下和前后两正交分力 表示。 推力轴承：限制了轴端的上下、 前后、轴向的移动。 约束力用上下、前后、和轴向三 个正交分力表示。 既限制了轴端的上下、前后、轴 向的移动，又限制了绕x、y、z轴的 转动。 约束端有三个约束力和三个约束 力偶矩。
FBz (a b) Fr a 0 FAz FBz Fr 0
FAZ+FBZ FAx FAx+FBxO x
FBZ M0 a

y
FBx Cb
Fr
B
0:
Fr a FBz ab
O
z FAZ
FBZ
y
xy平面：
M z (F ) 0 :
Fr b FAz FAz Fr ab
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
(4 1)


Fy
y
x z F F zz
2.二次投影法 已知力F与z轴的夹角为， 力与轴所确定平面与x轴的夹角为。
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
(4 2)
F

Fx F x x

F Fy y Fxy
y
3.力沿坐标轴方向分解 4.已知投影求作用力
2 2 2
F Fx Fy Fz Fy Fx F cos ;cos ;cos z F F F
( 4 3)
二、力对轴之矩
z y d Fxy
结论 y ： 力对轴之矩等于力在 x 垂直于轴的平面上的投影 x 对该轴与平面交点之矩。 力对轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度量，是一个代数 量。其正负号可按以下法确定：从z轴正端来看，若力矩逆时针， 规定为正，反之为负。也可按右手螺旋法则来确定其正负号。 三、合力矩定理 力系合力对某轴之矩，等于各分力对同轴力矩的代数和。
M1
F'1 O
一、空间力系的简化(力对点之矩为矢量)
F1
A
M2
F'2
M0
FR A C
F3
O C
B
F2 =
F3
=
O
B
1.主矢FR 2.主矩M0 M 0 [ M x ( F )]2 [ M y ( F )]2 [ M z ( F )]2 二、空间力系平衡方程 1.空间力系平衡条件：主矢FR=0, 主矩M0=0。
M z (F ) 0 :
F
y
0:
Fx
0:
FAy Fa 0 FAy Fa 0.5 kN
本课节小结
一、空间力系的简化 1.主矢FR FR ( Fx) 2 ( Fy) 2 ( Fz) 2 ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2 2.主矩M0 M 0 [ M x ( F )]2 [ M y ( F )]2 [ M z ( F )]2 二、空间力系平衡方程
M
F r ( FT Ft ) R 0 F r 12 0.2 Ft 4 kN FT 2Ft 8 kN R 0.6
y
(F ) 0 :
M x (F ) 0 :
FBz 2l ( F G1 )l ( FT sin 45 Ft sin 30 G 2 ) 2.5l 0
Fxy
d
Fz A
F
O
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy d
M z ( F ) M z ( Fx ) M z ( Fy ) M z ( Fz )
四、应用举例
例4-1 图示托架OC套在轴z上，在C点作 用力F=1000N，图中C点在Oxy面内。试分 别求力F对x、y、z轴之矩。
2.空间固定端
MZ
MX z FZ FY MY y
x
FX
应用举例 例4-3 某传动轴图所示。已知轴B端联轴器输入外力偶矩为M0， 齿轮C分度圆直径为D, 压力角为,轮间距为a、b。求齿轮圆周力, 径向力和轴承的约束力。 Fn 解： 1.建立坐标系，将啮合力沿坐标 z Fr F 轴方向分解为圆周力F和径向力Fr。 F M
第四章 空间力系和重心
◆ 课题4–1 ◆ 课题4–2 ◆ 课题4–3
空间力的投影 力对轴之矩 空间力系平衡方程的应用 重心 平面图形的形心
◆ 课题4–1
空间力的投影 力对轴之矩
z
F Fz z Fx x
一.力在空间直角坐标轴上的投影 1.一次投影法 已知力F与三个坐 标轴的夹角分别为、β 、,
结论：力对轴之矩等于力在垂直于轴的平面上的投影对该轴与 平面交点之矩。 三、合力矩定理 力系合力对某轴之矩，等于各分力对同轴力矩的代数和。
M z ( F ) M z ( Fx ) M z ( Fy ) M z ( Fz )
课后作业：《工程力学练习册》练习十一
◆ 课题4–2
简化中心
空间力系平衡方程的应用
50
Fx
C Fy y
M y ( F ) M 0 ( Fxz ) 2 1000 0.05 35.4N m 2
3.在xy平面取平面投影
M z ( F ) M O ( Fxy ) 6 19.1N m
O
FBz (8 0.707 4 0.5 2) 2.5 12 1 1.57 kN 2
Fz
0:
FAz FBz F G1 ( FT sin 45 Ft sin 30 G 2 ) 0 FAz 1.57 12 1 (5.66 2 2) 6.09 kN FBx 2l F l Fa r ( FT cos 45 Ft cos30) 2.5l 0 0.6 0.1 (5.66 3.46) 1 FBx 12.03 kN 2 0.4 FAx FBx Fr FT cos 45 Ft cos30 0 FAx 12.03 1.5 5.66 3.46 1.41kN
40 20
x
例4-2 图示半径为r的圆盘，在与水平 夹角为30半径的切平面上作用力F，求 力F对x、y、z轴之矩。
解：1.将F沿坐标轴方向分解
6F Fx F cos30 sin 45 4 6F Fy F cos30 cos 45 4 F Fz F sin 30 2
平面解法：
解：取平面投影列平衡方程 M0 xz平面： x
M y (F ) 0 :
Fr
z F z FAZ
A
Fr
Fn F
yz平面：
M x (F ) 0 :
Fz
D M0 0 2 2M 0 2M 0 F Fr F tan tan D D F
0: Fy 0 : Fz 0 : M x (F ) 0 : M y (F ) 0 : M z (F ) 0 :
Fx
平衡方程
三、空间约束 1.轴承 约束力用上下和前后两正交分力表示 2.空间固定端 约束端有三个约束力和三个约束力偶矩。
课后作业：《工程力学练习册》练习十二
h
z
F
45 F z Fx °