第四章 空间力系和重心

第四章 空间力系和重心
◆ 课题4–1 ◆ 课题4–2 ◆ 课题4–3
空间力的投影 力对轴之矩 空间力系平衡方程的应用 重心 平面图形的形心
◆ 课题4–1
空间力的投影 力对轴之矩
z
F Fz z Fx x
一.力在空间直角坐标轴上的投影 1.一次投影法 已知力F与三个坐 标轴的夹角分别为、β 、,
平面解法：
解：取平面投影列平衡方程 M0 xz平面： x
M y (F ) 0 :
Fr
z F z FAZ
A
Fr
Fn F
yz平面：
M x (F ) 0 :
Fz
D M0 0 2 2M 0 2M 0 F Fr F tan tan D D F
五、平面解法 解：已知各分力
6F 4 2F Fy 4 2F Fz 2 Fx
x
z
50
Fz
Fz C
Fx Fy
Fx Fxy
O
1.在yz平面取平面投影
M x ( F ) M 0 ( Fyz ) 2 1000 0.06 42.4N m 2
z O
40 20 F z Fy
y
2.在xz平面取平面投影
FBz (a b) Fr a 0 FAz FBz Fr 0
FAZ+FBZ FAx FAx+FBxO x
FBZ M0 a

y
FBx Cb
Fr
B
0:
Fr a FBz ab
O
z FAZ
FBZ
y
xy平面：
M z (F ) 0 :
Fr b FAz FAz Fr ab
结论：力对轴之矩等于力在垂直于轴的平面上的投影对该轴与 平面交点之矩。 三、合力矩定理 力系合力对某轴之矩，等于各分力对同轴力矩的代数和。
M z ( F ) M z ( Fx ) M z ( Fy ) M z ( Fz )
课后作业：《工程力学练习册》练习十一
◆ 课题4–2
简化中心
空间力系平衡方程的应用
2.平衡方程
三、空间约束 1.轴承
FX
FZ FY FZ
FX
向心轴承：限制了轴端的上下移 动和前后移动，不限制轴向移动。 约束力用上下和前后两正交分力 表示。 推力轴承：限制了轴端的上下、 前后、轴向的移动。 约束力用上下、前后、和轴向三 个正交分力表示。 既限制了轴端的上下、前后、轴 向的移动，又限制了绕x、y、z轴的 转动。 约束端有三个约束力和三个约束 力偶矩。
Fz Fy
Fx Fxy
解： 1. 应用二次投影法，求得各分力 的大小为
Fx F cos 45 sin 60 6F 4 2F Fy F cos 45 cos60 4 2F Fz F sin 45 2
2.由合力矩定理求F对轴之矩
M x ( F ) M x ( Fx ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) 0 0 2 1000 0.06 42.4N m 2 M y ( F ) M y ( Fx ) M y ( Fy ) M y ( Fz ) 0 0 2 1000 0.05 35.4N m 2 M z ( F ) M z ( Fx ) M z ( Fy ) M z ( Fz ) 6 1000 0.06 2 1000 0.05 0 4 4 19.1N m
Fx F cos 1.一次投影法 Fy F cos Fz F cos Fx F sin cos 2.二次投影法 Fy F sin sin Fz F cos
二、力对轴之矩
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy d
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
(4 1)


Fy
y
x z F F zz
2.二次投影法 已知力F与z轴的夹角为， 力与轴所确定平面与x轴的夹角为。
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
0: Fy 0 : Fz 0 : M x (F ) 0 : M y (F ) 0 : M z (F ) 0 :
Fx
平衡方程
三、空间约束 1.轴承 约束力用上下和前后两正交分力表示 2.空间固定端 约束端有三个约束力和三个约束力偶矩。
课后作业：《工程力学练习册》练习十二
M1
F'1 O
一、空间力系的简化(力对点之矩为矢量)
F1
A
M2
F'2
M0
FR A C
F3
O C
B
F2 =
F3
=
O
B
1.主矢FR 2.主矩M0 M 0 [ M x ( F )]2 [ M y ( F )]2 [ M z ( F )]2 二、空间力系平衡方程 1.空间力系平衡条件：主矢FR=0, 主矩M0=0。
(4 2)
F

Baidu NhomakorabeaFx F x x

F Fy y Fxy
y
3.力沿坐标轴方向分解 4.已知投影求作用力
2 2 2
F Fx Fy Fz Fy Fx F cos ;cos ;cos z F F F
( 4 3)
二、力对轴之矩
z y d Fxy
结论 y ： 力对轴之矩等于力在 x 垂直于轴的平面上的投影 x 对该轴与平面交点之矩。 力对轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度量，是一个代数 量。其正负号可按以下法确定：从z轴正端来看，若力矩逆时针， 规定为正，反之为负。也可按右手螺旋法则来确定其正负号。 三、合力矩定理 力系合力对某轴之矩，等于各分力对同轴力矩的代数和。
平面解法：
Fz Fx
2r 2
z
z
F 45 F z Fx ° h
z
Fz
2r 2
Fy
x
O
O
y
Fy 30 °
O
y
x
解：1.将F沿坐标轴方向分解
2.在坐标平面分别取投影 2r 6Fh 2Fr M x ( F ) Fy h Fz yz平面 2 4 4
xz平面 xy平面
M y ( F ) Fx h Fz
50
Fx
C Fy y
M y ( F ) M 0 ( Fxz ) 2 1000 0.05 35.4N m 2
3.在xy平面取平面投影
M z ( F ) M O ( Fxy ) 6 1000 0.06 2 1000 0.05 4 4 19.1N m
O
2r 2
2r 6Fh 2Fr x 2 4 4 2r 2r 3Fr 3Fr 3Fr M z ( F ) Fx Fy 2 2 4 4 2
O
6F Fx 4
6F Fy 4
F Fz 2
2r 2
y Fy
45 Fx °
本课节小结
一.力在空间直角坐标轴上的投影
Fxy
d
Fz A
F
O
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy d
M z ( F ) M z ( Fx ) M z ( Fy ) M z ( Fz )
四、应用举例
例4-1 图示托架OC套在轴z上，在C点作 用力F=1000N，图中C点在Oxy面内。试分 别求力F对x、y、z轴之矩。
FBx (a b) F a 0 FBx FAx FBx F 0
F
y
FBx
F a O FAx ab
x
Fx
0:
FAx FBx F
Fb ab
例4-4 传动轴如图，已知带轮半径Ｒ＝0.6m，自重Ｇ2＝2kN；齿轮 半径r=0.2m，轮重G1=1kN。其中AC=CB=l=0.4m，BD=0.2m，圆周 力Fτ=12kN，径向力Fr=1.5kN，轴向力Fa＝0.5kN，紧边拉力FT,松边 拉力Ft，FT=2Ft 。试求轴承Ａ、Ｂ两处的约束反力。 解：画受力图列平衡方程求解
0: Fy 0 : Fz 0 : M x (F ) 0 : M y (F ) 0 : M z (F ) 0 :
Fx
M3 FR ( Fx) 2 ( Fy) 2 ( Fz) 2 ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
M z (F ) 0 :
F
y
0:
Fx
0:
FAy Fa 0 FAy Fa 0.5 kN
本课节小结
一、空间力系的简化 1.主矢FR FR ( Fx) 2 ( Fy) 2 ( Fz) 2 ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2 2.主矩M0 M 0 [ M x ( F )]2 [ M y ( F )]2 [ M z ( F )]2 二、空间力系平衡方程
h
z
F
45 F z Fx °
O x
y
Fy 30 °
2.求F对x.y.z轴之矩
2r 6Fh 2Fr 2 4 4 2r 6Fh 2Fr M y ( F ) Fx h Fz 2 4 4 2r 2r 3Fr 3Fr 3Fr M z ( F ) Fx Fy 2 2 4 4 2 M x ( F ) Fy h Fz
AZ
FBZ
0
x
FAx
y
2.画传动轴的约束力
A
a
FBx Cb
F
B
3.列平衡方程求解
F
M y (F ) 0 :
D M0 0 2 M x ( F ) 0 : FBz (a b) Fr a 0
2M 0 2M 0 Fr F tan tan D D Fa FBz r ab F b FAz FBz Fr 0 Fz 0 : FAz FAz Fr r ab Fa M z ( F ) 0 : FBx (a b) F a 0 FBx ab Fb FAx FBx F 0 Fx 0 : FAx FBx F ab
2.空间固定端
MZ
MX z FZ FY MY y
x
FX
应用举例 例4-3 某传动轴图所示。已知轴B端联轴器输入外力偶矩为M0， 齿轮C分度圆直径为D, 压力角为,轮间距为a、b。求齿轮圆周力, 径向力和轴承的约束力。 Fn 解： 1.建立坐标系，将啮合力沿坐标 z Fr F 轴方向分解为圆周力F和径向力Fr。 F M
40 20
x
例4-2 图示半径为r的圆盘，在与水平 夹角为30半径的切平面上作用力F，求 力F对x、y、z轴之矩。
解：1.将F沿坐标轴方向分解
6F Fx F cos30 sin 45 4 6F Fy F cos30 cos 45 4 F Fz F sin 30 2
FBz (8 0.707 4 0.5 2) 2.5 12 1 1.57 kN 2
Fz
0:
FAz FBz F G1 ( FT sin 45 Ft sin 30 G 2 ) 0 FAz 1.57 12 1 (5.66 2 2) 6.09 kN FBx 2l F l Fa r ( FT cos 45 Ft cos30) 2.5l 0 0.6 0.1 (5.66 3.46) 1 FBx 12.03 kN 2 0.4 FAx FBx Fr FT cos 45 Ft cos30 0 FAx 12.03 1.5 5.66 3.46 1.41kN
M
F r ( FT Ft ) R 0 F r 12 0.2 Ft 4 kN FT 2Ft 8 kN R 0.6
y
(F ) 0 :
M x (F ) 0 :
FBz 2l ( F G1 )l ( FT sin 45 Ft sin 30 G 2 ) 2.5l 0