2 2连续型随机变量及其概率密度
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概率论-2-3连续型随机变量及其概率密度
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它
（1）求元件寿命至少为200小时的概率；
（2）将3只这种元件连接成为一个系统. 设系统 工作的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3 只元件工作相互独立. 求系统的寿命至少为200小时 的概率.
解（1）元件寿命至少为200小时的概率为PX 200 f Nhomakorabea(x)dx
Y ~ B(3,1 e2)
2只及2只以上元件的寿命小于200小时的概率为
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2 (1 e2)2(2e2 1) 0.950. 故系统的寿命至少为200小时的概率为
p 1 PY 2 1 0.950 0.050
1 ba
ab
即是说 X落在区间（a,b）内任意等长小区间 上的概率相等，在（a,b）内两个等长小区间上， f(x)之下的小长方形的面积相等，就是称为均匀分 布的原因.
均匀分布常见于下列情形
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某 一位小数引入的误差.
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车 站的时间，即乘客的候车时间等.
本节练习
习题二：８，９，１０
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
连续型随机变量及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的连续型随机变量 小结
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,
对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那 样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率 分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
f
(
x)
连续型随机变量的概率密度
解：⑴．P1 X 5 F (5) F (1)
(5 2) (1 2)
3
3
1
1 3
1 1 1
3
0.84134 0.62930 1
0.47064
⑵．PX 2 6 1 PX 2 6
1 P 6 X 2 6
x
令 u t
1
t2 x
e 2 dt
2
1
(2) (0) P( X 0) 1 2
() 1 ;() 0
引理：
设X ~ N ， 2 ，则 Y X ~ N ( 0, 1 )
FY
y
PY
y
P{ X
P{X y} 1
y}
y
e
t 2
2 2
dt
2
作变换
u
t
，du
dt
FY y
使用了s 小时，它总共能使用至少 s t
指数分布
若 X 表示某一元件的寿命，则 (*)式表明：已知元件 使用了s 小时，它总共能使用至少 s t 小时的条件 概率与从开始使用时算起它至少能使用 t小时的概 率相等，即元件对它使用过 s 小时没有记忆,具有这
一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因.
设X ~ N ， 2 ，则 Y X ~ N ( 0, 1 )
(2)若X~N(,2),
P{X x} P{ X x }
( x )
(3) 若X~N(,2),对于任意区间(x1,x2]有
P( x1
X
x2 )
P
x1
X
x2
x2
x1
【例5】 设 随 机 变 量 X ~ N 2， 9 求 ： ⑴ P1 X 5；⑵ PX 2 6；⑶ PX 0．
二维连续型随机变量及其概率密度
2 F (x, y) f (x, y) xy
5
这表示若 f (x, y) 在点 (x, y) 连续，则当 x, y 很小时,
P{x X x x, y Y y y} f (x, y)xy
即 (X ,Y)落在小长方形 (x, x x](y, y y] 内的概率近似 地等于 f (x, y)xy
我们指出，如果随机变量 X、Y相互独立，则任一 变量的条件概率密度等于其边缘概率密度.事实上，
这时我们有
fX
Y (x
y)
f (x, y) fY ( y)
fX (x) fY ( y) fY ( y)
fX (x)
fY
X (y
x)
f (x, y) fX (x)
fX (x) fY ( y) fX (x)
1
S
D
,
(x, y) D ,
0,
其它
其中SD 为区域 D 的面积，则称 (X,Y) 服从 D
区域上的均匀分布．特别地，设 (X,Y) 在以圆
点为中心、r 为半径的圆域 R 上服从均匀分
布，求二维联合概率密度.
解：
8
例2 设二维随机变量 (X ,Y) 具有概率密度
2e(2x y) , x 0, y 0
其它
0
问随机变量和是否相互独立的？
解：
34
例11 二维正态随机变量 (X,Y)的概率密度为
f (x, y)
1
1
(
x
1
)2
2
(x 1)(y2 ) ( y
2 )2
e 2(1
2
)
12
1 2Leabharlann 2 2,2 1 2 1 2
( x, y )
概率论与数理统计313 二维连续型随机变量及其联合概率密度
数f(x)的性质
概率密度函数f(x, y)的性质
(4) 在f(x)的连续点处有： f (x) F'(x)
(4)若f (x, y)在(x, y)连续,
则有 2F(x, y) f (x, y). xy
用来求概率密度f(x)的方法
用来求概率密度 f(x,y)的方法
例2 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
解: 由规范性
f (x, y)dxdy 1
Ae(2x y)dxdy 1 A 2 00
二、联合概率密度函数的性质:
(3)设D是xOy平面上的任意一个平面区域,点(X ,Y ) 落在D内的概率为
P{(X ,Y) D} f (x, y) d x d y.
D
z
z f (x, y)
求：(1)常数A；(2) F ( x, y ) ；(3) P{Y X};
(4) P{1 X 1,1 Y 1}.
解: P{1 X 1,1 Y 1}.
f (x, y) d x d y
D
1 2e 1 (2x y) d y d x 01 01
1
2 e1 2x dx 1ey)(1 e1).
y
1
O
D 1
x
1
(x,y)
求(X ,Y )的联合密度函数.
例3 设
Ae(2x y) , x 0, y 0
(X ,Y ) ~ f (x, y)
0, 其它
求：(1)常数A；(2) F ( x, y ) ；(3) P{Y X};
(4) P{1 X 1,1 Y 1}.
解:
(1)由规范性
f (x, y)dxdy 1
y
o
D x
(3) 对于任意平面区域D R2,
连续型随机变量及其概率密度
问：怎样求一般正态分布的概率？
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
其分布函数 F( x)
1
e d t x
(t )2 2 2
2
作变量代换s
t
F(x)
1 2
x
s2
e 2ds
x
即 X ~ N ( , 2) 则 X ~ N ( 0 ,1)
P{a
X
b}
F (b)
222 0.3830
3) 0.6826 4) 0.4981
0.02
-10
-5
a
5
b
x
例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为 连续型随机变量，其概率密度函数为
f
(
x)
c x2
,
0,
x 1000 其它
( c 为常数)
(1) 求常数 c
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，
每只晶体管能否正常工作相互独立，求在
使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.
(3) P(X>1.76)= 1 – P(X≤1.76)= 1 – Φ(1.76)
=1 – 0.9608 =0.0392 (4) P(X< – 0.78)= Φ(- 0.78) =1-Φ(0.78)
=1 – 0.7823 =0.2177 (5) P(|X|<1.55)= 2Φ(1.55) – 1 (6) P(|X|>1.55)= 1 – P(|X|<1.55)
即： P( X a) 0, a为任一指定值
事实上 { X a} {a x X a}
x 0
0 P{ X a} P{a x X a} aax f ( x)d x
第三节连续型随机变量及其概率密度
则称X服从0 1分布.
这时X的分布函数为：
F(x)
1
0， x p，0
0， x
1，
1， x 1.
2. 二项分布：若随机变量 X所有可能取值为 0，1，，n，且分布律为：
P(X
k)
C
k n
pk qnk，k
0，1，，n，0
p
1，q
1
p，
则称X服从二项分布， 记为：X～B(n，p). 3. 泊松分布：若随机变量 X所有可能取值为 0，1，2,，且分布律为：
2
Acos
xdx
2 A sin
x
2
0
2 A，
2A 1，
(2) (3)
P(0 X
当x
2
时4，) F
( x042)故12coAsxxdf12x(.t)d12t
sin
x
4
0
x
0dt
2 4
.
0.
当
2
x
2
时，
F
(
x)
2 0dt
x
2
1 2
cos
tdt
1 2
(sin
x
1).
当x
2
时，F
6
三、几种常见的连续型分布
1. 均匀分布：设X的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
a x b，
0， 其它.
则称X在区间[a，b]上服从均匀分布，记为 X～U[a，b].
0， x a，
易求X的分布函数为
F
(
x
)
x b
a a
，a
1， x
连续型随机变量及其概率密度
a，有 P{X=a}=0
0 P{X a} P{a x X a} F(a) F(a x)
而F (x)连续，故x 0时，F (a) F (a x) 0
由此 P{a X b} P{a X b} P{a X b}
P{a X b}
b a
f
( x) d
x
f
x dx=P{X
F( x) P{X x} P{X xk } pk ( x∈R )
xk x
xk x
P{X xk} F(xk ) F(xk 0)
Ⅰ：确定X及其分布，A={X∈L} Ⅱ：P{X∈L}= →F(x) 【分布律、概率密度f(x)】 →高等数学、 F(x) 、分布律、密度函数f(x)的性质、 各种概型的规律。
得t ln2/2 0.3446(小时)。
15解：（迅速）设X为这批投保人一年内死亡的
人数，则X ~ b(5000, 0.00015), X 近似服从 (75)，
由题意，所求为P{X 10}=...
第四节 连续型随机变量及其概率密度
一、连续型随机变量及其概率密度的概 念与性质 二、常见连续型分布
x0
x
x0
x
若不计高阶无穷小，有P{x X x x} f (x)dx
.
P{X=x}
50 连续型随机变量x的分布函数F(x)是连续函数
因为对x，lim F (x) lim[F (x x) F (x)]
x0
x0
xx
lim f (t)dt 0 x0 x
说明： 若 X 为连续型随机变量，则对任一实数
Ⅰ：确定X及其分布，A={X∈L} Ⅱ：P{X∈L}= →F(x) 【分布律、概率密度f(x)】 →高等数学、 F(x) 、分布律、密度函数f(x)的性质、 各种概型的规律。
连续型随机变量及其概率密度
是一个随机变量, 且X ~ N (d , 0.52 ).
(1) 若d 90, 求 X 小于 89 的概率.
(2) 若要求保持液体的温度至少为 80oC 的概率不
低于 0.99,问d 至少为多少? 解 (1) 所求概率为
P{ X
89}
89 90 0.5
(2)
1
(2)
三、小结
1. 连续型随机变量
x
F(x) f (t)dt
分布函数 概率密度
2. 常见连续型随机变量的分布
均匀分布
正态分布(或高斯分布)
指数分布
3. 正态分布是概率论中最重要的分布 正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量
误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常 情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度, 炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态 分布.可以说,正态分布是自然界和社会现象中最 为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小 的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般 是一个正态随机变量.
F(x)
1
1x
e 2000
,
0,
x 0, x 0.
(1) P{X 1000} 1 P{X 1000} 1 F (1000)
1
e 2 0.607.
(2) P{ X 2000 X 1000} P{ X 2000, X 1000} P{ X 1000} P{ X 2000} P{ X 1000}
1
e
(
x μ 2σ2
)2
d
x
连续随机变量及其概率密度函数
连续随机变量及其概率密度函数在概率论与数理统计中，随机变量是指在一个概率空间中取值的变量。
其中，连续随机变量是指在一定区间内可以取到无穷多个不同值的随机变量。
连续随机变量的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是描述连续随机变量概率分布的函数。
1. 连续随机变量的定义连续随机变量通常用大写字母表示，如X。
与离散随机变量不同的是，连续随机变量的取值范围通常是无穷多个实数值。
例如，一个连续随机变量可以表示一个人的身高，其取值可以是任意的实数。
2. 连续随机变量的概率密度函数对于连续随机变量X，其概率密度函数f(x)定义了在X取值等于x时的概率密度，即X落在x附近的概率。
概率密度函数需要满足以下两个条件：- f(x) ≥ 0，对于任意的x∈R；- ∫f(x)dx = 1，即概率密度函数的积分等于1。
3. 连续随机变量的性质连续随机变量的概率可以通过求取积分来计算。
具体而言，如果要求X在区间[a, b]的概率，即P(a ≤ X ≤ b)，可以使用概率密度函数进行计算：- P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b]f(x)dx。
4. 连续随机变量的期望和方差连续随机变量的期望和方差的计算方式与离散随机变量有所不同。
- 连续随机变量X的期望值E(X)可以通过积分的方式计算：E(X)= ∫xf(x)dx。
- 连续随机变量X的方差Var(X)可以通过以下公式计算：Var(X)= E((X-E(X))^2) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx。
5. 常见的连续分布函数在概率论与数理统计中，有许多常见的连续分布函数可用来描述实际问题中的连续随机变量。
以下是一些常见的连续分布函数： - 正态分布（Normal Distribution）- 均匀分布（Uniform Distribution）- 指数分布（Exponential Distribution）- 伽马分布（Gamma Distribution）- β分布（Beta Distribution）- 正太分布（Chi-Square Distribution）总结起来，连续随机变量是指在一定区间内可以取到无穷多个不同值的随机变量。
连续型随机变量及其概率密度函数
§2.4 连续型随机变量及其概率密度函数
一、连续型随机变量的概念 定义2.8 设随机变量 的分布函数为 F (x ) ，若存在非负可 设随机变量X的分布函数为 定义 积函数 f (x )，使得对于任意实数 x ，都有 x （2—15） ） F ( x ) = ∫ f ( x )dx
∞
则称X为连续型随机变量， 则称 为连续型随机变量， 称 f (x )为X的概率密度函数 的 （Probability Density Function），简称概率密度或密度 ），简称概率密度或密度. ），简称概率密度或密度 由定义可知，连续型随机变量X的分布函数 由定义可知，连续型随机变量 的分布函数 F (x)在x点的函 点的函 上的积分． 数值等于其概率密度函数 f (x )在区间( ∞, x] 上的积分． 类似于离散型随机变量， 类似于离散型随机变量，连续型随机变量 f (x )的概率密度 函数具有如下基本性质： 函数具有如下基本性质：
P { x1 < X ≤ x 2 } = Φ ( x2
σ
) Φ(
x1
σ
)
关于标准正态分布，一个重要的公式是： 关于标准正态分布，一个重要的公式是：对于任意实数 x . Φ ( x) + Φ ( x) = 1 (2-31) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了. 这可用 Φ(x ) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了
∞
σ x+
1 2π σ
( x )2
2σ
2
e
∫
x ∞
1 2π
e
t2 2
dt
(令 σ = t ) 令
x
所以 X * ~ N (0, 1).
这样我们便有如下定理： 这样我们便有如下定理： 2 定理2.2 若 X ~ N ( , σ )，其分布函数为F ( x ) ，则对任意 定理 实数 ，有 x （2—29） ） F (x) = Φ ( )
一、连续型随机变量的概念 定义2.8 设随机变量 的分布函数为 F (x ) ，若存在非负可 设随机变量X的分布函数为 定义 积函数 f (x )，使得对于任意实数 x ，都有 x （2—15） ） F ( x ) = ∫ f ( x )dx
∞
则称X为连续型随机变量， 则称 为连续型随机变量， 称 f (x )为X的概率密度函数 的 （Probability Density Function），简称概率密度或密度 ），简称概率密度或密度. ），简称概率密度或密度 由定义可知，连续型随机变量X的分布函数 由定义可知，连续型随机变量 的分布函数 F (x)在x点的函 点的函 上的积分． 数值等于其概率密度函数 f (x )在区间( ∞, x] 上的积分． 类似于离散型随机变量， 类似于离散型随机变量，连续型随机变量 f (x )的概率密度 函数具有如下基本性质： 函数具有如下基本性质：
P { x1 < X ≤ x 2 } = Φ ( x2
σ
) Φ(
x1
σ
)
关于标准正态分布，一个重要的公式是： 关于标准正态分布，一个重要的公式是：对于任意实数 x . Φ ( x) + Φ ( x) = 1 (2-31) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了. 这可用 Φ(x ) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了
∞
σ x+
1 2π σ
( x )2
2σ
2
e
∫
x ∞
1 2π
e
t2 2
dt
(令 σ = t ) 令
x
所以 X * ~ N (0, 1).
这样我们便有如下定理： 这样我们便有如下定理： 2 定理2.2 若 X ~ N ( , σ )，其分布函数为F ( x ) ，则对任意 定理 实数 ，有 x （2—29） ） F (x) = Φ ( )
连续型随机变量及其概率分布
aБайду номын сангаас
b
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
f (x) （4）在 f (x) 的连续点 x 处， F(x)=
注:
（1）连续型随机变量 X 的分布函数F(x)处处连续. (2)连续型随机变量取任一指定实数值a 的概
P X = a=. 0 (3) 率均为0. 即
P X a F ( a ) l i m F ( a x ) = F ( a ) F ( a ) = 0
例. 设X服从参数为3的指数分布，求它的密度函数 ( 1 X 2 ) 及 P( X 1) 和 P
3 e 3 x x 0 解： X 的概率密度 f ( x ) x 0 0
P ( x X x ) xd )x 1 2 f(
x 1
3 P ( X 1 ) fx ( ) d x 3 e d x e 1 1 3 x
, 正 态 分 布 ， 记 为
2
X ~N ( ,2)
具有下述性质 fx :
正态分 布曲线
1
曲线 f x 关于 轴对称；
P μ X μ h P μ hX μ h 0
1 时 , 取最大值 f( ) 2 x 2
常见的连续型随机变量
1. 均匀分布
定义：若 随机变量 X的概率密度为：
1 , a x b f (x) ba , 其它 0
f ( x)
1 b a
a
b
则称X在区间[ a, b]上服从均匀分布， 记作 X ～ U(a, b)
X的分布函数为：
1 , a x b f (x) ba , 其它 0
b
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
f (x) （4）在 f (x) 的连续点 x 处， F(x)=
注:
（1）连续型随机变量 X 的分布函数F(x)处处连续. (2)连续型随机变量取任一指定实数值a 的概
P X = a=. 0 (3) 率均为0. 即
P X a F ( a ) l i m F ( a x ) = F ( a ) F ( a ) = 0
例. 设X服从参数为3的指数分布，求它的密度函数 ( 1 X 2 ) 及 P( X 1) 和 P
3 e 3 x x 0 解： X 的概率密度 f ( x ) x 0 0
P ( x X x ) xd )x 1 2 f(
x 1
3 P ( X 1 ) fx ( ) d x 3 e d x e 1 1 3 x
, 正 态 分 布 ， 记 为
2
X ~N ( ,2)
具有下述性质 fx :
正态分 布曲线
1
曲线 f x 关于 轴对称；
P μ X μ h P μ hX μ h 0
1 时 , 取最大值 f( ) 2 x 2
常见的连续型随机变量
1. 均匀分布
定义：若 随机变量 X的概率密度为：
1 , a x b f (x) ba , 其它 0
f ( x)
1 b a
a
b
则称X在区间[ a, b]上服从均匀分布， 记作 X ～ U(a, b)
X的分布函数为：
1 , a x b f (x) ba , 其它 0
连续型随机变量与概率密度函数
不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件。
同样：
必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件。
01
若X是连续型随机变量，
02
{ X=a }是不可能事件，则有
03
若 X 为离散型随机变量,
04
注意
05
连
06
续
07Байду номын сангаас
型
08
离
09
散
10
型
STEP4
STEP3
STEP2
由
得
解得
于是
的概率密度为
设随机变量
具有概率密度
(1)
确定常数
【练习】
解
由
得
解得
于是
的概率密度为
其它
.
设随机变量
具有概率密度
求
的分布函数
【练习】
解
设随机变量
01
具有概率密度
02
03
求
04
解
05
或
06
【练习】
07
例4 设随机变量 K 的概率密度为
于是, 所求的概率为
06
可见
04
试求方程 有实根的概率.
(1) P{ x1＜X ≤x2} = P{ x1≤X ≤x2} = P{ x1＜X ＜x2} = P{ x1≤X ＜x2} = F(x2) －F(x1) =
(2)
点概为零的重要启示
若 A 为不可能事件，则 P (A) = 0 ； 然而 P (A) = 0 时， A 却不尽为不可能事件 .
那么就称该随机变量 X 服从均匀分布，也称 X为均匀分布变量（简称均匀量），并记为
同样：
必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件。
01
若X是连续型随机变量，
02
{ X=a }是不可能事件，则有
03
若 X 为离散型随机变量,
04
注意
05
连
06
续
07Байду номын сангаас
型
08
离
09
散
10
型
STEP4
STEP3
STEP2
由
得
解得
于是
的概率密度为
设随机变量
具有概率密度
(1)
确定常数
【练习】
解
由
得
解得
于是
的概率密度为
其它
.
设随机变量
具有概率密度
求
的分布函数
【练习】
解
设随机变量
01
具有概率密度
02
03
求
04
解
05
或
06
【练习】
07
例4 设随机变量 K 的概率密度为
于是, 所求的概率为
06
可见
04
试求方程 有实根的概率.
(1) P{ x1＜X ≤x2} = P{ x1≤X ≤x2} = P{ x1＜X ＜x2} = P{ x1≤X ＜x2} = F(x2) －F(x1) =
(2)
点概为零的重要启示
若 A 为不可能事件，则 P (A) = 0 ； 然而 P (A) = 0 时， A 却不尽为不可能事件 .
那么就称该随机变量 X 服从均匀分布，也称 X为均匀分布变量（简称均匀量），并记为
概率论与统计第二章第三节连续型随机变量
x
于是当△x( > 0)充分小时, P{x<X≤x+ △x}≈f(x)△ x。这表明f(x)
本身并非概率，但它的大小却决定了X 落入区间[x ,x+△x]内的概
率的大小．即f(x) 反映了点x 附近所分布的概率的“疏密”程度 ――
连续型随机变量的一个重要特征是：连续型随机变量取任意
一个指定值的概率均为零，即P{X =x0}=0．
例7 若X ～N(0，1) ，当α = 0.10、α = 0.05、α = 0.01 时，分别确定u0，使得P{|X|＞u0} = α．
解 P{|X|＞u0} = P{X＜－u0}＋ P{X＞u0} = φ(－u0)＋1－P{X≤－u0} =1－φ(u0) ＋1－ φ(u0) = 2－2 φ(u0) ．
均匀分布的密度函数与分布函数的图形如图．
均匀分布是常见的连续分布之一．例如数值计算中的舍入 误差、在每隔一定时间有一辆班车到来的汽车站上乘客的候车 时间等常被假设服从均匀分布．此外，均匀分布在随机模拟中 亦有广泛应用．
例3 某市每天有两班开往某旅游景点的列车, 发车时间分
别为早上7点30分和8点．设一游客在7 点至8点间任何时刻到达
P{|X|＜2｝=2Φ(2) －1=2×0.9772－1 = 0.9544
P{|X|＜3｝=2Φ(3) －1 = 2×0.9987－1 = 0.9974
对于X ～ N (, 2 )
P{| X | 1} P{ X }
=Φ(1)－Φ(－1) = 0.6826
P{| X | 2} P{ 2 X 2 }
(2)
F(x)
x
f (t)dt
当x＜0 ,
F
(
x)
x
连续型随机变量及概率密度
(4) 可由分布函数求分布密度，对于 F(x)不存在 的点可人为的补充定义.
2021/8/17
7
0 x 0
ex1.设X的分布函数为 F(x) x 0 x 1,
求X的分布密度 f (x).
1 x 1
解 f(x ) F (x ),
而端点处情况可人为规定.
f(x)10
0x1 其它
orf(x) 10
1(1e2)5.
2021/8/17
16
三、正态分布
1. 正态分布的定义
如果连续型随机变量X的概率密度为
f(x)
1
(x)2
e 22
2
( x)
其 , 中 (0 )为,常 则 X 服 数 称从 , 参 的数 正
分布或 .记 高 X 为 ~N 斯 (,2)分 . 布
特,令 别 0 ,地 1 得 (x) 1 2ex22 ( x)
且 1 (z) ( z) 2
2
2
从 2021/8而 /17 (z2)12
z
2
( x)
O z x
( x)
2
O z x
2
26
e5 .x 设 X ~ N (1,9 0 ) N 8 (1,3 0 2 )8 , (1 )求 P { 1.1 0 X 1 1.6 1 }7 ;
( 2 ) 求 a 使 P { X a } 0 .9 ;
f (x)
面积为1
o
x
( 3 )P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2 f ( x ) d ;x
(4)在 f(x)的连,F 续 (x)点 f(x);处
2021/8/17
5
在 f(x)的不连 ,F续 (x)不 点 存 ;处 在 (用 F (x 0 ) lx i0 F m (x 0 x x ) F (x 0 )证 ) 明 (5 )对任 a ,P { X 意 a } F ( 实 a ) F (a 数 0 ) 0 ;
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7
0 x 0
ex1.设X的分布函数为 F(x) x 0 x 1,
求X的分布密度 f (x).
1 x 1
解 f(x ) F (x ),
而端点处情况可人为规定.
f(x)10
0x1 其它
orf(x) 10
1(1e2)5.
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三、正态分布
1. 正态分布的定义
如果连续型随机变量X的概率密度为
f(x)
1
(x)2
e 22
2
( x)
其 , 中 (0 )为,常 则 X 服 数 称从 , 参 的数 正
分布或 .记 高 X 为 ~N 斯 (,2)分 . 布
特,令 别 0 ,地 1 得 (x) 1 2ex22 ( x)
且 1 (z) ( z) 2
2
2
从 2021/8而 /17 (z2)12
z
2
( x)
O z x
( x)
2
O z x
2
26
e5 .x 设 X ~ N (1,9 0 ) N 8 (1,3 0 2 )8 , (1 )求 P { 1.1 0 X 1 1.6 1 }7 ;
( 2 ) 求 a 使 P { X a } 0 .9 ;
f (x)
面积为1
o
x
( 3 )P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2 f ( x ) d ;x
(4)在 f(x)的连,F 续 (x)点 f(x);处
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5
在 f(x)的不连 ,F续 (x)不 点 存 ;处 在 (用 F (x 0 ) lx i0 F m (x 0 x x ) F (x 0 )证 ) 明 (5 )对任 a ,P { X 意 a } F ( 实 a ) F (a 数 0 ) 0 ;
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二、概率密度的概念与性质
1.定义 如果对于随机变量 X 的分布函数 F ( x ) , 存在
? 非负函数 , 使对于任意实数 x 有 F ( x ) ?
x
f (t)d t,
??
则称 X 为连续型随机变量 , 其中 f ( x ) 称为 X 的概率
密度函数 ,简称概率密度 .
f (x)
??
? S ? f ( x)d x ? 1 ??
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的
概率等于零 .即
P{X ? a} ? 0.
? 证明
a? ? x
P{X ? a}? lim
f ( x )d x ? 0.
?x? 0 a
由此可得
P{a ? X ? b}? P{a ? X ? b} ? P{a ? X ? b} ? P{a ? X ? b}.
型
例1 设随机变量 X 具有概率密度
? kx , 0 ? x ? 3,
f
(x)
?
?? ?
2
?
?
x 2
,
?? 0,
3 ? x ? 4, 其他.
(1) 确定常数 k; (2) 求 X 的分布函数;
(3) 求
P{1?
X
?
7 }.
2
? 解 (1) 由 ? f ( x )d x ? 1, ??
? ? 得
3
kx d x ?
F???a2???
? F(?a)
?
1 2
?
1 π
arcsin
?a
? ?
2a
? ?
?
?
0
? 1 ? 1 ? π ? 2. 2π6 3
(3) 随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
?
F ?( x )
?
?1 ?
π
? 0,
a2 ? x2 , ? a ? x ? a, 其他 .
常见连续型随机变量的分布
1. 均匀分布
f (x)
p? l b? a
???l ??
?????
l
1
b? a
?
a
o
?
bx
分布函数
?0,
x ? a,
F ( x)
F
(
x)
?
?? ? ?
x b
? ?
a a
,
a ? x ? b,
1?
??1,
x ? b.
?
?
ao
b
x
例1 设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在
? S1 ?
x2 f (x)d x
x1
1
S1
o
?? x1 x2
x
性质 (1) f ( x ) ? 0;
??
? (2) f ( x )d x ? 1; ??
? 证明
??
1 ? F (? ) ? f (x )d x.
??
? (3) P{x1 ? X ? x2}? F (x2 ) ? F ( x1) ?
?? ?
?
A?
? B? 2
0,
A
?
B arcsin
?? ?
a a
??? ?
A?
? 2
B
?
1,
解之得
A
?
1 ,
B ? 1.
2
?
所以
? 0,
x ? ? a,
F (x)
?
?? 1
? ?
2
?
1 arcsin π
x a
,
? a ? x ? a,
??1,
x ? a.
(2)
P ????
a
?
X
?
a? 2 ??
?
连续型随机变量及其概率密度
一、连续型随机变量 二、概率密度的概念与性质
一、连续型随机变量
定义 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区 间,叫做连续型随机变量 .
实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿命 ”.
则 X 的取值范围为 [0, ? ? ).
实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测量 误差”. 则 X 的取值范围为 (a, b) .
3 ? x ? 4,
??1,
x ? 4.
(3) P{1 ? X ? 7} ? F (7) ? F (1) ? 41 .
2
2
48
例2 设连续型随机变量 X 的分布函数为
?0,
x ? ?a,
F(x) ?
?? ?
A
?
B
arcsin
?
x, a
?a?
x?
a,
??1,
x ? a.
求 : (1) 系数 A, B 的值;
x2 f ( x )d x ;
x1
证明 P{x1 ? X ? x2}? F (x2 ) ? F ( x1)
? ? ? ? x2 f (x) d x? x1 f (x) d x ? x2 f ( x )d x .
??
??
x1
同时得以下计算公式
a
? P{X ? a}? F (a) ? f ( x )d x , ??
定义 设连续型随机变量 X 具有概率密度
f
(x)
?
?? ?
b
1 ?
a
,
a ? x ? b,
?? 0,
其他,
则称 X 在区间 (a,b)区间上服从均匀分布 ,
记为 X ~ U (a,b).
f (x)
概率密度函数图形
?
aO
?
bx
均匀分布的意义
在区间 (a , b ) 上服从均匀分布的随机 变量 X , 落在区间 ( a , b ) 中任意等长度的子区间 内的可能性 是相同的 .
? ?
x t dt,
0 ? x ? 3,
? F ( x ) ?
? ? ?
06 3tdt?
x ?? 2 ? t ??d t,
? ? ? 0 6
3 ? 2?
??1, x ? 4.
3 ? x ? 4,
?0,
x ? 0,
? ?
x
2
,
0 ? x ? 3,
即
F(x) ?
? 12 ?
? ?
?
3
?
2x
?
x2 ,
4
0
4? ?
2
?
3?
x 2
??d ?
x
?
1,
解之得
k ? 1. 6
(2) 由 k ? 1 知 X 的概率密度为 6
? ? ?
x 6
,
f (x)?
? ?
2
?
?
x ,
2
?
?? 0,
0 ? x ? 3, 3 ? x ? 4, 其他.
? 由 F ( x ) ? x f ( x )d x 得 ??
?0, x ? 0,
P{X ? a} ? 1 ? P{X ? a}? 1 ? F (a)
?
a
? ? ? f ( x ) d x ? f ( x ) d x
??
??
?
??
? ? ? f ( x )d x ? f ( x )d x
??
a
?
? ?a f ( x )d x .
(4) 若 f ( x ) 在点 x 处连续,则有 F ?( x ) ? f ( x ).
连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关
注意
若X是连续型随机变量， { X=a }是不
可能事件，则有 P{X ? a } ? 0.
连
续
若 P{X ? a} ? 0,
型
则不能确定 {X ? a} 是不可能事件
若 X 为离散型随机变量 ,
离
散
{X ? a} 是不可能事件 ? P{X ? a}? 0.
(2) P{? a ? X ? a}; 2
(3) 随机变量 X 的概率密度 .
解 (1) 因为 X 是连续型随机变量 , 所以F ( x )连续,
故有 F (? a) ? lim F ( x ), x? ?a
F (a) ? lim F ( x ) , x? a
即
A?
B arcsin
?? ?
?a a