2020年高考数学试卷的命题走向预测

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2020年全国高考数学题型预测及答案详解精品

2020年高考数学题型预测（一）数学试卷(理科)第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设A ，B 是两个非空集合，定义A ×B=}|{B A x B A x x ∉∈且，已知},0,2|{},4|{2>==-==x y y B x x y y A x 则A ×B=（）A ．),2(]1,0[+∞B ．),2()1,0[+∞C ．[0，1]D ．[0，2]2．23(1)i -的值为（）A ．32iB ．32i - C ．i D ．i - 3．若nxx )1(+的展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A ．10B ．20C ．30D ．1204．若221()12,[()](0)x g x x f g x x x -=-=≠，则1()2f = （）A ．1B ．3C ．7D ．155．设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)P p ξ>=，则(10)P ξ-<<= （）A ．12p + B ．1p - C ．12p -D ．12p - 6．已知A （－1，2），B （2，1），则)1,1(-=a AB 按平移后得到的向量的坐标为（） A ．（3，－1） B ．（－3，1） C ．（4，－2） D ．（－2，0）7．把函数sin(2)4y x π=+的图象向右平移8π个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12，则所得图象的解析式为（）A ．3sin(4)8y x π=+B ．sin(4)8y x π=+C ．sin 4y x =D ．sin y x =8．设e <x <10，记a =ln(ln x )，b =lg(lg x )，c =ln(lg x )，d =lg(ln x )，则a ，b ，c ，d 的大小关系（） A ．a <b <c <d B ．c <d <a <b C ．c <b <d <a D ．b <d <c <a 9．已知函数)0( log )(2>=x x x f 的反函数为，，且有2)()()(111=⋅---b fa fx f若a ，b>0则ba 41+的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．910．两个实数集合A={a 1, a 2, a 3,…, a 15}与B={b 1, b 2, b 3,…, b 10}，若从A 到B 的是映射f 使B中的每一个元素都有原象，且f (a 1)≤f (a 2) ≤…≤f (a 10)<f (a 11)<…<f (a 15), 则这样的映射共有（）A ．510C 个B ．49C 个C ．1015个D ．1015105A ⋅11.已知二面角βα--l 的大小为60°，m 、n 为异面直线，且βα⊥⊥n m ,，则m 、n 所成的角为( )（A ）30°（B ）60°（C ）90°（D ）120°12．如果以原点为圆心的圆经过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点，而且被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e 等于（） A ．5B ．25 C ．3 D ．2第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020高考数学命题趋势与备考建议

复习备考建议
5.学法指导
（1）指导原则跟着老师走，学会具体问题具体分析，适合自己是最好的应考策略.
（2）层次要求一般水平——查漏补缺，主要是点上的漏洞，点对题；中等水平——归纳整理，形成清晰的知识结构；优等学生——提炼规律，研究考题类型和考题规律. （3）专项练习选择题与填空题的专项训练，每周2—3次，每次45分钟；中等题（解答题的前三题和选做题）的专项训练，每周2次；难题（解答题的后两题）的专项训练，每周1次.
2020年4月
命题趋势分析
调整目标、平衡难度、创新题型
调整目标：突出三维立意
三维立意“三部曲”——目标手法途径
平衡难度：采用文头理尾
高考数学已推出或拟推出的新题型
新题型
题型功能
逻辑题以日常生活的语言和情境为载体，考查推理、论证、比较、评价等逻辑思维能力。
文化题
开放题推断题多选题举例题
= 2k , k z ，∴ cos = cos(2k ) = sin = 2
5
.
2
2
5
6.落在实处
（1）备课放在优化设计上
复习备考建议
基础知识教学设计：不求全，但求联
6.落在实处
复习备考建议
（1）备课放在优化设计上基础知识教学设计：不求全，但求联
6.落在实处
（1）备课放在优化设计上
选择题的答案不唯一，存在一个或多个正确选项
要求考生根据已知结论、性质和定理等条件，从题干中获取信息，整理信息，写出符合题干的具体实例、反例或相关结论。
试题情境创新的“三为本”
以教材为本
在选材立意上，以教材中核心概念、性质法则、定理公式和例题习题为载体，以考查基础知识和通性通法为主，以知识的交汇和应用为命题重点，检测学生对教材知识的理解与掌握程度。

2020高考数学命题出题预测和备考建议

2020高考数学命题出题预测和备考建议在2020年的高考数学的变化中也着重提到了高考数学科目考试范围的变化。

小编整理了2020高考数学命题出题预测和备考建议，仅供大家参考。

2020高考数学命题出题预测很多参加今年的高考考生都为今年的高考数学题目而感到抓狂，那么在2020年的高考数学的变化中也着重提到了高考数学科目考试范围的变化，首先来说第1个重要的变化就是数学将不再划分文科数学或者是理科数学，也就是说无论是文科的同学还是理科的同学都使用的是同一张数学试卷，而考试范围的变化则就是删除了一些内容而又增加了一些新的内容，相对于原来数学考试的范围是越来越大，考试的知识面也是越来越广。

【预测分析】首先，为了顺应未来的高考数学文理合卷的趋势，预计2020年试卷文理同题的比例还会有所增加，复习中要对文理交汇处的知识点予以充分重视。

从多种渠道了解今年的课程改革，关注对数学教学内容的调整，对于删减内容从轻处理，体现新理念的部分要浓墨重彩。

二是考查数学思维能力，减少繁杂的数学运算。

从“解题”走向“解决问题”被认为是2019年高考数学的一大亮点，2020年应该会继续秉承这个理念，多考如何去想，少考如何去算。

三是加强数学应用能力、创新能力的考查。

如何用所学的数学知识解决现实生产、生活中存在的问题，一直是数学学习的最高要求，高考试题中每年都会有专门的试题考查学生数学应用能力，在如今的大数据时代，整理数据，分析数据，进行决策和判断是数学应用的大方向。

四是高考很重视对数学文化的考查，引导学生胸怀祖国，放眼世界，这部分内容一般难度不大，但是阅读量较大，也伴随着一定的创新性，因此复习中遇到此类问题不应回避，应该予以重视。

命题组提示：1、数学要抓“关键点”，复习备考消盲点。

后期复习绝不是简单重复的过程。

我们要找好提分的最佳“支点”——题的质量;抓住高考的“增分点”——基础题;把握好知识的“重点”——重点模块;突破知识的“难点”——解析几何及导数问题;使复习备考不留任何盲点。

2020年数学高考命题方向、趋势分析及高三第二轮复习方法、经验

一.高考数学试卷总体分析
特点4：关注热点体现应用
• 数学应用意识有两个维度： ✓ 其一是实际应用，如理科第4、13题，文科第5题； ✓ 其二是数学知识内部应用，如文、理科中第20/21题，就是应用导数研究函数的性质，理科第17题立体几何解答题的第Ⅱ问，就是应用向量知识解决空间的直线、平面的位置关系。
✓ 另外第5题、第10题、第20题、第22题都体现出高考稳中求变、变中求新的思路，是不可多得的好题。
1.高考数学试卷总体分析
特点2：稳中有变亮点颇多
• 数学试题选取素材合理，设计创新题目的情境，能灵活、综合地考查基础知识，充分体现了对基础内容考查的全面性、综合性和基础性。
✓ 如文科第8题结合三角函数考查极值点； ✓ 理科第18题利用考生都熟悉的乒乓球交换发球权方式考查随机事件的概率； ✓ 理科第20题结合函数的零点考查公切线问题，体现了导数题型命题角度的多变性，位置前移，本
3.材料在外，答案在内，考查思维，体现能力
高考命题仍然会不讲求知识点的覆盖，所有考点不会脱离考纲，但基于对高中数学六大核心素养的考量以及对考生“四能”“三会”的考查，预计概率统计部分仍然会有将数据准备阶段的步骤减少，给考生呈现比较规范的数据格式或数据的回归模型的特点，“采取‘重心后移’的策略，把考查的重点后移到对数据的分析、理解、找规律，减少繁杂的运算，突出对数学思想方法的理解和运用能力的考查，当然，概率统计，导数题型可能会让学生从不同角度认识问题，鼓励学生主动思考、发散思维，激发学生的想象力和思想的张力，把学生从标准答案中解放出来。
• 故此，研究高考试题，以高考试题为范例展开发散思维，变式演练，以主干知识复习为后期复习的核心，突出重点，目标明确，通法通解，狠抓实练。

2020年高考数学全国Ⅱ卷的命题特点与复习建议

2020年高考数学全国Ⅱ卷的试题仍以《普通高中数学课程标准（实验）》《2020年普通高等学校招生全国统一考试大纲（数学）》《2020年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（数学）》为依据，设计新颖，特别关注应用与创新，突出体现了新课改的精神.命题突出数学学科特色，由能力立意向核心素养导向转化，从学科的本质出发考查“四基”，重点考查数学思想方法，以及理性思维能力和“四能”.试题突出学科素养导向，全面覆盖基础知识，凸显综合性和应用性，以反映我国社会主义建设成就和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，注重数学的应用性，在考试评价中落实立德树人根本任务.其中，函数与导数、解析几何、立体几何、三角函数、概率与统计等主干知识仍是重点考查内容.题目构思巧妙，试卷难度低起点、高出口，注重体现文、理科的差异，试题结构稳中有变，有很好的区分度.一、试题特点分析1.实现了“五育并举”，落实立德树人根本任务文科第4题（理科第3题）以“‘新冠肺炎’疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，许多志愿者踊跃报名参加配货工作”为背景设计试题，时代气息浓厚，既体现抗击“新冠肺炎”的时代背景，又融合当下“网购”“志愿者”等热词，具有时代特色，体现了德育、智育与劳动教育，立德树人.例1（文4/理3）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）.（A）10名（B）18名（C）24名（D）32名文科第3题以钢琴琴键的原位大三和弦和原位小三和弦为背景设计，让学生通过简短的文字从数学角度认识音乐中的和弦问题，普及音乐常识，提升音乐素养，体现了通过音乐、美术的熏陶实现传统文化育人.例2（文3）如图1，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12，若k-j=3且j-i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k-j=4且j-i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）.2020年高考数学全国Ⅱ卷的命题特点与复习建议张晓斌摘要：2020年高考数学全国Ⅱ卷的命题特点有：试题实现了“五育并举”，落实立德树人根本任务；特别加大了对学生阅读理解能力的考查力度；体现了今后新高考考查的部分新方向；充分体现与新高考文、理合卷的衔接过渡；更加注重考查学生的数学学科核心素养和综合素养；文、理科压轴题的难度有所下降，但全卷学生得分较难，获得满分更难.并给出了高三数学复习教学的一些建议.关键词：2020年高考数学；全国Ⅱ卷；命题特点；复习建议收稿日期：2020-12-19作者简介：张晓斌（1964—），男，三级研究员，重庆市特级教师，主要从事中学数学教育教学与评价研究.··53图1（A）5（B）8（C）10（D）15理科第4题以北京天坛的圜丘坛石板铺砌数量为背景考查数列相关问题，让学生感受我国厚重历史文化沉淀，将德育、智育和美育有机融合.例3（理4）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层（如图2）.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）.图2（A）3699块（B）3474块（C）3402块（D）3339块理科第12题以0-1周期序列在通信技术中的重要应用为背景来设计试题，强调数学在通信技术中的基础性地位.让学生在理解题目中的C()k的意义的基础上，解决相关数学问题.通过信息的获取、分析、理解和应用等一系列环节，体现了数学周期性应用的智育价值.例4（理12）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2…an …满足ai∈{}0，1()i=1，2，…，且存在正整数m，使得ai+m =ai()i=1，2，…成立，则称其为0-1周期序列，并称满足ai+m =ai()i=1，2，…的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2…a n…，C()k=1m∑i=1m a i a i+k()k=1，2，…，m-1是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0-1序列中，满足C()k≤15()k=1，2，3，4的序列是（）.（A）11010…（B）11011…（C）10001…（D）11001…理科第14题以学校派学生参加小区垃圾分类宣传活动为背景，紧扣时代脉搏，倡导时代新风尚，体现学校劳动教育的要求.例5（理14）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数是.文、理科第18题以“某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加”为背景设计试题，生动地对学生进行了生态环境保护教育.例6（文/理18）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()xi，yi()i=1，2， (20)其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得∑i=120x i= 60，∑i=120y i=1200，∑i=120()x i-xˉ2=80，∑i=120()y i-yˉ2=9000，∑i=120()x i-xˉ()y i-yˉ=800.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()xi，yi()i=1，2，…，20的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数rn()xi-xˉ()yi-yˉ，2≈1.414.2.文科第3题、第4题和第18题，理科第3题、第4题、第12题和第18题，题面文字表述较长，符号、图表语言较多，需要学生具有较强的阅读理解能力.这种阅··54读理解题在2018年以前的高考数学全国Ⅱ卷中较少出现；2019年理科有2道题，文科有1道题；2020年理科增至4道题，文科增至3道题.由此可见，这种阅读理解题的数量有逐年增加的趋势.3.体现了今后新高考考查的部分新方向首先，试题命制不仅有传统的封闭性题目，还有具有一定开放性的题目，注重对学生数学学科核心素养的考查.例如，文、理科第16题是一道选择正确命题形式的开放性填空题，与未来新高考的多项选择题形式雷同，有很强的指导意义；文、理科第18题设计为三道小题，且最后一道小题要求学生先回答结果，再说明理由，也有一定的开放性.例7（文/理16）设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是.①p 1∧p 4②p 1∧p 2③¬p 2∨p 3④¬p 3∨¬p 4其次，试题设计注重前后小题的层次性和关联性.例如，理科第21题（压轴题）设计为三道小题，前一道小题是后一道小题的铺垫，层次性和关联性都很强，让学生在解题后有拾级而上、步步深入的感觉.例8（理21）已知函数f ()x =sin 2x sin 2x .（1）讨论f ()x 在区间()0，π的单调性；（2）证明：||f ()x ≤；（3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x…sin 22n x ≤3n4n .4.充分体现了与新高考文、理合卷的衔接过渡2020年高考数学全国Ⅱ卷中，文、理科相同试题有9道，其中选择题5道、填空题1道、解答题3道；姊妹题有第19题（解析几何题）和第20题（立体几何题），这两道题仅第（2）小题略有不同，其余全部相同，在第（2）小题的思维层次和运算素养等的要求上，理科要比文科高出许多.总之，文、理科数学试卷正在向新高考数学文、理合卷靠拢.例9（文/理19）已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且||CD =43||AB .（1）求C 1的离心率；（2）（文科）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程.（理科）设M 是C 1与C 2的公共点，若||MF =5，求C 1与C 2的标准方程.下面研究该题的第（2）小题.针对文科第（2）小题，由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知条件进行求解即可.通过此题，考查学生直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.具体解法如下.由（1）知a =2c ，b =3c ，故C 1：x 24c 2+y 23c2=1.所以C 1的四个顶点坐标分别为()2c ，0，()-2c ，0，()0，3c ，()0，-3c ，C 2的准线为x =-c .由已知，得3c +c +c +c =12，即c =2.所以C 1的标准方程为x 216+y 212=1，C 2的标准方程为y 2=8x .针对理科第（2）小题，由（1）可以得出C 1的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，联立曲线C 1与C 2的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义，结合||MF =5，可求得c 的值，进而得出曲线C 1与C 2的标准方程.具体解法如下.由（1）知a =2c ，b =3c ，故椭圆C 1的方程为x 24c 2+y 23c2=1.联立方程，得ìíîïïy 2=4cx ，x 24c 2+y 23c2=1.消去y 并整理，得3x 2+16cx -12c 2=0.解得x =23c ，或x =-6c （舍去）.由抛物线的定义，得||MF =23c +c =5c 3=5.解得c =3.··55因此曲线C 1的标准方程为x 236+y 227=1，曲线C 2的标准方程为y 2=12x .例10（文/理20）如图3，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点.过B 1C 1和点P 的平面交AB 于点E ，交AC 于点F .C 1B 1A 1N O M PF E C BA 图3（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）（文科）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO ∥平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B -EB 1C 1F 的体积.（理科）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.下面研究该题的第（2）小题.针对文科第（2）小题，根据已知条件求得S 四边形EB 1C 1F和点M 到PN 的距离，根据锥体体积公式，即可求得V B -EB 1C 1F .具体解法如下.过点M 作PN 的垂线，交点为H ，画出图形，如图4所示.C 1B 1A 1N O M PF E C BA 图4H 因为AO ∥平面EB 1C 1F ，AO ⊂平面A 1AMN ，平面A 1AMN ⋂平面EB 1C 1F =NP ，所以AO ∥NP .因为NO ∥AP ，所以四边形APNO 为平行四边形.所以AO =NP =6.因为点O 为△A 1B 1C 1的中心，所以ON =13A 1C 1sin 60°∘∘∘=3.故AP =ON =3，则AM =3AP =33.因为平面EB 1C 1F ⊥⊥平面A 1AMN ，平面EB 1C 1F ⋂平面A 1AMN =NP ，MH ⊂平面A 1AMN ，MH ⊥NP ，所以MH ⊥⊥平面EB 1C 1F .在等边三角形ABC 中，有EF BC =AP AM ，即EF =AP ×BC AM =2.由（1）知，四边形EB 1C 1F 为梯形，所以S 四边形EB 1C 1F =12()EF +B 1C 1NP =2+62×6=24.所以V B -EB 1C 1F =13S 四边形EB 1C 1F h ，而h 为点M 到PN 的距离MH =23sin 60°∘=3.所以V B -EB 1C 1F =13×24×3=24.该题主要考查了线线平行和面面垂直的证明，以及四棱锥体积的计算，解题的关键是面面垂直向线面垂直的转化和棱锥的体积公式，考查了学生的分析能力和空间想象能力，属于中档题.试题需要学生从图形位置想象空间中直线与平面的平行、垂直、角度等位置关系或数量关系，猜想点P 为线段AM 的一个三等分点（靠近点A ），猜想从点M 出发，作以EB 1C 1F 为底面的四棱锥的高，垂足在PN 上，并运用逻辑推理严格确认，再通过数学运算得到最终结果，综合考查学生的数学学科核心素养.针对理科第（2）小题，连接NP ，先求证四边形ONPA是平行四边形，根据几何关系求得EP ，在B 1C 1上截取B 1Q =EP ，由（1）中的BC ⊥⊥平面A 1AMN ，可得∠QPN 为B 1E 与平面A 1AMN 所成角，即可求得答案.具体解法如下.··56如图5，连接NP .C 1B 1A 1NO M PFE C BA 图5Q 因为AO ∥平面EB 1C 1F ，平面AONP ⋂平面EB 1C 1F =NP ，所以AO ∥NP .根据三棱柱上、下底面平行，平面A 1NMA ⋂平面ABC =AM ，平面A 1NMA ⋂平面A 1B 1C 1=A 1N ，所以ON ∥AP .故四边形ONPA 是平行四边形.设△ABC 的边长是6m ()m >0，可得ON =AP ，NP =AO =AB =6m .因为点O 为△A 1B 1C 1的中心，且△A 1B 1C 1的边长为6m ，所以ON =13·6·sin 60°∘=3m .故ON =AP =3m .因为EF ∥BC ，所以AP AM =EP BM.所以3m 3EP3m ，解得EP =m .在B 1C 1上截取B 1Q =EP =m ，则QN =2m .因为B 1Q =EP ，且B 1Q ∥EP ，所以四边形B 1QPE 是平行四边形.所以B 1E ∥PQ .由（1）知B 1C 1⊥⊥平面A 1AMN ，故∠QPN 为B 1E 与平面A 1AMN 所成角.在Rt△QPN 中，由勾股定理，得PQ=QN 2+PN 2=()2m 2+()6m 2=210m .所以sin ∠QPN =QN PQ ==.所以直线B 1E 与平面A 1AMN 该题主要考查了线线平行和面面垂直的证明及线面角的求解，试题难度逐级推进.首先，需要学生由直观想象、逻辑推理得出面面垂直的结论，第（2）小题则要充分利用刚才得到的结论，解题的关键是将面面垂直向线面垂直转化，结合线面角的定义，考查学生分析问题、解决问题的能力，以及空间想象能力，属于难题.若与建立空间直角坐标系并用空间向量求解的方法相比较，上述几何传统方法在运算上要简洁得多.由于缺乏对条件的深入分析，很多学生在建立坐标系时都把棱柱当成侧棱垂直于底面的特殊情况来做，虽然最后求出的结果碰巧与正确答案完全相同，但却造成了失误.5.更加注重考查学生的数学学科核心素养和综合素养2020年高考数学全国Ⅱ卷的试题对学生“四基”“四能”的考查要求更高，特别是对学生的数学学科核心素养和综合素养的考查力度加大.具有严谨性与开放性并存、一般性与特殊性并存、直观性与抽象性并存、变式推理性与数式运算性并存、应用性与育人性并存等特点.例如，文、理科第16题和第18题既体现了开放性，又有严谨性的要求；文、理科第20题具有一般性与特殊性并存、直观性与抽象性并存、变式推理性与数式运算性并存等特点，成为2020年高考数学试卷中的一道有亮点的试题.另外，理科第6题和第12题都体现了特殊与一般的并存；文科第3题、第8题、第9题、第11题、第16题、第19题、第20题等，理科第4题、第5题、第7题、第8题、第10题、第16题、第19题、第20题等都体现了直观性与抽象性并存和变式推理性与数式运算性并存的特点；所有具有应用性背景的试题都具有应用性与育人性并存的特点.总之，试卷中的每道试题都体现了对数学学科核心素养的考查，这对中学数学教学起到了很好的导向作用.6.文、理科压轴题得满分较多，但全卷得分较难，得满分更难2020年重庆市参加高考的文科学生74997人，理科学生113594人.文、理科选择题满分60分，填空题满分20分，第17题至第21题每道题满分12分，第22题··57至第23题每题满分10分.文科压轴题第21题获得满分的学生有222人，理科压轴题第21题获得满分的学生有105人，但是全卷文、理科没有一名学生获得满分，这说明全卷难度不是放在第20题和第21题这两道压轴题上，而是把难度分散到多个中档题目之中.例如，文、理科第18题、第22题、第23题等学生都不易获得满分，这使得学生全卷得分较难，得满分更难.2020年重庆市高考数学成绩统计数据，见表1、表2和表3.表1：2020年文科选择题、填空题和解答题成绩统计表类别平均分满分率难度值标准差区分度选择题1~1240.2185.8870.6712.0980.496填空题13~1612.52512.5740.6265.2430.582175.1389.0130.4284.4650.894186.9281.2780.5773.470.71193.24712.710.2714.1940.79204.1680.6230.3472.4840.508213.0110.2960.2513.2570.601223.4990.1230.352.7250.64234.7830.0280.4782.130.549表2：2020年理科选择题、填空题和解答题成绩统计表类别平均分满分率难度值标准差区分度选择题1~1242.1686.7380.70311.240.455填空题13~1610.3510.7420.5175.6860.69179.08634.10.7573.0540.57187.4251.1210.6192.8960.583195.05812.570.4223.7960.773204.8220.9320.4022.1650.43211.0060.0920.0841.8040.084224.7360.3560.4742.7530.699235.880.1930.5882.1130.509表3：2020年文、理科数学全卷成绩统计表类别文科理科平均分78.0984.57及格率35.9743.98最高分149149难度值0.520.56标准差29.4124.6区分度0.490.4有效分一本112.3695.69二本84.1474.99文、理科的三角解答题（第17题）与常见的三角解答题在解法与运算上有些不一样，此题容易入手，但继续深入就不容易，成为学生解题的“拦路虎”，很多学生在此题的解答上耗时过多，同时错误百出，导致学生快速准确完成全卷的难度增加.文科学生第（1）小题出现的错误有:公式乱用，如cos 2æèöøπ2+A =-sin 2A ，cos 2æèöøπ2+A =cos 2π2cos 2A -sin 2π2sin2A ；关键步骤不写；运算错误；等等.第（2）小题出现的错误有:边角转化思路不清、条理混乱；利用正弦定理和已知条件，学生常常出现b -c A =12的错误；很多学生利用余弦定理和已知条件联立方程，计算不出结果.理科学生出现的错误有：余弦定理记忆不准确；已知余弦值求角度出错；利用不等式求最值时，不等号方向相反，也当最值使用，如求出bc ≤3，又利用b +c ≥2bc ，得到2bc ≤23；把周长当成面积来求；均值不等式变形错误，如bc ≤()b +c 22；不会使用辅助角公式；等等.二、复习教学建议1.依据上述命题特点，加强复习的针对性教师的眼睛既要向下看又要向上看，不仅看学生的数学学习实际情况，还要看近几年高考数学考试命题的方向.做好三轮复习，第一轮“走”一遍，第二轮“跑”一遍，第三轮“考”一遍.认真编题、选题、做题、评题和品题.2.以重点知识为核心，带动其他知识的专题复习数学第二轮复习主要是重点专题复习，常见的专题有查漏补缺专题、重点知识专题、思想与方法专题.以重点知识构建主专题复习，非重点知识要融入平时的考试与练习中.3.认真组织集中练习，提升学生的思维能力对重点知识组织专门练习，每个专题安排2~3套练习；对选择题、填空题可以组织10~15套专门练习；对中等难度的解答题也可以组织5~10套专门练习；最后着力打造3~5套综合模拟适应性训练题.但切忌只练习不回顾重点知识的做法.4.做好每次考试分析，向讲评课要质量切实做好每次考试试卷分析，试卷讲评要有的放矢，注重试卷讲评课的统计性、选择性、方法性、变式性、概括性和互动性.不讲评就不考，考了就一定要讲评，这样才会收到实效，坚决反对在教室张贴答案的没有效果的做法.5.做好“四本”，重视课堂学生反馈在日常复习中，要求学生做好练习本、笔记本、（下转第64页）··58核心，即在数学学习中，要学生积极体验是什么、为什么、还有什么的求真精神.”按照这样的理念，在基础知识的教学中，必须强调知识产生的必要性与产生的过程，以及推证过程.既要关注结论，更要关注过程；既要知其然，更要知其所以然.在解题教学中，既要知道问题的解题思路，更要知道为什么要这样做，还能怎样做，还有没有更普遍的规律等，这就是理性思维的基本要求，理性思维是一种建立在证据和逻辑推理基础上的思维方式.因此，追求理性思维是形成关键能力的基础.4.重视应用和文化，实现立德树人的育人价值《标准》指出，数学教育承载着落实立德树人根本任务、发展素质教育的功能.由此可见，时代越来越关注数学的育人功能.例如，2020年高考数学北京卷第15题以污水治理保护环境为素材背景，考查函数变化率与导数几何意义的实际应用；第18题以学生调查对两种方案的支持率为背景，考查概率的计算，反映了学生的民主精神，从中揭示了时代的先进文化，表现了数学与时代文化的关系，体现了文化育人的目标.因此，我们在日常教学中要积极关注数学的实际应用价值，结合数学知识的学科特点，关注数学问题的实际生活背景.同时，还要注意引入问题的文化背景，如传统文化背景、时代文化背景、现实生活背景等，发挥人文价值和科学价值相融的教育目标.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.［2］章建跃.在“落实立德树人根本任务全面深化课程教学改革”中再立新功［J］.中国数学教育（高中版），2015（1/2）：3-5.［3］唐绍友.2019年高考数学北京卷的特点及其教学建议［J］.中国数学教育（高中版），2020（1/2）：94-98.错题本、手抄本（知识清单）.在课堂复习教学中善于从提问、练习、学生表情中获得学习情况反馈.注意在课堂上给学生内容、时间和展示机会，善于观察学生，及时了解他们的学习情况.6.教师课前累、学生课中累、学生课后会教师课前要认真思考，查找资料，做题想题，急学生所急，想学生所想，精心设计好每一个问题，备好高三每一堂复习课和试卷讲评课.为的是能在课堂上引领学生积极思考，开启学生思维的闸门，使学生的大脑内部能进行剧烈的思维运动，让学生领悟数学思想与方法，能运用所学知识发现和提出问题，分析和解决问题的思维能力得到提升，这样学生就会自己独立解决问题了.7.对学生解答全卷试题进行方法指导面对即将到来的新高考，日常要增加多选题的训练，全卷解答要先易后难，有主次之分；选择题、填空题力争会的全做对，中等难度的解答题尽量把主要解题步骤写清楚；压轴难题能做多少就做多少.另外，还要注意训练书写规范.8.树立目标意识，保持良好心态每名学生都应该确定自己的基本分，树立目标意识，锻炼锲而不舍的精神；保持良好的考试心态，仔细认真，克服畏难情绪；综合练习后善于“悟一悟”，学会反思总结；临考前进行心情放松训练，增强考试信心；等等.9.不猜题、押题，以官方公布信息为准高考的基础内容是能复习到的，高考难题是猜不到的.要想解决高考难题需要能力达到，并且积累一定的解决难题的经验.以教育部考试中心当年公布的信息为准，适当关注山东、海南、北京、上海、天津、江苏、浙江等地的高考试卷，特别注重全国卷的导向.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.［2］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.（上接第58页）··64。

2020年山东省新高考预测卷数学参考答案及解析

2020年山东省新高考预测卷数学参考答案及解析参考答案：1-4：DCBA 5-8：DBCB 9：AC 10：ABD 11：ACD 12：ACD 13：14 14：22＋2 15：2 23 16：[25－4，25＋4]解析：1、z ＝(2＋i)(3－2i)＝8－i ，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(8，－1)，故选D.2、由题意得，A ＝{x |y ＝ln(x －1)}＝{x |x >1}，B ＝{x |x 2－4≤0}＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，故选C.3、根据线面垂直的判定和性质，可知由后者可推前者，但由前者不能推后者，故“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的必要不充分条件，选B.4、∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数，故排除B ，D.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2＞1，∴排除C.故选A.5、法一设AB →＝a ，AD →＝b ，则a·b ＝0，a 2＝16，AC →＝AD →＋DC →＝b ＋12a ，AE →＝12(AC →＋AB →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＋a ＝34a ＋12b ，所以AB →·(AC →＋AE →)＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＋34a ＋12b ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫54a ＋32b ＝54a 2＋32a ·b ＝54a 2＝20，故选D.法二以A 为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设AD ＝t (t ＞0)，则B (4，0)，C (2，t )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12t ，所以AB →·(AC →＋AE →)＝(4，0)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2，t ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12t ＝(4，0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫5，32t ＝20，故选D.6、由题意知，八卦中含1根与2根阴线的卦各有3种，含0根与3根阴线的卦各有1种，故从8种卦中取2卦的取法总数为C 28种，2卦中恰含4根阴线的取法为C 23＋C 13·1＝6种，所以所求概率P ＝6C 28＝314，故选B.7、由抛物线的定义知|AF |＝p 4＋p2＝3，解得p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x ，A (1，a )，则a 2＝8，解得a ＝22或a ＝－22(舍去)，所以A (1，22).又焦点F (2，0)，所以直线AF 的斜率为－22，直线AF 的方程为y ＝－22(x －2)，代入抛物线C 的方程y 2＝8x ，得x 2－5x ＋4＝0，所以x A ＋x B ＝5，|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝5＋4＝9，故选C.8、根据AB ⊥BC 可知AC 为三角形ABC 所在截面圆O 1的直径，又平面PAC ⊥平面ABC ，△APC 为等边三角形，所以P 在OO 1上，如图所示，设PA ＝x ，则AO 1＝12x ，PO 1＝32x ，所以PO 1＝32x ＝OO 1＋2＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －22＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2⇒x 2－23x ＝0⇒x ＝23，所以AO 1＝12×23＝3，PO 1＝32×23＝3，当底面三角形ABC 的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时三棱锥P －ABC 的体积最大，此时V ＝13S △ABC ×PO 1＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×3×3＝3.9、因为a 2，a 3＋1，a 4成等差数列，所以a 2＋a 4＝2(a 3＋1)，因此，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋3a 3＋2＝a 1＋14，故a 3＝4.又{a n }是公比为q 的等比数列，所以由a 2＋a 4＝2(a 3＋1)，得a 3⎝⎛⎭⎪⎫q ＋1q ＝2(a 3＋1)，解得q ＝2或12.10、由条形统计图知，B —自行乘车上学的有42人，C —家人接送上学的有30人，D —其他方式上学的有18人，采用B ，C ，D 三种方式上学的共90人，设A —结伴步行上学的有x 人，由扇形统计图知，A —结伴步行上学与B —自行乘车上学的学生占60%，所以x ＋42x ＋90＝60100，解得x ＝30，故条形图中A ，C 一样高，扇形图中A 类占比与C 一样都为25%，A 和C 共占约50%，故D 也正确.D 的占比最小，A 正确.11、g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.g (x )的最小正周期为π，选项A 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有增有减，选项B 错误；g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，故x ＝π12不是g (x )图象的一条对称轴，选项C 正确.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，且当2x ＋π3＝2π3，即x ＝π6时，g (x )取最小值－12，D 正确.12、∵φ(x )＝e x·f (x )－g （x ）ex只有一个零点，∴2m (x 2＋1)－e x－（m ＋2）（x 2＋1）2e x＝0只有一个实数根，即(m ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1e x 2－2m ·x 2＋1e x ＋1＝0只有一个实数根.令t ＝x 2＋1e x ，则t ′＝（x 2＋1）′e x －（x 2＋1）e x （e x ）2＝－（x －1）2e x≤0，∴函数t ＝x 2＋1ex在R 上单调递减，且x →＋∞时，t →0，∴函数t ＝x 2＋1ex的大致图象如图所示，所以只需关于t 的方程(m ＋2)t 2－2mt ＋1＝0(*)有且只有一个正实根. ①当m ＝2时，方程(*)为4t 2－4t ＋1＝0，解得t ＝12，符合题意；②当m ＝3时，方程(*)为5t 2－6t ＋1＝0，解得t ＝15或t ＝1，不符合题意；③当m ＝－3时，方程(*)为t 2－6t －1＝0，得t ＝3±10，只有3＋10>0，符合题意. ④当m ＝－4时，方程(*)为2t 2－8t －1＝0，得t ＝4±322，只有4＋322>0，符合题意.故选A ，C ，D.13、根据题意得：f (－2)＝(－2)2＝4，则f (f (－2))＝f (4)＝24－2＝16－2＝14. 14、由题意得2b a ＋1b ＝2b a ＋a ＋2b b ＝2b a ＋ab＋2≥22b a ·ab＋2＝22＋2，当且仅当a ＝2b ＝2－1时，等号成立，所以2b a ＋1b的最小值为22＋2.15、由已知可得(2－12)(1＋a )3＝27，则a ＝2，∴(2－x 2)(1＋ax )3＝(2－x 2)(1＋2x )3＝(2－x 2)(1＋6x ＋12x 2＋8x 3)，∴展开式中含x 2的项的系数是2×12－1＝23.16、由题意可知，直线OP 的方程为y ＝k 1x ，OQ 的方程为y ＝k 2x ，因为OP ，OQ 与圆M 相切，所以|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝22，|k 2x 0－y 0|1＋k 22＝22，分别对两个式子进行两边平方，整理可得k 21(8－x 20)＋2k 1x 0y 0＋8－y 20＝0，k 22(8－x 20)＋2k 2x 0y 0＋8－y 20＝0，所以k 1，k 2是方程k 2(8－x 20)＋2kx 0y 0＋8－y 2＝0的两个不相等的实数根，所以k 1k 2＝8－y 208－x 20.又k 1·k 2＝－1，所以8－y 208－x 20＝－1，即x 20＋y 20＝16.又|TO |＝4＋16＝25，所以|TO |－4≤|TM |≤|TO |＋4，所以25－4≤|TM |≤25＋4. 答案 [25－4，25＋4]17. (1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36，解得d ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)选条件①：b n ＝42n ·2（n ＋1）＝1n （n ＋1），S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 选条件②：∵a n ＝2n ，b n ＝(－1)na n ， ∴S n ＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n ，当n 为偶数时，S n ＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n －1)＋2n ]＝n2×2＝n ；当n 为奇数时，n －1为偶数， S n ＝(n －1)－2n ＝－n －1.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，－n －1，n 为奇数.选条件③：∵a n ＝2n ，b n ＝2a n ·a n ，∴b n ＝22n ·2n ＝2n ·4n， ∴S n ＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n ×4n，① 4S n ＝2×42＋4×43＋6×44＋…＋2(n －1)×4n ＋2n ×4n ＋1，②由①－②得，－3S n ＝2×41＋2×42＋2×43＋…＋2×4n －2n ×4n ＋1＝8（1－4n ）1－4－2n ×4n ＋1＝8（1－4n ）－3－2n ×4n ＋1，∴S n ＝89(1－4n )＋2n 3·4n ＋1.18. (1)法一因为m ∥n ，所以3a cos C ＝(2b －3c )cos A ，由正弦定理得3sin A cos C ＝2sin B cos A －3cos A sin C ，得3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，所以3sin B ＝2sin B cos A ，因为sin B >0，所以cos A ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6. 法二因为m ∥n ，所以3a cos C ＝(2b －3c )cos A ，易知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，代入上式得，3a ×a 2＋b 2－c 22ab ＝(2b －3c )×b 2＋c 2－a 22bc，整理得，3bc ＝b 2＋c 2－a 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6.(2)由(1)得3bc ＝b 2＋c 2－a 2，又b 2－a 2＝12c 2，所以c ＝23b ，又S △ABC ＝12bc sin A ＝12b ×23b ×12＝332，得b 2＝9，所以b ＝3. 19. (1)E ，F 分别为BP ，CD 的中点，证明如下：连接ME ，MF ，EF ，∵M ，F 分别为AD ，CD 的中点，∴MF ∥AC .又E 为BP 的中点，且四边形PBCD 为梯形，∴BC ∥EF .∵MF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴MF ∥平面ABC ，同理EF ∥平面ABC ，又∵MF ∩EF ＝F ，MF ，EF ⊂平面MEF ， ∴平面MEF ∥平面ABC .(2)由题意知AP ，BP ，DP 两两垂直，以P 为坐标原点，PB ，PD ，PA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，AD ＝3，BP ⊥AD ，∴AP ＝1，BP ＝1，PD ＝2， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，P (0，0，0)，C (1，1，0)，A (0，0，1)，PC →＝(1，1，0)，PM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12.设平面MPC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC →＝0，n 1·PM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝－1，∴n 1＝(－1，1，－2)为平面MPC 的一个法向量. 同理可得平面PAC 的一个法向量为n 2＝(－1，1，0). 设二面角M －PC －A 的平面角为θ，由图可知θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝26×2＝33.∴二面角M －PC －A 的余弦值为33. 20. (1)根据表中数据，描点如图：(2)由已知数据得t －＝ 1＋2＋3＋4＋5＋66＝3.5，y －＝3＋5＋8＋11＋13＋146＝9，∑6i ＝1t i y i ＝3＋10＋24＋44＋65＋84＝230，∑6i ＝1t 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91， b ^＝∑6i ＝1t i y i －6t － y－∑6i ＝1t 2i －6t－2＝230－6×3.5×991－6×3.52≈2.34，a ^＝y －－b ^ t －＝9－2.34×3.5＝0.81，所以y 关于t 的线性回归方程为y ^＝2.34t ＋0.81.(3)由(2)可知，当t ＝1时，y ^1＝3.15；当t ＝2时，y ^2＝5.49；当t ＝3时，y ^3＝7.83；当t＝4时，y ^4＝10.17；当t ＝5时，y ^5＝12.51；当t ＝6时，y ^6＝14.85.与年利润数据y i 对比可知，满足y ^i －y i <0的数据有3个，所以X 的所有可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 23C 26＝15，P (X ＝1)＝C 13C 13C 26＝35，P (X ＝2)＝C 23C 26＝15，X 的分布列为数学期望E (X )＝0×15＋1×35＋2×5＝1.21. (1)由椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为(3，0)，知a 2－b 2＝3，即b 2＝a 2－3，则x 2a 2＋y 2a 2－3＝1，a 2>3.又椭圆过点M (－2，1)，∴4a 2＋1a 2－3＝1，又a 2>3，∴a 2＝6.∴椭圆Γ的标准方程为x 26＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝k （x －1）得x 2＋2k 2(x －1)2＝6，即(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－6＝0，∵点N (1，0)在椭圆内部，∴Δ>0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k21＋2k2， ①x 1x 2＝2k 2－62k 2＋1， ②则t ＝MA →·MB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋(kx 1－k －1)·(kx 2－k －1) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2－k 2－k )(x 1＋x 2)＋k 2＋2k ＋5 ③，将①②代入③得，t ＝(1＋k 2)·2k 2－62k 2＋1＋(2－k 2－k )·4k22k 2＋1＋k 2＋2k ＋5，∴t ＝15k 2＋2k －12k 2＋1，∴(15－2t )k 2＋2k －1－t ＝0，k ∈R ，则Δ1＝22＋4(15－2t )(1＋t )≥0，∴(2t －15)(t ＋1)－1≤0，即2t 2－13t －16≤0，由题意知t 1，t 2是2t 2－13t －16＝0的两根， ∴t 1＋t 2＝132.22.(1) ∵a ＝0时，∴f (x )＝e x －ln x ，f ′(x )＝e x－1x(x >0)，∴f (1)＝e ，f ′(1)＝e －1，∴函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为：y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.(2)证明 ∵f ′(x )＝ex ＋a－1x(x >0)，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x ＋a＋1x2>0，∴g (x )是增函数，∵ex ＋a>e a ，∴由e a >1x⇒x >e －a，∴当x >e －a时，f ′(x )>0；若0<x <1⇒ex ＋a<ea ＋1，由ea ＋1<1x⇒x <e －a －1，∴当0<x <min{1，e －a －1}时，f ′(x )<0，故f ′(x )＝0仅有一解，记为x 0，则当0<x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )递减；当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )递增；∴f (x )min ＝f (x 0)＝e x 0＋a －ln x 0，而f ′(x 0)＝e x 0＋a －1x 0＝0⇒e x 0＋a ＝1x 0⇒a ＝－ln x 0－x 0，记h (x )＝ln x ＋x ，则f (x 0)＝1x 0－ln x 0＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，a >1－1e ⇔－a <1e－1⇔h (x 0)<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e，而h (x )显然是增函数， ∴0<x 0<1e ⇔1x 0>e ，∴h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0>h (e)＝e ＋1. 综上，当a >1－1e时，f (x )>e ＋1.。

高考复习冲刺专题 2020年高考数学命题展望

2020年高考数学命题展望分析，同学们一定要认真阅读，仔细备考！数学命题组1、从往年高考题型分析2019年的数学试题贯彻落实高考评价体系学科化的具体要求，突出学科素养导向，将理性思维作为重点目标，将基础性和创新性作为重点要求，以数学基础知识为载体，重点考查考生的理性思维和逻辑推理能力。

固本强基，夯实发展基础。

试卷注重对高中基础内容的全面考查，集合、复数、常用逻辑用语、线性规划、平面向量、算法、二项式定理、排列组合等内容在选择题、填空题中得到有效考查。

在此基础上，试卷强调对主干内容的重点考查，体现全面性、基础性和综合性的考查要求。

在解答题中重点考查函数、导数、三角函数、概率统计、数列、立体几何、直线与圆锥曲线等主干内容。

稳中有变，助力破解应试教育。

2019年的数学试卷，在整体设计上保持平稳，包括考查内容的布局、题型的设计、难度和区分度的把控等。

试题的排列顺序依然是由易到难，循序渐进。

对主观题的布局进行动态调整，考查考生灵活应变的能力和主动调整适应的能力，有助于学生全面学习掌握重点知识和重点内容，同时有助于破解僵化的应试教育。

2、高考新考法变化大第一、概率统计，爆“冷”压轴解答题中，一改导数题为解答题压轴题的地位，全国卷Ⅰ第21题首次出现概率统计与数列交汇的试题，综合考查分布列与数列知识，为方案的合理性提供支持，体现知识的融合。

第二、选考题考查内容调整全国卷Ⅰ和卷Ⅲ第23题打破常规，把绝对值不等式的求解问题改为利用综合法或基本不等式证明不等式。

第三、素材创新，渗透德智体美劳等五育(1)全国卷Ⅲ第16题是以学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型为素材命制的立体几何试题，突出数学学科特色，引导学生关注劳动，体现了劳动教育的要求。

(2)全国卷Ⅰ第15题引入篮球运动研究获胜概率，引导学生加强体育锻炼，体现体育教育的要求；(3)全国卷Ⅱ第13题以高铁发展成果为背景，引导学生关注社会经济发展，第4题结合“嫦娥四号”反映我国航天事业取得的成就，体现对德育的渗透和引导，将数学与物理知识结合，体现不同学科间的联系；(3)全国卷Ⅰ第4题以著名的雕塑“断臂维纳斯”为例，探讨人体黄金分割之美，卷Ⅱ第16题融入金石文化，将美育教育融入数学教育；3、今后命题思路，要教会学生审题，审题时要进行以下这几步：第一步就是弄清问题和熟悉问题；第二步是注意题目的隐含条件（抓住本题的题眼）；第三步就是要弄清已知条件之间的相互关系以及已知条件与所求目标之间的相互关系；第四步审题应当留神题目的细节；第五步要提醒学生注意问与问之间的联系；第六步要规范我们学生的解答过程。

2020年海南高考数学(理科)真题分析及趋势预测

序言一门学科不仅教专门的课题或技能，而且要使学生弄清楚学科知识组成的基本结构。

美国著名的教育心理家、教育家布鲁纳曾经指出：“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。

这是在运用知识方面的最低要求，这样才有助于学生解决在课堂外遇到的问题和事件，或者日后的课堂训练所遇到的问题。

”要想在海南省高考数学中取得良好的成绩，首先要知道高考数学是什么、要考什么、会考什么、经常考什么、到底怎么考等。

本书为了让老师和学生在更高的层次上统筹兼顾高考数学，为老师和学生备战高考数学提供明确的方向。

本书主要分为五部分：第一部分是高中数学知识框架。

这部分主要是在海南省理科生所要学习数学知识脉络，让老师和学生在总体上把握文科数学。

第二部分是2020年海南省高考数学试卷结构分析。

这部分主要是让老师和学生理解海南高考数学试卷的结构。

可以发现，在海南高中高考数学所涉及的内容:整个试卷涉及10本教材内容，而在答高考数学时只需涉及9本书的内容。

第三部分是2015-2019年海南省高考数学（理科）必考点归纳总结。

这部分主要通过历年的高考数学（理科）真题进行归类总结知识点。

第四部分是2015-2019年海南省高考数学（理科）考点分析篇。

这部分主要通过历年海南高考数学（理科）真题结合知识点进行分析。

第五部分是2019年海南省高考数学（理科）真题及答案。

希望本书能够为广大的教师和学生提供切实有益的帮助，并且预祝各位考生在2020年高考中取得好成绩。

目录一、高中数学(理科)知识框架 (3)1、必修系列 (3)2、选修系列 (8)二、2020年海南高考数学试卷结构趋势分析 (12)三、2015-2019海南省高考数学(理科)必考点归类总结 (13)四、2015-2019年海南省高考数学（理科）考点归纳分析篇 (15)第Ⅰ卷分析 (15)第Ⅱ卷分析 (16)选修题分析 (16)2019年普通高等学校招生全国统一考试 (17)2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国II卷）参考答案 (23)2020版高中数学知识点总结........................................................................ 错误！未定义书签。

2020高考数学考题分析与预测

一、集合与常用逻辑用语小题1、集合小题历年考情：9 年9 考，每年1 题，都是交并补子运算为主，多与解不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大。

常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、对数函数的定义域、二次根式、、点集（直线、圆、方程组的解）；补集、交集和并集；不等式问题画数轴很重要；指数形式永远大于0不要忽记；特别注意代表元素的字母是还是。

2020高考押题：2、常用逻辑用语小题历年考情：9 年 1 考，只有 2013 年考了一个复合命题真假判断．这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，热点就是“充要条件”；难点：否定与否命题；冷点：全称与特称，思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真假判断，比较复杂.简单叙述：小范围是大范围的充分不必要；大范围是小范围的必要不充分。

2020高考押题：二、复数小题历年考情：9 年 9 考，每年 1 题，以四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．一般涉及考查概念：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标、复数运算等.2020高考押题：三、平面向量小题历年考情：2020高考押题：四、线性规划小题历年考情：9 年 8 考，除2019年外，每年 1 题，全国卷线性规划题考的比较基础，一般不与其它知识结合，不象部分省区的高考向量题侧重于与其它知识交汇，如和平面向量、基本不等式、解析几何等交汇．这种组合式交汇意义不大，不利于考查基本功．由于线性规划的运算量相对较大，难度不宜太大，不过为了避免很多同学解出交点代入的情况估计会加大“形’的考察力度，有可能通过目标函数的最值作为条件反求可行域内的参数问题.三大常见考法：截距型、斜率型、距离型；斜率型注意范围是取中间还是取两边；距离型最小值注意是点点距离最小还是点线距离最小。

2020年高考数学命题趋势与应试对策素材北师大版

2020年数学高考命题趋势与应试对策一．强调学科特点，关注数学实质数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，高度的抽象性、结论的确定性和应用的广泛性是数学的特点.数学学科的特点是高考数学命题的基础.1．概念性强数学是由概念、命题组成的逻辑系统，而概念是基础，数学中每一个术语、符号和习惯用语都有着具体的内涵. 这个特点反映到考试中就要求考生在解题时首先要透彻理解概念的含义，弄清不同概念之间的区别和联系.例1 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<+-=1,log ,1,4)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是 A. （0，1） B. )31,0( C. )31,71[ D. )1,71[ 例2 设○+是R 上的一个运算,A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈, 则称A 对运算○+封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是 A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集2．充满思辨性这个特点源于数学的抽象性、系统性和逻辑性，数学是思维型的学科.为了正确解答数学试题，要求考生具备一定的观察、分析和推断能力.例3 三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，选择你认为正确的思路，可得a 的取值范围是 .例4 直线y =2k 与曲线9k 2x 2+y 2=18k 2︱x ︱(k ∈R , k ≠0)的公共点的个数为A. 1B. 2C. 3D. 43．量化突出试题中的定量要求把概念、法则、性质寓于计算之中，在运算中考查考生对算理、运算法则的理解程度、灵活运用的能力及准确严谨的科学态度.例5 已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则A. a ⊥eB.a ⊥(a －e )C. e ⊥(a －e )D. (a ＋e )⊥(a －e )例6 水平桌面α上放有4个半径均为2R 的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R 的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是 .4．解法多样一般数学试题的结果虽确定唯一，但解法却多种多样，这有利于考生发挥各自的特点，灵活解答，真正显现其水平.例7 已知向量a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)且a ≠±b ，那么a +b 与a -b 的夹角的大小是_____________.例8 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α, 则=αcos .二．注重综合考查，关注知识交汇对数学知识的考查，既要全面又突出重点. 注重学科的内在联系和知识的综合性，从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇点设计试题.1. 函数与导数、方程、不等式例9 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图像如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D 例10 已知函数f (x )=ax 2+2ax +4(0<a <3)，若x 1<x 2，x 1+x 2=1－a ，则A. f (x 1)<f (x 2)B. f (x 1)=f (x 2)C. f (x 1)>f (x 2)D. f (x 1)与f (x 2)的大小不确定例11 设函数)1ln()1()(++=x x x f . 若对所有的0≥x ，都有ax x f ≥)(成立，求实数a 的取值范围.2. 数列与函数、不等式例12 设∈+++++=+n n f n (22222)(1031074 N )，则)(n f 等于 A. )18(72-n B. )18(721-+n C. )18(723-+n D. )18(724-+n 例13 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n .例14 函数x x x f sin )(-=,数列{}n a 满足: ,3,2,1),(,1011==<<+n a f a a n n .证明:(1) 101n n a a +<<<; (2) .6131n n a a <+ 3. 三角函数、三角变换与平面向量例15 若非零向量AB 与AC 满足0=⋅⎪⎫ ⎛+BC AC AB 21=AC AB , 则△ABC 为 A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形a bxy )(x f y =O例16 已知,3,1==OB OA OB OA ⋅=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设 OC =m OA +n OB (m 、n ∈R )，则nm 等于 A.31 B.3 C.33 D.3 例17 已知函数f (x )=3sin(2x －π6)+2sin 2(x －π12) (x ∈R ) (1) 求函数f (x )的最小正周期;(2) 求使函数f (x )取得最大值的x 的集合.4. 空间图形与平面图形例18 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图, 则图中三角形(正四面体的截面)的面积是A.22B. 23 C. 2 D. 3 例19 直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面为直角三角形，∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上动点，则CP ＋PA 1的最小值是 .例20 正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 .例21 已知正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点,将△ADE 沿DE 折起, 如图所示.记二面角C DE A --的大小为)0(πθθ<<.(1) 证明BF //平面ADE ;(2) 若△ACD 为正三角形, 试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上,证明你的结论,并求角θ的余弦值.5.解析几何与函数、向量例22 已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足NP MN MP MN ⋅+⋅||||＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为A. x y 82=B. x y 82-=C. x y 42=D. x y 42-=例23 抛物线2y x =-上的点到直线0834=-+y x 距离的最小值是A ．34 B ．57 C ．58 D ．3y x O M D A C －－－ 1 2 B E 例24 如图,三定点A (2,1),B (0,－1),C (－2,1); 三动点 D ,E ,M ，满足,,,DE t DM BC t BE AB t AD === t ∈[0,1]. (1) 求动直线DE 斜率的变化范围； (2) 求动点M 的轨迹方程.6．计数与概率例25 设集合{}5,4,3,2,1=I . 选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有A ．50种B ．49种C ．48种D ．47种例26 从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，此数不能被3 整除的概率为A. 5419B. 5435C. 5438D. 6041 三．强调数学思想，深刻领悟运用数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用过程中.考查时要从学科整体意义和思想含义上立意,注意通性通法,淡化特殊技巧.例27 如图所示，单位圆中弧AB 的长为x , f (x )表示弧AB 与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y =f (x )的图象是例28 在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意),(,2121x x x x ≠1212)()(x x x f x f -<-恒成立”的只有A. xx f 1)(= B. x x f =)( C. x x f 2)(= D. 2)(x x f = 例29 用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-= ，!,,3,2,1n i =. 例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1,2,3,4,5形成的数阵中，12021b b b +++ =__________. 123123123123123123例30 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3163=S S ，则=126S S A. 103 B. 31 C.81 D.91 例31 设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.下列命题中正确的是A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,例32 已知平面α外不共线的三点A,B,C 到α的距离都相等, 则正确的结论是A. 平面ABC 必平行于αB. 平面ABC 必与α相交C. 平面ABC 必不垂直于αD. 存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内四．坚持能力立意，专题复习应对数学是一门思维的科学，思维能力是数学学科能力的核心. 数学思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体.1．充分与必要例33 “等式βγα2sin )sin(=+成立”是“γβα,,成等差数列”的A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件例34 设数列}{n a ,}{n b ,}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c (n ∈N *),证明}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b (n ∈N *)2．存在与唯一例35 两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放入棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有 A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个例36 已知函数f (x )= 41223++-x x x , 且存在x 0∈(0, 12 ) , 使f (x 0)=x 0. (1) 证明：f (x )是R 上的单调增函数；设x 1=0, x n +1=f (x n ); y 1=12, y n +1=f (y n ), 其中n =1,2,…… (2) 证明：x n <x n +1<x 0<y n +1<y n ；(3) 证明：2111<--++n n n n x y x y . 3．运动与变换例37 正方形ABCD,ABEF 的边长都是1,且平面ABCD,ABEF互相垂直.点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动, 若)20(<<==a a BN CM . (1) 求MN 的长; (2) 当a 为何值时, MN 的长最小;(3) 当MN 的长最小时,求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小.例38 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ,∠DAB 为直角，AB ‖CD,AD =CD =2AB,E 、F 分别为PC 、CD 的中点.(1) 试证：CD ⊥平面BEF ;(2) 设PA ＝k ·AB ,且二面角E -BD -C 的平面角大于 30°,求k 的取值范围.4.开放与探究例39 函数∑=-=191)(n n x x f 的最小值为A. 190B. 171C. 90D. 45例40 已知函数xa x y +=有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在],0(a 上是减函数，在),[+∞a 上是增函数．(1) 如果函数)0(2>+=x xx y b的值域为),6[+∞，求b 的值； (2) 研究函数22xc x y +=（常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； (3) 对函数x a x y +=和22xa x y +=（常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数=)(x Fn n x xx x )1()1(22+++（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的结论）． 5．定值与最值例41 过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P,Q 两点,若线段PF 与FQ的长分别为p,q ,则qp 11+等于 . 例42 已知抛物线y x 42=的焦点为F ，A.、B 是抛物线上的两动点，且)0(>=λλFB AF .过A.、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .(1) 证明AB FM ⋅为定值；(2) 设△ABM 的面积为S ，写出)(λf S =的表达式，并求S 的最小值.6.应用与创新北20 1 AB • •C 例43 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y =880312800012+-x x (0<x ≤120). 已知甲、乙两地相距100千米.(1) 当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2) 当汽车以多大速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？例44 请您设计一个帐篷。

2020年高考数学命题之最后预测

2020年高考数学命题之最后预测一、总体预测1．仍将“以能力立意”，考查学生分析问题和解决问题的一般能力及数学能力，考查学生继续学习的潜能．2．注重知识体系，从学科整体结构考虑，在知识网络的交汇点命制情境新颖，层次分明，难度适中的考题，这是命题的重要原则．3．考查内容仍将分为主干知识和基础知识，个别知识点仍有可能“不拘泥于考试大纲”而略有拓展，但中等考生认真探索后就能获得正确结果，主干知识的重点仍为“函数、不等式、数列、圆谁曲线、直线和平面、导数、概率与统计、三角及平面向量”，而“排列、组合、二项式定理、简易逻辑、球、线性规划”这类非重点知识，不会出现难度较大的解答题．4．继续加强以能力为核心，全面考查基础运算能力，空间想象能力，逻辑推理能力，分析和解决问题的能力，实践能力以及思维品质的特色，“增加思维量、控制计算量”．5．继续考查基本数学思想方法的掌握水平，特别是分类讨论思想，数形结合思想．6．继续注重数学浯言的转译能力，考查学生阅读理解即时定义或数学记号的水平．7．继续坚持实际应用，从考生可知、能知的领域采撷素材，设计导向性良好、模型较简单的应用题，仍保持“小题鲜活，大题不难”的特色，除常见概率与统计、函数、不等式、数列模型外，还极有可能与教材应用题相关，设计与三角、几何相关的应用题．8．设计开放性的探索题，考查学生的创新意识、创新能力．9．理科将着重考查理性思维能力，文科则注重逻辑思维能力和形象思维能力的考查，文、理科差距将进一步拉大．根据2020年高考命题工作会议上考试中心对2020高考提出的要求，文科的试题难度将进一步降低，理科难度将保持稳定．10．继续在知识交汇处命题，特别要注意新教材新增内容与传统知识的综合，以及利用向量与导数这一工具来解决函数、三角函数、立体几何、解析几何等综合问题．二、大题预测１．17题考查三角函数，以解三角形为外衣，实际考查三角函数公式的变形使用．２．18题考查数列、函数与不等式的小综合．３．19题为立体几何题，考查的几何体会有一条侧棱与底面垂直，注意直棱柱和有一条侧棱与底面垂直的三棱锥与四棱锥为载体的问题．４．20题为应用题，应是一道贴近生活的简单的函数、不等式的应用问题．５．21题为解析几何问题，包含有向量的条件，注重向量与几何的转化．６．22题为代数综合问题，应该是不与导数相关的二次函数问题．三、试题范例例1．已知A 、B 是ΔABC 的两个内角，a vsin 22A B A B i j +-+v v ，其中i j v v、为互相垂直的单位向量，若||2a =v. (Ⅰ) 试问tanA ·tanB 是否为定值? 若为定值，请求出；否则请说明理由． (Ⅱ) 求tanC 的最大值，并判断此时三角形的形状．解答：(Ⅰ)|a v |2=32∴223)(sin )222A B A B +-+= 即2232cos sin 222A B A B +-+= ∴1cos()3cos()122A B A B --+++= ∴cos()cos()02A B A B -+-=∴cos cos 3sin sin A B A B = ∴1tan tan 3A B ⋅=为定值. (Ⅱ)tan tan tan tan()1tan tan A B C A B A B +=-+=--=tan tan 23A B+-=31(tan )23tan A A -+≤322-⋅= ∴max tan |C=当且仅当tan tan A B ==即30A B ==o 取得最大值，此时ΔABC 为等腰钝角三角形.(只答等腰三角形不扣分)例2．(本小题12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，S n =na n ﹣2n(n ﹣1)，(n ∈N*)(Ⅰ)求证数列{a n }为等差数列，并写出通项公式； (Ⅱ)是否存在自然数n ，使得40032321=++++nS S S S n Λ?若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由；(Ⅲ)（文科学生不做）若常数p 、q （p ≠0，q ≠0）满足数列}{qpn S n+是等差数列，求p 、q 应满足的关系.解答：(Ⅰ)当2≥n 时，)1(4)1(11----=-=--n a n na S S a n n n n n ，得)2(41≥=--n a a n n ，所以}{n a 为等差数列，且.34-=n a n (Ⅱ) 假设存在满足条件的自然数n ，则,2)(2121n n n a a S n n -=+=∴.12-=n n S n 所以2321)12(753132n n nS S SS n =-+++++=++++ΛΛ，由4002=n ，得.20=n (Ⅲ) ,()(),nn S An B S An B pn q pn q=+=+++设即2211()2,2()(),2n n S a a n n n n n An B pn q =+=-∴-=++得2,1,0Ap Ap Bp Bq =⎧⎪+=-⎨⎪=⎩02,,00=+=≠q p A B q 得消去所以因为. 例3．在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧棱是底面边长的2倍，P 是侧棱CC 1上的一点.（Ⅰ）求证：不论P 在侧棱CC 1上任何位置，总有BD ⊥AP ；（Ⅱ）若CC 1=3C 1P ，求平面AB 1P 与平面ABCD 所成二面的余弦值. （Ⅲ）当P 点在侧棱CC 1上何处时，AP 在平面B 1AC 上的射影是∠B 1AC 的平分线.解答：（Ⅰ）由题意可知，不论P 点在棱CC 1上的任何位置，AP 在底面ABCD 内射影为AC. ∵BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1，∴BD ⊥AP.（Ⅱ）延长B 1P 和BC ，设B 1P ∩BC=M ，连结AM ，则AM=平面AB 1P ∩平面ABCD.过B 作BQ ⊥AM 于Q ，连结B 1Q ，由于BQ 是B 1Q 在底面ABCD 内的射影，所以B 1Q ⊥AM ，故∠B 1QB 就是所求二面角的平面角，依题意，知CM=2BC ，从而BM=3BC.所以BC BC BC BM AB AM 1092222=+=+=. 在Rt △ABM 中，103103BC BC BC BC AM BM AB BQ =⋅=⋅=，在Rt △B 1BQ 中，QBB QB B QB B BC BC BQ B B QB B 1212111cos 1tan 1.3102tan ,31021032tan =+∴=∴===得73cos 7cos 19401112=∴=+QB B QB B 为所求. （Ⅲ）设CP=a ，BC=m ，则BB 1=2m ，C 1P=2m －a ，从而,)2(2221a m m P B -+=.cos ,.2,5422221APACPAC ACP Rt m AC m m m AB =∠∆==+=中在 ABCDA 1D 1C 1 B 1P在△PAB 1中，12121212cos AB AP P B AB AP PAB ⋅-+=∠，依题意，得∠PAC=∠PAB 1，∴.2.2121212121212AB AC P B AB AP AB AP P B AB AP AP AC ⋅=-+∴⋅-+= 即.522])2([5222222m m a m m m m a ⋅=-+-++ ∴.411021101BB m a ⋅-=-=故P 距C 的距离是侧棱的.4110-例4．如图所示，有两条相交成60o 角的直线,EF MN ，交点是O ，起初，某甲在OE 上距O 点3千米的点A 处；某乙在OM 上1千米的点B 处．现在他们同时以4千米/小时的速度行走，某甲沿EF 的方向，某乙沿NM 方向．（Ⅰ）求起初两人的距离；（Ⅱ）用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离；（Ⅲ）什么时候他们两人的距离最短？解：（Ⅰ）在△ABO 中3,1,60OA OB AOB ==∠=o，291231cos 607,AB AB =+-⨯⨯⨯==o千米；（Ⅱ）设经过t 小时两人的距离为d 千米若30,4t ≤≤则()()()()222341423414cos60d t t t t =-++--+⋅o =()()()()2234143414t t t t -++--+；若34t >，则()()()()222431424314cos120d t t t t =-++--+⋅o =()()()()2234143414t t t t -++--+；0t ∴>时，2d =()()()()2234143414t t t t -++--+=248247t t -+d （0)t >（Ⅲ）d ==14t =时 min 2d =（千米）例5．已知点Q 位于直线3x =-右侧，且到点()1,0F -与到直线3x =-的距离之和等于4. (Ⅰ) 求动点Q 的轨迹C ；(Ⅱ) 直线l 过点()1,0M 交曲线C 于A 、B 两点，点P 满足1()2FP FA FB =+u u u r u u u r u u u u r ，0EP AB =u u ur u u u r g ，又OE uuu r=(0x ,0)，其中O 为坐标原点，求0x 的取值范围；(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，PEF ∆能否成为以EF 为底的等腰三角形？若能，求出此时直线l 的方程；若不能，请说明理由.解：（Ⅰ）设(),Q x y ，则()343QF x x ++=>-，即：()343x x +=>-，化简得：()2430y x x =--<≤．所以，动点Q 的轨迹为抛物线24y x =-位于直线3x =-右侧的部分．（Ⅱ）因为1()2FP FA FB =+u u u r u u u r u u u u r，所以，P 为AB 中点；又因为0EP AB =u u u r u u u r g ，且OE uuu r =(0x ,0)，所以，点E 为线段AB 垂直平分线与x 轴焦点．由题可知：直线l 与x 轴不垂直，所以可设直线l 的方程为()1y k x =-，代入轨迹C 的方程得到：()2222420k x k x k +-+= ()30x -<≤（＊）设()f x =()222242k x k x k +-+，要使得l 与C 有两个不同交点，需且只需()()()224224240423023000k k k k f f ⎧∆=-->⎪⎪-⎪-<<⎨-⎪->⎪⎪>⎩解之得：2314k <<．由（＊）式得：2224A B k x x k-+=，所以，AB 中点P 的坐标为： 2212A B P x x x k+==-，()21P F y k x k =-=-．所以，直线EP 的方程为22121y x k k k ⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭令0y =得到点E 的横坐标为221E x k =--．因为2314k <<，所以，Ex ∈（113-，－3）．（Ⅲ）不可能．要使PEF ∆成为以EF 为底的等腰三角形，需且只需2P E F x x x =+，即：22222111k k ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭，解得：212k =．另一方面，要使直线l 满足（Ⅱ）的条件，需要23,14k ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以，不可能使PEF ∆成为以EF 为底的等腰三角形．例6. 已知函数b a bx ax x f ,(1)(2++=为实数），x R ∈，(),(0)()(),(0)f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩（Ⅰ）若f (－1) = 0，且函数()f x 的值域为)0,+∞⎡⎣，求)(x F 表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当kx x f x g x -=-∈)()(,]2,2[时是单调函数，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）设)(0,0,0x f a n m mn 且>>+<为偶函数，判断)()(n F m F +能否大于0.解析：（Ⅰ）(1)0f -=Q 0a b c ∴-+=，又x R ∈时，()0f x ≥恒成立，2040a b a >⎧∴⎨∆=-≤⎩ 24(1)0,2,1b b b a ∴--≤==．22()21(1)f x x x x ∴=++=+22(1),(0)()(1),(0)x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩ （Ⅱ）22()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=+-+=222(2)()124k k x --++-． ∴ 当22,2k -≥ 或 222k -≤-时，即6k ≥或2k ≤-时()g x 单调．（Ⅲ）()f x Q 时偶函数，2()1f x ax ∴=+，22,(0)(),(0)ax x F x ax x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩ 0mn <Q ，设0,00,0m n m n m n ><+>>->则又，m n ∴>-22()()()()11F m F n f m f n am an +=-=+--22()0a m n =->()()F m F n +能大于0．例7．已知，二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0.（Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点；（Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. 解析：依题意，知a 、b ≠0∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0∴a ＞0且c ＜0（Ⅰ）令f （x ）＝g （x ），得ax 2＋2bx ＋c ＝0.（*）Δ＝4（b 2－ac ）∵a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，∴Δ＞0∴f （x ）、g （x ）相交于相异两点（Ⅱ）设x 1、x 2为交点A 、B 之横坐标则|A 1B 1|2＝|x 1－x 2|2，由方程（*），知|A 1B 1|2＝22224)(444aacc a a ac b -+=- 2224()a c ac a =++24()1(**)c c aa ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ ∵020a b c a c a b++=⎧⇒+>⎨>⎩，而a ＞0，∴2ca>- ∵020a b c a c c b++=⎧⇒+<⎨<⎩，∴12c a <- ∴122c a -<<- ∴4［（a c ）2＋ac＋1］∈（3，12）∴|A 1B 1|∈（3，23）。