应用光学第九章

2 1
CI
1 =−
n2′ u2′2
h2 ϕ ν
= −l′2 ϕ ν
薄透镜系统的色差系数：
∑ ∑ M
CI
m=1
= M h2 ϕ m=1 ν
5. 密接薄透镜系统消初级位置的色差条件：
∑M CI
m=1
=
h2
⎛ ⎜⎜ ⎝
ϕ1 ν1
+ ϕ2 ν2
+L+ ϕM νM
⎞ ⎟⎟ = 0 ⎠
对双胶合或双分离物镜： ϕ1 + ϕ2 = 0 ν1 ν2 ϕ1 + ϕ2 = Φ
i =1
SIII + S IV
iz i
3. 初级球差：
∑ δL′ = − 1
2n ′u ′ 2
k
SI
i=1
4. 初级彗差：
∑ K T′
3k = − 2n′u′ i=1 S II
∑ K S′
=− 1 2n′u′
k i =1
S II
∑ SC′ ≈
K S′ y′
=− 1 2J
k
S II
i =1
∑ ∑ x′t
y y′
β
4. 光阑对畸变的作用：
对于单个薄透镜或薄透镜组，当光阑与之重合时，也不产生 畸变。当光阑位于单透镜组之前或之后时，就要有畸变的产生， 而且两种情况的畸变符号是相反的。
§ 9－6 位置色差
1.光学材料对不同波长的
色光折射率不同，波长愈 短折射率愈高。
1 f′
=
(n
−
1)(ρ1
−
ρ
2
)
当透镜对一定的物距的物体白光成象时，按色光的波长由短到
远轴光：
∆Lλ′1λ2 = Lλ′1 − Lλ′ 2
近轴光：
∆lλ′1λ2 = lλ′1 − lλ′ 2
2）目视仪器对黄绿光（ D光）校正单色像差，对红光（ C光）和 蓝光（F光）校正色差
⎧∆LF′C = L′F − LC′
⎨ ⎩
∆l ′FC
= lF′
− lC′
§ 9－7 倍率色差
1. 由式β=-x′／f′ 知，不同色 光的焦距不等时，放大率也不 等，而有不同象高。光学系统 对不同色光的放大率的差异称 为倍率色差，亦称放大率色差 或垂轴色差。
A′
B
2. 畸变的影响： 畸变与所有的其它像差不同，它仅由主光线的光路决定，仅
引起像的变形，使像对物产生失真，对成像的清晰度并无影响。
3. 相对畸变：
在光学设计中常用上述象高差δYZ′相对于理想象高y′的百分比 q′表示，称相对畸变。
q′ = Yz′ − y′ ×100% y′
q′ = Yz′ y − y′ y ×100% = β − β ×100%
任何一种象差均可分为初级象差和高级象差两部分。各个 象差系数T1 、 T2 、 ‥‥‥在物距、孔径、 视场确定的条件下 是光学系统结构参数 (r，n，d)的函数。
2. 一般光学系统当结构形式一定时，高 级像差随结构参数的改变影响很小，实 际像差将随初级像差的变化而变化。
赛得推导出仅有五种独立的初级象 差，即以和数 ΣSI 、ΣSII ΣSIII 、 ΣSIV 、 ΣSV分别表示初级球差，初级彗差，初级 象散，初级场曲和初级畸变。
n′
n′ r
sin I = n′ sin I ′ = n′ L′ − r sin U ′
n
nr
L = n + n′ r n
L′ = n′ + n r n′
不晕点
不晕透镜（齐明透镜）：两面均满足不晕条件
例：设计一齐明透镜，第一面曲率半径r1=-95mm，物点 位于第一面曲率中心，第二面满足齐明条件。若该透镜厚度 d=5mm，折射率n=1.5，该透镜在空气中，求：
长，它们的象点离透镜由近到远地排列在光轴上，这种现象就是位
置色差，也称为轴向色差。 即使在光学系统的近轴区，也同样存在 位置色差。
2. 影响： 使轴上点不能成象为一白色光点，而成为彩色弥散斑。
3. 位置色差的计算：
1）设λ1 和λ2 为消色差谱线的波长， λ1 <λ2 ，以波长较长 的λ2 为基准
第九章 光学系统的像差
像差概念： 实际光学系统所成的像和近轴区所成的高斯像（理想像）之间的差异。
单色光像差 像差构成
球差 彗差 象散 场曲 畸变
白光像差
位置色差 倍率色差
§ 9－1 轴上点的球差
1. 定义：轴上点发出的不同孔径角的光线经系统后的象方截距和其 近轴光象方截距之差 称为球差。
轴向球差： δL′ = L′ − l ′ 垂轴球差： ∆y′ = δL′tgU ′
k
k
∑ SI = ∑luni(i − i′)(i′ − u)
i =1
i =1
∑ ∑ k
S II
i =1
=
k
SI
i =1
iz i
∑ ∑ k
S III
i =1
k
= S II
i =1
iz i
= SI
i
2 z
i2
∑ ∑ k
S IV
i =1
=
k
J2
i =1
n′ − n n′nr
∑ ∑( ) k
k
SV =
i =1
h = f′ sinU ′
2. 等晕成像：轴上点和近轴外点有相同的成像缺陷
（有球差，且轴上点和小视场轴外点球差相同，但不存在彗差）
a：物在有限远：
1 n sinU
δL′
−1=
β n′sinU ′
L′ − lz′
b：物在无限远：
h
δL′
−1 =
f ′sinU ′
L′ − lz′
β— 近轴区垂轴倍率
lZ′ — 第二近轴光线计算的出瞳距
三、宽光束的象散和场曲
X T′S = X T′ − X S′
§ 9－4 畸变
1. 主光线和高斯象面交点的高 度不等于理想象高，其差别就 是系统的畸变。
光学系统产生畸变的原因在
于主光线的球差随视场角的改变
而不同，因而在一对共轭的物象
B′
平面上，放大率随视场而变化，
不再是常数。
B0 ′
A
δYz′ = Yz′ − y′
4. 弧矢彗差： 点BS′到主光线的垂直于光轴方向的距离为弧矢彗 差，以 KS′表示。
§ 9－5 正弦差
1. 正弦条件(不晕成像)：轴上点及近轴外点均理想成像
a：物在有限远：
b：物在无限远：
n′y′sinU ′ = ny sinU
（无球差也无正弦差）
β
=
y′ =
n sinU
y n′sinU ′
sinU = 0
=
−
1 2n′u′
k i =1
SV
§ 9－9 初级色差
色差是由光学材料对不同色光的折射率差异引起的。因此，在光 学系统的近轴区同样有色差存在。初级色差就是指近轴区的色差。
一、位置色差
1. 位置色差和球差一样可展开成入射高度 h(或孔径角u)的级数，
展开式中的常数项，即为初级色差。
2
∆LF′ C
= δlF′C
2
2
2
单个折射面球差为零的情况：
1）L＝0，L′ ＝0，物、象点与球面顶点重合；
2） sin I − sin I ′ = 0
I′= I =0
L′ = L = r
物、象点与球面中心重合；
3） sin I ′ − sinU = 0
I′ =U
sin I ′ = n sin I = n L − r sin U
lZ′
b：物在无限远：
SC′ = h − δL′ −1 f ′sinU ′ L′ − lz′
c：等晕成像条件：
SC′ = 0,δL′ ≠ 0
B0′ -Ks′ Q′
Bs′ y′
Ys′ A′ A0 ′
L′
-δL′
l′
不晕成像条件：
SC′ = 0,δL′ = 0
4. 不产生正弦差的条件：
1）iZ ＝0，光阑在球面曲率中心； 2）l=l′=0，物象点在球面顶点 ； 3）i=i′，物象点在球面曲率中心 ； 4）i ′=u，满足物象齐明条件：
+
AFC
⎜⎜⎛ ⎝
h hm
⎟⎟⎞ ⎠
+L
2.初级位置色差分布系数：
CI
= luni∆ dn n
(∆ dn = dn′ − dn) n n′ n
3.初级位置色差公式：
∑ ∆lF′C
1 =−
nk′ u′k2
k
CI
i =1
∑ 4. 单薄透镜的色差系数：
2 1
CI
= h2 ϕ ν
∑ 1
∆lF′ C
=
− n2′ u2′ 2
⎪⎪⎧ϕ1 ⎨
⎪ϕ ⎪⎩
2
= =
ν1
ν1 −ν2 −ν 2
ν1 −ν 2
Φ Φ
例：设计一个消色差的双胶合望远物镜，选用F2 （nD=1.6128,VD=36.9）和K9（nD=1.516,VD=64.1）两 种玻璃，设物镜的焦距为150mm，要求在近轴区消除位置 色差，确定两块正负透镜的焦距f1′、 f2′。
L = n + n′ r n
L′ = n′ + n r n′
§ 9－3 象散和像面弯曲
一、象散
1. 轴外点无限细光束通过光 学系统时，无彗差。有象散、 场曲。
Bt′— 轴外点B的子午像 Bs′— 轴外点B的弧矢像
沿主光线方向的距离 Bt′Bs′是光学系统的象散。在光学设计中一般 以在光轴上的投影来量度光学系统的象散值，以 xts′表示。
3. 影响：破坏了轴外点的清晰度，造成白光象的模糊；严重时， 物体的象有彩色边缘。
4. 倍率色差与光阑位置的关系： 光阑在透镜前后，倍率色差反号。
§ 9－8 初级单色像差
1.各种象差均可写为孔径 (h或sinU )和视场(ω或y)的函数。
∆A′ = T1U m1 y n1 + T2U m2 y n2 + T3U m3 y n3 + LL
的，这种像面弯曲称为匹兹万场
曲，用 xp′表示。
单个折射面匹兹万象面弯曲的表示式 :
x′p
=
1 2n ′u ′ 2
J
n′ − n n′nr
3. 场曲的影响：
当光学系统存在严重场曲时，就不能使一个较大的平面物体各点
同时清晰成象。当把中心调焦清晰了，边缘变得模糊；反之，边缘清
晰则中心变模糊。
对于照相机，投影仪等物镜，其底片或屏都是平面，所以要对场 曲进行很好的校正。
2. 彗差的影响： 使物面上的轴外点成象为彗星状的弥散斑，破坏 了轴外视场的成象清晰度。
彗差是和视场及孔径都有关的一种垂轴象差。
3. 光学系统结构对彗差的影响（对单个折射面）：
1）入瞳面在折射球面球心之前： KT′<0； 2）入瞳面在折射球面球心处： KT′＝0； 3）入瞳面在折射球面球心之后： KT′>0。
3. 正弦差：表征等晕条件的偏离
（邻近点存在彗差，不满足等晕条件，用正弦差 SC′ 表示）
SC′ = K S′ = YS′ − A′Q′ = YS′ −1 ≈ K S′
A′Q′ A′Q′ A′Q′
y′
a：物在有限远：
SC′ = 1 nsinU − δL′ −1
O
β n′源自文库inU ′ L′ − lz′
⎧xt′ = lt′ − l′
⎨ ⎩
x′s
= l′s
−l
象散和场曲的关系为 : xt′s = xt′ − xs′
2. 象散和场曲的关系：
象散和场曲是两种既有联系
又有区别的像差。象散的产生，
必然引起像面弯曲；但反之，即
使象散为零，子午像面和弧矢像
面合二为一时，由折射球面的成
像性质可知，像面仍然是会弯曲
=
−
1 2n′u′2
⎛ ⎜
3
k
⎝ i=1
S III
+
k i =1
S IV
⎞ ⎟ ⎠
5. 初级象散和场曲：
∑ ∑ x′s
=
−
1 2n′u′2
⎛ ⎜ ⎝
k i =1
S III
+
k i =1
S IV
⎞ ⎟ ⎠
6. 初级畸变：
∑ 1 k
x′ts
= xt′ − x′s
=− n′u′2
S III
i=1
∑ δY
′
2.产因： 由轴上点发出的同心光束，经光学系统各个折射面折射 后，不同孔径角 U的光线交光轴于不同点上，相对于理想象点的位 置有不同的偏离。
3. 影响：象为不同大小的弥散斑。
4. 球差曲线：
5. 光学系统的球差分布公式：
∑ δLk′
=
n1u1 sinU1 n′ku′k sinU k′
δL1
−
1 2n′ku′k sinU k′
k
S−
1
1 2 S− = ni∆Z
∆Z = L′sin U ′ − Lsin U
6. 单个折射面的球差分布系数，不晕点：
1 2
S−
=
niLsin U (sin I − sin I ′)(sin I ′ − sin U ) 2 cos 1 (I − U )cos 1 (I ′ + U )cos 1 (I + I ′)
1）该透镜第二面的曲率半径；
2）试求该齐明透镜的垂轴放大率。
§ 9－2 彗差
1. 彗差：上、下光线的交点 BT′到主光线的垂直于光轴方向的偏离 称为子午彗差， 用KT′表示。
K T′
=
1 2
(Ya′
+
Yb′
)
−
Yz′
⎧Ya′ = (La′ − l′)tgU a′ ⎪⎨Yz′ = (L′z − l′)tgU z′ ⎪⎩Yb′ = (Lb′ − l′)tgU b′
xt′s = lt′ − ls′
2. 现象及影响
轴外一点的象为在空 间相互垂直的两条短线。 任何光学系统对轴外点成 象都有象散，严重的轴外 点得不到清晰象。
大视场光学系统不管相 对孔径多小都必须考虑象 散的校正。
二、场曲（像面弯曲）
1. 轴上点通过光学系统不存 在象散。
某一视场的子午象点、弧
矢象点相对于高斯象面的距离 xt′和xs′分别称为子午象面弯 曲和弧矢象面弯曲，简称子午 场曲和弧矢场曲。
2. 倍率色差为轴外点发出两种色光的主光线在消单色光象差的高斯 象面上交点高度之差，且以波长较长的色光交点高度为基准。
近轴光： ∆yλ′1λ2 = yλ′ 1 − yλ′ 2
远轴光： ∆Yλ′1λ 2 = Yλ′1 − Yλ′2
目视系统：
⎧∆YF′C = YF′ − YC′ ⎩⎨∆y′FC = y′F − yC′