第六章多目标规划方法
多目标规划求解方法介绍
0 0
0
0
0
j0
0
S x f j ( x) f j
* j
^
S
^
j 1
, j 2,3,, p
三、功效系数法：
设目标为：f1 ( x), f 2 ( x),, f p ( x) f1 ( x),, f k ( x) 其中： 要求min； f k 1 ( x),, f p ( x) 要求max。 由于量纲问题，处理目标之间的关系时往往带来困难。 1. 功效系数法：针对各目标函数 ，用功效 f j ( x)( j 1,, p) 系数 表示（俗称“打分”）： d j d j ( f j ( x)) , j 1,, p 满足： d j 或 0 d j 1 0 d j 1 使最满意时 ，最不满意时（即最差时） 。 d j 1 dj 0 2. 常用的两种产生功效系数的方法： （1）线性型： min max min f ( x ) f , max f ( x ) f , j 1,2, , p j j j 设 xS j xS
解得：b0 f j1 ( f j0 f j1 ) , b1 1 ( f j0 f j1 ) (b1 0) 0 1 代入式(△)，得到功效系数： ( f1 j f j ( x )) ( f j f j ) d j e e 同理可得当
j 1,, k
时的功效系数：
j
j j
例6：
V min F ( x) f1 ( x), f 2 ( x)T s.t. g1 ( x) x1 x2 3 0 g 2 ( x) x1 x2 8 0 ( LVP ) g 3 ( x) x1 6 0 g 4 ( x ) x2 4 0 g 5 ( x) x1 0 g 6 ( x ) x2 0
目标规划
• 这种差异称为偏差变量（事先无法确定 的未知量） • 正偏差变量表示实现值超过目标值的部 分，记为d＋ • 负偏差变量表示实现值未达到目标值的 部分，记为d－
• 因为在一次决策 中，实现值不可 能既超过目标值， 同时又未达到目 标值，所以有d＋ ×d－ ＝0，并规 定d＋ >=0， d－ >=0
• P1：充分利用现有工时，必要时可以加班； • P2：A，B，C的最低产量分别为5，5，8台， 并依单位工时的利润比例确定权系数； • P3：生产线的加班时每月不超过20小时； • P4：A，B，C的月销售指标分别定为10，12， 10台，并依单位工时的利润比例确定权系数． 试建立其目标规划模型．
目标规划的特性
• 主观性 • 模糊性
当在实现规定的利润指标时，可能出现以下三种 情况之一： • 完成或超额完成规定的利润指标，则表示d＋ >0,d－=0； • 未完成规定的利润指标，则表示d＋ =0,d－>0； • 恰好完成利润指标，则表示d＋ =0,d－=0． 以上三种情况只能出现其中一种，故有 d＋ ×d－ ＝0
绝对约束与目标约束的相互转化
• 绝对约束化为目标约束已经讲了 • 那么，目标约束如何化为绝对约束呢？
2 x1 x2 d d 11 d 0
4
4
4
2 x1 x2 11
达成函数
• 满足目标约束和绝对约束的解，应如何 判别它的优劣呢？从决策者的要求来分 析，他总希望将来得到的结果与规定的 目标值之间的偏差愈小愈好，由此决策 者可根据自己的要求构造一个使总偏差 量为最小的目标函数，这种函数称为达 成函数，记为
目标规划中的差别
• 绝对的
– 优先因子
• 相对的
多目标规划
这是具有两个目标的非线性规划问题。
由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标
最优化模型的区别主要是目标多于一个。在这些目 标中，有的是追求极大化，有的是追求极小化，而 极大化与极小化是可以相互转化的。因此，我们不 难将多目标最优化模型统一成一般形式：
决策变量：x1，……，xn 目标函数：minf1(x1，……，xn)
甲级糖数量最大。
那么这种先在第1优先层次极小化总花费， 然后在此基础上再在第2优先层次同等的极大化 糖的总数量和甲级糖的问题，就是所谓分层多目 标最优化问题。可将其目标函数表示为：
L-min{P1[f1(X)]，P2[f2(X)，f3(X)]} 其中P1，P2是优先层次的记号，L-min表示 按优先层次序进行极小化。 下面，我们来看一个建立分层多目标最优化 模型的例子
……………… minfp(x1，……，xn)
若记X= (x1，……，xn)，V-min表示对向量F(X)=[f1(X)， ……，fp(X)]T中的各目标函数f1(X)，……，fp(X)同等的进行 极小化。R={X|gi(X)≥0，i=1，……，m}表示约束集。
则模型一般式也可简记为
这里(VMP)为向量数学规划(Vector Mathematical Programming)的简写。
多目标决策方法是现代管理科学的重要内容，也是系统
分析的基本工具。按照决策变量是连续的还是离散的，多目 标决策可以分为多目标规划决策(Multiple Objective Decision Making)和多准则决策(Multiple Attribute Decision Making)两大类，前者是以数学规划的形式呈现的决策问题， 后者则是已知各个方案及它产生的结局向量，由此选择最优 方案的决策。
多目标规划的原理和
多目标规划的原理和多目标规划是一种优化方法，用于解决同时存在多个目标函数的问题。
与单目标规划不同，多目标规划的目标函数不再是单一的优化目标，而是包含多个决策者所关心的目标。
目标函数之间可能存在冲突和矛盾，因此需要找到一个平衡点，使得各个目标都能得到满意的结果。
1.目标函数的建立：多目标规划需要明确各个决策者所关心的目标，并将其转化为数学模型的形式。
目标函数可以是线性的、非线性的，也可以包含约束条件。
2.解集的定义：解集是指满足所有约束条件的解的集合。
在多目标规划中，解集通常是一组解的集合，而不再是单个的最优解。
解集可以是有限的或无限的，可以是离散的或连续的。
3.最优解的确定：多目标规划中的最优解不再是唯一的，而是一组解的集合，称为非劣解集。
非劣解集是指在所有目标函数下都没有其他解比其更好的解。
要确定最优解，需要考虑非劣解集中的解之间的关系，即解集中的解是否有可比性。
4.解的评价：首先需要定义一种评价指标来比较不同解之间的优劣。
常用的方法有加权法、广义距离法、灰色关联法等。
评价指标的选择应该能够反映出决策者对不同目标的重视程度。
5. Pareto最优解：对于一个多目标规划问题，如果存在一组解，使得在任意一个目标函数下都没有其他解比其更好，那么这组解就被称为Pareto最优解。
Pareto最优解是解集中最为重要的解，决策者可以从中选择出最佳的解。
6.决策者的偏好：在实际应用中，决策者对不同目标的偏好有时会发生变化。
因此，多目标规划需要考虑决策者的偏好信息，并根据偏好信息对解集进行调整和筛选。
多目标规划在解决实际问题中具有广泛的应用，尤其在决策支持系统领域发挥了重要作用。
它不仅能够提供一组有竞争力的解供决策者参考，还能够帮助决策者更好地理解问题的本质和各个目标之间的权衡关系。
多目标规划既可以应用于工程、经济、管理等领域的决策问题，也可以用于社会、环境等领域的问题求解。
总之，多目标规划通过将多个目标函数集成为一个数学模型，寻找一组最佳的解集，从而在多个目标之间实现平衡和协调。
第6章_多目标规划方法
d
目 标 规 划 模 型 的 有 关 概 念
为了建立目标规划数学模型，下面引入有关概念。 1.偏差变量 在目标规划模型中，除了决策变量外，还需要 引入正、负偏差变量 d 、 d 。其中，正偏差变量表 示决策值超过目标值的部分，负偏差变量表示决策 值未达到目标值的部分。 因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到 目标值，故有 d 成立。 d 0
多目标规划应用实例
§6.1多目标规划及其非劣解
多目标规划及其非劣解
多目标规划求解技术简介
一、多目标规划及其非劣解
（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部 分组成： （1）两个以上的目标函数； （2）若干个约束条件。 （二）对于多目标规划问题，可以将其数学模 型一般地描写为如下形式：
max(min) f1 ( X ) Z F ( X ) max(min) f 2 ( X ) max(min) f k ( X )
( x , x , , x ) g ( i 1 , 2 , , m ) （6.2.19）
i 1 2 n i
f d d f i 1 , 2 , , K ) i i i i(
（6.2.20）
式中： d i 和
pl
lk
d i
分别表示与 f i 相应的、与 f i * 相比
的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量； 表示第l个优先级；
lk 表示在同一优先级 p l 中，不同目标的 、
正、负偏差变量的权系数。
五、目标达到法
首先将多目标规划模型化为如下标准形式：
f1 ( X ) minF(x) min f 2 ( X ) f ( X ) k
多目标规划(运筹学
环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。
多目标规划方法的应用
题目二：多目标规划法的应用【摘要】多目标规划法是数学规划的一个分支，它也是运筹学中的一个重要分支，它是在线性规划的基础上，为解决多目标决策问题而发展起来的一种科学管理的数学方法，主要用于研究多于一个目标函数在给定区域上的最优化，又称多目标最优化。
众所周知，如今日常的管理工作面对的不仅仅是单一的目标决策优化问题，或多或少都涉及几个或者许多目标决策优化的问题。
【关键字】`运筹学，多目标规划方法，目标决策优目标规划是线性规划的一种特殊应用，能够处理单个主目标与多个目标并存，以及多个主目标与多个次目标并存的问题。
众所周知，如今日常的管理工作面对的不仅仅是单一的目标决策优化问题，或多或少都涉及几个或者许多目标决策优化的问题。
企业管理中经常碰到多目标决策的问题，企业拟订生产计划时，不仅要考虑总产值，而且要考虑利润、产品质量和设备利用率等。
有些目标之间往往互相矛盾。
例如，企业利润可能同环境保护目标相矛盾。
如何统筹兼顾多种目标，选择合理方案，是十分复杂的问题。
应用目标规划可能较好的解决这类问题。
目标规划的应用范围很广，包括生产计划、投资计划、市场战略、人事管理、环境保护、土地利用等。
一、多目标规划法概述与其背景（一）多目标规划法的定义多目标规划法是数学规划的一个分支，它也是运筹学中的一个重要分支，它是在线性规划的基础上，为解决多目标决策问题而发展起来的一种科学管理的数学方法，主要用于研究多于一个目标函数在给定区域上的最优化，又称多目标最优化。
（二）多目标规划标准型的特点与线性规划相比，多目标规划标准型的特点在于：1、偏差列向量。
Y−、Y+分别为负、正偏差列向量，各有m个元素（m是约束方程的个数）。
负偏差变量的经济含义为当实际值小于目标值时，实际值与目标值的偏差为负偏差，正偏差变量的经济含义与之恰恰相反。
2、价值系数行向量c。
c的元素最多不超过2m个，由目标优先权等级Pi 和目标优先权系数η组成，即c=(c1，c2，…，c2m），在多目标规划的目标函数中，出现的变量只能是偏差变量。
多目标规划模型很好ppt课件
1
例题1 某工厂在一个计划期内生产甲、乙两种产品，各产品 都要消耗A，B，C三种不同的资源。每件产品对资源的单位 消耗、各种资源的限量以及各产品的单位价格、单位利润和 所造成的单位污染如下表。假定产品能全部销售出去，问每 期怎样安排生产，才能使利润和产值都最大，且造成的污染 最小？
甲
资源A单位消耗
max( f3 ( X )) 3x1 2x2
9x1 4x2 240 4x1 5x2 200 3x1 10x2 300 x1, x2 0
望达到的目标值转化为约束条件。 经研究，工厂认为总产值至少应 达到20000个单位，而污染控制 在90个单位以下，即
f2 (X ) 400x1 600x2 20000
f3 (X ) 3x1 2x2 90
由主要目标法化为单目标问题max f1( X ) 70x1 120x2
用单纯形法求得其最优解为
x1 12.5, x2 26.25, f1(x) 4025, f2 (x) 20750, f3 (x) 90
400x1 600x2 20000 3x1 2x2 90 9x1 4x2 240 4x1 5x2 200 3x1 10x2 300 x1, x2 0
aij
f1
f2
f3
f4
f5
f6
A1
1
1
67
50.5 34
50.5
A2
100
100
1
100
1
1
A3
1
42.25 100
1
67
100
A4
40.6 25.75 67
25.75 100
1
设权系数向量为W=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3), 则
多目标规划求解方法介绍
多目标规划求解方法介绍多目标规划（multi-objective programming，也称为多目标优化）是数学规划的一个分支，用于处理具有多个冲突目标的问题。
在多目标规划中，需要找到一组解决方案，它们同时最小化（或最大化）多个冲突的目标函数。
多目标规划已经在许多领域得到了应用，如工程、管理、金融等。
下面将介绍几种常见的多目标规划求解方法。
1. 加权和法（Weighted Sum Method）：加权和法是最简单和最直接的多目标规划求解方法。
将多个目标函数通过赋予不同的权重进行加权求和，得到一个单目标函数。
然后使用传统的单目标规划方法求解该单目标函数，得到一个最优解。
然而，由于加权和法只能得到权衡过的解，不能找到所有的非劣解（即没有其他解比它更好），因此它在解决多目标规划问题中存在局限性。
2. 约束方法（Constraint Method）：约束方法是将多目标规划问题转化为一系列带有约束条件的单目标规划问题。
通过引入额外的约束条件，限制目标函数之间的关系，使得求解过程产生多个解。
然后使用传统的单目标规划方法求解这些带有约束条件的问题，得到一组最优解。
约束方法可以找到非劣解集合，但问题在于如何选择合适的约束条件。
3. 目标规划算法（Goal Programming Algorithms）：目标规划算法是特别针对多目标规划问题设计的一类算法。
它通过将多个目标函数转化为约束关系，建立目标规划模型。
目标规划算法可以根据问题的不同特点选择相应的求解方法，如分解法、交互法、加权法等。
这些方法与约束方法相似，但比约束方法更加灵活，能够处理更加复杂的问题。
4. 遗传算法（Genetic Algorithms）：遗传算法是一种启发式的优化方法，也可以用于解决多目标规划问题。
它模仿自然界中的进化过程，通过不断地进化和迭代，从初始种群中找到优秀的个体，产生一个适应度高的种群。
在多目标规划中，遗传算法通过构建适应度函数来度量解的好坏，并使用交叉、变异等操作来产生新的解。
多目标规划教材
2021/7/11
概述
❖ 什么是多目标规划问题
▪ 在前面所述的最优化问题，无论是线性规划、整数规划还是非线性规划，其目 标函数都只有一个。但在实际问题中，衡量一个设计方案的好坏往往不止一个 标准，常常要考虑多个目标。例如研究生产过程时，人们既要提高生产效率， 同时还要考虑产品质量，又要考虑成本以降低生产费用，可能还希望生产过程 中的环保问题，即废渣、废水、废气造成的污染小。在设计导弹的过程中，既 要射程远，又要燃料省，还要重量轻且打击精度高。在进行投资决策时，既希 望回报高的同时又希望降低投资风险，如此等等。这就向我们提出了一个多指 标最优化问题。我们把在这样的背景下建立起来的最优化称之为多目标规划问 题。
其中：
Fj
min xR
Fj
x
R x | gi x 0, i 1,2,...,m; hi x 0, i 1,2,...,l
这样 f j x 就是规范化的目标了，在以后的叙述中，不妨假设多目标规划问题中
的目标均已规范化。
多目标规划的解集
❖ 直观理解
对单目标规划来说，给定任意两个可行解 x1, x2 R ，通过比较它们的目标函数
不得少于 60kg，于是得到约束条件如下：
x1 x2 120 2x1 1.5x2 300
x1 60 又考虑到购买的数量必须要满足非负的条件，由于对 x1已经有相应的约束条件，故只 需添加对 x2 的非负约束即可。 综合以上分析，得到最优化数学模型如下：
min max
f1 x 2x1 1.5x2 f2 x x1 x2
x1 x2 x3 40 0.48x1 0.65x2 0.42x3 20 20x1 700 25x2 800 15x3 500 x1, x2 , x3 0
运营决策中的多目标规划方法
运营决策中的多目标规划方法在企业的运营管理中，多目标规划方法是一种重要的工具，用于帮助管理者在面对多个决策目标时做出最优的决策。
多目标规划方法可以更全面地考虑各种因素，并找到最佳的平衡点，以实现企业的战略目标和可持续发展。
多目标规划方法的核心思想是将复杂的决策问题转化为一个优化模型，然后通过运用数学方法和计算机技术，找到一组最优解，从而帮助决策者做出决策。
与传统的单目标规划方法不同，多目标规划方法可以同时考虑多个目标，并根据不同目标的重要性和约束条件，找到最佳的决策方案。
在运营决策中，多目标规划方法可以应用于多个方面。
它可以用于生产规划和调度。
生产过程中，往往需要考虑多个目标，如成本、产能、交货时间等。
使用多目标规划方法，可以根据不同的目标权重，找到最佳的生产计划，使得各个目标得到最大的满足。
多目标规划方法可以用于供应链管理。
供应链中的各个环节，包括供应商选择、物流规划、库存管理等，都需要考虑多个目标，如成本、可靠性、响应时间等。
通过运用多目标规划方法，可以平衡各个目标之间的矛盾，构建一个高效的供应链网络。
多目标规划方法还可以应用于项目管理。
在项目管理中，需要考虑时间、成本、质量等多个目标。
使用多目标规划方法，可以找到最佳的项目进度和资源分配方案，使项目能够按时、按质量完成。
在运用多目标规划方法时，决策者还需要注意一些关键点。
需要确定决策目标，明确各个目标的重要性和约束条件。
需要建立一个准确的模型，对各项因素进行量化和分析，以便进行计算和优化。
需要进行模型验证和灵敏度分析，以确保模型的可靠性和稳定性。
同时，多目标规划方法也面临一些挑战和局限性。
多目标规划方法在处理复杂的实际问题时，可能会面临计算复杂度的挑战。
需要运用高效的算法和计算机技术来求解问题。
多目标规划方法在设定目标权重时，往往需要依赖决策者的主观判断和经验。
如果目标权重设置不合理，可能导致决策结果的偏差。
总之，在运营决策中，多目标规划方法是一种有效的决策工具，可以帮助管理者在面对多个目标时做出最佳的决策。
《多目标规划》课件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值范围的限制条件，通常表示为决 策变量的不等式或等式。
02
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、技术限制、经
济限制等。
约束条件的处理需要考虑其对目标函数的综合影响，以确定最
03
优解的范围。
决策变量
01 决策变量是规划问题中需要确定的未知数，通常 表示为数学符号或参数。
多目标规划的算法改进与优化
混合整数多目标规划算法
结合整数规划和多目标规划的优点，解决具有离散变量的 多目标优化问题。
进化算法
借鉴生物进化原理，通过种群进化、基因突变等方式寻找 多目标优化问题的Pareto最优解。
梯度下降法
利用目标函数的梯度信息，快速找到局部最优解，提高多 目标规划的求解效率。
多目标规划在实际问题中的应用前景
特点
多目标遗传算法能够处理多个相互冲突的目标函数，提供一组非劣解集供决策者选择。 它具有较强的全局搜索能力和鲁棒性，适用于复杂的多目标优化问题。
注意事项
多目标遗传算法需要合理设置遗传参数和选择策略，以确保求解的有效性和准确性。
04
多目标规划案例分析
生产计划优化案例
总结词
生产计划优化案例主要展示多目标规划在生产计划方面的应 用，通过合理安排生产计划，降低成本并提高生产效率。
《多目标规划》课件
• 多目标规划概述 • 多目标规划的基本概念 • 多目标规划的常用方法 • 多目标规划案例分析 • 多目标规划的未来发展与展望
目录
01
多目标规划概述
定义与特点
定义
多目标规划是一种决策方法，旨在同 时优化多个目标函数，并考虑多个约 束条件。
特点
笔记--多目标规划
处理多目标规划的方法1.约束法 1.1原理约束法又称主要目标法，它根据问题的实际情况．确定一个目标为主要目标，而把其余目标作为次要目标，并根据决策者的经验给次要的目标选取一定的界限值，这样就可以把次要目标作为约束来处理，从而就将原有多目标规划问题转化为一个在新的约束下，求主要目标的单目标最优化问题。
假设在p 个目标中，()1f x 为主要目标，而对应于其余（p-1）个目标函数()i f x 均可以确定其允许的边界值：(),2,3,...,ii i af b i p ≤≤=x 。
这样我们就可以将这()1p -个目标函数当做最优化问题的约束来处理，于是多目标规划问题转化称为单目标规划问题SP 问题：公式1()()()1min s.t.0(1,2,...,)(2,3,...,)i j j j f g i m a f b j p ⎧⎪≥=⎨⎪≤≤=⎩x x x上述问题的可行域为()(){}|0,1,2,...,;,2,3,...,i j j j R g i m a f b j p '=≥=≤≤=x x x2.评价函数法其基本思想就是将多目标规划问题转化为一个单目标规划问题来求解，而且该单目标规划问题的目标函数是用多目标问题的各个目标函数构造出来的，称为评价函数，例如若原多目标规划问题的目标函数为F(x)，则我们可以通过各种不同的方式构造评价函数h(F(x))，然后求解如下问题：()()min s.t.h R⎧⎪⎨∈⎪⎩F x x 求解上述问题之后，可以用上述问题的最优解x *作为多目标规划问题的最优解，正是由于可以用不同的方法来构造评价函数，因此有各种不同的评价函数方法，下面介绍几种常用的方法。
评价函数法中主要有：理想点法、平方和加权法、线性加权和法、乘除法、最大最小法2.1理想点法考虑多目标规划问题：()()V-mins.t.0(1,2,...,)i g i m ⎧⎨≥=⎩F x x ，首先分别求解p 个单目标规划问题：()()min(1,2,...,)s.t.0(1,2,...,)i j f i p g j m ⎧=⎪⎨≥=⎪⎩x x令各个问题的最优解为*(1,2,...,)ii p =x ，而其目标函数值可以表示为：()*min ,1,2,...,i i Rf f i p ∈==x x其中：(){}|0(1,2,...,)jR g j m =≥=x x一般来说，不可能所有的*(1,2,...,)ii p =x 均相同，故其最优值*(1,2,...,)i f i p =组成的向量0***12[]T pfff =F 并不属于多目标规划的象集，所以0F 是一个几乎不可能达到理想点。
第六章多目标规划方法
第六章多目标规划方法
方法二 罚款模型（理想点法） 思想: 规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值（或 称满意值）；
通过比较实际值 fi 与期望值 fi* 之间的偏差来选择问题的 解，其数学表达式如下：
•或写成矩阵形式：
•式中， 是与第i个目标函数相关的权重；
•
PPT文档演模板
A是由 (i=1,2,…,k )组成的m×m对角矩阵。
如果要求甲级糖的数量最大，即要求：
易见，这是具有3个目标的规划问题（由于约束及目标均为 线性函数，故它为多目标线性规划问题）。
PPT文档演模板
第六章多目标规划方法
多目标规划及其非劣解
例2：【木梁设计问题】把横截面为圆形的树干加工成
矩形横截面的木梁。为使木梁满足一定的规格和应 力及强度条件，要求木梁的高度不超过H，横截面的 惯性矩不少于给定值W，且横截面的高度要介于其 宽度和4倍宽度之间。
PPT文档演模板
•xi=0或1
第六章多目标规划方法
多目标规划及其非劣解
所谓“最佳的经济效益”，如果理解为“少花钱多办 事”，则变为两个目标的问题，即投资最少，收益最大：
这是具有两个目标的0－1规划问题。
PPT文档演模板
第六章多目标规划方法
•每一个目标对应的权重系数为 i* ( i=1,2,…,k ) ， •再设 为一松弛因子。
•那么，多目标规划问题就转化为：
PPT文档演模板
第六章多目标规划方法
方法五 目标规划模型（目标规划法）
• 需要预先确定各个目标的期望值 fi* ，同时给每一 个目标赋予一个优先因子和权系数，假定有K个目标，L 个优先级( L≤K)，目标规划模型的数学形式为：
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这是具有两个目标的0－1规划问题。
甘肃农业大学资源与环境学院
由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标最优化模 型的区别主要是目标多于一个。在这些目标中，有的是追求 极大化，有的是追求极小化，而极大化与极小化是可以相互 转化的。因此，我们不难将多目标最优化模型统一成一般形 式：
甘肃农业大学资源与环境学院
如果将（6.1.1）和（6.1.2）式进一步缩
写， 即
max(min)Z F ( X )
（6.1.3）
(X ) G
（6.1.4）
式中： Z F(X ) 是k维函数向量；
k是目标函数的个数；
Φ(X ) 等是m维函数向量；
高为x1 ，宽为x2。
x2
为使具有一定长度的木梁重量最轻，应要求其横
截面面积x1x2为最小，即要求x1x2→min
甘肃农业大学资源与环境学院
多目标规划及其非劣解
由于矩形横截面的木梁是由横截面为圆形的树干加工而成， 故其成本与树干横截面面积的大小 r2 (x1 / 2)2 (x2 / 2)2
成正比。由此，为使木梁的成本最低还应要求 (x12 x22 ) / 4
尽可能的小，或即：
(x12 x22 ) min
根据问题的要求，应满足下述约束条件：
x1 H
x1 x1
x2
x2
W
0
4x2 x1 0
x1 0, x2 0
这是具有两个目标的非线性规划问题。
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第1节 多目标规划及其非劣解
➢多目标规划及其非劣解 ➢多目标规划的非劣解
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多目标规划及其非劣解
例1：【喜糖问题】设市场上有甲级糖及乙级糖，单价分别 为4元/斤及2元/斤。今要筹办一桩喜事。“筹备小组”计 划总花费不超过40元，糖的总斤数不少于10斤，甲级糖不 少于5斤。问如何确定最佳的采购方案。
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max(min)
f1
(
X
)
Z
F(X
)
max(min) f2 (
X
)
max(min) fk ( X )
（6.1.1）
1 ( X )
g1
(
X
)
2
(X
)
G
g2
m ( X )
gm
（6.1.2）
式中：X [x1, x2 ,, xn ]T ，为决策变量向量。
f1(x1,x2)=4x1+2x2 →min 如果要求糖的总数量最大，即要求：
f2 (x1, x2 ) x1 x2 max
如果要求甲级糖的数量最大，即要求：
f3 (x1, x2 ) x1 max
易见，这是具有3个目标的规划问题（由于约束及目标均为 线性函数，故它为多目标线性规划问题）。
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多目标最优化的思想萌芽于1776年经济学中的效用理论。1896 年，法国经济学家V·Pareto首先在经济理论的研究中提出了多 目标最优化问题。1951年，美国数理经济学家T·C·Koopans从 生产和分配的活动分析中考虑了多目标决策问题，并首次提 出了多目标最优化问题解的概念，将其命名为“Pareto 解”(即有效解)。同年，H·W·Kuhn和A·W·Tucker从数学规 划论角度首次提出向量极值问题及有关概念。进入20世纪70 年代，随着第一次国际多目标决策研讨会的召开及这方面专 著的问世，多目标决策问题的研究工作迅速、蓬勃地开展起 来，到目前为止，已取得若干有价值的研究成果。
多目标规划及其非劣解
例2：【木梁设计问题】把横截面为圆形的树干加工成
矩形横截面的木梁。为使木梁满足一定的规格和应 力及强度条件，要求木梁的高度不超过H，横截面的 惯性矩不少于给定值W，且横截面的高度要介于其 宽度和4倍宽度之间。
问应如何确定木梁尺寸，可使木
梁的重量最轻，并且成本最低。 x1 r
设所设计的木梁横截面的
我们先确定此问题应满足的条件（即约束条件）。不 难看出，当甲级糖数量为x1，乙级糖数量为x2时，有：
4x1 2x2 40
x1 x1
x2 5
10
x1 0, x2 0
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多目标规划及其非劣解
在研究以什么为“最佳”的衡量标准时，“筹备小组”的成 员们意见可能会发生分歧，其原因是他们会提出各种各样 的目标来。 如果要求总花费最小，即要求：
决策变量：x1，……，xn 目标函数：minf1(x1，……，xn)
……………… minfp(x1，……，xn)
g1(x1，……，xn ) 0
约束条件：
………………
gm
(
x1，……，xn
)
0
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任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成： (1)两个以上的目标函数； (2)若干个约束条件。 对于多目标规划问题，可以将其数学模型一 般地描i
A
xi (xi 1) 0
xi=0或1
i=1，2，……，n
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多目标规划及其非劣解
所谓“最佳的经济效益”，如果理解为“少花钱多办 事”，则变为两个目标的问题，即投资最少，收益最大：
n
f1(x1，……，xn ) bi xi max i 1 n
多目标规划及其非劣解
例3：【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资金A万元， 今有n(≥2)个项目可供选择。设投资第i(i=1，2，……，n)个 项目要用资金ai万元，预计可得到收益bi万元。问应如何使 用总资金A万元，才能得到最佳的经济效益？
设xi
1 0
决定投资第i 个项目 决定不投资第i个项目
问题的约束条件为
第六章 多目标规划方法
multiple objective programming
同时考虑多个决策目标时， 称为多目标规划问题。
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本章主要内容
➢多目标规划及其非劣解 ➢多目标规划求解技术简介 ➢多目标规划方法 ➢多目标规划应用实例
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在地理学研究中，对于许多规划问题，常常需 要考虑多个目标，如经济效益目标、生态效益目标、 社会效益目标等等。为了满足这类问题研究之需要， 本章拟结合有关实例，对多目标规划方法及其在地 理学研究中的应用问题作一些简单地介绍。