第六章多目标规划方法

多目标规划及其非劣解
例3：【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资金A万元， 今有n(≥2)个项目可供选择。设投资第i(i=1，2，……，n)个 项目要用资金ai万元，预计可得到收益bi万元。问应如何使 用总资金A万元，才能得到最佳的经济效益？
设xi
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1 0
决定投资第i 个项目 决定不投资第i个项目
问题的约束条件为
i=1，2，……，n
n
i=1
aixi
A
xi (xi 1) 0
xi=0或1
i=1，2，……，n
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多目标规划及其非劣解
所谓“最佳的经济效益”，如果理解为“少花钱多办 事”，则变为两个目标的问题，即投资最少，收益最大：
n
f1(x1，……，xn ) bi xi max i 1 n
多目标规划及其非劣解
例2：【木梁设计问题】把横截面为圆形的树干加工成
矩形横截面的木梁。为使木梁满足一定的规格和应 力及强度条件，要求木梁的高度不超过H，横截面的 惯性矩不少于给定值W，且横截面的高度要介于其 宽度和4倍宽度之间。
问应如何确定木梁尺寸，可使木
梁的重量最轻，并且成本最低。 x1 r
设所设计的木梁横截面的
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如果将（6.1.1）和（6.1.2）式进一步缩
写， 即
max(min)Z F ( X )
（6.1.3）
(X ) G
（6.1.4）
式中： Z F(X ) 是k维函数向量；
k是目标函数的个数；
Φ(X ) 等是m维函数向量；
f1(x1,x2)=4x1+2x2 →min 如果要求糖的总数量最大，即要求：
f2 (x1, x2 ) x1 x2 max
如果要求甲级糖的数量最大，即要求：
f3 (x1, x2 ) x1 max
易见，这是具有3个目标的规划问题（由于约束及目标均为 线性函数，故它为多目标线性规划问题）。
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决策变量：x1，……，xn 目标函数：minf1(x1，……，xn)
……………… minfp(x1，……，xn)
g1(x1，……，xn ) 0
约束条件：
………………
gm
(
x1，……，xn
)
0
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任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成： (1)两个以上的目标函数； (2)若干个约束条件。 对于多目标规划问题，可以将其数学模型一 般地描写为如下形式
第六章 多目标规划方法
multiple objective programming
同时考虑多个决策目标时， 称为多目标规划问题。
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本章主要内容
➢多目标规划及其非劣解 ➢多目标规划求解技术简介 ➢多目标规划方法 ➢多目标规划应用实例
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在地理学研究中，对于许多规划问题，常常需 要考虑多个目标，如经济效益目标、生态效益目标、 社会效益目标等等。为了满足这类问题研究之需要， 本章拟结合有关实例，对多目标规划方法及其在地 理学研究中的应用问题作一些简单地介绍。
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第1节 多目标规划及其非劣解
➢多目标规划及其非劣解 ➢多目标规划的非劣解
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多目标规划及其非劣解
例1：【喜糖问题】设市场上有甲级糖及乙级糖，单价分别 为4元/斤及2元/斤。今要筹办一桩喜事。“筹备小组”计 划总花费不超过40元，糖的总斤数不少于10斤，甲级糖不 少于5斤。问如何确定最佳的采购方案。
我们先确定此问题应满足的条件（即约束条件）。不 难看出，当甲级糖数量为x1，乙级糖数量为x2时，有：
4x1 2x2 40
x1 x1
x2 5
10
x1 0, x2 0
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多目标规划及其非劣解
在研究以什么为“最佳”的衡量标准时，“筹备小组”的成 员们意见可能会发生分歧，其原因是他们会提出各种各样 的目标来。 如果要求总花费最小，即要求：
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max(min)
f1
(
X
)
Z
F(X
)
max(min) f2 (
X
)
max(min) fk ( X )
（6.1.1）
1 ( X )
g1
(
X
)
2
(X
)
G
g2
m ( X )
gm
（6.1.2）
式中：X [x1, x2 ,, xn ]T ，为决策变量向量。
高为x1 ，宽为x2。
x2
为使具有一定长度的木梁重量最轻，应要求其横
截面面积x1x2为最小，即要求x1x2→min
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多目标规划及其非劣解
由于矩形横截面的木梁是由横截面为圆形的树干加工而成， 故其成本与树干横截面面积的大小 r2 (x1 / 2)2 (x2 / 2)2
成正比。由此，为使木梁的成本最低还应要求 (x12 x22 ) / 4
尽可能的小，或即：
(x12 x22 ) min
根据问题的要求，应满足下述约束条件：
x1 H
x1 x1
x2
x2
W
0
4x2 x1 0
x1 0, x2 0
这是具有两个目标的非线性规划问题。
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f2 (x1，……，xn ) ai xi min i 1
这是具有两个目标的0－1规划问题。
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由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标最优化模 型的区别主要是目标多于一个。在这些目标中，有的是追求 极大化，有的是追求极小化，而极大化与极小化是可以相互 转化的。因此，我们不难将多目标最优化模型统一成一般形 式：
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多目标最优化的思想萌芽于1776年经济学中的效用理论。1896 年，法国经济学家V·Pareto首先在经济理论的研究中提出了多 目标最优化问题。1951年，美国数理经济学家T·C·Koopans从 生产和分配的活动分析中考虑了多目标决策问题，并首次提 出了多目标最优化问题解的概念，将其命名为“Pareto 解”(即有效解)。同年，H·W·Kuhn和A·W·Tucker从数学规 划论角度首次提出向量极值问题及有关概念。进入20世纪70 年代，随着第一次国际多目标决策研讨会的召开及这方面专 著的问世，多目标决策问题的研究工作迅速、蓬勃地开展起 来，到目前为止，已取得若干有价值的研究成果。