专题强化训练3

专题强化训练(三)

一、选择题

1．(2020·广西玉林模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝－3,2a4＋3a7＝9，则S7的值等于()

A．21 B．1

C．－42 D．0

[解析]设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝－3,2a4＋3a7＝9，

∴2(－3＋3d)＋3(－3＋6d)＝9，∴d＝1，

∴S7＝7×(－3)＋7×6

2×1＝0，故选D.

[答案] D

2．(2020·武汉模拟)“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自2013年以来，“一带一路”建设成果显著．如图是2013～2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是()

A．这五年，2013年出口额最少

B．这五年，出口总额比进口总额多

C．这五年，出口增速前四年逐年下降

D．这五年，2017年进口增速最快

[解析]由题图可知，这五年，2013年出口额最少，出口总额比

进口总额多，2017年进口增速最快，故选项A 、B 、D 正确，而这五年，出口增速2013年到2014年是递增的，故选项C 是错误的，故选C.

[答案] C

3．(2020·山东潍坊模拟)计算tan ? ??

??

π4＋

αcos2α2cos 2? ??

?

?

π4－α＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1

[解析] 取α＝π

12，则原式＝tan ? ????π4＋π12cos π62cos 2? ??

?

?

π4－π12＝3×322×34＝1.故选D. [答案] D

4．(2020·深圳质检)函数f (x )＝ln|e 2x －1|－x 的图像大致为( )

[解析] 因为f (－x )＝ln|e －2x －1|＋x

＝ln ?

???

??

1e 2x －1＋x

＝ln|e 2x －1|－lne 2x ＋x ＝ln|e 2x －1|－2x ＋x ＝ln|e 2x －1|－x ＝f (x )，

所以f (x )是偶函数，排除B 、D ；

又f (1)＝ln|e 2－1|－1>lne －1＝0，排除C ，故选A. [答案] A

5．(2020·辽宁抚顺模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，B 是A 和C 的等差中项，则a ＋c 与2b 的大小关系是( )

A ．a ＋c >2b

B ．a ＋c <2b

C ．a ＋c ≥2b

D ．a ＋c ≤2b

[解析] 不妨令A ＝B ＝C ＝60°，则可排除A ，B ；再令A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，可排除C ，故选D.

[答案] D

6．(2020·山东青岛一模)下列不等关系，正确的是( ) A ．log 23log 45>log 34 C ．log 23log 34>log 45

[解析] 解法一：log 23＝lg3lg2，log 34＝lg4lg3，log 45＝lg5lg4，

∴log 23－log 34＝lg3lg2－lg4lg3＝lg 2

3－lg2lg4

lg2lg3

>lg 2

3－? ??

???

lg2＋lg422

lg2lg3

＝

lg 2

3－? ????lg822lg2lg3

>

lg 2

3－? ??

?

?lg922

lg2lg3

＝0，

∴log 23>log 34，同理可证log 34>log 45，故选D.

解法二：log n (n ＋1)＝lg (n ＋1)lg n ，log (n ＋1)(n ＋2)＝lg (n ＋2)lg (n ＋1)，

∴log n (n ＋1)－log (n ＋1)(n ＋2)＝lg (n ＋1)lg n －lg (n ＋2)

lg (n ＋1)

＝lg2(n＋1)－lg n lg(n＋2)

lg n lg(n＋1)

>lg2(n＋1)－

?

?

?

?

?

?

?

?

lg n＋lg(n＋2)

2

2

lg n lg(n＋1)

＝lg2(n＋1)－

?

?

?

?

?

?

?

?

lg(n2＋2n)

2

2

lg n lg(n＋1)

>lg2(n＋1)－

?

?

?

?

?

?

?

?

lg(n2＋2n＋1)

2

2

lg n lg(n＋1)

＝0，

∴log23>log34>log45，故选D.

[答案] D

7．(2020·云南昆明模拟)做一个面积为1 m2，形状为直角三角形的铁架框，用下列四种长度的铁管，最合理(够用，且浪费最少)的是()

A．4.6 m B．4.8 m

C．5 m D．5.2 m

[解析]设两直角边为a，b，则1

2ab＝1，∴ab＝2.∴l＝a＋b＋

a2＋b2≥2ab＋2ab，当且仅当a＝b＝2时，等号成立．

∵22＋2≈4.828，

∴钢管长度选5 m最合适．

[答案] C

8．(2020·湖北武汉二模)已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为()

A ．60°

B ．90°

C ．120°

D ．150°

[解析] 如图，因为〈a ，b 〉＝120°，|b |＝2|a |，a ＋b ＋c ＝0，所以在△OBC 中，BC 与CO 的夹角为90°，即a 与c 的夹角为90°.

[答案] B

9. (2020·河南洛阳一模)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与QF 的长分别是p ，q ，则1p ＋1

q ＝( )

A ．2a B.1

2a C ．4a D.4

a

[解析] 取PQ 的极限位置：将直线PQ 绕点F 顺时针方向旋转到与y 轴重合，此时Q 与O 重合，点P 运动到无穷远处，虽不能再称它为抛物线的弦了，但它是弦的一种极限情形，因为|QF |＝q ＝|OF |＝14a ，而|PF |＝p →＋∞，所以1p ＋1

q →4a .

[答案] C

10．(2020·西安五校联考)函数f (x )＝? ??

??12|x －1|

＋2cosπx (－2≤x ≤4)的

所有零点之和等于( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

[解析] 由f (x )＝? ????12|x －1|

＋2cosπx ＝0，

得? ????12|x －1|

＝－2cosπx ， 令g (x )＝? ??

??12|x －1|

(－2≤x ≤4)，

h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)，

又因为g (x )＝? ??

??12|x －1|＝?????

?

??

??12x －1，1≤x ≤4，2x －1，－2≤x <1.

在同一坐标系中分别作出函数g (x )＝? ??

??12|x －1|

(－2≤x ≤4)和h (x )＝

－2cosπx (－2≤x ≤4)的图像(如图)，

由图像可知，

函数g (x )＝? ??

??12|x －1|

关于x ＝1对称，

又x ＝1也是函数h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的对称轴，

所以函数g (x )＝? ??

??12|x －1|

(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)

的交点也关于x ＝1对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.

[答案] C

11．(2020·东北三校模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记b n 为数阵从左至右的n

列，从上到下的n 行共n 2

个数的和，则数列????

??n b n 的前2020项和为( )

a 1 a 2 a 3 … a n a 2 a 3 a 4 … a n ＋1 a 3 a 4 a 5 … a n ＋2 … … … … … a n a n ＋1 a n ＋2 … a 2n －1

A.10112020

B.20192020

C.20202021

D.10102021

[解析] 解法一：因为数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2，所以{a n }是等差数列，且公差d ＝2，前n 项和S n ＝(a 1＋a n )n

2＝n 2

＋3n .b n ＝(a 1

＋a 2＋a 3＋…＋a n )＋(a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n ＋1)＋…＋(a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n －1)＝S n ＋(S n ＋nd )＋(S n ＋2nd )＋…＋[S n ＋(n －1)d ]＝nS n ＋nd [1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝2n 2

(n ＋1)．所以n b n ＝n 2n 2(n ＋1)＝1

2n (n ＋1)

＝

1

2

? ??

???1n －1n ＋1，所以数列??????n b n 的前2020项和为T 2020

＝1

2

×? ?

???1－12＋12－13＋…＋12020－12021＝12×? ??

??1－12021＝10102021，故选D. 解法二：因为数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2，所以{a n }是等差数列．则b 1＝a 1，b 2＝(a 1＋2a 2＋a 3)＝4a 2，b 3＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋2a 4＋a 5)＝9a 3，…，由于本题是选择题，因此可猜想b n ＝n 2

a n .所以n

b n

＝

n 2n 2(n ＋1)＝12n (n ＋1)＝12? ??

??

?1n －1n ＋1，所以数列??????n b n 的前2020项和为T 2020

＝12×? ?

???1－12＋12－13＋…＋12020－12021＝12×? ??

??1－12021＝10102021，故选D.

解法三：设每一行的和为c i ，则由题意，得c i ＝a i ＋a i ＋1＋…＋a n

＋i －1＝(a i ＋a n ＋i －1)n

2＝n (n ＋2i ＋1)，所以b n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝n [(n ＋3)＋(n ＋5)＋…＋(n ＋2n ＋1)]＝2n 2(n ＋1)，所以n

b n

＝

12n (n ＋1)

＝1

2

? ??

???1n －1n ＋1，所以数列?????

?n b n 的前2020项和为T 2020

＝12

×? ?

???1－12＋12－13＋…＋12020－12021＝12×? ??

??1－12021＝10102021，故选D. [答案] D

12．(2020·开封模拟)在△ABC 中，A ＝π2，AB ＝3，AC ＝4，动点P 在△ABC 的内切圆上，若AP →＝λAB →＋μAC →

，则λ＋μ的最大值为( )

A.16

B.1

2 C ．1 D ．2

[解析] 解法一：以AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0,0)，B (3,0)，C (0,4)．设内切圆的半

径为r ，由12(|A B →

|＋|A C →|＋|B C →|)r ＝S △ABC ，得r ＝1，则内切圆的圆心为

(1,1)，内切圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，设P (1＋cos θ，1＋sin θ)(θ∈R )，则AP →＝(1＋cos θ，1＋sin θ)，AB →＝(3,0)，AC →＝(0,4)，由AP →

＝λAB →＋μAC →得???

1＋cos θ＝3λ1＋sin θ＝4μ.所以λ＋μ＝13(1＋cos θ)＋14(1＋sin θ)＝

712＋4cos θ＋3sin θ12＝712＋5

12sin(θ＋φ)? ??

??θ∈R ，tan φ＝43，所以λ＋μ的最

大值为712＋5

12＝1，故选C.

解法二：设△ABC 的内切圆与边BC 相切于点D ，当动点P 与点D 重合时，P ，B ，C 三点共线，又AP →＝λAB →＋μAC →

，则λ＋μ＝1，当动点P 与点D 不重合时，λ＋μ<1，故λ＋μ的最大值为1，故选C.

[答案] C 二、填空题

13．(2020·湖南长沙模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1，则{a n }的通项公式为________．

[解析] 由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3? ?

???a n ＋12，所以数列?????

?a n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋12＝32·3n －1

，故a n ＝3n －12.

[答案] a n ＝3n －1

2

14．(2020·江南十校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C

＝________.

[解析] 解法一：取特殊值：a ＝3，b ＝4，c ＝5，则cos A ＝4

5，cos C ＝0，

cos A ＋cos C

1＋cos A cos C ＝4

5.

解法二：取特殊角：A ＝B ＝C ＝π3，cos A ＝cos C ＝1

2，

cos A ＋cos C

1＋cos A cos C ＝45.

[答案] 4

5

15．(2020·安徽合肥模拟)已知m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面．给出下列命题：

①若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α，或n ⊥β； ②若α∥β，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则m ∥n ；

③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ?α，n ?β，则n ∥α，且n ∥β. 其中正确的命题序号是________．

[解析] ①错误．如图在正方体中，平面ABB ′A ′⊥平面ADD ′A ′，交线为AA ′.直线AC ⊥AA ′，但AC 不垂直平面ABB ′A ′，同时AC 也不垂直平面ADD ′A ′；②正确．实质上是两平面平行的性质定理；③错误．如图中的正方体所示，直线AC 不垂直于平面A ′B ′C ′D ′，但AC ⊥B ′D ′，所以AC 垂直于平面A ′B ′C ′D ′内与直线B ′D ′平行的无数条直线；④正确．利用线面平行的判定定理和性质定理即可得到．

[答案] ②④

16．(2020·河北沧州联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．

[解析] 不妨设点M 、N 在渐近线y ＝b

a x 上，如图，△AMN 为等

边三角形，且|AM |＝b ，

则A 点到渐近线y ＝b a x 的距离为32b ，又将y ＝b

a x 变形为一般形式为bx －ay ＝0，则A (a,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝|ba |a 2

＋b

2

＝

|ab |c ，所以|ab |c ＝32b ，即a c ＝32，

所以双曲线的离心率e ＝c a ＝23

3. [答案]

233