高中数学 随机变量及分布课件

连续型
正 态 分 布
二 项 分 布
超 几 何 分 布
1 、正态曲线的定义：
函数
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
x (,)
如果随机变量X服从正态分布， 则记作 X~ N（ μ，σ2）
3、正态曲线的性质
( x )
y
μ= -1 σ=0.5
X P x1 p1 x2 p2
n
… …
xi pi
… …
xn Pn
注：
(1) pk 0, k 1,2,n; (2) p 1.
k 1 k
二、期望
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
为随机变量X的均值或数学期望，它反映 了离散型随机变量取值的 平均水平 ． 三、方差 (xi－E(X))2pi D(X)＝ ，_________ 为随机变量X的标准差．二者均刻画了随 机变量X偏离其均值E(X) 的 平均偏离程度 ．
”原 “3 则: P( X ) 0.6826, P( 2 X 2 ) 0.9544, P( 3 X 3 ) 0.9974.
题型一.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布
直方图如下图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)， [50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]． (1)求图中x的值以及 频率 组距 学生数学成绩的平均数 0.05 和中位数； (2)以本次成绩为标准 在以后的三个月中每月 x 从这50个同学中抽取一 0.014 0.01 人，若其成绩在80分以 0.006 上则获得奖品一份求获 奖人数 的分布列及期望 0 40 50 60 70 80 90 100 成绩 。
（5） 借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所 表示的意义.
（6）了解回归的基本思想、方法及其简单应用.
（7）了解独立性检验的思想、方法及其初步应用.
一、分布列： 设离散型随机变量X 所有可能取的值为
xk (k 1,2,), X 取各个可能值的概率, 即事件 { X xk } 的概率, 为 P{ X xk } pk , k 1,2,. 称此式为离散型随机变 量 X 的分布列 .
思考：本题应用了那些知识，应该注意 哪些问题? 纵坐标是频率比组距而不是频率 1.频率分布直方图
各矩形面积和为1
2.
1.平均数 2.中位数
3.众数
3.二项分布
P{ X k} Cnk p k (1 p) nk
E(X)＝np D(X)＝n p（1-p）
思考：本题应用了那些知识，应该注意 哪些问题? 1.茎叶图
σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4x
x
（1）曲线与x轴之间的面积为1
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. 1 （3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
（4）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
σ 2π
（2）成绩在80~90内的学生占多少？
0.1587 0.1359
王新敞 特级教师 源头学子小屋
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新疆奎屯
· 2007·
王新敞
奎屯
新疆

最新考纲透析
（1） 会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列. （2）了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用 . （3）了解二项分布及其导出过程，并能进行简单的应用 （4） 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概 念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离 散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.
2.超几何分布
k nk CM CN M P{ X k} n CN nM E(X)＝ N
例3.省少年篮球队要从甲、乙两所体校选拔队员。 现将这两所体校共20名学生的身高绘制成如下茎叶 图（单位：cm）:若身高在180cm以上（包括180cm） 定义为“高个子”身高在180cm以下（不包括180cm ）定义为“非高个子”。 1.用分层抽样的方法从“高个子” 和“非高个子”中抽取5人，如果从这 5人中随机选2人，那么至少有一人是 “高个子”的概率是多少？ 1.若从所有“高个子”中随机 甲队队员 乙队队员 选3名队员，用 7 8 16 6 8 9 表示乙校中选出的 6 7 5 8 17 “高个子”人数，试写出 8 9 7 6 5 3 18 1 6 的分布列和数学期望。
分布律
背景
③ 超几何分布
k n k CM CN M P{ X k } n 设N件产品中 CN
( k 0,1,, l ) l min{ M , n})
n N, M N
源自文库
有M件次品， 从中任取n件， 其中的次品 数为X.
知识梳理 1.随机变量的分类
随机变量 离散型 两 点 分 布
分布律
期望方差
P{ X 0} 1 p
E(X)＝p D(X)＝ p（1-p）
P{ X 1} p
P{ X k }
k k Cn p (1 p ) n k
②
二项分布
X ~B(n ,p) (0<p<1)
E(X)＝np D(X)＝n p（1-p）
( k 0,1,, n)
分布名称
0 19 1 0
思考：本题应用了那些知识，应该注意 哪些问题? 1.2×2列联表
2.独立性检验
k nk CM CN M P{ X k} n CN nM E(X)＝ N
3.超几何分布
例4.随机变量
（1）试求 位于区间(20,40)上的概率是多少？
服从一个正态分布，即
~N(30,100).
S(X,)＝S(-,-X)

正态曲线下的面积规律,对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2

x2 x1
课堂检测
• 1. 设随机变量X～B(n,0.5)，且D(X)＝2，则 事件“X＝1”的概率为______(用数字作答) • [答案]
1 32
例2．如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均 用水量(单位：t)的频率分布直方图．
(1)求直方图中x的值； (2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居 民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4t的居民 数X的分布列和数学期望．
例5、某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正 态分布 N (70,102 ) ，如果规定低于60分为不及格， 求： （1）成绩不及格的人数占多少？
注：
1. Y＝aX＋b，其中a，b为常数，若X是随
机变量，则Y也是随机变量
aE(X)＋b 2.E(aX＋b)＝______________ ，
2D(X) a 3.D(aX＋b)＝_______________．
几类常见的离散型分布 分布名称
① 两点分布 (或 0–1分布)
记号
X ~B(1,p) (0<p<1)
（2）试求 位于区间(40,50)上的概率是多少？
（3）试求 位于区间(-∞,10)上的概率是多少？ （3）试求 位于区间(30, +∞)上的概率是多少？

思考：本题应用了那些知识，应该注意 哪些问题?
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
1 2
e

( x )2 2 2
, x ( , )
y
μ=1
y
μ=0
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0
1 2
x
-3 -2 -1 0
1 2
3
x
-3 -2 -1 0
1
2 3
4x
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
3、正态曲线的性质
y μ= -1 σ=0.5 μ=0 σ=1 -3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 x μ=1 y y
2.某高校进行自主招生面试时的程序如下： 共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5 分(每道题都必须回答，但相互不影响)．设 2 某学生对每道题答对的概率都为 3 ，则该 学生在面试时得分的期望值为________分． [答案] 15
3.（2012年吉林省高考真题）某花店每天以每枝5元的价格从农 场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖 不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润（单位： 元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式； (Ⅱ) 花店记录了100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝）， 整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. （ⅰ）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，表示当天的利润 （单位：元），求的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为 应购进16枝还是17枝？请说明理由.