二次函数与四边形的动点问题(含答案)

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x =

B(0,4) A(6,0)

E F

x

y

O

二次函数与四边形

一．二次函数与四边形的形状

例1. 如图，抛物线2

23y x x =--与x 轴交Ａ、B 两点（Ａ点在B 点左侧），直线

l 与抛物线交于Ａ、Ｃ两点，其中C 点的横坐标为2．

(1)求A 、B 两点的坐标及直线A Ｃ的函数表达式； (２)P 是线段A Ｃ上的一个动点,过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值;

(3）点G 是抛物线上的动点，在ｘ轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．

练习１. ２３．如图，对称轴为直线7

2

x =

的抛物线经过点 A （6,0）和 B(0，4)． (1）求抛物线解析式及顶点坐标；

(２)设点Ｅ(x ，y )是抛物线上一动点,且位于第四象限，四边形OEAF 是以

OA 为对角线的平行四边形.求平行四边形ＯEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围;

①当平行四边形ＯEAF 的面积为24时,请判断平行四边形OEAF 是否为菱形?

②是否存在点E ，使平行四边形OE ＡF 为正方形？若存在，求出点

Ｅ的坐标；若不存在,请说明理由.

A

练习２. 25.如图,已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称,顶点为C '．

(1）求抛物线2l 的函数关系式;

（2)已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？

(３）在2l 上是否存在点M ,使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求

出点M 的坐标;若不存在,说明理由.

练习３.如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是

(40)A -，,(20)B -，，(08)E ，．

（１)求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式; (2)设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧)，顶点为N ,四边形MDNA 的面积为S ．

若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ,点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式,并写出自变量t 的取值范围;

(３）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值;

(4)在运动过程中,四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值;若不能,请说明理由．

5-

4- 3-

2-

1- 1 2 3 4

5

5 4 3 2 1 A E

B

C '

1- O

2l 1l

x y

二.二次函数与四边形的面积

例１． 2５.如图１0，已知抛物线P：y=ａx2+bｘ+c(a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C,矩形ＤEFＧ的一条边DＥ在线段AB上，顶点F、G分别在线段BＣ、ＡC上,

x …-3 -２ 1 2 …

y …-5

2

-4 -

5

2

0 …

（1) 求A、B、C三点的坐标；

(2) 若点D的坐标为(m,0),矩形DEFG的面积为S，求Ｓ与m的函数关系，

并指出m的取值范围;

(３) 当矩形DＥFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M,使F

Ｍ=k·DＦ,若点M不在抛物线P上,求k的取值范围.

练习1.．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点Ｈ的坐标为（-8,0），点N的坐标为（－6，－4)．

（1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OAＢC,并写出顶点A,B，Ｃ的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为Ｂ，点H的对应点为C）;

(2）求出过A,B，Ｃ三点的抛物线的表达式;

(3)截取CE＝OF=AG=m,且Ｅ，F,Ｇ分别在线段CO,OA，AB上,求四边形BＥＦG的面积S与ｍ之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围;面积S是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在,请说明理由;

(4）在（3）的情况下,四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在,请直接写出此时m的值,并指出相等的邻边；若不存在，说明理由.

图10

练习3.如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子.动点P ，Q 同时从点A 出发,点P 沿A B C →→方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿

A D →方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P ，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为2

cm y .

（1）当01x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式; （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值;

（3）当12x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ ∠的变化范围；

（4）当02x ≤≤时,请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象.

练习4．如图,已知抛物线ｌ1：y =ｘ２

-4的图象与x 轴相交于Ａ、C 两点，B 是抛物线l １上的动点（B 不与A 、C 重合),抛物线l 2与l 1关于ｘ轴对称，以ＡC 为对角线的平行四边形ＡＢC Ｄ的第四个顶点为D .

(１) 求ｌ2的解析式;

(２) 求证:点Ｄ一定在l 2上；

（３) □ABC Ｄ能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件,则求此矩形的面积);如果不能为矩形，请说明理由. 注:计算结果不取近似值

.

B

C P

O D Q

A B

P

C

O

D

Q A

y

3

2 1 O

1 2 x