空间任意力系
第五章 空间任意力系
F
C β
α
y
A x1
y1
第五章 空间任意力系
例题6-2
§5–2 力对轴的矩
解： 1.力对轴AB的矩。
M ′ AB (F ) = M B (F )
z B x
例题 5-2 F
C β
α
y
F′
= − F cos β cos α ⋅ BC
= −3.18 N ⋅ m
应用解析式求解力对点B的矩。
M x (F ) = yFx − zFy
第五章 空间任意力系
例题6-1
§5–2 力对轴的矩
例题 5-1
由图示可以求出力F 解： 在各坐标轴上的投影和力 F 作用点C 的坐标分别 为：
Fx = F cos αcos β
Fy = F cos α sin β
Fz = F sin α
x= a = 4 m y= b = 6 m z= c =－3 m
2 2 2
力F 对原点O之矩方向余弦
cos( MO , i ) = Mx = 0.845 MO
cos( MO , j ) =
cos( MO , k ) =
My MO
= −0.531
Mz = 0.064 MO
第五章 空间任意力系
§5–2 力对轴的矩
例题 5-2
例5-2 在轴AB的手柄BC的一端作用着力F，试求这力对轴 AB以及对点B和点A的矩。已知AB=20 cm，BC=18 cm，F=50 N ，且α=45°，β=60°。
第五章 空间任意力系
§5–2 力对轴的矩
由
例题 5-1
M x (F ) = yFx − zFy
My (F ) = zFx − xFz
空间任意力系的平衡
n
n
y
j
[M (F )] k
i 1 O i z
n
F 0 F 0 Fiz 0
ix
iy
M
M
ix
0
M
i 1
n
ix
i
M
i 1
n
iy
j
Mi 1n Nhomakorabeaiz
k
M
iy
0
0
iz
空间任意力系有六个独立平衡方程，可解6个未知量。
平衡方程的解析形式
空间任意（一般）力系的平衡（1）
平衡方程的解析形式
一、空间任意力系的平衡方程
FR 0
MO 0
空间任意力系平衡的充分和必 要条件：力系的主矢和对于任 一点O简化的主矩均等于零。
FR Fixi Fiy j Fiz k
MO
[M (F )] i [M (F )]
例2：重力为P的匀质正方形平台，由六根不计自重的直杆支撑， 在水平力F的作用下保持静止。斜杆与水平面的夹角均为=45°， 试求各杆的力。 解: 设板边长为l 。 F P B F3 0 C Fiy 0 , F3 cos 0 F5 0 M ( F ) 0 , F cos l 0 D AA i 5 A F2 2 F Fix 0 , F2 cos F 0 C’ B’ BD M ( F ) 0 , ( F F sin ) 0 F6 0 AC i 6 5 A’ D’
例1：有一匀质矩形等厚的板，重力P =200N，角A为球铰，另一 端B用铰链（沿轴y向无约束力）与墙壁相连，再用一索EC使板维 持于水平位置。若θ ==30º，试求索内的拉力及A、B两处的约 z 束力。 E 解: 设AD＝CB=b， AB＝CD=l，则 b M y(Fi ) 0, F sin b P 0 B 2 y 得: F =P = 200N A
空间任意力系
2
所以空间任意力系的平衡方程为：
F F F
x y
0, M x F 0 0, M z F 0
0, M y F 0
8
z
空间平行力系的平衡方程，设各力线都 // z 轴。 因为
F 0 M (F ) 0 M (F ) 0
z x y
M F
z
MO
MO
7
§4-2
空间任意力系的条件
一、空间任意力系的平衡充要条件是：
FR
F 0
i
2 2 x y
MO
z
M
2
2
Oi
0
根据：
FR
MO
F F F
M
x (F )
M
2
y (F )
M
z (F )
O x x O y y O z z
大小：
MO
M
x
(F )
M
2
y
(F )
M2zຫໍສະໝຸດ (F )2
6
方向：
M Ox cosM O , i MO cosM O , j M Oy MO
M F
x
M F
y
MO
M Oz cosM O , k MO
空间任意力系的简化
把研究平面任意力系的简化方法拿来研究空间任意力系的
简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。
设作用在刚体上有
空间一般力系
F1 , F2 , F3 Fn
向O点简化 （O点任选）
4
根据力线平移定理：空间任意力系＝＞空间汇交力系+空间
空间任意力系
FC
最大载重Pmax是多少。
Q FB
P
D
解: 取起重机为研究对象
A
B,C
My(F)0, FAaco3s0Qa3co3s0Pclos0
MC'x(F)0,
a FA2
FBaQa2P(a2lsin)0
y C
x’
Fz 0, FAFBFCPQ0
A
ED
x
解得: FA=19.3kN， FB=57.3kN， FC=43.4kN
d O1
O
MO MO cos MO MO sin
d MO MO sin
FR
FR
一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋
(4) 空间任意力系平衡的情形
● F′R=0，MO=0
2019/11/15
原力系平衡
内容回顾
空间力系的简化与合成
主矢
主矩
最后结果
说
明
FR′ = 0
MO = 0 MO≠0
§5-5 空间任意力系的平衡条件及其应用
1、平衡条件及平衡方程：
平衡条件：
由平衡力系定理可知，空间一般力系平衡的充要条件：力 系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：
平衡方程：
FR Fi 0
M O M O i 0
由主矢与主矩的计算式，有
F R (F x F x i )0 2 i, (F F yy ) i2 i0 ,(F F zz i )i2 0
② 空间任意力系的平衡条件及其应用；
2019/11/15
§5-4 空间任意力系的简化
1. 空间力线平移定理
作用于刚体的力 F 可等效地平移到刚体上的任一点O， 但须附加一力偶，此附加力偶矩 矢M 等于原力对平移点O 的力矩矢MO（F）。
第5章 空间任意力系
求： （5）O 处约束力
研究对象2：工件受力图如图,列平衡方程
F
x
0
FOx Fx 0
F
F
y
0
FOy Fy 0
z
x
0
FOz Fz 0
100FZ M x 0
30 FZ M y 0
100Fx 30 Fy M z 0
M F 0 M F 0
y
M F 0
z
FOx 4.25kN, FOy 6.8kN, FOz 17kN
M x 1.7kN m, M y 0.51kN m, M z 0.22kN m
例5-5
已知：F、P及各尺寸
求： 杆内力
解：研究对象，长方板,列平衡方程
M 0
平衡
§5-2 空间任意力系的平衡方程
1.空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件： 该力系的主矢、主矩分别为零.
F
x
0
0
F
y
0
y
F
z
0
z
M
x
M
0
M
0
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴 中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一 个坐标轴的矩的代数和也等于零.
列平衡方程
F 0 P P1 FA FB FD 0 M F 0 0.2P1 1.2P 2FD 0
z
x
M F 0
y
0.8P 1 0.6 P 1.2 FB 0.6 FD 0
FD 5.8kN, FB 7.777kN, FA 4.423kN
5 理论力学--空间任意力系
FAy My
y
x
Mx A FAx
图5-8
因此，按照空间任意力系简化理论，将固定端处 的约束力向固定端点A处简化，得到一个力和一个力 偶。 这个力的大小和方向不能确定，所以用三个正交 的分力来表示；这个力偶的大小和方向也不能确定， 也用三个正交的分量表示。
5.3 空间任意力系的平衡方程
A
Fy 0
列平衡方程
F F4 cos 0 F2 cos a F a 0
F3
y
x
O x MO
F2
y
主矢 的大小和方向余弦分别为
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
图5-5
, cos(FR , k )
cos( FR , i )
F
FR
x
, cos(FR , j )
F
FR
y
F
FR
z
空间力偶系可合成为一个力偶
5.3.1 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系的 主矢和对任意一点的主矩均等于零。
M O M O (F ) 0 FR F 0
空间任意力系的平衡方程
F 0 F 0 其中包含有三个投影方程和三个 F 0 力矩方程，共计6个独立方程，可 M (F ) 0 解6个未知量。 M (F ) 0 M (F ) 0
O
M (F ) ,k M
z O
结 论
空间任意力系向任一点简化后，一般得到一个 力和一个力偶 。 这个力作用于简化中心，其力矢等于原力系的主矢。 这个力偶的力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩。 空间任意力系的主矢与简化中心的位置无关，而 主矩一般随简化中心位置的改变而改变，与简化中心 的位置有关。
空间任意力系
Mz bF cos sin F cos cos 8 N m
MO
M x2
M
2 y
M
2 z
124.3 N m
32
第33页/共68页
例题
空间任意力系
例题2
力F 对原点O之矩方向余弦：
cos( MO , i)
Mx MO
0.845
cos( MO ,
j)
My MO
0.531
力。
48
第49页/共68页
例题
空间任意力系
例题7
z
FA
FB
O1
E
M
D
x
O2
G
FC
y
解：
1.取货车为研究对象，受力分析如
图。
2.列平衡方程。
O3
Fz 0, FA FB FC G 0
Mx 0, FC O3D G EM 0
3.联立求解。
M y 0, G O1E FC O1D FB O1O2 0
动画
第5章 空间任意力系
空间力系向任一点的简化
9
第10页/共68页
动画
第5章 空间任意力系
空间力系向任一点的简化意义
10
第11页/共68页
动画
第5章 空间任意力系
力线平移实例
11
第12页/共68页
动画
第5章 空间任意力系
力线平移实例
12
第13页/共68页
动画
第5章 空间任意力系
主矢F'R≠0 ，主矩 MO≠0 ， 若 主 矢 F'R 垂 直 于 主矩MO ，则原空间任意力 系合成为一个力FR。
M y F zFx xFz
空间任意力系
′ FR = 0, M O = 0
{
∑ X = 0, ∑ Y = 0, ∑ Z = 0 ∑ M ( F ) = 0, ∑ M ( F ) = 0, ∑ M ( F ) = 0
x y z
对于空间平行力系，
z
∑Z =0 ∑ M (F ) = 0 ∑ M (F ) = 0
x y
O
y
x
6.5.3 重心 刚体在地表面无论如何放置，其平行分布重力的 合力的作用线都过此物体上一个确定的点，该点称为 物体的重心。 均质物体的重心位置只取决于其体积和形状,与 物体的几何中心重合，也称为形心，形心坐标的计 算公式为，
FCy
FCx
− FAy • 5 + FAx • 5 = 0
C
FAy
5
FAx
FAx = 0
A
5
∑ X = 0, ∑ Y = 0,
FCx + F1 + FAx = 0
FAy + FCy = 0
FCx = −50kN
FCy = 0
对整体：∑ X = 0,
− FBx + F1 = 0
FBx = 50kN
4-16（b）：求A、B、C约束反力。
i =1 i =1 i =1
n
n
n
合力矩定理：
若空间任意力系可以合成为一个合力，则其 合力对于任一点（或轴）之矩等于力系中各力对 于同一点（或轴）之矩的矢量和（或代数和）。 表示为，
M O ( FR ) = ∑ M O ( Fi )
n
M e ( FR ) = ∑ M e ( Fi )
i =1
i =1 n
(2) 负面积法 将图形补足成一 规则的矩形，则：
第四章 空间任意力系x
第一节 空间任意力系的简化
得到：
FRx Fix , FRy Fiy , FRz Fiz
（4-5）
而Ｆ的大小及方向余弦为：
2 2 2 FR FRx FRy FRz FRy FRx cos( FR , x) , cos( FR , y ) (4-6) FR FR FRz cos( FR , z ) FR
FR = F1 + F2 + + Fn = Fi
(4-1)
附加力偶系可合成为一个力偶，力偶矩ＭO等于各附 加力偶矩的矢量和，即MO=M１+M2+……+Mn，亦即等于 原力系中各力对于简化中心的矩的矢量和
M0 M01 M02 M0n M0i
(4-2)
矢量 FR = Fi称为原力系的主矢量，矢量 M 0 称为原力系对于简化中心Ｏ的主矩。
第一节 空间任意力系的简化
3、空间任意力系简化为一合力螺旋
若FR≠０，MO≠０，且MO 与FR 不相垂直，如图 （4-3a） ，则可用下述方法进一步简化。
图4-3
力 螺 旋
第一节 空间任意力系的简化
将MO 分解为垂直于FR 的M1 和平行于FR 的MR。
因M1 所代表的力偶与力 FR 位于同一平面V（⊥ M1）
即:
FR＝０，MO＝０
（4-15）
第二节 空间任意力系的平衡条件 平衡方程
过O点取直角坐标系Oxyz，上述条件可用代数方 程表示为：
F 0, F 0, F 0 M 0, M 0, M 0
ix iy iz ix iy iz
（4-16）
第二节 空间任意力系的平衡条件 平衡方程
理论力学空间任意力系
(M
zi
)2
cos(M , i) M x cos(M , j) M y cos(M , k) M z
M
M
M
平衡条件
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :
M 0合力偶矩矢等于零
M ( M xi )2 ( M yi )2 (M zi )2
平衡方程
M ix M iy
0 0
M iz
M 2 M 2 sin
j M 2 cos
k
3 5
F
20.2
j
4 5
F
20.2k
合力偶矩矢 M M1 M 2 60i 12 j 16k
大小： M 602 122 162 63.25(N m)
（1）研究多个力偶的合成或力偶系的平衡，只要用力偶矩矢 进行运算即可；
（2）求合力偶矩矢时，一般只需求得其沿各坐标轴的分量即可。 也可进一步分析合力偶矩矢的大小及其方位角。
力与轴平行或与轴相交——即力与轴在同一平面内 时，力对该轴的矩为零。
Mz (F ) MO (Fxy) Fxy d M z (F) Mo (Fxy ) Fxy h
力对轴之矩等于力在该轴垂直面上的投影对该轴和 投影面的交点之矩
3、力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系
r
r
rrr
已知：力 F及r 力 F在三根坐标轴上的分力 ，Fx ，Fy， Fz
四、空间任意力系
1、空间任意力系向一点的简化
F1 F1 , F2 F2 , , Fn Fn M1 MO (F1), M2 MO (F2 ), , Mn MO (Fn )
n
FR F1 F2 F3 F1 F2 F3 Fi i 1 n
M O M1 M 2 M 3 M O F1 M O F2 M O F3 M O Fi
理论力学第5章-空间任意力系
100
z
100
FAz
A y
F
FAx
x
100 FBz
B
（
C
a
FBx
）
G
D
b
F2 F1
解： 取整体为研究对象。
列平衡方程
M y(F) 0
G
D 2
F1
d 2
F2
d 2
0
Mx (F) 0 200FBz 300F1 cos 300F2 cos b 100G 0
(4) FR 0
且 MO 0
FR MO
可进一步简化。
MO O
FR
O FR d FR
O1
FR
O d FR
O1
原力系合成为合力 ，合力矢等于原力系的主矢，
其作用线距简化中心的距离为
d MO FR
由上述分析可知 MO MO (FR ) 而 MO MO(F )
由此得
MO (FR ) MO (F)
F2 200 kN FAz 446.41kN
FBx 1189.23kN FBz 919.62 kN
由于 Fy 0 ，因此本例题只有5个独立的平衡方程。
5.4 平行力系中心 、重心 5.4.1 平行力系中心
设在刚体上的A、B两点，分别作用有同向平行力
F1和F2，。利用平面任意力系的简化理论，可求得它们
5.1.3 力矩关系定理
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O (Fy ) xFy yFx
同理得
M x (F ) yFz zFy
空间任意力系的简化
又 R ' ( X ) 2 ( Y ) 2 ( Z ) 2
M O ( m x ( F )) 2 ( m y ( F )) 2 Байду номын сангаас( m z ( F )) 2
所以空间任意力系的平衡方程为：
空间平行力系的平衡方程，设各力线都 // z 轴。 因为 mz ( F ) 0 Z 0 X 0 m x ( F ) 0 Y 0 m y ( F ) 0
均成为了恒等式。
2、空间约束
观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能 的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。
阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。[例]
1）球形铰链 （前面讲过）
球形铰链
2）向心轴承，滚珠(柱)轴承
绕x和z轴的转动 也同时被约束。
3）滑动轴承
4）止推轴承
第9页，加 两个绕轴 转动的约 束。
5）带有销子的夹板
6）空间固定端
作业：
自学教材例题5-1~5-4.
X 0,m x ( F ) 0 Y 0,m y ( F ) 0 Z 0,m z ( F ) 0
还有四矩式，五矩式和六矩式， 同时各有一定限制条件。
空间汇交力系的平衡方程为：
X 0 Y 0 Z 0
因为各力线都汇交于一点，各轴都通过 该点，故各力矩方程都成为了恒等式。
第五章 空间任意力系
§5-1 空间任意力系的简化
与平面任意力系的简化原理（力的平移定 理）相同，空间任意力系也可以简化为一个主 失和一个主矩。但是由于主矩和主失不在同一 平面，所以不能进一步简化为一个合力。 应当注意，主失仍然与简化中心无关；主矩
空间任意力系
mz(F)= - 62P/5; mz(F)= 62P/5; mz(F)= 0; mz(F)= 0;
x
5
y
P 4
3
p.4
理论力学
理论力学
力对轴之矩与力对点之矩的关系 z
F
MO
M
M
y
OX
M
X
(F )
O
OY
M Y (F )
r x
M
Oz
M z (F )
力对点之矩在通过该点的任一轴上的投影，等于该力对此轴的矩
1
A2
1 C
O 1
4
A3 x
A1 x 1 A 2 x 2 A 3 x 3 A1 A 2 A 3 A1 y 1 A 2 y 2 A 3 y 3
A1 A 2 A 3
2 2
2
0 . 25 cm
3
1 . 25 cm
负质量（负面积）法
A1 20 cm A 2 4 cm
p.17
理论力学
理论力学
例10.热轧不等边角钢的截面近似的简化如图所示，已知 B=12cm，b=8cm，d=1.2cm；求该截面重心的位置。
y d
解: (1) 将截面分成两个矩形，面积和 重心分别为：
C1 C C2 d
B
A1 1 . 2 12 14 . 4 cm , x 1 0 . 6 cm , y 1 6 cm
P V
v x V
v y PV
zc
v z V
均质薄板
xc
v A d
A x A
V Ad
yc
空间任意力系
Mo Mx (F)i M y (F) j Mz (F)k
式中，各分别表示各 Mx (F), M y (F), Mz (F)力
对 x，y，z ,轴的矩。
12
FRx —有效推进力
FRy —有效升力 FRz —侧向力
MOx —滚转力矩
力偶矩 M rBA F
Mo (F, F) Mo (F) Mo (F) rA F rB F
因 F F
Mo (F, F) (rA rB ) F M
5
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转， 且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的 作用效果不变.
1
方向余弦
cos(FR , i )
Fx FR
cos(FR ,
j)
Fy FR
cos(FR ,k Nhomakorabea)
Fz FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点.
知识要点回顾
空间汇交力系的平衡条件
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
Fx 0 Fy 0
称为空间汇交力系的平衡方程.
=
=
=
M
(
F1 ,
F1)
rBA
F1
M (FR , FR) rBA FR rBA (F1 F2 )
rBA F1 rBA F2 rBA F1 M (F1, F1)
6
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另 一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变.
05 空间任意力系[37页]
![05 空间任意力系[37页]](https://img.taocdn.com/s3/m/94b7afaff78a6529647d53f4.png)
主矢：
FR F1 F2 Fn F
主矢的大小： FR Fx 2 Fy 2 Fz 2
主矢的方向余弦：
cosa
Fx FR
cos
Fy FR
cos
Fz FR
5.2 空间任意力系的简化
主矩： MO MO F1 MO F2 MO Fn MO F
主矩的投影：
MOx MO F1 x MO F2 x MO Fn x
Mx F1 Mx F2 Mx Fn Mx F
同理： MOy M y F
MOz Mz F
主矩大小： MO
主矩方向余弦：
cosa M x F MO
Mx F 2 M y F 2 Mz F 2
cos M y F MO
5.2 空间任意力系的简化
（4）主矢 FR 0 ，主矩 MO 0，且 FR MO
MO
O
FR
FR = FR = FR FR
O
d FR
d=
MO
FR
O1
FR
d O1
O
FR
原力系最终简化为一合力。合力的作用线通过 O1。
合力对 O 点的矩矢 MO FR FRd 对 O 点的主矩 MO MO F
B
O
F1
A F2 C
MO F r F
5.1 力对点的矩矢
MO F r F
MO F F r sina Fd
垂直于 F 和 r 所确定的平面 指向由右手螺旋法则 确定
z MO(F)
j
r
x
iO d
k
B
aF A（x, y, z） y
r xi yj zk
F Fxi Fy j Fzk
x
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第四章 空间任意力系[习题4-1] 柱子上作有着1F 、2F 、3F 三个铅直力，已知kN F 801=，kN F 602=，kN F 503=，三力位置如图4-14所示。
图中长度单位为mm ，求将该力系向O 点简化的结果。
解:主矢量: )(190506080kN F F Rz R -=----== （↓）方向余弦:[习题4-2] 求图4-15所示平行力系合成的结果(小方格边长为mm 100)。
解:主矢量: 0712937=++---=++++=D C B A O R F F F F F F主矩: 方向余弦:[习题4-3] 平板OABCD 上作用空间平行力系如图4-16所示，问x 、y 应等于多少才能使该力系合力作用线过板中心C 。
解: 主矢量：y200由合力矩定理可列出如下方程：[习题4-4] 一力系由四个力组成，如图4-17所示。
已知F 1＝60Ｎ，F 2＝400Ｎ，F 3＝500Ｎ，F 4＝200Ｎ，试将该力系向Ａ点简化(图中长度单位为mm)。
解：[习题4-5] 一力系由三力组成，各力大小、4-18。
A的坐标(图中力的单位为Ｎ，长度单位为mm)。
解：力系向A 点简化的结果：令：0]30)64030(2)50)(508(2[21=⋅-++--=∂∂y x x ux M A 令：u y x x y M M A A =-++-+-==→222)64030()508()1050(|| 故，当)149,119(A 时，A M 可取得最小值。
最小值为：[习题4－6] 起重机如图4-19所示。
已知AD ＝DB ＝１ｍ，CD ＝1.5ｍ，CM ＝１ｍ；机身与平衡锤E 共重kN W 1001=，重力作用线在平面LMN ，到机身轴线的距离为0.5ｍ；起重量kN W 302=。
求当平面LMN 平行于AB 时，车轮对轨道的压力。
解：因为起重机平衡，所以：70=-A B N N ..................(1) 667.86=+B A N N (2)(1)+(2)得：[习题4－7] 已知如图4-20所示，有一均质等厚的板，重200Ｎ，角A 用球铰，另一角B 用铰链与墙壁相连，再用一索EC 维持于水平位置。
若∠ECA ＝∠BAC ＝３０°，试求索内的拉力及A 、B 两处的反力（注意：铰链B 沿y 方向无约束力）。
解：由板的平衡条件可知：[习题4－8] 手摇钻由支点B 、钻头A 和一个弯曲手柄组成。
当在B 处施力B F 并在手柄上加力F 时，手柄恰可以带动钻头绕AB 转动（支点B 不动）。
已知：B F 的铅直分量Bz F ＝50Ｎ，F ＝150Ｎ。
求： （１）材料阻抗力偶Ｍ为多大?（２）材料对钻头作用的力Ax F 、Ay F 、Az F 为多大? （３）力B F 在ｘ、ｙ方向的分力Bx F 、By F 为多大? 解：[习题4－9] 矩形板固定在一柱子上，柱子下端固定。
板上作用两集中力1F 、2F 和集度为q 的分布力。
已知1F ＝2ｋＮ，2F ＝4ｋＮ，ｑ＝400Ｎ／ｍ。
求固定端Ｏ的约束力。
解：[习题4－10] 板ABCD 的A 角用球铰支承， B 角用铰链与墙相连（ｘ向无约束力），AzR AyR AxR BzR BzR ET ByR Bz R Bx R AyR A T WD1N 2N 3N 4N 5N 6N F AB CDγ45aaaxyz CD 中点E 系一绳，使板在水平位置成平衡，GE 平行于ｚ轴。
已知板重1F ＝8ｋＮ，2F ＝2ｋＮ，试求A 、B 两处的约束力及绳子的张力。
图中长度单位为m 。
解：0)(=∑i x F M[习题4－11] 均质杆AB ，重W ，长l ，A 端靠在光滑墙面上并用一绳AC 系住，AC 平行于ｘ轴， B 端用球铰连于水平面上。
求杆A 、B 两端所受的力。
图中长度单位为m 。
解：[习题4－12] 扒杆如图所示，竖柱AB 用两绳拉住，并A 在点用球铰约束。
试求两绳中的拉力和A 处的约束力。
竖柱AB 及梁CD 重量不计。
解：[习题4－13] 正方形板ABCD 由六根连杆支承如图。
在A 点沿AD 边作用水平力F 。
求各杆的内力。
板自重不计。
解：F F N 732.134-=-= （拉力）F N 41.12= （压力）F F F F N N N 82.222232332245-=-=-⋅-=-⋅-= （拉力）F F N N 22/222/56==-=（压力）F N N 261-=-= （拉力）ABOC45θθd •RF D Cx yz'y AyM AxM AZ R Oxy1C 2C 3C C 202020020015020IIIIII[习题4－14] 曲杆ABC 用球铰A 及连杆CI 、DE 、GH 支承如图，在其上作用两个力1F 、2F 。
1F 力与ｘ轴平行，2F 铅直向下。
已知1F ＝300Ｎ，2F ＝600Ｎ。
求所有的约束力。
解：)(990N N G -= (拉力))(200)990(566.0360566.0360N N N G C -=-⨯+=+= （拉力）[习题4-15] 一悬臂圈梁如图4-28所示，其轴线为m r 4=的41圆弧。
梁上作用着垂直匀布荷载m kN q /2=。
求该均布荷载的合力及其作用线位置，并求固定端A的支座反力及反力偶矩。
解：合力的大小：如图所示，根据对称性，R F 的作 用点在OD 线上。
A 支座为固定端支座。
一般有六个约束 反力分量。
从AB 的受力情况可知：)(32548.256.12m kN x F M C R Ax ⋅=⨯==。
方向如图所示。
)(237.18)548.24(56.12)(m kN x r F M C R Ay⋅=-⨯=-=。
方向如图所示。
)(6.1256.12kN F R R Az ≈==。
方向与正z 方向一致。
[习题4－16] 求下列面积的形心。
（ａ）、（ｂ）两图长度单位为ｍｍ；（ｃ）、（ｄ）、（ｅ）、（ｆ）各图长度单位为ｍ。
[习题4－16(a)]解: ∑∑===3131i ii cii C AxA x ，∑∑===3131i ii cii C AyA y 。
习题2-19(a)解：给正方形编码为1，四分之一圆为2。
则 )50,50(1C ，22110000100mm A ==)(6.77519.77785010000463.42785050100002121mm AxA x i ii cii C ≈=-⨯-⨯==∑∑==，[习题4－16(c)]解：建立如图所示的坐标系。
把图形分为 如图所示的三块。
)25.0,75.0(1C ，2175.05.05.1m A =⨯= )25.1,6.0(2C ，222.18.05.1m A =⨯= )1,1.1(3C ，23225.05.13.021m A =⨯⨯=x314-图[习题4－16(d)]解：建立如图所示的坐标系。
组合图形的形心坐标为： [习题4－16(e)]解：建立如图所示的坐标系。
把图形划分为五个规则图形。
)(23312121m A =⨯⨯=, )33,32(1C )(23312123m A =⨯⨯=, )33,310(3C )(57.1114.321224m A -=⨯⨯-= )314,2(4π⨯C 即：)425.0,2(4C[习题4－16(f)][习题4-17] 振动打桩机偏心块如图4-30所示，已知mm R 100=，mm r 171=，个圆孔，其位置如图4-31所示。
为使重心仍在圆板的O 处，须在半径为R 的圆周线上再钻一个孔，试确定该孔的位置及孔的半径。
解：设添加的孔的半径为1r ，孔中心坐标为),(111y x C 。
把孔的面积设想成力，因添加孔后，木板平衡，所以有：08.265040.0arctan ≈=θ（如图所示）r r 33.11≈（添加孔的半径）。
[习题4-19] 两混凝土基础尺寸如图4-32所示，试分别求其重心的位置坐标。
图中长度单位为m 。
[习题4-19(a)]解：从x 轴的正向看去，划分为三个六面体，从前至后，依次编号为1、2、3。
)(051.26.192.403131m VxV x i ii cii C ≈==∑∑==，)(153.16.196.223131m VyV y i ii cii C ≈==∑∑== [习题4-19(b)]解：从左至右，划分为两个六平体，一个四面体。
从左至右，依次编号为1、2、3。
)(481.0875.434375.23131m VxV x i ii cii C ≈==∑∑==，)(654.1875.40625.83131m VyV y i ii ciiC ≈==∑∑==， )(692.0875.4375.33131m VzV z i ii ciiC ≈==∑∑==。