空间任意力系

第四章 空间任意力系
[习题4-1] 柱子上作有着1F 、2F 、3F 三个铅直力，已知kN F 801=，kN F 602=，
kN F 503=，三力位置如图4-14所示。

图中长度单位为mm ，求将该力系向O 点简
化的结果。

解:
主矢量: )(190506080kN F F Rz R -=----== （↓）
方向余弦:
[习题4-2] 求图4-15所示平行力系合成的结果(小方格边长为mm 100)。

解:
主矢量: 0712937=++---=++++=D C B A O R F F F F F F
主矩: 方向余弦:
[习题4-3] 平板OABCD 上作用空间平行力系如图4-16所示，问x 、y 应等于多少才能使该力系合力作用线过板中心C 。

解: 主矢量：
y
200由合力矩定理可列出如下方程：
[习题4-4] 一力系由四个力组成，如图4-17所示。

已知F 1＝60Ｎ，F 2＝400Ｎ，F 3＝500Ｎ，F 4＝200Ｎ，试将该力系向Ａ点简化(图中长度单位为mm)。

解：
[习题4-5] 一力系由三力组成，各力大小、4-18。

A
的坐标(图中力的单位为Ｎ，长度单位为mm)。

解：
力系向A 点简化的结果：
令：
0]30)64030(2)50)(508(2[21
=⋅-++--=∂∂y x x u
x M A 令：u y x x y M M A A =-++-+-==→
222)64030()508()1050(|| 故，当)149,119(A 时，A M 可取得最小值。

最小值为：
[习题4－6] 起重机如图4-19所示。

已知AD ＝DB ＝１ｍ，CD ＝1.5ｍ，CM ＝１ｍ；机身与平衡锤E 共重kN W 1001=，重力作用线在平面LMN ，到机身轴线的距离为0.5ｍ；起重量kN W 302=。

求当平面LMN 平行于AB 时，车轮对轨道的压力。

解：因为起重机平衡，所以：
70=-A B N N ..................(1) 667.86=+B A N N (2)
(1)+(2)得：
[习题4－7] 已知如图4-20所示，有一均质等厚的板，重200Ｎ，角A 用球铰，另一角B 用铰链与墙壁相连，再用一索EC 维持于水平位置。

若∠ECA ＝∠BAC ＝３０°，试求索内的拉力及A 、B 两处的反力（注意：铰链B 沿y 方向无约束力）。

解：由板的平衡条件可知：
[习题4－8] 手摇钻由支点B 、钻头A 和一个弯曲手柄组成。

当在B 处施力B F 并在手柄上加力F 时，手柄恰可以带动钻头绕AB 转动（支点B 不动）。

已知：B F 的铅直分量Bz F ＝50Ｎ，F ＝150Ｎ。

求： （１）材料阻抗力偶Ｍ为多大?
（２）材料对钻头作用的力Ax F 、Ay F 、Az F 为多大? （３）力B F 在ｘ、ｙ方向的分力Bx F 、By F 为多大? 解：
[习题4－9] 矩形板固定在一柱子上，柱子下端固定。

板上作用两集中力1F 、2F 和集度为q 的分布力。

已知1F ＝2ｋＮ，2F ＝4ｋＮ，ｑ＝400Ｎ／ｍ。

求固定端Ｏ的约束力。

解：
[习题4－10] 板ABCD 的A 角用球铰支承， B 角用铰链与墙相连（ｘ向无约束力），
Az
R Ay
R Ax
R Bz
R Bz
R E
T By
R Bz R Bx R Ay
R A T W
D
1
N 2
N 3
N 4
N 5
N 6N F A
B C
D
γ
45
a
a
a
x
y
z CD 中点E 系一绳，使板在水平位置成平衡，GE 平行于ｚ轴。

已知板重1F ＝8ｋＮ，2F ＝2ｋＮ，试求A 、B 两处的约束力及绳子的张力。

图中长度单位为m 。

解：0)(=∑i x F M
[习题4－11] 均质杆AB ，重W ，长l ，A 端靠在光滑墙面上并用一绳AC 系住，AC 平行于ｘ轴， B 端用球铰连于水平面上。

求杆A 、B 两端所受的力。

图中长度单位为m 。

解：
[习题4－12] 扒杆如图所示，竖柱AB 用两绳拉住，并A 在点用球铰约束。

试求两绳中的拉力和A 处的约束力。

竖柱AB 及梁CD 重量不计。

解：
[习题4－13] 正方形板ABCD 由六根连杆支承如图。

在A 点沿AD 边作用水平力F 。

求各杆的内力。

板自重不计。

解：
F F N 732.134-=-= （拉力）
F N 41.12= （压力）
F F F F N N N 82.22223
233
2245-=-=-⋅
-=-⋅
-= （拉力）
F F N N 22/222/56==-=（压力）
F N N 261-=-= （拉力）
A
B
O
C
45θθ
d •R
F D C
x y
z
'y Ay
M Ax
M AZ R O
x
y
1
C 2
C 3
C C 20
20
200
200
150
20
I
II
III
[习题4－14] 曲杆ABC 用球铰A 及连杆CI 、DE 、GH 支承如图，在其上作用两个力1F 、
2F 。

1F 力与ｘ轴平行，2F 铅直向下。

已知1F ＝300Ｎ，2F ＝600Ｎ。

求所有的约束
力。

解：
)(990N N G -= (拉力)
)(200)990(566.0360566.0360N N N G C -=-⨯+=+= （拉力）
[习题4-15] 一悬臂圈梁如图4-28所示，其轴线为m r 4=的4
1
圆弧。

梁上作用着垂直匀布荷载m kN q /2=。

求该均布荷载的合力及其作用线位置，并求固定端A
的支座反力及反力偶矩。

解：合力的大小：
如图所示，根据对称性，R F 的作 用点在OD 线上。

A 支座为固定端支座。

一般有六个约束 反力分量。

从A
B 的受力情况可知：
)(32548.256.12m kN x F M C R Ax ⋅=⨯==。

方向如图所示。

)(237.18)548.24(56.12)(m kN x r F M C R Ay
⋅=-⨯=-=。

方向如图所示。

)(6.1256.12kN F R R Az ≈==。

方向与正z 方向一致。

[习题4－16] 求下列面积的形心。

（ａ）、（ｂ）两图长度单位为ｍｍ；（ｃ）、（ｄ）、（ｅ）、（ｆ）各图长度单位为ｍ。

[习题4－16(a)]
解: ∑∑===
3
1
3
1i i
i ci
i C A
x
A x ，∑∑===
3
1
3
1i i
i ci
i C A
y
A y 。

习题2-19(a)
解：给正方形编码为1，四分之一圆为2。

则 )50,50(1C ，22110000100mm A ==
)(6.77519.777850
10000463
.42785050100002
1
2
1mm A
x
A x i i
i ci
i C ≈=-⨯-⨯=
=
∑∑==，
[习题4－16(c)]
解：建立如图所示的坐标系。

把图形分为 如图所示的三块。

)25.0,75.0(1C ，2175.05.05.1m A =⨯= )25.1,6.0(2C ，222.18.05.1m A =⨯= )1,1.1(3C ，23225.05.13.02
1
m A =⨯⨯=
x
31
4-图[习题4－16(d)]
解：建立如图所示的坐标系。

组合图形的形心坐标为： [习题4－16(e)]
解：建立如图所示的坐标系。

把图形划分为五个规则图形。

)(23312121m A =⨯⨯=
, )3
3,32(1C )(23312123m A =⨯⨯=
, )3
3,310(3C )(57.1114.321224m A -=⨯⨯-= )314,2(4π⨯C 即：)425.0,2(4C
[习题4－16(f)]
[习题4-17] 振动打桩机偏心块如图4-30所示，已知mm R 100=，mm r 171=，
个圆孔，其位置如图4-31所示。

为使重心仍在圆板的O 处，须在半径为R 的圆周线上再钻一个孔，试确定该孔的位置及孔的半径。

解：
设添加的孔的半径为1r ，孔中心坐标为
),(111y x C 。

把孔的面积设想成力，因添加孔后，木板平衡，所以有：
08.265040.0arctan ≈=θ（如图所示）
r r 33.11≈（添加孔的半径）。

[习题4-19] 两混凝土基础尺寸如图4-32所示，试分别求其重心的位置坐标。

图中长度单位为m 。

[习题4-19(a)]
解：从x 轴的正向看去，划分为三个六面体，从前至后，依次编号为1、2、3。

)(051.26
.192.403
1
3
1
m V
x
V x i i
i ci
i C ≈==
∑∑==，)(153.16
.196
.223
1
3
1m V
y
V y i i
i ci
i C ≈=
=∑∑== [习题4-19(b)]
解：从左至右，划分为两个六平体，一个四面体。

从左至右，依次编号为1、2、3。

)(481.0875
.434375
.23
1
3
1m V
x
V x i i
i ci
i C ≈=
=
∑∑==，
)(654.1875
.40625
.83
1
3
1m V
y
V y i i
i ci
i
C ≈=
=
∑∑==， )(692.0875
.4375
.33
1
3
1m V
z
V z i i
i ci
i
C ≈=
=
∑∑==。