向量知识点题型归纳

专题--平面向量

1.向向量的相关概念、、

2.向量的线性运算

二．向量的表示方法：

1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；

3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如

（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =______ （答：1322

a b -）； （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-=

C. 12(3,5),(6,10)e e ==

D. 1213(2,3),(,)24

e e =-=- （答：B ）；

（3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____

（答：24

33

a b +）；

（4）已知A B C ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→

−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是

（答：0）

四．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：

()()1,2a a λλ=当λ>0时，λ的方向与的方向相同，当λ<0时，λ的方向与的方向相反，当λ

＝0时，0a λ=，注意：λ≠0。 五．平面向量的数量积：

1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=

()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝

2

π

时，，垂直。

2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做与的

数量积（或内积或点积），记作：∙，即∙＝cos a b θ。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如

（1）△ABC 中，3||=−→

−AB ，4||=−→

−AC ，5||=−→

−BC ，则=⋅BC AB _________ （答：－9）； （2）已知1

1(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为

4

π

，则k 等于___（答：1）； （3）已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____ ； （4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____（答：30） 3．在上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。如

已知3||=→

a ，5||=→

b ，且12=⋅→

→b a ，则向量→

a 在向量→

b 上的投影为______ （答：5

12

） 4．a ∙b 的几何意义：数量积a ∙b 等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。

5．向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥⇔∙=；

②当，同向时，∙＝a b ，特别地，2

2

2

,a a a a a a =∙==

；

当与反向时，∙＝－a b ；当θ为锐角时，a ∙b ＞0，且 a b 、

不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a ∙b ＜0，且 a b 、

不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件； ③非零向量，夹角θ的计算公式：cos a b

a b θ∙=；④||||||a b a b ∙≤。如 （1）已知)2,(λλ=→

a ，)2,3(λ=→

b ，如果→

a 与→

b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______ （答：43

λ<-

或0λ>且1

3λ≠）；

（2）已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→

−−→−FQ OF ，若2

3

21<

−−→−FQ OF ,夹角θ的取值范围是_________

（答：(

,)43

ππ

）

； 六．向量的运算： 1．几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==，那么向量AC 叫做a 与b 的和，即

a b AB BC AC +=+=；

②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如

（1）化简：①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____ （答：①AD ；②CB ；③0）；

（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____

（答：）；

（3）若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为____

（答：直角三角形）； （4）若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||

||

AP PD λ=，则λ的值为___ （答：2）；

（5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC △的内角C 为____（答：120）； 2．坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则： ①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。如

已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=，则合力123F F F F =++的终点坐标是 （答：（9,1））

②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。

③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如 设(2,3),(1,5)A B -，且13AC AB =

，3AD AB =，则C 、D 的坐标分别是_____（答：11

(1,),(7,9)3

-）

； ④平面向量数量积：1212a b x x y y ∙=+。 ⑤向量的模：2

22222||,||a x y a a x y =

+==+。如

已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____ ； ⑥两点间的距离：若()(

)1122,,,A x y B x y ，则||AB =。

七．向量的运算律：

1．交换律：a b b a +=+，()

()a a λμλμ=，a b b a ∙=∙；

2．结合律：()(),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+，()()()a b a b a b λλλ∙=∙=∙；

3．分配律：()(),a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+，()

a b c a c b c +∙=∙+∙。 如

下列命题中：① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③ 2

()a b →→

-2

||a →

= 2

2||||||a b b →→→

-⋅+；

④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→

b ；⑤若,a b

c b ⋅=⋅则a c =；⑥22

a a =；⑦2

a b b

a

a

⋅=

；⑧2

2

2()a b a b ⋅=⋅；⑨2

2

2()2a b a a b b -=-⋅+。其中正确的是_____（答：①⑥⑨）

提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同

乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即c b a c b a )()(∙≠∙，为什么 八．向量平行(共线)的充要条件：//a b a b λ⇔=22()(||||)a b a b ⇔⋅=1212x y y x ⇔-＝0。如 (1)若向量(,1),(4,)a x b x ==，当x ＝_____时a 与b 共线且方向相同 （答：2）；

（2）已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝______ （答：4）；

（3）设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===，则k ＝_____时，A,B,C 共线

（答：－2或11）

九．向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=.特别地

(

)()A B A C

A B A C

A B

A C A B

A C

+

⊥-。如 (1)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=，若OA OB ⊥，则m = （答：

3

2

）； （2）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是________

（答：(1,3)或（3，－1））； （3）已知(,),n a b =向量n m ⊥，且n m =，则m 的坐标是________ （答：(,)(,)b a b a --或） 十．线段的定比分点：

1．定比分点的概念：设点P 是直线P 1P 2上异于P 1、P 2的任意一点，若存在一个实数λ ，使1

2PP PP λ=，则λ叫做点P 分有向线段12PP 所成的比，P 点叫做有向线段12PP 的以定比为λ的定比分点；

2．λ的符号与分点P 的位置之间的关系：当P 点在线段 P 1P 2上时⇔λ>0；当P 点在线段 P 1P 2的延长线上时⇔λ<－1；当P 点在线段P 2P 1的延长线上时10λ⇔-<<；若点P 分有向线段12PP 所成的比为λ，