第二章 第9节函数与数学模型
江苏2020版高考数学第二章基本初等函数、导数的应用9第9讲函数模型及其应用课件
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：
1．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案， 在销售额 x 为 8 万元时，奖励 1 万元．销售额 x 为 64 万元时， 奖励 4 万元．若公司拟定的奖励模型为 y＝alog4x＋b.某业务员 要得到 8 万元奖励，则他的销售额应为________万元．
第二章
基本初等函数、导数的应用
第9讲
函数模型及其应用
常见函数模型 (1)直线模型：即一次函数模型，其增长特点是直线上升(x 的系 数 k>0)，通过图象可以很直观地认识它． (2)指数函数模型：能用指数函数表达的函数模型，其增长特点
快 (a>1)， 是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越_____
解：(1)作 PQ⊥AF 于 Q(图略)， 所以 PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米． 又△EPQ∽△EDF， x－4 4 EQ EF 1 所以 PQ ＝FD，即 ＝2.所以 y＝－2x＋10， 8－y 其定义域为{x|4≤x≤8}． (2)设矩形 BNPM 的面积为 S 平方米， 则
x 1 S(x)＝xy＝x 10－2 ＝－2(x－10)2＋50，
②当 x＞7 时，y＝1.8×200x＋236＋70＋200×0.03×[(x－7)＋ (x－8)＋…＋2＋1]＝3x2＋321x＋432， 所以
* 370x＋236，0＜x≤7且x∈N y＝ 2 *. 3x ＋321x＋432，x＞7且x∈N
设该厂 x 天购买一次配件时，平均每天支付的费用为 f(x)元， 236 * 370 ＋ ， 0 ＜ x ≤ 7 且 x ∈ N x 则 f(x)＝ . 432 * 3x＋ ＋ 321 ， x ＞ 7 且 x ∈ N x 236 当 0＜x≤7 时，f(x)＝370＋ x ，f(x)是(0，7]上的减函数，
第9节函数与数学模型
第9节函数与数学模型函数与数学模型是数学的两个重要概念，它们在数学应用中发挥着重要的作用。
函数是数学中一个基本概念，描述了两个变量之间的关系；而数学模型则是通过函数的方式来描述和解释实际问题。
首先，让我们来了解一下函数的概念。
函数是一个变量与另一个变量之间的映射关系。
通常情况下，我们用字母"x"表示自变量，用字母"y"表示因变量，函数可以表示为y=f(x)的形式。
在函数中，自变量的取值会决定因变量的取值。
例如，y=2x就是一个简单的函数，意味着y的取值是自变量x的两倍。
函数可以表示各种各样的关系，这取决于函数的定义域和值域。
定义域是自变量能够取值的范围，而值域则是因变量能够取值的范围。
函数可以是线性的，也可以是非线性的，可以是单调的，也可以是非单调的。
通过对函数的研究，我们可以分析其性质，如函数的增减性、极值点等。
数学模型是将实际问题转化为数学形式的方法。
通过建立数学模型，我们可以使用数学方法来解决实际问题。
在建立数学模型时，我们需要选取适当的函数来描述问题，这就要求我们对函数有一定的了解。
例如，在物理学中，我们可以使用函数来描述力的大小和方向，从而建立物理模型来解决问题。
数学模型有着广泛的应用领域。
在经济学中，我们可以使用数学模型来描述供需关系、价格变动等经济现象。
在自然科学中，我们可以使用数学模型来描述物理规律、化学变化等自然现象。
在社会科学中，我们可以使用数学模型来描述人群行为、市场竞争等社会现象。
函数与数学模型是密不可分的。
在建立数学模型时，我们需要选取适当的函数来描述问题，通过分析函数的性质，我们可以得到问题的解析解或数值解。
而在对函数的研究中，我们常常会遇到实际问题，通过建立数学模型，我们可以将实际问题转化为数学问题，从而更好地理解和解决问题。
总之，函数与数学模型是数学应用中不可或缺的两个概念。
函数描述了变量之间的关系，数学模型通过函数描述和解释实际问题。
函数与数学模型
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知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
规律方法 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点. (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. 2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
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考点聚集突破
@《创新设计》
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考点聚集突破
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解 (1)当x＝0时，C＝8，∴k＝40， ∴C(x)＝3x4＋0 5(0≤x≤10)， ∴f(x)＝6x＋230x×＋450＝6x＋38x＋005(0≤x≤10). (2)由(1)得 f(x)＝2(3x＋5)＋38x＋005－10. 令3x＋5＝t，t∈[5，35]， 则 y＝2t＋80t 0－10≥2 2t·80t 0－10＝70(当且仅当 2t＝80t 0，即 t＝20 时等号成立)， 此时x＝5，因此f(x)的最小值为70. ∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.
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知识衍化体验
考点聚集突破
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解析 (1)9 折出售的售价为 100(1＋10%)×190＝99 元.∴每件赔 1 元，(1)错. (2)中，当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确. (3)中，如 a＝x0＝12，n＝14，不等式成立，(3)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧
等原因，v的值为0千克/年.
(1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；
(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第二章第九节函数模型及其应用教案文解析版
１．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）反比例函数模型f（x）＝错误!＋b（k，b为常数且k≠0）二次函数模型f（x）＝ax２＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）指数函数模型f（x）＝ba x＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠１）对数函数模型f（x）＝b log a x＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠１）幂函数模型f（x）＝ax n＋b（a，b为常数，a≠0）（１）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；（２）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；（３）解模：求解函数模型，得出数学结论；（４）还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：[小题体验]１．（２0１9·徐州诊断）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过１0立方米的，按每立方米３元收费；用水超过１0立方米的，超过的部分按每立方米５元收费．某职工某月的水费为５５元，则该职工这个月实际用水为________立方米．解析：设该职工某月的实际用水为x立方米时，水费为y元，由题意得y＝错误!即y＝错误!易知该职工这个月的实际用水量超过１0立方米，所以５x—２0＝５５，解得x＝１５．答案：１５２．用１8 m的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙．若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是________m２.解析：设隔墙长为x m，则面积S＝x·错误!＝—２x２＋9x＝—２错误!２＋错误!.所以当x＝错误!时，能围成的面积最大，为错误!m２.答案：错误!１．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．２．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．３．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[小题纠偏]１．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为４000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0．３元，普通车存车费是每辆一次0．２元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是__________．答案：y＝—0．１x＋１２00（0≤x≤４000）２．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f（n）＝错误!n（n＋１）（２n＋１）吨，但如果年产量超过１５0吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．解析：各年产量为a n＝f（n）—f（n—１）＝错误!n（n＋１）（２n＋１）—错误!n（n—１）（２n—１）＝３n２（n∈N*），令３n２≤１５0，得１≤n≤５错误!.又n∈N*，所以１≤n≤7，故生产期限最长为7年．答案：7错误!错误![典例引领]某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB长为２m，跳水板距水面CD的高BC为３m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m（h≥１）时达到距水面最大高度４m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．（１）当h＝１时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（２）若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．解：由题意，最高点为（２＋h,４），h≥１．设抛物线方程为y＝a[x—（２＋h）]２＋４．（１）当h＝１时，最高点为（３,４），方程为y＝a（x—３）２＋４．（*）将点A（２,３）代入（*）式得a＝—１．即所求抛物线的方程为y＝—x２＋6x—５．（２）将点A（２,３）代入y＝a[x—（２＋h）]２＋４，得ah２＝—１．由题意，方程a[x—（２＋h）]２＋４＝0在区间[５,6]内有一解．令f（x）＝a[x—（２＋h）]２＋４＝—错误![x—（２＋h）]２＋４，则错误!解得１≤h≤错误!.故达到比较好的训练效果时的h的取值范围是错误!.[由题悟法]二次函数模型问题的３个注意点（１）构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域；（２）二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；（３）解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．[即时应用]（２0１9·启东中学高三检测）某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创利润１万元，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁员１人，则留岗员工每人每年可多创收0．0１万元，但每年需付给每个下岗工人0．４万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的错误!，设该企业裁员x人后纯收益为y万元．（１）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；（２）当１４0＜a≤２80时，问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？（在保证能获得较大经济效益的情况下，应尽量少裁员）解：（１）由题意，y＝（a—x）（１＋0．0１x）—0．４x＝—错误!x２＋错误!x＋a，因为a—x≥错误!，所以x≤错误!.故x的取值范围为0≤x≤错误!且x∈N*.（２）由（１）知y＝—错误!错误!２＋错误!错误!２＋a，当１４0＜a≤２80时，0＜错误!—70≤错误!，当a为偶数时，x＝错误!—70，y取最大值；当a为奇数时，x＝错误!—70或x＝错误!—70，y取最大值，因尽可能少裁员，所以x＝错误!—70，所以当a为偶数时，应裁员错误!人；当a为奇数时，应裁员错误!人．错误!错误![典例引领]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用２0年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系C（x）＝错误!（0≤x≤１0），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f（x）为隔热层建造费用与２0年的能源消耗费用之和．（１）求k的值及f（x）的表达式；（２）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．解：（１）由已知条件得C（0）＝8，则k＝４0，因此f（x）＝6x＋２0C（x）＝6x＋错误!（0≤x≤１0）．（２）f（x）＝6x＋１0＋错误!—１0≥２错误!—１0＝70（万元），当且仅当6x＋１0＝错误!，即x＝５时等号成立．所以当隔热层厚度为５cm时，总费用f（x）达到最小值，最小值为70万元．应用函数y＝x＋错误!模型的关键点（１）明确对勾函数是正比例函数f（x）＝ax与反比例函数f（x）＝错误!叠加而成的．（２）解决实际问题时一般可以直接建立f（x）＝ax＋错误!的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f（x）＝ax＋错误!的形式．（３）利用模型f（x）＝ax＋错误!求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．[即时应用]某隧道长２１５0 m，通过隧道的车速不能超过２0 m/s.一列有５５辆车身长都为１0 m的同一车型的车队（这种型号的车能行驶的最高速为４0 m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为x m/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤１0时，相邻两车之间保持２0 m的距离；当１0＜x≤２0时，相邻两车之间保持错误!m的距离．自第１辆车车头进入隧道至第５５辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（１）将y表示为x的函数；（２）求车队通过隧道的时间y的最小值及此时车队的速度．（错误!≈１．7３）解：（１）当0＜x≤１0时，y＝错误!＝错误!，当１0＜x≤２0时，y＝错误!＝错误!＋9x＋１8，所以y＝错误!（２）当x∈（0,１0]时，在x＝１0时，y min＝错误!＝３78（s）．当x∈（１0,２0]时，y＝错误!＋9x＋１8≥１8＋２× 错误!＝１8＋１80错误!≈３２9．４（s），当且仅当9x＝错误!，即x≈１7．３（m/s）时取等号．因为１7．３∈（１0,２0]，所以当x＝１7．３（m/s）时，y min＝３２9．４（s），因为３78＞３２9．４，所以当车队的速度为１7．３m/s时，车队通过隧道的时间y有最小值３２9．４s.错误!错误!已知某物体的温度θ（单位：摄氏度）随时间t（单位：分钟）的变化规律是：θ＝m·２t＋２１—t（t≥0，并且m＞0）．（１）如果m＝２，求经过多少时间，物体的温度为５摄氏度；（２）若物体的温度总不低于２摄氏度，求m的取值范围．解：（１）若m＝２，则θ＝２·２t＋２１—t＝２错误!，当θ＝５时，２t＋错误!＝错误!，令２t＝x（x≥１），则x＋错误!＝错误!，即２x２—５x＋２＝0，解得x＝２或x＝错误!（舍去），此时t＝１．所以经过１分钟，物体的温度为５摄氏度．（２）物体的温度总不低于２摄氏度，即θ＝m·２t＋错误!≥２恒成立，亦即m≥２错误!恒成立．令错误!＝x，则0＜x≤１，所以m≥—２x２＋２x，因为—２x２＋２x＝—２错误!２＋错误!∈错误!，所以m≥错误!，因此，当物体的温度总不低于２摄氏度时，m的取值范围是错误!.[由题悟法]指数函数与对数函数模型的应用技巧（１）与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于１）的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．（２）在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．[即时应用]候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋b log３错误!（其中a，b是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为３0个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为１m/s.（１）求出a，b的值；（２）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于２m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解：（１）由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为３0个单位，故有a＋b log３错误!＝0，即a＋b＝0．当耗氧量为90个单位时，速度为１m/s，故a＋b log３错误!＝１，整理得a＋２b＝１．解方程组错误!得错误!（２）由（１）知，v＝a＋b log３错误!＝—１＋log３错误!.所以要使飞行速度不低于２m/s，则有v≥２，所以—１＋log３错误!≥２，即log３错误!≥３，解得错误!≥２7，即Q≥２70．所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于２m/s，则其耗氧量至少要２70个单位．一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．某种商品进价为４元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售１00件，当单价每增加１元，日均销量减少１0件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为２0元，则预计单价为________元/件时，利润最大．解析：设单价为6＋x，日均销售量为１00—１0x，则日利润y＝（6＋x—４）（１00—１0x）—２0＝—１0x２＋80x＋１80＝—１0（x—４）２＋３４0（0＜x＜１0）．所以当x＝４时，y max＝３４0．即单价为１0元/件，利润最大．答案：１0２．（２0１8·盐城中学检测）“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a错误!（a为常数），广告效应为D ＝R—A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为________．（用常数a表示）解析：D＝R—A＝a错误!—A，令t＝错误!（t＞0），则A＝t２，所以D＝at—t２＝—错误!２＋错误!a２.所以当t＝错误!a，即A＝错误!a２时，D取得最大值．答案：错误!a２３．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为３km（不超过３km按起步价付费）；超过３km但不超过8 km时，超过部分按每千米２．１５元收费；超过8 km时，超过部分按每千米２．8５元收费，另每次乘坐需付燃油附加费１元．现某人乘坐一次出租车付费２２．6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶x km时，付费y元，则y＝错误!由y＝２２．6，解得x＝9．答案：9４．（２0１9·盐城调研）一批货物随１7列货车从A市以v km/h匀速直达B市，已知两地铁路线长４00 km，为了安全，两列货车间距离不得小于错误!２km，那么这批物资全部运到B市，最快需要________ h（不计货车的身长）．解析：设这批物资全部运到B市用的时间为y，因为不计货车的身长，所以设列车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为１6×错误!２时，时间最快．则y＝错误!＝错误!＋错误!≥２错误!＝8，当且仅当错误!＝错误!，即v＝１00时等号成立，y min＝8．答案：8５．（２0１9·南通模拟）用长度为２４的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．解析：设矩形场地的宽（即隔墙的长度）为x，则长为错误!，其面积S＝错误!·x＝１２x—２x２＝—２（x—３）２＋１8，当x＝３时，S有最大值１8，所以隔墙的长度为３．答案：３6．有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m分钟的电话费由函数f（m）＝１．06×（0．５[m]＋１）（元）决定，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数．则从北京到上海通话时间为５．５分钟的电话费为________元．解析：因为m＝５．５，所以[５．５]＝6．代入函数解析式，得f（５．５）＝１．06×（0．５×6＋１）＝４．２４．答案：４．２４二保高考，全练题型做到高考达标１．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租２0元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t（分钟）与电话费s（元）的函数关系如图所示，当通话１５0分钟时，这两种方式电话费相差________元．解析：依题意可设s A（t）＝２0＋kt，s B（t）＝mt，又s A（１00）＝s B（１00），所以１00k＋２0＝１00m，得k—m＝—0．２，于是s A（１５0）—s B（１５0）＝２0＋１５0k—１５0m＝２0＋１５0×（—0．２）＝—１0，即两种方式电话费相差１0元．答案：１0２．某商店已按每件80元的成本购进某商品１000件，根据市场预测，销售价为每件１00元时可全部售完，定价每提高１元时销售量就减少５件，若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．解析：设售价提高x元，利润为y元，则依题意得y＝（１000—５x）×（１00＋x）—80×１000＝—５x２＋５00x＋２0 000＝—５（x—５0）２＋３２５00，故当x＝５0时，y max＝３２５00，此时售价为每件１５0元．答案：１５0３．（２0１9·海安中学检测）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司全年投入研发资金１３0万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长１２%，则该公司全年投入的研发资金开始超过２00万元的年份是________．（参考数据：lg １．１２≈0．0５，lg １．３≈0．１１，lg ２≈0．３0）解析：设后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过２00万元，由１３0（１＋１２%）n＞２00，得１．１２n＞错误!，两边取常用对数，得n＞错误!≈错误!＝３．8，所以n≥４，所以从２0２１年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过２00万元．答案：２0２１年４．（２0１9·启东中学检测）某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y１与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y２与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站１0千米处建仓库，这两项费用y１，y２分别是２万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：由题意设仓库在离车站x千米处，则y１＝错误!，y２＝k２x，其中x＞0，由错误!得错误!，即y１＋y２＝错误!＋错误!x≥２错误!＝8，当且仅当错误!＝错误!x，即x＝５时等号成立．答案：５５．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝a e nt.假设过５分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有错误!，则m＝________.解析：根据题意知错误!＝e５n，令错误!a＝a e nt，即错误!＝e nt，因为错误!＝e５n，故错误!＝e１５n，比较知t＝１５，m＝１５—５＝１0．答案：１06．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为１0海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶１0海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．解析：设每小时的总费用为y元，则y＝kv２＋96，又当v＝１0时，k×１0２＝6，解得k＝0．06，所以每小时的总费用y＝0．06v２＋96，匀速行驶１0海里所用的时间为错误!小时，故总费用为W＝错误!y＝错误!（0．06v２＋96）＝0．6v＋错误!≥２错误!＝４8，当且仅当0．6v＝错误!，即v＝４0时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为４0海里/小时．答案：４07．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料（如图），为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图阴影部分）备用，则截取的矩形面积的最大值为________．解析：依题意知：错误!＝错误!，即x＝错误!（２４—y），所以阴影部分的面积S＝xy＝错误!（２４—y）·y＝错误!（—y２＋２４y）＝—错误!（y—１２）２＋１80．所以当y＝１２时，S有最大值为１80．答案：１808．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励１万元．销售额x为6４万元时，奖励４万元．若公司拟定的奖励模型为y＝a log４x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为______（万元）．解析：依题意得错误!即错误!解得a＝２，b＝—２．所以y＝２log４x—２，当y＝8时，即２log４x—２＝8．x＝１0２４（万元）．答案：１0２４9．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w（单位：百千克）与肥料费用x（单位：百元）满足如下关系：w＝４—错误!，且投入的肥料费用不超过５百元，此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）２x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为１6元/千克（即１6百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L（x）（单位：百元）．（１）求L（x）的函数关系式，并写出定义域；（２）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解：（１）L（x）＝１6错误!—x—２x＝6４—错误!—３x，x∈（0,５]．（２）法一：L（x）＝6４—错误!—３x＝67—错误!≤67—２错误!＝４３，当且仅当错误!＝３（x＋１），即x＝３时取等号．故L（x）max＝４３．答：当投入的肥料费用为３00元时，该水密桃树获得的利润最大，为４３00元．法二：L′（x）＝错误!—３，令L′（x）＝0，得x＝３．故当x∈（0,３）时，L′（x）＞0，L（x）在（0,３）上单调递增；当x∈（３,５]时，L′（x）＜0，L（x）在（３,５]上单调递减．故L（x）max＝L（３）＝４３．答：当投入的肥料费用为３00元时，该水蜜桃树获得的利润最大，为４３00元．１0．（２0１9·镇江调研）如图，政府有一个边长为４00 m的正方形公园ABCD，在以四个角的顶点为圆心，以１５0 m为半径的四分之一圆内都种植了花卉．现在中间修建一块长方形的活动广场P Q MN，其中P，Q，M，N四点都在相应的圆弧上，并且活动广场边界与公园边界对应平行，记∠Q BC＝α，长方形活动广场的面积为S.（１）请把S表示成关于α的函数关系式；（２）求S的最小值．解：（１）过Q作Q E⊥BC于E，连结B Q（图略）．在Rt△B Q E中，BE＝１５0cos α，Q E＝１５0sin α，0≤α≤错误!，可得矩形P Q MN的P Q＝４00—３00sin α，Q M＝４00—３00cos α，则S＝P Q·Q M＝（４00—３00sin α）（４00—３00cos α）＝１0 000（４—３sin α）（４—３cos α），α∈错误!.（２）由（１）知，S＝１0 000[１6—１２（sin α＋cos α）＋9sin αcos α]，设t＝sin α＋cos α＝错误!sin 错误!，则错误!≤α＋错误!≤错误!，可得１≤t≤错误!，sin αcos α＝错误!，∴S＝１0 000错误!＝５000错误!.∴当t＝错误!时，S取得最小值５000×7＝３５000 m２.三上台阶，自主选做志在冲刺名校某辆汽车以x千米/时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤１２0）时，每小时的耗油量（所需要的汽油量）为错误!错误!升，其中k为常数，且60≤k≤１00．（１）若汽车以１２0千米/时的速度行驶时，每小时的耗油量为１１．５升，欲使每小时的耗油量不超过9升，求x的取值范围；（２）求该汽车行驶１00千米的耗油量的最小值．解：（１）由题意知，当x＝１２0时，错误!错误!＝１１．５，∴k＝１00，由错误!错误!≤9，得x２—１４５x＋４５00≤0，∴４５≤x≤１00．又60≤x≤１２0，∴60≤x≤１00．故x的取值范围为[60,１00]．（２）设该汽车行驶１00千米的耗油量为y升，则y＝错误!·错误!错误!＝２0—错误!＋错误!（60≤x≤１２0）．令t＝错误!，则t∈错误!，∴y＝90 000t２—２0kt＋２0＝90 000错误!２＋２0—错误!，∴该函数图象的对称轴为直线t＝错误!.∵60≤k≤１00，∴错误!∈错误!.１若错误!≥错误!，即7５≤k≤１00，则当t＝错误!，即x＝错误!时，y min＝２0—错误!.２若错误!＜错误!，即60≤k＜7５，则当t＝错误!，即x＝１２0时，y min＝错误!—错误!.答：当7５≤k≤１00时，该汽车行驶１00千米的耗油量的最小值为错误!升；当60≤k＜7５时，该汽车行驶１00千米的耗油量的最小值为错误!升．命题点一基本初等函数（Ⅰ）１．（２0１7·全国卷Ⅰ改编）设x，y，z为正数，且２x＝３y＝５z，则２x,３y,５z的大小关系为________．解析：设２x＝３y＝５z＝k＞１，所以x＝log２k，y＝log３k，z＝log５k.因为２x—３y＝２log２k—３log３k＝错误!—错误!＝错误!＝错误!＝错误!＞0，所以２x＞３y；因为３y—５z＝３log３k—５log５k＝错误!—错误!＝错误!＝错误!＝错误!＜0，所以３y＜５z；因为２x—５z＝２log２k—５log５k＝错误!—错误!＝错误!＝错误!＝错误!＜0，所以５z＞２x.所以５z＞２x＞３y.答案：５z＞２x＞３y２．（２0１8·天津高考改编）已知a＝log３错误!，b＝错误!13，c＝log13错误!，则a，b，c的大小关系为________．解析：∵c＝log13错误!＝log３５，a＝log３错误!，又y＝log３x在（0，＋∞）上是增函数，∴log３５＞log３错误!＞log３３＝１，∴c＞a＞１．∵y＝错误!x在（—∞，＋∞）上是减函数，∴错误!13＜错误!0＝１，即b＜１．∴c＞a＞b.答案：c＞a＞b３．（２0１５·江苏高考）不等式２2x x－＜４的解集为________．解析：因为２x２—x＜４，所以２2x x－＜２２，所以x２—x＜２，即x２—x—２＜0，所以—１＜x＜２．答案：（—１,２）４．（２0１５·全国卷Ⅰ）若函数f（x）＝x ln（x＋错误!）为偶函数，则a＝________.解析：因为f（x）为偶函数，所以f（—x）—f（x）＝0恒成立，所以—x ln（—x＋错误!）—x ln（x＋错误!）＝0恒成立，所以x ln a＝0恒成立，所以ln a＝0，即a ＝１．答案：１５．（２0１8·上海高考）已知常数a＞0，函数f（x）＝错误!的图象经过点P错误!，Q错误!，若２p ＋q＝３6pq，则a＝________.解析：因为函数f（x）的图象经过点P错误!，Q错误!，所以f（p）＋f（q）＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!—错误!＝１，化简得２p＋q＝a２pq.因为２p＋q＝３6pq，所以a２＝３6且a＞0，所以a＝6．答案：66．（２0１6·江苏高考）已知函数f（x）＝a x＋b x（a＞0，b＞0，a≠１，b≠１）．（１）设a＝２，b＝错误!.１求方程f（x）＝２的根；２若对于任意x∈R，不等式f（２x）≥mf（x）—6恒成立，求实数m的最大值．（２）若0＜a＜１，b＞１，函数g（x）＝f（x）—２有且只有１个零点，求ab的值．解：（１）因为a＝２，b＝错误!，所以f（x）＝２x＋２—x.１方程f（x）＝２，即２x＋２—x＝２，亦即（２x）２—２×２x＋１＝0，所以（２x—１）２＝0，即２x＝１，解得x＝0．２由条件知f（２x）＝２２x＋２—２x＝（２x＋２—x）２—２＝（f（x））２—２．因为f（２x）≥mf（x）—6对于x∈R恒成立，且f（x）＞0，所以m≤错误!对于x∈R恒成立．而错误!＝f（x）＋错误!≥２错误!＝４，且错误!＝４，所以m≤４，故实数m的最大值为４．（２）因为函数g（x）＝f（x）—２＝a x＋b x—２有且只有１个零点，而g（0）＝f（0）—２＝a0＋b0—２＝0，所以0是函数g（x）的唯一零点．因为g′（x）＝a x ln a＋b x ln b，又由0＜a＜１，b＞１知ln a＜0，ln b＞0，所以g′（x）＝0有唯一解x0＝log错误!.ba令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝（a x ln a＋b x ln b）′＝a x（ln a）２＋b x（ln b）２，从而对任意x∈R，h′（x）＞0，所以g′（x）＝h（x）是（—∞，＋∞）上的单调增函数．于是当x∈（—∞，x0）时，g′（x）＜g′（x0）＝0；当x∈（x0，＋∞）时，g′（x）＞g′（x0）＝0．因而函数g（x）在（—∞，x0）上是单调减函数，在（x0，＋∞）上是单调增函数．下证x0＝0．若x0＜0，则x0＜错误!＜0，于是g错误!＜g（0）＝0．又g（log a２）＝a log a２＋b log a２—２＞a log a２—２＝0，且函数g（x）在以错误!和log a２为端点的闭区间上的图象不间断，所以在错误!和log a２之间存在g（x）的零点，记为x１.因为0＜a＜１，所以log a２＜0．又错误!＜0，所以x１＜0，与“0是函数g（x）的唯一零点”矛盾．若x0＞0，同理可得，在错误!和log b２之间存在g（x）的非0的零点，与“0是函数g（x）的唯一零点”矛盾．因此，x0＝0．于是—错误!＝１，故ln a＋ln b＝0，所以ab＝１．7．（２0１6·上海高考）已知a∈R，函数f（x）＝log２错误!.（１）当a＝５时，解不等式f（x）＞0；（２）若关于x的方程f（x）—log２[（a—４）x＋２a—５]＝0的解集中恰有一个元素，求a的取值范围；（３）设a＞0，若对任意t∈错误!，函数f（x）在区间[t，t＋１]上的最大值与最小值的差不超过１，求a的取值范围．解：（１）由log２错误!＞0，得错误!＋５＞１，解得x∈错误!∪（0，＋∞）．（２）由原方程可得错误!＋a＝（a—４）x＋２a—５，即（a—４）x２＋（a—５）x—１＝0．１当a＝４时，x＝—１，经检验，满足题意．２当a＝３时，x１＝x２＝—１，经检验，满足题意．３当a≠３且a≠４时，x１＝错误!，x２＝—１，x１≠x２.若x１是原方程的解，则错误!＋a＞0，即a＞２；若x２是原方程的解，则错误!＋a＞0，即a＞１．由题意知x１，x２只有一个为方程的解，所以错误!或错误!于是满足题意的a∈（１,２]．综上，a的取值范围为（１,２]∪{３,４}．（３）易知f（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以函数f（x）在区间[t，t＋１]上的最大值与最小值分别为f（t），f（t＋１）．f（t）—f（t＋１）＝log２错误!—log２错误!≤１，即at２＋（a＋１）t—１≥0对任意t∈错误!恒成立．因为a＞0，所以函数y＝at２＋（a＋１）t—１在区间错误!上单调递增，当t＝错误!时，y有最小值错误!a—错误!.由错误!a—错误!≥0，得a≥错误!.故a的取值范围为错误!.命题点二函数与方程１．（２0１7·江苏高考）设f（x）是定义在R上且周期为１的函数，在区间[0,１）上，f（x）＝错误!其中集合D＝错误!，则方程f（x）—lg x＝0的解的个数是________．解析：由于f（x）∈[0,１），因此只需考虑１≤x＜１0的情况，在此范围内，当x∈Q且x∉Z时，设x＝错误!，q，p∈N*，p≥２且p，q互质．若lg x∈Q，则由lg x∈（0,１），可设lg x＝错误!，m，n∈N*，m≥２且m，n互质，因此１0错误!＝错误!，则１0n＝错误!m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x∉Q，故lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期内x∉D部分的交点．画出函数草图（如图），图中交点除（１,0）外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x∉D的部分，且x＝１处（lg x）′＝错误!＝错误!＜１，则在x＝１附近仅有一个交点，因此方程f（x）—lg x＝0的解的个数为8．答案：8２．（２0１５·江苏高考）已知函数f（x）＝|ln x|，g（x）＝错误!则方程|f（x）＋g（x）|＝１实根的个数为________．解析：１当0＜x≤１时，方程为—ln x＝１，解得x＝错误!.２当１＜x＜２时，f（x）＋g（x）＝ln x＋２—x２单调递减，值域为（ln ２—２,１），方程f（x）＋g（x）＝１无解，方程f（x）＋g（x）＝—１恰有一解．３当x≥２时，f（x）＋g（x）＝ln x＋x２—6单调递增，值域为[ln ２—２，＋∞），方程f（x）＋g （x）＝１恰有一解，方程f（x）＋g（x）＝—１恰有一解．综上所述，原方程有４个实根．答案：４３．（２0１8·全国卷Ⅰ改编）已知函数f（x）＝错误!g（x）＝f（x）＋x＋a.若g（x）存在２个零点，则a的取值范围是________．解析：令h（x）＝—x—a，则g（x）＝f（x）—h（x）．在同一坐标系中画出y＝f（x），y＝h（x）的示意图，如图所示．若g（x）存在２个零点，则y＝f（x）的图象与y＝h（x）的图象有２个交点，平移y＝h（x）的图象，可知当直线y＝—x—a过点（0,１）时，有２个交点，此时１＝—0—a，a＝—１．当y＝—x—a在y＝—x＋１上方，即a＜—１时，仅有１个交点，不符合题意．当y＝—x—a在y＝—x＋１下方，即a＞—１时，有２个交点，符合题意．综上，a的取值范围是[—１，＋∞）．答案：[—１，＋∞）４．（２0１8·天津高考）已知a＞0，函数f（x）＝错误!若关于x的方程f（x）＝ax恰有２个互异的实数解，则a的取值范围是________．解析：法一：作出函数f（x）的大致图象如图所示．l１是过原点且与抛物线y＝—x２＋２ax—２a相切的直线，l２是过原点且与抛物线y＝x２＋２ax＋a相切的直线．由图可知，当直线y＝ax在l１，l２之间（不含直线l１，l２）变动时，符合题意．由错误!消去y，整理得x２—ax＋２a＝0．由Δ＝a２—8a＝0，得a＝8（a＝0舍去）．由错误!消去y，整理得x２＋ax＋a＝0．由Δ＝a２—４a＝0，得a＝４（a＝0舍去）．综上可得a的取值范围是（４,8）．法二：当x≤0时，由x２＋２ax＋a＝ax，得a＝—x２—ax；当x＞0时，由—x ２＋２ax—２a＝ax，得２a＝—x２＋ax.令g（x）＝错误!作出直线y＝a，y＝２a，函数g（x）的图象如图所示，g（x）的最大值为—错误!＋错误!＝错误!，由图象可知，若f（x）＝ax恰有２个互异的实数解，则a＜错误!＜２a，解得４＜a＜8．答案：（４,8）命题点三函数模型及其应用１．（２0１8·浙江高考）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则错误!当z＝8１时，x＝______，y＝_______.解析：由题意，得错误!即错误!解得错误!答案：8 １１２．（２0１５·江苏高考）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l１，l２，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l１，l２的距离分别为５千米和４0千米，点N到l１，l２的距离分别为２0千米和２．５千米．以l２，l１所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝错误!（其中a，b为常数）模型．（１）求a，b的值．（２）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.１请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域．２当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．解：（１）由题意知，点M，N的坐标分别为（５,４0），（２0，２．５）．将其分别代入y＝错误!，得错误!解得错误!（２）１由（１）知，y＝错误!（５≤x≤２0），则点P的坐标为错误!.设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B两点，y′＝—错误!，则l的方程为y—错误!＝—错误!（x—t），由此得A错误!，B错误!.故f（t）＝错误!＝错误!错误!，t∈[５,２0]．２设g（t）＝t２＋错误!，则g′（t）＝２t—错误!.令g′（t）＝0，解得t＝１0错误!.当t∈（５,１0错误!）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；当t∈（１0错误!，２0）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数．从而，当t＝１0错误!时，函数g（t）有极小值，也是最小值，所以g（t）min＝３00，此时f（t）min＝１５错误!.故当t＝１0错误!时，公路l的长度最短，最短长度为１５错误!千米．３．（２0１２·江苏高考）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为１千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx—错误!（１＋k２）x２（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（１）求炮的最大射程；（２）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为３．２千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：（１）令y＝0，得kx—错误!（１＋k２）x２＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，故x＝错误!＝错误!≤错误!＝１0，当且仅当k＝１时取等号．所以炮的最大射程为１0千米．（２）因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使３．２＝ka—错误!（１＋k２）a２成立⇔关于k的方程a２k２—２0ak＋a２＋6４＝0有正根⇔判别式Δ＝（—２0a）２—４a２（a２＋6４）≥0⇔a≤6．所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．。
高考总复习北师大版数学文第二章 第九节函数模型及其应用
第九节函数模型及其应用错误!１．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）二次函数模型f（x）＝ax２＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）指数函数模型f（x）＝ba x＋c（a，b，c为常数，a>0且a≠１，b≠0）对数函数模型f（x）＝b log a x＋c（a，b，c为常数，a>0且a≠１，b≠0）幂函数模型f（x）＝ax n＋b（a，b，n为常数，a≠0，n≠0）２．三种函数模型性质比较y＝a x（a>１）y＝log a x（a>１）y＝x n（n>0）在（0，＋∞）上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x值增大，图像与y轴接近平行随x值增大，图像与x轴接近平行随n值变化而不同１．易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．２．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[试一试]据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为４000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0．３元，普通车存车费是每辆一次0．２元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系是（）Ａ．y＝0．１x＋800（0≤x≤４000）Ｂ．y＝0．１x＋１２00（0≤x≤４000）Ｃ．y＝—0．１x＋800（0≤x≤４000）Ｄ．y＝—0．１x＋１２00（0≤x≤４000）解析：选D y＝0．２x＋（４000—x）×0．３＝—0．１x＋１２00．（0≤x≤４000）解决实际应用问题的一般步骤（１）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（２）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（３）求模：求解数学模型，得出数学结论；（４）还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：[练一练]（２0１３·陕西高考）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为________（m）．解析：设矩形花园的宽为y m，则错误!＝错误!，即y＝４0—x，矩形花园的面积S＝x（４0—x）＝—x２＋４0x＝—（x—２0）２＋４00，当x＝２0 m时，面积最大．答案：２0错误!考点一一次函数与二次函数模型１．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租２0元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t（分钟）与电话费s（元）的函数关系如图所示，当通话１５0分钟时，这两种方式电话费相差（）Ａ．１0元Ｂ．２0元Ｃ．３0元Ｄ．错误!元解析：选A 依题意可设s A（t）＝２0＋kt，s B（t）＝mt，又s A（１00）＝s B（１00），∴１00k＋２0＝１00m，得k—m＝—0．２，于是s A（１５0）—s B（１５0）＝２0＋１５0k—１５0m＝２0＋１５0×（—0．２）＝—１0，即两种方式电话费相差１0元，选Ａ．２．（２0１３·北京西城区抽检）将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出４00个．若该商品每个涨价１元，其销售量就减少２0个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个（）Ａ．１１５元Ｂ．１0５元Ｃ．9５元Ｄ．8５元解析：选C 设售价定为（90＋x）元，卖出商品后获得利润为：y＝（90＋x—80）（４00—２0x）＝２0（１0＋x）（２0—x）＝２0（—x２＋１0x＋２00）＝—２0（x２—１0x—２00）＝—２0[（x—５）２—２２５]，∴当x＝５时，y取得最大值，即售价应定为：90＋５＝9５（元），选Ｃ．３．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为４00吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：y＝错误!x２—２00x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为１00元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：设该单位每月获利为S，则S＝１00x—y＝１00x—错误!＝—错误!x２＋３00x—80 000＝—错误!（x—３00）２—３５000，因为４00≤x≤600，所以当x＝４00时，S有最大值—４0 000．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴４0 000元，才能不亏损．[类题通法]求解一次函数与二次函数模型问题的关注点（１）二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；（２）确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；（３）解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．考点二分段函数模型[典例]度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到２00辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过２0辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当２0≤x≤２00时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（１）当0≤x≤２00时，求函数v（x）的表达式．（２）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f （x）＝x·v（x）可以达到最大，并求出最大值（精确到１辆/小时）．[解] （１）由题意：当0≤x≤２0时，v（x）＝60；当２0≤x≤２00时，设v（x）＝ax＋b.由已知得错误!解得错误!故函数v（x）的表达式为v（x）＝错误!（２）依题意并由（１）可得f（x）＝错误!当0≤x≤２0时，f（x）为增函数，故当x＝２0时，其最大值为60×２0＝１２00；当２0<x≤２00时，f（x）＝错误!x（２00—x）≤错误!错误!２＝错误!.当且仅当x＝２00—x，即x＝１00时，等号成立．所以当x＝１00时，f（x）在区间（２0,２00]上取得最大值．综上，当x＝１00时，f（x）在区间[0,２00]上取得最大值f（x）max＝错误!≈３３３３，即当车流密度为１00辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为３３３３辆/小时．[类题通法]应用分段函数模型的关注点（１）实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．（２）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏．（３）分段函数的最值是各段的最大（最小）者的最大者（最小者）．[针对训练]某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果４0天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图１（一条折线）、图２（一条抛物线段）分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图３是每件样品的销售利润与上市时间的关系．（１）分别写出国外市场的日销售量f（t）与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g（t）与上市时间t的关系；（２）国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 ３00万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．解：（１）图１是两条线段，由一次函数及待定系数法，得f（t）＝错误!图２是一个二次函数的部分图像，故g（t）＝—错误!t２＋6t（0≤t≤４0）．（２）每件样品的销售利润h（t）与上市时间t的关系为h（t）＝错误!故国外和国内的日销售利润之和F（t）与上市时间t的关系为F（t）＝错误!当0≤t≤２0时，F（t）＝３t错误!＝—错误!t３＋２４t２，∴F′（t）＝—错误!t２＋４8t＝t错误!≥0，∴F（t）在[0,２0]上是增函数，∴F（t）在此区间上的最大值为F（２0）＝6 000<6 ３00．当２0<t≤３0时，F（t）＝60错误!.由F（t）＝6 ３00，得３t２—１60t＋２１00＝0，解得t＝错误!（舍去）或t＝３0．当３0<t≤４0时，F（t）＝60错误!.由F（t）在（３0,４0]上是减函数，得F（t）<F（３0）＝6 ３00．故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 ３00万元，为上市后的第３0天．考点三指数函数模型[典例]积的一半时，所用时间是，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的错误!，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的错误!.（１）求每年砍伐面积的百分比；（２）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（３）今后最多还能砍伐多少年？[解] （１）设每年降低的百分比为x（0<x<１）．则a（１—x）１0＝错误!a，即（１—x）１0＝错误!，解得x＝１—错误!110.（２）设经过m 年剩余面积为原来的错误!，则a （１—x ）m ＝错误!a，即错误!10m＝错误!12，错误!＝错误!，解得m ＝５．故到今年为止，已砍伐了５年． （３）设从今年开始，以后砍了n 年， 则n 年后剩余面积为错误!a （１—x ）n .令错误!a （１—x ）n ≥错误!a ，即（１—x ）n ≥错误!，错误!10n ≥错误!32，错误!≤错误!，解得n ≤１５．故今后最多还能砍伐． [类题通法]应用指数函数模型应注意的问题（１）指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．（２）应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．（３）y ＝a （１＋x ）n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解． 提醒：解指数不等式时，一定要化为同底，且注意对应函数的单调性． [针对训练]（２0１３·长春联合测试）某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停（每次上涨１0%），又经历了n 次跌停（每次下跌１0%），则该股民这支股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ）Ａ．略有盈利Ｂ．略有亏损 Ｃ．没有盈利也没有亏损Ｄ．无法判断盈亏情况解析：选B 设该股民购这支股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a （１＋１0%）n ＝a ×１．１n ，经历n 次跌停后的价格为a ×１．１n ×（１—１0%）n ＝a ×１．１n ×0．9n ＝a ×（１．１×0．9）n ＝0．99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．错误![课堂练通考点]１．（２0１４·南昌质检）往外埠投寄平信，每封信不超过２0 g，付邮费0．80元，超过２0 g而不超过４0 g，付邮费１．60元，依此类推，每增加２0 g需增加邮费0．80元（信的质量在１00 g以内）．如果某人所寄一封信的质量为7２．５g，则他应付邮费（）Ａ．３．２0元Ｂ．２．90元Ｃ．２．80元Ｄ．２．４0元解析：选A 由题意得２0×３<7２．５<２0×４，则应付邮费0．80×４＝３．２0（元）．故选Ａ．２．（２0１４·广州模拟）在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0．５00．99２．0１３．98y—0．990．0１0．98２．0则对x，y最适合的拟合函数是（）Ａ．y＝２xＢ．y＝x２—１Ｃ．y＝２x—２Ｄ．y＝log２x解析：选D 根据x＝0．５0，y＝—0．99，代入计算，可以排除A；根据x＝２．0１，y＝0．98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log２x，可知满足题意．故选Ｄ．３．一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y 是关于经过年数x（0<x≤m）的函数，其关系式y＝f（x）可写成_______________．解析：依题意有y＝a（１—p%）x（0<x≤m）．答案：y＝a（１—p%）x（0<x≤m）４．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y＝错误!—４8x＋8 000，已知此生产线年产量最大为２１0吨．（１）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（２）若每吨产品平均出厂价为４0万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：（１）每吨平均成本为错误!（万元）．则错误!＝错误!＋错误!—４8≥２错误!—４8＝３２，当且仅当错误!＝错误!，即x＝２00时取等号．∴年产量为２00吨时，每吨平均成本最低，最低为３２万元．（２）设可获得总利润为R（x）万元，则R（x）＝４0x—y＝４0x—错误!＋４8x—8 000＝—错误!＋88x—8 000＝—错误!（x—２２0）２＋１680（0≤x≤２１0）．∵R（x）在[0,２１0]上是增函数，∴x＝２１0时，R（x）有最大值为—错误!（２１0—２２0）２＋１680＝１660．∴年产量为２１0吨时，可获得最大利润，最大利润是１660万元．[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题１．设甲、乙两地的距离为a（a＞0），小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了２0分钟，在乙地休息１0分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了３0分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为（）解析：选D 注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为Ｄ．２．某电视新产品投放市场后第一个月销售１00台，第二个月销售２00台，第三个月销售４00台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是（）Ａ．y＝１00xＢ．y＝５0x２—５0x＋１00Ｃ．y＝５0×２xＤ．y＝１00log２x＋１00解析：选C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．３．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下３个论断：１0点到３点只进水不出水；２３点到４点不进水只出水；３４点到6点不进水不出水，则一定正确的是（）Ａ．１Ｂ．１２Ｃ．１３Ｄ．１２３解析：选A 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的错误!，所以0点到３点不出水，３点到４点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，４点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是１.４．某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f（x）的图像，当血液中药物残留量不小于２４0毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为（）Ａ．上午１0：00 Ｂ．中午１２：00Ｃ．下午４：00 Ｄ．下午6：00解析：选C 当x∈[0,４]时，设y＝k１x，把（４,３２0）代入，得k１＝80，∴y＝80x.当x∈[４,２0]时，设y＝k２x＋b.把（４,３２0），（２0,0）代入得错误!解得错误!∴y＝４00—２0x.∴y＝f（x）＝错误!由y≥２４0，得错误!或错误!解得３≤x≤４或４<x≤8，∴３≤x≤8．故第二次服药最迟应在当日下午４：00．故选Ｃ．５．某大楼共有１２层，有１１人在第１层上了电梯，他们分别要去第２至第１２层，每层１人．因特殊原因，电梯只允许停１次，只可使１人如愿到达，其余１0人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行１层的“不满意度”增量为１，每向上步行１层的“不满意度”增量为２,１0人的“不满意度”之和记为S.则S最小时，电梯所停的楼层是（）Ａ．7层Ｂ．8层Ｃ．9层Ｄ．１0层解析：选C 设所停的楼层为n层，则２≤n≤１２，由题意得：S＝２＋４＋…＋２（１２—n）＋１＋２＋３＋…＋（n—２）＝错误!＋错误!＝错误!n２—错误!n＋１５7，其对称轴为n＝错误!∈（8,9），又n∈N＋且n离9的距离较近，故选Ｃ．6．一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f（h）的大致图像可能是图中的________．解析：当h＝0时，v＝0可排除１、３；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h在错误!附近时，体积变化较快；h小于错误!时，增加越来越快；h大于错误!时，增加越来越慢．答案：２7．如图，书的一页的面积为600 cm２，设计要求书面上方空出２cm的边，下、左、右方都空出１cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析：设长为a cm，宽为b cm，则ab＝600 cm，则中间文字部分的面积S＝（a—２—１）（b—２）＝606—（２a＋３b）≤606—２错误!＝４86，当且仅当２a＝３b，即a＝３0，b＝２0时，S最大＝４86 cm２.答案：３0 cm,２0 cm8．某商家一月份至五月份累计销售额达３860万元，预测六月份销售额为５00万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．解析：七月份的销售额为５00（１＋x%），八月份的销售额为５00（１＋x%）２，则一月份到十月份的销售总额是３860＋５00＋２[５00（１＋x%）＋５00（１＋x%）２]，根据题意有３860＋５00＋２[５00（１＋x%）＋５00（１＋x%）２]≥7 000，即２５（１＋x%）＋２５（１＋x%）２≥66，令t＝１＋x%，则２５t２＋２５t—66≥0，解得t≥错误!或者t≤—错误!（舍去），故１＋x%≥错误!，解得x≥２0．答案：２09．（２0１３·昆明质检）某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过４吨的每吨２元；超过４吨而不超过6吨的，超出４吨的部分每吨４元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．（１）写出每户每月用水量x（吨）与支付费用y（元）的函数关系；（２）该地一家庭记录了去年１２个月的月用水量（x∈N＋）如下表：月用水量x（吨）３４５67频数１３３３２请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用（精确到１元）；（３）今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过１２元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地１00户的月用水量作出如下统计表：月用水量x（吨）１２３４５67频数１0２0１6１6１５１３１0据此估计该地“节约用水家庭”的比例．解：（１）y关于x的函数关系式为y＝错误!（２）由（１）知：当x＝３时，y＝6；当x＝４时，y＝8；当x＝５时，y＝１２；当x＝6时，y＝１6；当x＝7时，y＝２２．所以该家庭去年支付水费的月平均费用为错误!（6×１＋8×３＋１２×３＋１6×３＋２２×２）≈１３（元）．（３）由（１）和题意知：当y≤１２时，x≤５，所以“节约用水家庭”的频率为错误!＝77%，据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%.１0．已知某物体的温度θ（单位：摄氏度）随时间t（单位：分钟）的变化规律是θ＝m·２t＋２１—t （t≥0，并且m>0）．（１）如果m＝２，求经过多长时间，物体的温度为５摄氏度；（２）若物体的温度总不低于２摄氏度，求m的取值范围．解：（１）若m＝２，则θ＝２·２t＋２１—t＝２错误!，当θ＝５时，２t＋错误!＝错误!，令２t＝x（x≥１），则x＋错误!＝错误!，即２x２—５x＋２＝0，解得x＝２或x＝错误!（舍去），此时t＝１．所以经过１分钟，物体的温度为５摄氏度．（２）物体的温度总不低于２摄氏度，即θ≥２恒成立，亦m·２t＋错误!≥２恒成立，亦即m≥２错误!恒成立．令错误!＝y，则0<y≤１，∴m≥２（y—y２）恒成立，由于y—y２≤错误!，∴m≥错误!.因此，当物体的温度总不低于２摄氏度时，m的取值范围是错误!.第Ⅱ组：重点选做题１．（２0１４·威海高三期末）对于函数f（x），如果存在锐角θ，使得f（x）的图像绕坐标原点逆时针旋转角θ，所得曲线仍是一函数，则称函数f（x）具备角θ的旋转性，下列函数具备角错误!的旋转性的是（）Ａ．y＝错误!Ｂ．y＝ln xＣ．y＝错误!xＤ．y＝x２解析：选C 函数f（x）的图像绕坐标原点逆时针旋转角错误!，相当于x轴、y轴绕坐标原点顺时针旋转角错误!，问题转化为直线y＝x＋k与函数f（x）的图像不能有两个交点，结合图像可知y＝错误!x 与直线y＝x＋k没有两个交点，故选Ｃ．２．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资１00万元，此外每生产１件该产品还需要增加投资１万元，年产量为x（x∈N＋）件．当x≤２0时，年销售总收入为（３３x—x２）万元；当x>２0时，年销售总收入为２60万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y（万元）与x（件）的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．（年利润＝年销售总收入—年总投资）．解析：当x≤２0时，y＝（３３x—x２）—x—１00＝—x２＋３２x—１00；当x>２0时，y＝２60—１00—x＝１60—x.故y＝错误!（x∈N＋）．当0<x≤２0时，y＝—x２＋３２x—１00＝—（x—１6）２＋１５6，x＝１6时，y max＝１５6．而当x>２0时，１60—x<１４0，故x＝１6时取得最大年利润．答案：y＝错误!（x∈N＋）１6。
2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第9节：函数模型及其应用(学生版)
2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第9节函数模型及其应用考试要求1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)与指数函数相关的模型f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)与对数函数相关的模型f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)与幂函数相关的模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0)1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图像和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()(3)不存在x0，使a x0<x n0<log a x0.()(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度.()2.(易错题)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A.f(x)>g(x)>h(x)B.g(x)>f(x)>h(x)C.g(x)>h(x)>f(x)D.f(x)>h(x)>g(x)3.(易错题)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A.8B.9C.10D.114.(2022·江苏新高考基地大联考)香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C＝B log21＋SN来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W).已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为()A.0.1WB.1.0WC.3.2WD.5.0W5.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________.6.(2020·北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－f（b）－f（a）b－a的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是__________.考点一利用函数图像刻画变化过程1.已知高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像是()2.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图像，拟合了记忆保持量f (x )与时间x (天)之间的函数关系f (x )－720x ＋1，0＜x ≤1，15＋920x －12，1＜x ≤30.则下列说法错误的是()A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多C.9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%3.(2022·郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：①0时到3时只进水不出水；②3时到4时不进水只出水；③4时到5时不进水也不出水.则一定正确的论断是________(填序号).4.(2021·西安调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝12t＋a；④y＝t＋a中(其中a为正的常实数)，拟合生长年数与树高的关系最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米.考点二二次函数模型例1(1)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A.10.5万元B.11万元C.43万元D.43.025万元(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t 的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·log b t.利用你选取的函数，求：①西红柿种植成本最低时的上市天数是________；②最低种植成本是________元/100kg.训练1(1)(2021·广州模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.(2)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为30－52R万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是()A.[4，8]B.[6，10]C.[4%，8%]D.[6%，10%]考点三指数、对数函数模型例2(1)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有34的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是()A.6B.5C.4D.3(2)(2021·唐山联考)尽管目前人类还无法准确地预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.①已知地震等级划分为里氏12级，根据等级范围又分为三种类型，其中小于2.5级的为“小地震”，介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”，大于4.7级的为“破坏性地震”，若某次地震释放能量约1012焦耳，试确定该次地震的类型；②2008年汶川地震为里氏8级，2011年日本地震为里氏9级，问：2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍？(取10＝3.2)训练2(2021·贵阳调研)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？考点四分段函数模型例3小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝13x2＋x(万元).在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋100x－38(万元).每件产品售价5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？训练3某校高三(1)班学生为了筹措经费给班上购买课外读物，班委会成立了一个社会实践小组，决定利用暑假八月份(按30天计算)轮流换班去销售一种时令水果.在这30天内每斤水果的收入p(元)与时间t(天)满足如图所示的函数关系，已知日销售量Q(斤)与时间t(天)满足一次函数关系(具体数据如下表所示).t(天)281624Q(斤)38322416(1)根据提供的图像和表格，写出每斤水果的收入p(元)与时间t(天)所满足的函数关系式及日销售量Q(斤)与时间t(天)的一次函数关系式；(2)写出销售水果的日收入y(元)与t的函数关系式，并求这30天中第几天的日收入最大？最大为多少元？1.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图像正确的是()2.(2022·绵阳诊断)某数学小组进行社会实践调查，了解到某公司为了实现1000万元利润目标，准备制订激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合公司要求的是(参考数据：1.0021000≈7.37，lg 7≈0.845)()A.y ＝0.25xB.y ＝1.002xC.y ＝log 7x ＋1D.y ＝x10－13.(2021·全国大联考)如图，矩形花园ABCD 的边AB 靠在墙PQ 上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形花园的面积为4平方米，墙PQ 足够长，则围成该花园所需要篱笆的()A.最大长度为8米B.最大长度为42米C.最小长度为8米D.最小长度为42米4.(2022·兰州质检)设光线通过一块玻璃，光线强度损失10%，如果光线原来的强度为k(k>0)，通过x块这样的玻璃以后光线的强度为y，则y＝k·0.9x(x∈N+)，那么光线强度减弱到原来的13以下时，至少通过这样的玻璃的块数为(参考数据：lg3≈0.477)()A.9B.10C.11D.125.(2021·济南检测)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lgx1×10－13.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的()A.1倍B.10倍C.100倍D.1000倍6.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化量与4至5月份的收入的变化量相同D.前6个月的平均收入为40万元7.我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：s)之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋17，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为________米.8.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________.9.(2021·武汉模拟)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息________元.(参考数据：1.02255≈1.118，1.04015≈1.217)10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋b log3Q 10 (其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？11.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝42a－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＋2，80≤a≤120，，120<a≤160，设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？12.(2022·保定质检)分子间作用力是只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下，两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U，其计算式子为U＝kcq2·(1R＋1R＋x1－x2－1R＋x1－1R－x2)，其中，kc为静电常量，x1，x2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知R＋x1－x2＝1＋x1－x2R R＋x1＝R1＋x1R R－x2＝R1－x2R(1＋x)－1≈1－x＋x2，则U的近似值为()A.kcq2x1x2R3B.－kcq2x1x2R3C.2kcq2x1x2R3D.－2kcq2x1x2R313.天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，它就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1－m2＝2.5(lg E2－lg E1).其中星等为m i的天体的亮度为E i(i＝1，2).已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当|x|较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)()A.1.24B.1.25C.1.26D.1.2714.已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用P A＝lg n A来记录A菌个数的资料，其中n A为A 菌的个数.现有以下几种说法：①P A≥1；②若今天的P A值比昨天的P A值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<P A<5.5(注：lg2≈0.3).则正确的说法为________(写出所有正确说法的序号).。
高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数(ⅰ)第9节函数模型及其应用跟踪检测文含解析
第二章 函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)第九节 函数模型及其应用A 级·基础过关|固根基|1.一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )解析：选B 由题意知h ＝20－5t(0≤t≤4)，图象应为B 项．2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D 设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析：选D M≈3361，N≈1080，M N ≈33611080，则lg M N ≈lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80≈93.∴M N≈1093. 4．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x－0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元解析：选C 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x)辆． 所以利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x)＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎪⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x∈[0，16]，且x∈N，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．5．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正数)．公司决定从原有员工中分流x(0＜x ＜100，x∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：选B 由题意，分流前每年创造的产值为100t 万元，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t 万元，则由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，x∈N *，（100－x ）（1＋1.2x%）t≥100t，解得0＜x≤503.因为x∈N *，所以x 的最大值为16.6．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 设该死亡生物体内原来的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜11 000，得n≥10，所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．7．(2019届北京东城模拟)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－720x ＋1，0<x≤1，15＋920x－12，1<x≤30.某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： ①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； ②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%； ③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%.其中正确结论的序号有________．(请写出所有正确结论的序号)解析：由函数解析式可知f(x)随着x 的增加而减少，故①正确；当1<x≤30时，f(x)＝15＋920x －12，则f(9)＝15＋920×9－12＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；f(26)＝15＋920×26－12>15，故③错误． 答案：①②8.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计)解析：设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x 4 m ，则S ＝x·200－x 4＝14(－x 2＋200x)＝－14(x －100)2＋2 500.∴当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2. 答案：2 5009．已知投资x 万元经销甲商品所获得的利润为P ＝x 4；投资x 万元经销乙商品所获得的利润为Q ＝a2x(a ＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为________．解析：设投资乙商品x 万元(0≤x≤20)，则投资甲商品(20－x)万元． 则利润分别为Q ＝a 2x(a ＞0)，P ＝20－x4，由题意得P ＋Q≥5，0≤x≤20时恒成立， 则化简得a x ≥x2，在0≤x≤20时恒成立．(1)x ＝0时，a 为一切实数； (2)0＜x≤20时，分离参数a≥x2，0＜x≤20时恒成立，所以a≥5，a 的最小值为 5. 答案： 510．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 260x ＋1，0＜x≤20，90－35x ，20＜x≤180，求该服装厂所获得的最大效益是多少元？解：设该服装厂所获效益为f(x)元，则f(x)＝100xq(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000x x ＋1，0＜x≤20，100x （90－35x ），20＜x≤180.当0＜x≤20时，f(x)＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，f(x)在区间(0，20]上单调递增，所以当x ＝20时，f(x)有最大值120 000；当20＜x≤180时，f(x)＝9 000x －3005·x x ， 则f′(x)＝9 000－4505·x ，令f′(x)＝0，所以x ＝80.当20＜x ＜80时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)为单调递减，所以当x ＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.由于120 000＜240 000.故该服装厂所获得的最大效益是240 000元. B 级·素养提升|练能力|11.将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝ae nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10解析：选A ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f(t)＝ae n t 满足f(5)＝ae 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f(t )＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4 L 时，f(k)＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5.12．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A(a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)解析：令t ＝A(t ≥0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－t －12a 2＋14a 2，所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D取得最大值．答案：14a 213．(2019年北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．解析：(1)当x ＝10时，一次购买草莓和西瓜各1盒，共60＋80＝140(元)，由题可知顾客需支付140－10＝130(元)．(2)设每笔订单金额为m 元，当0≤m＜120时，顾客支付m 元，李明得到0.8m 元，0.8m ≥0.7m ，显然符合题意，此时x ＝0； 当m≥120时，根据题意得(m －x)80%≥m ×70%， 所以x≤m8，而m≥120，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min ，而⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min＝15， 所以x≤15.综上，当0≤x≤15时，符合题意， 所以x 的最大值为15.答案：(1)130 (2)1514．十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元．扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x 户(x∈Z，1≤x≤9)从事水果包装、销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装、销售的农户的年纯收入每户平均为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x 万元(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)．(1)至2020年底，为使从事水果种植的农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少要抽出多少户从事包装、销售工作？(2)至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．解：(1)至2020年底，种植户平均收入 ＝（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203100－5x≥1.6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203≥1.6， 即x≥20(31.6－1)．由题中所给数据，知1.15＜31.6＜1.2，所以3＜20(31.6－1)＜4. 所以x 的最小值为4，此时5x≥20，即至少要抽出20户从事包装、销售工作． (2)至2018年底，假设该村每户年均纯收入能达到1.35万元．每户的平均收入为5x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x ＋（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20100≥1.35，化简得3x 2－30x ＋70≤0.因为x∈Z 且1≤x≤9，所以x∈{4，5，6}．所以当从事包装、销售的户数达到20至30户时，能达到，否则，不能．。
导与练普通班届高三数学一轮复习第二篇函数及其应用第节函数模型及其应用理
考点二 指数函数、对数函数与幂函数模型
【例2】 某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,
据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满
足如图所示的曲线.
(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);
kt,0 t 1,
解:(1)由图象,设
y=
,
当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立.所以,当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得 最大值 10000 .
3 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 10000 ≈3 333,
3 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/时.
考点专项突破 在讲练中理解知识
考点一 一次函数、二次函数模型
【例1】 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线
的一段.已知跳水板AB长为2 m,跳水板距水面CD的高BC为3 m.为安全和
空中姿态优美,训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h≥1)时达
到距水面最大高度4 m,规定:以CD为横轴,BC为纵轴建立直角坐标系.
⇒
5 17 2
≤x≤2,
4 2
x x
1, 4
⇒
2<x≤3.综上,得
5 17 2
≤x≤3.
即若只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效抑制作用的时间为
3- 5 17 = 1 17 .
2
2
(2)当河中的碱浓度开始下降时,即刻第二次投放1个单位的固体碱,此后, 每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和, 求河中时碱浓度可能取得的最大值. 解：(2)当 0≤x≤2 时,y=- 16 -x+8 单调递增,
2024届新高考一轮复习北师大版 第2章 第9节 实际问题中的函数模型 课件(54张)
A．当 T＝220，P＝1 026 时，二氧化碳处于液态 B．当 T＝270，P＝128 时，二氧化碳处于气态 C．当 T＝300，P＝9 987 时，二氧化碳处于超临界状态 D．当 T＝360，P＝729 时，二氧化碳处于超临界状态
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[对点查验]
1．在某个物理实验中，测得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 －0.01 0.98 2.00
则对 x，y 最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x
B．y＝x2－1
C．y＝2x－2
D．y＝log2x
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D 根据 x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除 A；根据 x＝2.01， y＝0.98，代入计算，可以排除 B，C；将各数据代入函数 y＝log2x，可知满 足题意．故选 D.
则1200
×23
n
≤1
1 000
，即23
n ≤210 ，
由 n lg
2 3
≤－lg 20，即 n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，
得 n≥lg1＋3－lglg22 ≈7.4，故选 BC.
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4．已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y＝alog3(x＋1)，设 这种动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们发展到________________只．
随 x 的增大逐渐表 随 x 的增大逐渐表 随 n 值变化而 现为与_y_轴__平行 现为与_x_轴__平行 各有不同
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2.常见的函数模型 (1)反比例函数模型：f (x)＝kx (k 为常数，k≠0)； (2)一次函数模型：f (x)＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0)； (3)二次函数模型：f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)； (4)指数函数模型：f (x)＝abx＋c(a，b，c 为常数，a≠0，b>0，b≠1)； (5)对数函数模型：f (x)＝mlogax＋n(m，n，a 为常数，m≠0，a>0，a≠ 1)； (6)幂函数模型：f (x)＝axn＋b(a，b，n 为常数，a≠0，n≠1).
数学新高考第9节 函数的模型及其应用
11
函数的模型及其应用
《高考特训营》 ·数学 返 回
4．[通性通法]复利公式 (1)某种储蓄按复利计算利息，若本金为A元，每期利率为R，设存期是X， 本利和(本金加上利息)为Y元，则本利和Y随X变化的函数关系式为Y＝A(1＋ R)X(X∈N*) (2)人口的增长、细胞分裂的个数以及存款利率(复利)的计算等问题都可以用 指数函数模型解决．
至5月份的收入的变化率相同 D．前6个月的平均收入为40万元
14
函数的模型及其应用
《高考特训营》 ·数学 返 回
解析：由题图可知，收入最高值为 90 万元，收入最低值为 30 万元，其比是 3∶1，故 A 正确；由题图可知，7 月份的结余最高，为 80－20＝60(万元)， 故 B 正确；由题图可知，1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的 变化率相同，故 C 正确；由题图可知，前 6 个月的平均收入为61×(40＋60＋ 30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故 D 错误．
6
函数的模型及其应用
《高考特训营》 ·数学 返 回
2．几种常见的函数模型
函数模型 一次函数 二次函数 指数函数 对数函数 幂函数
函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
202函2届数的模型及其应用
《高考特《训高营考》特·训数营学》 ·返数回学
第9节 函数的模型及其应用
1 1
函数的模型及其应用
高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.9函数模型及其应用课件理
第二章 函数(hánshù)、导数及其应用
第九节 函数模型(móxíng)及其应用
第一页，共33页。
栏
考情分析 1
(fēnxī)
目
基础自主(zìzhǔ) 2
3 考点疑难(yí
nán)突破
导
梳理
航
4 课时跟踪检测
第二页，共33页。
1
考情分析
第三页，共33页。
考点分布
考纲要求
第十三页，共33页。
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取更大 利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
解析：利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当 x＝18 时，L(x)有最大值． 答案：18
第三十页，共33页。
指数函数与对数函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会 合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一 类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函 数解析式，再借助函数的图象求解最值问题.
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c 为常数，a≠0)
第六页，共33页。
f(x)＝bax＋c 指数函数模型
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)
第2章---第9节
高 考 体 验 · 明 考 情
课 时 知 能 训 练
【思路点拨】 分析题意知，C(0)＝8由此得出k的值；由隔热层建造 费与20年的能源消耗费相加得f(x)的表达式；可用求导函数或基本不等 式判断函数的单调性求f(x)的最小值．
菜 单
新课标 ·数学（文）(广东专用)
自 主 落 实 · 固 基 础Leabharlann 典 例 探 究 · 提 知 能
菜
单
新课标 ·数学（文）(广东专用)
自 主 落 实 · 固 基 础
1．三种函数模型之间增长速度的比较
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 知 能 训 练
菜
单
新课标 ·数学（文）(广东专用)
2.常用的几类函数模型
自 主 落 实 · 固 基 础
(1)指数函数模型y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0且b≠1) (2)对数函数模型y＝mlogax＋n(a＞0且a≠1，m≠0) (3)幂函数模型y＝axn＋b，(a≠0) 3．解函数应用问题的步骤(四步八字)
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最 低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利， 则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
课 时 知 能 训 练
菜
单
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【解】
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
D．150 太贝克 t 1 【解析】 由题意，M′(t)＝M0· 2－ (－ )ln 2， 30 30 1 － ∴M′(30)＝M0· 1(－ )ln 2＝－10 ln 2， 2 30
第9节 函数与数学模型
第9节函数与数学模型考试要求 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义；3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义.知识梳理1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0)1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()(3)不存在x0，使a x0<x n0<log a x0.()(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度.()解析(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×910＝99(元).∴每件赔1元，(1)错.(2)中，当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确.(3)中，如a＝x0＝12，n＝14，不等式成立，因此(3)错.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(老教材必修1P113探索与研究改编)在某个物理实验中，测得变量x和变量y 的几组数据，如下表：x 0.500.99 2.01 3.98y －0.990.010.98 2.00则对x，yA.y＝2xB.y＝x2－1C.y＝2x－2D.y＝log2x解析根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意.答案 D3.(新教材必修第二册P44A3改编)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( ) A.8B.9C.10D.11解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<11 000，得n ≥10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”. 答案 C4.(2020·临沂一中月考)已知f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( ) A.f (x )>g (x )>h (x ) B.g (x )>f (x )>h (x ) C.g (x )>h (x )>f (x )D.f (x )>h (x )>g (x )解析 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x ∈(4，＋∞)时，增长速度大小排列为g (x )>f (x )>h (x ). 答案 B5.(多填题)(2018·浙江卷)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝________，y ＝________. 解析 把z ＝81代入方程组，化简得⎩⎨⎧x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得x ＝8，y ＝11. 答案 8 116.(多填题)(2019·北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________.解析①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元).②由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×0.7，所以x≤15.即x的最大值为15.答案①130②15考点一利用函数的图象刻画实际问题【例1】(2017·全国Ⅲ卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误. 答案 A规律方法 1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养. 【训练1】高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是()解析由题意知，水深h越大，水的体积v就越大.当h＝0时，v＝0，故可排除A，C；当h∈[0，H]时，不妨将水“流出”设想为“流入”.每当h增加一个单位增量Δh时，根据鱼缸形状可知，函数v的变化，开始其增量越来越大，经过中截面后增量越来越小，故v＝f(h)的图象是先凹后凸的，故选B.答案 B考点二已知函数模型求解实际问题【例2】为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k 3x＋5(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.解(1)当x＝0时，C＝8，∴k＝40，∴C(x)＝403x＋5(0≤x≤10)，∴f(x)＝6x＋20×403x＋5＝6x＋8003x＋5(0≤x≤10).(2)由(1)得f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10. 令3x ＋5＝t ，t ∈[5，35]， 则y ＝2t ＋800t －10≥22t ·800t －10＝70(当且仅当2t ＝800t ，即t ＝20时等号成立)，此时x ＝5，因此f (x )的最小值为70.∴隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元. 规律方法 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点. (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 【训练2】 (2019·全国Ⅱ卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行.L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1（R ＋r ）2＋M 2r2＝(R ＋r )M 1R 3. 设α＝r R .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，则r 的近似值为( ) A.M 2M 1RB.M 22M 1RC.33M 2M 1RD.3M 23M 1R解析 由α＝rR ，得r ＝αR ， 代入M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3， 整理得3α3＋3α4＋α5（1＋α）2＝M 2M 1.又3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，即3α3≈M 2M 1，所以α≈3M 23M 1，故r ＝αR ≈3M 23M 1R .答案 D考点三 构建函数模型的实际问题 多维探究角度1 构建二次函数、分段函数模型【例3－1】 (2020·济南一中月考)响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋2x .在年产量不小于8万件时，W (x )＝7x ＋100x －37.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.(1)写出年利润P (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解 (1)因为每件商品售价为6元，则x 万件商品销售收入为6x 万元.依题意得 当0<x <8时，P (x )＝6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋2x －2＝－13x 2＋4x －2，当x ≥8时，P (x )＝6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫7x ＋100x －37－2＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .故P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －2，0<x <8，35－x －100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，P (x )＝－13(x －6)2＋10.此时，当x ＝6时，P (x )取最大值，最大值为10万元.当x ≥8时，P (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时，取等号. 此时，当x ＝10时，P (x )取得最大值，最大值为15万元.因为10<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.角度2 构建指数(对数)型函数模型【例3－2】 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)， 则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.故每年砍伐面积的百分比为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m ＝22a ，把x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110代入，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12m10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，即m 10＝12，解得m ＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年.规律方法 1.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：(1)分段要简洁合理，不重不漏；(2)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.2.指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.【训练3】(1)(角度1)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A.10.5万元B.11万元C.43万元D.43.025万元(2)(角度2)已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用P A＝lg n A来记录A菌个数的资料，其中n A为A菌的个数.现有以下几种说法：①P A≥1；②若今天的P A值比昨天的P A值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<P A<5.5(注：lg 2≈0.3).则正确的说法为________(写出所有正确说法的序号).(3)(角度2)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年解析(1)设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×10.52＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元. (2)当n A＝1时，P A＝0，故①错误.若P A＝1，则n A＝10；若P A＝2，则n A＝100，故②错误.设B 菌的个数为n B ＝5×104，∴n A ＝10105×104＝2×105，则P A ＝lg(n A )＝5＋lg 2. 又lg 2≈0.3，因此5<P A <5.5，③正确. (3)设经过n 年资金开始超过200万元， 即130(1＋12%)n >200.两边取对数，得n ·lg1.12>lg 2－lg 1.3， 所以n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195， 又n ∈N *，所以n ≥4，所以从2023年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元. 答案 (1)C (2)③ (3)DA 级 基础巩固一、选择题1.一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (小时)的函数关系用图象表示为( )解析 由题意得关系式为h ＝20－5t (0≤t ≤4).图象应为B 项. 答案 B2.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093解析 由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈93.所以M N ≈1093，故与M N 最接近的是1093.答案 D3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L 汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列斜述中正确的是( )A.消耗1 L 汽油，乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h 的速度行驶1小时，消耗10 L 汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h ，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 解析 对于A ，消耗1 L 汽油，乙车行驶的最大距离大于5 km ，故A 错；对于B ，以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故B 错；对于C ，甲车以80 km/h 行驶1小时，里程为80 km ，燃油效率为10 km/L ，消耗8 L 汽油，故C 错；对于D ，因为在速度低于80 km/h 时，丙车的燃油效率高于乙车，故D 正确.答案 D4.(2020·阜新模拟)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1 000元，存入银行，年利率为2.25%，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1 000元选择合适方式存满5年，可以多获利息( )(参考数据：1.022 54≈1.093，1.022 55≈1.118，1.040 15≈1.217)A.176元B.99元C.77元D.88元解析 将1 000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为1 000×(1＋4.01%)5≈1 217(元)，故共得利息1 217－ 1 000＝217(元).将1 000元存入银行，则存满5年后的本息和为1 000×(1＋2.25%)5≈1 118(元)，即获利息1 118－1 000＝118(元).故可以多获利息217－118＝99(元).答案 B5.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg I I 0(其中I 0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的( )A.76倍B.1076倍C.10倍D.ln 76倍 解析 由η＝10lg I I 0得I ＝I 010η10，所以I 1＝I 0107，I 2＝I 0106，所以I 1I 2＝10，所以70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的10倍.答案 C二、填空题6.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________.解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥2 3 600x ×4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240. 答案 307.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________.(用常数a 表示)解析 令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，∴D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2， ∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值.答案 14a 28.一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出， t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析 当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ，所以e －8b ＝12.容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24.所以再经过16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一.答案 16三、解答题9.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故有a ＋b log 39010＝1，即a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎨⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10. 所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q 10≥2，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s 时，其耗氧量至少要270个单位.10.某医药机构测定，某种药品服用后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出服用药品后y 与t 之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.50微克时治疗有效，求服用药品后的有效时间.解(1)由题中图象，设y ＝⎩⎨⎧kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a ，t >1. 当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4；当⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a ＝4，得a ＝3.所以y ＝⎩⎨⎧4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1. (2)由y ≥0.50，得⎩⎨⎧0≤t ≤1，4t ≥0.50或⎩⎨⎧t >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.50， 解得18≤t ≤4，因此服用药品后的有效时间为 4－18＝318(小时).B 级 能力提升11.将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a 4 L ，则m 的值为( )A.5B.8C.9D.10解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 5， 因此，当k min 后甲桶中的水只有a 4 L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14， ∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5.答案 A12.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况 解析 设该股民购这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a ＜a ，故该股民这支股票略有亏损.答案 B13.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t (单位：min)后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )⎝ ⎛⎭⎪⎫12t h ，其中T a 称为环境温度，h 称为半衰期.现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min ，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要________ min.解析 由题意知T a ＝21 ℃.令T 0＝85 ℃，T ＝37 ℃，得37－21＝(85－21)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1216h ，解得h ＝8. 令T 0＝37 ℃，T ＝29 ℃，则29－21＝(37－21)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 8，解得t ＝8. 答案 814.(2020·佛山一中月考)近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入a (单位：万元)满足P ＝42a －6，乙城市收益Q 与投入a (单位：万元)满足Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋2，80≤a ≤120，32，120<a ≤160，设甲城市的投入为x (单位：万元)，两个城市的总收益为f (x )(单位：万元).(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？解 (1)当x ＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元，所以f (128)＝4×2×128－6＋14×112＋2＝88(万元).因此，此时公司的总收益为88万元.(2)由题意知，甲城市投资x 万元，则乙城市投资(240－x )万元，依题意得⎩⎨⎧x ≥80，240－x ≥80，解得80≤x ≤160， 当80≤x <120，即120<240－x ≤160时，f (x )＝42x －6＋32＝42x ＋26<26＋1615.当120≤x ≤160，即80≤240－x ≤120时，f (x )＝42x －6＋14(240－x )＋2＝－14x ＋42x ＋56.令t ＝x ，则t ∈[230，410]，所以y＝－14t2＋42t＋56＝－14(t－82)2＋88.当t＝82，即x＝128时，y取最大值88.因为88－(26＋1615)＝2×(31－815)>0，故f(x)的最大值为88.因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元.C级创新猜想15.(多选题)(2020·济南月考)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程f i(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是()A.当x>1时，甲走在最前面B.当x>1时，乙走在最前面C.当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲解析甲、乙、丙、丁的路程f i(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型.当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，所以C正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确.答案CD16.(多选题)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x (天)之间的函数关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－720x ＋1，0＜x ≤1，15＋920x －12，1＜x ≤30.则下列说法正确的是( )A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低B.第一天小菲的单词记忆保持量下降的最多C.9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20% 解析 由函数解析式可知f (x )随着x 的增加而减少，故A 正确；由图象可得B 正确；当1＜x ≤30时，f (x )＝15＋920x －12，则f (9)＝15＋920×9－12＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C 正确；f (26)＝15＋920×26－12＞15，故D 错误.答案 ABC。
高考数学 2.9 函数模型及其应用
租0元.一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话
费s(元)的函数关系如图所示,当通话150分钟时,这
两种方式电话费相差( )
A.10元
B.20元
C.30元
D. 4 0 元
3
(2)(2015·昆明模拟)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积
最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为
m.
【解题提示】(1)根据对应点的坐标分别求出两条直线方程. (2)根据相似三角形的性质,找出比例关系,列出以x为变量的二次函数 式表示出阴影部分的面积。
2.教材改编 链接教材 练一练
(1)(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的
几组数据,如下表:
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y -0.99 0.01 则x,y最适合的函数的是( )
0.98
2.00
A.y=2x
B.y=x2-1
C.y=2x-2
D.y=log2x
考点1 一次函数、二次函数模型 知·考情
以一次函数、二次函数为模型的应用题常出现在高考试题中,尤 其是二次函数,考查较多,既有选择题、填空题,也有解答题,难度适中, 属中档题.
明·角度
命题角度1:单一考查一次函数或二次函数模型
【典例1】(1)(2015·西安模拟)某电信公司推出两
种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月
【解析】选B.由题意知h=20-5t(0≤t≤4),故选B.
3.真题小试 感悟考题 试一试
(1)(2015·泉州模拟)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函
数关系是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25
9 第9讲 函数模型及其应用
相对平稳
图象的变化
随 x 值增大，图象与 随 x 值增大，图象与
__y_轴___接近平行
__x_轴___接近平行
随 n 值变化而不同
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第二章 函数概念与基本初等函数
4
[疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数增长比直线增长更快．( × ) (2)不存在 x0，使 ax0<xn0<logax0.( × ) (3)在(0，＋∞)上，随着 x 的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于 y＝xa(a>1) 的增长速度．( √ ) (4)“指数爆炸”是指数型函数 y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比 喻．( × )
()
A．30 元
B．60 元
C．28 000 元
D．23 000 元
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14
【解析】 设毛利润为 L(p)元，则由题意知 L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20) ＝(8 300－170p－p2)(p－20) ＝－p3－150p2＋11 700p－166 000， 所以 L′(p)＝－3p2－300p＋11 700. 令 L′(p)＝0，解得 p＝30 或 p＝－130(舍去)． 当 p∈(0，30)时，L′(p)>0，当 p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故 L(p)在 p＝30 时取得极 大值，即最大值，且最大值为 L(30)＝23 000. 【答案】 D
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第二章 函数概念与基本初等函数
8
3．(必修 1P107A 组 T4 改编)用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使 矩形的面积最大，则隔墙的长度为______．
2019版高考数学第2章函数概念与基本初等函数9第9讲函数模型及其应用教案理
第9讲函数模型及其应用1．几种常见的函数模型判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数增长比一次函数增长更快．( )(2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．( )(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( )(4)不存在x0，使ax0<x n0<log a x0.( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )答案：B生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( ) A ．36万件 B ．18万件 C ．22万件D ．9万件解析：选B.设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18 时，L (x )有最大值．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行驶千米数x (km)之间的函数关系式是________． 解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100(教材习题改编)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1a log 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4.解得a ＝2，b ＝－2. 所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8.x ＝1 024(万元)．答案：1 024一次函数与二次函数模型(高频考点)高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现．高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．[典例引领]角度一单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A．10.5万元B．11万元C．43万元D．43.025万元【解析】该公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－212)2＋0.1×2124＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元，故选C.【答案】 C角度二以分段函数的形式考查一次函数和二次函数(2018·山西孝义二轮模考)为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解】(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x≥2.3，因为x为整数，所以3≤x≤6.当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115>0，有3x2－68x＋115<0，结合x为整数得6<x≤20.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115（3≤x ≤6，x ∈Z ）－3x 2＋68x －115（6<x ≤20，x ∈Z ）. (2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185，对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6<x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.因为270>185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．一次函数、二次函数及分段函数模型的选取与应用策略(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．但应关注以下两点： ①构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏； ②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值． [提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解．[通关练习]1．某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数y ＝f (x )的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )A ．上午10：00B ．中午12：00C ．下午4：00D ．下午6：00解析：选C.当x ∈[0，4]时，设y ＝k 1x ， 把(4，320)代入，得k 1＝80，所以y ＝80x .当x ∈[4，20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4，320)，(20，0)分别代入可得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－20，b ＝400.所以y ＝400－20x .所以y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ，0≤x ≤4，400－20x ，4<x ≤20.由y ≥240，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，80x ≥240或⎩⎪⎨⎪⎧4<x ≤20，400－20x ≥240. 解得3≤x ≤4或4<x ≤8，所以3≤x ≤8. 故第二次服药最迟应在当日下午4：00.2．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段．已知跳水板AB 的长为2 m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3 m ．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A 处水平距离h m(h ≥1)时达到距水面最大高度4 m ．规定：以CD 为横轴，BC 为纵轴建立直角坐标系．(1)当h ＝1时，求跳水曲线所在抛物线的方程；(2)若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h 的取值范围． 解：由题意知抛物线的最高点为(2＋h ，4)，h ≥1，故设抛物线的方程为y ＝a [x －(2＋h )]2＋4.(1)当h ＝1时，最高点为(3，4)，方程为y ＝a (x －3)2＋4.将A (2，3)代入，得3＝a (2－3)2＋4，解得a ＝－1.所以当h ＝1时，跳水曲线所在抛物线的方程为y ＝－(x －3)2＋4.(2)将A (2，3)代入y ＝a [x －(2＋h )]2＋4，整理得ah 2＝－1.① 由题意，方程a [x －(2＋h )]2＋4＝0在区间[5，6]内有一解． 由①得，y ＝f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h2[x －(2＋h )]2＋4，则⎩⎪⎨⎪⎧f （5）＝－1h 2（3－h ）2＋4≥0，f （6）＝－1h2（4－h ）2＋4≤0，解得1≤h ≤43.故达到较好的训练效果时h 的取值范围是[1，43]．函数y ＝x ＋a x(a >0)模型[典例引领]小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋100x－38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元，当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．应用函数y ＝x ＋a x(a >0)模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝b x叠加而成的．(2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋b x的模型，有时可以将所列函数解析式转化为f (x )＝ax ＋b x的形式．[提醒] (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f (x )＝ax ＋b x求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室，在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？ 解：设矩形温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800xm ，所以蔬菜种植面积y ＝(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x <400)．因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，所以y ≤808－2×80＝648.当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时取等号，此时800x＝20，y max ＝648 m 2.即当矩形温室的边长各为40 m ，20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m 2.指数、对数函数模型[典例引领](1)(2016·高考四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元．在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年(2)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．【解析】 (1)设经过x 年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋12%)x >200，即1.12x>21.3⇒x >lg21.3lg 1.12＝lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年． (2)M ＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A 1，A 2，则9＝lg A 1－lg A 0＝lg A 1A 0，则A 1A 0＝109， 5＝lg A 2－lg A 0＝lg A 2A 0，则A 2A 0＝105，所以A 1A 2＝104. 即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍． 【答案】 (1)B (2)6 10 000指数型、对数型函数模型(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1＋p )x(其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义．(2018·湛江模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 解析：当t ＝0时，y ＝a ； 当t ＝8时，y ＝ae－8b＝12a ，故e －8b＝12. 当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝ae－bt＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24，所以再经过16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一． 答案：16解决实际应用问题的四大步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：“对勾”函数的性质 函数f (x )＝x ＋a x(a >0)．(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减．(2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ； 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a .易错防范(1)易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．(2)注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．1.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把图形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( )解析：选D.因为左侧部分面积为y ，随x 的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D 选项适合．2．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如表：A ．y ＝2xB ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D.根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B.依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x －30，则yx ≥2x10·4 000x－30＝10， 当且仅当x 10＝4 000x， 即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．(2018·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：选C.设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<11 000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油 解析：选D.根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对．6.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成矩形的最大面积为________．(围墙厚度不计) 解析：设矩形的长为x m ，宽为200－x4m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2. 答案：2 500 m 27．(2018·上海宝山区模拟)王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)________秒长途电话才合算．解析：设王先生每月拨打长途电话的时间为x 分钟，所需话费为y 元，若使用联通130，则所需话费y 元与通话时间x 分钟的函数关系式为y ＝12＋0.36×5x ＋3.6x ＝5.4x ＋12；若使用移动“神州行”，则所需话费y 元与通话时间x 分钟的函数关系式为y ＝0.6×5x ＋4.2x ＝7.2x .若用联通130合算，则5.4x ＋12≤7.2x ，解得x ≥203(分钟)＝400(秒)．答案：4008．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．解析：当0＜x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *)．当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *) 169．A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度． (1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 解：(1)x 的取值范围为10≤x ≤90. (2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝ ⎛⎭⎪⎫x －10032＋50 0003，所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使供电总费用y 最少．10．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为30＋105＝32(元)，故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x >0，x >0，得0<x <150.设单套丛书的利润为P 元，则P ＝x －(30＋1015－0.1x )＝x －100150－x－30，因为0<x <150，所以150－x >0，所以P ＝－[(150－x )＋100150－x]＋120，又(150－x )＋100150－x ≥2（150－x ）·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x ＝100150－x ，即x ＝140时等号成立，所以P max ＝－20＋120＝100.故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．1．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元解析：选C.甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t 2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t 4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，共获利40＋80＝120(万元)，故选C. 2．我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( )A ．2[x ＋1]B ．2([x ]＋1)C ．2{x }D ．{2x }解析：选C.如x ＝1时，应付费2元，此时2[x ＋1]＝4，2([x ]＋1)＝4，排除A ，B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1排除D ，故选C.3．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在 0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时． 解析：由已知条件，得192＝e b， 所以b ＝ln 192.又因为 48＝e22k ＋b＝e22k ＋ln 192＝192e 22k ＝192(e 11k )2，所以e 11k＝(48192)12＝(14)12＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×(12)3＝24.答案：244．某超市2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型．①f (x )＝p ·q x(q >0，q ≠1)； ②f (x )＝log p x ＋q (p >0，p ≠1)； ③f (x )＝x 2＋px ＋q .(1)能较准确反映超市月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为________． (2)若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x )min ＝________．解析：(1)因为f (x )＝pq x ，f (x )＝log p x ＋q 是单调函数，f (x )＝x 2＋px ＋q 中，f ′(x )＝2x ＋p ，令f ′(x )＝0，得x ＝－12p ，f (x )有一个零点，可以出现一个递增区间和一个递减区间，所以应选③f (x )＝x 2＋px ＋q 模拟函数． (2)因为f (1)＝10，f (3)＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋p ＋q ＝10，9＋3p ＋q ＝2，解得，p ＝－8，q ＝17，所以f (x )＝x 2－8x ＋17＝(x －4)2＋1，所以f (x )min ＝f (4)＝1. 答案：(1)③ (2)15．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg ⎝⎛⎭⎪⎫I 10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)． (1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m 2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7W/m 2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？解：(1)当声强为10－6W/m 2时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12得Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－610－12＝10lg 106＝60(分贝)．(2)当Y ＝0时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12得10lg ⎝⎛⎭⎪⎫I 10－12＝0.所以I10－12＝1，即I ＝10－12W/m 2，则最低声强为10－12W/m 2.(3)当声强为5×10－7W/m 2时，声强级Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫5×10－710－12＝10lg (5×105)＝50＋10lg 5，因为50＋10lg 5>50，所以这两位同学会影响其他同学休息．6．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%. (1)若建立函数模型y ＝f (x )制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；(2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y ＝120x ＋1；(ⅱ)y ＝log 2x －2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求． 解：(1)设奖励函数模型为y ＝f (x )， 则该函数模型满足的条件是：①当x ∈[10，100]时，f (x )是增函数； ②当x ∈[10，100]时，f (x )≤5恒成立． ③当x ∈[10，100]时，f (x )≤x5恒成立．(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y ＝120x ＋1， 它在[10，100]上是增函数，满足条件①；但当x ＝80时，y ＝5，因此，当x >80时，y >5，不满足条件②； 故该函数模型不符合公司要求．(b)对于函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2，它在[10，100]上是增函数，满足条件①，x ＝100时，y max ＝log 2100－2＝2log 25<5，即f (x )≤5恒成立．满足条件②，设h (x )＝log 2x －2－15x ，则h ′(x )＝log 2e x －15，又x ∈[10，100]， 所以1100≤1x ≤110，所以h ′(x )<log 2e 10－15<210－15＝0，所以h (x )在[10，100]上是递减的，因此h (x )<h (10)＝log 210－4<0，即f (x )≤x5恒成立，满足条件③，故该函数模型符合公司要求．综上所述，函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2符合公司要求．关于函数y ＝ax ＋b x(a ≠0，b ≠0)性质的推广 关于函数y ＝ax ＋b x(a ≠0且b ≠0)性质的讨论．当a >0，b >0时[特例] 当a ＝b ＝1时，函数化为f (x )＝x ＋1x.①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－x ＋1－x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝－f (x )，函数为奇函数．之后只需讨论x >0时的情况.当x >0时，③单调性：Δy ＝x 2－x 1x 1x 2(x 1x 2－1)，令x 1＝x 2＝x ，x 1x 2－1＝0，解得x ＝1，当0<x 1<x 2<1时，f (x )为减函数；当1<x 1<x 2时，f (x )为增函数．④渐近线：当x →0＋时，y →1x；当x →＋∞时，y →x ＋.⑤作出函数图象，如图1.⑥值域：当x ＝1时，f (x )有最小值2，值域为(2，＋∞)．[推广] y ＝ax ＋bx.①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋b x ＝－f (x )，函数为奇函数.当x >0时，③单调性：Δy ＝ax 2＋b x 2－ax 1－b x 1＝x 2－x 1x 1x 2·(ax 1x 2－b )，令x 1＝x 2＝x ，ax 1x 2－b ＝0解得x ＝ab a ，当0<x 1<x 2<ab a 时，f (x )为减函数；当aba<x 1<x 2时，f (x )为增函数．④渐近线：当x →0＋时，y →bx；当x →＋∞时，y →ax ＋.⑤图象略．⑥值域：当x ＝ab a 时，f (x )＝a ab a ＋ab ab＝2ab ，即为最小值2ab ，值域为()2ab ，＋∞.当a <0，b <0时此情况与情况1基本相同，作出函数图象，如图2.设函数为f (x )＝－ax －bx(此时a >0，b >0)①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－f (x )，函数为奇函数.当x >0时，③单调性：Δy ＝x 1－x 2x 1x 2(ax 1x 2－b )，同情况1，x ＝ab a ，得f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，ab a 上为增函数，在⎝⎛⎭⎪⎫ab a ，＋∞上为减函数．④渐近线：当x →0＋时，y →－b x ；当x →＋∞时，y →－ax ＋.⑤图象略．⑥值域：当x ＝ab a 时，f (x )＝－a ab a －abab＝－2ab ，即为最大值－2ab ，值域为()－∞，－2ab . 当a >0，b <0时[特例] 当a ＝1，b ＝－1时，函数化为f (x )＝x －1x.①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝－f (x )，函数为奇函数.当x >0时，③单调性：Δy ＝x 2－x 1x 1x 2(x 1x 2＋1)，得Δy >0，f (x )为增函数．④渐近线：当x →0＋时，y →－1x；当x →＋∞时y →x ＋.⑤作出函数图象，如图3.⑥值域为(－∞，＋∞)．[推广] 改函数为f (x )＝ax －b x(此时b >0)．①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫ax －b x＝－f (x )，函数为奇函数.当x >0时，③单调性：Δy ＝x 2－x 1x 1x 2(ax 1x 2＋b )，得Δy >0，f (x )为增函数．④渐近线：当x →0＋时，y →－b x；当x →＋∞时，y →ax ＋.⑤图象略．⑥值域为(－∞，＋∞)．当a <0，b >0时此情况与情况3基本相同，作出函数图象，如图4.设函数为f (x )＝－ax ＋bx(此时a >0)．①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－f (x )，函数为奇函数．③单调性：Δy ＝x 1－x 2x 1x 2·(ax 1x 2＋b )(x >0)，得Δy <0，f (x )为减函数．④渐近线：当x →0＋时，y →bx；当x →＋∞时，y →－ax ＋.⑤图象略．⑥值域为()－∞，＋∞.1.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把图形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( )解析：选D.因为左侧部分面积为y ，随x 的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D 选项适合．2．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如表：A ．y ＝2xB ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D .根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B.依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x －30，则yx ≥2x10·4 000x－30＝10， 当且仅当x 10＝4 000x， 即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．(2018·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：选C.设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<11 000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油 解析：选D .根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对．6.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成矩形的最大面积为________．(围墙厚度不计) 解析：设矩形的长为x m ，宽为200－x 4m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2. 答案：2 500 m 27．(2018·上海宝山区模拟)王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)。
高考数学第2章函数概念与基本初等函数9第9讲函数模型及其应用教案理高三全册数学教案
第9讲 函数模型及其应用1．几种常见的函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0) 对数函数模型f (x )＝b log a x ＋c(a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)幂函数模型 f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠0)2.三种函数模型性质比较y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞) 上的单调性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化随x 值增大，图象与y 轴接近平行 随x 值增大，图象与x 轴接近平行随n 值变化而不同判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数增长比一次函数增长更快．( )(2)在(0，＋∞)内，随着x 的增大，y ＝a x(a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x α(α>0)的增长速度．( )(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( ) (4)不存在x 0，使ax 0<x n0<log a x 0.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为图中的( ) 答案：B生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( ) A ．36万件 B ．18万件 C ．22万件D ．9万件解析：选B.设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18 时，L (x )有最大值．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行驶千米数x (km)之间的函数关系式是________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100. 答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100(教材习题改编)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1a log 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4.解得a ＝2，b ＝－2. 所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8.x ＝1 024(万元)．答案：1 024一次函数与二次函数模型(高频考点)高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现．高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度： (1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题； (2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．[典例引领]角度一 单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A ．10.5万元 B ．11万元 C ．43万元D ．43.025万元【解析】 该公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆， 所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1(x －212)2＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0，16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元，故选C . 【答案】 C角度二 以分段函数的形式考查一次函数和二 次函数(2018·山西孝义二轮模考)为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)． (1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解】 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115>0，解得x ≥2.3，因为x 为整数，所以3≤x ≤6.当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115>0，有3x 2－68x ＋115<0，结合x 为整数得6<x ≤20.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115（3≤x ≤6，x ∈Z ）－3x 2＋68x －115（6<x ≤20，x ∈Z ）. (2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185，对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6<x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.因为270>185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．一次函数、二次函数及分段函数模型的选取与应用策略(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．但应关注以下两点： ①构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏； ②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值． [提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解．[通关练习]1．某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数y ＝f (x )的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( ) A ．上午10：00 B ．中午12：00 C ．下午4：00D ．下午6：00解析：选C.当x ∈[0，4]时，设y ＝k 1x ， 把(4，320)代入，得k 1＝80，所以y ＝80x .当x ∈[4，20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4，320)，(20，0)分别代入可得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－20，b ＝400.所以y ＝400－20x .所以y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ，0≤x ≤4，400－20x ，4<x ≤20.由y ≥240，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，80x ≥240或⎩⎪⎨⎪⎧4<x ≤20，400－20x ≥240. 解得3≤x ≤4或4<x ≤8，所以3≤x ≤8. 故第二次服药最迟应在当日下午4：00.2．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段．已知跳水板AB 的长为2 m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3 m ．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A 处水平距离h m(h ≥1)时达到距水面最大高度4 m ．规定：以CD 为横轴，BC 为纵轴建立直角坐标系．(1)当h ＝1时，求跳水曲线所在抛物线的方程；(2)若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h 的取值范围． 解：由题意知抛物线的最高点为(2＋h ，4)，h ≥1，故设抛物线的方程为y ＝a [x －(2＋h )]2＋4.(1)当h ＝1时，最高点为(3，4)，方程为y ＝a (x －3)2＋4.将A (2，3)代入，得3＝a (2－3)2＋4，解得a ＝－1.所以当h ＝1时，跳水曲线所在抛物线的方程为y ＝－(x －3)2＋4.(2)将A (2，3)代入y ＝a [x －(2＋h )]2＋4，整理得ah 2＝－1.① 由题意，方程a [x －(2＋h )]2＋4＝0在区间[5，6]内有一解． 由①得，y ＝f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h2[x －(2＋h )]2＋4，则⎩⎪⎨⎪⎧f （5）＝－1h 2（3－h ）2＋4≥0，f （6）＝－1h2（4－h ）2＋4≤0，解得1≤h ≤43.故达到较好的训练效果时h 的取值范围是[1，43]．函数y ＝x ＋a x(a >0)模型[典例引领]小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋100x－38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元，当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．应用函数y ＝x ＋a x(a >0)模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝b x叠加而成的．(2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋b x的模型，有时可以将所列函数解析式转化为f (x )＝ax ＋b x的形式．[提醒] (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f (x )＝ax ＋b x求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室，在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？ 解：设矩形温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800xm ，所以蔬菜种植面积y ＝(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x <400)．因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，所以y ≤808－2×80＝648.当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时取等号，此时800x＝20，y max ＝648 m 2.即当矩形温室的边长各为40 m ，20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m 2. 指数、对数函数模型[典例引领](1)(2016·高考四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元．在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年(2)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．【解析】 (1)设经过x 年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋12%)x >200，即 1.12x>21.3⇒x >lg 21.3lg 1.12＝lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年． (2)M ＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A 1，A 2，则9＝lg A 1－lg A 0＝lg A 1A 0，则A 1A 0＝109，5＝lg A 2－lg A 0＝lg A 2A 0，则A 2A 0＝105，所以A 1A 2＝104. 即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍． 【答案】 (1)B (2)6 10 000指数型、对数型函数模型(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1＋p )x(其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义．(2018·湛江模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 解析：当t ＝0时，y ＝a ； 当t ＝8时，y ＝ae－8b＝12a ，故e －8b＝12. 当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝ae－bt＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24，所以再经过16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一． 答案：16解决实际应用问题的四大步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：“对勾”函数的性质 函数f (x )＝x ＋a x(a >0)．(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减．(2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ； 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a . 易错防范(1)易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．(2)注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性． 1.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把图形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( )解析：选D.因为左侧部分面积为y ，随x 的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D 选项适合．2．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.99－0.010.982.00A ．y ＝2xB ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D.根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( ) A ．240吨 B ．200吨 C ．180吨D ．160吨解析：选B.依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x －30，则yx≥2x10·4 000x－30＝10，当且仅当x 10＝4 000x， 即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．(2018·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：选C.设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<11 000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( ) A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油 解析：选D.根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对． 6.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成矩形的最大面积为________．(围墙厚度不计) 解析：设矩形的长为x m ，宽为200－x 4m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2.答案：2 500 m 27．(2018·上海宝山区模拟)王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)________秒长途电话才合算．解析：设王先生每月拨打长途电话的时间为x 分钟，所需话费为y 元，若使用联通130，则所需话费y 元与通话时间x 分钟的函数关系式为y ＝12＋0.36×5x ＋3.6x ＝5.4x ＋12；若使用移动“神州行”，则所需话费y 元与通话时间x 分钟的函数关系式为y ＝0.6×5x ＋4.2x ＝7.2x .若用联通130合算，则5.4x ＋12≤7.2x ，解得x ≥203(分钟)＝400(秒)．答案：4008．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．解析：当0＜x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *)．当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *) 169．A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 解：(1)x 的取值范围为10≤x ≤90. (2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝ ⎛⎭⎪⎫x －10032＋50 0003，所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使供电总费用y 最少．10．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为30＋105＝32(元)，故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x >0，x >0，得0<x <150.设单套丛书的利润为P 元，则P ＝x －(30＋1015－0.1x )＝x －100150－x－30，因为0<x <150，所以150－x >0，所以P ＝－[(150－x )＋100150－x ]＋120，又(150－x )＋100150－x≥2（150－x ）·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x ＝100150－x ，即x ＝140时等号成立，所以P max ＝－20＋120＝100.故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．1．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( ) A ．40万元 B ．60万元 C ．120万元D ．140万元解析：选C.甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t 2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t 4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，共获利40＋80＝120(万元)，故选C.2．我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( ) A ．2[x ＋1] B ．2([x ]＋1) C ．2{x } D ．{2x }解析：选C.如x ＝1时，应付费2元，此时2[x ＋1]＝4，2([x ]＋1)＝4，排除A ，B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1排除D ，故选C.3．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在 0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时． 解析：由已知条件，得192＝e b， 所以b ＝ln 192. 又因为 48＝e22k ＋b＝e22k ＋ln 192＝192e 22k ＝192(e 11k )2，所以e 11k＝(48192)12＝(14)12＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×(12)3＝24. 答案：244．某超市2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型．①f (x )＝p ·q x(q >0，q ≠1)； ②f (x )＝log p x ＋q (p >0，p ≠1)； ③f (x )＝x 2＋px ＋q .(1)能较准确反映超市月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为________． (2)若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x )min ＝________．解析：(1)因为f (x )＝pq x ，f (x )＝log p x ＋q 是单调函数，f (x )＝x 2＋px ＋q 中，f ′(x )＝2x ＋p ，令f ′(x )＝0，得x ＝－12p ，f (x )有一个零点，可以出现一个递增区间和一个递减区间，所以应选③f (x )＝x 2＋px ＋q 模拟函数． (2)因为f (1)＝10，f (3)＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋p ＋q ＝10，9＋3p ＋q ＝2，解得，p ＝－8，q ＝17，所以f (x )＝x 2－8x ＋17＝(x －4)2＋1，所以f (x )min ＝f (4)＝1. 答案：(1)③ (2)15．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg ⎝⎛⎭⎪⎫I 10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)． (1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m 2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7W/m 2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？解：(1)当声强为10－6W/m 2时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12得Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－610－12＝10lg 106＝60(分贝)．(2)当Y ＝0时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12得10lg ⎝⎛⎭⎪⎫I 10－12＝0. 所以I10－12＝1，即I ＝10－12W/m 2，则最低声强为10－12W/m 2.(3)当声强为5×10－7W/m 2时，声强级Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫5×10－710－12＝10lg (5×105)＝50＋10lg 5， 因为50＋10lg 5>50，所以这两位同学会影响其他同学休息．6．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%. (1)若建立函数模型y ＝f (x )制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；(2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y ＝120x ＋1；(ⅱ)y ＝log 2x －2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求． 解：(1)设奖励函数模型为y ＝f (x )， 则该函数模型满足的条件是：①当x ∈[10，100]时，f (x )是增函数； ②当x ∈[10，100]时，f (x )≤5恒成立． ③当x ∈[10，100]时，f (x )≤x5恒成立．(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y ＝120x ＋1，它在[10，100]上是增函数，满足条件①；但当x ＝80时，y ＝5，因此，当x >80时，y >5，不满足条件②； 故该函数模型不符合公司要求．(b)对于函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2，它在[10，100]上是增函数，满足条件①，x ＝100时，y max ＝log 2100－2＝2log 25<5，即f (x )≤5恒成立．满足条件②，设h (x )＝log 2x －2－15x ，则h ′(x )＝log 2e x －15，又x ∈[10，100]， 所以1100≤1x ≤110，所以h ′(x )<log 2e 10－15<210－15＝0，所以h (x )在[10，100]上是递减的，因此h (x )<h (10)＝log 210－4<0，即f (x )≤x5恒成立，满足条件③，故该函数模型符合公司要求．综上所述，函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2符合公司要求．关于函数y ＝ax ＋b x(a ≠0，b ≠0)性质的推广 关于函数y ＝ax ＋b x(a ≠0且b ≠0)性质的讨论．当a >0，b >0时[特例] 当a ＝b ＝1时，函数化为f (x )＝x ＋1x.①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－x ＋1－x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝－f (x )，函数为奇函数．之后只需讨论x >0时的情况.当x >0时，③单调性：Δy ＝x 2－x 1x 1x 2(x 1x 2－1)，令x 1＝x 2＝x ，x 1x 2－1＝0，解得x ＝1，当0<x 1<x 2<1时，f (x )为减函数；当1<x 1<x 2时，f (x )为增函数．④渐近线：当x →0＋时，y →1x；当x →＋∞时，y →x ＋.⑤作出函数图象，如图1.⑥值域：当x ＝1时，f (x )有最小值2，值域为(2，＋∞)．[推广] y ＝ax ＋bx.①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋b x ＝－f (x )，函数为奇函数.当x >0时，③单调性：Δy ＝ax 2＋bx 2－ax 1－b x 1＝x 2－x 1x 1x 2·(ax 1x 2－b )，令x 1＝x 2＝x ，ax 1x 2－b ＝0解得x ＝ab a ，当0<x 1<x 2<ab a 时，f (x )为减函数；当ab a<x 1<x 2时，f (x )为增函数．④渐近线：当x →0＋时，y →bx；当x →＋∞时，y →ax ＋.⑤图象略．⑥值域：当x ＝ab a 时，f (x )＝a ab a ＋ab ab＝2ab ，即为最小值2ab ，值域为()2ab ，＋∞.当a <0，b <0时此情况与情况1基本相同，作出函数图象，如图2.设函数为f (x )＝－ax －bx(此时a >0，b >0)①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－f (x )，函数为奇函数.当x >0时，③单调性：Δy ＝x 1－x 2x 1x 2(ax 1x 2－b )，同情况1，x ＝aba，得f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ab a 上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ab a ，＋∞上为减函数．④渐近线：当x →0＋时，y →－b x ；当x →＋∞时，y →－ax ＋.⑤图象略．⑥值域：当x ＝ab a 时，f (x )＝－a ab a －ab ab＝－2ab ，即为最大值－2ab ，值域为()－∞，－2ab . 当a >0，b <0时[特例] 当a ＝1，b ＝－1时，函数化为f (x )＝x －1x.①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝－f (x )，函数为奇函数.当x >0时，③单调性：Δy＝x 2－x 1x 1x 2(x 1x 2＋1)，得Δy >0，f (x )为增函数．④渐近线：当x →0＋时，y →－1x；当x →＋∞时y →x ＋.⑤作出函数图象，如图3.⑥值域为(－∞，＋∞)．[推广] 改函数为f (x )＝ax －bx(此时b >0)．①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫ax －b x ＝－f (x )，函数为奇函数.当x >0时，③单调性：Δy ＝x 2－x 1x 1x 2(ax 1x 2＋b )，得Δy >0，f (x )为增函数．④渐近线：当x →0＋时，y →－b x；当x →＋∞时，y →ax ＋.⑤图象略．⑥值域为(－∞，＋∞)．当a <0，b >0时此情况与情况3基本相同，作出函数图象，如图4.设函数为f (x )＝－ax ＋bx (此时a >0)．①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－f (x )，函数为奇函数．③单调性：Δy ＝x 1－x 2x 1x 2·(ax 1x 2＋b )(x >0)，得Δy <0，f (x )为减函数．④渐近线：当x →0＋时，y →b x；当x →＋∞时，y →－ax ＋.⑤图象略．⑥值域为()－∞，＋∞.1.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把图形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( )解析：选D.因为左侧部分面积为y ，随x 的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D 选项适合．2．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如表：A ．y ＝2xB ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D .根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( ) A ．240吨 B ．200吨 C ．180吨D ．160吨解析：选B.依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x －30，则yx ≥2x10·4 000x－30＝10， 当且仅当x 10＝4 000x， 即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．(2018·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：选C.设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<11 000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油 解析：选D .根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对． 6.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成矩形的最大面积为________．(围墙厚度不计) 解析：设矩形的长为x m ，宽为200－x 4m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2. 答案：2 500 m 27．(2018·上海宝山区模拟)王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)网络 月租费 本地话费 长途话费 甲：联通130 12元 0.36元/分 0.06元/秒 乙：移动“神州行”无0.60元/分0.07元/秒若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若用联通130应最少打________秒长途电话才合算．解析：设王先生每月拨打长途电话的时间为x 分钟，所需话费为y 元，若使用联通130，则所需话费y 元与通话时间x 分钟的函数关系式为y ＝12＋0.36×5x ＋3.6x ＝5.4x ＋12；若使用移动“神州行”，则所需话费y 元与通话时间x 分钟的函数关系式为y ＝0.6×5x ＋4.2x ＝7.2x .若用联通130合算，则5.4x ＋12≤7.2x ，解得x ≥203(分钟)＝400(秒)．答案：400。
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第9节 函数与数学模型考试要求 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义；3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义.知 识 梳 理1.指数、对数、幂函数模型性质比较2.几种常见的函数模型[微点提醒]1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()(3)不存在x0，使ax0<x n0<log a x0.()(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度.()解析(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×910＝99元.∴每件赔1元，(1)错.(2)中，当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确.(3)中，如a＝x0＝12，n＝14，不等式成立，(3)错.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(必修1P107A1改编)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：则对x ，y 最适合的拟合函数是( ) A.y ＝2x B.y ＝x 2－1 C.y ＝2x －2D.y ＝log 2x解析 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意. 答案 D3.(必修1P59A6改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A.2020年 B.2021年 C.2022年D.2023年解析 设经过n 年资金开始超过200万元， 即130(1＋12%)n >200.两边取对数，得n ·lg1.12>lg 2－lg 1.3， ∴n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元. 答案 B4.(2019·上海静安区月考)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元).一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( ) A.36万件 B.18万件 C.22万件D.9万件解析 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18万件时，L (x )有最大值.答案 B5.(2019·天津和平区质检)已知f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( ) A.f (x )>g (x )>h (x ) B.g (x )>f (x )>h (x ) C.g (x )>h (x )>f (x )D.f (x )>h (x )>g (x )解析 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x ∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次g (x )>f (x )>h (x ). 答案 B6.(2019·枣庄调研)某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元.销售额x 为64万元时，奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元.解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1，a log 464＋b ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，∴y ＝2log 4x －2，令2log 4x －2＝8，得x ＝45＝1 024. 答案 1 024考点一 利用函数的图象刻画实际问题【例1】 (2017·全国Ⅲ卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是( )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误. 答案 A规律方法 1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养. 【训练1】高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是()解析v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.答案 B考点二已知函数模型求解实际问题【例2】为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k 3x＋5(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值. 解 (1)当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40， ∴C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)， ∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10). (2)由(1)得f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10.令3x ＋5＝t ，t ∈[5，35]， 则y ＝2t ＋800t －10≥22t ·800t －10＝70(当且仅当2t ＝800t ，即t ＝20时等号成立)，此时x ＝5，因此f (x )的最小值为70.∴隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元. 规律方法 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点. (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 【训练2】 (2019·日照月考)已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q (x )(单位：百件)关于每件衣服的利润x (单位：元)的函数解析式为q (x )＝⎩⎨⎧1 260x ＋1，0<x ≤20，90－35x ，20<x ≤180，求该服装厂所获得的最大效益是多少元？ 解 设该服装厂所获效益为f (x )元，则f (x )＝100xq (x )＝⎩⎨⎧126 000xx ＋1，0<x ≤20，100x （90－35x ），20<x ≤180. 当0<x ≤20时，f (x )＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，f (x )在区间(0，20]上单调递增，所以当x ＝20时，f (x )有最大值120 000. 当20<x ≤180时，f (x )＝9 000x －3005·x x ，则f ′(x )＝9 000－4505·x ， 令f ′(x )＝0，∴x ＝80.当20<x <80时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当80≤x ≤180时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减， 所以当x ＝80时，f (x )有极大值，也是最大值240 000. 由于120 000<240 000.故该服装厂所获得的最大效益是240 000元. 考点三 构造函数模型求解实际问题多维探究角度1 二次函数、分段函数模型【例3－1】 (2019·锦州模拟)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数.当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年. (1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数解析式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.解 (1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2，当4<x ≤20时，设v ＝ax ＋b ， 显然v ＝ax ＋b 在(4，20]内是减函数， 由已知得⎩⎨⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52.故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20.(2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意， 由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20.当0<x ≤4时，f (x )为增函数，故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋252，f (x )max ＝f (10)＝12.5.所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.角度2 构建指数(对数)型函数模型【例3－2】 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)， 则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.故每年砍伐面积的百分比为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m ＝22a ，把x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110代入，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，即m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年.规律方法 1.指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.2.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.【训练3】 (1)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A.13 m 3B.14 m 3C.18 m 3D.26 m 3(2)(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48) A.1033B.1053C.1073D.1093解析 (1)设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx （0＜x ≤10），10m ＋（x －10）·2m （x ＞10）， 则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.(2)M ≈3361，N ≈1080，M N ≈33611080，则lg M N ≈lg 33611080＝lg 3361－lg1080＝361lg 3－80≈93.∴MN ≈1093.答案 (1)A (2)D[思维升华]解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题.以上过程用框图表示如下：[易错防范]1.解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年后”，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错，故建议复习时务必养成良好的审题习惯.2.在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系.3.解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为图中的()解析 由题意得关系式为h ＝20－5t (0≤t ≤4).图象应为B 项. 答案 B2.设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数).公司决定从原有员工中分流x (0<x <100，x ∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产.分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( ) A.15B.16C.17D.18解析 由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，则由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <100，x ∈N *，（100－x ）（1＋1.2x %）t ≥100t ，解得0<x ≤503.因为x ∈N *，所以x 的最大值为16. 答案 B3.某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A.10.5万元 B.11万元 C.43万元D.43.025万元解析 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0，16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元. 答案 C4.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg II 0(其中I 0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的( ) A.76倍B.1076倍C.10倍D.ln 76倍解析 由η＝10lg I I 0得I ＝I 010η10，所以I 1＝I 0107，I 2＝I 0106，所以I 1I 2＝10，所以70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的10倍. 答案 C5.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( ) A.8B.9C.10D.11解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<11 000，得n ≥10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”. 答案 C 二、填空题6.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________.解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥23 600x ×4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240.答案 307.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________(用常数a 表示).解析 令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2.所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值. 答案 14a 28.一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出， t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一. 解析 当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ，所以e －8b ＝12.容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24.所以再经过16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一. 答案 16 三、解答题9.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)·(x －6)，于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4时，函数f (x )取得极大值，也是最大值， 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故有a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎨⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4 L ，则m 的值为( ) A.5B.8C.9D.10解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t5， 因此，当k min 后甲桶中的水只有a4 L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14， ∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5. 答案 A12.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况解析 设该股民购这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a ＜a ，故该股民这支股票略有亏损. 答案 B13.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.解析 由已知条件，得192＝e b ， 又48＝e 22k ＋b ＝e b ·(e 11k )2，∴e 11k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋b ＝192 e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.答案 2414.某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，员工每年净增a 人(a ∈N *).(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？ (2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？ 解 设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元. 则y ＝2 000＋60x800＋ax(a ∈N *，1≤x ≤10，x ∈N *).(1)当a ＝10时，假设该企业的人均年终奖会超过3万元，则2 000＋60x800＋10x>3，解得x >403>10.所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元. (2)任取x 1，x 2∈N *，且1≤x 1<x 2≤10， 则f (x 2)－f (x 1)＝2 000＋60x 2800＋ax 2－2 000＋60x 1800＋ax 1＝（60×800－2 000a）（x2－x1）（800＋ax2）（800＋ax1）>0，所以60×800－2 000a>0，解得a<24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人.。