第二章 第9节函数与数学模型

第9节 函数与数学模型

考试要求 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义；3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义

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知 识 梳 理

1.指数、对数、幂函数模型性质比较

2.几种常见的函数模型

[微点提醒]

1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.

2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.

3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.

基础自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()

(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()

(3)不存在x0，使ax0

(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度.()

解析(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×9

10＝99元.

∴每件赔1元，(1)错.

(2)中，当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确.

(3)中，如a＝x0＝1

2，n＝

1

4，不等式成立，(3)错.

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

2.(必修1P107A1改编)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：

则对x ，y 最适合的拟合函数是( ) A.y ＝2x B.y ＝x 2－1 C.y ＝2x －2

D.y ＝log 2x

解析 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意. 答案 D

3.(必修1P59A6改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A.2020年 B.2021年 C.2022年

D.2023年

解析 设经过n 年资金开始超过200万元， 即130(1＋12%)n >200.

两边取对数，得n ·lg1.12>lg 2－lg 1.3， ∴n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝19

5，∴n ≥4，

∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元. 答案 B

4.(2019·上海静安区月考)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝1

2x 2＋2x ＋20(万元).一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( ) A.36万件 B.18万件 C.22万件

D.9万件

解析 利润L (x )＝20x －C (x )＝－1

2(x －18)2＋142，当x ＝18万件时，L (x )有最大值.

答案 B

5.(2019·天津和平区质检)已知f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( ) A.f (x )>g (x )>h (x ) B.g (x )>f (x )>h (x ) C.g (x )>h (x )>f (x )

D.f (x )>h (x )>g (x )

解析 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x ∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次g (x )>f (x )>h (x ). 答案 B

6.(2019·枣庄调研)某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元.销售额x 为64万元时，奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元.

解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1，a log 464＋b ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，

∴y ＝2log 4x －2，

令2log 4x －2＝8，得x ＝45＝1 024. 答案 1 024

考点一 利用函数的图象刻画实际问题

【例1】 (2017·全国Ⅲ卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是( )

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

解析由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误. 答案 A

规律方法 1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.

2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养. 【训练1】高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是()

解析v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.

答案 B

考点二已知函数模型求解实际问题

【例2】为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源

消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝

k 3x＋5

(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.