高中数学必修四北师大版 单位圆与周期性ppt课件(22张)
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高中数学北师大版必修4第一章《单位圆与周期函数》ppt课件
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
14
谢谢欣赏！
2019/8/29
最新中小学教学课件
15
课本P16练习T1(1)
公式一 sin(2k x) sin x, k z;
cos(2k x) cos x, k z.
这节课我们学了
它们能将任意角正弦Fra bibliotek数、余弦函数的三角函数化为 0º~360º角的三角函数
是周期函数， 2k (k Z, k 0)
为正弦函数、余弦函数的周期。如果函数
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
y
P(u, v),
2 x
ox M1 x
图5
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一
三角函数的值相等，也就是
终边相同的角的正弦函数值相等，即 sin(2k x) sin x, k z; 终边相同的角的余弦函数值相等，即 cos(2k x) cos x, k z.
y=f(x)的周期是T，那么函数y=f(ωx＋φ)的周
期是
T' T
课本P20习题1—4 A组T4。
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
2019/8/29
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14
谢谢欣赏！
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15
课本P16练习T1(1)
公式一 sin(2k x) sin x, k z;
cos(2k x) cos x, k z.
这节课我们学了
它们能将任意角正弦Fra bibliotek数、余弦函数的三角函数化为 0º~360º角的三角函数
是周期函数， 2k (k Z, k 0)
为正弦函数、余弦函数的周期。如果函数
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
y
P(u, v),
2 x
ox M1 x
图5
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一
三角函数的值相等，也就是
终边相同的角的正弦函数值相等，即 sin(2k x) sin x, k z; 终边相同的角的余弦函数值相等，即 cos(2k x) cos x, k z.
y=f(x)的周期是T，那么函数y=f(ωx＋φ)的周
期是
T' T
课本P20习题1—4 A组T4。
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
北师大版高中数学必修4第一章第一节周期现象(共21张PPT)
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.8.3121.8.31Tuesday, August 31, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。12:06:0912:06:0912:068/31/2021 12:06:09 PM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.8.3112:06:0912:06Aug-2131-Aug-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。12:06:0912:06:0912:06Tuesday, August 31, 2021
1.1周期现象
1.教材的 地位，作
用
2.教学目 标
教材分 析
3.教学重 难点
一.教材分析
1.教材的地位与作用，及前后联系
（1）本书由北师大出版，本节课的内容出自高中数学必修四第一章一节，内容是周期。
（2）通过前面的学习，已经让我们了解到了数学的严谨性和灵活性，本节内容是在我们 已有的数学思维上对新内容的一个拓展，即通过观察现象让学生对周期现象有一个大概的 认识，进而总结出规律和特点。达到让同学们通过现象看本质，从而学会发散思维，归纳 总结的学习能力。
2.回顾定义，引出新知
定义：事物在运动，变化过程中，某些特征多次重复出现，其连续两次出现所经过的时间 叫做周期。
3.实践探索，感受特征
举出我们身边的普遍的周期现象。例如，日出和日落，四季的轮回……让学生感受其特征
4.例题教学，巩固新知
例题：海水会发生潮汐现象，每一昼夜潮水会涨落两次，潮汐现象是周期现象，当潮汐发生 时，水的深度会产生周期性变化，为了研究水深的变化规律，我们可以构造一个函数，考察 水深H和时间t的关系，那么H就是t的函数，函数的自变量是t，因变量是水深H。
高中数学北师大版必修四课件：第一章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义-4.2 单位圆与周期性
C.第三象限
D.第四象限
解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P在第四象限，故选D.
解析 答案
(2)判断下列各式的符号. ①sin 145°cos(－210°)； 解 ∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0， ∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.
跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a， 4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.
解 r＝ －3a2＋4a2＝5|a|.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝yr＝54aa＝45，cos α＝xr＝－53aa＝－35， ∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝－45aa＝－45，cos α＝－ －35aa＝35，
∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.
解答
命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值 3
例2 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋cos α 的值.
解答
反思与感悟
在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所
以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a，b)，则
所以 sin α＝ 23aa＝ 23， cos α＝2aa＝12.
若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，
Байду номын сангаас
所以 sin α＝－32aa＝－ 23，cos α＝－2aa＝－12.
解答
类型二 正弦、余弦函数值符号的判断
高中数学 1.4.2 单位圆与周期性课件1(新版)北师大版必修4
分别是O P 1 、O P 2 .
ppt精选
27
题型三 利用三角函数线求角的范围
解析：如图所示，先作出直线 y 3 ，与单位圆
2
有两个不同的交点P1、P2，则满足条件α的终边有两
个 ，分别是 OP1、OP2，在
. 或 2 33
y
3 2
0 2 内，yα的值 为
P2
P1
M2 O M1
x
ppt精选
28
3） 有向线段OM是余弦线.
4） 设单位圆与x轴的非负半轴交于点A(1,0)，过点A作
垂线与角α的终边（或其反向延长线）交于点T，则有
向线段AT就是正切线.
ppt精选
32
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
23
题型二 利用三角函数线比较函数值的大小
例2.利用三角函数线比较三角函数值的大小
(1) s i n 5 与 s i n 7 (2) c o s 5 与 c o s 7(3) t a n 5 与 t a n 7
46
46
46
y
解：
T1
M2 M1
P2
o
T2
Ax
(1)
sin5
4
sin7
6
(2) cos5 cos7
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5
自主探究
1.在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线段 的比，那么，任意角的三角函数是否也可以看 成是线段的比呢？
不能，因为任意角的三角函数有正负.
ppt精选
6
自主探究
2.在三角函数定义中，是否可以在角 α的终边上 取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为简 单？ 可以，特殊点取角α的终边与单位圆的交点.
高中数学北师大版必修4《第1章44.2单位圆与周期性》课件
关系，提升数学运算素养.
2
1．任意角的正弦、余弦函数的定义 (1)单位圆的定义 在直角坐标系中，以_坐__标__原__点__为圆心，以 _单__位__长__度___为半径的圆，称为单位圆． (2)如图所示，设 α 是任意角，其顶点与原点重合，始边与 x 轴 _非_负__半__轴__重合，终边与单位圆 O 交于点 P(u，v)，那么：
[提示] 2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期．
1．已知 P(3,4)是终边 α 上一点，则 sin α 等于( )
3
4
A.4
B.3
4
3
C.5
D.5
C [∵r＝ 32＋42＝5，∴sin α＝45.]
9
2．已知角 α 的终边上一点的坐标为sin
23π，cos
23π，则角
α的
最小正值为( )
18
所以 kπ＜α＜kπ＋2π(k∈Z)． 当 k 为偶数时，设 k＝2m(m∈Z)，有 2mπ＜α＜2mπ＋π2(m∈Z)； 当 k 为奇数时，设 k＝2m＋1(m∈Z)， 有 2mπ＋π＜α＜2mπ＋32π(m∈Z)．所以 α 为第一或第三象限角．又 由 cos α＜0，可知 α 为第三象限角．
数学人教版 高中数学
4.2 单位圆与周期性
学习目标
核心素养
1.通过学习任意角的正弦、余弦 1.理解任意角的正弦、余弦的定
的定义及周期函数的定义，培养 义及其应用．(重点)
数学抽象素养． 2．掌握同角的正弦、余弦函数
2．通过正弦、余弦定义的应用 值间的关系．(重点)
及同角的正弦、余弦函数值间的 3．理解周期函数的定义．(难点)
26
＝f－π3＋fπ4
＝－fπ3＋fπ4
2
1．任意角的正弦、余弦函数的定义 (1)单位圆的定义 在直角坐标系中，以_坐__标__原__点__为圆心，以 _单__位__长__度___为半径的圆，称为单位圆． (2)如图所示，设 α 是任意角，其顶点与原点重合，始边与 x 轴 _非_负__半__轴__重合，终边与单位圆 O 交于点 P(u，v)，那么：
[提示] 2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期．
1．已知 P(3,4)是终边 α 上一点，则 sin α 等于( )
3
4
A.4
B.3
4
3
C.5
D.5
C [∵r＝ 32＋42＝5，∴sin α＝45.]
9
2．已知角 α 的终边上一点的坐标为sin
23π，cos
23π，则角
α的
最小正值为( )
18
所以 kπ＜α＜kπ＋2π(k∈Z)． 当 k 为偶数时，设 k＝2m(m∈Z)，有 2mπ＜α＜2mπ＋π2(m∈Z)； 当 k 为奇数时，设 k＝2m＋1(m∈Z)， 有 2mπ＋π＜α＜2mπ＋32π(m∈Z)．所以 α 为第一或第三象限角．又 由 cos α＜0，可知 α 为第三象限角．
数学人教版 高中数学
4.2 单位圆与周期性
学习目标
核心素养
1.通过学习任意角的正弦、余弦 1.理解任意角的正弦、余弦的定
的定义及周期函数的定义，培养 义及其应用．(重点)
数学抽象素养． 2．掌握同角的正弦、余弦函数
2．通过正弦、余弦定义的应用 值间的关系．(重点)
及同角的正弦、余弦函数值间的 3．理解周期函数的定义．(难点)
26
＝f－π3＋fπ4
＝－fπ3＋fπ4
北师大版高中数学必修4课件1.4单位圆与周期性课件
点拨：当角
0 2π 之间时，常利用“终边相同角的三 角函数值相等”，把该角转化到 0 2 π 之间，再求值。
【自主解答】
23 π (1)sin－ π＝sin－4π＋ ＝sin 6 6
不在
π 1 ＝ 6 2
1 (2)cos 1 500° ＝cos(4×360° ＋60° )＝cos 60° ＝ 2
北京师范大学出版社 ︱必修四
第一章 · 三角函数
1.4.2 单位圆与周期性
新课导入
1、任意角的三角函数的定义过程：
直角三角形中定义锐角三角函数
s in b a b , cos , ta n r r a
b a b , cos , ta n r r a
直角坐标系中定义锐角三角函数
巩固练习
1、求下列三角函数值
(1) cos(1050 ) π 31 (2) sin 4
【解】 (1)∵－1 050° ＝－3×360° ＋30° ， ∴－1 050° 的角与 30° 的角终边相同。 3 ∴cos(－1 050)° ＝cos 30° ＝ 2 31π π (2)∵－ ＝－4×2π＋ ， 4 4 31π π ∴角－ 与角 的终边相同。 4 4
s in
单位圆中定义锐角三角函数
b s in b , c o s a , ta n a
单位圆中定义任意角的三角函数
s in y , c o s x
, tan
y x
2、三角函数的定义域、值域：
三角函数 定义域
sin cos tan
R R
sin （ +2kπ)=sin ,(k Z)
（2）终边相同角的余弦函数值相等，即
周期现象-北师大版高一数学必修4课件(共21张PPT)
02 自然界中存在丰富的周期现象
03 可以用列表、图像、解析式法刻画周期现象
04 利用函数描述周期现象时，会出现不同的自变量
时间、角度等都可以作为自变量。
完成课后习题1-1 第1，2，3题.
THANKS
θ
根据物理知识， y和的变化是周期变化的 .
y
A N
例3.右图是水车的示意图.水车上点P到水面 的距离为y.
假设水车5 min 转一圈，那么y每经5 min 就会 取相同的值，因此，距离y随时间变化的现 象也是周期现象.
1.地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象吗？
是
2.连续抛一枚质地均匀的 硬币，面值朝上我们记 为0，面值 朝下我们记为1，数字0和1是否会周期性地重复出 现？
否
3.地球同步卫星绕地球公转是周期现象吗？
是
1.如图，已知水轮每分钟 转动四圈，水轮上的点 P
相对于水面的高度 y（m）与时间 x(min) 满足函数关
系f (x)，若x 0 min 时，P在最高点，则点 P到最低
点的时间最少是
（）
A.5s
B.7.5s
C.5min
D.7.5min
P
O
2. 某摩天轮有八个座舱，标号分别为1,2,3,4,5,
本章将从周期现象出发 ，引入弧度制 ，学习三角函数的图像和 性质， 并通过实例了解三角函 数在日常生活中的简单 应用.
钱塘江潮
“八月十八潮，壮观天下无。”这是北宋大诗人苏东坡咏赞钱塘 江潮的千古名句.可见，每年出现最佳观潮时间基本是相同的，其 次，潮水大约在每一昼夜时间里会涨落两次，无论是每年的最佳 观潮时间还是潮汐现象都是每间隔一段时间会重复出现的现象.
潮汐现象、地球围绕太 阳旋转、风车扇叶的旋 转、 时钟的指针的运动等都 是周期现象 .
03 可以用列表、图像、解析式法刻画周期现象
04 利用函数描述周期现象时，会出现不同的自变量
时间、角度等都可以作为自变量。
完成课后习题1-1 第1，2，3题.
THANKS
θ
根据物理知识， y和的变化是周期变化的 .
y
A N
例3.右图是水车的示意图.水车上点P到水面 的距离为y.
假设水车5 min 转一圈，那么y每经5 min 就会 取相同的值，因此，距离y随时间变化的现 象也是周期现象.
1.地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象吗？
是
2.连续抛一枚质地均匀的 硬币，面值朝上我们记 为0，面值 朝下我们记为1，数字0和1是否会周期性地重复出 现？
否
3.地球同步卫星绕地球公转是周期现象吗？
是
1.如图，已知水轮每分钟 转动四圈，水轮上的点 P
相对于水面的高度 y（m）与时间 x(min) 满足函数关
系f (x)，若x 0 min 时，P在最高点，则点 P到最低
点的时间最少是
（）
A.5s
B.7.5s
C.5min
D.7.5min
P
O
2. 某摩天轮有八个座舱，标号分别为1,2,3,4,5,
本章将从周期现象出发 ，引入弧度制 ，学习三角函数的图像和 性质， 并通过实例了解三角函 数在日常生活中的简单 应用.
钱塘江潮
“八月十八潮，壮观天下无。”这是北宋大诗人苏东坡咏赞钱塘 江潮的千古名句.可见，每年出现最佳观潮时间基本是相同的，其 次，潮水大约在每一昼夜时间里会涨落两次，无论是每年的最佳 观潮时间还是潮汐现象都是每间隔一段时间会重复出现的现象.
潮汐现象、地球围绕太 阳旋转、风车扇叶的旋 转、 时钟的指针的运动等都 是周期现象 .
高中数学第一章三角函数441单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义42单位圆与周期性课件北师大版必
一、预习教材·问题导入 1．正弦、余弦函数是怎样定义的？
2．正弦、余弦函数在各象限的符号是什么？ 3．周期函数的定义是什么？ 4．正弦、余弦函数的周期性怎样？
二、归纳总结·核心必记
1．正弦、余弦函数的定义 (1)对于任意角 α，使角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负 半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点 P(u，v)，那么点 P 的
3．[变设问]本例(2)条件不变，设问变为α2终边在第几象限？ 解：由 sin α＞0，cos α＜0 知 α 的终边在第二象限，即 2kπ ＋π2＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋π4＜α2＜kπ＋π2(k∈Z)，∴α2终 边在第一、三象限．
考点三 利用 2kπ＋α(k∈Z)的正、余弦公式求值
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)终边相同的角的同名三角函数值相等
( √)
(2)若 sin α＞0，则 α 是第一、二象限角
(× )
(3)函数 f(x)＝|x|满足 f(－1＋2)＝f(－1)，则这个函数的周期
为－1
(× )
(4)若 T 是函数 ƒ(x)的周期，则 kT，k∈N*也是函数 f(x)的周期．
解：∵f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－fx＋1 3＝－－11 ＝f(x)， fx
∴f(x)是周期函数，且 6 是它的一个周期．
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
(1)点 P 的坐标； (2)∠AOQ 的正弦函数值、余弦函数值．
[解] (1)设点 P 的坐标为(x，y)，则 x＝cos∠AOP＝cosπ3＝12，
2．正弦、余弦函数在各象限的符号是什么？ 3．周期函数的定义是什么？ 4．正弦、余弦函数的周期性怎样？
二、归纳总结·核心必记
1．正弦、余弦函数的定义 (1)对于任意角 α，使角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负 半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点 P(u，v)，那么点 P 的
3．[变设问]本例(2)条件不变，设问变为α2终边在第几象限？ 解：由 sin α＞0，cos α＜0 知 α 的终边在第二象限，即 2kπ ＋π2＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋π4＜α2＜kπ＋π2(k∈Z)，∴α2终 边在第一、三象限．
考点三 利用 2kπ＋α(k∈Z)的正、余弦公式求值
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)终边相同的角的同名三角函数值相等
( √)
(2)若 sin α＞0，则 α 是第一、二象限角
(× )
(3)函数 f(x)＝|x|满足 f(－1＋2)＝f(－1)，则这个函数的周期
为－1
(× )
(4)若 T 是函数 ƒ(x)的周期，则 kT，k∈N*也是函数 f(x)的周期．
解：∵f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－fx＋1 3＝－－11 ＝f(x)， fx
∴f(x)是周期函数，且 6 是它的一个周期．
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
(1)点 P 的坐标； (2)∠AOQ 的正弦函数值、余弦函数值．
[解] (1)设点 P 的坐标为(x，y)，则 x＝cos∠AOP＝cosπ3＝12，
1.4.2单位圆与周期性 课件高中数学必修4(北师大版)
综上所述，对于任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1.
本 课 时 栏 目 开 关
1.4.2
探究点三 正、余弦函数的周期性 由任意角的三角函数的定义可以知道， 终边相同的角的同一 三角函数值相等 .由此得到正弦函数和余弦函数的周期性 . sin(k· 360° ＋ α)＝ sin α ，cos(k· 360° ＋α)＝ cos α ，k∈Z. 或者： sin(2kπ＋ α)＝ sin α， cos(2kπ＋α)＝ cos α，k∈ Z. 这组公式的作用是将求任意角的三角函数值转化为求 0° ～ 360° 的三角函数值 .
本 课 时 栏 目 开 关
1.4.2
1.三角函数线 如图， 设单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A， 与角 α 的终边交 于 P 点.过点 P 作 x 轴的垂线 PM，垂足为 M.单位圆中的有 向线段 MP 、OM .分别叫作角 α 的正弦线、余弦线.记作： sin α＝ MP ，cos α＝ OM .
本 课 时 栏 目 开 关
作垂线，垂足为 M，则由垂足 M 指向点 P 的有向线段 MP 就叫作 α 的正弦线，位于 x 轴上，由原点指向垂足 M 的有 向线段 OM 就是 α 的余弦线.
过点 A(1,0)作单位圆的切线，切线与角 α 的终边或其反向延 长线交于点 T，则由 A 指向交点 T 的有向线段 AT 就叫角 α 的正切线.
本 课 时 栏 目 开 关
问题 4 若 α 为第一象限角，证明 sin α＋cos α>1.
证明 设角 α 的终边与单位圆交于点 P， 过 P 作 PM⊥x 轴， 垂足为 M，则 sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1. 在 Rt△OMP 中，由两边之和大于第三边得 MP＋OM>OP， 即 sin α＋cos α>1.
本 课 时 栏 目 开 关
1.4.2
探究点三 正、余弦函数的周期性 由任意角的三角函数的定义可以知道， 终边相同的角的同一 三角函数值相等 .由此得到正弦函数和余弦函数的周期性 . sin(k· 360° ＋ α)＝ sin α ，cos(k· 360° ＋α)＝ cos α ，k∈Z. 或者： sin(2kπ＋ α)＝ sin α， cos(2kπ＋α)＝ cos α，k∈ Z. 这组公式的作用是将求任意角的三角函数值转化为求 0° ～ 360° 的三角函数值 .
本 课 时 栏 目 开 关
1.4.2
1.三角函数线 如图， 设单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A， 与角 α 的终边交 于 P 点.过点 P 作 x 轴的垂线 PM，垂足为 M.单位圆中的有 向线段 MP 、OM .分别叫作角 α 的正弦线、余弦线.记作： sin α＝ MP ，cos α＝ OM .
本 课 时 栏 目 开 关
作垂线，垂足为 M，则由垂足 M 指向点 P 的有向线段 MP 就叫作 α 的正弦线，位于 x 轴上，由原点指向垂足 M 的有 向线段 OM 就是 α 的余弦线.
过点 A(1,0)作单位圆的切线，切线与角 α 的终边或其反向延 长线交于点 T，则由 A 指向交点 T 的有向线段 AT 就叫角 α 的正切线.
本 课 时 栏 目 开 关
问题 4 若 α 为第一象限角，证明 sin α＋cos α>1.
证明 设角 α 的终边与单位圆交于点 P， 过 P 作 PM⊥x 轴， 垂足为 M，则 sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1. 在 Rt△OMP 中，由两边之和大于第三边得 MP＋OM>OP， 即 sin α＋cos α>1.
高中数学 1.4.2 单位圆与周期性课件1(新版)北师大版必修4
y
解：
T1
M2
M1
P2
o
T2
Ax
(1) sin 5 sin 7
4
6
(2) cos 5 cos 7
4
6
P1
(3) tan 5 tan 7
4
6
第二十四页，共32页。
PPaaggee 24
点评：三角函数线是一个角的三角函数直观体现，从三角 函数线的方向可以看出(kàn chū)三角函数值的正负，其长度是 三角函数值的绝对值．因此，比较两个三角函数值的大小，可
y ，3与单位圆有两个
2
不同(bù tónɡ)的交点P1、P2，则满足条件α的终边有两个 ，
分别是 OP1、OP2，在
内，α的值 为
.
0 2
y
或 2
33
y
3
P2
P1
2
M2 O M1
x
第二十八页，共32页。
若0< α <2π，且sinα <
3, cosα > 2
1 2.利用三角函数
(sānjiǎhánshù)线，得到 αD的取值范围是（ ）
A． ( , ) B． (0, )
33
3
C． (5 ,2 )
D．
(0,
)
(5 ,2 )
3
33
解析：A明显范围(fànwéi)不对，B、C都不全面，故
选D.
第二十九页，共32页。
ห้องสมุดไป่ตู้
误区解密(jiě因m忽ì)略：有向线段(xiànduàn)的方向而出 错
若 （3，）, 则sin,cos, tan的大小顺序是( )
例1、分别作出下列角的正弦(zhèngxián)线、余弦线、正切线
2015年秋高二数学北师大版必修4课件：单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 单位圆与周期性
第一章 §4 4.1
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19 2. 6 π角的正弦值的符号为( A．正 C．0 [答案]
)
B．负 D．不能确定
B
19 7 7 3 [解析] ∵ 6 π＝2π＋6π，而π<6π<2π， 19 19 ∴ 6 π是第三象限角，∴sin 6 π<0.
第一章 §4 4.1
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1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课 时 作 业
第一章
§4
4.1
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课前自主预习
第一章
§4
4.1
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在初中，我们知道Rt△ABC 中，∠C为直角时，我们把锐角A的 对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记 作sinA；锐角A的邻边与斜边的比叫 作∠A的余弦，记作cosA，即sinA＝ 对边BC 邻边AC ，cosA＝ .当把锐角放在直角坐标系中时，角的 斜边AB 斜边AB 终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标．当所 求角是任意角时，能否通过单位圆及函数定义的形式引出正弦 函数的定义呢？这就是本节要研究的内容．
2.单位圆与周期性
相等 (1)终边相同的角的正、余弦函数值________ sinx ，k∈Z. sin(2kπ＋x)＝________ cosx ，k∈Z. cos(2kπ＋x)＝________
第一章 §4 4.1
Байду номын сангаас
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19 2. 6 π角的正弦值的符号为( A．正 C．0 [答案]
)
B．负 D．不能确定
B
19 7 7 3 [解析] ∵ 6 π＝2π＋6π，而π<6π<2π， 19 19 ∴ 6 π是第三象限角，∴sin 6 π<0.
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§4
4.1
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第一章
§4
4.1
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在初中，我们知道Rt△ABC 中，∠C为直角时，我们把锐角A的 对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记 作sinA；锐角A的邻边与斜边的比叫 作∠A的余弦，记作cosA，即sinA＝ 对边BC 邻边AC ，cosA＝ .当把锐角放在直角坐标系中时，角的 斜边AB 斜边AB 终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标．当所 求角是任意角时，能否通过单位圆及函数定义的形式引出正弦 函数的定义呢？这就是本节要研究的内容．
2.单位圆与周期性
相等 (1)终边相同的角的正、余弦函数值________ sinx ，k∈Z. sin(2kπ＋x)＝________ cosx ，k∈Z. cos(2kπ＋x)＝________
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高中数学北师大版必修四 周期现象 课件(33张)
音乐中存在着数学．下面是贝多芬“欢乐颂”的一个片段：
如果以时间为横轴，音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么 写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点： 实际上，音乐中的五线谱就相当于一 个坐标系，写在五线谱中的音符相当于 坐标系中的点，两个相邻点横坐标的差 就是前一个音符的音长，而一首乐曲就 是一个音高y关于时间x的函数y＝f(x)．
)
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序 D．某同学每天上学的时间
[答案] D
[ 解析 ] 每隔一年，春天就重复一次，因此 “ 春去春又 回”是周期现象；分针每隔一小时转一圈，是周期现象；天干 地支表示年、月、日是周期现象；该同学上学时间不固定，并 不是每隔“一段时间”就会重复一次，因此不是周期现象．
(5)地球的自转每24小时转一圈，并且每一个24小时总是重
复前一个24小时的动作，因而是周期现象．
[规律总结]
“每间隔一段时间会重复出现的现象称为周
期现象．”这里的“一段时间”即为周期现象的周期．
钟表钟摆的摆动呈什么规律，根据你平时的观察用文字叙 述一下．
[解析]
钟表的钟摆呈周期性变化，它从最低点摆向右，
火星公转一周约为687天，火星的一年约等于地球的两年．木星 绕太阳一周大约需要12年，但它的自转速度却是太阳系中最快 的，自转周期为9小时50分30秒．土星29年绕太阳一周，自转周 期为10小时．天王星的自转周期为17.24小时，公转周期为84.01 个地球年．海王星的自转周期约为22小时，公转周期为164.8 年．除了上述周期现象外，你还发现了生活中哪些周期现象？
天，呈现出周期性，故求158被7除的余数．
∵158÷7＝22……4，而今天是星期一， ∴158天后的那一天是星期五．
周期现象的概念及判断 下列现象是周期现象的是________(填序号)．
高中数学第一章三角函数1.4.2单位圆与周期性1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件北师大版必修4
1.4.2 单位圆与周期性 1.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的
基本性质
【知识提炼】 1.终边相同的角的正、余弦函数 (1)sin(x+k·2π)=_s_i_n_x_; (2)cos(x+k·2π)=_c_o_s_x_,k∈Z.
2.周期性 (1)条件: ①对于函数f(x)存在_非__零__常__数__T; ②对于定义域内的任意一个x值都有f(x+T)= _f_(_x_)_. (2)结论: ①函数f(x)为周期函数; ②_T_为函数的周期.
(3)对于正弦函数与余弦函数来说,它们的定义域均是全体实数,但并 不能说它们是增函数或减函数,而只能说在某个区间内是增加的或减 少的. (4)正弦函数的最值在单位圆与y轴的交点处取得,而余弦函数的最值 则在单位圆与x轴的交点处取得,要注意区分.
【题型探究】
类型一 函数周期性的应用
【典例】1.(2015·南安高一检测)cos 1 110°的值为 ( )
【解析】因为f(x)是周期为4的函数,所以f(-3)=f(-3+4)
=f(1)= 1 . 2
答案: 1 2
【知识探究】 知识点1 周期函数 观察图形,回答下列问题:
问题1:周期函数的定义域有什么特点? 问题2:周期函数的函数值、图像有什么样的特征?
【总结提升】 对于周期函数的四点认识 (1)对于定义域内的任意x,都有x+T属于定义域; (2)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,不一定有最 小正周期; (3)如果T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数的周期. (4)每相隔周期的整数倍,图像要重复出现.
3.函数y=2sinx在区间 [ , 5 ] 上的值域是________.
【解析】当x∈
基本性质
【知识提炼】 1.终边相同的角的正、余弦函数 (1)sin(x+k·2π)=_s_i_n_x_; (2)cos(x+k·2π)=_c_o_s_x_,k∈Z.
2.周期性 (1)条件: ①对于函数f(x)存在_非__零__常__数__T; ②对于定义域内的任意一个x值都有f(x+T)= _f_(_x_)_. (2)结论: ①函数f(x)为周期函数; ②_T_为函数的周期.
(3)对于正弦函数与余弦函数来说,它们的定义域均是全体实数,但并 不能说它们是增函数或减函数,而只能说在某个区间内是增加的或减 少的. (4)正弦函数的最值在单位圆与y轴的交点处取得,而余弦函数的最值 则在单位圆与x轴的交点处取得,要注意区分.
【题型探究】
类型一 函数周期性的应用
【典例】1.(2015·南安高一检测)cos 1 110°的值为 ( )
【解析】因为f(x)是周期为4的函数,所以f(-3)=f(-3+4)
=f(1)= 1 . 2
答案: 1 2
【知识探究】 知识点1 周期函数 观察图形,回答下列问题:
问题1:周期函数的定义域有什么特点? 问题2:周期函数的函数值、图像有什么样的特征?
【总结提升】 对于周期函数的四点认识 (1)对于定义域内的任意x,都有x+T属于定义域; (2)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,不一定有最 小正周期; (3)如果T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数的周期. (4)每相隔周期的整数倍,图像要重复出现.
3.函数y=2sinx在区间 [ , 5 ] 上的值域是________.
【解析】当x∈
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规律方法 有用处．
(1)确定已知角的终边，对于以后研究三角函数很
(2) 利用单位圆，可以非常直观方便地求出形如 sin x≥m或sin
x≤m的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用．
跟踪演练 1 在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范 围，并由此写出角 α 的集合： 3 1 (1)sin α≥ 2 ；(2)cos α≤－2. 3 解 (1)作直线 y＝ 2 交单位圆于 A、B 两点，连接 OA、OB， 则 OA 与 OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角 α 的终边的范 π 2 围，故满足条件的角 α 的集合为{α|2kπ＋ ≤α≤2kπ＋ π，k∈ 3 3 Z}．
正周期．
要点一 例1
单位圆及其应用
根据下列三角函数值，作出角 α 的终边，然后求角 α 的
取值集合． 1 1 (1)sin α＝ ；(2)cos α＝ . 2 2
1 解 (1)已知角 α 的正弦值，可知 P 点纵坐标为2.所以在 y 轴上
1 取点0，2.过这点作
x 轴的平行线，交单位圆于 P1，P2 两点，
π 则 OP1，OP2 是角 α 的终边，因而角 α 的集合为{α|α＝2kπ＋ 或 6 5π α＝2kπ＋弦值为2，所以在 x 轴上取点2，0，过该点作
x 轴的垂线，交单位圆于 P1、P2 两点，OP1，OP2 是所求角 α π 的终边，α 的取值集合为{α|α＝2kπ±3，k∈Z}．
规律方法 利用周期性可把负角的三角函数化为0到2π间的 三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三 角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角 的三角函数值．
跟踪演练 2 求下列各式的值．
15 25 10 (1)sin － 4 π ＋cos π＋cos(－ π)； 3 3
1 (2)作直线 x＝－2交单位圆于 C、D 两点，连接 OC、OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角 α 终边的范围，故 满足条件的角 α 的集合为
2 4 α|2kπ＋ π≤α≤2kπ＋ π，k∈Z 3 3
要点二 利用周期求值 例2 求下列角的三角函数值．
π (3)T＝2是函数 f(x)＝sin x 的周期．
π π π π 2 答 (1)当 x＝4时，sin 4＋2 ＝sin4＝ 2 成立．
π π 1 π π 3 (2)不成立．当 x＝ 时，sin 3＋2 ＝ ；sin ＝ ， 3 3 2 2
f
π x＋ ≠f(x)． 2
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4.2 单位圆与周期性
[学习目标] 1．掌握正弦、余弦函数的定义，理解正弦函数、余弦余数 都是周期函数．
2．会利用正、余弦函数的周期性把求任意角的正、余弦值
转化为0°～360°求值．
[知识链接] 设 f(x)＝sin x，请判断以下说法是否成立，并说明理由．
π π (1)当 x＝ 时，f x＋2＝f(x)； 4 π π (2)当 x＝3时，f x＋2＝f(x)；
(2)sin 810° ＋cos 765° －sin 1 125° ＋cos 180° ＋sin(－2 010° )． 解
π π 2 π (1) 原式＝ sin －4π＋4 ＋ cos 8π＋3 ＋ cos －4π＋3π ＝ sin 4
cos(α＋k·2π)＝
由此我们可以得到如下结论： (1) 正弦函数、余弦余数都
是周期函数，2kπ (k∈Z且k≠0)都是它们的周期．(2)终边
相同的角的同一三角函数的值 相等 ．
3．周期函数的有关概念 (1)周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在 非零 实数T，任取定义域内的任
意一个x值，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就称为周期 函数，T称为这个函数的 周期 ． (2)最小正周期 2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小
π (3)T＝2不是函数 f(x)＝sin x 的周期，周期函数的定义是对定义 域中的每一个 x 值来说的，只有个别的 x 值满足 f(x＋T)＝f(x) 不能说 T 是 f(x)的周期．
[预习导引]
1．三角函数的定义域
正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的定义 域是R. 2．正、余弦函数的周期性 sin(α＋k·2π)＝ sin ， α k∈Z； cos， α k∈Z.
要点三 周期求法 例 3 求下列三角函数的周期：(1)y＝3cos x，x∈R (2)y＝sin 2x，x∈R
1 π (3)y＝2sin2x－6
19 31 (1)cos(－1 050° )；(2)cos π；(3)sin(－ π)． 3 4 解 (1)∵－1 050° ＝－3×360° ＋30° ， ∴－1 050° 的角与 30° 的角终边相同， 3 ∴cos(－1 050° )＝cos 30° ＝ ； 2
19 π 19 π (2)∵ π＝3×2π＋ ，∴角 π 与角 的终边相同， 3 3 3 3 19 π 1 ∴cos 3 π＝cos3＝2； 31 π (3)∵－ 4 π＝－4×2π＋4， 31 π ∴角－ π 与角 的终边相同， 4 4 31 π 2 ∴sin(－ 4 π)＝sin4＝ 2 .
π 2 ＋cos3＋cos3π 2 1 1 2 ＝ 2 ＋2＋ －2 ＝ 2 .
(2) 原式＝ sin(2×360° ＋ 90° ) ＋ cos(2×360° ＋ 45° ) － sin(3×360° ＋45° )＋cos 180° ＋sin(－6×360° ＋150° ) ＝sin 90° ＋cos 45° －sin 45° ＋cos 180° ＋sin 150° 2 2 1 1 ＝1＋ 2 － 2 ＋(－1)＋2＝2.