铅锤高求三角形面积法

作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法

------------二次函数教学反思

最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2

1

=

∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由. 解：（1）B （1

（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （1, ，得a ，因此2y =+ （3）如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小.

设直线AB 为y =kx +b .所以20.k k b k b b ⎧=⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩

解得，因此直线AB 为y +，当x =－1时，y =

，因此点C 的坐标为（－13）.

（4）如图，过P 作y 轴的平行线交AB 于D .

B 图1

222

1

()()

2

132********

331932PAB PAD PBD D P B A S S S y y x x x x x x x x ∆∆∆=+=--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=-

-+⎛⎫=-++

⎪⎝⎭

当x =－

1

2时，△PAB 的面积的最大值为93，此时13,2P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭

. 例2．(2014益阳) 如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △PAB =8

9

S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(2

1+-=x a y 把A （3,0）代入解析式求得1-=a 所以324)1(22

1++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析

式为：b kx y +=2由322

1++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 把

)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中

解得：

3,1=-=b k 所以32+-=x y

(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝23232

1

=⨯⨯=

∆CAB S (平方单位) (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则

x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89

S △CAB 得38

9)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简

得：091242

=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)4

15,23(

例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2

与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.

图-2

x

C

O

y A

B

D 1 1

解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2

y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴2

3b c =-⎧⎨=⎩

∴抛物线解析式为：2

23y x x =--+

(2)存在。 理由如下：由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称

∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点， 此时△AQC 周长最小 ∵2

23y x x =--+ ∴C 的坐标为：(0，3) 直线BC 解析式为：3y x =+ Q 点坐标即为1

3

x y x =-⎧⎨

=+⎩的解

∴1

2x y =-⎧⎨

=⎩

∴Q(－1，2) （3）答：存在。理由如下：

设P 点2

(23) (30)x x x x --+-<<，

∵9

2

BPC BOC BPCO BPCO S S S S ∆∆=-=-四边形四边形若BPCO S 四边形有最大值，则BPC S ∆就最大，∴BPE BPCO PEOC S S S ∆+Rt 四边形直角梯形＝11

()22

BE PE OE PE OC =

⋅++ ＝2211(3)(23)()(233)22x x x x x x +--++---++＝233927()2228

x -+++ 当32x =-时，BPCO S 四边形最大值＝92728+ ∴BPC S ∆最大＝927927

2828+-=

当32x =-时，215234x x --+=∴点P 坐标为315

( )24

-，