高中数学选修22人教A版 .2反证法PPT
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.2 2.2.2 反 证 法
自 测 自 评
上述步骤的正确顺序为________(填序号)．
解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序 应为③①②. 答案：③①②
栏 目 链 接
自 测 自 评
3.“实数 a，b，c 不全大于 0”等价于( A．a，b，c 均不大于 0 B．a，b，c 中至少有一个大于 0 C．a，b，c 中至多有一个大于 0 D．a，b，c 中至少有一个不大于 0
栏 目 链 接
题型3
用反证法证明唯一性命题
例3 用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直 线b与已知直线a平行．
栏 目 链 接
证明：假设过点 A 还有一条直线 b′与已知直 线 a 平行，即 b∩b′＝A，b′∥a.因为 b∥a，由平 行公理知 b′∥b.这与假设 b∩b′＝A 矛盾，所以 假设错误，故原命题成立．
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
1．已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数 列，求证： a， b， c不成等差数列．
解析： 假设 a， b， c成等差数列， 则 a＋ c＝2 b， 即 a＋c＋2 ac＝4b， 而 b2＝ac，即 b＝ ac，所以 a＋c＋2 ac＝4 ac， 所以( a－ c)2＝0.即 a＝ c， 从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾， 故 a， b， c不成等差数列．
证明：假设方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至少有两个实 根，设 α、β 为其中的两个实根．因为 α≠β，不妨设 α ＜β，又因为函数 f(x)在[a，b]上是单调递减函数，所以 f(α)＞f(β)．这与假设 f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程 f(x) ＝0 在区间[a，b]上至多有一个实根．
2
栏 目 链 接
高中数学选修2-2课件2.2.2《反证法》课件
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
例4 如图2.2 2,AB,CD为圆
的两条相交弦,且不全为直径. A
D
求证 AB,CD不能互相平分.
动画演示.
C
B
证明 假设AB,CD互相平分,
图2.2 2
则ACBD为平行四边形,故ACB ADB,
CAD CBD. 因为ABCD为圆内接四边形,所以
ACB ADB 180 0,CAD CBD 180 0.
指有面额的那面.
上述现 象可以用直 接证明的方 法解释, 但是, 我们这 里采用反证法.
假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上. 由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上,都需要 翻转奇数次,所以3枚硬币全部反面朝上时,需要
翻转3个奇数之和次,即要翻转奇数次.
但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被
翻转的次数只能是2 的倍数,即偶数次.这个矛盾
说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻转都不
人教版高中数学选修2-2第二章推理与证明复习小结优质课件
现命题等，著名哲学家康德说：“每当理智缺乏可靠论证思
路时，类比法往往能指明前进的方向．”
工具
人教A版数学选修2-2 第二章 推理与证明
栏目导引
特别提醒： (1) 归纳推理是由部分到整体，个体到一般
的推理，其结论正确与否，有待于严格证明．
(2) 进行类比推理时，要合理确定类比对象，不能乱 比，要对两类对象的共同特点进行对比．
[ 思维点击 ] 归纳猜想 ――→ fn推理与证明
栏目导引
1 [规范解答] 因为 an＝ 2， n＋1 f(n)＝(1－a1)(1－a2)„(1－an) 1 3 所以 f(1)＝1－a1＝1－4＝4，
1 1－ f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)· 9
推理与证明章末小结
工具
人教A版数学选修2-2 第二章 推理与证明
栏目导引
一、合情推理和演绎推理
1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事
实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后 提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体， 个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理 是由一般到特殊的推理．
推出结论的线索不够清晰； (2) 如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨 论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
工具
人教A版数学选修2-2 第二章 推理与证明
栏目导引
三、数学归纳法
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是
论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必 须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传 递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不 可，第二步中证明“当n ＝k ＋1 时结论正确”的过程中，必
《反证法》人教版高中数学选修1-2PPT课件(第2.2.2课时)
知识要点
反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很 少的几种情形.
知识要点
用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.
矛盾
所以 _假__设__不__成__立 ,即求证的命题正确. 命题成立
l3
P
l1
l2
知识要点
反证法的步骤 一、提出假设 假设待证命题不成立，或是命题的反面成立. 二、推理论证 以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论. 三、得出矛盾 这与“......”相矛盾. 四、结论成立 所以假设不成立，所求证的命题成立.
∴ ∠ 1 =∠ 2 =∠3(两直线平行，同位角相等) ∴ l 3∥ l2（同位角相等，两直线平行 ） 归纳
l1
l１
l2
P 2
l1
3
请同学们自己比较两种证明方法的各自特点，从中体验反证法的思考过程和特点.
新知探究
结合我们讲过的例子，我们可以得到什么？
思考
由上面的例子可以看出，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件 矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
知识要点
宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等.
高中数学课件- 反证法
反证法证明命题的一般步骤如下:
1.假设结论的反面成立; 反设
Байду номын сангаас
2.由这个假．设．出发,经过正确的推理, 归谬
导出矛盾;
推理过程中一定要用到才行
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定
命题的结论正确.
结论
▪ 1.用反证法证明命题：“若整系数一 元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根， 那么a，b，c中存在偶数”时，否定 结论应为( )
2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
例:小华睡觉前，地上是干的，早晨起来， 看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天 晚上下雨了。”
您能对小华的判断说出理由吗？
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是 干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以 说昨晚下雨是正确的。
道 旁 苦 李
王戎七岁时，爱和小朋友结伴玩耍.一天， 他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋 友一哄而上去摘李子，独有王戎没动.有人问 王戎为什么？
4 在用反证法证明“已知：p3＋q3＝2， 求证p＋q≤2”时的假设为__________， 得出的矛盾为__________．
▪ 解析：假设p＋q>2，则p>2－q. ▪ ∴p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3.
▪ 将p3＋q3＝2代入得：6q2－12q＋6<0， ▪ ∴(q－1)2<0，显然不成立．∴p＋q≤2. ▪ 答案：p＋q>2 (q－1)2<0
c＝z2－2x＋π.求证：a，b，c 中至少有一个大于 0. 6
证明：假设 a，b，c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0， ∴a＋b＋c≤0. 而 a＋b＋c ＝(x2－2y＋π2)＋(y2－2z＋π3)＋(z2－2x＋π6) ＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. ∴a＋b＋c>0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾， 故 a，b，c 中至少有一个大于 0.
高中数学2.2.2《反证法》优秀课件
解：略。说明：“至少”型命题常用反证法，由于其反面情况 也只有一种可能，所以属于归谬反证法。
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎， C说A、B都撒谎。那么C必定是在撒谎， 为什么？
分析:假设C没有撒谎, 那么C真. - - 那么A假且B假;
证 ： 假 设2是 有 理 数 ，
则 存 在 互 质 的 整 数 m ， n 使 得 2=m， n
∴ m = 2n ∴m2 =2n2
∴ m 2 是 偶 数 ， 从 而 m 必 是 偶 数 ， 故 设 m = 2 k （ k ∈ N ）
从 而 有 4 k 2= 2 n 2 ， 即 n 2= 2 k 2 ∴n2也是偶数，这 与 m ， n 互 质 矛 盾 ！
例2 a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个 根．
证 ： 假 设 方 程 a x + b = 0 ( a ≠ 0 ) 至 少 存 在 两 个 根 ，
不 妨 设 其 中 的 两 根 分 别 为 x 1 ， x 2 且 x 1 ≠ x 2 则 ax1=b， ax2=b∴ax1 =ax2 ∴ax1-ax2 =0 ∴ a（ x1-x2） =0 ∵ x 1≠ x 2 ， x 1-x 2 ≠ 0 ∴a = 0 与 已 知 a≠ 0矛 盾 , 故 假 设 不 成 立 ， 结 论 成 立 。
所 以 假 设 不 成 立 ， 2 是 有 理 数 成 立 。
练习: 1.已知 f ( x) x2 px q ， 求证：| f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有一个不小于 1 。
2
1.已知 f ( x) x2 px q ，求证：| f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修2-2
(2)用反证法证题时,一定要用到“反设”进行推理,否则就不 是反证法.用反证法证题时,如果欲证明命题的反面情况只有 一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以;若结论的反面情况 有多种,则必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断结论成
立.
(3)证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个命题,即存在
性和唯一性.
类型二
用反证法证明存在性命题
【典例2】 (1)(2014·西安高二检测)“任何三角形的外角都至少有两 个钝角”的否定是 .
(2)(2014·石家庄高二检测)已知a,b,c均为实数,且a= x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ ,求证:a,b,c中至少有一个大
2 3 6
于0.
【微思考】
(1)用反证法证明命题“若p,则q”时,为什么 q假,q就真?
提示:在证明数学命题时,要证明的结论要么正确,要么错误,
二者必居其一,所以命题结论q的反面 q错误时,q就一定正确.
(2)反证法原理与利用等价命题即互为逆否命题的证明思路有
关吗?
提示:有关.反证法的原理为“互为逆否命题的两个命题真假
(2)已知三个正整数a,b,c成等比数列,但不成等差数列, 求证: a, b, c 不成等差数列.
【解题探究】1.题(1)中所要证明的命题的结论是什么?
2.题(2)中
a, b, c 不成等差数列的反设是什么?
【探究提示】1.所要证明的命题的结论是“方程没有整数根”.
2.假设 a, b, c 成等差数列.
2.2.2 反 证 法
问题 1.反证法的定义是什么?有什么特点? 引航 2.利用反证法证题的关键是什么?步骤是什么?
反证法的定义及证题的关键
2019年高中数学 2.2.2反证法教案 新人教A版选修2-2
2.2.2反证法教学建议1.教材分析本节主要内容是反证法的概念及应用反证法进行证明的一般步骤,通过学习本节内容,对培养学生的逆向思维是非常有利的,反证法是间接证明的一种基本方法.重点:了解反证法的含义及思维过程和特点,并能简单应用.难点:应用反证法解决问题.2.主要问题及教学建议(1)方法的选择.建议教师要求学生总结何时采用反证法证明更好.当问题涉及否定性,唯一性,至多,至少等字眼或问题很显然从正面无法下手时可以考虑反证法.(2)证明过程中的问题.建议教师注意展示学生的证明过程,有针对性地改正以下错误现象:不会反设或反设不全面,反设后不会应用反设(若不用反设就不是反证法了),对推出矛盾没有预见性或推不出矛盾,引导学生学会制造矛盾.备选习题1.如图,设SA,SB是圆锥SO的两条母线,O是底面圆的圆心,C是SB上一点.求证:AC与平面SOB不垂直.证明:如图,连接AB,OB,假设AC⊥平面SOB.∵直线SO在平面SOB内,∴AC⊥SO.∵SO⊥底面圆O,∴SO⊥AB.又AB∩AC=A,∴SO⊥平面ABC,∴平面ABC∥底面圆O.这显然与AB⊂底面圆O矛盾,∴假设不成立.故AC与平面SOB不垂直.2.设{a n}是公比为q的等比数列,S n是它的前n项和.(1)求证:数列{S n}不是等比数列;(2)数列{S n}是等差数列吗?为什么?(1)证明:反证法:假设{S n}是等比数列,则=S1S3,即(1+q)2=a1·a1(1+q+q2).∵a1≠0,∴(1+q)2=1+q+q2,即q=0,与q≠0矛盾,∴{S n}不是等比数列.(2)解:当q=1时,{S n}是等差数列.当q≠1时,{S n}不是等差数列.假设q≠1时,{S n}是等差数列,则S1,S2,S3成等差数列,即2S2=S1+S3.∴2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2).由于a1≠0,∴2(1+q)=2+q+q2,q=q2.∵q≠1,∴q=0,与q≠0矛盾.∴当q≠1时,{S n}不是等差数列.。
高中数学选修～课件第三章§反证法
推理不严谨，结论不成立
推理过程中存在漏洞
在使用反证法时，需要确保推理过程的严谨性。如果推理过程中存在漏洞，就可 能导致结论不成立。
未能正确运用逻辑规则
在反证法中，需要正确运用逻辑规则进行推理。如果未能正确运用逻辑规则，就 可能导致推理结果出现错误。
05 练习题与拓展思考
针对性练习题
证明
若$a,b,c in mathbb{R}$，且$a=b+c$，则$a,b,c$中至少有一个数不小于$frac{a}{3}$ 。
错误地否定原命题
在反证法中，需要假设原命题的否定 形式成立，然后进行推理。如果错误 地否定了原命题，就会导致推理方向 偏离正确轨道。
未能找到矛盾点或突破口
对已知条件理解不足
在使用反证法时，需要充分利用已知条件进行推理。如果对 已知条件理解不足，就可能无法找到矛盾点或突破口。
缺乏解题经验
对于一些较为复杂的题目，需要具备一定的解题经验才能找 到矛盾点或突破口。如果缺乏解题经验，就可能无法有效地 运用反证法。
假设$x,y$都不大于$1$，即$x leq 1, y leq 1$，则$x+y leq 2$，与已知条件 $x+y>2$矛盾，故假设不成立，原命题成立。
答案及解析
• 假设在这$99$个数中，任意三个数的和都不是$3$的倍数。 考虑这$99$个数除以$3$的余数，只能为$0,1,2$。由于 $99$个数中任意三个数的和都不是$3$的倍数，故余数为 $0,1,2$的数应各出现$33$次。但在这$99$个连续自然数中 ，必有一个数能被$3$整除，即余数为$0$的数至少有$34$ 个，与假设矛盾，故原命题成立。
高中数学选修～课件 第三章§反证法
汇报人：XX 20XX-01-30
浙江专版高中数学第二章推理与证明部分222反证法课件新人教A版选修2
二、归纳总结·核心必记
1．反证法的定义及证题的关键
[规律总结] 对反证法概念的理解 (1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．第一个否 定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果 否定”． (2)反证法属“间接解题方法”．
2．“反证法”和“证逆否命题”的区别与联系 (1)联系：通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过 反证法说明原命题成立属于间接证明，都是很好的证明方法． (2)区别：证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推 出条件的反面成立．而反证法一般是假设结论的反面成立，然 后通过推理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ出矛盾．
(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即
存在性和唯一性．
[针对训练] 求证：过直线外一点只有一条直线与它平行． 证明：已知：直线 b∥a，A∉a，A∈b，求证：直线 b 唯一． 假设过点 A 还有一条直线 b′∥a. 根据平行公理，∵b∥a，∴b∥b′， 与 b∩b′＝A 矛盾，∴假设不成立，原命题成立．
－2＜a＜0. 故三个方程至少有一个方程有实根，实数 a 的取值范围是 －∞，－32∪[－1，＋∞)．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
2．将本例条件改为三个方程中至多有 2 个方程有实数根，求实数
a 的取值范围．
容应是________． 答案：3 a≤3 b
考点一 用反证法证明否定性命题 [典例] 直线 y＝kx＋m(m≠0)与椭圆 W：x42＋y2＝1 相交于 A，
C 两点，O 是坐标原点．当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时，求证： 四边形 OABC 不可能为菱形．
(教师用书)高中数学 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修2-2
2．关于反证法证明步骤的教学 建议教师向学生强调指出，反证法作为一种特殊的间接 证明方法，有其独特的格式要求，它不同于一般的举反例或 者俗语中的“抬杠”，在使用时一定要严格按照其固有模式 进行表述． 3．关于反证法的应用 教学中，要明确教给学生，当一个问题从正面较难入手 时，可以考虑从反面入手，即用反证法解题，强化学生的应 用意识．
【解】 假设 x0 是 f(x)＝0 的负数根， x0－2 则 x0<0 且 x0≠－1 且 ax0＝－ ， x0＋1 x0－2 由 0<ax0<1⇒0<－ <1， x0＋1 1 解得2<x0<2，这与 x0<0 矛盾，所以假设不成立， 故方程 f(x)＝0 没有负数根.
用反证法证明“至多”、“至少” 类 问题
2 为 p，q，∴a2 ＝ a a ， b n n－1 n＋1 n＝bn－1bn＋1.
代入①并整理得： p q p q 2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbn( ＋ )，即 2＝ ＋ .② q p q p p q 当 p，q 异号时， ＋ ＜0，与②相矛盾； q p p q 当 p，q 同号时，由于 p≠q，所以 ＋ ＞2，与②相矛盾． q p 故数列{cn}不是等比数列．
公理、定理
、事实矛盾等.
用反证法证明否定性命题
设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn ＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
【思路探究】
－1
假设数列{cn}为等比数列，从而 C2 n＝Cn
· Cn＋1 推出矛盾，证明原命题成立．
高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法教案新人教A版选修2_2
§2.2.2 反证法教学目标：1．结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2．通过本节内容的学习了解间接证明反证法的思考过程、特点；3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。
教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程；教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】 三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）。
(二)、探究新知，揭示概念反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
（三）、分析归纳，抽象概括一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.（四）、知识应用，深化理解例1 已知直线a ，b 和平面αβ， ,如果,a b αα⊄⊂ ,且//a b ,求证: //a α。
例2 已知三个正数 ,,a b c .证明：假设=即4a c b ++=，而2b ac =，即b =20∴==从而a b c ==，与,,a b c .点评：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题的反面比较具体，适用反证法.（2）反证法属于“间接解题的方法”书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”例3. （ 提示：有理数可表示为/m n ）/m n （m ,n 为互质正整数），从而：2(/)2m n =，222m n =，可见m 是2的倍数.设m =2p （p 是正整数），则 22224n m p ==，可见n 也是2的倍数.这样，m , n 就不是互质的正整数（矛盾）./m n =不可能，.课堂练习：1、课本P91页 练习1、2（五）、归纳小结、布置作业反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）布置作业：.课本P91页 A 组4中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
2.2.2 反证法教案-高二数学人教A版选修1-2
[教学设计•高中数学]《反证法》教学设计《反证法》教学设计第一部分：教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书选修2-2》（人教A版）第一章《推理与证明》的第3节《反证法》.“逻辑推理能力”是高中数学核心素养中非常重要的一个环节，也是人们学习和生活中，经常使用的思维方式。
推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。
这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用第二部分：学生学情诊断学生在初中已经接触过反证法，但是不够系统和详细。
也已经在选修2-1《逻辑与推理》环节接触过命题的真假、逆否命题。
但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。
究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的，所以本节课要引导学生联系已学过的教学实例学习新内容进行教学。
由于所教学生基础较好，但是数学思维相对欠缺，对于反证法证明简单命题问题不大，但由于对数论基础知识不是特别专长、对生活中的逻辑学生对数的了解不多，研究不够，所以例1能顺利解决，但是例2例3，解决起来还是会出现一定困难。
第三部分：教学目标设置(1)知识与能力：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。
(2)过程与方法：通过直观感知—观察—操作确认的认识方法培养学生观察、探究、发现的能力和逻辑思维能力。
让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。
(3)情感、态度、价值观：通过体验数学活动，渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。
在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。
核心素养：逻辑推理能力第四部分：重点难点分析重点：1、理解反证法的概念。
人教A版高中数学选修1-2课件2.2.2
8．完成下面的反证法证题的全过程． 已知：设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个全排列． 求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数． 证明：假设p为奇数，则______①______均为奇数， 因为奇数个奇数之和为奇数，故有奇数 ＝________②________ ＝________③________ ＝0. 但奇数≠偶数，这一矛盾说明，p为偶数．
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3．求证：方程2x＝3有且只有一个根． 证明：∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程至少有一个根． 下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．
假设方程2x＝3有两个根x1，x2(x1≠x2)，则2x1＝3， 2x2＝3，两式相除得，2x1－x2＝1，如果x1－x2＞0，则2x1－x2 ＞1，这与2x1－x2＝1相矛盾；
11．已知 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋π2，b ＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6，求证：a，b，c 中至少有 一个大于 0.
证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0， 得a＋b＋c≤0， 而a＋b＋c＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0， 即a＋b＋c>0，与a＋b＋c≤0矛盾， ∴a，b，c中至少有一个大于0.
(3)反证法常用于直接证明比较困难的命题，例如某些初 始命题(包括部分基本定理)、必然性命题、存在性问题、唯 一性问题、否定性问题、带有“至多有一个”或“至少有一 个”等字眼的问题．
使用反证法证明问题时，准确地做出反设是正确运用反 证法的前提，常见“反设词”如下：
原 ＝＞＜
最新人教版高中数学选修2-2第二章《反证法》知识讲解
2．2.2 反证法1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．1．反证法假设原命题______(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了__________，这样的证明方法叫做反证法．【做一做1－1】应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③【做一做1－2】否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为() A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中或都是奇数或至少有两个偶数2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与________矛盾，或与____矛盾，或与____________矛盾等．用反证法证明命题“若p，则q”时，为什么q假q就真？【做一做2】如果两个实数之和为正数，则这两个数()A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个数是正数D．两个都是负数答案：1．不成立假设错误原命题成立【做一做1－1】C由反证法的定义知，应选C.【做一做1－2】D对“恰有一个”的否定是“一个也没有或至少有两个”，故选D.2．已知条件假设定义、公理、定理、事实思考讨论提示：在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一，所以命题结论q的反面q错误时，q就一定正确．【做一做2】C假设两个数都是负数或零，或一负数一零，则其和必为负数或零，这与已知矛盾．故选C.1．怎样理解反证法的概念？剖析：(1)反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．(2)反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．2．反证法解题的实质是什么？剖析：用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而证明原结论正确．否定结论：对结论的反面要一一否定，不能遗漏；否定一个反面的反证法称为归谬法，否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法；要注意用反证法解题，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾．3．反证法证题的步骤有哪些？剖析：反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示：这个过程包括下面三个步骤：(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬——由“反设”作为条件出发经过一系列正确的推理，得出矛盾；(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立．简单概括反证法的证明过程就是“反设→归谬→存真”．用反证法证明数学命题，需要注意以下几点：(1)反证法中的“反设”，是应用反证法的第一步，也是关键一步．“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件．“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明．做好“反设”应明确：①正确分清题设和结论；②对结论实施正确否定；③对结论否定后，找出其所有情况．(2)反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从命题结论的题设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．(3)反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开始假定的“结论的反面”是错误的，从而肯定原结论是正确的．(4)在反证法证题的过程中，经常画出某些不合常理的图形，甚至是不可能存在的图形，这样做的目的是为了能清楚地说明问题．在证明过程中，每一步推理所得结论的正确性，完全由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的直观，这与用直接法通过图形找到证题的途径是完全不一样的．(5)宜用反证法证明的题型有：①一些基本命题、基本定理；②易导出与已知矛盾的命题；③“否定性”命题；④“唯一性”命题；⑤“必然性”命题；⑥“至多”“至少”类命题；⑦涉及“无限”结论的命题．题型一用反证法证明否(肯)定式命题【例题1】用反证法证明：已知a，b均为有理数，且a和b都是无理数，求证：a＋b是无理数．分析：按反证法的步骤，即先否定结论，把假设和已知结合起来，推出矛盾，即假设不成立．反思：结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明常用反证法，通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，很容易推出矛盾，从而达到证题的目的．题型二 用反证法证明唯一性命题【例题2】 求证：两条相交直线有且只有一个交点．分析：根据题意，写出已知、求证，再用反证法，即否定结论，把假设和已知条件结合起来去推出矛盾．反思：(1)用反证法证明问题时要注意以下三点：①必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的．②反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．(2)注意本题反设中不能漏掉“无交点”这种情况．题型三 用反证法证明“至多”或“至少”类命题【例题3】 已知a ，b ，c 是互不相等的实数，求证：由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点． 分析：假设三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点→演绎推理，利用Δ≤0得出矛盾→原命题得证 反思：(1)当命题出现“至多”“至少”“唯一”等形式时，适合用反证法．p 且q p 或q 题型四 易错辨析【例题4】 已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)＜0，用反证法证明：关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实根．错解：假设方程x 2－2x ＋5－p 2＝0有实根，由已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)＜0，解得－2＜p ＜－12，而关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0的根的判别式Δ＝4(p 2－4)．∵－2＜p ＜－12，∴14＜p 2＜4，∴Δ＜0，即关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实根． 错因分析：错解在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法．反思：利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立，即反证法必须严格按照“反设→归谬→存真”的步骤进行．答案：【例题1】 证法一：假设a ＋b 为有理数，令a ＋b ＝t ， 则b ＝t －a ，两边平方，得b ＝t 2－2t a ＋a ， ∴a ＝t 2＋a －b 2t. ∵a ，b ，t 均为有理数，∴t 2＋a －b 2t也是有理数． 即a 为有理数，这与已知a 为无理数矛盾． ∴a ＋b 一定是无理数．证法二：假设a ＋b 为有理数，则(a ＋b )(a －b )＝a －b .由a ＞0，b ＞0，得a ＋b ＞0. ∴a －b ＝a －b a ＋b . ∵a ，b 为有理数，且a ＋b 为有理数， ∴a －b a ＋b 为有理数，即a －b 为有理数． ∴(a ＋b )＋(a －b )为有理数，即2a 为有理数． 从而a 也应为有理数，这与已知a 为无理数矛盾，∴a ＋b 一定是无理数．【例题2】 解：已知：a 与b 是两条相交直线，求证：a 与b 有且只有一个交点．证明：假设结论不正确，则有两种可能：a 与b 无交点，或不止有一个交点．若直线a ，b 无交点，则a ∥b 或a ，b 是异面直线，与已知矛盾．若直线a ，b 不止有一个交点，则至少有两个交点A 和B ，这样同时经过点A ，B 就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两相交直线a 与b 有且只有一个交点．【例题3】 证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点， 由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0，且Δ2＝(2c )2－4ab ≤0，且Δ3＝(2a )2－4bc ≤0.同向不等式求和得：4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0，∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0.∴(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≤0.∴a ＝b ＝c .这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．【例题4】 正解：假设方程x 2－2x ＋5－p 2＝0有实根，则该方程根的判别式Δ＝4－4(5－p 2)≥0，解得p ≥2或p ≤－2.而由已知条件实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)＜0，解得－2＜p ＜－12，二者无公共部分，所以假设不成立，故关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实根．1用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设() A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°2实数a，b，c不全为0是指()A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至少有一个为0C．a，b，c至多有一个为0 D．a，b，c至少有一个不为03实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则()A．a，b，c都是正数B．a，b，c都大于1C．a，b，c都小于2 D．a，b，c至少有一个不小于1 24命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是__________．5已知：非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列．求证：1a，1b，1c不可能成等差数列．答案：1．B因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”即“三角形三个内角都大于60°”，故选B.2．D“不全为0”并不是“全不为0”，而是“至少有一个不为0”．故选D.3．D假设a，b，c均小于12，则a＋2b＋c＜12＋1＋12＝2，与已知矛盾，故选D.4．无解或至少两个解方程ax＝b(a≠0)的解的情况有：①唯一解；②无解；③两个或两个以上的解，可得结论．5．分析：本题题设条件较少，且求证的结论中有“不可能”这个词，故考虑选用反证法证明．证明：假设1a，1b，1c成等差数列，则211b a c=+，∴2ac＝bc＋ab.①又a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.②∴把②代入①，得2ac＝b(a＋c)＝b·2b.∴b2＝ac.③由②平方，得4b2＝(a＋c)2.④把③代入④，得4ac＝(a＋c)2，∴(a－c)2＝0. ∴a＝c.代入②，得b＝a，故a＝b＝c，∴数列a，b，c的公差为0.这与已知矛盾，∴1a，1b，1c不可能成等差数列．。
高中数学反证法29页ppt课件
小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃, 怎么知道李子是苦的啊?”
王戎说:“如果李子是甜的,树长在 路边,李子早就没了！李子现在还 那么多,所以啊,肯定李子是苦的， 不好吃!”
例: 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见 地上全湿了。小华对妈妈说：“昨天晚上下 雨了。”
您能对小华的判断说出理由吗？
反馈练习
1、写出用“反证法”证明下列命题的 第一步“假设”. (1)互补的两个角不能都大于90°.
假设互补的两个角都大于90°.
(2)△ABC中,最多有一个钝角
假设△ABC中,至少有两个钝角
演练反馈
1、写出下列命题，用反证法证明的第一步 （1）已知a=b，则a2=b2 （2）三角形最小的角小于或等于600 （3）两条直线相交，只有一个交点 （4）在同一平面内，若一条直线和两条平行线 中的一条相交，那么和另一条也相交 2、平面内有四个点，没有三点共线， 证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是 锐角三角形
发生在身边的例子: 妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天都外出旅游.
小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!
上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么? 小芳全家没外出旅游. 他是如何推断该命题的正确性的? 小芳全家没外出旅游，假设小芳全家外出旅 游，那么今天不可能碰到小芳，与上午在学校碰 到小芳和她妈妈矛盾，所以假设不成立，所以小 芳全家没外出旅游．
在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一 至两个例子.
引例
证明：在一个三角形中至少 有一个角不小于60°.
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个 不小于60°
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个 不小于60°
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O
H
a
CF B
求证： | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有一个不小于 1 。 2
高中数学选修22人教A版 .2反证法【公开课课件】
1.直 线 PO 与平面 相交 于 O ，过点 O 在平 面 内引直 高中数学选修22人教A版.2反证法【公开课课件】 线 OA 、 OB 、 OC ， POA POB POC . P
∴ m = 2n ∴m2 =2n2
∴ m 2 是 偶 数 ， 从 而 m 必 是 偶 数 ， 故 设 m = 2 k （ k ∈ N ）
从 而 有 4 k 2= 2 n 2 ， 即 n 2= 2 k 2 ∴n2也是偶数，这 与 m ， n 互 质 矛 盾 ！
所 以 假 设 不 成 立 ， 2 是 有 理 数 成 立 。
例3:用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦
不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且
AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分. A
证明：假设弦AB、CD被P平分，
O
D
由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径
定理的推论，有OP⊥AB，OP⊥CD，
P C
即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾。
你能举出一个类似故事《路边苦李》中的推理 的例子吗？
“昨晚下雨了……”
下面的计算结果是否正确：
123456789 999999999 123456789876543211
当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是就要 改变思维方向,从结论入手,反面思考。这种从“正面难 解决就从反面思考”的思维方式就是我们通常所说的 间接解法中的一种——反证法. (又比如课本的思考)
什么是反证法？
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，
最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命
题成立，这样的证明方法叫做反证法(归谬法).
反证法证明命题的一般步骤如下:
1.假设结论的反面成立; 反设
2.由这个假．设．出发,经过正确的推理, 归谬
导出矛盾;
推理过程中一定要用到才行
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾
例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根．
证 ： 假 设 方 程 a x + b = 0 ( a ≠ 0 ) 至 少 存 在 两 个 根 ，
不 妨 设 其 中 的 两 根 分 别 为 x 1 ， x 2 且 x 1 ≠ x 2 则 ax1=b， ax2=b∴ax1 =ax2 ∴ax1-ax2 =0 ∴ a（ x1-x2） =0 ∵ x 1≠ x 2 ， x 1-x 2 ≠ 0 ∴a = 0 与 已 知 a≠ 0矛 盾 , 故 假 设 不 成 立 ， 结 论 成 立 。
高中数学选修22人教A版 .2反证法【公开课课件】
高中数学选修22人教A版 .2反证法【公开课课件】
说明：常用的正面叙述词语及其否定：
正面 词语
否定
正面 词语
等于 大于（>） 小于 (<)
小于或 不等于 等于（≤
）
至多有 至少有 一个 一个
大于或 等于（≥ ）
任意的
是 不是 所有的
都是
不都是 至多有n
个
任意 两个
至少有 一个也 否定 两个 没有
某个
某些 至少有n 某两个 ＋1个
高中数学选修22人教A版 .2反证法【公开课课件】
高中数学选修22人教A版 .2反证法【公开课课件】
求证： 2 是无理数.
证 ： 假 设2是 有 理 数 ，
则 存 在 互 质 的 整 数 m ， n 使 得 2=m， n
B
所以，弦AB、CD不被P平分。
反 证法是一 种重要的 数学思想 方法， 对于那些 含有否 定词的命题，“至少”型命题、唯一性命题，尤为适宜。牛
顿说：“反证法是数学上最精良的武器之一.” 这就充分肯
定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位。
数学上很多有名的结论都是用反证法得证的.比如说,
素数有无穷多个, 2 是无理数的证明等.
高中数学选修22人教A版 .2反证法【公开课课件】
选做作业: 高中数学选修22人教A版 .2反证法【公开课课件】
1.直线 PO 与平面 相交于 O ，过点 O 在平面 内
引直线 OA 、 OB 、 OC ， POA POB POC .
求证： PO .
P
A E
2.已知 f ( x) x2 px q ，
2.2.2 反证法
反证法
阅读下面的故事,体会其中的推理: 《路边苦李》
古时候有个人叫王戎，7 岁那年的某一天和 小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得 把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王 戎站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。”小伙 伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。小伙伴问王 戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的 啊?”王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李 子早就没 了！李子现在还那么多 ,所以啊,肯定李 子是苦的，不好吃!”
求证： PO .
方法小结: 高中数学选修22人教A版 .2反证法【公开课课件】 1直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立. ⑴综合法──联想尝试(浮想联翩,尝试前进!) 由⑵因分导析果法:─(已─知转)化A尝试B(1执果索因,B妙n 在转 B (化结!论) )
执果索因:(结论) B B1 Bn A (已知)
). 3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定
命题的结论正确.
结论
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b
证 ： 假 设 a >b 不 成 立 ， 则 a ≤ b 若a= b， 则 a=b,与 已 知 a>b矛 盾 ,
若a< b， 则 a<b,与 已 知 a>b矛 盾 ,
故 假 设 不 成 立 ， 结 论 a >b 成 立 。
2.反证法是一种常用的间接证明方法.
(1)用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设②归谬③结论
(2)用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与
假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等． (3)适宜使用反证法的情况: 正难则反! (1)结论以否定形式出现；(2)结论以“至多----,” ,“ 至少---” 形式出现；(3)唯一性、存在性问题;(4)结论 的反面比原结论更具体更容易研究的命题。