高中数学选修2-3优质课件：排列与排列数公式
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人教版高中数学选修2-3课件：1.2.1排列 (共28张PPT)
1 2
3 2
4 2 2
1
3 1
4 2
3 1
3
3 42 42 3
41 4 1
2
有此可写出所有的三位数：总共24种
123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243， 312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。
叙述为: 从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按 照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.
想一想：这两个问题有什么相同点？
基本概念
1、排列： 一般地，从n个不同元素中取出m (m n)个元 素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不
同元素中取出m个元素的一个排列。(一取二排)
说明： （1）m＜n时的排列叫选排列，
（2）m＝n时的排列叫全排列。
排列的特征
1、含有“不同”，“元素不能重复”等词。
3.分类计数与分步计数原理的区别和联系：
分类加法原理 区别一 分步乘法原理
完成一件事有不 同的方案关键是 “分类”
完成一件事情,共分n 个步骤，关键是 “分步”
任何一步都不能独立 每类办法都能独立 完成这件事情，只有 完成 这件事情。 区别二 每个步骤完成了，才 能完成这件事情。
区别三
各类办法是互斥的、
m n
n 当m＝n时，An n(n 1)(n 2)3 2 1
是排列
不是排列
1.2 第一课时 排列与排列数公式 课件(北师大选修2-3)
特征，第一取出的元素无重复性，第二选出的元素必须与 顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相 同的排列．元素有序还是无序是判定是否为排列问题的关
键．
返回
1．下列命题，
①abc和bac是两个不同的排列；②从甲、乙、丙三人
中选两人站成一排，所有的站法有6种；③过不共线的 三点中的任两点所作直线的条数为6. 其中为真命题的是 A．①② C．②③ 答案：A 返回 B．①③ D．①②③ ( )
－1 n－m Am · A n－1！ － n 1 n－m (3) ＝ · (n－m)！· －1 An [ n － 1 － m － 1 ] ！ n－1
1 ＝1. n－1！
(12 分)
返回
[一点通]
m (1)排列数的第一个公式 An ＝n(n－1)…(n－
m＋1)适用于具体计算以及解当 m 较小时的含有排列数的方 程和不等式．在运用该公式时要注意它的特点：从 n 起连续 写出 m 个数的乘积即可． (2)排列数的第二个公式 Am n＝ n！ 适用于与排列数 n－m！
顺序 排成一列， 叫作 从n个不同的元素中任意取出m个
元素 的一个排列.
返回
已知数字1,2,3,4,5,6. 问题1：从1,2,3,4,5,6中选出两个数字，能构成多少个
没有重复数字的两位数？
提示：有6×5＝30个． 问题2：从1,2,3,4,5,6中选出三个数字，能构成多少个 没有重复数字的三位数？ 提示：有6×5×4＝120个． 返回
返回
4．A，B，C，D四名同学排成一行照相，要求自左向右，
A不排第一，B不排第四，试写出所有排列方法．
解：因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可以B，C， D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图 如图．
人教版高中数学选修2-3 排列(共70张PPT)教育课件
观察排列数公式有何特征： （1）右边第一个因数是n（n是最大的整数），后面每 一个因数比它前面一个因数少1．
（2）最后一个因数是n－m＋1（其中最小的整数）．
（3）共m个连续的正整数相乘．（m是取出元素的个 数以及后面式子相乘的因子的个数）
ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个 元素的一个全排列，这时公式中的ｍ＝ｎ，即有
焦点在 x 轴上的椭圆方程xa22＋by22＝1？可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲 线方程xa22－by22＝1?
解 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.
若方程xa22＋by22＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则必有 a>b，a，b 的大小关系
一定； 在双曲线xa22－by22＝1 中，不管 a>b 还是 a<b，方程xa22－by22＝1 均表示焦点在 x
思考：上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般？ (1)都是从整体中取出部分（或全部）按照顺序排列 (2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等
能推广到一般
知识点一 排列的定义
排列：一般的，从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ） 个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从ｎ个不 同元素中取出ｍ个元素的一个排列。
素中任取部分不同元素，这里既没有重复的元素，又没有重
复抽取同一元素的情况。 2、按“一定顺序”就是与位置有关，不考虑顺序就不是排 列，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。（有序性） 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同， 而且元素的排列顺序也完全相同。 4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用 “树形图”。
（10）有10个车站，共需要多少种车票？
（2）最后一个因数是n－m＋1（其中最小的整数）．
（3）共m个连续的正整数相乘．（m是取出元素的个 数以及后面式子相乘的因子的个数）
ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个 元素的一个全排列，这时公式中的ｍ＝ｎ，即有
焦点在 x 轴上的椭圆方程xa22＋by22＝1？可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲 线方程xa22－by22＝1?
解 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.
若方程xa22＋by22＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则必有 a>b，a，b 的大小关系
一定； 在双曲线xa22－by22＝1 中，不管 a>b 还是 a<b，方程xa22－by22＝1 均表示焦点在 x
思考：上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般？ (1)都是从整体中取出部分（或全部）按照顺序排列 (2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等
能推广到一般
知识点一 排列的定义
排列：一般的，从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ） 个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从ｎ个不 同元素中取出ｍ个元素的一个排列。
素中任取部分不同元素，这里既没有重复的元素，又没有重
复抽取同一元素的情况。 2、按“一定顺序”就是与位置有关，不考虑顺序就不是排 列，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。（有序性） 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同， 而且元素的排列顺序也完全相同。 4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用 “树形图”。
（10）有10个车站，共需要多少种车票？
排列(优秀课件)
答案：10
课堂练习
新知探究
4．一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的 4 个节目的基础 上再添加 2 个小品节目，且 2 个小品节目不相邻，则不同的 添加方法共有________种．
解析：从原来 4 个节目形成的 5 个空中选 2 个空排列，共有
2 A5 ＝20 种添加方法．
答案：20
课堂小结
小结：
√
（8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线
√
典例解析
[例 2] 写出下列问题的所有排列： (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位数，共 有多少个不同的两位数？ (2)由 1,2,3,4 四个数字能组成多少个没有重复数字的四 位数？试全部列出．
3 5
2 4
8! 7! m! (m 1)! (2) (3) m2 7 5! Am 2
4 3 x x1 (1) A2 140 A (2)3 A 4 A x 1 x 8 9
（1）x=3
(2) x=6
1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。
2、对于m n 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。
解析： 列举如下： A—B—C， A—C—B， B—A—C， B—C—A， C—A—B，C—B—A.
答案：C
A7 n 3．满足不等式 5 >12 的 n 的最小值为________． An
n！n－5！ 解析：由排列数公式得 >12，即(n－5)(n－ n－7！n！ 6)>12，解得 n>9 或 n<2.又 n≥7，所以 n>9， 又 n∈N*，所以 n 的最小值为 10.
典例解析
[解] (1)所有两位数是 12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43， 共有 12 个不同的两位数． (2)画出树形图，如图所示．
课堂练习
新知探究
4．一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的 4 个节目的基础 上再添加 2 个小品节目，且 2 个小品节目不相邻，则不同的 添加方法共有________种．
解析：从原来 4 个节目形成的 5 个空中选 2 个空排列，共有
2 A5 ＝20 种添加方法．
答案：20
课堂小结
小结：
√
（8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线
√
典例解析
[例 2] 写出下列问题的所有排列： (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位数，共 有多少个不同的两位数？ (2)由 1,2,3,4 四个数字能组成多少个没有重复数字的四 位数？试全部列出．
3 5
2 4
8! 7! m! (m 1)! (2) (3) m2 7 5! Am 2
4 3 x x1 (1) A2 140 A (2)3 A 4 A x 1 x 8 9
（1）x=3
(2) x=6
1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。
2、对于m n 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。
解析： 列举如下： A—B—C， A—C—B， B—A—C， B—C—A， C—A—B，C—B—A.
答案：C
A7 n 3．满足不等式 5 >12 的 n 的最小值为________． An
n！n－5！ 解析：由排列数公式得 >12，即(n－5)(n－ n－7！n！ 6)>12，解得 n>9 或 n<2.又 n≥7，所以 n>9， 又 n∈N*，所以 n 的最小值为 10.
典例解析
[解] (1)所有两位数是 12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43， 共有 12 个不同的两位数． (2)画出树形图，如图所示．
高中数学人教A版选修2-3课件1-2-1排列
整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.所
以n个不同元素的全排列数公式可以写成 A =n!.另外,我们规定
!
0!=1.所以 A =
.
(-)!
特别提醒注意区别排列和排列数的不同:“一个排列”是指从n个
不同元素中取出m个元素,按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列
空法解决.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素,与其余 5 人全排
列,共有A66 种排法.甲、乙两人可交换位置,有A22 种排法,故共有A66 ×
A22 =1 440(种)排法.
(2)法一:(间接法)7 人任意排列,有A77 种排法,甲、乙两人相邻的
答案:60
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
简单的排列问题
例1 (1)有5个不同的科研小课题,从中选3个由高二(6)班的3个学
习兴趣小组进行研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法?
(2)12名选手参加校园歌手大奖赛,比赛设一等奖、二等奖、三等
奖各一名,每人最多获得一种奖项,共有多少种不同的获奖情况?
(3)(插空法)
先排 4 名男生,有A44 种方法,再将 5 名女生插空,有A55 种方法,故共
有A44 ·A55 =2 880 种排法.
探究一
探究二
探究三
所以原方程的解为x=3.
反思感悟应用排列数公式时应注意的三个方面
(1)准确展开.应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确.
(2)合理约分.若运算式是分式形式,则要先约分后计算.
(3)合理组合.运算时要结合数据特点,应用乘法的交换律、结合
以n个不同元素的全排列数公式可以写成 A =n!.另外,我们规定
!
0!=1.所以 A =
.
(-)!
特别提醒注意区别排列和排列数的不同:“一个排列”是指从n个
不同元素中取出m个元素,按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列
空法解决.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素,与其余 5 人全排
列,共有A66 种排法.甲、乙两人可交换位置,有A22 种排法,故共有A66 ×
A22 =1 440(种)排法.
(2)法一:(间接法)7 人任意排列,有A77 种排法,甲、乙两人相邻的
答案:60
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
简单的排列问题
例1 (1)有5个不同的科研小课题,从中选3个由高二(6)班的3个学
习兴趣小组进行研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法?
(2)12名选手参加校园歌手大奖赛,比赛设一等奖、二等奖、三等
奖各一名,每人最多获得一种奖项,共有多少种不同的获奖情况?
(3)(插空法)
先排 4 名男生,有A44 种方法,再将 5 名女生插空,有A55 种方法,故共
有A44 ·A55 =2 880 种排法.
探究一
探究二
探究三
所以原方程的解为x=3.
反思感悟应用排列数公式时应注意的三个方面
(1)准确展开.应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确.
(2)合理约分.若运算式是分式形式,则要先约分后计算.
(3)合理组合.运算时要结合数据特点,应用乘法的交换律、结合
人教A版数学选修2-3全册课件：第一章 1.2 1.2.1 第一课时 排列与排列数公式
[类题通法] 判断是不是排列问题，要抓住排列的本质特征：①取出的 元素无重复，②取出的元素必须按顺序排列．元素有序还是无 序是判断是否是排列问题的关键．
[活学活用] 判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票价 格(假设来回的票价相同)； (2)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (3)某班 40 名学生在假期相互通信．
1.2
1.2.1
第 第一 一 课时 章
排列 与排 列数 公式
1 理解教 材新知
2 突破常 考题型
3 跨越高 分障碍
4 应用落 实体验
知识点一 知识点二 题型一 题型二
题型三
随堂即时演练 课时达标检测
1.2 排列与组合 1．2.1 排列
第一课时 排列与排列数公式
排列的定义 [提出问题] 1．在学校奖学金发放仪式上，校长和两位获得特等奖 学金的男女同学合影留念．师生三人站成一排，校长站在中 间．
[解] (1)所有两位数是 12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43， 共有 12 个不同的两位数．
(2)画出树形图，如图所示．
由上面的树形图知，所有的四位数为： 1 234,1 243,1 324,1 342,1 423,1 432,2 134,2 143，2 314，2 341,2 413,2 431,3 124,3 142,3 214,3 241,3 412,3 421,4 123,4 132,4 213,4 231,4 312,4 321，共 24 个没有重复数字的四位数．
因此，共计有 12 个不同的排列，它们是 ab，ac，ad，ba，bc， bd，ca，cb，cd，da，db，dc.
苏教版选修2-3高中数学1.2.1《排列与排列数公式》ppt课件
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的1
谢谢欣赏！
2019/8/27
最新中小学教学课件
32
＝nn－－m1！！·(n－m)！·n－11！＝1.
(2)证明：左边＝n＋n＋1－1m！！－n－n！m！ ＝n－n！m！n＋n＋1－1 m－1 ＝m·n＋1n－！m！＝mAmn －1＝右边． 所以原式成立．
方法感悟
1．(1)排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和 当m较小时的含排列数的方程和不等式问题． (2)排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关 的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意 提取公因式，可以简化计算．
课堂互动讲练
考点突破
排列的概念
排列的定义包括两个基本内容：一是“取出元 素”；二是“按照一定的顺序排成一列”．研究 的n个元素是互不相同的，取出的m个元素也是 不同的，即排列的特点是“先取后排”．
例1 下列哪些问题是排列问题？ (1)从10名学生中抽2名学生开会； (2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘； (3)以圆上的10个点为端点作弦； (4)10个车站间站与站的车票． 【思路点拨】 判断一个具体问题是不是排列问题 主要看从n个元素中取出m个元素后，在安排m个元 素时，是有序还是无序，有序是排列，无序就不是 排列．也就是说排列与元素的顺序有关，与元素顺 序无关的不是排列．
2．写排列主要采用树形图或框图、表格，注意 “依次”写可防止遗漏和重复．另外，一方面可利 用排列数来检验所写的排列是否正确；另一方面也 可通过写出排列来求排列数，特别是当排列数较小 时．
3．在解答有关以排列数形式给出的方程或不等式 时，首先应该依据有关公式及性质将表达式转化为 一般的方程或不等式，再求解．同时还要注意表达 式中字母都是满足一定限制条件的自然数，这点一 定不能忽略．
谢谢欣赏！
2019/8/27
最新中小学教学课件
32
＝nn－－m1！！·(n－m)！·n－11！＝1.
(2)证明：左边＝n＋n＋1－1m！！－n－n！m！ ＝n－n！m！n＋n＋1－1 m－1 ＝m·n＋1n－！m！＝mAmn －1＝右边． 所以原式成立．
方法感悟
1．(1)排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和 当m较小时的含排列数的方程和不等式问题． (2)排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关 的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意 提取公因式，可以简化计算．
课堂互动讲练
考点突破
排列的概念
排列的定义包括两个基本内容：一是“取出元 素”；二是“按照一定的顺序排成一列”．研究 的n个元素是互不相同的，取出的m个元素也是 不同的，即排列的特点是“先取后排”．
例1 下列哪些问题是排列问题？ (1)从10名学生中抽2名学生开会； (2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘； (3)以圆上的10个点为端点作弦； (4)10个车站间站与站的车票． 【思路点拨】 判断一个具体问题是不是排列问题 主要看从n个元素中取出m个元素后，在安排m个元 素时，是有序还是无序，有序是排列，无序就不是 排列．也就是说排列与元素的顺序有关，与元素顺 序无关的不是排列．
2．写排列主要采用树形图或框图、表格，注意 “依次”写可防止遗漏和重复．另外，一方面可利 用排列数来检验所写的排列是否正确；另一方面也 可通过写出排列来求排列数，特别是当排列数较小 时．
3．在解答有关以排列数形式给出的方程或不等式 时，首先应该依据有关公式及性质将表达式转化为 一般的方程或不等式，再求解．同时还要注意表达 式中字母都是满足一定限制条件的自然数，这点一 定不能忽略．
苏教版高中数学选修2-3《排列与排列数》课件
要点： （1）分类； （2）相互独立； （3） N=m1+m2+…+mn（各类方法之和）
知识回顾
两个基本计数原理
分步计数原理：（乘法原理）
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做 第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N =
m1×m2×…×mn 种不同的方法.
例4. （1）解方程: A32x = 100A2x
（2） 解不等式: A9x > 6A9x-2
解（1） 2x(2x - 1)(2x - 2) = 100x(x - 1)，
（2）（9-9x！)且 解! x得≥x62，=（x11319-！xN)*! ,且2≤x≤9,x N* (11 x)(10 x) > 6 解得x = 3，4，5，6，7.
Am
（5） n
15
14 13
6，
则m=_1_0__ ,n=_1_5___
数学运用
练习1.在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各
一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果．
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
练习2.写出从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的所
▪ ▪ 2.
常用阶乘变形:
(1)2 1! 2!, 3 2! 3!
(2)1!+1 1!=2!,2!+2 2!=3!
(3) 2! 1!, 3! 2!
2
3
(4)2!-1!=1!,3!-2!=2 2!
(5) 1 - 1 = 1 , 1 - 1 = 2 , 1! 2! 2! 2! 3! 3!
(n+1) n!=(n+1)! n!+n n!=(n+1)!
知识回顾
两个基本计数原理
分步计数原理：（乘法原理）
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做 第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N =
m1×m2×…×mn 种不同的方法.
例4. （1）解方程: A32x = 100A2x
（2） 解不等式: A9x > 6A9x-2
解（1） 2x(2x - 1)(2x - 2) = 100x(x - 1)，
（2）（9-9x！)且 解! x得≥x62，=（x11319-！xN)*! ,且2≤x≤9,x N* (11 x)(10 x) > 6 解得x = 3，4，5，6，7.
Am
（5） n
15
14 13
6，
则m=_1_0__ ,n=_1_5___
数学运用
练习1.在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各
一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果．
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
练习2.写出从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的所
▪ ▪ 2.
常用阶乘变形:
(1)2 1! 2!, 3 2! 3!
(2)1!+1 1!=2!,2!+2 2!=3!
(3) 2! 1!, 3! 2!
2
3
(4)2!-1!=1!,3!-2!=2 2!
(5) 1 - 1 = 1 , 1 - 1 = 2 , 1! 2! 2! 2! 3! 3!
(n+1) n!=(n+1)! n!+n n!=(n+1)!
秋人教B版数学选修2-3课件：121排列
∴④式不正确.
答案:C
排列应用题的常见类型及解法有哪些? 剖析排列中具有典型意义的两类问题是“排数”问题和“排队”问 题,绝大多数排列问题都可转化为这两种形式. (1)无限制条件的排列应用题,直接利用排列数公式计算. (2)有限制条件的排列应用题,采用直接法或间接法.应注意以下 几种常见类型: ①含有特殊元素或特殊位置的,通常优先安排特殊元素或特殊位 置,称为“特殊元素(或位置)优先考虑法”. ②某些元素要求必须相邻时可以先将这些元素看作一个整体,与 其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排序,这种方法称为“捆绑 法”,即“相邻元素捆绑法”.
【做一做2-2】 给出下列四个关系式:
①n!=
(������+1)! ������ -1 ������ ������ ; ② A =n A ; ③ A ������ ������ ������ -1 ������+1
=
������! ������ -1 ;④A������ -1 (������-������)!
1.2.1 排 列
1.理解排列数的定义,并掌握排列数公式及其应用. 2.会用排列数的定义、排列数公式来解决一些简单的实际问题.
1
2
1.排列的有关概念 (1)一般地,从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序 排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)两个排列相同的含义:组成排列的元素相同,并且元素的排列 顺序也相同. (3)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做 从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 A������ ������ 表示.
B. A20-������
15-������
C. A6 20 -������
高二人教A版数学选修23课件第一章1.2.1第2课时排列与排列数公式
1．(2021·石嘴山高二检测)从编号为 1，2，3，4，5 的五名同学中选出两名同学任正、 副班长，则不同的选法有( ) A．5 种 B．9 种 C．10 种 D．20 种 【解析】选 D.从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有 A52 ＝20 种选法，形 成的排列是：12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45， 51，52，53，54.
元素按照一定顺序排成一列，是一种排法；“排列数”是指从n个不同元素中取出
m个元素所得不同排列的个数，是一个数，用 A
m n
表示．
【基础小测】
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整数． ( × )
(2)A52 表示从 5 个不同元素中取出(5－2)个元素的所有不同的排列的个数． ( × )
类型二 与排列数有关的方程、不等式及证明问题(逻辑推理、数学运算) 角度 1 与排列数有关的等式问题 【典例】1.若 A23n ＝10An3 ，则 n＝( ) A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】选 C.因为 A23n ＝10An3 ，所以 n≥3，n∈N*， 所以有 2n·(2n－1)·(2n－2)＝10n·(n－1)·(n－2)， 即 2(2n－1)＝5(n－2)，解得 n＝8.
类型三 排列与排列数公式的简单应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】1.5 名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的
排法种数为( )
A．A55 A42
B．A55 A25
C．A55 A26
D．A77 －4A66
【解析】选 A.首先 5 名成人先排队，共有 A55 种，然后把两个小孩插进中间的 4 个空
人教A版高中数学选修2-3课件1.2.1第二课时排列及排列数公式.pptx
法二(排除法):四位偶数中:0 在个位的有 A35个; 0 在十位、百位的有 A12·A12·A24个; 不含 0 的有 A12·A34个．故四位偶数有 156 个． 其中,形如 5×××的有 A13·A24个;形如 45××的有 A12·A13个; 形如 435×的有 A12个;形如 432×的有 1 个,形如 431×而大 于 4 310 的只有 4 312. 故大于 4 310 的四位偶数共有 A13·A24＋A12·A13＋A12＋1＋1＝ 46(个)． 因此,符合题意的四位偶数共有 156－46＝110(个)．
名师解题
求解数字排列问题 例4 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个个位数 字不是5且无重复数字的六位数？
抓信息 破难点 (1)可不考虑任何限制条件,将6个数字全排列,然后再剔 除不合题意的诸类情况; (2)可先考虑首位,其首位不能为0,再考虑个位,个位数字 不能为5,悟
典型的排列问题就是“排数”与“站队”问题,其中有很多 的制约条件,归纳起来有两类:一类是元素“在”与“不在” 的问题;一类是元素“邻”与“不邻”的问题． (1)元素“在”与“不在”的问题 解决“在”与“不在”的问题,最常用、最基本的方法是特 殊位置分析法、特殊元素分析法．若以位置为主,需先 满足特殊位置的要求,再处理其他位置,有以上两个约束 条件,往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件; 若以元素为主,需先满足特殊元素的要求,再处理其他的 元素．
【解】 (1)先考虑甲站在中间有 1 种方法,再在余下的 6 个 位置排另外 6 位同学,共 A66＝720(种)排法． (2)先考虑甲、乙站在两端的排法有 A22种,再在余下的 5 个 位置排另外 5 位同学的排法有 A55种,共 A22A55＝240(种)排法．
1.2.1排列与排列数公式 课件(北师大选修2-3)
整理得3n2-17n+10=0，
解得n=5或 n 2 (舍去)，
3
n 3 又 n 1 2， n 3，故n 5． n 2
(2)左边＝ m! m k ! m! An m k ! m n ! m n ! m
2．下列命题中，是真命题的是( ①abc和bac是两个不同的排列；
)
②从甲、乙、丙三人中选2人站成一排，所有的站法有6种；
③过不共线的三点中任两点所作的直线的条数为6．
(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③
【解析】选A．对于①，abc和bac显然排列顺序不同，是不 同的排列；对于②，所有的站法有甲乙、甲丙、乙甲、丙
种数是________．
【解析】要确定一种车票，即是从四个车站中任意选出 2个 车站，按起点站在前、终点站在后进行排列，共有 A 2 种不 4 同的排法，即共有 A 2 种不同的车票，由排列数公式可得 4
A2 ． 4 4 3 12
答案：12
5 A7 A 6．解方程 n 5 n 89． An
有关排列数的计算
排列数的计算方法：
(1)排列数的计算主要是利用排列数公式进行．应用时注意：
连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的数是排
列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个 数，这是排列数公式的逆用． (2)应用排列数公式的两种形式时，一般先写出它们的式子 后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
【例1】判断下列问题是否为排列问题：
(1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，
共有多少种可能的选举结果？ (2)从2,3,5,7,9五个数字中任取两个数分别作为对数的底数 和真数，有多少个不同的对数值？ (3)有12个车站，共需准备多少种车票？ (4)从集合M={x|1≤x≤9,x∈N}中任取相异的两个元素作为
2015-2016学年北师大版选修2-3 排列与排列数公式 课件(58张)
是按分子、分母的顺序排列的．
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
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BS ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
选修2－3
易 错 易 误 辨 析
一般地，从 n 个不同的元素中 取出 m(m≢n)个元素，按 照一定的顺序 排成 一列， 叫作从 n 个不同的元素中任意取出 m 个元素的一个排列． 我们把有关求排列的 个数 问题叫作排 列问题．
【自主解答】 (1)中票价只有三种， 虽然机票是不同的， 但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题； (2)中种树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问 题；
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当 堂 双 基 达 标
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选修2－3
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
【解】
(1)选出同学甲、乙与乙、甲开会是同一回事，
所以与两名学生的先后顺序无关，所以(1)不是排列问题． (2)由于 2÷ 3≠3÷ 2，所以本题与两数的顺序有关，是排列 问题． (3)因为弦 AB 与弦 BA 是同一回事， 所以本题也不是排列 问题．
演示结束
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人教A版选修2-3 排列与排列数公式 课件(48张)
提示：排列定义包括两个基本内容：一是“取出的元素不能重 复”；二是“按照一定的顺序排列”．
2．两个排列若为相同的排列需具备哪些条件？
提示：需要具备两个条件：一是元素完全相同，二是元素的 排列顺序完全相同．
3．判断一个具体问题是否为排列问题的关键是什么？
提示：判断一个具体问题是不是排列问题，关键看在安排取 出的元素时是有序还是无序，有序就是排列，无序就不是排列．
【解】 (1)是．选出的 2 人分别担任正、副班长，与顺序有关， 所以该问题是排列问题；
(2)是．显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序 有关．
(3)是．道理同上． (4)不是．焦点在 x 轴上的椭圆，方程中的 a、b 必有 a>b，a、 b 的大小一定．
排列的特点是“先取后排”，即先从 n 个不同的元素中取出 m 个元素，再按一定顺序把这 m 个元素排成一列.因此，判断一 个问题是否为排列问题，只需考察与顺序是否有关，有关则是排 列问题，无关则不是排列问题.
化简得，n2－9n＋8＝0. 解得，n＝8 或 n＝1(因为 n≥3，所以 n＝1 舍去)，所以 n 的值为 8.
解析：12 名学生分为 4 组，3 人一组无先后顺序，不属于排列 问题．
2．已知 An2＝132，则 n＝( B )
A．11
B．12
C．13
D．14
解析：n(n－1)＝132，n＝12.
3．某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一 条毕业留言，那么全班共写了 1560 条毕业留言．(用数字作 答)
(3)排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的 阶乘式，它是一个分式的形式，分子是下标 n 的阶乘，分母是下 标减上标的阶乘，即(n－m)的阶乘，
2．两个排列若为相同的排列需具备哪些条件？
提示：需要具备两个条件：一是元素完全相同，二是元素的 排列顺序完全相同．
3．判断一个具体问题是否为排列问题的关键是什么？
提示：判断一个具体问题是不是排列问题，关键看在安排取 出的元素时是有序还是无序，有序就是排列，无序就不是排列．
【解】 (1)是．选出的 2 人分别担任正、副班长，与顺序有关， 所以该问题是排列问题；
(2)是．显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序 有关．
(3)是．道理同上． (4)不是．焦点在 x 轴上的椭圆，方程中的 a、b 必有 a>b，a、 b 的大小一定．
排列的特点是“先取后排”，即先从 n 个不同的元素中取出 m 个元素，再按一定顺序把这 m 个元素排成一列.因此，判断一 个问题是否为排列问题，只需考察与顺序是否有关，有关则是排 列问题，无关则不是排列问题.
化简得，n2－9n＋8＝0. 解得，n＝8 或 n＝1(因为 n≥3，所以 n＝1 舍去)，所以 n 的值为 8.
解析：12 名学生分为 4 组，3 人一组无先后顺序，不属于排列 问题．
2．已知 An2＝132，则 n＝( B )
A．11
B．12
C．13
D．14
解析：n(n－1)＝132，n＝12.
3．某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一 条毕业留言，那么全班共写了 1560 条毕业留言．(用数字作 答)
(3)排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的 阶乘式，它是一个分式的形式，分子是下标 n 的阶乘，分母是下 标减上标的阶乘，即(n－m)的阶乘，
高中数学选修2-3《排列与组合》全部课件
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，用符号Cnm表示。
注意：1.m个元素必须从这n个元素中取出；
2.组合问题，哪些是排列问题？
1、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，
1.排列 定义:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列.
说明:①一次性取出m个元素;②将这m个
元素按一定的顺序排成一列.③ m≤n
注:（相同排列：元素相同，顺序相同.）
例1.下列问题是不是排列问题？ 1．某学校的高二（1）班有50名同学,从 中选出5人组成班委会,共有多少种选法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？
甲
5）甲只能排头或排尾，共有几种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
6）甲不排头，乙不排尾，共有多少种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
1）甲站在正中间的排法有几种？
甲
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
2）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？
甲
乙
3）甲乙两人不能站在两端的排法有几种？
有多少种不同的选法？
组合
2、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的
元素的组合数，用符号Cnm表示。
注意：1.m个元素必须从这n个元素中取出；
2.组合问题，哪些是排列问题？
1、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，
1.排列 定义:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列.
说明:①一次性取出m个元素;②将这m个
元素按一定的顺序排成一列.③ m≤n
注:（相同排列：元素相同，顺序相同.）
例1.下列问题是不是排列问题？ 1．某学校的高二（1）班有50名同学,从 中选出5人组成班委会,共有多少种选法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？
甲
5）甲只能排头或排尾，共有几种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
6）甲不排头，乙不排尾，共有多少种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
1）甲站在正中间的排法有几种？
甲
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
2）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？
甲
乙
3）甲乙两人不能站在两端的排法有几种？
有多少种不同的选法？
组合
2、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的
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解析：A11020＝100×99×…×(100－12＋1)＝100×99×…×89.
答案：C
2．A，B，C 三名同学照相留念，呈“一”字形排队，所有排
解：(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样 的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同 的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)A 给 B 写信与 B 给 A 写信是不同的，所以存在着顺序问 题，属于排列问题.
用列举法解决排列问题
[例 2] 写出下列问题的所有排列： (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位数，共 有多少个不同的两位数？ (2)由 1,2,3,4 四个数字能组成多少个没有重复数字的四 位数？试全部列出．
[类题通法] 判断是不是排列问题，要抓住排列的本质特征：①取出的 元素无重复，②取出的元素必须按顺序排列．元素有序还是无 序是判断是否是排列问题的关键．
[对点训练] 判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票价 格(假设来回的票价相同)； (2)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (3)某班 40 名学生在假期相互通信．
答案：B
排列数公式的应用
[例 3] 计算下列各题： (1)A66； (2)2AA8588－＋A7A59 48； (3)若 3A3x＝2A2x＋1＋6Ax2；求 x.
[解] (1)A66＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720. (2)2AA5888＋－7AA59 48＝ 8×27××86××75××64××53××42＋×71×－89××78××67××56×5＝1. (3)由 3A3x＝2A2x＋1＋6Ax2，得 3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋ 6x(x－1)．因为 x≥3 且 x∈N*，所以 3x2－17x＋10＝0. 解得 x＝5 或 x＝23(舍去)．所以 x＝5.
解：(1)AA7477＝7×6×7×5×6×4×5×3×4 2×1＝6. (2)原式＝[n－1n－－m1－！1]！·(n－m)！·n－11！＝nn－－m1！！·(n －m)！·n－11！＝1.
【练习反馈】
1．89×90×91×…×100 可表示为( )
A．A11000 C．A11200
B．A11100 D．A11300
[类题通法] 1．计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要注 意先提取公因式化简，然后计算．这样做往往会减少运算量． 2．连续正整数(因式)的乘积可以写成某个排列数 Amn ，其 中最大的数是排列元素的总个数 n，而因式的个数是取出的元 素个数 m.
[对点训练] 计算： (1)AA7747； (2)Amn－－A11nn·－－A11nn－－mm.
共有 9 种不同的分配方式． 法二：让 A，B，C，D 四人依次拿一张别人送出的贺年 卡，则可以分三步：第 1 步，A 先拿，有 3 种不同的方 法；第 2 步，让被 A 拿走的那张贺年卡的主人拿，共有 3 种不同的取法；第 3 步，剩下的两个人都各有 1 种取 法．由分步乘法计数原理知，四张贺年卡有 3×3×1×1 ＝9 种不同的分配方式.
同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张
别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有( )
A．6 种
B．9 种
C．11 种
D．23 种
解析：法一：设四张贺卡分别为 A，B，C，D.由题意知， 某人(不妨设为 A 卡的供卡人)取卡的情况有 3 种，据此将 卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次 取卡分步进行． 用树状图表示，如图．
[解] (1)不是，(2)是；(3)第一问不是，第二问是．理由是： 由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果 时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作 除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关．“入座”问题同 “排队”，与顺序有关，故选 3 个座位安排 3 位客人入座是排 列问题．
m 个元素的排列数，用符号 Anm表示
排列数公 式
Amn ＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 阶乘式 Anm＝ n！ (n，m∈N*，m≤n)
n－m！
特殊情况 Ann＝ n！ ，A0n＝ 1 ,0！＝1
【常考题型】
排列的有关概念
[例 1] 下列问题是排列问题吗？ (1)从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个做加法，其结果有 多少种不同的可能？ (2)从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个做除法有多少种不 同的可能？ (3)会场有 50 个座位，要求选出 3 个座位有多少种方 法？若选出 3 个座位安排 3 位客人入座，又有多少种方法？
排列与排列数公式
【知识梳理】
1. 排列的定义 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的 顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的一个排列．
2. 排列数及排列数公式
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所 排列数定
有 排列的个数 ，叫做从 n 个不同元素中取出 义及表示
[解] (1)所有两位数是 12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43， 共有 12 个不同的两位数．
(2)画出树形图，如图所示．
由上面的树形图知，所有的四位数为： 1 234,1 243,1 324,1 342,1 423,1 432,2 134,2 143，2 314，2 341,2 413,2 431,3 124,3 142,3 214,3 241,3 412,3 421,4 123,4 132,4 213,4 231,4 312,4 321，共 24 个没有重复数字的四位数．
[类题通法] 在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表 示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排 哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素 在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类， 依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树 形图写出排列．
[对点训练]