高中数学选修2-3优质课件：排列与排列数公式

解析：A11020＝100×99×…×(100－12＋1)＝100×99×…×89.
答案：C
2．A，B，C 三名同学照相留念，呈“一”字形排队，所有排
m 个元素的排列数，用符号 Anm表示
排列数公 式
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Amn ＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 阶乘式 Anm＝ n！ (n，m∈N*，m≤n)
n－m！
特殊情况 Ann＝ n！ ，A0n＝ 1 ,0！＝1
【常考题型】
排列的有关概念
[例 1] 下列问题是排列问题吗？ (1)从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个做加法，其结果有 多少种不同的可能？ (2)从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个做除法有多少种不 同的可能？ (3)会场有 50 个座位，要求选出 3 个座位有多少种方 法？若选出 3 个座位安排 3 位客人入座，又有多少种方法？
答案：B
排列数公式的应用
[例 3] 计算下列各题： (1)A66； (2)2AA8588－＋A7A59 48； (3)若 3A3x＝2A2x＋1＋6Ax2；求 x.
[解] (1)A66＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720. (2)2AA5888＋－7AA59 48＝ 8×27××86××75××64××53××42＋×71×－89××78××67××56×5＝1. (3)由 3A3x＝2A2x＋1＋6Ax2，得 3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋ 6x(x－1)．因为 x≥3 且 x∈N*，所以 3x2－17x＋10＝0. 解得 x＝5 或 x＝23(舍去)．所以 x＝5.
解：(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样 的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同 的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)A 给 B 写信与 B 给 A 写信是不同的，所以存在着顺序问 题，属于排列问题.
用列举法解决排列问题
[例 2] 写出下列问题的所有排列： (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位数，共 有多少个不同的两位数？ (2)由 1,2,3,4 四个数字能组成多少个没有重复数字的四 位数？试全部列出．
同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张
别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有( )
A．6 种
B．9 种
C．11 种
D．23 种
解析：法一：设四张贺卡分别为 A，B，C，D.由题意知， 某人(不妨设为 A 卡的供卡人)取卡的情况有 3 种，据此将 卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次 取卡分步进行． 用树状图表示，如图．
排列与排列数公式
【知识梳理】
1. 排列的定义 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的 顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的一个排列．
2. 排列数及排列数公式
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所 排列数定
有 排列的个数 ，叫做从 n 个不同元素中取出 义及表示
[类题通法] 1．计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要注 意先提取公因式化简，然后计算．这样做往往会减少运算量． 2．连续正整数(因式)的乘积可以写成某个排列数 Amn ，其 中最大的数是排列元素的总个数 n，而因式的个数是取出的元 素个数 m.
[对点训练] 计算： (1)AA7747； (2)Amn－－A11nn·－－A11nn－－mm.
[解] (1)不是，(2)是；(3)第一问不是，第二问是．理由是： 由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果 时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作 除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关．“入座”问题同 “排队”，与顺序有关，故选 3 个座位安排 3 位客人入座是排 列问题．
共有 9 种不同的分配方式． 法二：让 A，B，C，D 四人依次拿一张别人送出的贺年 卡，则可以分三步：第 1 步，A 先拿，有 3 种不同的方 法；第 2 步，让被 A 拿走的那张贺年卡的主人拿，共有 3 种不同的取法；第 3 步，剩下的两个人都各有 1 种取 法．由分步乘法计数原理知，四张贺年卡有 3×3×1×1 ＝9 种不同的分配方式.
解：(1)AA7477＝7×6×7×5×6×4×5×3×4 2×1＝6. (2)原式＝[n－1n－－m1－！1]！·(n－m)！·n－11！＝nn－－m1！！·(n －m)！·n－11！＝1.
【练习反馈】
1．89×90×91×…×100 可表示为( )
A．A11000 C．A11200
B．A11100 D．A11300
[解] (1)所有两位数是 12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43， 共有 12 个不同的两位数．
(2)画出树形图，如图所示．
由上面的树形图知，所有的四位数为： 1 234,1 243,1 324,1 342,1 423,1 432,2 134,2 143，2 314，2 341,2 413,2 431,3 124,3 142,3 214,3 241,3 412,3 421,4 123,4 132,4 213,4 231,4 312,4 321，共 24 个没有重复数字的四位数．
[类题通法] 在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表 示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排 哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素 在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类， 依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树 形图写出排列．
[对点训练]
[类题通法] 判断是不是排列问题，要抓住排列的本质特征：①取出的 元素无重复，②取出的元素必须按顺序排列．元素有序还是无 序是判断是否是排列问题的关键．
[对点训练] 判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票价 格(假设来回的票价相同)； (2)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (3)某班 40 名学生在假期相互通信．