第十二章 全等三角形复习资料

第十二章 全等三角形复习资料
知识点1 全等三角形的性质
1．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形
（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，
如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆
（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，
合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等． （3）性质：对应边相等，对应角相等。

∵△ABC ≌△DEF
∴AB=DE ，AC=DF,BC=EF ， ∴∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠C=∠F.
类型1：对应边相等的应用（重叠边）
1、如图1，△ABC ≌△DEF ，若BE=5cm,EC=3cm ， 则EF=______ 类型2：对应角相等的应用（平行、重叠角、角平分线） 图1
2、如图1，△ABC ≌△DEF ，若∠B=∠DEF , 则 若∠ACB=∠F , 则AC//____
3、如图2，△ABC ≌△ADE ，若∠BAC=80º,∠DAC=50º,
则 ∠CAE=______
图2
知识点2 全等三角形的五大判定(SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL)
★注意：要记住“AAA ”或“SSA ”的两个三角形不一定全等． 全等三角形的判定（一）SSS ：
三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”．
在ABC ∆和DEF ∆中
⎪⎩
⎪
⎨⎧===DF AC EF BC DE
AB
ABC ∆∴≌)(SSS DEF ∆
全等三角形的判定（二）SAS ：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”. 如图，在ABC ∆和DEF ∆中，
AB DE
B E B
C EF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
ABC ∆∴≌)(SAS DEF ∆
全等三角形的判定（三）ASA ： 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简写“角边角”或“ASA ”. 在ABC ∆与DEF ∆中
F C EF BC E B ∠=∠=∠=∠ ∴)(ASA DEF ABC ∆≅∆
A B
C D E
A B E D
D
C
B A
全等三角形的判定（四）AAS：
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．简写“角角边”或“AAS”.
在ABC
∆与DEF
∆中
DE
AB
F
C
E
B
=
∠
=
∠
∠
=
∠
∴)
(AAS
DEF
ABC∆
≅
∆
全等三角形的判定（五）HL：
∵∠C=∠F=90°
∴△ABC和△DEF是直角三角形
在ABC
Rt∆与DEF
Rt∆中，
∵
⎩
⎨
⎧
=
=
EF
BC
DE
AB
∴)
(HL
DEF
Rt
ABC
Rt∆
≅
∆
三角形全等的证题思路（判定方法有：SSS,SAS,ASA,AAS或HL(R t△)）
（1）
SAS
HL
SSS
→
⎧
⎪
→
⎨
⎪→
⎩
找夹角
已知两边找直角
找另一边
（2）
ASA
AAS
→
⎧
⎨
→
⎩
找夹边
已知两角
找任意一边
（3）
AAS
SAS
ASA
AAS
→→
⎧
⎪
→
⎧
⎪
⎨⎪
→→
⎨
⎪
⎪
⎪→
⎩
⎩
边为角的对边找任意一角
找夹角的另一边
已知一边和一角
边为角的邻边找夹边的另一角
找边的对角
知识点3 角平分线的性质及判定
1. 角平分线的作法（尺规作图）
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；
③过点P作射线OP，射线OP即为所求．
2. 角平分线的性质及判定
（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
∵PA⊥OM，PB⊥ON，
OP平分∠MON（∠1＝∠2），
∴PA＝PB。

（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
∵PA⊥OM，PB⊥ON，
PA＝PB，
∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）
【题型一】公共边类型的全等三角形
图形1 图形2
图形
3
注意：隐含条件AD=AD 隐含条件AB=BA 隐含条件AC=CA
【例1】在ABC
∆中，AB=AC,AD平分∠BAC，求证：ABD
∆≌ACD
∆
【例2】如图, ∠ABC=∠DCB, ∠ACB=∠DBC,求证：AC=DB.
【例3】已知：如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．
【题型二】公共角类型的全等三角形
【例4】如图，AB=AC, AD=AE，BE和CD相交于P，PB=PC,求证：PD=PE.
【题型三】对顶角类型的全等三角形
图形1 图形2
【例5】如图1，已知：AE=CE，EB=ED.求证：∠B=∠D.
【例6】如图，两条直线AC,BD相交于O，BO=DO,AO=CO，直线EF过点O且分
别交AB、CD于点E,F，求证：OE=OF
A
B C
D
A
B C
D
B C
A D
D C
B
A
A
B C
D
【题型四】等线段加或减公共部分类
图形1 图形2
图形3 图形4
（1）∵AD=AE, BD=CE (2) ∵AB=AC, AD=AE ∴AD+BD=AE+CE ∴AB －AD=AC －AE 即AB=AC 即BD=CE
【例7】点B,E,C,F 在同一条直线上，AB=DF,AC=DE,BE=CF. 求证：∠A=∠D.
【例8】如图，已知：.,,CF BE DE AC DF AB ===求证：DF AB //.
【例9】已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝DC ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，
求证：△ABC ≌△DEF ．
A D
B E F C
(1)
A B
F
E C D
(4) A B F E D C
(2) A B E F D C (3) ∵ BE=CF ∴ BE-EF=CF-EF 即BF=CE ∵ BE=CF
∴ BE+EF=CF+EF
即 BF=CE
∵ BE=CF
∴ BE+EF=CF+EF 即BF=CE ∵ BE=CF ∴ BE-EF=CF-EF 即 BF=CE A D B E C F
B
C
D
F A A B C D E 图5
【题型五】角加减（旋转）公共部分类型的全等三角形 图形1 图形2
(1) ∵∠ABD=∠CAE (2) ∵∠BAC=∠DAE
∴∠ABD+∠CAD =∠CAE+∠CAD ∴∠BAC －∠CAE =∠DAE －∠CAE 即∠BAC=∠DAE 即∠1=∠2
图形3 图形4
【例10】如图，已知AB=AD,∠B=∠D，∠1=∠2，证明：BC=DE 证明：∵∠1=∠2
【例11】已知：如图(2)，∠E=∠F=90°，∠B=∠C ，AE=AF ，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF ；③△CAN ≌△ABM ；④CD=DN.其中正确是_______.
【题型六】等角加或减等角类（如图四）
(1) ∵∠ADC=∠CBA, (2) ∵∠ADB=∠CBD,
∠CDB=∠ABD ∠CDB=∠ABD
∴∠ADC+∠CDB=∠CBA+∠ABD ∴∠ADB －∠CDB=∠CBD －∠ABD 即∠ADB=∠CBD 即∠ADC=∠CBA
【题型七】大山型的全等三角形（互余性质）
【例12】已知：如图，AB ⊥CD,ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE ，求证：AC ⊥CE.
E
D
C B A N
M
F E D
C B
A
E
D
C
B A A D O
C B 图四 A
D O C B 图四
【例13】在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.
【例14】如图所示，已知在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过A的任一条
【例15】如图，BE、CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB．求证：AP⊥AQ．直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E。

（1）求证：DE=BD+CE；
（2）若将直线AN绕A点沿顺时针方向旋转，使它经过△ABC的内部，再作BD
⊥AN于D，CE⊥AN于E，那么DE、DB、CE之间还存在等量关系吗？若存在，
请证明你的结论。