刚体运动的描述
刚体运动学的基本原理与公式
刚体运动学的基本原理与公式引言刚体运动学是物理学中一个重要的分支，研究物体在空间中的运动规律。
通过分析刚体的运动，我们可以揭示物体在空间中的位置、速度和加速度等关键信息。
本文将介绍刚体运动学的基本原理和公式，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
一、刚体的定义与特性刚体是指在运动过程中形状和大小不发生变化的物体。
与之相对，我们称之为非刚体的物体在运动过程中可能发生形变。
刚体的特性包括质量、形状、大小和位置等。
在刚体运动学中，我们主要关注刚体的位置、速度和加速度等运动参数。
二、刚体的运动描述为了描述刚体在运动中的位置和运动状态，我们引入了坐标系和参考点的概念。
坐标系用于确定刚体的位置，而参考点则是确定刚体位置的基准点。
在刚体运动学中，我们通常使用笛卡尔坐标系来描述刚体的运动。
通过选择合适的参考点，我们可以确定刚体的位置矢量。
三、刚体的位移、速度和加速度刚体的位移是指刚体在运动过程中，由一个位置变换到另一个位置的变化量。
刚体的速度是指刚体在单位时间内所发生的位移。
刚体的加速度是指刚体速度的变化率，即单位时间内速度的变化量。
在刚体运动学中，我们可以通过求导数的方法来计算刚体的速度和加速度。
四、刚体运动的基本公式刚体运动学中有一些基本的公式，可以帮助我们计算刚体的运动参数。
其中，最基本的公式是位移公式，即s = v * t，其中s表示位移，v表示速度，t表示时间。
通过这个公式，我们可以计算刚体在给定时间内的位移量。
另外，我们还可以使用速度公式和加速度公式来计算刚体的速度和加速度。
五、刚体运动的特殊情况在刚体运动学中，存在一些特殊的情况，需要特别注意。
例如，当刚体做匀速直线运动时，速度和加速度都是常量。
当刚体做匀加速直线运动时，速度是随时间线性增加的，而加速度是常量。
此外，当刚体做曲线运动时，速度和加速度的方向可能随时间变化。
六、刚体运动学的应用刚体运动学在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在机械工程中，我们可以利用刚体运动学的原理来设计机械装置和机器人。
物理竞赛-刚体
t
0
fR2dt
1 2
m2 R22 (2
20
)
—
—（2）
稳定后两轮边缘线速度大小相等：1R1 2R2 — —（3）
1
m1R110 m2 R220
(m1 m2 )R1
,2
m2 R220 m1R110
(m1 m2 )R2
例、有一长为l、质量为m的匀质细杆，置于光滑 水平面上，可绕过中点O的光滑固定竖直轴转动，
5、车轮（圆柱体）的无滑滚动
若滚动车轮边缘上各点与支 撑面接触的瞬时，与支撑面 无相对滑动，则称车轮作无 滑滚动（纯滚动）。
车轮（中心）前进的距离与
转过的角度的关系：
x r dx r d
dt dt
则
vC
r
dvC dt
r d
dt
或 aC r
——无滑滚动的条件
C vC
r
x
车轮上任一点的速度： v vC r
vC
v 2
同时，对C轴合外力矩为0，故角动量守恒：
mv
l 4
( J C杆
J C球
)
y
J C杆
1 12
ml2
m( l )2 4
7 48
m l（2 平行轴定理）
ml
J C球
m( l )2 4
6v
5l
碰且后 系系 统统 以质心 将6v以绕v质C 心v2轴向转右动运。动，
5l
C vC
m O
例12、光滑水平桌面上有一半径为R、质量为M的
（r— —该点相对质心C的位矢）
例1、求图示纯滚动中G、B、A相对支撑面的速度。
G点：vG vC rGC 0
▲对无滑滚动，车轮边缘在与支撑面接触
力学中的刚体运动和运动学描述方法
力学中的刚体运动和运动学描述方法力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动和力的作用。
在力学中，刚体是最基本的研究对象之一。
刚体是指形状不变，内部各点之间的距离保持不变的物体。
其运动可以通过运动学描述方法进行研究。
在力学中，刚体的运动可以分为平动和转动两种。
平动是指整个刚体的位置随时间而变化，而转动是指刚体绕一定轴线旋转。
对于刚体的平动运动，可以用质心的位置来描述。
质心是指刚体所有质点的质量的几何中心，可以视为刚体的一个点。
在运动学中，刚体的运动可以用位移、速度和加速度等物理量来描述。
位移是指刚体在运动过程中从一个位置到另一个位置的变化量。
速度是指刚体在单位时间内位移的变化量，可以用位移对时间的导数来表示。
加速度是指刚体在单位时间内速度的变化量，可以用速度对时间的导数来表示。
对于平动运动，刚体质心的速度可以通过质心的位移对时间的导数来计算。
而对于转动运动，刚体的角速度和角加速度可以用角位移和角速度对时间的导数来计算。
刚体的角位移是指刚体在旋转过程中绕定轴线转过的角度，可以用弧度来表示。
角速度是指刚体在单位时间内角位移的变化量，可以用角位移对时间的导数来表示。
角加速度是指刚体在单位时间内角速度的变化量，可以用角速度对时间的导数来表示。
除了位移、速度和加速度等物理量外，刚体还具有动能、势能和力矩等重要概念。
动能是指刚体由于运动而具有的能量，可以用质量和速度的平方的乘积来计算。
势能是指刚体由于位置而具有的能量，例如重力势能和弹性势能等。
力矩是指力对刚体产生的力臂乘以力的乘积，用于描述力对刚体的旋转效果。
运动学描述方法中，还有一个重要概念是力矩定理。
力矩定理是刚体平衡的基本条件之一，它表明刚体处于平衡状态时，所受外力对质心产生的力矩和所受外力对定轴线产生的力矩之和为零。
这个定律在解决许多静力学和动力学问题时非常有用。
综上所述，刚体的运动可以通过运动学描述方法进行研究。
刚体的平动运动可以用质心的位置、速度和加速度等物理量来描述，而转动运动可以用角位移、角速度和角加速度等物理量来描述。
力学中的刚体运动
力学中的刚体运动刚体运动是力学中的基础概念之一，涉及物体在空间中的平移和旋转运动。
刚体指的是一个具有无穷多个质点的物体，其内部任意两点之间的相对位置保持不变。
本文将介绍刚体运动的基本原理、刚体运动的类型以及刚体运动的相关公式。
一、刚体运动的基本原理刚体运动的基本原理是“刚体上的任一质点在任意时刻的平面运动状态都完全相同”。
这意味着无论刚体如何运动，刚体上的各个质点之间的相对位置都保持不变。
这种相对位置的不变性使得刚体的运动可以用一个简化的模型来描述。
二、刚体运动的类型刚体运动可以分为平面运动和空间运动两种类型。
1. 平面运动平面运动指的是刚体在一个平面内的运动。
在平面运动中，刚体的质心沿直线或曲线轨迹运动，同时围绕质心进行旋转。
平面运动可以进一步分为平行轴定理和垂直轴定理两种类型。
- 平行轴定理：当刚体的所有质点在一个平面内运动，且对于每个平行于该平面的轴，刚体质量对该轴的转动惯量都相等，则刚体的转动可以看作是质心绕着某个轴的转动。
- 垂直轴定理：当刚体的所有质点在一个平面内运动，且对于每个垂直于该平面的轴，刚体质量对该轴的转动惯量都相等，则刚体的转动可以看作是绕着该轴的转动。
2. 空间运动空间运动指的是刚体在三维空间中的运动。
在空间运动中，刚体的质心和各个质点都可以沿直线或曲线轨迹进行平移和旋转。
空间运动需要考虑刚体在三个方向上的运动和转动，其描述较为复杂，常用欧拉角和四元数等方法进行分析和计算。
三、刚体运动的相关公式刚体运动的描述离不开相关的公式和定理。
以下是一些常用的刚体运动公式：1. 质心运动的描述：- 质心速度公式：v = ds/dt，其中v为质心速度，s为质心位移，t为时间。
2. 刚体的平面运动：- 转动惯量公式：I = ∑mi ri²，其中I为转动惯量，mi为每个质点的质量，ri为质点到旋转轴的距离。
- 角动量公式：L = Iω，其中L为角动量，ω为刚体的角速度。
- 动能定理：∑(1/2mi vi²) = (1/2)Iω²，其中vi为每个质点的速度。
刚体的运动及描述
v r
P点线加速度 an r
2
dv at r dt
z
ω ,α v r θ
匀角加速转动的运动学关系：
P
参 考 方 向
0 t ( 0 ) 0 t 1 t 2 2 2 2 0 2 ( 0 )
刚体
r O ×
定轴
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
矢量形式
v r 2 an r at r
或： a t r e
刚体定轴转动(一维转动) 的转动方向可以用角速 度的正、负来表示。 角加速度
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
定点转动：
运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该固
定点的某一瞬时轴线转动.
如：陀螺的运动
i3
（转轴方向（2），绕轴转角（1））
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
3 平面平行运动 刚体上各点都平行于某一固定平面的运动称为刚体的 平面运动，又称为刚体的平面平行运动。 如：车轮直线滚动 可以分解为： 刚体随质心的平动（i=2） 和绕质心垂直于运动平 面的定轴转动（i=1）
·
Δ
· o
o
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动 + 绕质心的转动 的合成
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
5.1.3 刚体定轴转动的运动学描述
定轴转动：刚体上任意点都绕同一 轴在各自的转动平面内作圆周运动。
O
z
ω
r P’(t+dt) d P(t)
理论力学周衍柏第三章
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
3.1 刚体运动的描述
3.1 刚体运动的描述恒星的轨道运动可以用质点描述恒星的自转运动不能用质点描述速滑可以用质点描述花滑的旋转不能用质点描述滚动的轮胎不可以用质点描述转动的摩天轮不能用质点描述——不能忽略这些运动物体的大小和形状1什么是刚体刚体——受力时不改变形状和体积的物体（简化）——许多质元组成的特殊质点系：受力时质元的相对位置不变。
2刚体的运动类型：平动和转动1.平动刚体的平动刚体上的任一指定直线在运动中保持平行 可以用一个质点的运动描述整个刚体的运动2.定轴转动各质元绕定轴在各自的转动平面上做圆周运动。
刚体的定轴转动质元的运动=质心的平动+质元绕质心轴的转动 3.平动和定轴转动，可以描述刚体的运动 轮胎的滚动——轮胎上任意一个质元 p 的运动，都可以认为是质心的平动与质元 p 绕质心轴的转动的合成。
即：跳水运动员跳水过程中 ，其他部位则是绕质心轴做定轴转动3刚体定轴转动的描述角位移θΔtd d θω=t d d ωβ=每个质元具有相同的角位移、角速度和角加速度每个质元都做圆周运动，角速度 角加速度另：角量也是矢量，矢量的方向与转动方向服从右手螺旋关系。
ωθi i i i r tr t r v ===d d d d 速度的大小—速率: 位移的大小： θd d i i r r = 速度的方向：切向i i i it r t r t v a βω===d d d d iin r a 2ω=加速度的大小：不同位置的质元转动半径不同，位移、速度、加速度不相同22it in a a a +=加速度的方向：切向和法向加速度的矢量合成例一条绳索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半径r，如果升降机从静止开始以加速度a匀加速上升，求（1）开始上升后滑轮的角加速度β，（2）任意t 时刻的角速度ω和滑轮转过的角度θ，a（3）滑轮边缘上一点的加速度的大小（假设绳索与滑轮之间不打滑）。
解（1）滑轮边缘上一点的 切向加速度ra a t β==ra =→β任意 t 时刻的角速度⎰+=tt 00d βωωr at t ==β转过的角度 ⎰⎰==∆tt t t t 00d d βωθ221t β=（2）任意 t 时刻的角速度ω和滑轮转过的角度θ（3）滑轮边缘上一点的的加速度 1)/()/(22222222+=+=+='r at a a r t a a a a t n 加速度大小 加速度方向与切向夹角 )/arctan()/arctan(2r at a a t n ==ϕ法向加速度r t a r a n 222==ωaa t =切向加速度4力矩是改变刚体定轴转动状态的原因质点受力时运动状态会发生改变，但刚体受力时其定轴转动状态不一定会发生改变。
刚体运动的描述
刚体运动的描述一、刚体的平动（最简单）1、定义：在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的位置都保持平行。
2、特点：①刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的！②刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各质元的位移、速度和加速度却相同。
因此，常用“刚体的质心”来研究刚体的平动：3、平动的自由度：3个二、刚体的定轴转动（较简单）1、定义：若刚体运动时，所有质元都在与某一直线垂直的诸平面上作圆周运动且圆心在该直线上，则称刚体绕固定轴转动，该直线称作转轴。
2、特点：①刚体中始终保持不动的直线就是转轴。
②刚体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直且为圆周，圆心在轴上。
③和转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。
3、定轴转动刚体的自由度：1个（刚体的角坐标θ）如图示：建立o-xyz系,z轴与转轴重合，o点任意选取，截取刚体一个剖面o-xy平面，此位置只要确定，刚体的位置就确定了，除o点外，再选一个A点，此图形的位置可由矢量来确定，而矢量的大小是不变的，方向只需由矢量与x轴的夹角θ来确定，此θ角称为：绕定轴转动刚体的角坐标。
θ角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向和z轴成右手螺旋时，θ角为正，否则θ角为负。
4、定轴转动刚体运动的描述：①运动学方程：即：角坐标随时间的变化规律。
②描述刚体整体运动的物理量——角量，包括：角位移，角速度，角加速度。
角位移：定轴转动刚体在时间内角坐标的增量。
任意质元的角位移是相同的——是一整体运动的量。
面对z轴观察：逆时针转动，；反之，。
角速度ω：在这一过程中，即：瞬时角速度等于角坐标对时间的导数。
面对z轴观察逆时针转动时：；反之，。
角加速度β：∴即：瞬时角加速度等于角速度对时间的导数。
加速转动，β与ω同号；反之，。
③线量：描述定轴转动刚体上任一质元运动的物理量：线位移，线速度，线加速度。
如图示：A质元的线速度不同于B质元的线速度，以刚体上质元A为例：线位移：线速度：线加速度：即：由定轴转动刚体角量和线量关系可知：1、角速度矢量定义：方向规定：右手螺旋法则：四指的方向和转动方向一致，大母指的指向就是的方向，沿转轴，如图示：必须满足平行四边形法则：因此：刚体上任意质元的线速度：表示质元相对于转动任意点的位矢，组成右手螺旋。
刚体的平动和转动
刚体的平动和转动刚体是物理学中的重要概念，它是指在力的作用下不会发生形变的物体。
刚体的运动可以分为平动和转动两种形式。
本文将就刚体的平动和转动进行详细阐述。
一、刚体的平动刚体的平动是指整个物体在空间中沿直线运动，其每一部分都以相同的速度和方向移动。
刚体的平动可以用质心的运动来描述。
质心是刚体在空间中的一个点，刚体的质量集中于此点。
在刚体平动的过程中，质心的位置发生变化。
根据牛顿第二定律，刚体所受的合外力等于质量乘以加速度。
因此，刚体平动的加速度与合外力成正比，与质量成反比。
刚体平动时，其质心的速度与作用在质心上的合外力成正比，与质体的质量成反比。
二、刚体的转动刚体的转动是指物体围绕固定轴线进行旋转。
刚体转动的基本量是角速度和角加速度。
角速度是刚体每单位时间转动的角度，通常用符号ω表示。
角加速度是角速度变化的速率，通常用符号α表示。
刚体的转动是由力矩产生的。
力矩是力对轴线的垂直距离乘以力的大小。
根据力矩定理，一个物体的转动平衡需要满足合外力矩为零的条件。
根据转动定律，刚体的转动惯量与其质量和形状有关。
转动惯量用符号I表示，它与质体质量的分布以及围绕的轴线位置有关。
转动惯量越大，刚体越难以改变其转动状态。
三、刚体的平动与转动的联系刚体的平动和转动是密切相关的。
根据转动定律，刚体的转动加速度与转动力矩成正比，与转动惯量成反比。
因此，当一个刚体在平动时，可以通过产生合适的力矩使其发生转动。
进一步地，根据动量定理，刚体的平动动量等于质量乘以质心的速度。
而角动量定理则表明刚体的转动动量等于转动惯量乘以角速度。
刚体的平动和转动动量都遵循守恒定律，在运动过程中保持不变。
在实际应用中，刚体的平动和转动经常同时发生。
比如，汽车在行驶的过程中既存在平动又存在轮胎的转动。
为了描述这种情况，物理学家提出了受力分析的方法，将平动和转动各自相关的力和力矩进行分析。
总结：刚体的平动和转动是物理学中重要的运动形式。
刚体的平动是指整个物体沿直线运动，由质心的运动来描述；刚体的转动是指物体围绕固定轴线进行旋转，由角速度和角加速度来描述。
刚体的运动和转动
刚体的运动和转动刚体是指物体在运动或转动过程中，各部分之间保持相对位置不变的物体。
在物理学中，刚体是一个重要的概念，它的运动和转动具有一定的规律和性质。
本文将详细探讨刚体的运动和转动，以及相关的基本概念和原理。
一、刚体的运动刚体的运动是指整个物体的平动，即物体作为一个整体的运动。
平动可以是沿直线运动，也可以是曲线运动。
根据牛顿第一定律，当物体所受合外力的矢量和为零时，物体将保持静止或匀速直线运动。
而当物体所受合外力的矢量和不为零时，物体将发生加速度，即产生直线运动。
刚体的平动可以通过理解质点来进行分析。
质点是指物体的质量集中在一个点上，没有形状和大小，无论是刚体还是非刚体，都可以看作是由许多质点组成的。
因此，在分析刚体的平动时，可以把刚体简化为质点。
同时，刚体的平动也满足牛顿第二定律，即合外力等于质量乘以加速度。
二、刚体的转动刚体的转动是指物体绕某个轴进行旋转的运动。
转动的轴可以是任意选择的，但通常选择物体上的某个固定点或固定轴线作为转动的轴。
在刚体的转动中，每一个点都绕轴线进行圆周运动，并且所有点的转动角度相等。
刚体的转动可以由物体的转动惯量和转动力矩来描述。
转动惯量是物体对转动的抵抗程度或者旋转惯性的量度，它与物体的质量分布和形状密切相关。
转动力矩则是引起刚体转动的力和力臂的乘积，它的方向由右手定则给出。
根据角动量守恒定律，当刚体不受外力矩作用时，刚体的角动量守恒。
这意味着刚体的角动量大小和方向在运动过程中保持不变，从而导致刚体产生转动。
三、刚体的动力学方程刚体的运动和转动都可以通过动力学方程来描述。
对于平动的刚体，动力学方程可以表示为：∑F = ma其中，∑F表示物体所受合外力的矢量和，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
而对于转动的刚体，动力学方程可以表示为：∑τ = Iα其中，∑τ表示物体所受合外力矩的矢量和，I表示刚体的转动惯量，α表示刚体的角加速度。
四、刚体的运动和转动的实例刚体的运动和转动在日常生活和工程领域中有着广泛的应用。
刚体运动的描述
60
rad/s；t
20s时, t
0.
t
0t
1 2
t2
600
rad
N
t 2
300 r
(2) t 0 t 60 3 10 30 rad/s
(3) t 10s时：
线速度：v r 0.5 30 47.1 m/s
切向加速度：at r 0.5 (3 ) 4.71 m/s2 法向加速度：an r 2 0.5 (30 )2 4.44 103 m/s2
刚体运动的描述
一、 刚体及其运动形式 1. 刚体 在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体. (1) 刚体是任意两质点间距离均保持不变的特殊质点系; (2) 刚体是一种理想的力学模型.
2. 刚体的运动形式 平动
刚体的基本运动形式 转动
1. 刚体的平动 刚体运动时，若刚体内任意两点间的连线总是平行于
小结
本节课我们讲解了刚体的定义及其基本运动形式； 重点讲述了刚体定轴转动过程中的角坐标、角位移、 角速度和角加速度的概念以及刚体定轴转动的公式。
这部分内容是学习后面课程的基础，希望同学们课后 好好复习，熟练掌握。
其角加速度为负值；
方向: 与角速度增量的方向一致.
当与同号时，刚体加速转动；当与异号时，刚体减速转动.
3. 刚体定轴转动公式
(1) 角量和线量的关系
刚体上离转轴距离为 r 的质点的线速度与刚体的角速度之间
的关系为：v r
该点的切向加速度和法向加速度与刚体的角加速度和角速度
之间的关系分别为：at r an r 2
它们的初始位置间的连线，则刚体的这种运动叫做平动.
B A
B A
B A
平动的特点：
1) 刚体中各质点的 运动情况完全相同; 2) 刚体的平动可用 质点的运动来表示.
刚体运动的理论力学分析
刚体运动的理论力学分析刚体运动是经典力学研究的重要内容之一，涉及物体在空间中作直线运动、旋转运动以及复杂运动等方面的分析和研究。
本文将针对刚体运动的理论力学进行分析，并探讨刚体运动的力学定律和相关公式。
一、刚体的定义与特性刚体是指物体在受力作用下，各部分的相对位置不会发生变化的物体。
刚体具有以下特性：1. 形状不变性：刚体的形状和大小在运动过程中保持不变。
2. 组成部分的相对位置不变：刚体各部分相对位置保持不变，即不发生形变。
3. 刚体可以进行平动和转动。
二、刚体运动的描述刚体运动可以通过刚体在空间中的位置和姿态的变化来描述。
刚体可以存在三种运动状态：平动、转动和整体运动。
1. 平动：刚体的各个部分保持平行移动，位置和相对位置不发生变化。
平动运动可以由平动的速度和加速度来描述。
2. 转动：刚体绕固定轴线旋转，各个部分围绕轴线进行圆周运动。
转动运动可以通过角速度和角加速度来描述。
3. 整体运动：刚体在空间中同时进行平动和转动，即平动和转动的叠加。
三、刚体运动的力学定律刚体运动的力学定律主要包括牛顿第二定律和角动量守恒定律。
1. 牛顿第二定律：对于平动的刚体，根据牛顿第二定律可以得出以下公式：$$\sum F = ma$$其中，$\sum F$表示作用在刚体上的合力，m为刚体的质量，a为刚体的加速度。
2. 角动量守恒定律：对于转动的刚体，根据角动量守恒定律可以得出以下公式：$$L = I\omega$$其中，L为刚体的角动量，I为刚体的转动惯量，$\omega$为刚体的角速度。
四、刚体运动的相关公式1. 刚体的质心位置：刚体的质心位置可以通过以下公式计算：$$\bar{r} = \frac{1}{M}\int r dm$$其中，$\bar{r}$为质心的位置矢量，M为刚体的总质量，r为刚体中各个质点的位置矢量，dm为刚体中微小质元的质量。
2. 刚体的转动惯量：刚体的转动惯量可以通过以下公式计算：$$I = \int r^2 dm$$其中，I为刚体的转动惯量，r为刚体质点到转轴的距离，dm为刚体中微小质元的质量。
刚体运动的描述
刚体的定轴转动是指 刚体上各点都绕同一直线 作圆周运动， 作圆周运动，而直线本身 在空间的位置保持不动的 一种转动。 一种转动。 这条直线称为转轴 转轴。 这条直线称为转轴。 刚体定轴转动的特点： 刚体定轴转动的特点： 1.刚体上各个质点都在作圆周运动，但各质点圆周 刚体上各个质点都在作圆周运动， 刚体上各个质点都在作圆周运动 运动的半径不一定相等。 运动的半径不一定相等。 2.各质点圆周运动的平面垂直于转轴线，圆心在轴 各质点圆周运动的平面垂直于转轴线， 各质点圆周运动的平面垂直于转轴线 线上，这个平面我们称为转动平面。 线上，这个平面我们称为转动平面。 3.各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。 各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。 各质点的位矢
10
ω = ω 0 + βt 1） （ ）
1 2 ） θ − θ 0 = ω 0t + βt （2） 2
）、（2） 由（1）、（ ）式消 t得： ）、（ 得
2 2 0
ω = ω + 2 β (θ − θ 0 ) （3） ）
与匀变速直线运动计算公式有对应关系： 与匀变速直线运动计算公式有对应关系：
dθ ∆θ = 角速度 ω = lim ∆t → 0 ∆ t dt
角速度为角坐标对时间的一次导数。 角速度为角坐标对时间的一次导数。 方向：满足右手定则， 方向：满足右手定则，沿刚体 转动方向右旋大拇指指向。 转动方向右旋大拇指指向。 角速度是矢量， 角速度是矢量，但对于刚体定轴转 动角速度的方向只有两个， 动角速度的方向只有两个，在表示角 速度时只用角速度的正负数值就可表 示角速度的方向，不必用矢量表示。 示角速度的方向，不必用矢量表示。
dθ ω= dt
∆t → 0
刚体运动学
刚体运动学概述刚体运动学是力学的一个分支，研究的是刚体在没有考虑外力和内力作用下的运动规律。
刚体是指在运动过程中保持形状和大小不变的物体，它的质点之间的相对位置保持不变。
刚体运动学主要研究刚体的平动和旋转运动。
在平动运动中，刚体的每一个质点都沿着相同的轨迹作匀速直线运动；在旋转运动中，刚体围绕某一轴作转动，其每一质点的运动速度方向都与轴垂直。
平动运动平动运动的描述平动运动是指刚体各质点在空间中作匀速直线运动，质点之间的相对位置保持不变。
可以使用刚体的质心来描述平动运动。
质心是刚体所有质点质量的加权平均位置，也可以看作是刚体的几何中心。
平动运动的参考系在研究平动运动时，我们需要选择一个适当的参考系。
通常选择地面作为参考系，地面水平的情况下，刚体的平动运动满足牛顿第一定律。
平动运动的基本量在研究平动运动时，我们需要引入一些基本量来描述刚体的运动状态，包括位移、速度和加速度。
•位移（s）：表示质点从初始位置到最终位置的位移矢量。
•速度（v）：表示单位时间内位移的瞬时变化率，即位移矢量对时间的导数。
•加速度（a）：表示单位时间内速度的瞬时变化率，即速度矢量对时间的导数。
在平动运动中，质点之间的相对位置保持不变，因此刚体的所有质点具有相同的位移、速度和加速度。
旋转运动旋转运动的描述旋转运动是指刚体围绕某一轴作转动，其每一质点的运动速度方向都与轴垂直。
旋转运动可以使用角度来描述，刚体的转动角度是指刚体某一时刻转动的角度。
旋转运动的基本量•角位移（θ）：表示刚体旋转的角度，是刚体某一时刻的角度。
•角速度（ω）：表示单位时间内角位移的瞬时变化率，即角位移对时间的导数。
•角加速度（α）：表示单位时间内角速度的瞬时变化率，即角速度对时间的导数。
刚体的每一质点所处的角度都相同，因此刚体的各质点具有相同的角位移、角速度和角加速度。
旋转运动的参考系在研究旋转运动时，我们需要选择一个适当的参考系。
通常选择刚体固定的参考点或者参考轴作为参考系，这样可以简化旋转运动的分析。
刚体的平动和转动
刚体的平动和转动刚体运动是物理学中的一个重要概念，指的是物体在空间中的移动和旋转。
其中，平动和转动是刚体运动中的两种基本方式。
本文将从理论和实际应用两个方面，对刚体的平动和转动进行论述。
一、平动运动平动是指整个刚体以相同的速度和方向在空间中进行直线运动。
这种运动可以看作是刚体质心的运动，其中质心是刚体的一个重要特征点，位于刚体的重心位置。
刚体的平动运动可以用牛顿第二定律来描述，即F=ma，其中F是作用在刚体上的合力，m是刚体的质量，a是刚体的加速度。
刚体的平动运动在现实生活中有着广泛的应用。
比如，摩托车在路上行驶、足球在球场上滚动等都是平动运动的例子。
在工程领域，汽车的行驶、铁路车辆的行进等也是平动运动的应用。
二、转动运动转动是指刚体绕轴心进行旋转的运动。
在转动运动中，刚体各点的运动状态并不完全相同，不同点的运动速度和加速度会有所不同。
对于转动运动，我们需要引入转动惯量和转动定律来描述。
转动惯量是刚体对于转动运动的惯性特性的量度，用I表示。
对于不同形状的物体，其转动惯量大小会有所不同。
例如，长棍比圆盘的转动惯量要大。
转动定律则描述了刚体转动运动与外力和力矩之间的关系，即τ=Iα，其中τ是力矩，α是刚体的角加速度。
转动运动也有着广泛的应用领域。
例如，电风扇的扇叶转动、拨钟的转动等都是转动运动的实际应用。
在机械工程中，齿轮、传动轴等部件的转动也是转动运动的重要应用。
三、刚体的平动转动组合在实际运动中，刚体的平动和转动运动常常是同时存在的。
例如，自行车在平地上行驶时，既有整车质心的平动，又有轮胎相对于地面的转动。
这种平动转动的组合运动称为刚体的复合运动。
在复合运动中，刚体的平动和转动运动之间存在着数学上的关系。
根据质心速度定理和角动量定理，可以得到刚体平动与转动的运动学和动力学关系。
这些关系为研究和分析刚体复合运动提供了重要的理论基础。
总结：刚体的平动和转动是物体在空间中运动的两种基本形式。
平动是整体的直线运动，转动是绕轴心的旋转运动。
刚体运动知识点总结
刚体运动知识点总结刚体运动是物理学中的一个重要研究领域，它涉及到力学、动力学等多个方面的知识。
在学习刚体运动的过程中，我们需要了解刚体的运动方式、刚体的平动和转动运动、刚体的运动方程、刚体动力学等知识点。
下面将针对这些知识点进行详细的总结和讨论。
一、刚体的运动方式刚体可以进行平动运动和转动运动。
在平动运动中，刚体上所有的点都以相同的速度和相同的方向运动。
在转动运动中，刚体绕着固定轴线旋转，使得刚体上的各个点绕着这个轴线做圆周运动。
刚体的平动运动可以分为匀速直线运动和变速直线运动两种情况。
在匀速直线运动中，刚体上各个点的速度大小和方向都保持不变；在变速直线运动中，刚体上各个点的速度大小和方向都在不断地变化。
刚体的转动运动可以分为定轴转动和不定轴转动两种情况。
在定轴转动中，刚体绕着固定的轴线旋转，而在不定轴转动中，刚体绕着移动的轴线旋转。
二、刚体的平动运动在学习刚体的平动运动时，我们通常关心刚体上各点的速度、加速度和位移等动力学量。
1. 速度：刚体上任意一点的速度可以表示为该点的瞬时线速度，即该点的位矢对时间的导数。
刚体上不同点的速度大小和方向可以不同，但它们的速度矢量之间满足相对运动关系。
2. 加速度：刚体上任意一点的加速度可以表示为该点的瞬时线加速度，即该点的速度对时间的导数。
刚体上不同点的加速度大小和方向可以不同，但它们的加速度矢量之间满足相对运动关系。
3. 位移：刚体上任意一点的位移可以表示为该点的位矢的变化量。
刚体上不同点的位移可以通过相对位移关系来描述。
刚体的平动运动可以通过运动方程来描述，其中包含了刚体上不同点的速度、加速度和位移之间的关系。
在解决刚体平动问题时，我们通常会使用牛顿运动定律和动量定理等知识来进行分析和求解。
三、刚体的转动运动在学习刚体的转动运动时，我们需要了解刚体绕着固定轴线旋转的运动规律，以及刚体上各点的角速度、角加速度和角位移等动力学量。
1. 角速度：刚体上任意一点的角速度可以表示为该点的瞬时角位置对时间的导数。
刚体的自由度及其运动学表述
刚体的自由度及其运动学表述刚体是物理学中的一个重要概念，它指的是在空间中形状和大小保持不变的物体。
相对于柔软的物体而言，刚体的自由度更为有限。
本文将探讨刚体的自由度以及其运动学表述。
一、刚体的自由度刚体的自由度指的是其能自由移动的独立参数个数。
我们知道，一个物体在三维空间中可以沿着三个轴向（x、y、z轴）进行平移运动，每个轴向上的平移都可以看作是一个独立的自由度。
因此，对于一个刚体而言，它的平动（平移）自由度为3。
除了平动自由度，刚体还可以发生绕轴旋转的运动。
根据欧拉定理，三维空间中的任意刚体运动可以分解为一个平动运动和一个绕固定轴的旋转运动。
在旋转运动中，刚体围绕着一个旋转轴旋转，其中旋转轴可以由两个参数确定：旋转轴上一点的坐标和旋转角度。
因此，绕轴旋转的自由度为2。
综上所述，刚体的总自由度为平动自由度加上绕轴旋转的自由度，即3+2=5。
二、刚体的运动学表述刚体的运动学主要包括位置、速度和加速度等方面的描述。
对于一个刚体的位置，通常可以用其质心位置来表示。
质心是刚体所有质点质量加权平均的位置，其坐标可用以表示刚体在空间中的位置。
若刚体的质心在某一时刻的坐标为(x, y, z)，则我们可以用矢量r=(x, y, z)来表示刚体的位置。
刚体的速度可以通过对其位置矢量进行微分得到。
设刚体质心的速度为v，其可表示为v=(dx/dt, dy/dt, dz/dt)，其中t为时刻。
速度矢量的大小表示刚体运动的快慢，而方向表示刚体运动的方向。
同样地，刚体的加速度可以通过对速度矢量进行微分得到。
设刚体质心的加速度为a，其可表示为a=(dvx/dt, dvy/dt, dvz/dt)。
加速度矢量的大小表示刚体运动的加速度大小，而方向表示加速度的方向。
除了位置、速度和加速度外，刚体的运动学还可以通过角位移、角速度和角加速度等来描述。
角位移用来描述刚体绕旋转轴的旋转角度变化，角速度用来描述刚体绕旋转轴的旋转速度，角加速度用来描述刚体绕旋转轴的旋转加速度。
第七讲§3.1 刚体运动的描述§3.2刚体定轴转动定律 转动定律
第七讲： 第3章 刚体的转动1、 刚体：在一定条件下，只考虑物体的大小、形状，而不考虑它的形变的物体。
刚体也可以看成是一个相对位置不变的质点系，可以认为是质点系的运动。
2、 刚体的基本运动可以分为刚体的平动，刚体的转动。
刚体的一般运动都可以可作是平动和转动的叠加。
§3.1 刚体运动的描述 一、 平动和转动1、 平动：当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线在运动中始终保持的方向不变。
因为刚体的平动时，其每一点的运动规律是一样的，相当于质点的运动。
2、 转动：当刚体运动时，如果刚体的各点的在运动中都绕同一直线作圆周运动。
3、 刚体的定轴转动：绕固定轴转动的刚体。
二、 定轴转动的角量描述 1、 刚体转动的角速度：dtd θω=方向满足右手螺旋法则 2、 刚体转动的角加速度：22dtd dt d θωβ== 同向为加速运动 P80 例题3-1§3.2刚体定轴转动定律 转动定律 一、 力矩：位置矢量与作用力的矢量积（叉积） 1、 矢量式：F r M ⨯= （＜180°） 右手螺旋法则2、 标量式：θrFsin M =0M 0=⇒=θ 因为F 过轴，不可能驱使转盘转动。
rF M 900=⇒=θ0M 力矩驱使转盘沿转动的正方向（逆时针方向旋转） 0M 力矩驱使转盘沿转动的负方向（顺时针方向旋转）二、 转动定律 相当于牛顿第二定律的地位1、 表述：刚体定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比；与刚体的转动惯量成反比。
2、 表达式：βββαJ M kJ M JM 1K =−−→−=⇒= J ——转动惯量，只与绕定轴转动刚体本身的性质和转轴位置有关的。
与质量的地位相同。
3、推导：应用牛顿第二定律来进行推导i i i i a m F F a m F ∆=+=⇒=‘分切向分量，法向分量βi i r m F ∑∑∑∆=+⇒'it it Fβ)()(2i i i it r r m r F i∑∑∆=−→−⨯βJ M =⇒三、 转动惯量：是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。