最新职高高一数学《不等式》章节练习题
高一数学不等式部分经典习题及答案
3.不 等 式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则nna b >> 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若； ⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______ （答：12,2⎛⎫--⎪⎝⎭） 二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
职高高一不等式(2)测试卷+答案
职高高一不等式(2)测试卷一、选择题：1．已知不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为∅，则( ) A ．a <0，Δ>0 B ．a <0，Δ≤0 C ．a >0，Δ≤0D ．a >0，Δ>02．不等式4x 2＋4x ＋1≤0的解集为( ) A ．{x |x ≠－12} B ．{－12} C ．∅D ．R3．不等式3x 2－7x ＋2<0的解集为( ) A ．{x |13<x <2} B ．{x |x <13或x >2} C ．{x |－12<x <－13}D ．{x |x >2}4．不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13＜x ＜1 C ．∅D ．R5．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是( ) A ．{x |x <－4或x >3} B ．{x |－4<x <3} C ．{x |x ≤－4或x ≥3}D ．{x |－4≤x ≤3}6．已知{x |ax 2＋bx ＋c >0}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2，则关于x 的不等式cx 2＋bx＋a <0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，13B.⎝⎛⎭⎪⎫－3，12C ．(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞7．不等式x －2y ＋6<0表示的区域在直线x －2y ＋6＝0的( ) A ．右上方B ．右下方C ．左上方 D ．左下方 8．不在3x ＋2y <6表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1)C ．(0,2)D ．(2,0)9．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －6≤0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )10．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 11．下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1>0，2x ＋3y －6<0，x －y －1≥0，x －2y ＋2≤0B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1<0，2x ＋3y －6≥0，x －y －1≥0，x －2y ＋2<0C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1>0，2x ＋3y －6≤0，x －y －1≤0，x －2y ＋2>0D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，2x ＋3y －6<0，x －y －1<0，x －2y ＋2≥012．下面给出的四个点中，到直线x －y ＋1＝0的距离为22，且位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1<0，x －y ＋1>0表示的平面区域内的点是( )A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(－1，－1)D ．(1，－1)二、填空题：1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：2．不等式－4<x 2－5x ＋2<26的整数解为________．3．不等式|x |＋|y |≤1所表示的平面区域的面积是______________． 4．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点中有且只有一个在不等式2x － by ＋1>0表示的平面区域内，则b 的取值范围是________．三、解答题：1．已知M ＝{x |－9x 2＋6x －1<0}，N ＝{x |x 2－3x －4<0}．求：M ∩N .2．解关于x 的不等式ax 2＋(1－a )x －1>0(a >－1)．3．画出不等式(x －y )(x －y －1)≤0表示的平面区域．3．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <x ，x ＋2y <4，y >－2表示的平面区域．5．若不等式ax 2＋bx －1>0的解集是{x |1<x <2}． (1)求a ，b 的值；(2)求不等式ax ＋1bx －1≥0的解集．6．在△ABC中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组(包括边界)．7．假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?职高高一不等式(2)测试卷答案一、选择题： 1答案 C2解析 4x 2＋4x ＋1≤0⇒(2x ＋1)2≤0，∴x ＝－12.答案 B3解析 3x 2－7x ＋2<0⇒(3x －1)(x －2)<0⇒13<x <2.答案 A4解析 ∵Δ＝(－2)2－4×3×1＝－8＜0，∴抛物线y ＝3x 2－2x ＋1开口向上，与x 轴无交点，故3x 2－2x ＋1＞0恒成立，即不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为R . 答案 D5解析 由x 2＋x －12≥0，即(x ＋4)(x －3)≥0，∴x ≥3，或x ≤－4. 答案 C6解析 由题意，知a <0，且－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－13＋2＝－b a ，－13×2＝c a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－53a ，c ＝－23a .∴cx 2＋bx ＋a <0，即－23ax 2－53ax ＋a <0，即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12.答案 B7解析 取点(0,0)验证，知原点不在x －2y ＋6<0的区域内，∴x －2y ＋6<0表示的区域在直线x －2y ＋6＝0的左上方． 答案 C8解析 把各点的坐标代入不等式3x ＋2y <6验证，知(2,0)不成立． 答案 D9解析 代入两个特殊点(0,0)，(－3,0)试之，即可． 答案 B10解析 依题意，可得(－7－a )(24－a )<0.即(a ＋7)(a －24)<0.∴－7<a <24. 答案 B 11答案 C12解析 将点(－1，－1)代入验证，知满足题意．故选C. 答案 C 二、填空题：1解析 观察对应值表，可知解集为{x |－2<x <3}． 答案 {x |－2<x <3} 2解析⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6>0，x 2－5x －24<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x －3)>0，(x －8)(x ＋3)<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >3，或x <2，－3<x <8.∴－3<x <2，或3<x <8. 答案 －2，－1,0,1,4,5,6,73解析 画出|x |＋|y |≤1所表示的平面区域如图，其面积为2.答案 24解析 ∵点P (1，－2)关于原点的对称点(－1,2)有且仅有一个适合不等式2x －by ＋1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2b ＋1>0，－2－2b ＋1≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧－2－2b ＋1>0，2＋2b ＋1≤0，解得b ≥－12或b ≤－32. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞三、解答题：1、解 由－9x 2＋6x －1<0，得9x 2－6x ＋1>0.即(3x －1)2>0.解得x ≠13.∴M ＝{x |x ∈R ，且x ≠13}． 由x 2－3x －4<0，得(x －4)(x ＋1)<0. 解得－1<x <4. ∴N ＝{x |－1<x <4}．∴M ∩N ＝{x |－1<x <4，且x ≠13}．2解 二次项系数含有参数，因此对a 在0点处分开讨论．若a ≠0，则原不等式ax 2＋(1－a )x －1>0等价于(x －1)(ax ＋1)>0.其对应方程的根为－1a 与1.又因为a >－1，则：①当a ＝0时，原不等式为x －1>0， 所以原不等式的解集为{x |x >1}； ②当a >0时，－1a <1，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1，或x <－1a ； ③当－1<a <0时，－1a >1，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <－1a . 3解 (x －y )(x －y －1)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x －y －1≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －y －1≤0，而不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x －y －1≥0无解，故不等式(x －y )(x －y －1)≤0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．4解 原不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －y >0，x ＋2y －4<0，y ＋2>0，①②③将(1,0)代入①②③的左边．根据“异号下”的规则，不等式①表示的平面区域在直线x －y ＝0的右下方，不等式②表示的区域在直线x ＋2y －4＝0的左下方．根据“同号上”的规则，不等式③表示的平面区域在直线y ＋2＝0上方．故不等式组表示的平面区域如图中的三角形阴影(不包括边界)．5解 (1)∵不等式ax 2＋bx －1>0的解集是{x |1<x <2}，∴a <0，且1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，∴⎩⎨⎧a ＋b －1＝0，4a ＋2b －1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝32.(2)由(1)知不等式ax ＋1bx －1≥0即为－12x ＋132x －1≥0⇔x －23x －2≤0.⇔⎩⎨⎧3x －2≠0，(x －2)(3x －2)≤0⇔23<x ≤2. 即原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x ≤2. 6解 由两点式，得AB ，BC ，CA 的直线方程并化简为：AB ：x ＋2y －1＝0，BC ：x －y ＋2＝0，CA ：2x ＋y －5＝0，如图所示．原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号，可得不等式组为⎩⎨⎧x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0.7解(1)设中低价房面积形成数列{a n }，由题意，知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n ，令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，所以n≥10，所以到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．(2)设新建住房面积形成数列{b n}，由题意，可知{b n}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则b n＝400×(1.08)n－1.由题意，可知a n>0.85b n，即250＋(n－1)·50>400×(1.08)n－1×0.85.满足上述不等式的最小正整数为n＝6，所以到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.11。
【精品专区】高中数学必修5第三章不等式练习题_高一数学
不等式题组训练一、选择题（六个小题，每题5分，共30分）1．若02522>-+-x x ，则221442-++-x x x 等于 （ ）A ．54-xB ．3-C ．3D ．x 45- 2．函数y ＝log21（x ＋11x --1） （x > 1）取得最大值时x 是 （ ）A ．－2B ．2C ．－3D ．33．不等式xx --213≥1的解集是 ( )A ．{x|43≤x ≤2} B ．{x|43≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤43} D ．{x|x ＜2}4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．ba 11< B ．ba11>C ．a ＞b 2D ．a 2＞2b5．如果实数x,y 满足x 2＋y 2=1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( ) A ．最小值21和最大值1 B ．最大值1和最小值43 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小,则a 的取值范围是 ( ) A ．－3＜a ＜1 B ．－2＜a ＜0 C ．－1＜a ＜0 D ．0＜a ＜2 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式0212<-+xx 的解集是__________________.2.如果33log log m n +≥4，那么m n +的最小值是__________________.3．已知正项等差数列{}n a 的前10项和为50，则56.a a 的最大值是__________________.4.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3毫克，乙料5毫克，配一剂B 种药 需甲料5毫克，乙料4毫克.今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A 、B 两种药至少各配一剂，应满足的条件 是__________________.5. 0≤x, 0≤y 及x y +≤4所围成的平面区域的面积是__________________. 三、解答题（四个小题，每题10分，共40分） 1．解223log (3)0x x -->2．求y x z +=2的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y3．求证：ca bc ab c b a ++≥++2224.某单位决定投资3200元建一仓库（长方形状），高度很定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌转，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元.试求： （1）仓库面积的最大允许值是多少？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？[综合训练B 组]一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－21,31)，则a ＋b 的值是_____。
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单元测试题 不等式一、选择题(每小题6分，共48分)1、如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是 （ ）（A ）11a b< （B ）a b -< （C ）22a b < （D ）||||a b > 2、设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a b q ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则p 是q 成立的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3、已知a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是 （ ）A ．a ＞b ＞2b a +＞ab B ． a ＞2ba +＞b ＞ab C ．a ＞2b a +＞ab ＞b D ．a ＞ab ＞2b a +＞b4设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y )的最小值为 （ ） A. 6 B.9 C.12 D.15 5、设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是 （ ） A ．有最大值而无最小值 B ． 有最大值且有最小值 C ．有最小值而无最大值 D ．既无最大值又无最小值 6、如果P=1,1122+-=++a a Q a a ，则P ，Q 的大小关系为 A ．P ＜Q B ．P ＞Q C ．P ≥Q D ．P ≤Q 7、设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是 （ ） （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）aa a a 1122+≥+ （C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+213 8．若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是 （ ）（A ）23 （B ）3 （C ）2 （D ）3二、填空题（每小题6分，共24分） 1、若x ＞0，y ＞0，x+2y=1，则yx 11+的最小值是 2、如果若a ＞0，b ＞0且1222=+b a ，则a 21b +的最大值是 3、若不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，成立，则a 的最小值为4、三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．三、解答题（1小题12分，2小题16分，共28分）1、已知函数()2335g x x ax a =-+-，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；2、（1）、已知函数xx f 1)(=，对任意两个不相等的正数12,x x ，证明：()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭（2）已知函数x a x x f ln )(2+= (x>0)，对任意两个不相等的正数12,x x ，证明：当0a ≤时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭1、A2、B 解：命题:p a b =是命题222:22a b a b q ++⎛⎫≤⎪⎝⎭等号成立的条件，故选B 。
高一数学不等式部分经典习题及答案
3.不 等 式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则nna b >> 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若； ⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______ （答：12,2⎛⎫--⎪⎝⎭） 二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
高一数学不等式部分经典习题及答案
ab ；⑥若a<b<0,贝贝—>—；cdab3.不等式一．不等式的性质：1■同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a>b，c>d,则a+c>b+d(若a>b,c<d，则a-c>b-d)，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若a>b>0,c>d>0,则ac>bd(若a>b>0,0<c<d,则a>—)；3•左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a>b>0，则a n>—或%疮>n b;4.若ab>0,a>b,则1<1；若ab<0,a>b,则1>1。
如abab(1) 对于实数a,b,c中，给岀下列命题：①若a>b,则ac2>bc2；②若ac2>bc2,则a>b；③若a<b<0,贝Ua2>ab>b2；④若a<b<0,贝』<—；⑦若c>a>b>0,贝卩a>b；⑧若a>b丄>,则a>0,b<0oc一ac一bab其中正确的命题是(答：②③⑥⑦⑧);(2) __________________________________________________ 已知-1<x+y<1,1<x一y<3，则3x一y的取值围是(答：1<3x-y<7)；c(3) 已知a>b>c，且a+b+c=0,则_的取值围是二.不等式大小比较的常用方法：1.作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得岀结果2•作商(常用于分数指数幂的代数式)；3•分析法;4. 平方法；答：5. 分子(或分母)有理化；6. 利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。
高中数学不等式练习题及参考答案2023
高中数学不等式练习题及参考答案2023不等式是高中数学中重要的概念之一，也是很多考试中必考的内容。
为帮助大家复习巩固，本文整理了十道高中数学不等式练习题及参考答案，供大家练习参考。
1. 已知 $x>0$，求证：$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}>1$【参考答案】$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+x}+\frac{x}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$。
2. 解不等式 $\frac{2-x}{x+1}\geq 1$。
【参考答案】$\frac{2-x}{x+1}\geq 1$，移项得 $\frac{1-x}{x+1}\geq 0$，即$\frac{x-1}{x+1}\leq 0$。
因此，$x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$。
3. 解不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)<2$。
【参考答案】$\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)<2$，移项得 $x^2-3x+2>4$。
解得 $x\in(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$。
4. 已知 $a+b=1$，$a>0$，$b>0$，求证：$a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}>2$。
【参考答案】By Jensen 不等式，$\frac{1}{2}(a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}) \geq\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}(a+b))=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{ 2} =1$。
所以，$a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}>2$。
高中数学不等式习题及详细答案
第三章 不等式一、选择题1．已知x ≥25，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )．A ．最大值45B ．最小值45C ．最大值1D ．最小值12．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221＋)(xy 的最小值是( )．A ．3B ．27 C ．4 D ．29 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ab1≥22B ．(a ＋b )(a 1＋b1)≥4 C22≥a ＋bD ．ba ab+2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式xx f x f )()(－－＜0的解集为( )．A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)5．当0＜x ＜2π时，函数f (x )＝x xx 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )．A ．2B ．32C ．4D ．346．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18B ．6C ．23D ．2437．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧4≤ 34 ≥30 ≥y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )．A ．73B ．37C ．43D ．348．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为35，则点P 的坐标是( )．A ．(－5，1)B ．(－1，5)C ．(－7，2)D ．(2，－7)9．已知平面区域如图所示，z ＝mx ＋y (m ＞0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m 的值为( )．A ．－207B ．207 C ．21D ．不存在10．当x ＞1时，不等式x ＋11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]二、填空题11．不等式组⎩⎨⎧ 所表示的平面区域的面积是 ．12．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧ 若目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是 ．13．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是 ． 14．设a ，b 均为正的常数且x ＞0，y ＞0，xa＋y b ＝1，则x ＋y 的最小值为 ．15．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则m 1＋n2的最小值为 ． 16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p 1，第三年比第二年增长的百分率为p 2，若p 1＋p 2为定值，则年平均增长的百分率p 的最大值为 ．(x －y ＋5)(x ＋y )≥00≤x ≤3 x ＋2y －3≤0 x ＋3y －3≥0， y －1≤0(第9题)三、解答题17．求函数y ＝1＋10＋7＋2x x x (x ＞－1)的最小值．18．已知直线l 经过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．(第18题)19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？20．(1)已知x ＜45，求函数y ＝4x －1＋5－41x 的最大值； (2)已知x ，y ∈R ＊(正实数集)，且x1＋y 9＝1，求x ＋y 的最小值；(3)已知a ＞0，b ＞0，且a 2＋22b ＝1，求2＋1b a 的最大值．参考答案1．D解析：由已知f (x )＝4－25＋4－2x x x ＝)()(2－21＋2－2x x ＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(， ∵ x ≥25，x －2＞0， ∴21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(≥21·2－12－2x x ⋅)(＝1， 当且仅当x －2＝2－1x ，即x ＝3时取等号． 2．C 解析：221＋)(y x ＋221＋)(xy ＝x 2＋22241＋＋＋41＋x x y y yy x ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭⎫⎝⎛x y y x ＋． ∵ x 2＋241x ≥22241x x ⋅＝1，当且仅当x 2＝241x ，x ＝22时取等号；41＋22y y ≥22241y y ⋅＝1，当且仅当y 2＝241y ，y ＝22时取等号； x yy x ＋≥2x y y x ⋅＝2(x ＞0，y ＞0)，当且仅当y x ＝xy，y 2＝x 2时取等号． ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x y y x ＋≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立时，原式取最小值，故当且仅当x ＝y ＝22时原式取最小值4． 3．D 解析：方法一：特值法，如取a ＝4，b ＝1，代入各选项中的不等式，易判断只有ba ab+2≥ab 不成立．方法二：可逐项使用均值不等式判断 A ：a ＋b ＋ab1≥2ab ＋ab1≥2abab 12⋅＝22，不等式成立．B ：∵ a ＋b ≥2ab >0，a 1＋b 1≥2ab 1>0，相乘得 (a ＋b )( a 1＋b1)≥4成立．C ：∵ a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－222⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ＝222⎪⎭⎫⎝⎛+b a ，又ab ≤2b a +⇒ab1≥b a +222≥a ＋b 成立． D ：∵ a ＋b ≥2ab ⇒b a +1≤ab 21，∴b a ab +2≤ab ab 22＝ab ，即ba ab+2≥ab 不成立．4．D解析: 因为f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，x x f x f )()(－－＜0x x f )(2⇔＜0⇔xf (x )＜0，满足x 与f (x )异号的x 的集合为所求．因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，画出f (x )在(0，＋∞)的简图如图，再根据f (x )是奇函数的性质得到f (x ) 在(－∞，0)的图象．由f (x )的图象可知，当且仅当x ∈(－1，0)∪(0，1)时，x 与f (x )异号． 5．C解析：由0＜x ＜2π，有sin x ＞0，cos x ＞0． f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12＝x x x x cos sin 2sin 8＋cos 222＝xx sin cos ＋x x cos sin 4≥2x x x x cos sin 4sin cos· ＝4，当且仅当xx sin cos ＝x xcos sin 4，即tan x ＝21时，取“＝”． ∵ 0＜x ＜2π，∴ 存在x 使tan x ＝21，这时f (x )min ＝4．6．B解析：∵ a ＋b ＝2，故3a ＋3b ≥2b a 33⋅＝2b a +3＝6，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．(第4题)故3a ＋3b 的最小值是6．7．A解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分 △ABC ．由⎩⎨⎧4343＝＋＝＋y x y x 得A (1，1)，又B (0，4)，C (0，43)．由于直线y ＝k x ＋43过点C (0，43)，设它与直线 3x ＋y ＝4的交点为D ，则由S △BCD ＝21S △ABC ，知D 为AB 的中点，即x D ＝21，∴ y D ＝25， ∴ 25＝k ×21＋34，k ＝37．8．A解析：设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧解得⎩⎨⎧. 1＝， 5＝－00y x∴ 点P 坐标是(－5，1)． 9．B解析：当直线mx ＋y ＝z 与直线AC 平行时，线段AC 上的每个点都是最优解．∵ k AC ＝1－5522－3＝－207， ∴ －m ＝－207，即m ＝207． 10．D 解析：由x ＋1－1x ＝(x －1)＋1－1x ＋1， ∵ x ＞1，∴ x －1＞0，则有(x －1)＋1－1x ＋1≥21－11－x x )·(＋1＝3，则a ≤3．. 53＝56＋2， 0＜1－－， 0＝3＋2＋000000-y x y x yx二、填空题 11．24．解析：不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0可转化为两个 二元一次不等式组． ⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⇔ 或⎪⎩⎪⎨⎧这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求．第一个不等式组所对应的区域如图，而第二个不等式组所对应的区域不存在．图中A (3，8)，B (3，－3)，C (0，5)，阴影部分的面积为25＋113)(⨯＝24． 12．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 ＞a a ．解析：若z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的倾斜角一定小于直线x ＋2y －3＝0的倾斜角，直线z ＝ax ＋y 的斜率就一定小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，可得：－a ＜－21，即a ＞21．13．a b ≥9．解析：由于a ，b 均为正数，等式中含有ab 和a ＋b 这个特征，可以设想使用2＋ba ≥ab 构造一个不等式．∵ ab ＝a ＋b ＋3≥ab 2＋3，即a b ≥ab 2＋3(当且仅当a ＝b 时等号成立)， ∴ (ab )2－ab 2－3≥0，∴ (ab －3)(ab ＋1)≥0，∴ab ≥3，即a b ≥9(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)． 14．(a ＋b )2． 解析：由已知xay ，y bx 均为正数，(x －y ＋5)(x ＋y )≥0 0≤x ≤3x －y ＋5≥0 x ＋y ≥0 0≤x ≤3 x －y ＋5≤0 x ＋ y ≤0 0≤x ≤3(第11题)∴ x ＋y ＝(x ＋y )(x a＋y b )＝a ＋b ＋x ay ＋y bx ≥a ＋b ＋ybx x ay ·2 ＝a ＋b ＋2ab ， 即x ＋y ≥(a ＋b )2，当且仅当1＝＋＝yb x a y bxx ay 即 ab b y ab a x ＋＝＋＝时取等号． 15．8．解析：因为y ＝log a x 的图象恒过定点(1，0)，故函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)，把点A 坐标代入直线方程得m (－2)＋n (－1)＋1＝0，即2m ＋n ＝1，而由mn ＞0知mn ，n m 4均为正，∴m 1＋n2＝(2m ＋n )(m 1＋n 2)＝4＋m n ＋n m 4≥4＋n m m n 42⋅＝8，当且仅当1＝＋24＝n m n m m n 即 21＝41＝n m 时取等号． 16．221p p +． 解析：设该厂第一年的产值为a ，由题意，a (1＋p )2＝a (1＋p 1)(1＋p 2)，且1＋p 1＞0， 1＋p 2＞0，所以a (1＋p )2＝a (1＋p 1)(1＋p 2)≤a 2212＋1＋＋1⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ＝a 2212＋＋1⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ，解得p ≤2＋21p p ，当且仅当1＋p 1＝1＋p 2，即p 1＝p 2时取等号．所以p 的最大值是2＋21pp ． 三、解答题17．解：令x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，y ＝t t t 10＋1－7＋1－2)()(＝t t t 4＋5＋2＝t ＋t4＋5≥t t 42⋅＋5＝9，当且仅当t ＝t4，即t ＝2，x ＝1时取等号，故x ＝1时，y 取最小值9．18．解：因为直线l 经过点P (3，2)且与x 轴y 轴都相交， 故其斜率必存在且小于0．设直线l 的斜率为k ， 则l 的方程可写成y －2＝k (x －3)，其中k ＜0． 令x ＝0，则y ＝2－3k ；令y ＝0，则x ＝－k2＋3． S △AOB ＝21(2－3k )(－k 2＋3)＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(k k 4－＋9－＋12≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅)()(k k 4－9－2＋1221＝12，当且仅当(－9k )＝(－k 4)，即k ＝－32时，S △AOB 有最小值12，所求直线方程为 y －2＝－32(x －3)，即2x ＋3y －12＝0． 19．解：设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++>> 18≤3213≤ 30 0y x y x y x ，目标函数z ＝5x ＋3y作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知 当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元.20．解：(1)∵ x ＜45，∴ 4x －5＜0，故5－4x ＞0． y ＝4x －1＋541x －＝－(5－4x ＋x－451)＋4．∵ 5－4x ＋x－451≥x －x －451452)(＝2，∴ y ≤－2＋4＝2， 当且仅当5－4x ＝x －451，即x ＝1或x ＝23(舍)时，等号成立， 故当x ＝1时，y max ＝2．(第18题)(第18题)..;.. (2)∵x＞0，y＞0，x1＋y9＝1，∴x＋y＝(x1＋y9)(x＋y)＝xy＋yx9＋10≥2yxxy9·＋10＝6＋10＝16．当且仅当xy＝yx9，且x1＋y9＝1，即⎩⎨⎧12＝，4＝yx时等号成立，∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16．(3)a2＋1b＝a⎪⎪⎭⎫⎝⎛2＋2122b＝2·a2＋212b≤22⎪⎪⎭⎫⎝⎛2＋21＋22ba＝423，当且仅当a＝2＋212b，即a＝23，b＝22时，a2＋1b有最大值423．。
完整版)高中数学不等式习题及详细答案
完整版)高中数学不等式习题及详细答案第三章不等式一、选择题1.已知 $x\geq 2$，则 $f(x)=\frac{x^2-4x+5}{2x-4}$ 的取值范围是（）。
A。
最大值为 5，最小值为 1B。
最大值为 5，最小值为 $\frac{11}{2}$C。
最大值为 1，最小值为 $\frac{11}{2}$D。
最大值为 1，最小值为 02.若 $x>0$，$y>0$，则$(x+\frac{1}{y})^2+(y+\frac{1}{x})^2$ 的最小值是（）。
A。
3B。
$\frac{7}{2}$C。
4D。
$\frac{9}{2}$3.设 $a>0$，$b>0$，则下列不等式中不成立的是（）。
A。
$a+b+\frac{1}{ab}\geq 2\sqrt{2}$B。
$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{2})\geq 4$C。
$\sqrt{a^2+b^2}\geq a+b-\sqrt{2ab}$D。
$\frac{2ab}{a+b}\geq \sqrt{ab}$4.已知奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数，且$f(1)=3$，则不等式 $f(x)-f(-x)<0$ 的解集为（）。
A。
$(-1,+\infty)$B。
$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$C。
$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$D。
$(-1,1)$5.当 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，函数 $f(x)=\frac{1+\cos^2 x+8\sin^2 x}{2\sin^2 x}$ 的最小值为（）。
A。
2B。
$\frac{2}{3}$C。
4D。
$\frac{3}{2}$6.若实数 $a,b$ 满足 $a+b=2$，则 $3a+3b$ 的最小值是（）。
A。
18B。
高一数学不等式练习题
高一数学不等式练习题高一数学不等式练习题数学作为一门科学，无论在理论还是实践中都扮演着重要的角色。
而在数学的学习过程中，不等式是一个重要的概念。
不等式是数学中用来描述数之间大小关系的一种符号表示方法。
在高一阶段，学生开始接触到更加复杂的不等式，需要通过练习题来巩固和提高自己的理解和运用能力。
一、基础练习题1. 解不等式：2x - 5 > 7这是一个简单的不等式，我们可以通过移项和求解来得到答案。
首先，将常数项移到右边，得到2x > 12。
接下来，将系数2移到右边，得到x > 6。
所以，不等式的解集为{x | x > 6}。
2. 解绝对值不等式：|3x - 2| < 5这是一个绝对值不等式，我们需要将其分成两个不等式来求解。
首先，解得3x - 2 < 5，得到x < 7/3。
然后，解得3x - 2 > -5，得到x > -1。
所以，不等式的解集为{-1 < x < 7/3}。
二、综合练习题1. 求解不等式：x^2 - 5x + 6 < 0这是一个二次不等式，我们可以通过求解方程来得到不等式的解集。
首先，将不等式转化为方程，得到x^2 - 5x + 6 = 0。
然后，求解方程，得到x = 2或x = 3。
最后，根据二次函数的性质，我们可以得到不等式的解集为{2 < x < 3}。
2. 求解绝对值不等式：|2x - 3| > 4这是一个绝对值不等式，我们需要将其分成两个不等式来求解。
首先，解得2x- 3 > 4，得到x > 7/2。
然后，解得2x - 3 < -4，得到x < -1/2。
所以，不等式的解集为{x < -1/2 或 x > 7/2}。
三、挑战练习题1. 求解不等式：(x - 1)/(x + 2) > 0这是一个分式不等式，我们需要通过分析分子和分母的正负来求解。
(完整版)职高高一数学《不等式》章节练习题
数学《不等式》章节练习题班级： 姓名：一． 选择题：（共8题，每题3分，共24分）（ ）1. 若a>0，ab<0，则A. b>0B. b ≥0C. b<0D. b ∈R（ ）2. 不等式-2x>-6的解集为 A. {}3>x x B. {}3->x x C. {}3-<x x D. {}3-<x x（ ）3. 不等式（x+1）（x-3）>0的解集为 A. {}3>x x B. {}1-<x x C. {}31<<-x x D. {}13-<>x x x 或（ ）4. 不等式x （x+2）<0的解集为 A. {}0≥x x B. {}2-≤x x C. {}02≤≤-x x D. {}2-0≤≥x x x 或（ ）5. 若b a >，且b<0，则下列各式中成立的是 A. a+b>0 B. a+b<0 C. b a < D. b-a>0（ ）6.下列不等式中成立的是A. x 2>0B. x 2+x+1>0C. x 2-1<0D. -a>a（ ）7.下列不等式与x<1同解的是A. -2x>-2B. mx>mC. x 2(x-1)>0D. (x+1)2(1-x)>0（ ）8.不等式13-x <1的解集为 A. R B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧><32x 0或x x C. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>32x x D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<320x x （ ）9、若b a >且0≠c ，则下列不等式一定成立的是（A ）c b c a ->- （B ）bc ac > （C ）22b a > （D ）||||b a >（ ）10、 已知a ，b ，c ，d ∈R ，若a ＞b ，c ＞d ，则(A) a －c ＞b －d (B) a ＋c ＞b ＋d (C) ac ＞bd (D)d b c a > ( )11、若a ＞b ＞0，给出下列不等式，其中正确的是(A)ac ＞bc (B)a 1＞b 1 (C)ab b a 2>+ (D)ac b c > （ ）12、若)R b ,a (a 0b ∈<<，则下列不等式中正确的是 (A)b 2＜a 2 (B)b 1＞a 1 (C)-b ＜-a (D)a -b ＞a +b （ ）13、若0<<b a ，则A ．22b a <B ．ab a <2C ．1>ba D ．ab b >2( )14、已知不等式⎩⎨⎧>≤--a x 02x x 2的解集是∅，则实数a 的取值范围是 (A) a ＞2 (B)a ＜-1 (C)a ≥2 (D)a ≤-1( )15．不等式c x ax ++52＞0的解集为{x|13＜x ＜12}，则a ，c 的值为 A.a ＝6，c ＝1 B.a ＝－6，c ＝－1 C.a ＝1，c ＝1 D.a ＝－1，c ＝－6（ ）16、已知0>x ，那么x x 4+有A ．最大值4B ．最小值4C ．最大值2D ．最小值2（ ）17、设b a ,()10,∈且b a ≠，则下列各数中最大的是A 、b a +B 、2abC 、2abD 、22b a +( )18、函数xx x y 12+-=（0>x ）有 A ．最大值1 B ．最小值1 C ．最大值2 D ．最小值2二．填空题：（共18空，每空2分，共36分）1. 若a<-2a,则a 0；若a>2a ，则a 0.2. 若a>b,c+1<0,则ac bc ；ac 2 bc 2.3. 比较大小：97 117；85 118；a 2 0. 4. 集合｛x 3x <｝用区间表示为 ；区间（-3，]1用集合表示为 .集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠32x x 用区间表示为 ；区间（1，+∞）用集合表示为 . 5. 不等式x+1>0的解集是 ；（用区间表示） 不等式2x <3解集是 .（用区间表示）6. 如果x-3<5，那么x< ；(运用了性质 )如果-2x>6，那么x< ；(运用了性质 ).7. 不等式x 2+6x+9≥0的解集为 .8、若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－β的取值范围是________．9．不等式)(log 121-x ＞0的解集是__________________.10、设1>x ，则1______22+-x x x （填“＜”或“＞”）11、不等式a 2x 4x -x 2+> 对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是__________ ______三．解答题：（共10题，每题4分，共40分）1.解不等式：(1) 4x+1≤5 (2) 3x+2≥5(3) ⎩⎨⎧>+<052x 0x -1 (4) ⎩⎨⎧-≥+>512x 23x -11(5) 3121<+x (6) 021x >-+(7) 3x 2-2x-1≥0 (8) -x 2-2x+3≥02.比较大小：（1）（x+1）(x+5)与(x+3)2 (2) (x 2+1)2与x 4+x 2+13、关于x 的一元二次222-+--m x m x )(=0有两个不相等的实数根，试求m 的范围？4、如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成. 现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？5、要用6米长的材料造一个窗框，上窗两格，其高度为下窗高的1/2，问怎样设计采光面积最大？（如右图所示）。
高一数学不等式部分经典习题及答案
3.不 等 式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则nna b >> 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若； ⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______ （答：12,2⎛⎫--⎪⎝⎭） 二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
高一数学不等式系统练习题及答案
高一数学不等式系统练习题及答案题目一：求解以下不等式系统：1. x + y ≥ 72. 2x - y < 5解答：首先，我们可以将第一个不等式化为等式，然后绘制对应的直线。
在这个例子中，得到的直线是 x + y = 7。
接下来，我们需要确定直线的位置关系。
观察不等式2x - y < 5，我们可以通过将等式2x - y = 5转化为直线，并找出不等式所代表的区域。
最后，我们需要找到满足两个不等式条件的解集。
通过观察两个直线的交点及它们在平面上的位置，我们可以确定解集为两个直线之间的区域。
题目二：解以下不等式系统：1. 3x + 4y < 122. x - 2y > -6解答：首先，我们绘制出两个不等式对应的直线。
第一个不等式3x + 4y < 12的直线为3x + 4y = 12，第二个不等式x - 2y > -6的直线为x - 2y = -6。
接下来，我们确定两个直线的位置关系。
观察不等式3x + 4y < 12，我们可以通过将等式3x + 4y = 12转化为直线，并找出不等式所代表的区域。
同样地，观察不等式x - 2y > -6，我们可以将等式x - 2y = -6转化为直线，并找出不等式所代表的区域。
最后，我们找到满足两个不等式条件的解集。
通过观察两个直线的位置关系以及它们在平面上的位置，我们可以确定解集为两个直线之间的区域。
题目三：解以下不等式系统：1. 2x + y ≥ 102. x - 3y < 9解答：首先，我们绘制出两个不等式对应的直线。
第一个不等式2x + y ≥10的直线为2x + y = 10，第二个不等式x - 3y < 9的直线为x - 3y = 9。
接下来，我们确定两个直线的位置关系。
观察不等式2x + y ≥ 10，我们可以通过将等式2x + y = 10转化为直线，并找出不等式所代表的区域。
同样地，观察不等式x - 3y < 9，我们可以将等式x - 3y = 9转化为直线，并找出不等式所代表的区域。
2023-2024学年高一上数学《不等式》测试卷及答案解析
2023-2024学年高一数学《不等式》一．选择题（共12小题）1．（2016秋•福州期中）已知p＝a+，q＝﹣b2﹣2b+3（b∈R），则p，q的大小关系为（）A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．p＜q 2．（2020秋•福州期末）关于x的一元二次不等式x2﹣5x﹣6＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞6}B．{x|﹣1＜x＜6}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜3}3．（2017秋•长乐市校级月考）已知不等式x2+px+q＜0的解集为{x|1＜x＜2}，则不等式＞0的解集为（）A．（1，2）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）∪（6，+∞）C．（﹣1，1）∪（2，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（6，+∞）4．（2021秋•仓山区校级期中）设x1，x2为方程x2﹣4ax+3a＝0（a＞0）的两个根，则x1+x2+的最小值是（）A．B．C．D．5．（2021秋•福清市期中）已知函数过点（n，1）（m，n＞0），则的最小值为（）A．8B．9C．10D．12 6．（2021秋•连江县期中）已知命题p：x＜3，q：2x2﹣3x﹣2＜0，则p是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件7．（2020秋•鼓楼区校级期中）已知x，y∈R，则“x+y≤2”是“x≤1且y≤1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（2021秋•鼓楼区校级月考）函数y＝x2﹣5x﹣6在区间[2，4]上是（）A．递减B．递增C．先递减再递增D．先递增再递减9．（2021秋•台江区校级月考）某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m/s），若a≠b，则（）A．甲先到达终点B．乙先到达终点C．甲乙同时到达终点D．无法确定谁先到达终点10．（2020秋•鼓楼区校级期末）不等式ax2+ax﹣4＜0的解集为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣16，0）B．（﹣16，0]C．[﹣8，0]D．（﹣8，0] 11．（2016秋•台江区校级期中）设x＜3，则x+（）A．最大值是7B．最小值是7C．最大值是﹣1D．最小值是﹣1 12．（2021秋•福清市校级月考）设m＞1，P＝m+，Q＝5，则P，Q的大小关系为（）A．P＜Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q二．填空题（共4小题）13．（2020秋•鼓楼区校级期中）设f（x）＝2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（1，5），f（x）＝；若对于x∈[1，2]，不等式f（x）≤2+t有解，则实数t的取值范围为．14．（2021秋•福州期中）已知命题∀x∈R，ax2﹣3ax﹣9＜0恒成立，则a的取值范围为．15．（2021秋•福清市期中）已知x∈R，则的最小值为．16．（2021秋•福州期中）若正数a，b满足a+4b＝ab，则a+b的最小值是．三．解答题（共4小题）17．（2021秋•鼓楼区校级期中）已知函数f（x）＝2mx2+（m+2）x+1．（1）若f（x）在[1，+∞）单调递增，求实数m的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）≤0．18．（2021秋•福清市期中）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（1，0）和（2，0），与y轴交于点（0，2）．（1）求二次函数f（x）的解析式；（2）若关于x的不等式f（x）≤tx2﹣（t+3）x+3对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．19．（2021秋•连江县期中）（1）若命题：“∃x∈R，mx2﹣mx﹣1≥0”是假命题，求m的取值范围；（2）解关于x的不等式：ax2﹣（a+1）x+1＜0（a＞0）．20．（2021秋•仓山区校级月考）已知命题p：∃x0∈{x|﹣1≤x≤1}，x02﹣x0﹣m≥0是假命题．（Ⅰ）求实数m的取值集合B；（Ⅱ）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为A．若x∈B是x∈A的必要不充分条件，求实数a的取值范围．2023-2024学年高一数学《不等式》参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016秋•福州期中）已知p＝a+，q＝﹣b2﹣2b+3（b∈R），则p，q的大小关系为（）A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．p＜q【考点】不等式比较大小．【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式的性质、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a＞2，∴p＝a+＝（a﹣2）++2+2＝4，当且仅当a＝3时取等号．q＝﹣b2﹣2b+3＝﹣（b+1）2+4≤4，当且仅当b＝﹣1时取等号．∴p≥q．故选：A．【点评】本题考查了基本不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2020秋•福州期末）关于x的一元二次不等式x2﹣5x﹣6＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞6}B．{x|﹣1＜x＜6}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜3}【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．【分析】把不等式化为（x+1）（x﹣6）＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣5x﹣6＜0可化为（x+1）（x﹣6）＜0，解得﹣1＜x＜6，所以不等式的解集为{x|﹣1＜x＜6}．故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．3．（2017秋•长乐市校级月考）已知不等式x2+px+q＜0的解集为{x|1＜x＜2}，则不等式＞0的解集为（）A．（1，2）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）∪（6，+∞）C．（﹣1，1）∪（2，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（6，+∞）【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】计算题．【分析】利用同号得正，将不等式转化为两个一元二次不等式组成的不等式组，分别求出不等式组的解集，求出它们的并集即可．【解答】解：由题意，不等式＞0等价于或∵不等式x2+px+q＜0的解集为{x|1＜x＜2}，∴或∴x＜﹣1或1＜x＜2或x＞6故选：B．【点评】本题以一元二次不等式为载体，考查解分式不等式，考查等价转化的数学思想，解题的关键是正确解一元二次不等式．4．（2021秋•仓山区校级期中）设x1，x2为方程x2﹣4ax+3a＝0（a＞0）的两个根，则x1+x2+的最小值是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的性质与图象．【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【分析】利用韦达定理结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为x1和x2为方程x2﹣4ax+3a＝0（a＞0）的两个根，所以x1+x2＝﹣＝4a，x1•x2＝＝3a，所以x1+x2+＝4a+≥2＝，（a＞0），当且仅当4a＝，即a＝时取等号，所以x1+x2+的最小值为：．故选：D．【点评】本题主要考查了韦达定理和基本不等式的应用，考查了方程思想，属于基础题．5．（2021秋•福清市期中）已知函数过点（n，1）（m，n＞0），则的最小值为（）A．8B．9C．10D．12【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算．【分析】利用函数过的点，推出m、n的关系，然后利用基本不等式求解最小值即可．【解答】解：函数过点（n，1），可得m+n﹣1＝0，则＝（）（m+n）＝5+≥5+2＝9，当且仅当：n＝2m＝时，取等号，所以的最小值为9．故选：B．【点评】本题考查函数的性质，基本不等式的应用，考查计算能力，是中档题．6．（2021秋•连江县期中）已知命题p：x＜3，q：2x2﹣3x﹣2＜0，则p是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】一元二次不等式及其应用；充分条件、必要条件、充要条件．【专题】计算题；方程思想；构造法；简易逻辑；逻辑推理；数学运算．【分析】由2x2﹣3x﹣2＜0可得（2x+1）（x﹣2）＜0，即﹣＜x＜2，A＝（﹣∞，3），B＝（﹣，2），根据集合A与B之间的关系即可判断出正确选项．【解答】解：由2x2﹣3x﹣2＜0，得（2x+1）（x﹣2）＜0，解得﹣＜x＜2，令A＝（﹣∞，3），B＝（﹣，2），则B A，所以p是q的必要不充分条件，故选：C．【点评】本题考查充分、必要条件，涉及一元二次不等式的求解，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．7．（2020秋•鼓楼区校级期中）已知x，y∈R，则“x+y≤2”是“x≤1且y≤1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】不等关系与不等式；充分条件、必要条件、充要条件．【专题】综合题；分类讨论；综合法；简易逻辑；逻辑推理．【分析】x+y≤2分为3种情况：x≤1且y≤1，x≤1且y＞1，x＞1且y≤1．依次可解决此题．【解答】解：x+y≤2分为3种情况：x≤1且y≤1，x≤1且y＞1，x＞1且y≤1．∴“x+y≤2”是“x≤1且y≤1”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查充分、必要条件的判断，考查数学推理能力，属于基础题．8．（2021秋•鼓楼区校级月考）函数y＝x2﹣5x﹣6在区间[2，4]上是（）A．递减B．递增C．先递减再递增D．先递增再递减【考点】二次函数的性质与图象．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．【分析】求解二次函数的对称轴，判断对称性与区间的关系，然后判断函数的单调性即可【解答】解：函数y＝x2﹣5x﹣6的对称轴为x＝，因为[2，4]，二次函数的开口向上，所以函数是先递减再递增，故选：C．【点评】本题考查二次函数的单调性的应用，二次函数的性质的应用，是基础题．9．（2021秋•台江区校级月考）某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m/s），若a≠b，则（）A．甲先到达终点B．乙先到达终点C．甲乙同时到达终点D．无法确定谁先到达终点【考点】不等关系与不等式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；不等式；数学运算．【分析】根据题意，设全程的距离为2s，用s、a、b表示甲、乙的时间，用作差法分析可得答案．【解答】解：根据题意，设全程的距离为2s，对于甲，前半程s的时间为，后半程的时间为，则甲的时间t1＝+＝，对于乙，前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑，则有a×+b×＝2s，变形可得t2＝，则有t1﹣t2＝﹣＝[（a+b）2﹣4ab]＝（a﹣b）2，又由a≠b，则t1﹣t2＞0，故乙先到达终点，故选：B．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意正确求出甲乙的时间，属于基础题．10．（2020秋•鼓楼区校级期末）不等式ax2+ax﹣4＜0的解集为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣16，0）B．（﹣16，0]C．[﹣8，0]D．（﹣8，0]【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】分类讨论；判别式法；不等式的解法及应用；数学运算．【分析】讨论a＝0和a≠0时，求出不等式ax2+ax﹣4＜0的解集为R时实数a的取值范围．【解答】解：当a＝0时，不等式ax2+ax﹣4＜0化为﹣4＜0，对任意的x∈R恒成立，满足题意；当a≠0时，不等式ax2+ax﹣4＜0的解集为R，应满足，解得﹣16＜a ＜0；综上知，实数a的取值范围是（﹣16，0]．故选：B．【点评】本题考查了不等式恒成立的应用问题，也考查了运算求解能力与分类讨论思想，是基础题．11．（2016秋•台江区校级期中）设x＜3，则x+（）A．最大值是7B．最小值是7C．最大值是﹣1D．最小值是﹣1【考点】基本不等式及其应用．【专题】函数思想；综合法；不等式．【分析】转化为（x﹣3）++3，利用基本不等式求解即可，注意符号．【解答】解：∵x+＝（x﹣3）++3，x＜3，x﹣3＜0，∴基本不等式的运用：﹣（x﹣3）﹣≥4，（x＝﹣1等号成立）∴（x﹣3）+≤﹣4，∴（x﹣3）++3最大值为：﹣1故选：C．【点评】本题分式函数的最值的求解，考查基本不等式的运用，正确转化构造不等式的条件是关键．12．（2021秋•福清市校级月考）设m＞1，P＝m+，Q＝5，则P，Q的大小关系为（）A．P＜Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q【考点】不等式比较大小．【专题】探究型；转化思想；作差法；不等式；数学运算．【分析】利用作差法即可判断大小．【解答】解：P﹣Q＝m+﹣5＝＝＝，因为m＞1，所以（m﹣3）²≥0，m﹣1＞0，所以≥0，所以P≥Q．故选：C．【点评】本题主要考查不等式比较大小，考查作差法的应用，属于基础题．二．填空题（共4小题）13．（2020秋•鼓楼区校级期中）设f（x）＝2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（1，5），f（x）＝2x2﹣12x+10；若对于x∈[1，2]，不等式f（x）≤2+t有解，则实数t的取值范围为[﹣8，+∞）．【考点】一元二次不等式及其应用；不等式恒成立的问题．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．【分析】根据不等式f（x）＜0的解集得出对应方程的解，由此求出b、c的值，即可写出函数解析式．把问题转化为求函数在闭区间上的最值，从而求出实数t的取值范围．【解答】解：因为不等式f（x）＜0的解集是（1，5），所以1和5是方程2x2+bx+c＝0的解，所以，解得b＝﹣12，c＝10，所以f（x）＝2x2﹣12x+10．对于x∈[1，2]，不等式f（x）≤2+t有解，即t≥2x2﹣12x+8对于x∈[1，2]有解，设g（x）＝2x2﹣12x+8，x∈[1，2]，则g（x）在[1，2]内单调递减，最小值为g（x）min＝g（2）＝8﹣24+8＝﹣8，所以实数t的取值范围是[﹣8，+∞）．故答案为：2x2﹣12x+10；[﹣8，+∞）．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是中档题．14．（2021秋•福州期中）已知命题∀x∈R，ax2﹣3ax﹣9＜0恒成立，则a的取值范围为（﹣4，0]．【考点】一元二次不等式及其应用；不等式恒成立的问题．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．【分析】分a＝0和a≠0两种情况，利用二次函数的图象与性质，列式求解即可．【解答】解：因为∀x∈R，ax2﹣3ax﹣9＜0恒成立，①当a＝0时，﹣9＜0恒成立，符合题意；②当a≠0时，，解得﹣4＜a＜0．综上所述，实数a的取值范围为（﹣4，0]．故答案为：（﹣4，0]．【点评】本题考查了不等式恒成立问题，二次函数图象与性质的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．15．（2021秋•福清市期中）已知x∈R，则的最小值为1．【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【分析】化简＝x2+1+﹣1，利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：＝x2+1+﹣1≥2﹣1＝1，当且仅当x2+1＝，即x＝0时，等号成立，故的最小值为1，故答案为：1．【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．16．（2021秋•福州期中）若正数a，b满足a+4b＝ab，则a+b的最小值是9．【考点】基本不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【分析】由已知得＝1，而a+b＝（a+b）（），展开后结合基本不等式可求．【解答】解：因为正数a，b满足a+4b＝ab，所以＝1，所以a+b＝（a+b）（）＝5+＝9，当且仅当且a+4b＝1，即a＝6，b＝3时取等号，此时a+b取得最小值9．故答案为：9．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是利用乘1法配凑基本不等式的应用条件．三．解答题（共4小题）17．（2021秋•鼓楼区校级期中）已知函数f（x）＝2mx2+（m+2）x+1．（1）若f（x）在[1，+∞）单调递增，求实数m的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）≤0．【考点】一元二次不等式及其应用；二次函数的性质与图象．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理．【分析】（1）先考虑m＝0的情况，然后当m≠0时，利用二次函数对称轴、开口方向与函数单调性的关系，列式求解即可；（2）利用一元二次不等式的解法求解即可．【解答】解：（1）当m＝0时，f（x）＝2x+1，则f（x）在[1，+∞）单调递增，符合题意；当m≠0时，函数f（x）的对称轴为，因为f（x）在[1，+∞）单调递增，所以，解得m＞0．综上所述，实数m的取值范围为[0，+∞）；（2）当m＝0时，f（x）＝2x+1≤0，解得x≤；当m＞0时，f（x）＝2mx2+（m+2）x+1≤0，即（mx+1）（2x+1）≤0，若＜，即0＜m＜2时，解得≤x≤；若≥，即m≥2时，解得≤x≤；当m＜0时，此时＞0＞，解得x≤或x≥．综上所述，当m＜0时，不等式的解集为{x|x≤或x≥}；当m＝0时，不等式的解集为{x|x≤}；当0＜m＜2时，不等式的解集为{x|≤x≤}；当m≥2时，不等式的解集为{x|≤x≤}．【点评】本题考查了二次函数单调性的理解与应用，含有参数的一元二次不等式的解法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18．（2021秋•福清市期中）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（1，0）和（2，0），与y轴交于点（0，2）．（1）求二次函数f（x）的解析式；（2）若关于x的不等式f（x）≤tx2﹣（t+3）x+3对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．【考点】二次函数的性质与图象；函数恒成立问题．【专题】数形结合；分类讨论；待定系数法；数形结合法；分析法；函数的性质及应用；直观想象．【分析】（1）利用待定系数法求a、b、c的值；（2）将不等式f（x）≤tx2﹣（t+3）x+3转化为（1﹣t）x2+tx﹣1≤0，讨论二次项系数是否为0，该题则变为二次函数的恒成立问题．【解答】解：（1）由题知二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（1，0）和（2，0），与y轴交于点（0，2），代入二次函数可得，解得，∴f（x）＝x2﹣3x+2．（2）f（x）≤tx2﹣（t+3）x+3即x2﹣3x+2﹣tx2+（t+3）x﹣3≤0⇒（1﹣t）x2+tx﹣1≤0．令g（x）＝（1﹣t）x2+tx﹣1若使g（x）≤0恒成立，则需：①1﹣t＝0即t＝1时，g（x）＝x﹣1，一次函数的值域为R，∴不成立；②1﹣t≠0时，即g（x）为二次函数，根据二次函数的恒成立问题，需满足：，解得t＝2．综上，实数t的取值范围是{t|t＝2}．【点评】该题考查二次函数解析式的求法，及二次函数的图像、恒成立问题，属于中档题型．19．（2021秋•连江县期中）（1）若命题：“∃x∈R，mx2﹣mx﹣1≥0”是假命题，求m的取值范围；（2）解关于x的不等式：ax2﹣（a+1）x+1＜0（a＞0）．【考点】一元二次不等式及其应用；存在量词和特称命题；命题的真假判断与应用．【专题】计算题；分类讨论；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【分析】（1）直接利用特称命题和全称命题的转换和二次函数的性质的应用求出结果．（2）根据a的范围，分a＞1，a＝1，0＜a＜1三种情况分别讨论，即可得到不等式的解集．【解答】解：（1）命题∃x∈R，mx2﹣mx﹣1≥0是假命题，则命题∀x∈R，mx2﹣mx﹣1＜0恒成立为真命题，①当m＝0时，﹣1＜0恒成立，②当，解得m∈（﹣4，0），故m的范围为（﹣4，0]．（2）原不等式变为（ax﹣1）（x﹣1）＜0，∵a＞0，∴（x﹣）（x﹣1）＜0，①当a＞1，即＜1时，解得＜x＜1，②当a＝1时，解得x∈∅，③当0＜a＜1，即＞1时，解得1＜x＜，综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为（1，），当a＝1时，不等式的解集为∅，当a＞1时，不等式的解集为（，1）．【点评】本题考查特称命题和全称命题的转化，二次函数的性质，含有字母系数的一元二次不等式的解法，考查了分类讨论及转化的数学思想，属于中档题．20．（2021秋•仓山区校级月考）已知命题p：∃x0∈{x|﹣1≤x≤1}，x02﹣x0﹣m≥0是假命题．（Ⅰ）求实数m的取值集合B；（Ⅱ）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为A．若x∈B是x∈A的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式及其应用；充分条件、必要条件、充要条件．【专题】分类讨论；转化思想；定义法；简易逻辑；数学运算．【分析】（Ⅰ）根据命题p与它的否定命题一真一假，写出￢p，再求实数m的取值集合B；（Ⅱ）根据充分条件和必要条件与不等式的关系进行转化求解．【解答】解：（Ⅰ）命题p：∃x0∈{x|﹣1≤x≤1}，x02﹣x0﹣m≥0是假命题，所以命题￢p：∀x∈{x|﹣1≤x≤1}，x2﹣x﹣m＜0是真命题．所以m＞x2﹣x，﹣1≤x≤1时，f（x）＝x2﹣x有最大值为f（﹣1）＝2，所以实数m的取值集合B＝{m|m＞2}；（Ⅱ）不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0对应方程（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＝0的根为x＝3a 或x＝a+2，①若3a＞a+2，即a＞1时，A＝{x|2+a＜x＜3a}，若x∈B是x∈A的必要不充分条件，则x∈A是x∈B的充分不必要条件，即A B，所以2+a≥2，解得a≥0，此时a∈（1，+∞）；②当3a＝2+a，即a＝1时，解集A＝∅，满足A B，③若3a＜a+2，即a＜1时，A＝{x|3a＜x＜2+a}，若A B，则3a≥2，得a≥，此时≤a＜1，综上知，实数a的取值范围是[，+∞）．【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，以及根据定义转化为集合关系的应用问题，是中档题．。
高一数学不等式部分经典习题及答案
3.不 等 式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则nna b >> 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若； ⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______ （答：12,2⎛⎫--⎪⎝⎭） 二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
高中数学不等式习题及详细答案
第三章 不等式一、选择题1．已知x ≥25，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )．A ．最大值45B ．最小值45C ．最大值1D ．最小值12．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221＋)(xy 的最小值是( )．A ．3B ．27 C ．4 D ．29 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ab1≥22B ．(a ＋b )(a 1＋b1)≥4 C22≥a ＋bD ．ba ab+2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式xx f x f )()(－－＜0的解集为( )．A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)5．当0＜x ＜2π时，函数f (x )＝x xx 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )．A ．2B ．32C ．4D ．346．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18B ．6C ．23D ．2437．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧4≤ 34 ≥30 ≥y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )．A ．73B ．37C ．43D ．348．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为35，则点P 的坐标是( )．A ．(－5，1)B ．(－1，5)C ．(－7，2)D ．(2，－7)9．已知平面区域如图所示，z ＝mx ＋y (m ＞0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m 的值为( )．A ．－207B ．207 C ．21D ．不存在10．当x ＞1时，不等式x ＋11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]二、填空题11．不等式组⎩⎨⎧ 所表示的平面区域的面积是 ．12．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧ 若目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是 ．13．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是 ． 14．设a ，b 均为正的常数且x ＞0，y ＞0，xa＋y b ＝1，则x ＋y 的最小值为 ．15．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则m 1＋n2的最小值为 ． 16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p 1，第三年比第二年增长的百分率为p 2，若p 1＋p 2为定值，则年平均增长的百分率p 的最大值为 ．(x －y ＋5)(x ＋y )≥00≤x ≤3 x ＋2y －3≤0 x ＋3y －3≥0， y －1≤0(第9题)三、解答题17．求函数y ＝1＋10＋7＋2x x x (x ＞－1)的最小值．18．已知直线l 经过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．(第18题)19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？20．(1)已知x ＜45，求函数y ＝4x －1＋5－41x 的最大值； (2)已知x ，y ∈R ＊(正实数集)，且x 1＋y 9＝1，求x ＋y 的最小值；(3)已知a ＞0，b ＞0，且a 2＋22b ＝1，求2＋1b a 的最大值．参考答案1．D解析：由已知f (x )＝4－25＋4－2x x x ＝)()(2－21＋2－2x x ＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(， ∵ x ≥25，x －2＞0， ∴21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(≥21·2－12－2x x ⋅)(＝1， 当且仅当x －2＝2－1x ，即x ＝3时取等号． 2．C 解析：221＋)(y x ＋221＋)(xy ＝x 2＋22241＋＋＋41＋x x y y yy x ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭⎫⎝⎛x y y x ＋． ∵ x 2＋241x ≥22241x x ⋅＝1，当且仅当x2＝241x ，x ＝22时取等号； 41＋22y y ≥22241y y ⋅＝1，当且仅当y 2＝241y ，y ＝22时取等号； x yy x ＋≥2x y y x ⋅＝2(x ＞0，y ＞0)，当且仅当y x ＝xy，y 2＝x 2时取等号． ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x y y x ＋≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立时，原式取最小值，故当且仅当x ＝y ＝22时原式取最小值4． 3．D 解析：方法一：特值法，如取a ＝4，b ＝1，代入各选项中的不等式，易判断只有ba ab+2≥ab 不成立．方法二：可逐项使用均值不等式判断 A ：a ＋b ＋ab1≥2ab ＋ab1≥2abab 12⋅＝22，不等式成立．B ：∵ a ＋b ≥2ab >0，a 1＋b 1≥2ab 1>0，相乘得 (a ＋b )( a 1＋b1)≥4成立．C ：∵ a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－222⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ＝222⎪⎭⎫⎝⎛+b a ，又ab ≤2b a +⇒ab1≥b a +222≥a ＋b 成立． D ：∵ a ＋b ≥2ab ⇒b a +1≤ab 21，∴b a ab +2≤ab ab 22＝ab ，即ba ab+2≥ab 不成立．4．D解析: 因为f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，x x f x f )()(－－＜0x x f )(2⇔＜0⇔xf (x )＜0，满足x 与f (x )异号的x 的集合为所求．因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，画出f (x )在(0，＋∞)的简图如图，再根据f (x )是奇函数的性质得到f (x ) 在(－∞，0)的图象．由f (x )的图象可知，当且仅当x ∈(－1，0)∪(0，1)时，x 与f (x )异号． 5．C解析：由0＜x ＜2π，有sin x ＞0，cos x ＞0． f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12＝x x x x cos sin 2sin 8＋cos 222＝xx sin cos ＋x x cos sin 4≥2x x x x cos sin 4sin cos· ＝4，当且仅当xx sin cos ＝x xcos sin 4，即tan x ＝21时，取“＝”． ∵ 0＜x ＜2π，∴ 存在x 使tan x ＝21，这时f (x )min ＝4．6．B解析：∵ a ＋b ＝2，故3a ＋3b ≥2b a 33⋅＝2b a +3＝6，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．(第4题)故3a ＋3b 的最小值是6．7．A解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分 △ABC ．由⎩⎨⎧4343＝＋＝＋y x y x 得A (1，1)，又B (0，4)，C (0，43)．由于直线y ＝k x ＋43过点C (0，43)，设它与直线 3x ＋y ＝4的交点为D ，则由S △BCD ＝21S △ABC ，知D 为AB 的中点，即x D ＝21，∴ y D ＝25， ∴ 25＝k ×21＋34，k ＝37．8．A解析：设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧解得⎩⎨⎧. 1＝， 5＝－00y x∴ 点P 坐标是(－5，1)． 9．B解析：当直线mx ＋y ＝z 与直线AC 平行时，线段AC 上的每个点都是最优解．∵ k AC ＝1－5522－3＝－207， ∴ －m ＝－207，即m ＝207． 10．D 解析：由x ＋1－1x ＝(x －1)＋1－1x ＋1， ∵ x ＞1，∴ x －1＞0，则有(x －1)＋1－1x ＋1≥21－11－x x )·(＋1＝3，则a ≤3．. 53＝56＋2， 0＜1－－， 0＝3＋2＋000000-y x y x y x二、填空题 11．24．解析：不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0可转化为两个 二元一次不等式组． ⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⇔ 或⎪⎩⎪⎨⎧这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求．第一个不等式组所对应的区域如图，而第二个不等式组所对应的区域不存在．图中A (3，8)，B (3，－3)，C (0，5)，阴影部分的面积为25＋113)(⨯＝24． 12．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 ＞a a ．解析：若z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的倾斜角一定小于直线x ＋2y －3＝0的倾斜角，直线z ＝ax ＋y 的斜率就一定小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，可得：－a ＜－21，即a ＞21．13．a b ≥9．解析：由于a ，b 均为正数，等式中含有ab 和a ＋b 这个特征，可以设想使用2＋ba ≥ab 构造一个不等式．∵ ab ＝a ＋b ＋3≥ab 2＋3，即a b ≥ab 2＋3(当且仅当a ＝b 时等号成立)， ∴ (ab )2－ab 2－3≥0，∴ (ab －3)(ab ＋1)≥0，∴ab ≥3，即a b ≥9(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)． 14．(a ＋b )2． 解析：由已知xay ，y bx 均为正数，(x －y ＋5)(x ＋y )≥0 0≤x ≤3x －y ＋5≥0 x ＋y ≥0 0≤x ≤3 x －y ＋5≤0 x ＋ y ≤0 0≤x ≤3(第11题)∴ x ＋y ＝(x ＋y )(x a＋y b )＝a ＋b ＋x ay ＋y bx ≥a ＋b ＋ybx x ay ·2 ＝a ＋b ＋2ab ， 即x ＋y ≥(a ＋b )2，当且仅当1＝＋ ＝yb x a y bxx ay 即 ab b y ab a x ＋＝＋＝时取等号． 15．8．解析：因为y ＝log a x 的图象恒过定点(1，0)，故函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)，把点A 坐标代入直线方程得m (－2)＋n (－1)＋1＝0，即2m ＋n ＝1，而由mn ＞0知mn ，n m 4均为正，∴m 1＋n2＝(2m ＋n )(m 1＋n 2)＝4＋m n ＋n m 4≥4＋n m m n 42⋅＝8，当且仅当1＝＋24＝n m n m m n 即 21＝41＝n m 时取等号． 16．221p p +． 解析：设该厂第一年的产值为a ，由题意，a (1＋p )2＝a (1＋p 1)(1＋p 2)，且1＋p 1＞0， 1＋p 2＞0，所以a (1＋p )2＝a (1＋p1)(1＋p 2)≤a 2212＋1＋＋1⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ＝a 2212＋＋1⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ，解得p ≤2＋21p p ，当且仅当1＋p 1＝1＋p 2，即p 1＝p 2时取等号．所以p 的最大值是2＋21pp ． 三、解答题17．解：令x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，y ＝t t t 10＋1－7＋1－2)()(＝t t t 4＋5＋2＝t ＋t4＋5≥t t 42⋅＋5＝9，当且仅当t ＝t4，即t ＝2，x ＝1时取等号，故x ＝1时，y 取最小值9．18．解：因为直线l 经过点P (3，2)且与x 轴y 轴都相交， 故其斜率必存在且小于0．设直线l 的斜率为k ， 则l 的方程可写成y －2＝k (x －3)，其中k ＜0． 令x ＝0，则y ＝2－3k ；令y ＝0，则x ＝－k2＋3． S △AOB ＝21(2－3k )(－k 2＋3)＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(k k 4－＋9－＋12≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅)()(k k 4－9－2＋1221＝12，当且仅当(－9k )＝(－k 4)，即k ＝－32时，S △AOB 有最小值12，所求直线方程为 y －2＝－32(x －3)，即2x ＋3y －12＝0． 19．解：设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：A 原料用量B 原料用量甲产品x 吨 3x 2x 乙产品y 吨y3y则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++>> 18≤3213≤ 30 0y x y x y x ，目标函数z ＝5x ＋3y作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知 当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元.20．解：(1)∵ x ＜45，∴ 4x －5＜0，故5－4x ＞0． y ＝4x －1＋541x －＝－(5－4x ＋x－451)＋4．∵ 5－4x ＋x－451≥x －x －451452)(＝2，∴ y ≤－2＋4＝2， 当且仅当5－4x ＝x －451，即x ＝1或x ＝23(舍)时，等号成立， 故当x ＝1时，y max ＝2．xOAy P (3,2)B(第18题)(第18题)第 11 页 共 11 页 (2)∵ x ＞0，y ＞0，x1＋y 9＝1， ∴ x ＋y ＝(x 1＋y 9)(x ＋y )＝x y ＋y x 9＋10≥2yx x y 9 · ＋10＝6＋10＝16． 当且仅当x y ＝y x 9，且x 1＋y 9＝1，即⎩⎨⎧12＝， 4＝y x 时等号成立， ∴ 当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16．(3)a 2＋1b ＝a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2＋2122b ＝2·a 2＋212b ≤22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2＋21＋22b a ＝423， 当且仅当a ＝2＋212b ，即a ＝23，b ＝22时，a 2＋1b 有最大值423．。
(完整word版)高中数学不等式习题及详细答案
f(1) = 0,则不等式f(x)-f( -x) v 0x的解集为（ ）.25.当 0v x v n 时，函数 f(x) =1+ cos2x + 8sinX 的最小值为().2si n2xA . 2B . 2 3C . 4D . 4.36.若实数a , b 满足a + b = 2,则3a + 3b 的最小值是().A . 18B . 6C . 2 3D . 243x > 0x + 3y > 4，所表示的平面区域被直线 3x + y < 4部分，则k 的值是（）.8.直线x + 2y + 3= 0上的点P 在x — y = 1的上万，且 P 到直线2x + y — 6 = 0的距离为第三章不等式51 .已知x > -，则f(x)=2x — 4x + 5“ 有( 22x — 4A .最大值-B .最小值— 442.若 x > 0, y >0,则(x + $)2 + (y + —2y 27 A . 3B2、选择题 3.设a >0, b >0则下列不等式中不成立的是).C .最大值1D .最小值1）2的最小值是（）.C . 4D .-1 一A . a + bH --------- 》2 2Vab( ).1 1B . ( a + b)(+)》4a bC .2 2a b> a + b .ab4.已知奇函数 f （x ）在（0,+s ）上是增函数，且A . ( — 1 , 0) U (1,+^ )B . ( —s, — 1) U (0, 1)C . ( —s, — 1) U (1,+s )D . ( — 1 , 0) U (0, 1)4y = k x +分为面积相等的两37.若不等式组7 - 3 A-4 - 33 .5，则点P 的坐标是（（x — y + 5）（ x + y ） > 0 11.不等式组所表示的平面区域的面积是 _____________________ 0 < x < 3x + 2y — 3 < 0x + 3y — 3>0,若目标函数z = ax + y(a >0)仅在点(3, y — K 00）处取得最大值，则 a 的取值范围是 ______________________ .13. 若正数 a , b 满足ab = a + b + 3，贝U ab 的取值范围是 ________________________ . 14. ______________________________________________________________________设a , b 均为正的常数且 x > 0, y > 0, - + b = 1，则x + y 的最小值为 __________________________ .x y15. 函数y = log a （x + 3） — 1（a >0，且a ^ 1）的图象恒过定点 A ，若点A 在直线 mx + ny + 1 = 0上，其中mn >0,贝U - + -的最小值为 _______________________ .m n16 .某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p 1，第三年比第二年增长的百分A • ( — 5, 1)B • ( —1, 5)C . ( — 7, 2)9.已知平面区域如图所示，z = mx + y （m > 0）在平面区域内取得最优解（最大值）有无数多个，则m 的值为（）.207 B .20C .D .不存在110.当x > 1时，不等式X +门> a 恒成立，则实数a的取值范围是（）.A . （ —s, 2] 二、填空题B . [ 2,+s )C . [3 ,+s )D .(―汽 3]12 .设变量x , y 满足约束条件D • (2,— 7)率为P2,若P1 + P2为定值，则年平均增长的百分率p的最大值为__________________ .三、解答题217. 求函数y= x + 7x+1° &>_ i)的最小值.x + 118. 已知直线I经过点P(3, 2)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A, B两点，当△ AOB 面积最小时，求直线I的方程.19. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元•该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨•那么该企业可获得最大利润是多少？20. (1)已知x v 5，求函数y= 4x —1+一—的最大值；4 4x —5(2) 已知x, y€ R*(正实数集)，且丄+ 9= 1，求x+ y的最小值;x y(3) 已知a> 0, b>0,且a2+ — = 1,求 a .1+ b2的最大值.21. D（x -2）2+1 = 1（X —2）+丄,解析：由已知 f （x ） = x?-4x +5 =2（x —2） 2 x — 25■/ x > , x — 2>0,2当且仅当x — 2=丄，即x = 3时取等号.x —22. C1 A解析：（x +丄）2 + （ y +丄）2 2y2x=x ^+ 2S + 厶 + + 2 + y 4y 23. D解析: 参考答案2x —41 12（x —2）+三》1 • 2（x - 2）x —2 = 1 ,1x 4x 2X 2+丄 + 4x 2y 2++ 4y1•/ x 2+ 出 > 24xx 2 厶=1,4x当且仅当x 2 =1 24x2x =鼻时取等号;2 1 2 1y +4?》2宀 4y 2= 1,y = —时取等号;2y > 0），当且仅当-=1, y 2= x 2时取等号.y x+ - + y> 1 + 1 + 2= 4,前三个不等式的等 y x同时成立时，原式取最小值，故当且仅当 x = y =' 时原式取最小值4.2方法一：特值法，如取a = 4, b = 1,代入各选项中的不等式，易判断只有方法二：可逐项使用均值不等式判断2 ab — = 2 . 2，不等式成立. 叫ab不成立.4. D解析：因为f( x)是奇函数，则f( — x) = — f(x),f( X )-f( - x) v 0 2f L x)v 0 xf(x) V 0,满足 x 与 f(x)异 Xx号的x 的集合为所求.因为f(x)在(0, +8)上是增函数，且 f(1) = 0,画出f(x)在 (0,+^ )的简图如图，再根据 f( x)是奇函数的性质得到 f(x)在 (—8, 0)的图象. 由f(x)的图象可知，当且仅当 x € ( — 1 , 0) U (0, 1)时，x 与f(x)异号.5. Cn ,解析：由 0 v x v，有 sinx > 0, cosx > 0.22 2 2.1+ cos2x + 8sin x 2cos x + 8sin x f(x)=sin 2x2sin xcosx1存在 x 使 tan x =，这时 f( x) min = 4.6. B解析：••• a + b = 2，故3a + 3b A 2・、3a3 = 2 3 b= 6，当且仅当a = b = 1时取等号.B ：v a + b > 2 ab >0,> 2 >0,1 + 1 a bal相乘得(a + b)( 1aC ：v a 2+ b 2= (a + b)22ab >(a + b)2— 2D ：•/ a + b > 2 . ab aba 2b 22ab一 2abW ------ = 2、ab.ab ，即2abA .. ab a bcos x 4sin x sinx cosx当且仅当cosx sin x竺兰，即tan x = 1时，取“=”. cosx 2 cosx + 4sin xsin x cosx0v x v2 abA : a + b + ----- 》2J ab +vab故3a+ 3b的最小值是6.7. A解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分△ABC .由x+3y=4 3x + y=44 得A(1 , 1)，又B(0, 4) , C(0,—).3由于直线y= k x+ 4 4-过点C（0,-），设它与直线33x+ y= 4的交点为D ,1则由S A BCD = S A ABC，知25= k x - + 4, k =2 2 3D为AB的中点，即xD =2解析：设P点的坐标为（X o, y o），则•••点P坐标是（—5,1）.9. B解析：当直线mx+ y = z与直线3—??k AC- -------------- ---- —5—1•• —m -——，即20 m= ±2010. D解析：由x+丄x—1 (x —1) +…y D - 7血+ 2y°+ 3—0 ,x0—y°—1v0, 2x0+ y06-35.x o= —5,解得y o=1...5AC平行时，线段丄+ 1,x—1■/ x> 1 ,• x—1 >0,则有(x—1) + AC上的每个点都是最优解.1x —1 + 1 - 3,、填空题 11. 24.解析：不等式(x — y + 5)( x + y) > 0可转化为两个 二元一次不等式组. (x — y + 5)( x + y) > 0O W x < 3这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求. (第11题)第一个不等式组所对应的区域如图， 而第二个不等式组所对应的区域不存在.图中 A(3, 8) , B(3,— 3) , C(0, 5)，阴影部分的面积为 3 (11+5)= 24. 2“ 112. a a> —2解析：若z = ax + y( a > 0)仅在点(3, 0)处取得最大 值，则直线z = ax + y 的倾斜角一定小于直线 x + 2y — 3 = 0的倾斜角，直线z = ax + y 的斜率就一定小于直线 x + 2y —3 = 0的斜率，可得：一a v — 1，即卩a > 1 .2 213. a b >9.解析：由于a ,b 均为正数，等式中含有ab 和a + b 这个特征，可以设想使用> . ab2 构造一个不等式.ab = a + b + 3> 2 . ab + 3，即a b > 2 ab + 3(当且仅当a = b 时等号成立)， (,ab )2— 2 ab — 3> 0,(ab — 3)( . ab + 1) > 0, A ab > 3，即 a b > 9(当且仅当 a = b = 3 时等号成立). 14. (・ a + . b )2. 解析：由已知电,均为正数,x yx — y + 5> 0 x — y + 5< 0 x + y > 0 或 x + y < 0 0 W x < 3 0 W x < 3••• x +y = (x + y)( a + b ) = a + b + 电 + E >a + b + 2 叟 空=a + b + ^/ab , x y x y \ x y广ay bx15. 8.解析：因为y = log a x 的图象恒过定点(1, 0)，故函数y = log a (x + 3) — 1的图象恒过定 点A( — 2，— 1)，把点A 坐标代入直线方程得 m( — 2) + n( — 1) + 1 = 0,即2m + n = 1,而由mn > 0 知-m4m均为正, n解析：设该厂第一年的产值为 a ,由题意, a(1 + p)2= a(1+ p 1)( 1 + p 2)，且 1 + p 1>0,三、解答题17.解：令 x + 1 = t > 0，贝U x = t — 1, y =(t — 1 2)2皿-1)+10= tJ^ = t + 单 + 5> 2 t 4 + 5= 9,t t ' t当且仅当t = 4，即t = 2, x = 1时取等号，故x = 1时，y 取最小值 t1 + p 2> 0,2所以 a( 1 + p)2= a( 1 + p 1)( 1 + p 2) < a1+ p +1+P2= a 1+ p +P22-=(2m + n)(丄 + - ) = 4 + - + 迥n m n'n 4m …，' -——=8，当且仅当 I nn 4m m n 2m + n =1 1m =4时取等号.1n = 一2P22，解得 P 汁P 2p W JU 2，当且仅当1 + P 1= 1 + p 2，即P 1= P 2时取等号•所以P 2 P 1+ P 2 的最大值是2即x + y > ( Ja x y 即 a bH—I — =1t x y，x = a+Jab 时取等号. y = b^ab 9.18.解：因为直线I 经过点P （3, 2）且与x 轴y 轴都相交, 故其斜率必存在且小于 0.设直线I 的斜率为k , 则I 的方程可写成y — 2 = k （x — 3），其中k v 0.2令 x = 0,贝U y = 2— 3k ;令 y = 0,贝U x =——+ 3.kS A AOB =丄(2 — 3k )( — 2 + 3) = 1 12+( — 9k)+(—-)2k2k42=12，当且仅当（—9k ）=（—匚），即k 一 3时*AOB 有最小值12,所求直线方程为—2 =— 2(x — 3)，即 2x + 3y — 12= 0.319 •解：设生产甲产品 x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系:x 0 y 0一则有，目标函数z = 5x + 3y3x y <13 2x 3y < 18‘ !12+1(—皿》A 原料用量B 原料用量甲产品x 吨 3x 2x 乙产品y 吨y3yy（第18题）作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知 当x = 3, y = 4时可获得最大利润为 27万元.y < — 2 + 4= 2, 当且仅当5 — 4x =-一，即x = 1或x = 3（舍）时，等号成立,5- 4x2故当 x = 1 时，y max = 2 .20.解：(1) T x v 5 ,44x — 5v 0,故 5— 4x > 0.y = 4x — 1 + 14x — 5=—(5 — 4x +1 5- 4x5 — 4x +5- 4x=2,(0（3（第181 9(2) •/ x>0, y>0, + - = 1,x yy• 9X+ 10= 6+ 10= 16.x y当且仅当y = 9x，且1+ 9= 1，即x=4,时等号成立，x y x y y =12•••当x= 4, y= 12 时，(x+ y)min = 16.(3)a..1+ b2=2• a：2+b2 a2+丄2 3、.. 24当且仅当a = 2+b2，即a= ，b€ 时, a . 1+ b2有最大值3 2 ~4~• x+ y= ( - + ?)(x+ y) = y + 9x+ 10> 2 y。
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数学《不等式》章节练习题
班级： 姓名：
一． 选择题：（共8题，每题3分，共24分） （ ）1. 若a>0，ab<0，则
A. b>0
B. b ≥0
C. b<0
D. b ∈R
（ ）2. 不等式-2x>-6的解集为
A. {}3>x x
B. {}3->x x
C. {}3-<x x
D. {}3-<x x
（ ）3. 不等式（x+1）（x-3）>0的解集为
A. {}3>x x
B. {}1-<x x
C. {}31<<-x x
D. {}
13-<>x x x 或
（ ）4. 不等式x （x+2）<0的解集为
A. {}0≥x x
B. {}2-≤x x
C. {}02≤≤-x x
D. {}
2-0≤≥x x x 或
（ ）5. 若b a >，且b<0，则下列各式中成立的是
A. a+b>0
B. a+b<0
C. b a <
D. b-a>0
（ ）6.下列不等式中成立的是
A. x 2>0
B. x 2+x+1>0
C. x 2-1<0
D. -a>a
（ ）7.下列不等式与x<1同解的是
A. -2x>-2
B. mx>m
C. x 2(x-1)>0
D. (x+1)2(1-x)>0 （ ）8.不等式13-x <1的解集为
A. R
B. ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
>
<32x 0或x x C. ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧>32x x D. ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<320x x （ ）9、若b a >且0≠c ，则下列不等式一定成立的是
（A ）c b c a ->- （B ）bc ac > （C ）22b a > （D ）||||b a >
（ ）10、 已知a ，b ，c ，d ∈R ，若a ＞b ，c ＞d ，则
(A) a －c ＞b －d (B) a ＋c ＞b ＋d (C) ac ＞bd (D)
d
b c a > ( )11、若a ＞b ＞0，给出下列不等式，其中正确的是
(A)ac ＞bc (B)
a 1＞
b 1 (C)ab b a 2>+ (D)a
c b c > （ ）12、若)R b ,a (a 0b ∈<<，则下列不等式中正确的是 (A)b 2
＜a 2
(B)b 1＞a
1
(C)-b ＜-a (D)a -b ＞a +b （ ）13、若0<<b a ，则
A ．2
2
b a < B ．ab a <2
C ．
1>b
a
D ．ab b >2
( )14、已知不等式⎩
⎨⎧>≤--a x 0
2x x 2的解集是∅，则实数a 的取值范围是
(A) a ＞2 (B)a ＜-1 (C)a ≥2 (D)a ≤-1
( )15．不等式c x ax ++52
＞0的解集为{x|13＜x ＜1
2
}，则a ，c 的值为
A.a ＝6，c ＝1
B.a ＝－6，c ＝－1
C.a ＝1，c ＝1
D.a ＝－1，c ＝－6
（ ）16、已知0>x ，那么
x x 4
+
有
A ．最大值4
B ．最小值4
C ．最大值2
D ．最小值2
（ ）17、设b a ,()10,∈且b a ≠，则下列各数中最大的是
A 、b a +
B 、2ab
C 、2ab
D 、2
2b a +
( )18、函数x
x x y 1
2+-=（0>x ）有
A ．最大值1
B ．最小值1
C ．最大值2
D ．最小值2
二．填空题：（共18空，每空2分，共36分） 1. 若a<-2a,则a 0；若a>2a ，则a 0.
2. 若a>b,c+1<0,则ac bc ；ac 2 bc 2.
3. 比较大小：97 117；85 11
8
；a 2 0.
4. 集合｛x 3x <｝用区间表示为 ；区间（-3，]1用集合表示为 .
集合⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
≠
32x x 用区间表示为 ；
区间（1，+∞）用集合表示为 . 5. 不等式x+1>0的解集是 ；（用区间表示）
不等式2x <3解集是 .（用区间表示） 6. 如果x-3<5，那么x< ；(运用了性质 ) 如果-2x>6，那么x< ；(运用了性质 ). 7. 不等式x 2+6x+9≥0的解集为 .
8、若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－β的取值范围是________．
9．不等式)(log 12
1-x ＞0的解集是__________________.
10、设1>x ，则1______2
2+-x x x （填“＜”或“＞”）
11、不等式a 2x 4x -x 2
+> 对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是__________ ______
三．解答题：（共10题，每题4分，共40分） 1.解不等式：
(1) 4x+1≤5 (2) 3x+2≥5
(3) ⎩⎨⎧>+<052x 0x -1 (4) ⎩⎨⎧-≥+>512x 23x -11
(5)
312
1
<+x (6) 021x >-+
(7) 3x 2-2x-1≥0 (8) -x 2-2x+3≥0
2.比较大小： （1）（x+1）(x+5)与(x+3)2 (2) (x 2+1)2与x 4+x 2+1
3、关于x 的一元二次222-+--m x m x )(=0有两个不相等的实数根，试求m 的范围？
4、如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
5、要用6米长的材料造一个窗框，上窗两格，其高度为下窗高的1/2，
问怎样设计采光面积最大？（如右图所示）。