武汉大学数学与统计学院2005-2006学年第二学期《线性代数》36(A卷)

武汉大学数学与统计学院

2005－2006学年第二学期《线性代数》 （A 卷）

学院 专业 学号 姓名 注：1.本试题供线性代数D （即工科36学时）使用；

2.所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。

一、计算题（每小题6分，5题共30分）：

1、设()13,21,0,9,0α=， ()21,7,1,2,1α=---，()32,14,0,6,1α=，求向量组123,,ααα的

一个极大无关组。

2、设 1231121101123024A --⎛⎫ ⎪-

⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，求行列式 AA T 的值。 3、设()()12111,121ααT T

==- ，试求一个非零向量α，使12,,ααα 两两正交。

4、判定二次型

222

123123121323(,,)26226f x x x x x x x x x x x x =+++++的正定性。

5、已知a a a A b b b c c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，求2006

A 。

二、解答题（每小题15分， 2题共30分）： 1、已知111011001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

，且2

A A

B E -=，其中E 是3阶单位矩阵，

(1) 求矩阵B ；

（2）令22422C A B BA AB =--+，计算C 的伴随阵*

C 。 2、已知

123121323(,,)222f x x x x x x x x x =+-，

（1）求一个正交变换X PY =,把二次型f 化为标准形。 （2）在1x =的条件下，求二次型f 的最大值和最小值。

三、证明与讨论（3题共40分）

1、设有线性方程组1231

231

230

31

x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪

++=⎨⎪++=-⎩ , 问λ 取何值时，此方程组有惟一解、无解或有无

穷多个解？并在有无穷多解时求出其通解。（15分）

2、设三阶阵A 有三个实特征值123λλλ、、，且满足123λλλ=≠，如果1λ对应两个线性无关的特征向量1α和2α, 3λ对应一个特征向量3α，证明123,,ααα线性无关。（10分）

3、设200111100A x ⎛⎫

⎪

=- ⎪ ⎪⎝⎭

，x 为实数，试讨论x 为何值时，矩阵A 可与对角阵相似？（15分） 线性代数D （即工科36学时）参考解答：

一、计算下列各题：

1、解：由≠090121900

6

1

－－－＝，及123,,R ααα≤（）3，则知123,,ααα即为一极大无关组。

2、解：2

AA A T

=，1231

12114001123

2

4

A --=

=-，所以：1600AA T =。

3、解：令1230,,1111111101 12112100x x x ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫

⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪

⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭ ⎪⎝⎭

－－ 得13

20

x x x =-⎧⎨=⎩，取()1,0,1T

α=-即可。

4、解：f 的矩阵111123136A ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，顺序主子式为

1110a =>，111012=>，11112310136=>，

根据正定性的判定定理知f 为正定二次型。

5、解：()111a A b c ⎛⎫

⎪= ⎪

⎪

⎝⎭

，则()()()2006

2006111111111A

a a a A

b b b

c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

个 ()()()2005111111111a b c a a a b b b c c c ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭()个相乘

=a a a a b c b b b c c c ⎛⎫

⎪++ ⎪ ⎪⎝⎭

2005()。 二、解答下列各题：

1、解：(1)由2

E -=A AB ，得()A A B E -=，而A 10,=-≠ 因此矩阵A 可逆，且

1112A 011001---⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪

-⎝⎭

，所以由()A A B E -=，得1-=-A B A ，故1021B A A 000000-⎛⎫

⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭。

（2）注意2242222(2)(2)(2),A B BA AB A A B B B A A B A B --+-=-＝（＋）＋＋

且(2)A B ＋＝241022,002-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (2)A B -＝203022,002-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭(2)(2)A B A B -＋＝484040004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 即22422C A B BA AB =--+=484040004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。再注意1C -＝12110104001--⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭，3

4C =， 则1*1

2116010001C C C ---⎛⎫

⎪== ⎪ ⎪⎝⎭。 2、解：（1）011101110A ⎛⎫ ⎪

=- ⎪ ⎪-⎝

⎭

，A 的特征多项式为11

()11(1)(2),

11f λ

λλλλλ

-=--=--+--令()0f λ=，得12

31,2λλλ===- ，

对121,λλ==解线性方程组12123311110,11x x o x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪

⎪--=⇒--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

111基础解系为：

12(1,0,1),(1,1,0)ξξT T ==，正交规范化得：12(1,0,1),(1,2,1)ββ==--11 26

对32λ=-， 解线性方程组123211121112x x o x ⎛⎫

⎛⎫ ⎪

⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

-⎝⎭⎝⎭

1231232020x x x x x x ++=⎧⇒⎨-+=⎩，得基础解系为：3(1,1,1)ξT =--，规范化得：3(1,1,1)βT =

--1

3，

则所求之一正交变换矩阵0P ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

1-1

1263-2-16311-12

6

3，

变换之下的标准形为：222

1232f y y y =+-。 （2）由于正交变换保持向量的长度不变，则1X Y ==，

222222

212312333

23

13f y y y y y y y y =+-=++-=-，注意：2301y ≤≤，则232131y -≤-≤， 即f 的最大值为1，最小值为2-。比如令(0,0,1)Y T =，有min 2,f =- 令(1,0,0)Y T

=，有

max 1f =。

三、证明题与讨论题：

1、解：通过对增广阵的讨论可得如下结论：

(1)当1λ≠且2λ≠-时，()()3,R A R B ==方程组有唯一解；

(2)当1λ=时，()1R A =，()2R B =，该情形方程组无解；