武汉大学数学与统计学院2005-2006学年第二学期《线性代数》36(A卷)

武汉大学数学与统计学院2005－2006学年第二学期《线性代数》 （A 卷）学院 专业 学号 姓名 注：1.本试题供线性代数D （即工科36学时）使用；2.所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。

一、计算题（每小题6分，5题共30分）：1、设()13,21,0,9,0α=， ()21,7,1,2,1α=---，()32,14,0,6,1α=，求向量组123,,ααα的一个极大无关组。

2、设 1231121101123024A --⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，求行列式 AA T 的值。

3、设()()12111,121ααT T==- ，试求一个非零向量α，使12,,ααα 两两正交。

4、判定二次型222123123121323(,,)26226f x x x x x x x x x x x x =+++++的正定性。

5、已知a a a A b b b c c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求2006A 。

二、解答题（每小题15分， 2题共30分）： 1、已知111011001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且2A AB E -=，其中E 是3阶单位矩阵，(1) 求矩阵B ；（2）令22422C A B BA AB =--+，计算C 的伴随阵*C 。

2、已知123121323(,,)222f x x x x x x x x x =+-，（1）求一个正交变换X PY =,把二次型f 化为标准形。

（2）在1x =的条件下，求二次型f 的最大值和最小值。

三、证明与讨论（3题共40分）1、设有线性方程组123123123031x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩ , 问λ 取何值时，此方程组有惟一解、无解或有无穷多个解？并在有无穷多解时求出其通解。

（15分）2、设三阶阵A 有三个实特征值123λλλ、、，且满足123λλλ=≠，如果1λ对应两个线性无关的特征向量1α和2α, 3λ对应一个特征向量3α，证明123,,ααα线性无关。

（10分）3、设200111100A x ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，x 为实数，试讨论x 为何值时，矩阵A 可与对角阵相似？（15分） 线性代数D （即工科36学时）参考解答：一、计算下列各题：1、解：由≠09012190061－－－＝，及123,,R ααα≤（）3，则知123,,ααα即为一极大无关组。

2、解：2AA A T=，12311211400112324A --==-，所以：1600AA T =。

3、解：令1230,,1111111101 12112100x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭－－ 得1320x x x =-⎧⎨=⎩，取()1,0,1Tα=-即可。

4、解：f 的矩阵111123136A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，顺序主子式为1110a =>，111012=>，11112310136=>，根据正定性的判定定理知f 为正定二次型。

5、解：()111a A b c ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则()()()20062006111111111Aa a a Ab b bc c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭个 ()()()2005111111111a b c a a a b b b c c c ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()个相乘=a a a a b c b b b c c c ⎛⎫⎪++ ⎪ ⎪⎝⎭2005()。

二、解答下列各题：1、解：(1)由2E -=A AB ，得()A A B E -=，而A 10,=-≠ 因此矩阵A 可逆，且1112A 011001---⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，所以由()A A B E -=，得1-=-A B A ，故1021B A A 000000-⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭。

（2）注意2242222(2)(2)(2),A B BA AB A A B B B A A B A B --+-=-＝（＋）＋＋且(2)A B ＋＝241022,002-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (2)A B -＝203022,002-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭(2)(2)A B A B -＋＝484040004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 即22422C A B BA AB =--+=484040004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

再注意1C -＝12110104001--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，34C =， 则1*12116010001C C C ---⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭。

2、解：（1）011101110A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，A 的特征多项式为11()11(1)(2),11f λλλλλλ-=--=--+--令()0f λ=，得1231,2λλλ===- ，对121,λλ==解线性方程组12123311110,11x x o x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--=⇒--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭111基础解系为：12(1,0,1),(1,1,0)ξξT T ==，正交规范化得：12(1,0,1),(1,2,1)ββ==--11 26对32λ=-， 解线性方程组123211121112x x o x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1231232020x x x x x x ++=⎧⇒⎨-+=⎩，得基础解系为：3(1,1,1)ξT =--，规范化得：3(1,1,1)βT =--13，则所求之一正交变换矩阵0P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1-11263-2-16311-1263，变换之下的标准形为：2221232f y y y =+-。

（2）由于正交变换保持向量的长度不变，则1X Y ==，2222222123123332313f y y y y y y y y =+-=++-=-，注意：2301y ≤≤，则232131y -≤-≤， 即f 的最大值为1，最小值为2-。

比如令(0,0,1)Y T =，有min 2,f =- 令(1,0,0)Y T=，有max 1f =。

三、证明题与讨论题：1、解：通过对增广阵的讨论可得如下结论：(1)当1λ≠且2λ≠-时，()()3,R A R B ==方程组有唯一解；(2)当1λ=时，()1R A =，()2R B =，该情形方程组无解；(3)当2λ=-时, ()()2,R A R B ==, 此时方程组有无限多个解。

而,211021101011121312130112,112300000000B ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由此得13233312x x x x x x =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即123111210x x c x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()c R ∈。

2、证明：考虑123k k k 、、使得112233k k k o ααα++= （＊），则112233Ak Ak Ak o ααα++=，即111222333k k k o λαλαλα++= （＊＊），用1λ乘以（＊）式，然后与（＊＊）式相减得3313()k o λλα-=，注意310λλ-≠，有30k =。

再由（＊）式得1122k k o αα+=，由于1α和2α线性无关，则120k k ==，于是1230k k k ===，即123,,ααα线性无关。

3、解：2011110A E x λλλλ--=---＝22(1)()x λλ--，得11,λ= 2x λ=±、3。

1）当0x ≠且1x ≠±时，A 有3个相异特征值，则A 有3个线性无关的特征向量，此时A 一定可以对角化。

2）如果1x =±，则、23=1,11λλ=-，注意到1λ、2=1时，由()A E λ-＝1011011010********--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，()1R A E -=， 则由1231011010101x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭恰给出A 的两个线性无关的特征向量。

而当1λ=-3时，由()A E λ-＝101101121121101000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2R A E +=，则由1231011210000x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恰给出A 的一个特征向量。

再由上题知，此种情形下，A 的三个特征向量线性无关，即A 也可以对角化。

3）如果0x =，则2、3＝011,λλ=，注意到23λ、=0时，由1230011110000x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭及()2R A =知，即A 恰有一个特征向量。

而当11λ=时，由101101101001001000--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭及()2R A E -=知， 1231011010001x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭恰给出A 的一个特征向量，从而，此情形下A 不具有3个线性无关的特征向量，则A 不可以对角化。