博弈论试题集

（一）巴什博奕（Bash Game）：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。

最后取光者得胜。

显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。

因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。

总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。

这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。

取石子（一）时间限制：3000ms |内存限制：65535KB难度：2描述一天，TT在寝室闲着无聊，和同寝的人玩起了取石子游戏，而由于条件有限，他/她们是用旺仔小馒头当作石子。

游戏的规则是这样的。

设有一堆石子，数量为N（1<=N<=1000000），两个人轮番取出其中的若干个，每次最多取M个（1<=M<=1000000），最先把石子取完者胜利。

我们知道，TT和他/她的室友都十分的聪明，那么如果是TT先取，他/她会取得游戏的胜利么？输入第一行是一个正整数n表示有n组测试数据输入有不到1000组数据，每组数据一行，有两个数N和M,之间用空格分隔。

对于每组数据，输出一行。

如果先取的TT可以赢得游戏，则输出“Win”，否则输出“Lose”（引号不用输出）最优解：#include<iostream>using namespace std;int main(){int k;long m,n;cin>>k;while(k--)cin>>n>>m;if(n%(m+1)==0)cout<<"Lose"<<endl;elsecout<<"Win"<<endl;}}巴什博弈变形：有两种解，依实际情况而定：取石子（七）时间限制：1000ms |内存限制：65535KB难度：1描述Yougth和Hrdv玩一个游戏，拿出n个石子摆成一圈，Yougth和Hrdv分别从其中取石子，谁先取完者胜，每次可以从中取一个或者相邻两个，Hrdv先取，输出胜利着的名字。

输入输入包括多组测试数据。

每组测试数据一个n，数据保证int范围内。

输出胜利者的名字。

解一：#include<cstdio>int n;int main(){while(~scanf("%d",&n))printf(n>=3?"Yougth\n":"Hrdv\n");return 0;}解二：3的倍数的是Yougth嬴#include<iostream>using namespace std;int main(){int a;while(cin>>a){if(a%3!=0)cout<<"Hrdv"<<endl;else cout<<"Yougth"<<endl;}return 0;}尼姆博弈基本思想：两人从n堆物品中取任意个，先取完者胜。

即将n堆物品的数量异或，得到的值如果为0，则先手败，反之先手胜。

如果要求先手在胜的条件下，到奇异局势的方法数，则判断异或的值与每一堆原值异或后（结果应该表示该堆没有参加异或时的异或值）与原值比较大小，如果小于，则方法数加一。

且对应的方法后，该堆的数目应变为异或的值与每一堆原值异或的值。

取石子（二）时间限制：3000ms |内存限制：65535KB难度：5描述小王喜欢与同事玩一些小游戏，今天他们选择了玩取石子。

游戏规则如下：共有N堆石子，已知每堆中石子的数量，并且规定好每堆石子最多可以取的石子数（最少取1颗）。

两个人轮流取子，每次只能选择N堆石子中的一堆，取一定数量的石子(最少取一个），并且取的石子数量不能多于该堆石子规定好的最多取子数，等哪个人无法取子时就表示此人输掉了游戏。

假设每次都是小王先取石子，并且游戏双方都绝对聪明，现在给你石子的堆数、每堆石子的数量和每堆石子规定的单次取子上限，请判断出小王能否获胜。

输入第一行是一个整数T表示测试数据的组数(T<100)每组测试数据的第一行是一个整数N(1<N<100),表示共有N堆石子，随后的N行每行表示一堆石子，这N行中每行有两个数整数m,n表示该堆石子共有m个石子，该堆石子每次最多取n个。

(0<=m,n<=2^31)输出对于每组测试数据，输出Win表示小王可以获胜，输出Lose表示小王必然会败。

提示注意下面一组测试数据21 12 2正确的结果应该是Win因为小王会先从第二堆石子中取一个石子，使状态变为1 11 2这种状态下，无论对方怎么取，小王都能获胜。

最优解#include<cstdio>int main(){int T;scanf("%d",&T);while(T--){int m,n,g,sum=0;scanf("%d",&g);while(g--){scanf("%d%d",&m,&n);sum ^= m % (n + 1);}puts(sum?"Win":"Lose");}}一般解：#include <iostream>using namespace std;#include <stdio.h>bool HandleEachCase();int main(){。

int iCaseCount;cin>>iCaseCount;while(iCaseCount--){if(HandleEachCase()){cout<<"Win"<<endl;}else{cout<<"Lose"<<endl;}}}bool HandleEachCase(){long long magic= 0;long long iCount;long long m, n;cin>>iCount;for(int i= 0; i< iCount; ++i){cin>>m>>n;m%= (n+1);magic^= m;}return magic != 0;。

}取石子（六）时间限制：1000ms |内存限制：65535KB难度：3描述最近TopCoder的PIAOYI和HRDV很无聊，于是就想了一个游戏，游戏是这样的：有n堆石子,两个人轮流从其中某一堆中任意取走一定的石子,最后不能取的为输家，注意：每次只能从一堆取任意个，可以取完这堆，但不能不取。

假设PIAOYI先取石子，请你帮他判断他是否能赢（假设他们取的过程中不发生失误,他们足够聪明）。

输入第一行输入n，代表有n组测试数据(n<=10000)以下每组测试数据包含两行：第一行：包含一个整数m，代表本组测试数据有m（m<=1000）堆石子；：第二行：包含m个整数Ai(Ai<=100)，分别代表第i堆石子的数量。

输出若PIAOYI赢输出“PIAOYI”，否则输出“HRDV”注意每组结果占一行。

最优解：#include<iostream>#include<stdio.h>using namespace std;void in(int &a){char ch;while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');for(a=0;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) a=a*10+ch-'0'; }int main(){int T;in(T);while(T--){int n;in(n);int ans=0;for(int i=0;i!=n;++i){int b;in(b);ans^=b;}if(ans) puts("PIAOYI");else puts("HRDV");}return 0;}取石子（三）时间限制：1000ms |内存限制：1000KB难度：6描述小王喜欢与同事玩一些小游戏，今天他们选择了玩取石子。

游戏规则如下：共有N堆石子，已知每堆中石子的数量，两个人轮流取子，每次只能选择N堆石子中的一堆，取一定数量的石子（最少取一个），取过子之后，还可以将该堆石子中剩下的任意多个石子中随意选取几个放到其它的任意一堆或几堆上。

等哪个人无法取子时就表示此人输掉了游戏。

注意，一堆石子没有子之后，就不能再往此处放石子了。

假设每次都是小王先取石子，并且游戏双方都绝对聪明，现在给你石子的堆数、每堆石子的数量，请判断出小王能否获胜。

例如：如果最开始有4堆石子，石子个数分别为3 1 4 2，而小王想决定要先拿走第三堆石子中的两个石子（石子堆状态变为3 1 2 2），然后他可以使石子堆达到的状态有以下几种：3 1 2 2（不再移动石子）4 1 1 2（移动到第一堆一个）3 2 1 2（移动到第二堆一个）3 1 1 3（移动到第四堆一个）5 1 0 2（全部移动到第一堆）3 3 0 2（全部移动到第二堆）3 1 0 4（全部移动到最后）输入可能有多组测试数据(测试数据组数不超过1000)每组测试数据的第一行是一个整数，表示N(1<=N<=10)第二行是N个整数分别表示该堆石子中石子的数量。

（每堆石子数目不超过100）当输入的N为0时，表示输入结束输出对于每组测试数据，输出Win表示小王可以获胜，输出Lose表示小王必然会败。

一般解：#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdlib>using namespace std;bool HandleEachCase();。

int main(){while(HandleEachCase()){//empty while}}bool HandleEachCase(){int iCount;int count[101];memset(count, 0, sizeof(count));cin>>iCount;if(!iCount){return false;}int iStone;for(int i= 0; i< iCount; ++i){cin>>iStone;++count[iStone];}int magic = 0;for(int i= 0; i< 101 && !magic; ++i){magic+= count[i]&1;}if(magic){cout<<"Win"<<endl;}else{cout<<"Lose"<<endl;}return true;}分析:显然,如果石头是能够两两配对,每一对的数目相同,比如:2,3,2,4可以配对成(2,2),(4,4) ,这样的话就是先拿的输,因为后拿的可以使自己拿完后仍然能够使得两两配对,且每一对的数目相同.刚刚开始的时候,如果已经两两配对了,那么先拿的输了,否则,选拿的可以把最大的动一下手脚,使剩下的两两配对,且每一对的数目相同.最优解：#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;bool ok(int stone[]){for(int i=0;i!=110;i++)if(stone[i]&1) return true;return false;}int main(){int stone[110];int n,m;while(cin>>n && n){memset(stone,0,sizeof(stone));while(n--){cin>>m;stone[m]++;}cout<<(ok(stone)?"Win":"Lose")<<endl;}}威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。