河南省周口市扶沟县包屯高级中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题

河南省周口市扶沟县包屯高级中学2020-2021学年高二上学

期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知{}n a 是等比数列，314a =

，62a =，则公比q =( ) A ．12- B ．-2 C ．2 D ．12

2．设数列{}n a 为等差数列，则“23a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不

必要条件 3．设变量,x y 满足约束条件0211x y x y x y -≥??+≥??+≤?

，则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

4．椭圆22

1169

x y +=的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若6AB =，则11AF BF +的值为( )

A ．10

B ．8

C ．16

D ．12 5．与曲线21y x e

=相切于点(,)P e e 处的切线方程是（ ） A ．2y ex =-

B ．2y ex =+

C ．2y x e =+

D ．2y x e =- 6．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（ ）

A

．B

C ．1

3- D ．13

7．在等差数列{}n a 中，若7825a a =+，则11S =（ ）

A ．11

B ．55

C ．10

D ．60

8．在ABC ?中，若2BA BC ?=，1cos 3B =

，则ABC S ?=（ ） A

． B

．C

D

．9．已知方程22

141

x y t t +=--的曲线为C ，下面四个命题中正确的个数是

①当14t <<时，曲线C 不一定是椭圆；

②当41t t ><或时，曲线C 一定是双曲线；

③若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则512

t <<； ④若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4t >. A ．1 B ．2

C ．3

D ．4 10．已知点A (1,4)在直线x m +y n =1(m >0,n >0)上,则m +n 的最小值为( )

A ．2

B ．8

C ．9

D ．10

11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()ln f x xf e x '=+，则()f e '等于（） A ．1 B ．1e - C ．1- D ．e -

12．设双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交与B ，C 两点，过B ，C 分别作AB ，AC 的垂线交与D ，若D 到直线BC 的距离不小于a c +，则该双曲线的离心率的取值范围是( )

A ．)+∞

B ．(]1,2

C ．(

D ．[)2,+∞

二、填空题

13．若函数()363f x x bx b =-+在()0,1内有极小值，则实数b 的取值范围是__________．

14．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则n a n

的最小值为__________. 15．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<，则+a b 的值是________.

16．在ABC 中，60A =?，2AB =，且ABC 的面积2ABC S =，则边BC 的长为________.

三、解答题

17．已知实数0m >，p ：(2)(3)0x x +-≤，q ：22m x m -≤≤+

（1）若q ?是p ?的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；

（2）若2m =，p q ?∧为真命题，求实数x 的取值范围．

18．已知数列{}n a 中，11a =，1213

n n a a +=

-，设3n n b a =+. （1）求证：{}n b 是等比数列；

（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .

19．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2sin b A =. （1）求B 的大小；

（2）若2b ac =，求A 的大小.

20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且534a a -=，535S =，等比数列{}n b 满足211b a =+，331b a =+．

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（2）令n n n c a b =?，求数列{}n c 的前n 项和n T ．

21．已知函数21()ln f x x x

=-. （1）求函数()f x 在21

,e e ??????

上的最大值和最小值； （2）证明：当(1,)x ∈+∞时，函数3221()32

g x x x =+的图象在()y f x =的图象上方.

22．已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=＞＞的离心率为12，直线y x =+心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.

参考答案

1．C

【分析】

由于{}n a 是等比数列，可得363a a q =，代入即得解.

【详解】

由于{}n a 是等比数列，314

a =，62a =， 336328a a q q ∴==∴=

解得：2q

故选：C

【点睛】

本题考查了等比数列的性质，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2．C

【解析】

数列{}n a 为等差数列，则“23a a <，故得到公差大于0，等差数列为递增；反之数列单调递增，则一定有23a a <．故“23a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的充要条件．

故答案为:C.

3．D

【分析】

由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.

【详解】 根据约束条件0211x y x y x y -≥??+≥??+≤?

画出可行域如图：目标函数z ＝5x +y 可化为y ＝-5x +z ，

即表示斜率为-5，截距为z 的动直线，由图可知，

当直线5z x y =+过点()1,0A 时，纵截距最大，即z 最大，

由211

x y x y +=??+=?得A （1，0）

∴目标函数z ＝5x +y 的最小值为z ＝5

故选D

【点睛】

本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

4．A

【解析】

【分析】 由椭圆的定义可得：12122AF AF BF BF a +=+=，即可得出．

【详解】 由椭圆的定义可得：121228AF AF BF BF a +=+==，

()()1122221616610AF BF a AF a BF AB ∴+=-+-=-=-=，

故选A ．

【点睛】

本题考查了椭圆的定义及其标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．D

【详解】 因为曲线212'y x y x e e =

∴= 与曲线21y x e

=相切于点(,)P e e 处的切线的斜率为2， 则切线方程是()2y e x e -=-,

即2y x e =-，选D

6．C

【详解】

因为圆锥曲线C ：22

1x my +=的离心率为2，

所以，该曲线是双曲线， 2

222

111

y x my x m +=?-=-,

123

m =?=-，

故选C.

7．B

【分析】

利用等差数列前后项关系可用6a 和d 表示出已知等式，从而求得6a ；利用等差数列性质可知11611S a =，代入求得结果.

【详解】

设等差数列{}n a 公差为d ，由7825a a =+得：()66225a d a d +=++

即：65a = ()1111161111115552

a a S a +∴=

==?= 故选：B

【点睛】

本题考查等差数列通项公式和性质的应用，关键是能够利用已知等式求得中间项，进而利用等差数列性质求得结果.

8．A

【分析】 由数量积的定义可求得BA BC ?，利用同角三角函数关系求得sin B ；代入三角形面积公式即可求得结果. 【详解】 1cos 23BA BC BA BC B BA BC ?=?=?= 6BA BC ∴?=

1cos 3B =，()0,B π∈

sin B ∴=

11sin 6223ABC S BA BC B ?∴=

?=??=故选：A

【点睛】

本题考查三角形面积的求解问题，涉及到平面向量数量积的应用、同角三角函数的求解问题；关键是能够通过数量积的定义得到两邻边之积.

9．D

【解析】

【分析】

根据椭圆与双曲线标准方程及其意义，可判断四个选项是否正确．

【详解】

对于①，当52

t = 时，曲线表示为圆，所以不一定是椭圆，所以①正确 对于②，当4t >时表示焦点在y 轴上的双曲线，当1t <曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，所以一定是双曲线，所以②正确

对于③若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则401041t t t t ->??->??->-?

，解得512t <<，所以③正确 对于④若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4010

t t -

->?，解得4t >，所以④正确 综上，四个选项都正确

所以选D

【点睛】

本题考查了椭圆与双曲线标准方程及其关系，注意符号问题，属于基础题．

10．C 【解析】

【分析】 由A (1,4)在直线x m +y n =1上，可得1m +4n =1，可得m +n =（m +n ）×（1m +4n ），展开

后利用基本不等式可得结果.

【详解】

因为A (1,4)在直线x m +y n =1上，

所以1m +4n =1，

可得m +n =（m +n ）×（1m +4n ）

=5+n m +4m n ≥5+2√n m ×4m n =9，

当且仅当n =2m 时等号成立，

所以m +n 的最小值为9，故选C

【点睛】

本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.

11．B

【解析】

()()1'2'f x f e x =+

，所以()()1'2'f e f e e =+，得()1'f e e

=-，故选B 。 12．A

【分析】 设(,0)D x ，则由BD AB ⊥得，22

1b b a a c x c a

--?=---，再结合D 到BC 的距离不小于a c +，列出不等关系，即得解.

【详解】 由题意，22

(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a

- 由双曲线的对称性可知D 在x 轴上，

设(,0)D x ，则由BD AB ⊥得：

22

1b b a a c x c a

--?=--- 4

2()

b c x a a c ∴-=- D 到BC 的距离不小于a c +

4

2||||()

b c x a c a a c ∴-=≥+- 4

2222b c a b a

∴≥-= 2

21b a

∴≥ 22

21c a a

-∴≥ 2

2222c e a

∴≥∴≥

e ∴≥故选：A

【点睛】

本题考查了双曲线的性质，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题. 13．102?? ???，

【分析】

由题意知，f ′（0）＜0，f ′（1）＞0，解不等式组求得实数b 的取值范围．

【详解】

解：由题意得，函数f （x ）＝x 3﹣6bx +3b 的导数为 f ′（x ）＝3x 2﹣6b 在（0，1）内有零点，且 f ′（0）＜0，f ′（1）＞0． 即﹣6b ＜0，且 （3﹣6b ）＞0．

∴0＜b 1

2

＜， 故答案为：102?? ???

，．

点评：简单题，由二次函数的极小值点在指定区间内，求参数的取值范围，一般可利用导数求函数极值和二次函数的性质等求解．

14．212

【分析】

先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以

331n a n n n =+-，设f （n ）331n n

=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到n a n 的最小值． 【详解】

解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33

且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33． 从而

331n a n n n

=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）23310n -=+＞，

则f （n ）在)+∞上是单调递增，在(0上是递减的， 因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值． 又因为

55355a =，66321662

a ==， 所以n a n 的最小值为62162a = 故答案为 212 【点睛】

本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．

15．25

【分析】

由于不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<，故250ax x b -+=的两个根为：3,2-，由韦达定理，即得解a ,b .

【详解】

由于不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<，

250ax x b ∴-+=的两个根为：3,2-

532,32b a a

∴-+=-?= 5,30a b ∴=-=

53025a b ∴+=-+=

故答案为：25

【点睛】

本题考查了一元二次方程、函数、不等式的关系，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.

16【分析】 利用面积公式1sin 2

ABC S AB AC A =??，可求解AC ，再由余弦定理 2222cos BC AB AC AB AC A =+-??，可得解.

【详解】

由面积公式：1sin 2ABC S AB AC A =??= 1AC ∴=

由余弦定理：

22212cos 4122132

BC AB AC AB AC A =+-??=+-???

=

BC ∴

【点睛】

本题考查了面积公式，余弦定理综合应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.

17．(1) 01m <<（2）(3,4][4,2)x ∈?--

【解析】

试题分析：（1）q ?是p ?的必要不充分条件，转化为p 是q 的必要不充分条件，进而转化

为集合的包含关系即可；（2）“p q ?∧”为真命题，则p ?为真，q 为真，分别求出满足条件的参数值，取交集即可．

解析：

（1）因为p ：23x -≤≤；

又q ?是p ?的必要不充分条件，所以p 是q 的必要不充分条件，

则23,22

m m +≤??-≥-?，得1m ≤，又1m =时p q ?，所以01m <<． （2）当2m =时，q ：44x -≤≤，

p ?：3x >或2x <-．

因为p q ?∧是真命题，所以44,32,x x x -≤≤??><-?

或 则][()

3,44,2x ∈?--． 18．（1）证明见解析；（2）2

121233

n n n S n +-=--. 【分析】

（1）构造3n n b a =+，可证明123

n n b b +=，继而得证. （2）可得12343n n n b a -??=+=? ???

，分组求和即得解. 【详解】

（1）因为1213

n n a a +=-，3n n b a =+， 所以112(3)323333

n n n n n n a b a b a a ++++===++·

因为11a =，所以14b =

∴数列{}n b 是以4为首项，23

为公比的等比数列. （2）由（1）知，12343n n n b a -??=+=? ???，12433n n a -??=?- ???

21122413222444433233313

n n n n S a a a n n -?????- ? ? ????????

?=++???+=+?+?+???+?-=- ? ?????- 2

121233

n n n +-=-- 【点睛】

本题考查了等比数列综合，考查了等比数列的判定，分组求和等知识点，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

19．（1）3π；（2）3

π. 【分析】

（1

2sin b A =

2sin sin A B A =，即得解；

（2）由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，可得a c =，故ABC 为等边三角形，即得解.

【详解】

（1）锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

2sin b A =.由正弦定理：

2sin sin A B A =，

由于：sin 0A ≠，

整理得：sin (0,)2B B π=

∈, 所以：3B π

=

（2）由于：2222cos b a c ac B ac =+-=，

所以：2220a ac c -+=，

解得：a c =

故ABC 为等边三角形， 所以：3A π

=

【点睛】

本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.

20．（1）21n a n =+，2n n b =；（2）()12122n n T n +=-?+

【分析】

（1）设公差为d ，公比为q ，利用1a 和d 表示出53a a -和5S ，进而求得1a 和d ，由等差数列通项公式得到n a ；利用32

b q b =求得q ，根据等比数列通项公式可求得n b ； （2）由（1）可得n

c 的通项公式，利用错位相减法可求得结果.

【详解】

（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q 由535124545352a a d S a d -==????=+=??

得：132a d =??=? ()32121n a n n ∴=+-=+ 又3321121

b a q b a +===+ 222422n n n n b b q --∴==?= （2）由（1）得：()212n n

c n =+?

()()1231325272212212n n n T n n -∴=?+?+?+???+-?++?

则()()23412325272212212n n n T n n +=?+?+?+???+-?++?

两式作差得：()()()31134112126212222621212n n n n n T n n -+++--=-+?+++???+=-+?+-()()11162122282212n n n n n +++=-+?+?-=---?

()12122n n T n +∴=-?+

【点睛】

本题考查等差数列和等比数列基本量与通项公式的求解、错位相减法求解数列的前n 项和的问题；关键是明确当通项公式为等差与等比的乘积的形式时，可采用错位相减法求和，属于常考题型.

21．（1）21()1f e

x =

-最小值，4()2f x e =+最大值；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求导，可得()0f x '>，()f x 在[

1e ，e 2]上递增，即得解； （2）转化函数3221()32

g x x x =+的图象在()y f x =的图象上方，为()()()0F x g x f x =->恒成立，求导研究函数单调性，分析即得解.

【详解】

（1）1()2f x x x '=+

， ∵1x e

≥，∴()0f x '>， ()f x 在[1e

，e 2]上递增， ∴2(1)11f e e f x ??

==

- ???最小值，()24()2f x f e e ==+最大值； （2）证明：令3221()()()132F x g x f x x x nx =-=

--， 则3221()x x F x x

'--=，令32()21h x x x =--，∵1x >， ∴()2(31)0h x x x '=->，

()h x 在(1,)+∞递增，()(1)0h x h >=，

∴(1,)x ∈+∞时，()0F x '>，

∴()F x 在(1,)+∞递增，

1()(1)06

F x F >=>，即()()g x f x >， ∴(1,)x ∈+∞时，函数()g x 的图象在()y f x =图象的上方.

【点睛】

本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.

22．（Ⅰ）22

143

x y +=；（Ⅱ）直线l 过定点，且该定点的坐标为2,07?? ???. 【解析】

（Ⅰ）因为12e =，即12c a =

，所以b a ===.

因为r b ==，

所以b =2a =.所以椭圆C 的方程为22

143

x y +=. （Ⅱ）方法一：设()11,A x y ，()22,B x y . 由22

,

{1,43

y kx m x y =++=消去y ，得()()222348430k x mkx m +++-=. 所以()()

222264163430m k k m ?=-+-＞，即22340k m +-＞. 所以122834mk x x k +=-+，()21224334m x x k

-=+. 所以()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+.

因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点()2,0D ，所以·

1AD BD k k =-. 所以1212122

y y x x ?=---，即()121212240y y x x x x +-++=. 所以()()22

222234431640343434m k m mk

k k k --+++=+++.

化简得2271640m mk k ++=.

所以12m k =-或227

k m =-，满足22340k m +-＞. 当12m k =-时，():2l y k x =-，直线l 过定点()2,0，与已知条件矛盾； 当227k m =-时，2:7l y k x ??=- ???，直线过定点2,07?? ???

. 综上可知，直线l 过定点，且该定点的坐标为2,07?? ???

. （Ⅱ）方法二：设()11,A x y ，()22,B x y 由题意0k ≠

22{3412

y kx m x y =++=

联立消y 得

()()221228348423034km k x km m x x k -+++-=∴+=+，()21224334m x x k -=+ 且()()

222264163430k m k m ?=-+-＞ 2243k m ＞∴-

以AB 为直径的圆过右顶点()2,0N

·0NA NB ∴=

又()()11222,2,NA x y NB x y =-=-

·0NA NB =

()()

()()221212142k x x m mk x x ∴+++=-+ 化简得21640m m t k k ??++= ??? 27m k ∴=-或2m k

=- 当2m k =-时.():2l y k x =-过定点()2,0N 不合题意 27

m k ∴=- 2:7l y k x ??=- ???过定点2,07?? ???.