6排列组合问题之分组分配问题两个五个方面
6 排列组合问题之分组分配问题 两个五个方面 2
6 排列组合问题之分组分配问题两个五个方面 26.排列组合问题之分组分配问题(两个五个方面)(2)排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有C 7种，再由剩下的6人选出2人，有C 6种，最后由剩下的4人为一4124组，有C 4种。
由分步计数原理得分组方法共有C 7。
C 6C 4=105（种）23 ②可选分同步。
先从7人中选出2人，有C 7种，再由剩下的5人中选出3人，有C 523种，分组方法共有C 7。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步C5=210（种）523计数原理得分组方法共有C 7。
C 5C 3=210（种）二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？解：可选分同步。
先选3人为一组，有C 7种；再选3人为另一组，有C 4种。
又有2组都是3人，每A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有。
=70（种）233C 6C 3也可先选后分。
不同的分法共有C ⋅。
=70（种）2㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有C 10、C 8、C 6、C 4种，又有3堆都是2个22C 10C 82C 64元素，每A 。
⋅C =3150（种）43【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是3种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有均匀的，都有A m 种顺序不同的分法只能算一种分法。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题在数学和计算机科学中是一个重要的问题，它涉及到如何将一组对象分配到不同的集合中，使得每个集合包含的对象满足特定的条件。
在实际生活中，这种问题也经常出现，比如在制定班级或团队分组、分配资源等方面。
在这篇文章中，我们将讨论排列组合中的分组分配问题，并介绍一些有效的解法，希望能够帮助读者更好地理解和解决这类问题。
1. 理解排列组合中的分组分配问题排列组合中的分组分配问题，通常可以描述为以下几种形式：（1）将N个对象分成K个组，每个组的大小不同；（2）将N个对象分成K个组，每个组的大小相同；（3）将N个对象分成K个组，每个组的大小不同，但满足一定条件。
在实际应用中，这些问题可能会涉及到一些约束条件，比如每个组中的对象之间有特定的关系，或者每个组中的对象有特定的属性，这将在具体问题中得到体现。
2. 有效解法为了解决排列组合中的分组分配问题，我们介绍一些有效的解法，包括暴力穷举、动态规划和回溯法等。
（1）暴力穷举暴力穷举是一种简单直接的方法，它通过遍历所有可能的组合来寻找符合条件的分组分配。
这种方法的优点是容易理解和实现，但是当问题规模较大时，时间复杂度会非常高，需要花费大量的计算资源。
暴力穷举一般适用于问题规模较小的情况。
（2）动态规划动态规划是一种常用的解决排列组合问题的方法，它通过将原问题分解成若干个子问题，并且这些子问题之间存在重叠的性质。
通过记录中间结果，可以避免重复计算，从而提高效率。
在分组分配问题中，动态规划可以用来求解不同组合的分配方案数量、找到最优的分组方案等。
通过定义状态转移方程和设计合适的算法，可以高效地解决大规模的分组分配问题。
（3）回溯法回溯法是一种递归地穷举所有可能的解决方案，通过不断地试探和回溯来寻找最优的解决方案。
在分组分配问题中，回溯法可以用来找到满足条件的分组方案，或者列举所有可能的分配方案。
回溯法的优点是能够找到所有可能的解，但是在问题规模较大时，时间复杂度会很高，需要耗费大量的计算资源。
排列组合中的分组分配问题
5、
1. 平面上有10个点，其中有且只有4点共线，
现从中任取2点，共可以组成多少条直线？
C120
-
C
2 4
+1
2. 正四面体的四个顶点和各棱的中点共10个点，从
中任取四个点，其中不共面的情形共有多少种？
210－60－6－3＝141
分析2：
X
10个点中取4个点的取法为C(10,4)=210种
只要求出共面的就可以了 共面的分三种情况：
2 、 有分配对象和无分配对象
二、非均分组问题 1、有分配对象和无分配对象 2、分配对象确定和不确定
以下供参考！
题型： 1、某车间有11名工人，期中有5名钳工，4名车工，另外 2名既能当钳工又能当车工，现要在这11名工人中选派4 名钳工，4名车工修理一台机床，有多少种选派方法？
一、2人按钳工分类：C54C64 + C12C53C54 C22C52C44 185；
名额有？种分配方案。
答:
1、法一）隔板法 C96
84;
法二）C1 7
+A2 7
+C3 7
84.
2、法一）隔板法
C95
=126；法二）C16
+3C2 6
+3C3 6
+C4 6
126.
【讨论】
1）6本不同的书全部分给5个人，有？
2）5本不同的书全部分给6个人，每人至多一本，有？
3）5本相同的书全部分给6个人，每人至多一本，有？
乙、丙、丁四个人有多少
种不同的分法？
(2)
C120C82C62C44 A33
A44 .
练习：
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中一个非常重要的问题，也是在实际生活中经常遇到的问题。
该问题主要涉及到将一组物品分配到若干个组中，或者将一组人员分配到不同的团队中。
解决这类问题通常需要使用排列组合的知识和技巧。
下面我们将介绍一些有效的解法，希望可以帮助您更好地解决这类问题。
一、隔板法隔板法是经典的排列组合问题解法之一，它在解决分组分配问题中非常实用。
这种方法的核心思想是在待分配的物品之间插入隔板，将物品分成若干组。
具体步骤如下：1. 确定分组数目：首先需要确定待分配的物品要分成几组，这取决于具体问题的要求。
2. 插入隔板：接下来，在待分配的物品之间插入隔板，每个隔板代表一个组的结束。
设共有n个物品和m-1个组隔板，那么总共有n+m-1个位置可以插入隔板。
其中一个特殊的情况是可以将物品和组隔板看作一共有n+m个位置中选择n个位置插入物品，这进一步转化成排列组合问题。
3. 解决问题：确定好每个物品的位置，将其分配到不同的组中即可得到分组分配问题的解。
二、多重集的分组分配多重集是集合的一个扩展，它包含了元素的重复出现次数。
在分组分配问题中，有时候待分配的物品会包含相同的元素，这时候就需要使用多重集的知识和技巧来解决问题。
多重集的分组分配通常需要使用生成函数、递推关系式等工具来求解。
具体步骤如下：1. 确定多重集：首先需要将待分配的物品表示成一个多重集，其中包含了元素的类型和重复出现次数。
通常可以使用集合的形式来表示多重集，例如{a, a, b, c, c, c}表示了元素a出现2次，b出现1次，c出现3次。
2. 利用生成函数求解：多重集的分组分配问题通常可以转化成生成函数的形式来求解，其中生成函数是一个形式化的表达式，它包含了待分配的物品的信息。
利用生成函数的性质和技巧，可以快速得到分组分配问题的解。
3. 使用递推关系式求解：对于一些复杂的多重集分组分配问题，可以使用递推关系式来求解。
优质课：排列组合分组分配问题
ab cd
cd ab
bd
ad bc
bc
ad
5
这个问题也可以这样思考 把a,b,c,d平均分成有标号的第一组，第二组 从四个元素中选两个元素放到第一组，剩下的两个
元素放到第二组，故共有 C42C22 6 种分法，又因
为两个小组没有区别，故分组有
C42C22 3 A22
种.
6
例 把a,b,c,d,e,f分成平均三组,有_____多少种分法？ 这个问题可以这样思考 把a,b,c,d,e,f平均分成有标号的第一组，第二组,第三组 从六个元素中选两个元素放到第一组，从剩下的四
ab
c
d
bc
a
d
ac
b
d
bd
a
c
ad
b
c
cd
a
b
9
例 把a,b,c,d分成三组,一组两个，令两组各一个有 _____多少种分法？
这个问题可以这样思考 把a,b,c,d分成有标号的第一组，第二组,第三组
从四个元素中选两个元素放到第一组，从剩下的两
个元素选一个放到第二组，剩下的一个放到第三组
故共有 C42C21C11 12 种分法，又因为后两个小组
(1)
C C C 4
44
12 8 4
A3 3
12! 8! 1 5775 4!·8! 4!·4! 3!
C C C C 2
2
26
12
10
86
(2)
A3 3
①若干个不同的元素“等分为 ｍ个堆,要将选 取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
12
1.平均分堆问题
例2. 6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、丙三 个人，有多少种不同的分法？ 解：先分再排法. 分成的堆数看成元素的个数.
排列组合中的分组分配问题完整
五非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人 有多少种不同的分法？
C61C52C33
非均分组有分配对象要把组数当作元素个数 再作排列。
五非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
A
3 3
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？
（1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本·
排列组合中的分组分配问题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念 n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个不同得对象，称为
分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将 n 个不同 元素按照某些条件分成 k 组，称为分组问题.分组问题有不平 均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和 分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是 不区分的；而后者即使 2 组元素个数相同，但因对象不同， 仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
C61C52C33 A33
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法1. 引言1.1 什么是排列组合中的分组分配问题在排列组合中的分组分配问题中，我们面临着将一组元素分为多个子集的问题。
在这个问题中，我们通常需要满足一定的条件，比如每个子集的元素个数必须相等，或者每个子集的元素之和必须满足某个条件。
这种问题在实际生活中有很多应用，比如排班问题、分组比赛问题等。
具体来说，我们可以将排列组合中的分组分配问题看作将n个元素分为m个子集的问题。
每个子集中的元素个数可以不同，也可以相同。
我们需要找到一种方法，使得每个子集满足特定的条件，同时保证所有子集之间没有重复元素。
在解决这类问题时，我们通常需要考虑不同算法的效率和准确性。
通过选择合适的算法，我们可以更快地找到问题的解决方案，提高问题的求解效率。
对于排列组合中的分组分配问题，需要有效的解法来解决复杂的组合问题，提升计算效率。
【200字】1.2 为什么需要有效解法排列组合中的分组分配问题是一个常见的数学问题，通常涉及到如何将一组元素分成若干组，使得每个元素恰好属于一组，并且每个组的元素数量符合特定的条件。
这类问题在实际生活中也有着广泛的应用，比如在分配任务、资源、奖励等方面。
为了解决这类问题，需要找到一种有效的解法。
有效解法可以帮助我们节省时间和精力。
排列组合中的分组分配问题往往有着庞大的搜索空间，如果没有一个高效的解法，我们可能需要耗费大量的时间和资源来找到最优解。
而通过有效的解法，我们可以在较短的时间内找到满足要求的分组方案，提高工作效率。
有效解法可以帮助我们减少错误和避免漏解。
在解决排列组合中的分组分配问题时，如果没有一个清晰的解题思路和方法，容易导致错误的分组方案或者遗漏可能的解决方案。
而使用有效的解法，可以系统地进行搜索和分析，减少出错的可能性，提高解题的准确性和完整性。
找到排列组合中的分组分配问题的有效解法是非常重要的。
有效解法不仅可以节省时间和精力，提高工作效率，还可以减少错误和遗漏，保障解题的准确性和完整性。
分组分配问题
结论
1、平均分组问题：
n个不同元素平均分成m组，每组k个元
素，则分组的方法为:
Cnk
Cnk
Ck
k n2k
Ckk
Amm,
2、平均分配问题：
n个不同元素平均分给m个不同对象，
每个对象k个元素，则分配的方法为:
CnkCnkkCnk2k Ckk
应用：
1、某校高二年级有 6 个班级，现从外地转入 4 名学生，
二、非平均分组与分配问题
1、非平均分组问题
m m
（2）先分成3组，分别有1、2、3本书，再分配各三个 人，则有
2、非平均分配问题
包括两种：
（1）定向的非平均分配与非平均分组的分法种数一样
（2）非定向的非平均分配的分法种数
三、部分平均分组与分配问题
1
应用：
A3 3
应用：
四、分组分配与概率的综合问题
结论:n个不同元素平均分成m组，每组k
个元素，则分组的方法为:
Cnk
Cnk
Ck
k n2k
Ckk
Amm
2、平均分配问题：n个不同元素平均分给m个不同对
象，每个对象k个元素，则分配的方法:
结论：n个不同元素平均分给m个不同对 象，每个对象k个元素，则分配的方法为:
CnkCnkkCnk2k Ckk
要安排到该年级的 2 个班里且每班安排 2 名，则不
同的安排方案有多少种？
C 2C 2 42
A2
A2
6
2
2、6 名护士，3 名医生，分成三组，到甲、乙、丙 三村去下乡，每组两名护士，1 名医生，共有多少 种不同的分法？
C2C2C2 C1C1C1
Hale Waihona Puke 6423 21C62C42C22 A33
排列组合中的分配分组问题
排列组合中的分配分组问题排列、组合以其独特的研究对象和研究方法，在高中数学教学中占有特殊的地位，是高考必考内容之一，它既是学习概率的预备知识，又是进一步学习数理统计、组合数学等高等数学的基础，因此排列与组合问题的应用题是高考的常见题型。
本文就笔者自己解决排列组合问题中的分配分组问题的一些浅见拙知与大家分享，不值一飧，还望批评与指正。
一、基本定义：1、排列：从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。
2、组合：从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。
3、排列数与组合数公式：)1)......(1(A +--=m n n n mn!)1().........1(m m n n n C A C m n m n m n+--== 二、解题思路总析：从排列与组合的定义来看，这两个数学名词的相同之处在于“选”—从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素；不同之处在于：排列有“序”——取出的m 各元素之间有顺序，组合无“序”——取出的m 各元素之间无顺序。
所以根据题目的意思分析元素之间是否有序就成了解决问题是用排列数公式还是用组合数公式的关键。
另外，在分配分组问题中，还存在分成的各组元素个数相等或不相等的问题，各组元素个数相等的分配分组称为“均匀”，各组元素个数全不相等的分配分组称为“不均匀”。
综合以上两点，笔者把排列组合中的分配分组问题统分为四类：1、均匀有序：各组元素个数相等，各组之间有顺序；2、均匀无序：各组元素个数相等，各组之间没有顺序；3、不均匀无序：各组元素个数全不相等，各组之间没有顺序；4、不均匀有序：各组元素个数全不相等，各组之间有顺序。
其中均匀有序又称“双肯定”分法，不均匀无序又称“双否定”，均匀无序和不均匀有序称为“单肯定”下面就以具体例题来说明上面四类问题的一般解法：例1：有6本不同的书，（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？（2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分法？解析：对于问题（1），首先从6本不同的书中选出2本来给甲，选出的2本书之间无顺序，为26C ；其次，从剩下的4本书中选出2本来给乙，为24C ；最后剩下的2本给丙，为22C ；整个解题过程应用的是分步计数原理，所以最终的分法数为90C *C *C N 2224261==;对于问题（2），与问题（1）的相同在于都是均匀分组，差别仅仅在于，一个是分给3人，一个是分成3堆，即就是分成的3组之间一个是有顺序的，一个是没有顺序的，所以问题（2）的解决可以在问题（1）解决的基础上对3组进行“消序”，即15A C *C *C N 332224262==; 对于问题（3），解决方法与问题（1）一样，用分步计数原理，先从6本不同的书中选出1本来，再从剩下的5本书中选出2本来，最后剩下的3本作为一堆，最终的分法数为60C *C *C N 3325163==;对于问题（4），分析题目，可见问题（4）与问题（3）的相同在于都是不均匀分组，差别在于问题（3）是分成3堆，即分成的3组无序，问题（4）是分给3人，即分成的3组有序，所以问题（4）的解决可以在问题（3）解决的基础上对3组进行“排序”，即603A *C *C *C N 333325164==。
6、排列组合问题之分组分配问题
排列组合问题之 分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？① 分成3组，分别为1人、2人、4人；② 选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有C ；种，再由剩下的6人选出2人，有C ；种，最后由剩下的4人为一 组，有C 4种。
由分步计数原理得分组方法共有C 7C 6C 4 105 （种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有C ；种，再由剩下的5人中选出3人，有C 532 3种，分组方法共有C 7C 5 210 （种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步 计数原理得分组方法共有210 （种）。
、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出 6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？ 解：可选分同步。
先选3人为一组，有C ；种；再选3人为另一组，有C ：种。
又有2组都是3人，每 A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成 4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？70 （种）。
也可先选后分。
不同的分法共有C6c ；c ； C 7T70 （种）。
解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有G：、C；、C（2、C4种，又有3堆都是2个c2c2c2元素，每A种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有10 3 6 C： 3150 （种）。
A【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m个组的元素是均匀的，都有A：种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法? 解：分组方法共有C；C；A| 420 （种）。
例谈排列组合中的分组分配问题
例谈排列组合中的分组分配问题发表时间：2010-12-17T10:46:04.123Z 来源：《少年智力开发报》2010年第3期供稿作者：何国雄[导读] 即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。
湖北省咸宁市通城县第二高级中学何国雄一、提出分组与分配问题，澄清概念将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。
n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种。
二、分组问题常见形式及处理方法1.编号分组：（1）相同元素编号分组“编号分组”的意思是：即使分出来两个或多个组中元素的个数相同，仍然看成不同的组例题1：10个相同的小球，放入5个不同的盒子里面，每个盒子至少要放一个球。
问有几种放法？方法（隔板法）：10个相同小球排成一行，中间有9个空，将4块隔板，插入从这9个空中任意选取的4个空，就得到5组小球，再放入5个不同的盒子，有. 种分组方法。
（2）不同元素编号分组分成两种情况：(i)非均匀编号分组（每组元素个数不同）例题2：10个人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同（在这里体现“编号分组”）劳动，问有几种安排方法？方法：分步选人，分别选各组人数，然后要乘以组数的全排列。
有 .种 (ii)均匀编号分组（包括部分均匀、全部均匀）例题3：10个人分成三组，各组人数分别为2、2、6，去参加不同劳动，问有几种安排方法？方法：分步选人，分别选各组人数。
但是，由于有两个组人数相同，而选人时又是分步选人的（即有顺序在里面），所以必然会造成重复。
比如：甲乙、丙丁和丙丁、甲乙是一种情况，我们却多算了。
要除以元素相同的2个组的组数的全排列. ，选人完之后要放进编好号码的组里面，所以乘以总组数的全排列. ，即有 . 种。
2.不编号分组：与编号分组不同的是，在不编号分组中，各个组元素的个数成为了区别不同组的唯一标志，换言之，只要有两个或者多个组有相同个数的元素，它们就被视为相同的组。
排列组合问题之分组分配问题
排列组合问题之 分组分配问题（—）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法① 分成3组，分别为1人、2人、4人；② 选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有C ；种，再由剩下的6人选出2人，有C ；种，最后由剩下的4人为一 组，有C 4种。
由分步计数原理得分组方法共有 C 7C 6C 4 105 （种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有C ；种，再由剩下的5人中选出3人，有C 3 种，分组方法共有 C ^C l 210 （种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步 计数原理得分组方法共有 C l C ；C ； 210 （种）。
、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出 6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法 解：可选分同步。
先选3人为一组，有C ；种；再选3人为另一组，有C ：种。
又有2组都㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成 4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有C 0、C ；、Cf 、C ：种，又有3堆都是2个_3元素，每A 3种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有 【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是 均匀的，都有A m 种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组 ㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出 2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法 解：分组方是3人，每 A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有 C y'C 70 （种）。
也可先选后分。
不同的分法共有C 6 CeC 70 （种）。
例谈排列组合中分组分配问题
例谈排列组合中分组分配问题
作者：吴荣
来源：《中学生理科应试》2015年第12期
排列组合是高中数学的重要内容，是高中数学教学的重点和难点，也是高考的重要考点，而分组分配问题是排列组合的重中之重，正确认识分组分配问题，提高学生对分组分配问题的解题能力是高中数学教学的任务，也是新课改的必然要求.本文结合多年的教学实践经验，通过具体题型对排列组合分组分配问题的解决方案进行了探讨.
一、分组分配问题的关系
分组问题是将一些不同的元素按照一定的要求分成几组；分配问题是将一些不同的元素按照一定的要求分配给几个不同的对象，分组问题的组与组之间只要元素个数相同是不需要区分的，分配问题则即使组与组之间元素个数相同，但因分配对象的不同则是需要区分的，因此分组分配是两个截然不同的概念，有着明显的区别；但二者也有着密不可分的关系，很多的排列问题往往是将分组分配融合在一起，在解决问题的过程中往往需要采用先分组再分配的方法.因此，分组分配问题是既有区别又有联系的.
二、基本分组问题
分组问题主要包括非平均分组、平均分组、和部分平均分组等几种类型，内容广，题目灵活性强，是排列组合中的难点.在解题过程中，只有认真的分析，从根本上理解分组问题，才能少走弯路.。
高中数学专题排列组合中的分组分配问题
高中数学专题排列组合中的分组分配问题Ⅰ.概述分组分配问题是排列、组合问题的综合，是排列组合问题中的一个重点和难点；某些排列组合问题看似非分配问题，实际上也可运用分配问题的方法来解决。
解决分组分配问题的一个基本指导思想就是先分组后分配。
分组分配问题特征：（1）分组分配特征：问题涉及把相关的元素进行分组然后再分配；（2）分组的类型：整体均分、部分均分和不等分三种；无论分成几组，都应注意只要有元素的个数相等的组存在，就需要考虑均分的现象（即：整体平均分组；或部分平均分组）；（3）均分特征：只要出现所分组中的元素个数相等，则存在重复出现的情况，作为分组只能计为一种。
Ⅱ.排列组合中的分组与分配问题一.分组与分配有关概念1.将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题；分组问题有不平均分组、整体平均分组和部分平均分组三种情况。
2.将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象（位置），称为分配问题；分配分定向分配和不定向分配两种问题；3.分组问题和分配问题的区别：前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是有区分的，对于分配问题必须先分组后分配，而分组通常与组合相关，分配通常与排列相关。
二．基本的分组问题（一）分组问题的基础题例【题例1】六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.【分析】：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
注意，这里6个元素，分3组，每组2个元素，所求的分组种类：不是“从6个元素中取2个元素的组合数”，而是“6选2，选3次，分成3组，所得的组数”；在这样的分组中，由于要选3次，且平均选取，就存在选取的顺序，故所得组中出现重复的组，重复的种数即所分组的全排列数。
若一组分组为：（1，2）（3，4）（5，6），另一组分组为（3，4）（1，2）（5，6），则这样的两组只能算一组，不能算作两组；若一组分组为：（1，2）（3，4）（5，6），另一组分组为（1，3）（2，4）（5，6），则这样的两组应算作两个不同的分组；在（1，2）（3，4）（5，6）与（1，3）（2，4）（5，6）这两个分组中出现的“从6个元素中选取2个元素的组合”则有5个，且其中的组合（5，6）只能算作1个计数；三．基本的分配问题（一）定向分配问题：将所给元素按要求分配到指定对象【题例2】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）甲两本、乙两本、丙两本.（2）甲一本、乙两本、丙三本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.(二)不定向分配问题：将所给元素按要求分配到非指定对象【题例3】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每人两本.（2）一人一本、一人两本、一人三本.（3）一人四本、一人一本、一人一本.Ⅲ.分组-分配问题类型与方法探究一．分组问题的基本类型--思想方法（一）分组问题类型1--非均匀分组（分步-组合法）：“非均匀分组”是指将所给元素分成元素个数彼此不相等的若干组。
排列组合中的分组分配
则不同分法为
C C C m1 n
m2 n m1
m3 n ( m1 m2 )
C mk mk
种．
如果 m1, m2 mk中有且仅有i个相等,则不同的分法为：
C C C m1
m2
m3
n
n m1
n ( m1 m2 )
Aii
C mk mk
种．
基础探究 一：均分无分配对象的问题
先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A 中有2人；C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人。
第①C类39，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B,C中选3人， 有
C33C39 C32C15C38 C13C52C37 C30C35C36
种 ,以下类同
A33
三.多面手问题
例4 :有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷 也会划右舷。现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有 多少种不同的选法？
分析：设集合A={只会划左舷的3个人}，B={只会划右舷的4个人}，C={既会划左舷又 会划右舷的5个人}
A33 种．
故由分步计数原理有
C92
C
3 7
C
4 4
A33
7560 种．
③每人3件，即各人分得数相同，不需排列．则有
C93
C63 A33
C33
A33
1680 种．
• 练习： 9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种分法? • ④平均分成三堆，有多少种分法? • ⑤分为2、2、2、3四堆，有多少种分法?
排列组合中的分组分配问题
精心整理排列组合中的分组分配问题分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。
某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。
一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数例了6，2)(3，4)(5，6)即除以(2)(3)以实际分法是41162122C C CA=15(种)。
通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。
结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是321112ppmmmmn n m n m m mkkC C C CA---⋯。
三、基本的分配的问题(一)定向分配问题例2六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1) 甲两本、乙两本、丙两本. (2) 甲一本、乙两本、丙三本. (3) 甲四本、乙一本、丙一本.分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出：分别有222642C C C =90(种)，615233C C C =60(种)，411621C C C =30(种)。
(二)例 (1) (2)(3)甲、乙种)，615233C C C例(3)32种)。
再考虑排列，即再乘以33A 。
所以一共有540种不同的分法。
四、分配问题的变形问题例5四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？ 分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。
实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有11243222C C C A (种)，然后将这三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不同对象)中的3个的排列问题，即共有11243222C C C A 34A =144(种)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
排列组合问题之分组分配问题
（一）（五个方面）
一、非均匀分组(分步组合法）
“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法? ①分成3组,分别为1人、2人、4人;
②选出5个人分成2组,一组2人,另一组3人。
解:①先选出1人,有17C 种,再由剩下的6人选出2人,有2
6C 种,最后由剩下的4人为一组,
有44C 种。
由分步计数原理得分组方法共有124764105C C C =(种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有27C 种,再由剩下的5人中选出3人,有35C 种，分组方法共有23
75210C C =(种)。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组,由分步计
数原理得分组方法共有523
753210C C C =(种）。
二、均匀分组（去除重复法)
“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组(去除重复法）
例２、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人,有多少种不同的分法?
解：可选分同步。
先选3人为一组，有37C 种;再选3人为另一组，有3
4C 种。
又有2组都
是3人，每22
A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33
74
2
2
70C C A =（种）。
也可先选后分。
不同的分法共有336
63
7
2
2
70C C C A ⋅=(种)。
㈡部分均匀分组(去除重复法)
例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？
解:分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、4
4C 种,又有3堆都是2个元
素,每3
3A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有
2224
108643
3
3150C C C C A ⋅=（种）。
【小结:不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是
均匀的，都有m
m A 种顺序不同的分法只能算一种分法。
】
三、编号分组
㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法)
例４、7人参加义务劳动,选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法?
解：分组方法共有232
752420C C A =(种)。
㈡部分均匀编号分组(分组法）
例5、5本不同的书全部分给3人，每人至少1本，有多少种不同的分法？
解:分两类。
①一类为一人3本;剩两人各1本。
将5本书分成3本、1本、1本三组，再分给
3人，有1133
215322
60C C C A A ⋅⋅=种分法。
②另一类为一人1本,剩两人各2本。
将书分成2本、
2本、1本三组，再分给3人，有21
23
315
3
22
90C C C A A ⋅⋅=种分法。
共有6090150+=种分法。
例6、 已知集合A 含有4个元素，集合B 含有3个元素。
现建立从A 到B 的映射:f A B →,使B 中的每个元素在A 中都有原象的映射有多少个?
解：先把A 中的4个元素分成3组,即2个、1个、1个，有21221
42
2
C C C A ⋅种分组方法,再把B 中的3个元素全排列,共有2123
214
32
2
36C C C A A ⋅⋅=种分组方法。
因此，使B 中的元素都有原象的映射有36个。
（二)（五个方面)
一、平均分堆问题倍缩法（或缩倍法、除倍法、倍除法、除序法、去除重复法)
1、 从7个参加义务劳动的人中，选出6个人，分成两组,每组3人,有多少种不同的分法?
答案:33742
270C C A =（种）或33663
722
70C C C A ⋅=(种）。
2、6本不同的书平均分成三堆,有多少种不同的方法?
答案:222
642
3
3
15C C C A =（种)。
附：6个班的数学课,分配给甲、乙、丙三名数学教师任教,每人教两个班,有多少种不同的分派方法？
答案:222
64290C C C =(种）。
3、6本书分三份，2份1本，1份4本，有多少种不同分法？
答案：11
4
6542
2
15C C C A ⋅=(种)。
二、有序分配问题逐分法(或分步法）
4、①有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是( )
A 、1260种
B 、2025种
C 、2520种
D 、5040种
答案：211
10872520C C C =（种）。
选C 。
②12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有( )种。
A 、444
12
8
4C C C 种
B 、44412843
C C C 种 C 、443
1283C C C
种
D 、4441284
3
3
C C C A 种 答案： 选A 。
三、全员分配问题先组后排法 5、 ①4名优秀学生全部保送到3所学校，每所学校至少去1名，不同的保送方案有多少种？
答案:23
4336C A ⋅=(种)。
②5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少1本，不同的分法种数为( )。
A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种
答案:24
54240C A ⋅=(种）。
选B 。
四、名额分配问题隔板法（或元素相同分配问题隔板法、无差别物品分配问题隔板法） 6、10个优秀学生名额分到7个班级,每个班级至少1个名额，有多少种不同分配方案？
答案：6
984C =(种)。
五、限制条件分配问题分类法
7、 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人，分别到西部四城市参加中国西部经济开发
建设,其中甲同学不到银川，乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案？
答案:甲、乙有限制条件，按照甲、乙是否参加分四类。
①甲、乙都不参加,有派遣方案4
8A 种；②甲参加乙不参加,先安排甲有3种,再安排其余学生有38A 种，共有383A 种；③乙参加甲不参加，有383A 种;④甲、乙都参加,先安排甲乙，有7种（树图法）,再安排其余学生有28A 种，共有287A 种。
综上，不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种。