2020届华附省实深中广雅四校联考-理数

华附、省实、深中、广雅2020届高三年级四校联考数 学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页， 满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2．答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4. 保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破，考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.第一部分 选择题 (共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合1,24k M x x k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（***） A ．=M N B ．M ⊂≠ N C ．N ⊂≠ M D ．M N =∅I2. 原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，其逆命题，否命题，逆否命题真假性依次为（***）A ．真，假，真B ．真，真，假C ．假，假，真D ．假，假，假3. 已知平面向量r a ，r b 是非零向量，2=r a ，()2⊥+r r r a a b ，则向量r b 在向量ra 方向上的投影为（***）A.1- B. 1 C. 2-D. 24. 平面∥α平面β的一个充分条件是（***） A ．存在一条直线a a a αβ，∥，∥ B ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥C ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥D ．存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ 5. 函数2()log 3sin()2π=-f x x x 零点的个数是（***）A ．2B ．3C ．4D ．56. 已知函数()sin 2cos2=-f x a x b x （a ，b 为常数，0≠a ，∈x R ）在12π=x 处取得最大值，则函数3π⎛⎫=+⎪⎝⎭y f x 是（***） A. 奇函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B. 偶函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 奇函数且它的图象关于π=x 对称 D. 偶函数且它的图象关于π=x 对称 7. 已知函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，又函数()2=+y f x 的图象关于y 轴对称， 若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016=f a f a ，则{}n a 的前2019项之和为（***） A ．0B ．2019C ．4038D ．40408．函数()2sin cos2=+f x x x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调减区间为（***） A ．,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9. 函数()2112---=x x x f 的值域是（***）A. 44,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. []0,1D. 40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦10. 已知圆221x y +=，点(1,0)A ，△ABC 内接于圆，且60∠=o BAC ，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是（***）A ．2212x y +=B ．2214x y +=C ．221122⎛⎫+=< ⎪⎝⎭x y x D. 221144⎛⎫+=< ⎪⎝⎭x y x 11. 已知双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF FN =u u u u r u u u r，则双曲线的离心率（***）A ．233 B ．143C ．2 D. 2 12. 若正四面体SABC 的面ABC 内有一动点P 到平面SAB ，平面SBC ，平面SCA 的距离依次成等差数列，则点P 在平面ABC 内的轨迹是（***）A ．一条线段B ．一个点C ．一段圆弧D ．抛物线的一段第二部分 非选择题 (共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置上.13. 在区间[]0,2上分别任取两个数m ，n ，若向量(),=r a m n ，()1,1=rb ，则满足1-≤r r a b 的概率是***．14. 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且311+=+n n A n B n ，则25837++=+a a a b b ***．15. 已知随机变量X~B (2，p )，Y~N (2，σ2)，若P (X ≥1)=0.64，P (0<Y<2)=p ，则P (Y>4)=***． 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22222=+b a c ，当()tan -B A 取最大值时，角A 的值为***．三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个 试题考生都必须做答，第22、23题为选考题，考生根据要求做答. （一）必考题：共60分. 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：21=a ，241-=+-n a a n n （2≥n ）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：n nb b b b )12(73321-++++Λ=n a ，求数列{}n b 的通项公式.18. （本小题满分12分）某花店根据过往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示，将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立. （Ⅰ）求在未来的4天中，有2天的日销售量低于100枝 且另外2天不低于150枝的概率；（Ⅱ）用ξ表示在未来的4天日销售量不低于100枝的天 数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直 线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与 平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设2PC AB =，求二面角E l C --大小的取值范围.20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1+=x y C a b（0a b >>）的离心率为22，过左焦点F 的直线与椭圆交于A ，B两点，且线段AB 的中点为21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 为C 上一个动点，过点M 与椭圆C 只有一个公共点的直线为1l ，过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求证：1l 与2l 的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．21. （本小题满分12分）已知函数()f x =ln ,x a x a +∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）试问过点(1,3)P 可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．（二）选考题：共10分. 请考生从给出的第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩ (t 为参数，0)απ≤<，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线θϕ=，4πθϕ=+，4πθϕ=-，分别与曲线C 交于,,A B C 三点(不包括极点O )，其中(,)44ππϕ∈-． （Ⅰ）求证：2OB OC OA +=； （Ⅱ）当12πϕ=时，若,B C 两点在直线l 上，求m 与α的值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()222f x x a x a =+-+-．f，求实数a的取值范围；（Ⅰ）若()13<f x恒成立，求实数a的取值范围. （Ⅱ）若关于x的不等式()2≥数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.4π 14. 215 15. 0.1 16. 6π三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由241-=+-n a a n n （2≥n ）可化为()()12220--+-+=n n a n a n . 令2=-n n c a n ，则10-+=n n c c ，即1-=-n n c c . 因为12=a ，所以1120=-=c a ， 所以0=n c ，即20-=n a n ，故2.=n a n ……6分 （若用不完全归纳，没有证明，可给4分） （Ⅱ）由()1233721++++-=L n n n b b b b a ，可知()()11231137212---++++-=≥L n n n b b b b a n ， 两式作差得()()12122--=-=≥n n n n b a a n ， 即()2221=≥-n nb n . ……10分 又当1=n 时，也112==b a 满足上式， ……11分 故221=-n nb . ……12分18. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设日销售量为x ，“有2天日销售低于100枝，另外2天不低于150枝”为事件A. 则()1000.002500.006500.4Px ≤=⨯+⨯=，……1分()1500.005500.25P x ≥=⨯=，……2分()22240.40.250.06.P A C ∴=⨯⨯=……4分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCADBACBCDAA（Ⅱ）日销售量不低于100枝的概率0.6=P ，则()~4,0.6B ξ.……6分于是()()440.60.40,1,2,3,4.k k k Pk C k ξ-==⨯⨯=……8分则分布列为ξ1234P16625 96625 216625 216625 81625……10分()16962162168101234 2.4.625625625625625E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……12分19. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）//平面l PAC . ……………1分证明如下：//Q EF AC ，AC ABC ⊂平面，EF ABC ⊄平面，//平面∴EF ABC . ……………2分又EF BEF ⊂平面，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，//∴EF l ． ……………3分而,l PAC EF PAC ⊄⊂平面平面，//平面∴l PAC ． ……………………4分（Ⅱ）解法一：设直线l 与圆O 的另一个交点为D ，连结D E ，FB ．由（Ⅰ）知，//BD AC ，而,AC BC BD BC ⊥∴⊥．Q PC ⊥平面ABC ，PC BD ∴⊥．而PC BC C =I ，,BD PBC ∴⊥平面 又FB PBC ⊂Q 平面，BD BF ∴⊥，FBC ∴∠是二面角E l C --的平面角． ………………8分 1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠． 注意到0,0cos 12ABC ABC π<∠<∴<∠<，tan 1FBC ∴∠>．02FBC π<∠<Q ，(,)42FBC ππ∴∠∈， 即二面角E l C --的取值范围是(,)42ππ． ………………12分解法二：由题意，AC ⊥BC ，以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，设AB =2，BC =t (02)t <<，则2(0,,0),(0,0,2),(4,,0)B t F D t t -，2(0,,2),(4,0,0)BF t BD t =-=-u u u r u u u r. …………6分设平面DBF 的法向量为(,,)m x y z =u r，则由00m BF m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r 得22040ty z t x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取2y =得(0,2,)m t =u r ． 易知平面BCD 的法向量(0,0,1)n =r， …………8分设二面角E l C --的大小为θ，易知θ为锐角．22||12cos (0,)2||||441m n t m n tt θ⋅===∈⋅++u u r u u r u r r ， …………11分42ππθ∴<<，即二面角E l C --的取值范围是(,)42ππ． …………12分20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可知(,0)-F c ，直线AB 的斜率存在.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由于点A ，B 都在椭圆上，所以2211221+=x y a b ①，2222221+=x y a b②①—②，化简得2221222212--=-y y b a x x ③ 又因为离心率为22，所以2212=b a . …………2分又因为直线AB 过焦点F ，线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以1243+=-x x ，1223+=y y ，12121323-=--+y y x x c ，代入③式，得1213324233⨯-=⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c ，解得1=c . …………5分再结合222-=a b c ，解得22=a ，21=b ，故所求椭圆的方程为2212+=x y . …………6分（Ⅱ）证明：设00(,)M x y ，由对称性，设00>y ，由2212+=x y ，得椭圆上半部分的方程为212=-x y ，221'()42212=⋅-=---x y x x x，又1l 过点M 且与椭圆只有一个公共点，所以12242=-=--l x x k y x ， 所以01000:()2-=--x l y y x x y ， ④ 因为2l 过点F 且与MF 垂直，所以0201:(1)+=-+x l y x y ， ⑤………10分 联立④⑤，消去y ，得220000122+=----x x x y x x ，又220012+=x y ，所以002202+⋅++=x x x ，从而可得2=-x ，所以1l 与2l 的交点在定直线2=-x 上． …………12分21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >，()1a x af x x x+'=+=．…………………1分 （1）当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）当0a <时， 令()0f x '=，得x a =-．当0x a <<-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当x a >-时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．…………………2分 综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -，单调递增区间为(,+)-∞a ．……………………………………………………………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，min ()(1)1f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零；………………4分（2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1a -，上为减函数，在(],2a - 上为增函数，所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-．依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->，解得>-a e ，所以21a -<<-．………………5分 （3）当2a -≥时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数， 所以min ()(2)2ln 2==+f x f a ．依题意有min ()2ln 20=+>f x a ，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-． …………6分 综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零．………………7分（Ⅱ）另解：当1x =时，显然ln 10x a x +=>恒成立. …………4分当(1,2]x ∈时，ln 0+>x a x 恒成立ln ⇔>-x a x 恒成立ln x a x⇔>-的最大值.令()ln =-x m x x ，则21ln '()0ln -=>x m x x ，易知()ln =-x m x x在(1,2]上单调递增， 所以()m x 最大值为2(2)ln 2m =-，此时应有2ln 2>-a . …………6分 综上，a 的取值范围是2(,)ln 2-+∞. …………7分 （Ⅲ）设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率01a k x =+， 切线方程为0000(ln )(1)()a y x a x x x x -+=+-． 因为切线过点(1,3)P ，则00003(ln )(1)(1)a x a x x x -+=+-． 即001(ln 1)20a x x +--=．………………① ………………8分 令1()(ln 1)2g x a x x =+--(0)x >，则2211(1)()()a x g x a x x x -'=-=． （1）当0a <时，在区间(0,1)上，()0g x '>，()g x 单调递增；在区间(1,)+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减，所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<．故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式．因此当0a <时，切线的条数为0． ………………9分（2）当0a >时, 在区间(0,1)上，()0g x '<，()g x 单调递减，在区间(1,)+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<． 取211+=>a x ee ，则221112()(11)20----=++--=>a a g x a e ae a ． 故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点． 取2121--=<a x e e ，则221122()(11)224++=--+--=--a a g x a e ae a a212[2(1)]+=-+a a e a ．设21(1)t t a=+>，()2=-t u t e t ，则()2'=-t u t e ． 当1t >时，()220'=->->t u t e e 恒成立．所以()u t 在(1,)+∞单调递增，()(1)20>=->u t u e 恒成立．所以2()0g x >．故()g x 在(0,1)上存在唯一零点．因此当0a >时，过点P (1,3)存在两条切线． ………………11分（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点P (1,3)的切线．综上所述，当0a >时，过点P (1,3)存在两条切线；当0a ≤时，不存在过点P (1,3)的切线．………………………………12分（Ⅲ）另解：设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率01a k x =+， 切线方程为0000(ln )(1)()a y x a x x x x -+=+-． 因为切线过点(1,3)P ，则00003(ln )(1)(1)a x a x x x -+=+-， 即001(ln 1)20a x x +--=． ………………8分 当0a =时，020-=无解. ………………9分当0a ≠时，12ln 1x x a +-=-， 令1()ln 1g x x x =+-，则21'()-=x g x x， 易知当01<<x 时，21'()0-=<x g x x ；当1>x 时，21'()0-=>x g x x， 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. ………………10分 又(1)0g =，且0lim ()lim ()x x g x g x →→+∞==+∞， 故当20a ->时有两条切线，当20a-<时无切线，即当0a <时有两条切线，当0a >时无切线. ………………11分综上所述，0a <时有两条切线，0a ≥时无切线. ………………12分22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 证明：（Ⅰ）依题意，4cos ϕ=OA ，………………………………………………1分 4cos 4πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭OB ，4cos 4πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭OC ，……………3分 则4cos 4cos 44ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OB OC 8cos cos 4πϕ=42cos ϕ=2.=OA …………5分 解：（Ⅱ）当12πϕ=时，,B C 两点的极坐标分别为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，23,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭，…………6分 化成直角坐标为()1,3B ，()3,3-C . ……………………………7分 经过点,B C 的直线方程为()32=--y x ，……………………………8分 又直线l 经过点(),0m ，倾斜角为α，且0απ≤<，故2=m ，23πα=. ………………10分23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵()13<f ，∴123+-<a a . …………………………………1分① 当0≤a 时，得()123-+-<a a ，即23>-a ，∴203-<≤a ； …………2分 ② 当102<<a 时，得()123+-<a a ，即2>-a ，∴102<<a ； …………3分 ③ 当12≥a 时，得()123--<a a ，即43<a ，∴1423≤<a . …………4分 综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． ……………………………………5分 （Ⅱ）∵()222f x x a x a =+-+-2122=+-+-a x x a 11+222=+-++--a a x x x a 51122≥+-+-a a x 512≥-a ， 当12=-a x 时，等号成立，∴()f x 的值最小为512-a . …………8分 ∴5122-≥a ， 解得25≤-a 或65≥a ．……………………………………9分 ∴ 实数a 的取值范围是26,,55⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U . …………10分。