浅谈数学分析中反例的作用

单位代码： 005分类号：O1延安大学西安创新学院本科毕业论文（设计）题目：浅谈数学分析中反例的作用专业：数学与应用数学**：***学号： ********** 指导教师：**职称：讲师毕业时间：二〇一五年六月浅谈数学分析中反例的作用摘要：数学分析中，反例常被用于证明之中.有许多数学猜想或命题的叙述时全称命题，声称所有的一类事物都有某种性质，或者是只要满足某个条件，就会得出某种结果.当证明这样的数学猜想遇到困难时，人们会趋向于寻找一个反例，以说明这个猜想是错误的.证明在数学分析中有着重要的作用.本文主要总结了反例在数学分析中起到的作用.首先对反例进行了认识，主要是对反例和反证法在概念和运用上的一个区别；其次是总结反例加强对概念的认识，主要是从无界函数、函数在一点的连续、二元函数的偏导和可微这几个方面来说明；再其次是对定理的理解，主要介绍了罗尔中值定理和拉格朗日中值定理这两个定理；再是说明反例对概念之间关系的把握，主要是分别对可导与连续、无穷大与无界量等概念之间进行了区别联系；最后简单总结了反例能有培养逆向思维的能力.关键词：数学分析；反例；作用；归纳总结The Effect of Counter Example in Mathematical Analysis Abstract：In mathematical analysis,a counterexample is often used in proofs.There are many mathematical conjectureor proposition describes universal proposition,that kind of thing all have certain properties,or as long as acondition is met,will come tosome sort of conclusion.When that mathematical conjecture this difficulty,a mathematician would tend to look for a a counter example,to show that this conjecture is false.That plays an important role in mathematical analysis.This paper mainly summarizes the counterexample to play in mathematical analysis. The first is the exceptions to the recognition, mainly to the counterexample and reduction to absurdity in concept and use them to prove a difference step on; This is followed by a summary of the counterexample to enhance understanding of the concept, mainly from the unbounded function, function and Er Yuan functionfor a partial derivative and differentiability of several aspects of this example; then to understand theorem, mainly introduced the Rollemean value theorem and Lagrange mean value theorem and the two theorem; then explains the concept ofthe relationship between the example grasp, mainly on between the concept of derivative and thecontinuous, infinite with an unbounded amount of difference; summarizes the counterexample can have theability of reverse thinking.Key words:Mathematical analysis ;The counterexample ;Effect;For example目录1绪论 (1)1.1 引言 (1)1.2 课题的背景及目的 (1)1.3 国内外研究状况 (2)1.4 课题研究方法 (2)1.5 论文构成及研究内容 (2)2认识反例 (2)2.1 反例的概念 (2)2.2 区别举反例与反证法 (3)2.2.1举反例及其运用反例的证明步骤 (3)2.2.2 反证法及其原理 (3)2.2.3运用反证法的证明步骤 (3)3反例精确对概念的认识 (4)3.1 无界函数 (4)3.2 连续函数 (4)3.3 二元函数偏导数与可微 (5)4反例加深对定理的理解 (6)4.1 罗尔中值定理 (6)4.2 拉格朗日中值定理 (7)5反例准确把握概念之间的关系 (8)5.1 可导与连续 (8)5.2 无穷大与无界量 (9)5.3 函数极大（小）值与最大（小）值 (9)5.4 可积函数 (10)6运用反例培养逆向思维能力 (10)7总结 (12)参考文献 (14)致谢 (15)1绪论1.1 引言在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题冥思苦想而不得解时，从反面去想一想，常常会获得意外的成功.用逆向思维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题.它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地.数学是在归纳、发现、推广中发展的.反例在数学的发展中功不可没.反例不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，在学习、领会和深入钻研数学的时候，也离不开反例.因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反例作对比，才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反例去证实，并从反例中得到启示.举反例是一种重要的反证手段.重要的反例往往会成为数学殿堂的基石.学会构造反例是一种重要的数学技能，应该成为数学教学的基本训练内容而渗透于教学过程之中.反例的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于具体的做出所需的反例.至于反例的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变.1.2 课题的背景及目的《数学分析》是一门很重要的课程，在自然课程中占有绝对基础地位.数学分析中存在大量的反例.当用命题形式给出一个数学问题，并判断它不成立时，我们就利用只满足命题的条件而结论不成立的例证，就足以否定这个命题.反例不仅可以帮助人们深入地理解有关数学对象的性质，而且对于推动数学科学发展，促进人的辩证思维方式的形成，具有的深刻意义.反例有助于培养科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，而且是我们在数学学习中必须努力培养的十分重要的数学思维能力.构造反例带有一定的技巧性，有时是十分费力的，它不仅与基础知识掌握的程度有关，还涉及到知识面的完善等.反例的引入、构造、对命题的再分析等，不仅能增加知识、拓宽思路、活跃思维、提高自学能力，也能提高分析问题和解决问题的能力，增加数学素养，通过反例的构造可以培养发散性思维和创造性思维.举出大量实例来说明反例法确实是发现数学真理的一种有效手段.比如，数学家奥姆斯特德[1]指出:“数学由两大类—证明和反例组成.而数学发现也是朝着两个主要目标—提出证明和构造反例.从科学性来讲，反例就是推翻错误命题的有效手段.从教学上而言，反例能够加深对正确结论的全面理解.”在数学分析的学习中，我们不仅要运用正确的例子深刻理解知识点，而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而加深对知识的理解.反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用.1.3 国内外研究状况数学分析是一门久远的学科.纵观数学发展的历史，许多新思想的诞生都是由于人们发现现存的会导致与事实相悖的结果.因此，从数学中的反例可以窥探到数学思想的一步步进化.通过研究国内外关于数学反例的相关文献发现：大部分都是研究数学反例的作用和构造，而这些反例比较繁复零乱，很少有非常系统的总结.所以，想对数学分析中一些常见的问题进行归纳总结，总结问题当中运用到的反例，都起到了什么样的作用.1.4 课题研究方法数学分析中有许多重要的典型反例,这些反例是数学分析理论不可缺少的重要组成部分.所以论文主要研究方法就是对数学分析中的一些概念定理进行总结并概括出反例的作用.针对数学分析中的一些概念，运用恰当的反例从另一侧面抓住概念的本质，从而加深对知识的理解；同时，对定理、公式和法则的条件、实际意义和应用范围，举出反例来帮助同学们更好理解掌握.我们在数学分析中往往会遇到很多错误的命题，这些命题有时候可能会被忽略思考而误用，因此我们可以举出反例来强有力的说明、否定这些错误的命题，从而正确掌握题解方法.1.5 论文构成及研究内容本文主要包括以下几个部分：绪论、反例精确对概念的认识、反例加深对定理的理解、反例准确把握概念之间的关系、反例提高多方思维能力.针对大学期间数学分析学习中的问题，每部分都深入浅出的举出各种反例来说明验证.并且在一些常见的问题上，会用反例来说明这些问题.2认识反例2.1 反例的概念在逻辑学中，反例是相对于某个全称命题的概念.反例在数学、哲学和自然科学中都有重要的应用.要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.2.2 区别举反例与反证法举反例和反证法是判断命题真假的两种方法,但本质不同.能够正确认识运用举反例与反证法，下面从几个方面来区别举反例与反证法.2.2.1举反例及其运用反例的证明步骤反例通常是指用来说明某个例题不成立的例子.举反例就是证明某个命题是假命题的一种方法,如“两个无理数之和是无理数.”判断这个命题不是真命题,只要举出“两个无理数之和是有理数”的例子就可以确定这个命题是假命题.如2-2与；反例的存在表示着：由某些事物A 满足条件P ，但没有性质Q .这样可以避免使用全称推断造成的错误结果.运用反例的证明步骤：（1）构造反例：符合条件，与命题矛盾.构造出你所需要的反例.（2）结论：得出与命题不同的结论，从而判断原命题的真假.2.2.2 反证法及其原理反证法（又称背理法）是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证.反证法的原理：（1）若原命题：q p ≥为真.（2）先对原命题的结论进行否定，即写出原命题的否定：q p ⌝≥（3）从这个否定的结论出发，推出矛盾，即命题：p q ≥⌝为假（即存在矛盾）.（4）从而该命题的否定为真：p q ⌝≥⌝为真.（5）再利用原命题和逆否命题的真假性一致，即原命题：q p ≥为真.2.2.3运用反证法的证明步骤（1）反设：假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立.（2）归谬：从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾.（3）结论：由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确.3反例精确对概念的认识数学分析中许多概念都很抽象，学生难以精确的认识概念，难以深刻理解概念的实质.概念的正确应用，不是一件容易之事，大部分学生在学习过程中死记硬背，精确认识概念不仅要运用正面的例子加以深刻阐述，而且要运用反例从另一个侧面抓住概念的实质，深化对概念的认识和理解.3.1 无界函数设)(x f 为定义在D 上的函数，若对任何正数M ，都存在D x ∈0，使00)(M x f >，则称)(x f 为D 上的无界函数[2].分析 无界函数的定义与函数趋于无穷大的定义有些相似.然而，这两个概念有本质上的差别.若0x x →时，∞→)(x f ，则)(x f 在0x 的每个邻域内必定无界.反之，函数)(x f 在0x 的任何邻域内都是无界的，但当0x x →时,)(x f 并不趋于无穷大. 设xx x f 1cos )(=，则对无论多大的正数M ，总有充分接近于0=x 的点，使 M x x >1cos， 例如，取πn x 1=，则πn x x =1cos ，故当 πM n > 时，就有M xx >1cos . 因此，函数)(x f 在0=x 的任何邻域内都是无界的. 然而，若取π)21(1+=n x n ，则当∞→x 时,0→n x ，此时01cos →n n x x ，即)(x f 并不趋于无穷大.3.2 连续函数设函数f 在某)(0x U 上有定义，若)()(lim 00x f x f x x =→，则称f 在点0x 处连续.分析 以上定义，)(x f 在0x 点连续满足下列三个条件：（1）在0x 点有定义；（2）)(x f 在0x 点的极限存在；（3）极限值等于函数值.这三个条件缺一不可，下面运用反例说明条件的必要性.（1） 若)(x f 在0x 点没定义，则)(x f 在0x 点不连续.例3.1 11)(-=x x f 在1=x 处没定义，可知)(x f 在1=x 处不连续. （2）)(x f 在0x 点极限不存在，则)(x f 在0x 点不连续.例3.2 以函数⎩⎨⎧<-≥+=0,2,0,2)(x x x x x f 为例. 2)2(lim )(lim 2)2(lim )(lim 0000-=-==+=--++→→→→x x f x x f x x x x由以上极限可知，原函数在0=x 处不连续.（3）)(x f 的极限值不等于函数值，则)(x f 在0x 点不连续.例3.3 以函数⎩⎨⎧=≠+=0,00,1)(2x x x x f 为例. 0)0()(lim 0=≠→f x f x 可知该函数在0=x 处不连续. 3.3 二元函数偏导数与可微一元函数的可微与可导是等价的，但是，若二元函数()y x f ,在其定义域D 的内点()00,y x 可微，则函数()y x f ,在该点的两个偏导数存在，但二元函数存在两个偏导数，却不一定可微.例3.4 函数[3]()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,,222222y x y x y x xy y x f解 ()y x f ,在原点()0,0的两个偏导数()()()x f x f f x x ∆-∆=→∆0,00,lim 0,00000lim 0=∆-=→∆x x ， 同理()00,0=y f 若函数f 在原点可微，则=-∆dz z ()()()()y f x f f y x f y x ∆-∆--∆+∆+0,00,00,00,022y x y x ∆+∆∆∆=，应是较22y x ∆+∆=ρ的高阶无穷小量，考察极限2200lim limy x y x dz z ∆+∆∆∆=-∆→→ρρρ，此极限当动点()y x ,沿着直线mx y =而趋于定点()0,0时，由于此时()()21,,m m mx x f y x f +==，因而有()()()()200,0,1,lim ,lim m m mx x f y x f x mx y y x +==→=→，这说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此所讨论的极限不存在，即函数()y x f ,在点()0,0不可微.4反例加深对定理的理解在数学分析中，在定理的证明中，原命题需要给出严格的证明，当逆命题不成立时，只需用反例去说明.因此学生对某些数学定理的理解运用不能深入的时候，应用反例能使学生对所学定理达到深层次的理解，更加印象深刻，更能熟练应用定理.4.1 罗尔中值定理关于罗尔中值定理[4]：若函数f 满足如下条件：(i )f 在闭区间[]b a ,上连续；(ii )f 在开区间()b a ,上可导；(iii )()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0'=ξf .为了深刻理解此定理，可用反例来说明定理中三个条件与结论之间的关系例4.1（f 不满足(i )的情形），()[),,,x x a b f x a x b⎧∈⎪=⎨=⎪⎩，函数如图（1）所示； 例4.2（f 不满足(ii )的情形），()[]1,1,-∈=x x x f ，函数如图（2）所示； 例4.3（f 不满足(iii )的情形），()[]b a x x x f ,,∈=，函数如图（3）所示. 由图可知，在不满足三个条件中任一个时，结论不一定成立. 另外，定理中三个条件不同时满足时，结论仍可能成立.例4.4()[)⎩⎨⎧=-∈-=1,11,1,12x x x x f解 由已知，()x f 只满足条件（ii ），而结论成立.因为()()10lim 1f x f x ≠=-→，所以()x f 在1=x 处不连续，从而不可导，而()[)⎩⎨⎧=-∈-=1,1,1,2'x x x x f 不存在，因此，0=∃ξ，()1,1-∈ξ，使得()0'=ξf .综上，罗尔中值定理中三个条件是使()0'=ξf 成立的ξ存在的充分条件，而非必要条件.4.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理[4]：若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,上可导，则在()b a ,上至少存在一点ε，使得()()()ab a f b f f --=ε' （1）(1)若()x f 在开区间()b a ,上连续，但不一定有()b a ,∈ε，使得（1）成立.例4.5 ()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1x x x x f 在0=x 间断，在开区间()1.0内连续，但不存在()1,0∈ε，使得()()()10101'=--=f f f ε (2)若()x f 在开区间()b a ,内部可导，结论不一定成立.例4.6 ⎩⎨⎧<≤--<≤==01,,10,)(x x x x x x f解 ()⎪⎩⎪⎨⎧<<--=<<=.01,1,0,10,1'x x x x f 不存在，故不存在[]1,1-∈ε，使得()0'=εf .5反例准确把握概念之间的关系数学分析中对于无穷大与无界、极大（小）值与最大（小）值以及可导与连续等容易混淆，不能准确把握概念之间的关系，可以通过运用适当的反例进行准确理解把握它们相互间的关系. 5.1 可导与连续情况1 若函数()x f y =在0x 可导，则函数()x f y =在0x 连续，但是逆命题不成立，函数在一点连续，函数在该点不一定可导.例5.1函数()x x f =，在0=x 时，该函数连续，但在0=x 处不可导. 证 ()()00lim lim 0f x x f x x ===→→，所以()x f 在0=x 连续；()()1-1lim 00lim00或==--→→x x x f x f x x 不相等，所以()x f 在0=x 不可导. 情况2 函数()x f 在0x x =处可导，则函数()x f 在0x x =的领域为不一定连续. 例5.2函数()⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x x f 02，分析 在0=x 处可导，但在0点的任何领域，除0点外都不连续. 例5.3()x f 在0x x =处可导，则()x f 在0x x =处是否有连续导数？ 在0=x 处可导，但导数不连续. 证 当0=x 时，()()()01sin lim 1sinlim0lim 00200'===--=→→→xx x x x x f x f f x x x ，即()x f 在0=x 处可导当0≠x 时，()xx x x f 1cos 1sin2'-=，可以看出()x f 在0点处不连续.综上归纳总结，对一元函数()x f 在点0x 可有：有极限连续可导可微→→⇔，通过恰当的运用反例可以准确地把握它们之间的关系. 5.2 无穷大与无界量若()x f 为0x x →时的无穷大量，则易见()x f 为()0x U o 上的无界函数.但无界函数却不一定是无穷大量.例5.4函数()x x x f sin =在()∞+U 上无界，因对任给的0>G ，取22ππ+=n x n ，这里正整数π2Gn >，则有 ()G n n n x f n >+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2222sin 22ππππππ，但()∞≠+∞→x f x lim ，因若取数列() ，，212*==n n x n π，则()∞→+∞→n x n *， 而()0lim *=+∞→nn x f ，即()x f 并不趋于∞，函数()x f 不是无穷大量. 5.3 函数极大（小）值与最大（小）值情况1 函数()x f 有极值但不一定就有最值. 例5.5函数()59323+--=x x x x f . 解 ()()()3139632'-+=--=x x x x x f令()0'=x f ，得稳定点.3,121=-=x x 列表讨论极大值()101=-f ，极小值()223-=f . 由函数可知，该函数在定义域内无最值. 情况2 开区间内的连续函数不一定有最值. 例5.6函数()2x x f =在区间()2,1的最值.解 由题知，函数的值域()()4,1∈x f ，但是函数取不到1和4，所以该函数在开区间内没有最值.综上所述，函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，则函数()x f 在闭区间[]b a ,内一定有最值，若函数()x f 的最大（小）值在点0x 在开区间()b a ,上，则0x 必定是()x f 的极大（小）值点. 5.4 可积函数任何可积函数一定是有界的；但有界函数却不一定可积.例5.7证明狄利克雷函数[5]()⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x D 01在[]1,0上有界但不可积.分析 显然()[]1,0,1∈≤x x D .对于[]1,0的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T 的任一小区间i ∆上，当取i ξ全为有理数时，()111=∆=∆∑∑==ni iin i ixx D ξ；当取i ξ全为无理数时，()01=∆∑=i ni i x D ξ.所以不论T 多么小，只要点集{}i ξ取法不同（全取有理数或全取无理数），积分和有不同极限，即()x D 在[]1,0上不可积.由此例可见，有界是可积的必要条件.6运用反例培养逆向思维能力逆向思维[7]是指在思考数学问题时，可以采用与通常思维方向相反的思维方式，数学知识本身就充满着正反两方面的转化，尤其是反方面的转化反映的数学知识深刻抽象，不易被学生掌握，相反，反方面的转化一旦被掌握，对正确灵活应用概念和定理有很大的作用，因此培养学生的逆向思维特别重要(一般说，在数学学习中，学生习惯于正向思维而忽视逆向思维，习惯于公式定理的正向应用而不善于逆向应用，于是应加强逆向思维的训练，在逆向思维的培养进程中，利用反例是一个有效的方法.问题1级数的项之间是否满足交换律？ 回答是否定的，可举出如下反例例6.1 收敛级数()nn n 1111⋅-∑∞=- 解 设其和为S ，则() +⋅-+-+-+-=-nS n 1151********，将其次序作如下交换，按级数中原有的正项与负项的顺序一项正两项负交替写出，即+--+--+--1211015181613141211， 假设它收敛，则S 216151413121121121101816141211211015181613141211=⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+-=+-+-+-=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-，显然交换后的级数即使收敛，它的和与原级数的和也未必相等.例6.2如果级数∑∞=1n n a 收敛，那么其部分和数列有界且0lim =∞→n n a .分析 这个命题显然是成立的，而它的逆命题却不成立.一个发散数列∑∞=0n n a ，其部分和数列有界且0lim =∞→n n a .设{}n a 为1，21-,21-,31,31,31,41-,41-,41-,41-…则0lim =∞→n n a ,且对每一个n ，都有10≤≤n s ，其中n n a a a s +++= 21，然而，由于{}n s 中有无穷多个n s 取值为0，又有无穷多个n s 取值为1，因而nn s ∞→lim 并不存在，即级数∑∞=1n n a 发散[4].例6.3若级数∑∞=1n n a 收敛，则∑∞=12n n a 也收敛.解 设()∑∑∞=+∞=-=1111n n n n na ，由已知，数列{}n a 单调递减，且0lim =∞→n n a .由莱布尼茨判别法可知，此交错级数收敛，而∑∑∞=∞==1121n n n n a 发散. 问题2证明 若a a n n =∞→lim ，则n n n a a =∞→lim .当且仅当a 为何值时反之也成立?[6]证由a a n n =∞→lim 知，对,0,0>∃>∀N ε当N n >时，ε<-a a n .而a a a a n n -<-，故ε<-a a n ，因此n n n a a =∞→lim .当且仅当0=a 时，由0lim =∞→n n a 知，对,0,0>∃>∀N ε当Nn >时,ε<-==-00n n n a a a ，故0lim =∞→n n a .因此，当且仅当0=a 时反之也成立.若0≠a ，反之不成立.显然数列(){}n1-为发散数列，这与已知(){}n1- 为收敛数列矛盾，故此时反之不成立.问题3若函数()x f 在a 处连续，则函数()x f 在a 也连续，反之是否成立？[8]例6.3 以函数()⎩⎨⎧<-≥=0,10,1x x x f 为例.即1)(=x f 在0=x 处连续，而()x f 在0=x 处不连续.7总结在数学分析中，适当地运用反例，有利于提高课堂教学质量，通过实例，阐述了运用和构造反例有利于帮助学生正确地理解和掌握数学概念及定理内容，有利于培养学生的发散思维能力和创新能力，提高教学效果，能够打破习惯的思维定势，能够促进思考扩大知识面[9].本文简要地总结了反例在数学分析中的作用，并与典型的问题结合起来.在数学分析的学习中出现的问题，往往是对数学分析中的基本概念和定理掌握的不准确、不彻底，在没有准确掌握基本概念和定理的情况下，盲目地去计算和证明，往往会花更多的时间解决问题且最后还会出现错误.因此，我们学习数学分析，学习任何一门学科，正确地掌握这门学科的基本概念、定理是学好这门学科的前提.反例就是强化概念的有力工具，可以深化学生对知识的理解.数学分析中有许多重要的典型反例,这些反例是数学分析理论不可缺少的重要组成部分.本文的意义在于介绍数学分析中的反例的作用，在学习当中，能更好的运用反例，具有反例的思想，希望能够帮助学习数学分析的人们更好的掌握.参考文献[1] 冯素芬．试论数学反例及其构造[J]．北京工业职业技术学院学报,2003，2(3):2-3．[2] 汪林. 数学分析中的问题与反例[M]. 云南：云南科技出版社,1990.[3] 马建珍.反例在数学分析中的作用［J］.宜宾学院学报，2006，12:39-41[4] 华东师范大学数学系.数学分析（上、下册）[M].第三版.北京:高等教育出版社,2010.[5] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京: 高等教育出版社,2001.[6] 刘荣辉.签析数学分析中的反例[J].赤峰学院学报，2009,8:10-11.[7 ]刘福保.反例教学法在数学分析中的作用和构造［J］.科技创新导报，(2009)11:167.[8] 吴志华.浅谈反例在数学分析教学中的作用及构造［J］.牡丹江教育学院学报，(2008)3:87-88.[9] 段龙伟，解红霞.谈谈《数学分析》教学中应用反例的几点体会［J］.太原教育学院学报，2003,21(2):33-34.致谢时光匆匆，如白驹过隙.在毕业论文定稿之际，四年的大学本科生活也即将画上句号.遥想初入学校之时，还历历在目，恍如隔日，不免感叹光阴易逝、韶华难追.然而，艰辛而快乐的求学之路，也给我留下了很多难以忘怀的欣慰和幸福.在此，向四年来陪伴我一起走过，给予我帮助和关心的良师益友以及亲人们，致以最为真挚的谢意！首先，我衷心的感谢我的导师张璐老师，他在我选择论文的题目上给与了非常大的帮助，并且在整个写论文过程中张璐老师都详细的回答问他的每一个问题，使我能够顺利完成毕业论文.还要感谢张璐老师，教我们数学分析这门课一年半的时间，他的教导使我受益匪浅.感谢我们305的全体室友，大学四年以来的相互关怀与支持，让我难以忘怀、感动至深.祝我们的友谊能够万古长存，也祝各位一生幸福、前程似锦！感谢数学1101班，感谢理工系的所有老师.能够在这样的集体和环境中度过我的本科学习生涯，是我一生最宝贵的财富.最后，我要感谢的是我最亲爱的父母和其他家人.在我二十多年的成长过程中，你们无时不刻无私地关怀和奉献，是我独在异乡求学的最大精神支柱，也是我可以依偎的最温馨港湾.你们是我永远的牵挂和眷念！(字数：9,387)。