带电粒子在匀强磁场中的运动(12道经典例题)

有最大的偏转角.
方法概述3：
带电粒子垂直进入圆形区域的匀强磁场中，只受洛伦兹 力作用的运动轨迹有以下规律： 1、沿半径方向入射的粒子一定沿另一半径方向射出. 证明：如图所示，连接OO′和OB. 因为AO=BO，OO′为两三角形的公共边，AO′=BO′ 所以△AOO′≌△BOO′
所以O′B⊥OB 即OB为 AB 的切线，
3v 2aB
v 2aB 3v 2aB v 2aB
,正电荷 ,正电荷
C.
D.
,负电荷
,负电荷
【解析】带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示.根据左手定 则可知粒子带负电荷. 由图可知：sin 30 = a - R ， 可得
2 R= a 3 2
qvB = mv R
R
又由
得
q 3v = m 2aB
，
故选项C正确. 【答案】C
tan 2 = R
B= 由以上各式解得：
【答案】
1 2mU θ tan r e 2
1 2mU θ tan r e 2
.
【点评】解答本题的关键是作出轨迹的示意图，利用几
何知识及三角函数求出半径.
易犯的错误有：①认为轨迹半径就是磁场的半径. ②不能画出轨迹的示意图.
③不能作出四边形CaOb，找不到电子束偏转角度θ与轨
设最大偏转角为αmax，此时初速度方向与ab连线的夹
角为θ，则：
sin
得：αmax=74°
αmax r 3 = = 2 R 5
所以 θ = αmax
2
= 37
当粒子以与ab夹角为37°斜向 右上方入射时，粒子飞离磁场 时有最大偏转角，最大值为74°. 【答案】（1）0.05m （2）与ab夹角为37°斜向上74° 【点评】从圆形区域的圆周上某点以相同速率射入的同种电 荷，它们的轨迹半径相等.当射出点与射入点在同一直径上时，
束使其在某个区域内运动.现按下面的简化条件来讨论这个
问题：图中是一个内半径R1=1.0 m、外半径R2=2.0 m的环状 区域的截面，区域内有垂直截面向外的匀强磁场.已知氦核 的比荷 = 4.8 107 C/kg T，不计氦核的重力.设O点为氦核源，它能沿半径方向射出 各种速率的氦核，求该磁场能约束住的氦核的最大速度vm.
解：(1)由左手定则可知物块带负电荷． (2)当物块离开斜面时，物块对斜面压力为0，受力如
图所示，则：qvB－mgcos30°＝0，解得v＝3.46 m/s.
(3)由动能定理得：mgsin30°·L＝ mv2，解得物块 在斜面上滑行的最大距离L＝1.2 m.
七、带电体在洛伦兹力作用下的直线运动
例9.如图所示，匀强电场方向水平向右，匀强磁场方向垂直 于纸面向里，一质量为m、带电荷量为q的微粒以速度v与磁 场方向垂直，与电场成45°角射入复合场中，恰能做匀速 直线运动，求电场强度E和磁感应强度B的大小．
m
qBd 2m
【解析】如图所示，由半径公式可知，当粒子的运动轨
迹与NN′相切时，粒子入射速率v最大. 设此时轨迹半径为R，则有： R+Rcos 45°=d，解得： R = 2 - 2 d
mv 2 - 2 qBd 将上式代入 R = Bq ，得： . v= m


【答案】D
【点评】解决这类问题的关键在于画出与另一边界相切
2m
2
例7.如图所示,在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强
度为B的匀强磁场,一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处 以速度v进入磁场,粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且 与x轴正方向成120°角,若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中到x 轴的最大距离为a,则该粒子的比荷和所带电荷的正负是 ( A. B. )
荷
，不计粒子重力.
解：（1）设粒子做圆周运动的半径为R，则：
mv0 v0 1 10 6 R= = = m = 0.05m 8 Bq Bq 0.2 10 m
（2）当粒子的速率一定时,粒子在磁场中的轨迹半径一 定，当轨迹圆弧的弦长最大时，对应的圆心角最大、偏转角
最大.
由图可知，弦长的最大值为： ab=2r=6×10-2m
M点.为了让电子束射到屏幕边缘P点处需要加磁场，使电子 束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B应为多少？
【解析】如图所示，电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心
为C，半径为R.以v表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表 示电子的质量和电荷量，则： 又有
1 2 v2 eU = mv ，evB = m 2 R θ r
方法概述1：
带电粒子垂直射入单边界的匀强磁场中，可分两类模型 分析：一为同方向射入的不同粒子；二为同种粒子以相同的 速率沿不同方向射入.无论哪类模型，都遵守以下规律： （1）轨迹的圆心在入射方向的垂直线上，常可通过此垂
线的交点确定圆心的位置.
（2）粒子射出方向与边界的夹角等于射入方向与边界的 夹角.
q m
，磁场的磁感应强度B=0.4
解：设速率为vm的氦核运
动至外边缘时恰好与边界相切而返 回，其轨迹如图所示. 设∠BOA=θ，由几何关系有： R3=R1·tan θ R1 R3 = R2 cosθ 联立解得：
R2 2 - R12 R3 = = 0.75 m 2R2
又因为氦核运动轨迹的半径 解得：vm=1.44×107 m/s.
电荷射出的方向得证.
2、同种带电粒子以相同的速率从同一点垂直射入圆形区域
的匀强磁场时，入射点与出射点的连线为直径,则轨迹的弧长 R RBq 最长，偏转角有最大值：α = 2arcsin = 2arcsin r mv
五、带电粒子射入环形磁场区域问题 例6.在受控热核聚变装置中，聚变原料有极高的温度，因而 带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约
点可作出两临界轨迹，如图所示. 2.与另一边界相切轨迹的半径 R =
d 1 cosθ
四、带电粒子穿过圆形区域磁场问题
例4.在电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术来
实现的.电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强 磁场区，如图所示.磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，
半径为r.当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心
点评：和前面各题型一样，求解粒子在环形区域的偏转半径，
关键在于找出它与区域圆半径及各夹角之间的几何关系.
方法概述4
带电粒子从内圆垂直射入环形区域的匀强磁场中，可分 以下两种情形总结规律： （1）若沿区域圆半径方向射入时，临界速率为：
Bq(R2 2 - R1 2 ) vm = 2R2 m
（2）若在内边沿上某点沿各方向射入时，临界速率为： R2 - R1 Bq(R2 - R1 ) r = （即此时轨迹半径 ）. v m' =
O M P v
二、半径的确定和计算
利用平面几何的关系，求出该圆的可能半径（或圆心角）， 并注意以下两个重要的几何特点： １．粒子速度的偏向角φ等与圆心角α，并等于AB弦与切线 的夹角θ（弦切角）的２倍．即φ=α=2θ=ωt ２．相对的弦切角θ 相等，与相邻的 弦切角θ'互补， O' v φ(偏向角）
三、双边界问题
例3.如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，其磁感应Leabharlann Baidu度为B， MM′和NN′是它的两条边界线.现有质量为m、电荷量为q的带 负电粒子沿图示方向垂直磁场方向射入，要使粒子不能从边 界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值是（ ）
A. qBd m
B. 2 + 2 qBd
m
C.
D. 2 - 2 qBd
迹半径的关系.
-2m的圆形区域内有一匀强磁场， 例5.③不能作出四边形 在真空中半径 r =3CaOb ×10，找不到电子束偏转角度 θ与轨 磁场的磁感应强度B=0.2 T，方向如图所示，一个带正电的 迹半径的关系. 6 粒子以v0=1×10 m/s的初速度从磁场边界上的a点沿直径ab q = 1 10 8 C/kg 例 5 图 55-11 甲在真空中半径 m的圆形区域内 . 射入磁场，已知该粒子的比荷 ，不计粒子重力 m （1）求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径 . 有一匀强磁场，磁场的磁感应强度 B=0.2 T，方向如图 55-11 （2）若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒 甲所示，一个带正电的粒子以 v0=1× 106 m/s的初速度从磁 子的方向应如何（用v0与Oa的夹角 θ表示）？最大偏转角多 场边界上的 a点沿直径ab射入磁场，已知该粒子的比 大？
3.5 带电粒子在匀强磁场中的运动
温故知新
判断下图中带电粒子（电量q，重力不计）所受洛 伦兹力的大小和方向：
× × ×B× ×
-
v
× × × × ×
F
B
× × × × × v + × × × × × × × × × ×
图1
图2
1、匀速直线运动
2、匀速圆周运动
3）粒子运动方向与磁场有一夹 角（大于0°小于90°）轨迹 为螺线
即θ＋ θ'＝１８０°
Ａ
θ
α
θ
θ
Ｂ
‘ v
三、运动时间的确定
利用偏转角（即圆心角α ）与弦切角的关系，或 者利用四边形的内角和为360°，计算出圆心角α 的 大小,由公式
t

360
T
可求出粒子在磁场中运动的时间.
一、带电粒子做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定
例1.如图所示，一束电子（电荷量为e）以速度v垂直射入磁感 应强度为B、宽度为d的匀强磁场中.穿过磁场时速度方向与电 子原来射入方向的夹角是30°，则电子的质量为 ，穿过磁
解析：两偏转轨迹的圆心都在射入速度的垂直线上，可
假设它们的半径为某一长度，从而画出两偏转轨迹，如图所 示.
由此可知它们的运动时间分别为 t1 = (2π - 2θ )m 、t 2 = 2θm ；轨迹
Bq Bq mv 半径 R = 相等；射出速度方向都与边界成θ角；射出点与O Bq
点距离相等，为：d=2R·sin θ.故选项B、C、D正确.
场的时间是
.
分析：本题已知轨迹上两点的速度方向即轨迹的切线方
向，就可以确定圆心的位置，再由此解出半径.
解：因为速度方向改变30°，因此此段轨迹所对应的圆 心角为30°，如图所示，由几何关系可得： 半径 R=2d 再由半径公式 R =
2deB 可以求出电子的质量 m = v θ πd 穿过磁场的时间 t = T = . 2π 3v πd 【答案】 2deB v 3v
图3
带电粒子做圆周运动的分析方法 一、圆心的确定
1.已知入射方向和出射方向,可以通过入射点和出射点分别作 垂直与入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆 弧轨道的圆心 O v M P
v0
2.已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入 射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两 条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心．
解：假设粒子带负电，则所受电场力方向水平向左，洛 伦兹力方向斜向右下方与v垂直，可以从力的平衡条件判 断出这样的粒子不可能做匀速直线运动，所以粒子应带 正电荷，受力情况如图所示 根据合外力为零可得 mg＝qvBsin45°① qE＝qvBcos45° ② 由①②式可得
思维总结： 在电场、磁场中电荷的受力方向都与电荷的 正负有关，一定要明确是正电荷受力，还是负 电荷受力；另外，分析带电粒子的受力情况时， 不要丢掉重力．受力分析后，根据运动状态， 列平衡方程或牛顿第二定律方程求解．
的粒子轨迹，以及确定轨迹的圆心位置和轨迹的半径大小.
方法概述2：
1.与另一边界相切时轨迹的作图步骤：
（1）作入射方向的延长线与MN交于B点. （2）过入射点作入射方向的垂线. （3）分别作∠ABN和∠ABM的角 平分线，两角平分线与入射方向的 垂线的交点为O1和O2. （4）O1、O2分别为正负电荷临界 偏转轨迹的圆心，通过圆心和入射
六、有关临界问题的求解
例8.质量为0.1 g的小物块，带有5×10－4 C的电荷量，放在 倾角为30°的绝缘光滑斜面上，整个斜面置于0.5 T的匀强 磁场中，磁场方向如图所示，物块由静止开始下滑，滑到某 一位置时，物块开始离开斜面(设斜面足够长，g＝10 m/s2)， 问： (1)物块带电性质？ (2)物块离开斜面时的速度为多少？ (3)物块在斜面上滑行的最大距离是多少？
mv eB
【点评】由速度方向的改变确定圆心角的大小是解本题
的第一个关键点，通过解直角三角形求出半径R是解本题的 第二个关键点.
二、单边界问题 例2.如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两 个电荷量绝对值相同、质量相同的正负粒子（不计重力）， 从O点以相同的速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ 角，则正负粒子在磁场中（ ） A.运动时间相同 B.运动轨迹的半径相同 C.重新回到边界时的速度相同 D.重新回到边界时与O点的距离相等