数学的三大特点.ppt

幺元和零元的概念
定义:*为集S上的二元运算. 1rS称为S的右幺元,如果x*1r=x,xS; 0rS称为S的右零元,如果x*0r=0r,xS.
类似地可定义左幺元与左零元. 1S称为S的幺元,如果x*1=1*x=x,xS; 0S称为S的零元,如果x*0=0*x=0,xS.
例:对任意实(复)数集S,数1是普通数的乘 法的幺元;数0是普通数的乘法的零元.数0 是普通数的加法的幺元;wk.baidu.com|S|>1,则加法 没有零元.(对任何ab,a+0=0=b+0a=b)
,零元,逆元等),称为代数常数.(对有些代数 可以不含或不考虑代数常数) • 集合上的m元运算定义为函数:
f:SmS. 例如,实数集R上取负元:f(x)=-x 是一元运算;
实数集R上的加法:f(x,y)=x+y;乘法:f(x,y) =xy是二元运算,等等.
代数结构的类
考察下列代数:A1=I,,1; A2=Q,+,0; A3= R+,min,+;A4=(S),∩,S;A5=(S),∪,.
• 欲求I上运算*的幺元a,注意到 a*y=a+y-ay=y 对任一yI成立之后,令y=2得
a+2-2a=2 -a=0 a=0;反之 a*0=a 成立. 幺元是0. • 欲求x的逆元x-1,注意:
x*x-1=x+x-1-xx-1=0 (x-1)x-1=x 上式当x=x-1=0或x=x-1=2时成立;对其余整数x都
y=y*1=y*(x*z)=(y*x)*z=1*z=z. • x的唯一逆元可记为x-1;易见:(x-1)-1=x;
x有逆元时称x为可逆的;x为可逆的当且仅 当x-1 为可逆的.
6.1#5g:III,g(x,y)=x*y=x+y-xy
• g显然是整数集I上的二元函数,故g定义I上一 个二元运算.由数加,乘法的交换性推得*的交 换性;由数运算的结合性不难验证*的结合性.
不成立.例如,x3时应有 x-12; x=(x-1)x-1 2(x-1),后一式等价于x2与x3矛盾.
6.1#8 I+,lcm,定义:x*y=lcm(x,y) 为x,y的最小公倍数
作x,y的素数幂分解:
x p1n 1 pkn k ,
y p1m 1
pm k k
其中p1,…,pk为两两不同素数,ni,mjN,则
称S上二元运算*满足消去律,如果 xyz(x,y,zS∧x0∧(x*y=x*z∨y*x=
z*x)y=z
例① 实数集R上的加,乘法运算都满足消去律,理 由是:R,+,0中0为幺元且无零元, 对任意 x,y,zR,x+y=x+zy=z;R, ,0中1,0分别为幺 元和零元,对任意x,y,zR,xy=xzy=z.
用函数的矩阵表示有:
1 2
1 2
1 2
1 2
f1 1 2 1A; f2 1 1 ; f3 2 2 ; f4 2 1 .
1 2 1 2 1 2 f2f3 2 21 1 1 1 f2 .
1 2 1 2 1 2 f2f4 2 11 1 1 1 f2 .
仿此可作出合成运算表.
可约元的概念
• 定义:称关于S上二元运算*是可约的,如果 xy(a*x=a*y∨x*a=y*a x=y).
• 例如: I+,,1中每个元都是可约的. • 若*为S上二元结合运算,则S上可逆元都是
可约元.但可约元不一定是可逆元. 证:a*x=a*y a-1*(a*x)=a-1*(a*y)
(a-1*a)*x=(a-1*a)*y 1*x=1*y x=y 同理可证: x*a=y*a x=y
因对
lcm
max
(x, y) p 1
{n 1,m 1}
max
p k
{n k ,m k}
u,v,wN,max{u,max{v,w}}=max{u,v,w}=
max{max{u,v},w},故I+上的二元运算lcm 满足结合律,其幺元为1,并且等幂律成立:
x(xI+x*x=lcm(x,x)=x).
6.1#10 A={1,2},S=AA={f1,f2,f3,f4}
一个二元运算的幺元或零元至多有一个
证:① 设a,b都是S,*的幺元,则a,bS,且 视a为幺元时有a*b=b;视b为幺元时有a*b =a. a=b.
② 设a,b都是S,*的零元,则a,bS,且视a 为零元时有a*b=a;视b为零元时有a*b=b. a=b.
由上面的证法可得:若S的左幺(零)元集和 右幺(零)元集都非空,则恰有一个左幺(零) 元,恰有一个右幺(零)元,并且它们重合为 唯一的幺(零)元.
任何基数不小于2的代数关于其任何二 元运算的幺元1与零元0若存在必不相同
证:(用反证法)若1=0,则存在xS,x0,由此 推出:x=1*x=0*x=0,产生矛盾 .
逆元的概念
• 定义:设集S上二元运算*有幺元1.yS称 为xS的逆元,如果x*y=y*x=1.
• 若*满足结合律,则xS的逆元至多有一个. 证:设z是的另一逆元:x*z=z*x=1,则
例② (S)上二元运算∩不满足消去律,因对任意 A(S),B,C(S),A∩B=A∩CB=C一般不 成立. 但(S),∩,∪满足双消去律:
A∩B=A∩C∧A∪B=A∪C B=C.
子代数的概念
数学的三大特点
• 根据前苏联科学院出版的一本名为“数
学---它的内容、方法、和意义”具世
界影响的书的提法，数学的三大特点也
是它的三大优点是：
①
精确性;
②
抽象性;
③ 应用的广泛性.
原书还特别强调:抽象性是应用广泛性的
基础.作为数学系的学生我们要深刻理
解数学的抽象性这个特点和优点.
代数结构的概念
• 代数结构也称代数系统,简称代数. • 代数通常有三个组成部分: ① 一个集合,称为代数的载体; ② 定义在载体上的若干运算; ③ 载体的若干特异元素(如下面将介绍的幺元
此5个代数都有相同的构成成分:同样个数的运 算且对应运算元数相同(1个二元运算);同样 个数的常数(1个);载体,运算与常数满足同样 的公理规则(交换律,结合律;常数为运算的幺 元)(幺元定义见定义6.1-1).
称具有上述性质的代数是同一类.所以, A1,A2,…,A5是同一类.请注意:抽象代数里一 般不局限于单个代数的研究,而是强调同一类 代数普遍性质的研究.