专题6 在图形运动中探究

专题六
在图形运动中探究
命题者说
典例精析
针对训练
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解:(1)在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,
∴∠A+∠C=360°-∠B-∠D=360°-60°-30°=270°.
(2)如图1,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAQ,连接DQ.
∵BD=BQ,∠DBQ=60°,∴△BDQ是等边三角形, ∴BD=DQ, ∵∠BAD+∠C=270°,∴∠BAD+∠BAQ=270°, ∴∠DAQ=360°-270°=90°, ∴△DAQ是直角三角形, ∴AD2+AQ2=DQ2,即AD2+CD2=BD2.
∴y=-12x2+x=-12(x-1)2+12,
∴当 x=1 时,y 有最大值12,即在点 P 从点 A 到点 B 的运动过程中,△APE 外接圆的圆心到
AB 边的最大距离是12.
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【名师点拨】 (1)本题的关键在于当点P在AB边上移动时,虽然△APE的外接圆的圆心
BC上,满足△PBE∽△ຫໍສະໝຸດ BaiduBC.若△APD是等腰三角形,则PE的长为
.
【解析】本题中找到满足条件的点P,E很关键,而其中点P尤为关键.
∵△APD是等腰三角形,∴PA=PD或DP=DA或PA=AD.
当PA=PD时,则点P在AD的垂直平分线MN上(设直线MN与AD,BC两边的交点为M,N),
又点P在矩形的内部,∴点P在线段MN上,当满足△PBE∽△DBC时,且点E在边BC上,∴点
2
+ 2156,∴当 x=12时,y 有最大值2156,此时 tan α 有
最大值.
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7.等腰△ABC中,顶角A为40°,P为△ABC所在的平面上一动点(点P与点A在BC所在直 线的同侧),P到A的距离等于BC,且BP=BA,则∠PBC的度数为 30°或110° .
MN⊥AB于点N,∴MN∥AE,
∵M是EP的中点,∴PN=AN,
易证△MNP∽△PBC,∴������������������������ = ������������������������.
设 NP=x,MN=y,则 AP=2x,PB=4-2x,
∴ ������
4-2������
=
4������,
M也随之运动,但△MNP和△PBC一直保持相似,在动中找到△MNP∽△PBC这个规律
性的结论,得到
������������ ������������
=
������������ ������������
.再设NP=x,MN=y,得到y与x的函数关系式,利用函数知识解答.
注意经历“图形运动→图形规律→函数式→问题解决”这个过程,感悟用“函数”解“图形”
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3.如图,在∠AOB的一边OA上截取线段OC=2,P,Q分别是另一边的两个动点,运动中时刻 保持∠OCP=∠OQC,记OP=x,OQ=y,则y关于x的函数图象大致是( D )
【解析】易证△OPC∽△OCQ,∴������������������������ = ������������������������,即 y=4������(x>0),因此 D 项正确.
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8.设P(x,0)是x轴上的一个动点,它与原点的距离为y.求y关于x的函数解析式,并画出这个
函数的图象.
解:∵P(x,0)与原点的距离为y,
∴当x≥0时,y=OP=x,当x<0时,y=OP=-x,
∴y
关于
x
的函数解析式为
y=
������ -������
当AQ=PQ时,易得△ABC∽△PAC,
∴������������
������������
=
������������ ������������
=
68, ∴PC=4.5,即PB=3.5;
当AQ=AP时,则∠AQP=∠APQ=∠C,此时P与B重合,不合题意.
综上所述,PB的长为2或3.5.
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【答案】
3
或6
5
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命题拓展 考向一 利用点动成直线解题 有关点的运动轨迹还有很多,如本书《专题四 直线l也是点的轨迹.
利用图形变换添加辅助线》中的典例2
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考向二 利用点动前后保持图形相似的特征解题
∵MN∥BC,∴������������������������
=
������������������������,即6
2- 2������ 62
=
8������,∴y=244-3������=-34x+6(0<x<8),
观察图象可知 B 项符合.
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2.如图,△AOB为等边三角形,且边长为定长,C为射线BA上一个动点,连接OC,以OC为边 作等边三角形△COD.设OA为x,点D到射线BO的距离为y,当x增大时,y值( B )
A.不变 B.增大
C.减小 D.不确定
【解析】过点 D 作 DE⊥BO 于点 E,过点 O 作 OM⊥AB 于点 M,∵点 B,O,E 在同一条直 线上,∴∠AOC+∠DOE=180°-60°-60°=60°,∵∠AOC+∠ACO=60°,∴∠ACO=∠DOE, 易证△OCM≌△DOE,∴DE=OM= 23x,即 y= 23x,因此 B 项正确.
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“形”动,这里包括点动、线动和形动,而初中阶段一定是点动问题最为重要.形动,则一 定会引起图形中其他部分的形状、大小和位置发生变化,研究这些变化规律,就形成数 学问题.
形动产生的数学问题有时会和函数知识相联系,如2016年安徽数学中考第22题、 2018年安徽数学中考第10题等就是和二次函数知识相联系;有时也会和点的轨迹等知 识相联系,如2016,2017年安徽数学中考的第10题以及2018年安徽数学中考第14题都是 和点的轨迹(弧和直线)相联系.有关与函数知识相联系的问题,我们将在本书《专题八 函数图象,建模解题》中具体解决,这里只是点到为止.
(������ ≥ 0), (������ < 0),
即为y=|x|,函数图象如图所示.
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9.如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC.
(1)求∠A+∠C的度数; (2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由; (3)若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足AE2=BE2+CE2,求点E运动路径的长度.
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类型1“形”动“脑”动,函数解题 典例1 如图,已知正方形ABCD的边长为4,P是AB边上的一个动点,连接CP,过点P作PC 的垂线交AD于点E,以PE为边作正方形PEFG,顶点G在线段PC上,对角线EG,PF相交于 点O.在点P从点A到点B的运动过程中,△APE的外接圆的圆心也随之运动,求该圆心到 AB边的距离的最大值.
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1.如图,在△ABC 中,BC=8,AB=6 2,∠B=45°,直线 l 从 A 向 BC 平行移动,分别与 AB,AC 交于点 M,N,设 MN=x,点 M 到 BC 的距离为 y,则 y 关于 x 的函数图象大致是( B )
【解析】过点 M 作 MD⊥BC 于点 D,在 Rt△BDM 中,∠B=45°,∴BM= 2DM= 2y,
∴∠GBC+∠BCG=90°,∠BCG+∠ACF=90°,∴∠GBC=∠ACF,∴△ACF∽△CBG,∴
������������ ������������
=
������������������������.设
BG=y,则3���-���������
=
������+4 2,∴y=-14
������-
1 2
∽△DBC,可得������������������������ = ������������������������,∴PE=65;当 PA=AD 时,即点 P 在以 A 为圆心,AD 为半径的圆弧上,
又点 P 在矩形的内部,如图 3,易得∠PBE<∠DBC,即△PBE∽△DBC 不可能成立.综上所 述,PE 的长为 3 或65.
这种方法.
(2)“形”动不仅可以得到二次函数,还可以得到一次函数和反比例函数,这类问题在本
书《专题二 用“数”解“形”》中已有详细解读,这里不再赘述.
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类型2“形”动“脑”动,轨迹解题
典例2 (2018·安徽第14题)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边
【解析】由题意可得EP为Rt△APE的外接圆的直径,PE的中点M即为圆心,过点M作
MN⊥AB于点N,∴MN∥AE,由MN∥AE可得成比例线段,从而得到MN关于其他线段的函
数关系式,利用二次函数的最大值可求MN的最大值.
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【答案】 由题意可得EP为Rt△APE的外接圆的直径,取斜边PE的中点M,过点M作
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4.如图,正方形 ABCD 的对角线 BD 长为 2 2,若直线 l 满足:①点 D 到直线 l 的距离为 3; ②A,C 两点到直线 l 的距离相等,则符合题意的直线 l 的条数为( B )
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】直线l满足条件①,则以D为圆心, 3 为半径作圆,那么直线是圆D的切线.直线 满足条件②有两种情况:一是直线与AC平行,这时与圆D相切的直线有两条(如图所示);
【解析】y随x的增大,先是由大变小,当点P位于AC与BD的交点处时,y=0;由于菱形的对 角线互相平分,所以点P在从AC与BD的交点处向点D运动的过程中,函数图象应该与之 前的对称,故排除选项B,C,D.只有选项A正确.
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6.(2019·合肥45中三模)如图,已知点A(3,4),B为直线x=-2上的动点,点C(x,0)且-2<x<3, BC⊥AC,垂足为C,连接AB.若AB与y轴正半轴所夹的锐角为α,当tan α的值最大时,x的值 为( A )
A.12
B.3 2 3
C.1
D.13
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【解析】如图,设直线 x=-2 与 x 轴交于点 G,过点 A 作 AH 垂直于直线 x=-2 于点 H,AF
垂直于 x 轴于点 F.∵BH∥y 轴,∴∠ABH=α.在 Rt△ABH 中,∵tan α=������5������,∴tan α 随 BH 的 增大而减小,∴当 BH 最小,即 BG 最大时,tan α 有最大值.∵∠BGC=∠ACB=∠AFC= 90°,
E与N重合,则PE为△BDC的中位线(如图1),即PE=3;
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当 DP=DA 时,即点 P 在以 D 为圆心,DA 为半径的圆弧上,又点 P 在矩形的内部,且△PBE
∽△DBC,即可得△PBE(如图 2),这时点 P 在线段 BD 上,且 DP=DA=8,PE⊥BC,由△PBE
二是直线经过AC的中点,这时直线与圆D相交,不可能相切,故这样的直线不存在.综上 所述,满足条件的直线共有2条.
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5.(2019·马鞍山二模)如图,在菱形ABCD中,点P从点B出发,沿B→D→C方向匀速运动.设 点P运动的时间为x,△APC的面积为y,则y与x之间的函数图象可能为( A )
【解析】易得点 P 在以 A 为圆心,BC 长为半径的圆上,易证△ABP≌△BAC,
∴∠ABP=∠BAC=40°,∠ABC=180°2-40°=70°,∴∠PBC=∠ABP+∠ABC=110°.
同理:△ABP'≌△BAC,
∴∠ABP'=∠BAC=40°,∠ABC=180°2-40°=70°,∠P'BC=∠ABC-∠ABP'=30°.
如图,在△ABC中,已知AB=AC=6,BC=8,P是BC边上一动点(P不与点B,C重合),Q是AC上 另一动点(Q不与点A,C重合),运动时始终保持∠APQ=∠B.当△APQ为等腰三角形时,则 PB的长为 2或3.5 .
【解析】当AP=PQ时,易得△ABP≌△PCQ,∴PC=AB=6,即PB=2;