黑龙江省大庆实验中学2021届高三上学期期中考试 数学(理)答案

大庆实验中学2020-2021学年度上学期期中考试高三理科数学答案

1．C 2．C 3.D 4.A 5.C 6.B 7.A 8.B 9. A 10.D 11. B 12.A 13.

)

3,1(- 14.3 15.52π 16．

23

17.（Ⅰ）3

A π

=（Ⅱ）33

解：（Ⅰ）由

2tan tan tan B b

A B c

=+及正弦定理可知，

sin 2

sin cos sin sin sin cos cos B

B B A B

C A B

∴=+

()2sin cos cos sin cos sin sin B A B B B A B C

⋅∴⋅=+，

所以2cos 1A =，又()0,A π∈，所以3

A π

=

（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得2

1393c c =+-，

所以2

340c c --=，即()()410c c -+=，

所以4c =，从而113sin 343322ABC

S

bc A ==⨯⨯⨯= 18.(1)证明见解析；(2)60°.

解析:（1）连结PD （P A=PB （PD AB （//DE BC （BC

AB （DE AB （

又PD DE D ⋂=（AB 平面PDE （PE ⊂平面PDE （∴AB PE （

（2）法一（

平面P AB 平面ABC，平面P AB 平面ABC=AB，PD AB，PD 平面ABC （ 则DE PD,又ED AB，PD 平面AB=D （DE 平面P AB,

过D 做DF 垂直PB 与F ，连接EF ，则EF PB （∠DFE 为所求二面

角的平面角（DE=32（DF =3

2，则3DE tan DFE DF

∠=

=，故二面角的A PB E --大小为60︒

法二：

平面P AB 平面ABC，平面P AB 平面ABC=AB，PD AB，PD

平面ABC （

如图，以D 为原点建立空间直角坐标系（ B (1（0（0)（P (0（0（

)（E (0（

3

2

（0)（ PB =(1（0（3-)（PE =(0（

3

2

（3-（（ 设平面PBE 的法向量()1,,n x y z =（ 30,3

30,2

x z y z ⎧-=⎪

⎨-=⎪⎩令3z =，得()

13,2,3n =（

DE ⊥平面P AB （∴平面P AB 的法向量为()20,1,0n =（ 设二面角的A PB E --大小为，由图知，121212

1,2

n n cos cos n n n n θ⋅===

⋅（ 所以60,θ=︒即二面角的A PB E --大小为60︒. 19.（1）70.5分；（2）634人；（3）0.499 中间值 45 55 65 75 85 95

概率

0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1

∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯ 850.15950.170.5+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分. （2）依题意z 服从正态分布(

)2

,N μσ，其中70.5x μ==，2

204.75D σ

ξ==，14.31σ=，∴z 服

从正态分布(

)()2

2

,70.5,14.31N N μσ

=，而

()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴()10.6826

84.810.15872

P z -≥=

=.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人.

（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=.而()4,0.8413B ξ~，∴

()()4

4431410.8413P P C ξξ≤=-==-⋅ 10.5010.499=-=. 20.（1）证明见解析，21n

n a =-；（2）11202.

（1）证明：因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，① 所以()1112n n S n a --+-=()2n ≥.②

①－②，得1122n n n a a a -+=-，所以()1121n n a a -+=+()2n ≥. 又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=， 故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，

所以11222n n n a -+=⋅=，即21n

n a =-.

（2）根据（1）求解知，()

22log 121121n

n b n =+--=-，11b =，所以1

2n

n

b b ，

所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列.

又因为11a =，23a =，37a =，415a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =，

64127b =，106211b =，107213b =，

所以()()1210012107127c c c b b b a a a ++

+=+++-+++

()()712

7212107(1213)107214

222772

2

12

-⨯+⨯⎡⎤=

-+++-=

-+⎣⎦-

2

8

1072911202=-+=.

21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.1k

解析（（I（()()2

1ln '1x

x f x x e x -=++（ 易知()'f x 在()0e ，上为正，因此()f x 在区间()01，上为增函数，又1

2

10e

e e

f e e

-⎛⎫=

< ⎪⎝⎭

（0f I e =>（）

因此10f f I e ⎛⎫

< ⎪⎝⎭

（），即()f x 在区间()01，上恰有一个零点（ 由题可知()0f x >在()1

+∞，上恒成立，即在()1+∞，上无零点， 则()f x 在()0+∞，

上存在唯一零点（ （II（设()f x 的零点为0x ，即0

000ln 0x x x e x +=（原不等式可化为ln 1x xe x k x

--≥（

令()ln 1

x xe x g x x

--=（则()ln 'x x xe x g x x

+=（由（I（可知()g x 在()00x ，上单调递减， 在()0x ，

+∞上单调递增（故只求()0g x （，设0

0x x e t =（

下面分析0

000ln 0x x x e x +

=（设00x x e t =，则00

ln x

t x =-（ 可得00

00lnx tx lnx x lnt

=-⎧⎨+=⎩，即()01ln x t t -=

若1t >，等式左负右正不相等，若1t <（等式左正右负不相等（只能1t =（

因此()0000000

ln 1ln 1x x e x x

g x x x --=

=-=，即1k 求所求（ 22. （1）S 的普通方程为：)040(042

2≥≤<=-+y x x y x ，或)0,0(≥>y x 或)0,0(≥≠y x

方程写标准式也可

S 的极坐标方程为：)2

0(cos 4π

θθρ<≤=

（不写范围扣2分）

（2）]3

,

0[π

α∈

23.（1）见证明；（2）35[,]22

-. 【详解】

解：（1

）由柯西不等式得2

2222)11x x ⎡

⎤⎛⎡⎤+≥⋅ ⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝+． ∴(

)22

2

4

3()3

x y

x y +⨯≥+，当且仅当3x y =时取等号． ∴2

2

3

34

x y +≥

； （2

）

1111()224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭

，