选用复合梯形公式复合Simpson公式计算
复合梯形公式与复合辛普森公式对比
开始
输入区间断点 a,b 及等分数 n
求出步长 h,各节点 及相应得
各函节数点值函数值,k=1,2求,、、 与ns-u1m, k=1,2,、、n-1
输出积分值
结束
图 4-1 复合梯形公式算法流程图 4、2 复合辛普森公式算法流程图
开始
输入区间断点 a, b 及等分数 n
SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY
题目名称：复合梯形公式与复合辛普森公式对比
学生姓名: 学生学号： 班 级： 学院(系)：
目录
1、 概述 .............................................................................................................. 1 2、 问题提出 ...................................................................................................... 2 3、 算法推导 ...................................................................................................... 3 4、 算法框图 ...................................................................................................... 4
图表目录
图 4-1 复合梯形公式算法流程图 ...................................................................... 4 图 4-2 复合辛普森公式算法流程图 .................................................................. 5 图 6-1 MATLAB 计算结果..................................................................................6 表 2-1 函数计算结果表 .......................................................................................2
复合梯形公式、复合辛普森公式matlab
复合梯形公式、复合⾟普森公式matlab 1. ⽤1阶⾄4阶Newton-Cotes公式计算积分程序：function I = NewtonCotes(f,a,b,type)%syms t;t=findsym(sym(f));I=0;switch typecase 1,I=((b-a)/2)*(subs(sym(f),t,a)+subs(sym(f),t,b));case 2,I=((b-a)/6)*(subs(sym(f),t,a)+4*subs(sym(f),t,(a+b)/2)+...subs(sym(f),t,b));case 3,I=((b-a)/8)*(subs(sym(f),t,a)+3*subs(sym(f),t,(2*a+b)/3)+...3*subs(sym(f),t,(a+2*b)/3)+subs(sym(f),t,b));case 4,I=((b-a)/90)*(7*subs(sym(f),t,a)+...32*subs(sym(f),t,(3*a+b)/4)+...12*subs(sym(f),t,(a+b)/2)+...32*subs(sym(f),t,(a+3*b)/4)+7*subs(sym(f),t,b));case 5,I=((b-a)/288)*(19*subs(sym(f),t,a)+...75*subs(sym(f),t,(4*a+b)/5)+...50*subs(sym(f),t,(3*a+2*b)/5)+...50*subs(sym(f),t,(2*a+3*b)/5)+...75*subs(sym(f),t,(a+4*b)/5)+19*subs(sym(f),t,b));case 6,I=((b-a)/840)*(41*subs(sym(f),t,a)+...216*subs(sym(f),t,(5*a+b)/6)+...27*subs(sym(f),t,(2*a+b)/3)+...272*subs(sym(f),t,(a+b)/2)+...27*subs(sym(f),t,(a+2*b)/3)+...216*subs(sym(f),t,(a+5*b)/6)+...41*subs(sym(f),t,b));case 7,I=((b-a)/17280)*(751*subs(sym(f),t,a)+...3577*subs(sym(f),t,(6*a+b)/7)+...1323*subs(sym(f),t,(5*a+2*b)/7)+...2989*subs(sym(f),t,(3*a+4*b)/7)+...1323*subs(sym(f),t,(2*a+5*b)/7)+...3577*subs(sym(f),t,(a+6*b)/7)+751*subs(sym(f),t,b));endsyms xf=exp(-x).*sin(x);a=0;b=2*pi;I = NewtonCotes(f,a,b,1)N=1:I =N=2:I =N=3:I =(pi*((3*3^(1/2)*exp(-(2*pi)/3))/2 - (3*3^(1/2)*exp(-(4*pi)/3))/2))/4N=4:I =(pi*(32*exp(-pi/2) - 32*exp(-(3*pi)/2)))/452. 已知，因此可以通过数值积分计算的近似值。
数值分析复化梯形公式,复化Simpson公式MATLAB程序
分别用复化梯形公式、复化Simpson 公式计算定积分dx e x ⎰+201，取n=2,4,8,16分别验证结果（精确值I=4.006994）。
复化梯形公式求定积分:
function I=tquad(x,y)
%复化梯形求积公式，其中，
%x 为向量，被积函数自变量的等距结点； %y 为向量，被积函数在结点处的函数值； n=length(x);
m=length(y);
%积分自变量的结点数应与它的函数值的个数相同 h=(x(n)-x(1))/(n-1);
a=[1 2*ones(1,n-2) 1];
I=h/2*sum(a.*y);
复化Simpson 公式求定积分：
function I=squad(x,y)
%复化Simpson 求积公式，其中，
%x 为向量，被积函数自变量的等距结点； %y 为向量，被积函数在结点处的函数值； n=length(x);
m=length(y);
%积分自变量的结点数应与它的函数值的个数相同 if rem(n-1,2)~=0
I=tquad(x,y);
return;
end
N=(n-1)/2;
h=(x(n)-x(1))/N;
a=zeros(1,n);
for k=1:N
a(2*k-1)=a(2*k-1)+1;
a(2*k)=a(2*k)+4;
a(2*k+1)=a(2*k+1)+1;
end
I=h/6*sum(a.*y);。
复合梯形公式和复合辛普森公式例题
复合梯形公式和复合辛普森公式例题复合梯形公式和复合辛普森公式例题数值计算是现代科学技术中重要的研究领域之一，而数值积分是数值计算中的一个重要分支。
数值积分是指在一定区间上用数值方法来逼近求解定积分的过程。
综合考虑精度和效率，梯形公式和辛普森公式是数值积分中比较常用的方法，而复合梯形公式和复合辛普森公式则是对前两种方法的改进和完善。
一、复合梯形公式（一）基本原理梯形公式是数值积分中运用最广泛的一种方法，其基本思想是将被积函数在区间[a,b]上的曲线用若干条梯形逼近，然后计算梯形的面积之和，得到函数曲线下的面积。
若将区间[a,b]分为n个小区间，梯形公式还可以推广为复合梯形公式。
复合梯形公式的基本原理是将整个区间[a,b]等分为n 个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n，然后对于每个小区间求出梯形的面积，并将所有梯形面积加起来得到函数曲线下的面积，并作为积分的近似值。
具体地说，复合梯形公式的表达式为：$$\int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{2}[f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_{i})+f(b)]$$其中，$x_1=a+h,x_2=a+2h,...,x_{i+1}=x_i+h,...,x_{n}=b-h$，h是小区间长度。
（二）例题现在考虑如下的积分：$$I=\int_0^1 e^{x^2} dx$$将整个区间[0,1]等分为4个小区间，得到$h=0.25$，对于每个小区间，可以分别求出梯形的面积，得到：$$\frac{h}{2}[f(0)+2f(0.25)+2f(0.5)+2f(0.75)+f(1)]$$代入函数$f(x)=e^{x^2}$，得到近似积分值为$1.4627$。
使用Matlab代码进行计算，得到具体结果为：>> f=@(x) exp(x.^2); h=0.25; x=0:h:1;I=h/2*(f(x(1))+2*sum(f(x(2:end-1)))+f(x(end))) sprintf('%.5f',I)ans =1.46270可以发现，与精确值$1.46265$相比，误差很小，说明复合梯形公式是一种很有效的近似积分方法。
复合梯形公式和复合辛普森公式
复合梯形公式和复合辛普森公式1.复合梯形公式步骤1：将积分区间[a,b]均匀地分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n，其中n为正整数。
步骤2：定义一个函数f(x)，并在每个小区间上求出函数在小区间两个端点的函数值，记作f(x0), f(x1), f(x2), ..., f(xn)。
步骤3：根据梯形公式，每个小区间上的定积分近似值为(h/2) * (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn-1) + f(xn))。
步骤4：将所有小区间上的定积分近似值相加，得到最终的近似值。
复合辛普森公式是通过将积分区间划分成若干个小区间，然后在每个小区间上应用辛普森公式来逼近定积分的值。
具体的步骤如下：步骤1：将积分区间[a,b]均匀地分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n，其中n为正偶数。
步骤2：定义一个函数f(x)，并在每个小区间上求出函数在小区间三个点的函数值，记作f(x0),f(x1),f(x2)。
步骤3：根据辛普森公式，每个小区间上的定积分近似值为(h/3)*(f(x0)+4f(x1)+f(x2))。
步骤4：将所有小区间上的定积分近似值相加，得到最终的近似值。
复合辛普森公式的误差主要取决于小区间的数量和函数在每个小区间上的变化情况。
与复合梯形公式相比，复合辛普森公式的精度更高，但计算复杂度也更高。
综上所述，复合梯形公式和复合辛普森公式是数值积分中常用的近似计算方法。
它们通过将积分区间划分成小区间，并在每个小区间上应用相应的公式来逼近定积分的值。
这两种方法都可以通过增加小区间的数量来提高近似的精度，但相应地也会增加计算的复杂度。
根据实际情况，我们可以选择合适的方法来计算需要求解的定积分。
选用复合梯形公式-复合Simpson公式-计算
数值分析实验 三班级：10信计2班 学号：59 姓名：王志桃 分数一·问题提出：选用复合梯形公式，复合Simpson 公式，计算（1） I =dx x ⎰-4102sin 4 ()5343916.1≈I（2） I = dx x x⎰1sin ()9460831.0,1)0(≈=I f（3） I = dx xe x⎰+1024（4） I = ()dx x x ⎰++10211ln二·实验要求：1.编制数值积分算法的程序2.分别用两种算法计算同一个积分，并比较计算结果3.分别取不同步长()/ a b h -=n ，试比较计算结果（如n = 10, 20等）4.给定精度要求ε，试用变步长算法，确定最佳步长三·实验流程图：复化梯形公式：输入 端点 a , b 正整数 n直接计算TN=h/2*[f(a)+2∑f(x k )+f(b)] k=1,2…,n-1输出 定积分近似值TN复化Simpson 公式输入 端点 a , b 正整数 n输出 定积分近似值SN（1） 置h=(b-a)/(2n)（2） F0=f(a)+f(b) ， F1=0 ， F2=0（3） 对j=1,2,…,2n-1循环执行步4到步5（4） 置x=a+jh（5） 如果j 是偶数，则F2=F2+f(x)，否则F1=F1+f(x)（6） 置SN=h(F0+4F1+2F2)/3（7） 输出SN,停机四·源程序：#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;#define n 20//此为步长double f1(double x){double y;y=sqrt(4-sin(x)*sin(x));return y;}double f2(double x){if(x==0)return 1;double y;y=sin(x)/x;return y;}double f3(double x){double y;y=exp(x)/(4+x*x);return y;}double f4(double x){double y;y=log(1+x)/(1+x*x);return y;}int main(){int j;double e=0.000001,h,F0,F1,F2,a,b,x,S;cout<<"利用复化Simpson公式求积分"<<endl;//1a=0;b=0.25*3.141592;h=(b-a)/(2*n);F0=f1(a)+f1(b);F1=F2=0;for(j=1;j<2*n;j++){x=a+j*h;if(j%2==0)F2=F2+f1(x);elseF1=F1+f1(x);}S=((F0+F1*4+F2*2)*h)/3;cout<<"第一个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl;//2a=0;b=1;h=(b-a)/(2*n);F0=f2(a)+f2(b);F1=F2=0;for(j=1;j<2*n;j++){x=a+j*h;if(j%2==0)F2=F2+f2(x);elseF1=F1+f2(x);}S=(F0+F1*4+F2*2)*h/3;cout<<"第二个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl;//3a=0;b=1;h=(b-a)/(2*n);F0=f3(a)+f3(b);F1=F2=0;for(j=1;j<2*n;j++){x=a+j*h;if(j%2==0)F2=F2+f3(x);elseF1=F1+f3(x);}S=(F0+F1*4+F2*2)*h/3;cout<<"第三个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl;//4a=0;b=1;h=(b-a)/(2*n);F0=f4(a)+f4(b);F1=F2=0;for(j=1;j<2*n;j++){x=a+j*h;if(j%2==0)F2=F2+f4(x);elseF1=F1+f4(x);}S=(F0+F1*4+F2*2)*h/3;cout<<"第四个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl<<endl;cout<<"利用复化梯形公式求积分"<<endl;//1a=0;b=0.25*3.141592;h=(b-a)/n;F0=f1(a)+f1(b);F1=0;for(j=1;j<n;j++){x=a+j*h;F1=F1+f1(x);}S=((F0+F1*2)*h)/2;cout<<"第一个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl;//2a=0;b=1;h=(b-a)/n;F0=f2(a)+f2(b);F1=0;for(j=1;j<n;j++){x=a+j*h;F1=F1+f2(x);}S=((F0+F1*2)*h)/2;cout<<"第二个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl;//3a=0;b=1;h=(b-a)/n;F0=f3(a)+f3(b);F1=0;for(j=1;j<n;j++){x=a+j*h;F1=F1+f3(x);}S=((F0+F1*2)*h)/2;cout<<"第三个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl;//4a=0;b=1;h=(b-a)/n;F0=f4(a)+f4(b);F1=0;for(j=1;j<n;j++){x=a+j*h;F1=F1+f4(x);}S=((F0+F1*2)*h)/2;cout<<"第四个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl;return 0;}五．实验结果六．实验心得：通过本次实验，我掌握了求数值积分的各种方法。
复合梯形公式及复合辛普森公式对比
SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY题目名称：复合梯形公式与复合辛普森公式对比学生姓名 :学生学号 :班级 :学院 ( 系):目录1.概括 (3)2.问题提出 (4)3.算法推导 (5)4.算法框图 (6)4.1 复合梯形公式算法流程图 (6)4.2 复合辛普森公式算法流程图 (7)5.MATLAB源程序 (8)6.结论与展望 (9)图表目录图 4-1复合梯形公式算法流程图 (6)图 4-2复合辛普森公式算法流程图 (7)图 6-1 MATLAB 计算结果 (9)表 2-1函数计算结果表 (4)1.概括梯形求积公式和辛普森求积公式分别是牛顿- 科斯特公式中n=1 和 n=2 时的情况。
此中梯形求积公式可表示为其公式左端是以 [a,b] 区间上积分，右端为b-a 为高、端点函数值为上下底的梯形的面积值，故通称为梯形公式，拥有 1 次代数精准度。
近似的，辛普森求积公式能够表示为该公式一般在立体几何顶用来求拟柱体的体积，因为偶数n 阶牛顿 -科特斯求积公式起码拥有 n+1 次代数精准度，因此辛普森公式实质上拥有 3 次代数精准度。
因为牛顿 - 科斯特公式在n≥ 8 时不拥有稳固性，故不行能经过提升阶的方法来提升求积精度。
为了提升精度往常可把积分区间分红假定干子区间〔往常是平分〕，再在每个子区间上用低阶求积公式。
这类方法称为复合求积法。
本文主要议论复合梯形公式和复合辛普森公式在同一数学识题中的应用。
第一给出了复合梯形公式和复合辛普森公式的推导过程以及其他项的表达形式，而后用流程图的形式介绍算法思路，再运用MATLAB编写代码计算结果，最后对结果进行对比议论。
希望经过两个算法在同一个算例中的应用对比，更好的理解和掌握复合梯形公式和复合辛普森公式的合用范围和合用条件。
而且能够熟习MATLAB编程求解问题的流程，掌握编程化的思想方法。
同时对两种方法的计算结果对比剖析，议论两种求积方法的计算精度。
复化梯形公式和复化Simpson公式
数值计算方法上机题目3一、计算定积分的近似值：221x e xe dx =⎰ 要求：（1）若用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算，要求误差限71021-⨯=ε，分别利用他们的余项估计对每种算法做出步长的事前估计；（2）分别利用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算定积分；（3）将计算结果与精确解比较，并比较两种算法的计算量。
1.复化梯形公式程序：程序1（求f （x ）的n 阶导数：syms xf=x*exp(x) %定义函数f （x ）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n 阶导数结果1输入n=2f2 =2*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(2*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的二阶导数,输入程序1里求出的f2即可。
f3='-(2*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，以便求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的二阶导数的最小值点，也就是求二阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/12*((b-a)/n)^2*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hTn1=0for k=1:n-1 %求连加和xk=a+k*hTn1=Tn1+f(xk)endTn=h/2*((f(a)+2*Tn1+f(b)))z=exp(2)R=Tn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用复化梯形算法计算的结果 Tn=')disp(Tn)fprintf('等分数 n=')disp(n) %输出等分数fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用复化梯形算法计算的结果 Tn= 7.3891等分数 n=7019已知值与计算值的误差 R= 2.8300e-0082. Simpson公式程序：程序1：（求f（x）的n阶导数）：syms xf=x*exp(x) %定义函数f（x）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n阶导数结果1输入n=4f2 =4*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(4*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的四阶导数，输入程序1里求出的f2即可f3='-(4*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，一边求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的四阶导数的最小值点，也就是求四阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/180*((b-a)/(2*n))^4*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hSn1=0Sn2=0for k=0:n-1 %求两组连加和xk=a+k*hxk1=xk+h/2Sn1=Sn1+f(xk1)Sn2=Sn2+f(xk)endSn=h/6*(f(a)+4*Sn1+2*(Sn2-f(a))+f(b)) %因Sn2多加了k=0时的值，故减去f(a)z=exp(2)R=Sn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用Simpson公式计算的结果 Sn=')disp(Sn)fprintf('等分数 n=')disp(n)fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用Simpson公式计算的结果 Sn= 7.3891等分数 n=24已知值与计算值的误差 R= 2.7284e-008用复化梯形公式计算的结果为：7.3891，与精确解的误差为：2.8300e-008。
复合梯形公式与复合辛普森公式对比
SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY之阳早格格创做题目称呼：复合梯形公式与复合辛普森公式对付比教死姓名:教死教号:班级:教院(系):目录1. 概括 (2)2. 问题提出 (3)3. 算法推导 (3)4. 算法框图 (4)4.1复合梯形公式算法过程图 (4)4.2 复合辛普森公式算法过程图 (4)5. MATLAB源步调 (5)6. 论断与预测 (6)图表目录图4-1 复合梯形公式算法过程图4图4-2 复合辛普森公式算法过程图4图6-1 MATLAB预计截止6表2-1函数预计截止表31.概括梯形供积公式战辛普森供积公式分别是牛顿-科斯特公式中n=1战n=2时的情形.其中梯形供积公式可表示为其公式左端是以[a,b]区间上积分，左端为b-a为下、端面函数值为上下底的梯形的里积值，故通称为梯形公式，具备1次代数透彻度.类似的，辛普森供积公式不妨表示为该公式普遍正在坐体几许中用去供拟柱体的体积，由于奇数n阶牛顿-科特斯供积公式起码具备n+1次代数透彻度，所以辛普森公式本质上具备3次代数透彻度.由于牛顿-科斯特公式正在n≥8时没有具备宁静性，故没有成能通过普及阶的要领去普及供积粗度.为了普及粗度常常可把积分区间分成若搞子区间（常常是平分），再正在每身材区间上用矮阶供积公式.那种要领称为复合供积法.本文主要计划复合梯形公式战复合辛普森公式正在共一数教问题中的应用.最先给出了复合梯形公式战复合辛普森公式的推导历程以及其余项的表白形式，而后用过程图的形式介绍算法思路，再使用MATLAB编写代码预计截止，末尾对付截止举止对付比计划.期视通过二个算法正在共一个算例中的应用对付比，更佳的明白战掌握复合梯形公式战复合辛普森公式的适用范畴战适用条件.而且不妨认识MATLAB编程供解问题的过程，掌握编程化的思维要领.共时对付二种要领的预计截止对付比分解，计划二种供积要领的预计粗度.2.问题提出对付于函数给出的函数表如下，试用复合梯形公式战复合辛普森公式预计积分.表21函数预计截止表x f(x)011/80.9973978670818221/40.9896158370180923/80.9896158370180921/20.9588510772084065/80.9361556367047403/40.9088516800311127/80.87719257398403110.8414709848078973.算法推导3.1复合梯形公式根据梯形公式，将区间区分为n等份，分面,,，正在每身材区间上采与梯形公式，则得：记则为复合梯形公式.其余，复合梯形公式的余项可表示为3.2 复合辛普森公式 根据辛普森公式 将区间区分为n 等份，正在每身材区间上采与辛普森公式.若记 则得 记该公式即为复合辛普森公式. 复合辛普森公式的余项可表示为4. 算法框图4.1复合梯形公式算法过程图4.2复合辛普森公式算法过程图启初供出步少h ，各节面及相映的各节面函数值供战sum,k=1,2,..n-1 中断输进区间断面a,b 及平分数n输出积分值启初输进区间断面a, b及平分数n供出步少h ，各节面，相邻节面中面及相映的函数值,k=1,2,..n-1 各节面函数值供战sum1, 各相邻节面核心面函数值供战sum2 k=1,2,..n-1输出积分值 中断 图 4-1 复合梯形公式算法过程图图 4-2 复合辛普森公式算法过程图5.MATLAB源步调%复合梯形公式及复合辛普森积分公式clear all;format long;a=0;b=1;n=8;h=(b-a)/n;%步少for i=1:n+1x(i)=a+(i-1)*h;if isnan(sin(x(i))/x(i))syms t;tmp=limit(sin(t)./t,t,x(i));%当被积函数正在某面值没有存留时，供其极限y(i)=eval(tmp);elsey(i)=sin(x(i))/x(i);%被积函数供节面的值endend%复合梯形公式及复合辛普森积分公式s1=0;for k=2:ns1=s1+y(k);endT8=h/2*(y(1)+2*s1++y(n+1))%复合辛普森积分公式s2=0;s3=0;for k=2:2:ns2=s2+y(k);endfor k=3:2:n-1s3=s3+y(k);endh1=2*h;%注：此时步少是本去的2倍S4=h1/6*(y(1)+4*s2+2*s3+y(n+1))fprintf('梯形积分公式：%6.6f\n辛普森公式积分：%6.6f\n',T8,S4)6.论断与预测图61MATLAB预计截止运止MATLAB步调，得到复合梯形供积公式的积分值为0.945691，复合辛普森供积公式的积分值为0.946083（四舍五进后死存6位小数）.而本质的积分准确值死存到6位小数的截止为0.946083.通过上述截止对付比不妨得出，虽然复合梯形公式将区间分成了8平分而复合辛普森公式将区间分成了4平分，但是二种预计要领本质皆需要使用9个面上的函数值，预计量基础也相共，然而最后粗度没有共却很大.正在死存6位小数的前提下，复合辛普森法预计截止与透彻解真足普遍，而复合梯形公式的预计截止却惟有前二位数字与透彻解相共，缺面相对付比较大.底下利用余项公式去预计二种算法的缺面.最先需央供的下阶导数.由于10sin ()cos()xf x xt dt x==⎰, 所以有1100()(cos )cos()2k kk k d k f x xt dt t xt dt dx π==+⎰⎰,于是1100011max ()cos()21k k k x k f x xt t dt t dt k π≤≤≤+≤=+⎰⎰. 进而复合梯形公式的缺面223801111()max ()()0.43410121283x h R f f x -≤≤''≤≤=⨯.而复合辛普森公式的缺面468111()()0.27110288045R f -≤=⨯. 进而，对付比二者可得，复合辛普森公式正在预计该问题时的粗度近下于复合梯形公式.通过以上分解，本文所得论断如下：1.复合梯形公式战复合辛普森公式皆不妨用去动做数值积分估算的代替公式.2.正在预计量基本相共的前提下，复合辛普森公式预计截止的预计粗度要比复合梯形公式预计粗度下的多.3.本算例也考证了辛普森公式动做奇数阶牛顿-柯特斯公式的更为透彻的代数粗度.闭于怎么样启展下一步钻研，提出以下构念：1.对付多个算例举止分解，包管预计量基本相共的情况下去比较预计粗度，考证复合辛普森公式具备更下粗度的论断.2.对付多个算例举止MATLAB编程分解，正在央供相共预计粗度的前提下去比较预计量的大小，进而分解复合梯形公式与复合辛普森公式的劣劣.参照文件[1]穆耶赛我·艾合购提,阿布皆热西提·阿布皆中力. 矫正复合梯形供积公式[J]. 尾皆师范大教教报(自然科教版),2016,06:1-4.[2]刘智颖,王背公,任威龙,龙耀萍. 辛普森公式的推广形式及应用[J]. 山东理工大教教报(自然科教版),2014,01:29-31. [3]陈凤忠. 辛普森公式的统一好[J]. 少秋理工大教教报(概括版),2005,03:59-60+80.[4]李庆扬, 王能超, 易大义. 数值分解.第5版[M]. 浑华大教出版社, 2008,12:106-109.。
第五章 复合梯形公式 复合辛普森公式 龙贝格公式比较
附录： 1）复合梯形公式 matlab 计算程序：
2）复合辛普森公式 matlab 计算程序：
3）龙贝格公式 matlab 计算程序：
已知 f ( x) 3x2 ， 1 f ( x) 2 ，分别用复合梯形公式、 复合辛普森公 式以及龙贝格公式计算该函数的值，比较其误差，问 n=？时 它们与精确值的误差在 10-5 之内。 解：用 matlab 进行编程，分别计算： 1）复合梯形公式 n=32 n=64 n=128 n=256 n=512 n=1024 2）复合辛普森公式 n=1 n=2 3）龙贝格公式 4 2 2.00390625000000 2.00097656250000 2.00024414062500 2.00006103515625 2.00001525878906 2.00000381469727
1复合梯形公式n32200390625000000n64200097656250000n128200024414062500n256200006103515625n512200001525878906n10242000003814697272复合辛普森公式3龙贝格公式以上计算说明用复合辛普森公式计算2次的结果比复合梯形公式计算1024次的结果还要精确龙贝格公式也经过计算2次之后就达到了其精确值
复化梯形公式和复化Simpson公式
数值计算方法上机题目3一、计算定积分的近似值：221x e xe dx =⎰ 要求：（1）若用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算，要求误差限71021-⨯=ε，分别利用他们的余项估计对每种算法做出步长的事前估计；（2）分别利用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算定积分；（3）将计算结果与精确解比较，并比较两种算法的计算量。
1.复化梯形公式程序：程序1（求f （x ）的n 阶导数：syms xf=x*exp(x) %定义函数f （x ）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n 阶导数结果1输入n=2f2 =2*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(2*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的二阶导数,输入程序1里求出的f2即可。
f3='-(2*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，以便求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的二阶导数的最小值点，也就是求二阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/12*((b-a)/n)^2*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hTn1=0for k=1:n-1 %求连加和xk=a+k*hTn1=Tn1+f(xk)endTn=h/2*((f(a)+2*Tn1+f(b)))z=exp(2)R=Tn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用复化梯形算法计算的结果 Tn=')disp(Tn)fprintf('等分数 n=')disp(n) %输出等分数fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用复化梯形算法计算的结果Tn= 7.3891等分数n=7019已知值与计算值的误差R= 2.8300e-0082. Simpson公式程序：程序1：（求f（x）的n阶导数）：syms xf=x*exp(x) %定义函数f（x）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n阶导数结果1输入n=4f2 =4*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(4*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的四阶导数，输入程序1里求出的f2即可f3='-(4*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，一边求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的四阶导数的最小值点，也就是求四阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/180*((b-a)/(2*n))^4*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hSn1=0Sn2=0for k=0:n-1 %求两组连加和xk=a+k*hxk1=xk+h/2Sn1=Sn1+f(xk1)Sn2=Sn2+f(xk)endSn=h/6*(f(a)+4*Sn1+2*(Sn2-f(a))+f(b)) %因Sn2多加了k=0时的值，故减去f(a)z=exp(2)R=Sn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用Simpson公式计算的结果 Sn=')disp(Sn)fprintf('等分数 n=')disp(n)fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用Simpson公式计算的结果Sn= 7.3891等分数n=24已知值与计算值的误差R= 2.7284e-008用复化梯形公式计算的结果为：7.3891，与精确解的误差为：2.8300e-008。
常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛普森公式。
)
2
k 1
f
( xk ) f
(b)
称为复化辛普森公式。
类似于复化梯形公式余项的讨论，复化辛普森公式的 求积余项为
Rs
b a h4 2880
f
(4) ( )
a,b
显然，复化辛普森公式是收敛且稳定的.
复化求积公式的余项表明，只要被积函数f(x)及所涉及 的各阶导数在[a,b]上连续，那么复化梯形公式、复化辛普
n1
求出积分值Ik,然后将它们累加求和,用 I k 作为所求积分I
的近似值。
k 0
I
b
n1
f ( x)dx
a k0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xk1 f ( x)dx n1 h
xk
k0 2
f ( xk ) f ( xk1)
h 2
f
(
x0
)
2(
f
(
x1
)
f (x2 ) ...
森公式所得近似值 Tn , Sn , Cn 的余项和步长的关系依次 为O(h2 ) 、O(h4 )、O(h6 ) 。因此当h→0 (即n→∞)时,Tn , Sn , Cn
都收敛于积分真值，且收敛速度一个比一个快。
例1 依次用n=8的复化梯形公式、n=4的复化辛普森公式计算
I
1 sin x dx
213等份时，用复化梯形公式计算误差不超过 1 105。
2
由于Tn 的求积系数为正，由定理2知复合梯形公式是稳定的.
4.3.2 复化辛普森公式及其误差
将积分区间[a,b]划分为n等分,记子区间 xk , xk1 的中点
复化梯形公式和复化Simpson公式
数值计算方法上机题目3一、计算定积分的近似值：221x e xe dx =⎰ 要求：（1）若用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算，要求误差限71021-⨯=ε，分别利用他们的余项估计对每种算法做出步长的事前估计；（2）分别利用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算定积分；（3）将计算结果与精确解比较，并比较两种算法的计算量。
1.复化梯形公式程序：程序1（求f （x ）的n 阶导数：syms xf=x*exp(x) %定义函数f （x ）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n 阶导数结果1输入n=2f2 =2*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(2*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的二阶导数,输入程序1里求出的f2即可。
f3='-(2*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，以便求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的二阶导数的最小值点，也就是求二阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/12*((b-a)/n)^2*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hTn1=0for k=1:n-1 %求连加和xk=a+k*hTn1=Tn1+f(xk)endTn=h/2*((f(a)+2*Tn1+f(b)))z=exp(2)R=Tn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用复化梯形算法计算的结果 Tn=')disp(Tn)fprintf('等分数 n=')disp(n) %输出等分数fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用复化梯形算法计算的结果Tn= 7.3891等分数n=7019已知值与计算值的误差R= 2.8300e-0082. Simpson公式程序：程序1：（求f（x）的n阶导数）：syms xf=x*exp(x) %定义函数f（x）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n阶导数结果1输入n=4f2 =4*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(4*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的四阶导数，输入程序1里求出的f2即可f3='-(4*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，一边求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的四阶导数的最小值点，也就是求四阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/180*((b-a)/(2*n))^4*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hSn1=0Sn2=0for k=0:n-1 %求两组连加和xk=a+k*hxk1=xk+h/2Sn1=Sn1+f(xk1)Sn2=Sn2+f(xk)endSn=h/6*(f(a)+4*Sn1+2*(Sn2-f(a))+f(b)) %因Sn2多加了k=0时的值，故减去f(a)z=exp(2)R=Sn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用Simpson公式计算的结果 Sn=')disp(Sn)fprintf('等分数 n=')disp(n)fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用Simpson公式计算的结果Sn= 7.3891等分数n=24已知值与计算值的误差R= 2.7284e-008用复化梯形公式计算的结果为：7.3891，与精确解的误差为：2.8300e-008。
复合梯形和复合辛普森MATLAB程序10页
复合梯形和复合辛普森MATLAB程序10页
复合梯形公式和复合辛普森公式都是数值积分方法中的常用方法。
本文将编写MATLAB 程序来实现这两种方法。
一、复合梯形公式
复合梯形公式是将被积函数在每个小区间内近似为一个梯形，再将这些梯形的面积相
加得到数值积分结果。
具体的，在区间$[a,b]$中，将其分成$n$个小区间，记每个小区间的长度为
$h=\frac{b-a}{n}$，则复合梯形公式的数值积分公式为：
$$
\int_a^bf(x)dx\approx \frac{h}{2}\sum_{i=1}^n(f(x_{i-1})+f(x_i))
$$
其中，$x_i=a+ih$，$i=0,1,\dots,n$。
将以上公式写成MATLAB代码：
function result=composite_trapezoidal(f,a,b,n)%f为被积函数,a,b为积分上下限，n为小区间数
h=(b-a)/n;
result=f(a)+f(b);
for i=1:n-1
x=a+i*h;
result=result+2*f(x);
end
result=result*h/2;
end
上述程序中，首先计算$h$，从而计算出$x_i$，然后使用循环遍历每个小区间内的中
点$x$，计算其所在梯形面积，并将所有梯形面积相加得到最终结果。
二、复合辛普森公式
最后需要指出的是，虽然复合辛普森公式的收敛速度比复合梯形公式快，但是当被积函数存在奇点或者发散点时，复合辛普森公式可能不收敛。
此时需要选择其他的数值积分方法来计算。
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数值分析实验 三班级：10信计2班 学号：59 姓名：王志桃 分数一·问题提出：选用复合梯形公式，复合Simpson 公式，计算（1） I =dx x ⎰-4102sin 4 ()5343916.1≈I（2） I = dx x x⎰1sin ()9460831.0,1)0(≈=I f（3） I = dx xe x⎰+1024（4） I = ()dx x x ⎰++10211ln二·实验要求：1.编制数值积分算法的程序2.分别用两种算法计算同一个积分，并比较计算结果3.分别取不同步长()/ a b h -=n ，试比较计算结果（如n = 10, 20等）4.给定精度要求ε，试用变步长算法，确定最佳步长三·实验流程图：复化梯形公式：输入 端点 a , b 正整数 n直接计算TN=h/2*[f(a)+2∑f(x k )+f(b)] k=1,2…,n-1输出 定积分近似值TN复化Simpson 公式输入 端点 a , b 正整数 n输出 定积分近似值SN（1） 置h=(b-a)/(2n)（2） F0=f(a)+f(b) ， F1=0 ， F2=0（3） 对j=1,2,…,2n-1循环执行步4到步5（4） 置x=a+jh（5） 如果j 是偶数，则F2=F2+f(x)，否则F1=F1+f(x)（6） 置SN=h(F0+4F1+2F2)/3（7） 输出SN,停机四·源程序：#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;#define n 20//此为步长double f1(double x){double y;y=sqrt(4-sin(x)*sin(x));return y;}double f2(double x){if(x==0)return 1;double y;y=sin(x)/x;return y;}double f3(double x){double y;y=exp(x)/(4+x*x);return y;}double f4(double x){double y;y=log(1+x)/(1+x*x);return y;}int main(){int j;double e=0.000001,h,F0,F1,F2,a,b,x,S;cout<<"利用复化Simpson公式求积分"<<endl;//1a=0;b=0.25*3.141592;h=(b-a)/(2*n);F0=f1(a)+f1(b);F1=F2=0;for(j=1;j<2*n;j++){x=a+j*h;if(j%2==0)F2=F2+f1(x);elseF1=F1+f1(x);}S=((F0+F1*4+F2*2)*h)/3;cout<<"第一个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl;//2a=0;b=1;h=(b-a)/(2*n);F0=f2(a)+f2(b);F1=F2=0;for(j=1;j<2*n;j++){x=a+j*h;if(j%2==0)F2=F2+f2(x);elseF1=F1+f2(x);}S=(F0+F1*4+F2*2)*h/3;cout<<"第二个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl;//3a=0;b=1;h=(b-a)/(2*n);F0=f3(a)+f3(b);F1=F2=0;for(j=1;j<2*n;j++){x=a+j*h;if(j%2==0)F2=F2+f3(x);elseF1=F1+f3(x);}S=(F0+F1*4+F2*2)*h/3;cout<<"第三个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl;//4a=0;b=1;h=(b-a)/(2*n);F0=f4(a)+f4(b);F1=F2=0;for(j=1;j<2*n;j++){x=a+j*h;if(j%2==0)F2=F2+f4(x);elseF1=F1+f4(x);}S=(F0+F1*4+F2*2)*h/3;cout<<"第四个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl<<endl;cout<<"利用复化梯形公式求积分"<<endl;//1a=0;b=0.25*3.141592;h=(b-a)/n;F0=f1(a)+f1(b);F1=0;for(j=1;j<n;j++){x=a+j*h;F1=F1+f1(x);}S=((F0+F1*2)*h)/2;cout<<"第一个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl;//2a=0;b=1;h=(b-a)/n;F0=f2(a)+f2(b);F1=0;for(j=1;j<n;j++){x=a+j*h;F1=F1+f2(x);}S=((F0+F1*2)*h)/2;cout<<"第二个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl;//3a=0;b=1;h=(b-a)/n;F0=f3(a)+f3(b);F1=0;for(j=1;j<n;j++){x=a+j*h;F1=F1+f3(x);}S=((F0+F1*2)*h)/2;cout<<"第三个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl;//4a=0;b=1;h=(b-a)/n;F0=f4(a)+f4(b);F1=0;for(j=1;j<n;j++){x=a+j*h;F1=F1+f4(x);}S=((F0+F1*2)*h)/2;cout<<"第四个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl;return 0;}五．实验结果六．实验心得：通过本次实验，我掌握了求数值积分的各种方法。
了解了数值积分精度与步长的关系，体验了各种数值积分方法的精度和计算量，也让我了解了三种积分公式的精度及其区别。
虽然复化梯形公式，运算简单，但是其结果不够精确。
复化Simpson 公式，比较复杂一点，但是其效果却比复化梯形公式的结果好的多。
Romberg 公式给我们求最佳步长的方法，通过其可以算出十分精确的值。