纠错编码作业
通信技术中的错误纠正编码方法
通信技术中的错误纠正编码方法在现代通信技术中，信息的传输往往会受到各种干扰和噪声的影响，从而导致传输中发生错误。
为了保证数据的可靠传输，人们研发了一系列的错误纠正编码方法。
本文将介绍通信技术中常见的错误纠正编码方法，包括海明码、卷积码和LDPC码。
我们来介绍海明码。
海明码是一种最早被广泛应用的错误纠正编码方法。
它通过在数据中增加冗余信息来检测和纠正传输中的错误。
具体而言，海明码将原始数据分成若干个片段，并为每个片段添加额外的校验位。
接收端在接收到数据后，通过计算校验位来检测是否存在错误，并根据校验位的结果进行错误的纠正。
卷积码是一种常见的错误纠正编码方法。
与海明码不同，卷积码利用了移位寄存器和异或逻辑门来生成冗余码。
在发送端，原始数据被分成连续的码片，并经过卷积映射成冗余码。
接收端则通过反馈移位寄存器和Viterbi算法来对传输中的错误进行纠正。
卷积码具有良好的纠错性能，在无线通信和卫星通信等领域得到广泛应用。
我们来介绍LDPC码，即低密度奇偶校验码。
LDPC码是一种基于奇偶校验矩阵的错误纠正编码方法。
它的特点是在编码过程中使用了稀疏的校验矩阵，从而使得译码时的运算量大大减小。
LDPC码通过在原始数据中引入冗余信息，并通过概率图模型和迭代解码算法来进行错误的纠正。
LDPC码在通信系统中表现出较好的纠错性能和误码率性能。
在实际应用中，以上三种错误纠正编码方法常常会结合使用，以提高数据传输的可靠性和纠错能力。
例如，在无线通信中，海明码和卷积码通常被用于物理层的信号处理，而LDPC码则常应用于数据链路层的纠错编码。
通过不同级别的编码和纠错处理，可以有效地提高数据的可靠性和抗干扰能力。
还有其他一些错误纠正编码方法，如重复码、置换码和分组码等。
这些编码方法各有特点，适用于不同的通信场景和需求。
在实践中，我们需要根据具体的应用场景选择合适的错误纠正编码方法，以保证数据的可靠传输和完整性。
总结起来，通信技术中的错误纠正编码方法在不断的发展与突破中，海明码、卷积码和LDPC码都是其中常见且重要的代表。
第9章 纠错编码
9.1 已知一个线性分组码的生成矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0111000110010010100101110001G 试求该码组的校验矩阵。
解：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000111010110100110110111101011110111000110010010100101110001 I P H P G T9.2 已知某系统汉明码的校验矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101101011100010111H试求其生成矩阵。
当输入序列为110101101010时，求编码器编出的码序列。
解：[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1101000011010011100101010001101111100111 100101101011100010111TIQ G Q H 将输入序列分三组分别是：1101 0110 1010 计算相应的码字：[][][][]1000110110100001101001110010101000101101001011110100001101001110010101000110112211=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡===⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==G m C G m C[][]11001011101000011010011100101010001010133=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==G m C 所以编出的码序列为：1101001 0110001 10100119.3 设线性分组码的校验矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=101110101100001110010010101011001001H 试求该矩阵的标准校验矩阵和生成矩阵。
解：[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡↔↔⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡↔↔⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10101000011000100000110010010010001001010000111010010011010000111 100011010010001001001010100000100111 101011000100100100010010010011100001101110000100001010010010100011001001101110101100001110010010101011001001 74327432933511TIQ G Q c c c c c c c cc c c c c c H9.4 已知(6,3)线性分组码的全部码字为110100 110011 011010 011101 101001 000111 101110 000000问该码能纠正单个错误吗？构造该码组的生成矩阵和校验矩阵。
第九章_纠错编码
差错控制
●差错控制系统
■前向纠错方式( FEC)：发送端发送具有纠错功能的码 , 接 收端收到这些码后，通过译码器不仅能发现错误 , 而且能 自行纠正错误。
FEC 发送
可以纠正错误的码
接收
■重传反馈方式( ARQ)：发送端发送具有检错功能的码 , 接 收端收到这些码后，译码器对发送的码进行判决 ,接收端将 判决的结果通过反馈信道告诉发送端 , 发送端将接收端认 为有错的消息再次发送 , 直到接收端认为正确为止 .
近世代数学初步
● 群的概念 ■定义1：G是一个非空集合，*是G中的一个代数运算，若 ◆1、封闭性：a , b∈G , 有 a * b ∈G ； ◆2、结合律：a , b , c∈G , 有(a * b) * c = a * ( b * c )； ◆3、存在单位元素 e∈G , a∈ G , 有 e * a = a * e = a ； ◆4、a∈G , 存在逆元素 a-1∈G , 有a-1 * a = a-1 * a = e； ◆5、交换律：a , b∈G , 有 a * b = b * a。 ■如果这种运算 * 满足： ◆条件1, 2, 3, 4则 G 称对代数运算为一个群，或称G为一 个非交换群； ◆条件 1, 2, 3, 4 , 5则称G为一个交换群或Abel群。
基本概念
● 例：试构造 (5 , 2) 线性分组码 , 且dmin = 3 信息组 m： 00 01 10 11 00000 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001 10010 10011 10100 10101 10110 10111 11000 11001 11010 11011 11100 11101 11110 11111 1组 2组 3组 4组 5组 6组 7组 8组 9组 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 01011 01011 01011 01101 01101 01101 01110 01110 01110 10101 10110 10111 10011 10110 10111 10011 10101 10111 11110 11101 11100 11110 11011 11010 11101 11001 11001
第12章纠错码答案
习题1.构造出所有长度为2的二进制编码，找出能检查出单错的编码。
是否存在纠正单错的编码，为什么？对长度为3的二进制编码，找出能纠正单错的编码。
解：长度为2的二进制编码有{00，10，01，11}；{00，10，01}；{00，01，11}；{00，10，11}；{10，01，11}；{00，10}；{00，01}；{00，11}；{10，01}；{10，11}；{01，11}；{00}；{10}；{01}；{11} 能检查出单错的编码是{00，11}；{10，01}，因为根据定理12.3 ：一个码C能查出不超过k个错误当且仅当d min(C)≥k＋1。
只有这两个编码的极小距为2，可查出单个错误，其它编码的极小距都小于2 根据定理12.4 一个码C能纠正k个错误当且仅当d min(C)≥2k＋1。
对长度为2的二进制编码，不存在纠正单错的编码。
同理，在所有长度为3的二进制编码中，能纠正单错的编码的极小距应大于等于3，这样的编码有{000，111}；{001，110}；{010，101}；{100，011}2.一个字长8位的码字在传输过程中要求两位出错的概率不超过10-3，求字母正确传输的概率。
解：设p表示一个字母在信道中正确传送的概率，那么，由于噪声干扰，产生错误传输的概率是q＝1-p。
一个n位的码字出现r个错误的概率是C n r p n-r q r，其中C n r是从n位中任取r位的不同组合数。
由题义知，应使C82p8-2（1－p）2≤10-3解得p即可。
3.给定码C＝{100111，111001，110010，101100}，求出码C中任两个码字的海明距离和码C的极小距d min(C)。
解：码100111，111001的海明距离是4，码100111，110010的海明距离是3，码100111，101100的海明距离是3，码111001，110010的海明距离是3，码111001，101100的海明距离是3，码110010，101100的海明距离是4；码C的极小距d min(C)为34.证明字长不超过2k的码不能纠k个错误，字长不超过k的码不能查k个错。
纠错编码-海明码
纠错编码-海明码⼀.海明码海明码只能发现双⽐特错误，纠正单⽐特错误⼆.⼯作原理“动⼀发⽽牵全⾝”，因为海明码是⼀个多重校验码，也就是码字中的信息码位同时被多个校验码进⾏校验三.⼯作流程1.确定校验码位数海明不等式2^r>=k+r+1,r为冗余信息位，k为信息位eg:要发送的数据为D=101101则数据的位数k=6满⾜的不等式最⼩r为4也就是D=101101的海明码应该有6+4=10位，其中原始数据6位，校验码4位2.确定校验码和数据的位置还是上⾯的那个例⼦D=101101，假设这4位校验码分别为P1，P2,P3,P4,数据从左往右为D1,D2...D6校验码必须是在2n次⽅位置，如第1、2、4、8、16、32,...位（对应2^0 2^1 2^2 2^3 2^4 2^5……，是从最左边的位数起的），这样⼀来就知道了信息码的分布位置，也就是⾮2n次⽅位置，如第3、5、6、7、9、10、11、12、13，...位（是从最左边的位数起的）即数据位12345678910代码P1P2D1P3D2D3D4P4D5D6实际值1011013.求出校验码的值D=101101⼆进制0001001000110100010101100111100010011010数据位12345678910代码P1P2D1P3D2D3D4P4D5D6实际值0010011101可以看出P1对应的⼆进制第⼀位为1（看⼆进制是⼏位的话就看最后⼀个数据位是⼏位⼆进制格式）可以发现D1，D2，D4，D5对应的⼆进制第⼀位也是1，则P1代码校验的数据为D1,D2,D4,D5令所有要校验的位异或=0（即同0异1）1 0 1 0p1（第1个校验位，也是整个码字的第1位）的校验规则是：从当前位数起，校验1位，然后跳过1位，再校验1位，再跳过1位，....。
这样就可得出p1校验码位可以校验的码字位包括：第1位（p2（第2个校验位，也是整个码字的第2位）的校验规则是：从当前位数起，连续校验2位，然后跳过2位，再连续校验2位，再跳过2位，……。
纠错编码技术
• 解调器输出二进制r，由于信道噪声影响， 发生的码字v可能不等于r，n位置某些位 不r同i ，vi , P(ri / vi ) p;
ri vi , P(ri / vi ) (1 p)
d (r , v)
两者距离，等价于码字发生错误个数， Why？
码字长度为n的分
组码
P(r / v) pd (r,v) (1 p)nd (r,v)
如何在噪声信道上实现可靠通信？ 为什么需要纠错编码（信道编码）？
常见的噪声信道1-模拟 线 （ADSL）
调制解调器
线
调制解调器
一根 受到其他 线干扰，硬件电路导致信号 失真，线路会产生加性热噪声
常见的噪声信道2-深空通信
伽利略号 飞船
无线电波
地球
伽利略号
飞船发射信号到达地球是非常微弱的信号，受到地面 和太空干扰源的背景辐射
MLD
• 假定接收为r，则译码器条件错误 概率为： P(E / r) P(vˆ v / r)
译码器错误概率为：
P(E) P(vˆ v / r)P(r) r
P(r)为接收序列为r的条件概率，其独立于译码规则。最优的译码规则应该对于每个r使P(E/r)最 小，也就是最大化P(v_hat=v/r), why?
常见的噪声信道3-细胞复制
父/母细胞
子细胞 子细胞
DNA会产生突变， 变异（恶劣环境产生的辐
射，污染）
常见的噪声信道4-计算机磁盘驱 动器
内存/硬盘/光盘
磁盘驱动器
内存/硬盘/光盘
磁盘驱动器通过将一小块磁介质校准到两个方向(1或0） ，磁介质小材料可能改变磁化方向，或者一个短时脉冲干 扰会导致数据读取电路读出错误值，磁盘运输或保存过程
信息论与纠错编码课后作业答案6
第6章习题参考答案6.6 解：（1）首先求联合概率矩阵111412611164121111264XYP ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦最大后验概率准则即最小错误概率准则，也等同于最大联合概率准则，因此，从联合概率矩阵的每一列中选联合概率最大的发送符号作为译码输出，因此将112233,,y x y x y x →→→此时正确译码概率为11223313()()()344c p p x y p x y p x y =++=⨯=错误概率为114e c p p =-=（2）当信源等概率分布时，极大似然准则等价于最大后验概率准则，因此从信道矩阵的每一列中取转移概率最大的一个发送符号作为相应接收符号的译码输出，即是最佳译码方案，因此将112233,,y x y x y x →→→此时正确译码概率为112233111()()()(3)322c p p x y p x y p x y =++=⨯⨯=错误概率为112e c p p =-=6.10 解：（1）(;)()()D R I X Y H Y H Y X ==- 设信源的四个消息等概率出现，则有0114p p ==，12e p =[]01101111111424222201qq ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦111()()log 2[()(1)2]10.50.5224D R H Y H Y X H H =-=-+⨯=-=bit/符号 （2）按照译码准则译码时，由于后两位始终译为ee ，与发送代码后两位始终相同，故不存在误码；前两位，由于1000→→，1111→→，也不存在译码错误，因此所有码字的错误概率均为0。
或由联合概率矩阵1041188104XYP ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 正确译码的概率为111(00)(11)()1442c p p x y p x y p ee ===+==+=++=（发送e 时始终可以正确译码），因此所有码字的错误概率为0。
《第15课编码的验证优化》作业设计方案-小学信息技术浙教版23四年级上册
《编码的验证优化》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在通过实践操作，使学生掌握基本的编码验证方法，理解编码优化的重要性，并能在实际编程中应用所学知识，提升编程能力和问题解决能力。
二、作业内容1. 理论学习：学生需认真阅读《编码的验证优化》课程教材，掌握编码的基本概念、验证的方法和优化的基本原理。
通过观看教学视频和教师课堂讲解，了解编码错误的原因和验证优化的步骤。
2. 实践操作：学生需完成一个简单的编码验证和优化任务。
首先，选择一个典型的小程序代码，该代码应包含常见的编码错误。
其次，学生需运用所学知识对代码进行验证，找出其中的错误并记录。
最后，学生应对代码进行优化，并比较优化前后的程序运行效率和稳定性。
3. 案例分析：学生需分析一个实际项目中的编码验证和优化案例，了解专业领域中编码验证优化的实际应用，并撰写分析报告。
三、作业要求1. 学生在完成作业时，应遵循教师提供的操作步骤和要求，确保作业的准确性和规范性。
2. 学生需认真阅读教材和观看教学视频，深入理解编码验证和优化的基本原理和方法。
3. 在实践操作中，学生应注重细节，仔细验证代码中的错误，并采取有效的优化措施，提高程序的运行效率和稳定性。
4. 案例分析报告应包含案例背景、问题分析、验证和优化过程、效果评估等内容，并附上相关截图或数据支持。
四、作业评价1. 教师将根据学生完成作业的准确性、规范性和创新性进行评价。
2. 教师将根据学生实践操作中的细节把握、问题解决能力和团队合作能力等方面进行评价。
3. 教师将根据学生案例分析报告的深度、广度和实用性进行评价。
五、作业反馈1. 教师将对每位学生的作业进行详细批改，指出存在的问题和不足之处，并提供改进建议。
2. 教师将在课堂上对优秀作业进行展示和分享，鼓励学生互相学习和交流。
3. 教师将根据作业评价结果，对学生的学习情况进行总结和反馈，为学生提供有针对性的学习建议和指导。
通过以上作业设计，旨在让学生在掌握编码验证和优化知识的同时，提高其编程能力和问题解决能力。
实验四 纠错码Hamming码编译码
实验四纠错码Hamming码编译码一、实验原理差错控制编码的基本作法是：在发送端被传输的信息序列上附加一些监督码元，这些多余的码元与信息之间以某种确定的规则建立校验关系。
接收端按照既定的规则检验信息码元与监督码元之间的关系，一旦传输过程中发生差错，则信息码元与监督码元之间的校验关系将受到破坏，从而可以发现错误，乃至纠正错误。
通信原理综合实验系统中的纠错码系统采用汉明码（7，4）。
所谓汉明码是能纠正单个错误的线性分组码。
它有以下特点：码长n=2m-1 最小码距d=3信息码位k=2n-m-1 纠错能力t=1监督码位r=n-k这里m位≥2的正整数，给定m后，既可构造出具体的汉明码（n，k）。
汉明码的监督矩阵有n列m行，它的n列分别由除了全0之外的m位码组构成，每个码组只在某列中出现一次。
系统中的监督矩阵如下图所示：其相应的生成矩阵为：汉明译码的方法，可以采用计算校正子，然后确定错误图样并加以纠正的方法。
表3.4.1 （7，4）汉明编码输入数据与监督码元生成表二、实验仪器1、JH5001通信原理综合实验系统一台2、20MHz双踪示波器一台3、JH9001型误码测试仪（或GZ9001型）一台三、实验目的通过纠错编解码实验，加深对纠错编译码理论的理解；掌握纠错编译码的实现和应用。
AS CVSD四、 实验内容准备工作：（1）首先通过菜单将调制方式设置为BPSK 或DBPSK 方式；将汉明编码模块内工作方式选择开关SWC01中，编码使能开关插入（H_EN ），ADPCM 数据断开（ADPCM ）；将输入数据选择开关KC01设置在m 序列（DT_M ）位置；设置m 序列方式为（00：M_SEL2和M_SEL1拔下），此时m 序列输出为1/0码。
（2）将汉明译码模块内输入信号和时钟选择开关KW01、KW02设置在LOOP 位置（右端），输入信号直接来自汉明编码模块；将译码器使能开关KW03设置在工作位置0N （左端）。
编码错误的纠正与报告流程
编码错误的纠正与报告流程在当今数字化的时代，编码成为了信息传递和处理的重要手段。
然而，由于各种原因，编码错误时有发生。
这些错误可能会导致系统故障、数据丢失、业务中断等严重后果。
因此，建立一套有效的编码错误纠正与报告流程至关重要。
一、编码错误的定义与分类编码错误是指在编写代码的过程中，由于程序员的疏忽、理解错误、逻辑漏洞或其他原因，导致代码无法按照预期的方式运行或产生不正确的结果。
编码错误可以分为以下几类：1、语法错误：违反编程语言的语法规则，如遗漏标点符号、拼写错误、括号不匹配等。
2、逻辑错误：代码的逻辑存在问题，导致结果不正确。
例如，循环条件错误、算法选择不当等。
3、运行时错误：在程序运行过程中出现的错误，如内存泄漏、数组越界、除数为零等。
4、接口错误：模块之间的接口不匹配或通信错误，导致数据传递或功能调用出现问题。
二、编码错误的发现途径1、代码审查代码审查是由开发团队成员对彼此的代码进行仔细检查，发现潜在的错误。
这可以在开发过程中的不同阶段进行，如在编写完成后、提交到代码库之前，或者在进行集成测试之前。
2、单元测试开发人员编写针对每个函数或模块的单元测试用例，通过运行这些测试用例来发现代码中的错误。
单元测试能够快速定位到具体的功能模块中的问题。
3、集成测试将各个模块集成在一起进行测试，检查模块之间的交互是否正常，是否存在接口错误或数据传递问题。
4、系统测试对整个系统进行全面的测试，包括功能测试、性能测试、兼容性测试等，以发现系统层面的编码错误。
5、用户反馈在产品上线后，用户在使用过程中可能会遇到问题并进行反馈，这也是发现编码错误的重要途径。
三、编码错误的纠正流程1、错误定位当发现编码错误后，首先需要确定错误的位置和类型。
可以通过调试工具（如断点调试、打印输出等）来跟踪代码的执行过程，查看变量的值和程序的流程，以确定错误发生的具体位置。
2、分析错误原因在定位到错误后，需要对错误的原因进行深入分析。
纠错编码方法
纠错编码方法
纠错编码是一种用于改正数据传输过程中发生的错误的方法。
它主要通过在原始数据中添加冗余信息来实现。
常见的纠错编码方法有以下几种：
1. 卷积码：利用线性移位寄存器的状态转移来生成编码序列，并通过异或运算添加冗余信息。
接收端利用Viterbi算法进行译码，从而实现纠错。
2. 海明码：通过在原始数据中添加奇偶校验位，实现纠错。
原始数据被划分为多个块，并在每个块中添加校验位。
接收端通过比较接收到的数据与校验位的奇偶性来判断和修复错误。
3. BCH码：是一种广义的海明码。
通过在原始数据中添加更多的冗余信息，实现更高的纠错能力。
4. RS码：是一种使用广义域的纠错码。
通过将数据划分为多个子块，并在每个子块中添加冗余信息，实现纠错能力和纠错范围的灵活处理。
5. LDPC码：是一种利用稀疏矩阵和图论的编码方法。
通过在原始数据中添加冗余信息，并建立检验矩阵，实现纠错。
这些纠错编码方法各有特点，应根据具体场景和需求选择适合的方法。
纠错编码可以大幅提高数据传输的可靠性，广泛应用于通信、存储等领域。
(完整版)数字通信原理第五章纠错编码习题解答
第五章 纠错编码习题解答1、已知一纠错码的三个码组为(001010)、(101101)、(010001)。
若用于检错，能检出几位错码？若用于纠错，能纠正几位错码？若纠检错结合，则能纠正几位错码同时检出几位错码？[解]该码的最小码距为d 0=4，所以有：若用于检错，由d 0≥e +1，可得e =3，即能检出3位错码； 若用于纠错，由d 0≥2t +1，可得t =1，即能检出1位错码； 若纠检错结合，由d 0≥e +t +1 （e >t ），可得t =1，e =2，即能纠正1位错码同时能检出2位错码。
2、设某(n ,k )线性分组码的生成矩阵为：001011100101010110G ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦①试确定该(n ,k )码中的n 和k ； ②试求该码的典型监督矩阵H ； ③试写出该码的监督方程； ④试列出该码的所有码字； ⑤试列出该码的错误图样表； ⑥试确定该码的最小码距。
[解] ①由于生成矩阵G 是k 行n 列，所以k =3，n =6。
②通过初等行变换，将生成矩阵G 变换成典型生成矩阵[]100101010110001011k G I Q ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦由于101110110011011101T Q P Q ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ＝＝，可知典型监督矩阵为 []110100011010101001r H PI ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝ ③监督方程为542431530000a a a a a a a a a ⊕⊕=⎧⎪⊕⊕=⎨⎪⊕⊕=⎩④所有码字见下表⑤错误图样表即错误图样与校正子关系表，见下表⑥线性码的最小码距为码字的最小重量（全零码除外），所以该码的最小码距为3。
3、已知一种(7,3)循环码的全部码组为：0000000 0101110 1001011 1100101 0010111 0111001 1011100 1110010试求该码的生成多项式g (x )、典型生成矩阵G 和典型监督矩阵H ；[解]由循环码的原理知，生成多项式g (x )对应的码字为前k -1位码元均为“0”的码字，即“0010111”，所以有g (x )=x 4+x 2+x +1则生成矩阵为2643253242()1011100()0101110()10010111x g x x x x x G xg x x x x x g x x x x ⎡⎤⎡⎤+++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 典型化可得典型生成矩阵[]100101101011100010111k G I Q ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦由于110101101111101110111101TQ P Q ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ＝＝，可得典型监督矩阵为 []1101000011010011100101010001r H PI ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝4、已知一个(3,1,4)卷积码编码器的输出和输入关系为：11212343134c b c b b b b c b b b ==⊕⊕⊕=⊕⊕试画出该编码器的电路方框图和码树图。
利用纠错编码进行差错控制的方式
利用纠错编码进行差错控制的方式
纠错编码是一种差错控制的方式，它利用冗余码来检测和纠正数据传输过程中的差错。
在数据传输过程中，可能会出现一些错误，例如比特翻转或丢失数据包等。
这些错误可能会导致接收方无法正确地解码和重建发送方发送的数据。
为了解决这个问题，纠错编码引入了冗余码，这些码可以在发送方添加到数据包中，以提供差错控制。
当接收方收到数据包时，它可以使用相同的冗余码来检测和纠正任何差错，从而确保数据的正确传输。
一种常见的纠错编码是海明码，它是一种多位冗余码。
海明码通过添加多个冗余位来实现差错控制，这些位记录了数据位中的奇偶性。
当接收方收到数据包时，它可以使用这些奇偶性来检测和纠正任何错误。
利用纠错编码进行差错控制的方式可以提高数据传输的可靠性
和稳定性，尤其是在数据传输距离长或传输环境复杂的情况下。
它已经广泛应用于通信、存储和计算机网络等领域。
- 1 -。
信息论编码与纠错课后作业答案3
第三章作业参考答案：3.2 答：（1）当log ()n D LH X ≥时，可实现无失真编码；（2）等长编码时，从总的趋势来说，增加L 可提高编码效率，且当L →∞时，1η→。
但不一定L 的每次增加都一定会使编码效率提高。
3.7 答：码1：其二次扩展码是奇异码，如u1u2和u5u1对应的码字均为010；码2：是唯一可译码，非奇异等长码是唯一可译码，且是即时码，平均码长为3；码3：是延长码，是唯一可译码，但不是即时码，平均码长为7149 3.0616i i i n p n ====∑ 码4：是非延长码，故是唯一可译码，也是即时码；平均码长为7149 3.0616i i i n p n ====∑码5：是树码，即非延长码，因此是即时码；平均码长为71212.6258i i i n p n ====∑；码6：是非延长码，因此是即时码；平均码长为7125 3.1258i i i n p n ====∑ 综上所述，码2~6均为唯一可译码，码2、4、5、6是即时码。
3.8 解：（1）由等长编码定理 ()log 42log log 2H X n LD ≥==位 （2）按概率进行编码，出现概率大的编短码，概率小的编长码取1234123311112222x x x x X P ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎣⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，将其（1/2）的幂次{1，2，3，3}依次取出作为每个符号的码长，即可得到紧致码。
此时1111()(,,,) 1.752488H X H ==bit/符号平均码长41 1.75i i i n p n ===∑编码效率()1log LH X n Dη==因此验证了上述编码方法得到的是紧致码。
3.14 解：（1）()(0.9,0.1)0.469H X H ==bit/符号 （2）信源序列平均长度80i i i l p l ==∑23780.110.90.120.90.130.90.140.90.180.98 2.596=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯= （3）平均码长880.91[10.9]4 2.7086n =⨯+-⨯=码元/符号（4）首先码长组合满足克拉夫特不等式，即841028221in i ---==⨯+=∑又该码为非延长码，故唯一可译。
rs纠错编码的仿真课程设计
rs纠错编码的仿真课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解RS纠错编码的基本原理，掌握其编码和译码的数学公式及步骤。
2. 学会使用仿真软件进行RS纠错编码的仿真实验，分析不同错误情况下编码的性能。
3. 了解RS编码在通信系统中的应用及其重要性。
技能目标：1. 能够运用所学知识，独立进行RS纠错编码的编码和译码操作。
2. 能够运用仿真软件设计简单的RS纠错编码实验，观察和分析实验结果。
3. 能够针对特定通信场景，选择合适的纠错编码方案，提高通信系统的可靠性。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对通信工程领域的兴趣，激发他们探索科学技术的热情。
2. 培养学生严谨的学术态度，树立良好的学术道德观念。
3. 增强学生的团队协作意识，提高沟通与表达能力。
分析课程性质、学生特点和教学要求，本课程目标旨在帮助学生掌握RS纠错编码的基本知识，培养他们在通信领域中的实际操作能力，同时注重培养学生的情感态度和价值观，使他们成为具有创新精神和实践能力的优秀通信技术人才。
通过本课程的学习，学生将能够达到以上具体的学习成果，为后续课程和实际工作打下坚实基础。
二、教学内容1. RS纠错编码基本原理：包括错误纠正理论、有限域理论基础、RS编码的数学描述。
- 教材章节：第三章“纠错编码”第5节“RS码及其应用”2. RS纠错编码的编码过程：介绍编码步骤、生成多项式、校验位计算等。
- 教材章节：第三章“纠错编码”第5节“RS码及其应用”3. RS纠错编码的译码过程：包括译码步骤、伴随式计算、错误位置与错误值检测等。
- 教材章节：第三章“纠错编码”第6节“RS码的译码”4. RS纠错编码的仿真实验：使用仿真软件进行实验，分析不同错误率下编码性能。
- 教材章节：第四章“仿真实验”第2节“纠错编码仿真”5. RS编码在通信系统中的应用：介绍RS编码在实际通信系统中的应用场景及作用。
- 教材章节：第五章“编码技术在通信系统中的应用”第1节“RS码在通信系统中的应用”教学内容按照以上安排进行，共计10个课时。
信息论编码与纠错课后作业答案.
⎪======
⎪⎩
1.5解:
(1求平稳后各状态出现的概率转移概率矩阵为
01434121414100P ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
由P列方程组
123
21231212312114431
441
p p p p p p p p p pp p ⎧=+⎪⎪
2{00,01,10,11}
X=,2{00,0,01,0,,1,10,1,11}
Y e e ee e e
=
22
22
22
22
(10(1(10000
0(10(1(1000
000(1(10(10
0000(1(10(1
p p p p p p
p p p p p p
P
p p p p p p
p p p p p p
---
⎡⎤
⎢⎥
---
⎢⎥
=
⎢⎥
---
⎢⎥
---
⎣⎦
(;((10.3270.673
I X Y H Y H Y X
=-=-=bit/符号
10秒钟可以传送0.6731000106730
⨯⨯=bit,故无法在10秒内无失真地传送。1.7解:
二元删除信道的信道矩阵为
10
01
p p
P
p p
-
⎡⎤
=⎢⎥
-
⎣⎦
,设输入符号集合为X={0,1},输出符号集合为Y={0,e,1}。
可写出转移概率矩阵
120
00001200000
12120
00
001200000
12121212p p p p p
纠错编码习题解答
纠错编码习题解答第一章1.1 Solution: p=0.05(1)The correct decoding P c is P c= P0 =C40p0(1-p)4=0.8145(2)The decoding error P e is P e = P2+P4 = C42p2(1-p)2 + C44p4(1-p)0 = 0.0135(3)The decoding failure P f is P f= C41p(1-p)3 + C43p3(1-p) = 0.17201.2 Solution:Because the success rate does not fall below 99%,then the decoding failure P f <1% .And p<<1, P f = P1 = n*0.001*0.999n-1 < 0.01So n<=10 .then the maximum blocklength n such that the success rate does not fall below 99% is 10.1.3 Solution: p=0.01P f = P2 = C42p2(1-p)2 = C42 * 0.012 * 0.992 = 0.000588So the decoding failure rate is 0.000588.1.4 Solution:(a)Error: There is one error(b)Correct(c)Failure(d)Error: There is two error1.5 Solution:S1 = v1+v2+v3+v4+v6+v8+v9+v12S2 = v2+v3+v4+v5+v7+v9+v10+v13S3 = v3+v4+v5+v6+v8+v10+v11+v144 12357811151.6 Solution(1)s=(0000) ~e = 0000 0000 0000 000~c= ~e+v1 = (000000000000000)+(100010011001001)= (100010011001001)(2)s=(1011) ~e = 0000 0001 0000 000~c= ~e+v2 = (000000010000000)+(001001110100110)= (001001100100110)1.7 Solution(1) v=(1011 110) s=(110)~e = (001 0000) ~c=(1001 110)(2) v=(1100 110) s=(100)~e = (0000 100) ~c=(1100 010)(3) v=(0001 011) s=(000)~e=(0000 000) ~c=(0001 011)第二章i j .2.2 Solution1 1 1 1 1 1 1 r1-r2 1 0 0 0 1 0 1G2= 0 1 1 1 0 1 0 r2-r3 0 1 0 0 1 1 1 = G10 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 00 0 0 1 0 1 1 r3-r40 0 0 1 0 1 1G1 is systematic form.And every liner coder is equivalent to a systematic linear codeSo the (7,4) linear codes generated by G1 and G2 equivalent.2.3 Solution(a) C 0 = (000) G = (000000) C 1 = (001) G = (001110) C 2 = (010) G = (010101) C 3 = (011) G = (011011) C 4 = (100) G = (100011) C 5 = (101) G = (101101) C 6 = (110) G = (110110) C 7 = (111) G = (111000)(b)If p=0 thenIf p=1 then2.4 SolutionBecause the (4,3) even-parity code is a linear code , The minimum distance d(C i ,C j )= W min = 2 The error detection limit is L=2-1=1The error correction is t=(2-1)/2=ly 0.2.5 Solution1 1 1 0 1 0 0 01 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 r4-r3-r2-r1 0 1 1 1 0 1 0 0 H= 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1So the systematic forms is 1 1 1 0 1 0 0 00 1 1 1 0 1 0 01 1 0 1 0 0 1 01 0 1 1 0 0 0 1Because H = [P T | I n-k] and G=[I k | P]Then G = 1 0 0 0 1 0 1 10 1 0 0 1 1 1 00 0 1 0 1 1 0 10 0 0 1 0 1 1 12.6 Solution1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 10 1 1 1 0 1 0 0 H T = 1 1 1 1H= 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 11 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 11 0 0 10 1 0 10 0 1 10 0 0 1第三章3.1 solutionBecause x3+1x4+x+1 x7+x3+1x7+x4+x3x4+1x4+x+1then q(x)= x3+1 and r(x)= xcheck answer : p1(x)q(x)+r(x)= (x3+1)( x4+x+1)+x= x7+x3+1 = p2(x) so the solution is correct.3.2 Solution(a) x3+x2+1x+1 x4+x2+x+1x4+x3x3+x2+x+1x3+x2x+1x+1R(x+1) (x4+x2+x+1) = 0(b) x3+x2+x+1x2+x+1 x5+x3+x2+x+1x5+x4+x3x4+x2+x+1x4+x3+x2x2+x+1x3+x2+xx3+x2x2+x+1xso R(x2+x+1) (x5+x3+x2+x+1) = x3.3 Solution(1) Systematic code :x3i(x)=x3(x3+x2+x+1)= x6+x5+x4+x3x3+x2+1x3+x+1 x6+x5+x4+x3x6+x4+x3x5x5+x3+x2x3+x2x3+x+1x2+x+1so q(x)= Q g(x) (x3i(x)) = x3+x2+1r(x)= R g(x) (x3i(x)) = x2+x+1then c(x)= x3i(x) +r(x)= x6+x5+x4+x3 +x2+x+1or c(x)=q(x)g(x)=( x6+x5+x4+x3)( x3+x+1) = x6+x5+x4+x3 +x2+x+1(2)Nonsystematic code :C(x)=i(x)g(x)=( x3+x2+x+1)( x3+x+1)= x6+x5+x3+13.4 SolutionWhen the codeword polynomials is x6+x3+x2+xThen s(x)= R g(x) (c(x)+e(x))= R g(x) (x6+x3+x2+x+x3)= R g(x) (x6+x2+x)x3+x+1x3+x+1 x6+x2+xx6+x4+x3x4+x3+x2+xx4 +x2+xx3x3+x+1x+1so s(x)= R g(x) (c(x)+e(x))= x+1When the codeword polynomials is x5+x3+x2The s(x)= R g(x) (c(x)+e(x)) = R g(x) (x5+x3+x2+x3)= R g(x) (x5+x2)x2 +1x3+x+1 x5+x2x5+x3+x2x3x3+x+1x+1so s(x)= R g(x) (c(x)+e(x))= x+1so the resulting syndrome polynomials are the same .3.5 Solution(a)The number of cyclic codes with blocklength 15 isC51+C52+C53+C54 =5+10+10+5=30(b)The number of (15,11)cyclic codes is 3 .when g(x)= x4+x+1 or g(x)= x4+x3+1 or g(x)= x4+x3+ x2+x+1 (c)The generator polynomials for the (15,7) cyclic codes isg1(x) =(x4+x+1)(x4+x3+1)=x8+x7+x5+x4+x3+x+1g2(x) =(x4+x+1)(x4+x3+ x2+x+1)=x8+x7+x6+x4 +1g3(x) =(x4+x3+1)(x4+x3+ x2+x+1)=x8+x4+x2+x+13.6 SolutionThe parity-check polynomial h(x)=( x15+1)/g(x)And g(x) = x10+x8+x5+x4+x2+x+1x5+x3+x+1x10+x8+x5+x4+x2+x+1 x15+1x15+x13+x10+x9+x7+ x6+x5x13+x10+x9+x7+x6+x5+1x13+x11+x8+x7+x5+ x4+x3x11+x10+x9+x8+x6+ x4+x3+1x11+x9+x6+x5+x3+ x2+xx10+x8+x5+x4+x2+x+1x10+x8+x5+x4+x2+x+1So h(x)= x5+x3+x+1h*(x)= x5(x-5+x-3+x-1+1)= x5+x4+x2+1So the blocklength of the cyclic code that is dual to the (15,5) codeis 15 and the information length is 15-5=10第四章4.1 Solution p(x)= x5+x4+x32q(x)=x5+x3+1 g(x)=x3+x2+x+1 r(x)= x2+x+1so q(x)g(x)+r(x)=( x5+x3+1)( x3+x2+x+1)+( x2+x+1)= x3(x5+x4+x)=x r p(x)4.2 Solution g(x)= x4+x3+13f2f210in fq(x)=x r(x)= x2+x+1So q(x) g(x)+r(x)= x(x4+x3+1)+( x2+x+1)=x5+x4+x2+1=p(x)4.3 Solution r(x)= R g(x)[x8i(x)]=R(x8+x4+x+1)[x8(x5+x2+1)]x5+x2+x+1x8+x4+x+1 x13+x10+x8x13+x9+x6+x5x10+x9+x8+x6+x5x10+x6+x3+x2x9+x8+x5+ x3+x2x9+x5+x2+xx8+x3+xx8+x4+x+1x4+x3+1so r(x)= x4+x3+1then the codeword is 010010100011001.4.4 Solutiong(x)g(x)n-k4.5 SolutionLow-order input i(x)=x8+x6+x+1 with g(x)=x4+x+1c(x)=x12+x10+x5+x4 +x3+x2+14.6 Solutionv(x)=x6+x4+x3+x2s(x)=R g(x)[v(x)]= x+1e(x)=x4So c(x)=v(x)+e(x)=x6+x3+x2第五章5.1 Solution(a)No. Because this set does not have a unique identity element. (b)No. Because this set does not have a unique inverse. (c)Yes.(d)No. Because this set does not satisfy the property of closure.5.2 Solution x 属于{0，1,2,3,4,5}5.3 SolutionModule-5 multiplication5.4 SolutionModulo-5 arithmetic(a)2*7+6=2*2+6=4+6=4+1=0(b)(4-8)*3-2=(4+2)*3-2=1*3-2=1(c)(3+6)/2-4/3=4*3-4*2=2-3=2+2=4Modulo-7 arithmetic(a)2*7+6=2*0+6=6(b)(4-8)*3-2=(4+6)*3-2=3*3-2=2-2=0(c)(3+6)/2-4/3=2*4-4*5=1-6=1+1=25.5 SolutionBecause (01010)+(10110)=(11100)(10011)+(10110)=(00101)(11001)+(10110)=(01111)do not belong to any one of the set of vectors.So the set of vectors does not form a vector subspace of V5.5.6 SolutionThe three vectors are (00101),(11100)and (01111)10 Take any 2 linearly independent vectors ,say (01010).(10110) as the initial set of vectorswhich is not a basis of the given subspace.20 Of the remaining 5 nonzero vectors (11100)=(01010)+(10110) is linearly dependent on the 2 vector already in the set .Any one of the remaining 5 nonzero vectors except (11100) can be appended to the initial set.30 Taking ,say, (00101) as the 3rd basis vector we find all the vectors with in the subspace.123because there are 3 basis vectors.5.7 SolutionBecause r=n-k=k the code is (8,4), then it satisfy this law.Because a self-dual code should satisfy H=G.G = [I k|P]1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0H = [P T|I n-k]= 0 1 1 1 0 1 0 0 r1+r2 1 0 1 0 0 1 1 01 1 0 1 0 0 1 0 r2+r30 1 1 0 0 0 1 11 0 1 1 0 0 0 1 r3+r4 1 0 1 1 0 0 0 10 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1r1+r4 1 0 0 0 1 0 1 0 r4+r1+r2 1 0 0 0 1 0 1 1r2+r1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0r3+r3 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 11 0 0 0 1 0 1 10 1 0 0 1 1 1 0 =G0 0 1 0 1 1 0 10 0 0 1 0 1 1 11 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0PP T= 1 1 1 0 0 1 1 1 = 0 1 0 0 = I1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 00 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1So the (8,4) code with generator matrix is self-dual.第六章6.1 Solution(1)p1(x)=x4+x3+x+1(a) p1(1)=1+1+1+1=0Then p1(x) is not irreducible.(b) p1(x) is not primitive.(2) p 2(x)= x 2+x+1 (a) p 2(0)= p 2(1)=1Then p 2(x) is irreducible.(b)Image a 2+a+1=0 ,then a 2=a+1 a is a root and a ∈GF(22) So p 2(x) is primitive. (3) p 3(x)= x 3+x 2+1 (a) p 3(0)= p 3(1)=1.Then p 2(x) is irreducible.(b) Image a 3+a 2+1=0 ,then a 3=a 2+1 a is a root and a ∈GF(23) So p 3(x) is primitive.6.2 SolutionImage a 2+a+1=0 ,then a 2=a+1 The field elements of GF(22) P(0)=0+0+1=1 P(1)=1+1+1=1P(a)= a 2+a+1= a+1+a+1=0 P(a 2)= a 4+a+1= (a+1)2+a+1=0So the root of p(x)=0 are x=a and x=a 26.3 SolutionWhen β3+β2+1=0 then β3=β2+13When β3+β+1=0 then β3=β+1 The field element of GF(23)Xx3+x2+1 is the same as that constructed using x3+x+1 ,they differ only in the way in which elements are labeled.6.4 SolutionTo m1(x)=x5+x2+1m1(0)=1 , m1(1)=1 , m1(α)= α5+α2+1=α2+1+α2+1=0So the minimal polynomials of αis m1(x)=x5+x2+1To m3(x)=x5+ x4+x3+x2+1m3(0)=1 ,m3(1)=1 ,m3(α)= α5+α4+α3+α2+1=α2+1+α4+α3+α2+1=α4+α3m3(α2)= α10+α8+α6+α4+1=(α4+1)+( α3+α2+1)+(α3+α)+ α4+1=α2+α+1m3(α3)= α15+α12+α9+α6+α3=(α4+α3+α2+α+1)+( α3+α2+α)+( α4+α3+α)+( α3+α)+1=0So the minimal polynomials of α3 is m3(x)= x5+x4+x3+x2+16.5 Solution(1) Over GF(24)1 α4 x α5α5 α2 y = α3Then x = 14 -1α5 = (1/α11) α2 α4α5y α5 α2 αα5 1 α3= (1/α11) α2 *α5+α4*α3α5 *α5+1 *α3=(1/α11) 0 = 0α12 α[α2 *α5+α4*α3=α7+α7 =0α5 *α5+1 *α3=α10+α3= (α2+α+1)+ α3=α12]so the linear equations have a solution x=0 over GF(24)y=α(2) Over GF(23)Simplify the linear equations x+(α2+α)y=(α2+α+1)(α2+α+1)x+α2y=(α+1)Then the linear equations have a solution x=1 over GF (23y=1。
《第15课编码的验证优化》作业设计方案-小学信息技术浙教版23四年级上册
《编码的验证优化》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课作业设计的目标是帮助学生：1. 加深对编码基本概念的理解，掌握基本的编码规范；2. 培养学生在实际操作中检验编码是否正确的能力；3. 提升学生的逻辑思维和解决问题的能力，通过对编码的验证和优化，提高编程的效率。
二、作业内容本课作业内容主要围绕编码的验证与优化展开，具体包括：1. 编写一段简单的代码（如加减法运算），并要求学生使用调试工具进行验证，确保代码能够正确执行；2. 引导学生学习基本的编码规范，如变量命名、代码缩进、注释添加等，并要求学生对自己的代码进行优化，使其更符合规范；3. 让学生尝试对已有的代码进行小范围的修改，如增加一个功能或优化算法，然后再次验证修改后的代码是否正确且高效。
三、作业要求为确保学生能够顺利完成作业并达到预期效果，特提出以下要求：1. 代码编写要规范，遵循一定的命名和缩进规则，适当添加注释；2. 验证过程要详细记录，包括遇到的问题、解决方法和最终结果；3. 优化部分需有明确的思路和具体的实施步骤，并说明优化后的效果；4. 作业需独立完成，不得抄袭他人代码；5. 按时提交作业，并附上详细的完成情况和自我评价。
四、作业评价作业评价将根据以下标准进行：1. 代码的正确性：是否能够正确执行预期功能；2. 编码的规范性：是否符合基本的编码规范；3. 验证与优化的过程：是否详细记录了验证和优化的过程；4. 创新性：是否在原有基础上进行了有意义的改进或创新。
教师将根据学生的作业完成情况给出相应的评价和指导建议。
五、作业反馈作业反馈是提高学生编程能力的重要环节，教师将在课堂上对学生的作业进行点评和讨论，针对存在的问题进行指导，对优秀的作品进行表扬和分享。
同时，教师还将根据学生的反馈调整后续的教学计划和作业设计，以更好地满足学生的学习需求。
六、总结本课作业设计旨在通过编码的验证与优化实践，提高学生的编程能力和逻辑思维能力。
通过规范化的编码实践、详细的验证记录和创新的优化思路，学生将能够在实践中不断成长，为后续的编程学习打下坚实的基础。
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1. 信息在传输过程中发生错误，常见的错误类型有哪三种？
2. 在数字通信系统中，常用的控制差错的方式有哪三种？
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4. 纠错编码按照功能分，可分为哪三种？
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6. 集合{0,1,2,
,5}在模5加法和乘法下构成域，对吗？
7. 有限域的特征值是一个素数，对吗？ 8. 有限域()GF q 中本原元的阶为多少？
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10. 设S 是(2)GF 上所有5维向量的向量空间的一个3维子空间，则它的零空间的维数为多少？
11. 某线性分组码的最小距离为3，该码只能检查不多于2位的错误，无法检查
多于3位的错误，对吗？
12. 某线性分组码的最小距离为5，码字传输时如果发生3位错误，一定无法纠
正，对吗？ 13.
令
为基于本原多项式25()
1p x x x 构造的5(2)GF 上的一个本原
元，则5
的多项式表示式为多少？
14. (2)
GF 上的两个多项式
457()1f x x x x x 和
3()1g x x x ，则()f x 除以()g x 的余式为多少？
15. 已知某线性分组码的生成矩阵为10001110100101
00100110001110
G
，当输入消息(0101)时，对应的编码输出为多少？
16. 已知某分组码的校验矩阵为10001110100101
00100110001110
G
，则有多少位信息位？多少个码字？
17. 已知某线性系统码的校验矩阵为10001110100101
00100110001110
G
，则该码的生成矩阵为多少？
18. 构造（15,11）汉明码的一个奇偶校验矩阵。
19. 利用（15,11）汉明码，构造一个最小距离为4的缩短汉明码的一个奇偶校验
矩阵。
20. 构造基于本原多项式34()
1p x x x 构造4(2)GF 的表，列出每个元素
的幂，多项式和向量表示。
21. 某（5,2）线性系统分组码的校验矩阵为10011
010*******
H
，求 （1）该码的生成矩阵G ； （2）该码的标准阵；
（3）判断是否为完备码； （4）当接收(10111)v
，求出发出的消息u ；
22. 已知（7,4）线性分组码的生成矩阵为10001110100101
00100110001110
G
，求 （1）该码的校验矩阵H ；
（2）写出该码的对偶码的全部码字； （3）简化译码表； （4）当接收(1000101)v
，求出发出的消息u ；
23. 考虑（7,4）循环汉明码，生成多项式为3()1
g x x
x ，求
（1）该码的校验多项式()h x ；
（2）该码的对偶码的生成多项式；
（3）找出该码系统形式的生成矩阵和校验矩阵； （4）画出编码电路； （5）画出校正子电路；
24. 读懂以下matlab 程序代码
function v = decode74(r)
%（7,4）码的校正子译码,r为待译码的序列（可多行）
H = [1 0 0 1 0 1 1;0 1 0 1 1 1 0;0 0 1 0 1 1 1];
ps = [zeros(1,7); eye(7)];%陪集首
s0 = checkcode(ps,H); %与陪集首ps对应的校正子
[m,n] = size(r);
v = zeros(m,n);
s1 = checkcode(r,H); %接收序列计算的校正子2
for i = 1:m
k = 0;
for j = 1:8
if s1(i,:) == s0(j,:) %检索校正子2在s0中的位置
k = j;
end
end
v(i,:) = mod(r(i,:)+ps(k,:),2);%根据k确定对应的错误模式并译码end
function s = checkcode(r,H)
%计算n维向量r(可以多行)的校正子，H是校验矩阵
s = mod(r*H',2);。