直线方程在对数坐标系中如何表示

直线方程在对数坐标里该如何表达

在直角坐标里，如XY轴为指数关系，方程式将如何表示？

两个例子，第二个在两边都是直线。

这里有个概念：对数坐标系也是直角坐标系，不是XY轴是对数关系，而是坐标轴的长度和它所表示的物理量之间的关系是对数关系。

比如人耳朵听声音20Hz~20000Hz，要按等分刻度，就很难兼顾，还好人生了两只对数耳朵。对音调和响度的感受都是对数关系，比如频率升高一倍，感觉音调上了一个8度。这就好办了。如果要问，钢琴有几个8度音？从低音A2=27.5Hz开始有7~8个。画图表示：

这图只表示了5个8度音，如要表示8个8度音，横坐标还要延长8倍。最好用对数坐标，这里主要横坐标取对数，纵坐标不变，叫做半对数坐标。

而且曲线还变成直线了。很好。但是楼主问的是原来的直线方程怎么表示了？

这是一种坐标变换。旧坐标系f是等分的，新坐标系的x=lgf

那么和几个8度的数目y什么关系？

在新坐标系里是直线方程，如果以A2=27.5Hz为基准，不难得到方程是：

0.3010y+1.439=x

在旧坐标系呢？

把x=lgf代入即可：

0.3010y+1.439=lgf

显然，这是个对数方程。所以说人耳是对数耳朵……如果旧坐标系是直线方程，y=kf+b ，到了半对数坐标系是什么曲线？

还是坐标变换：由x=lgf 得：f=10x代入直线方程：

y=k10x+b

变成指数方程了。

如果XY都是对数坐标怎么样？

也是一样变换的。例如上述的两个方程，

新坐标u=lgx v=lgy 即x=10u y=10v

方程1 y=3x+5

变换成10v =3×10u +5 这是个指数方程；

方程2 y=3x

变换成e v =3×10u

化简可得：v=0.4771+ u 还是个直线方程如下图：