非线性四阶周期边值问题正解的存在性和多重性

（） １
（） ２
其 中 厂∈ Ｃ（０ １ ［ ， ｏ ） ， ｃ（０ １ ，ｏ １） ａ ∈ （ 。 ， ｃ ） 常数 ． ［ ，７× Ｏ ＋ 。 ）ｒ∈ ［ ，］ Ｅ ，］ ， ， 一 。＋ ｘ 为 ３
Ｐ ＶＰ １ 一（ ） 述 了弹性 梁在周 期 边界 条件 下 的平 衡 态． Ｂ （） ２描 由于 其 在物 理 和数 学领 域 的重 要作 用 ，
正解 ， 指 满 足方 程 （ ） 是 １ 及边 界条 件 （ ） 并 且 （）＞ ０ ｔ∈ ［ ，］． ２， ￡ ， ０１ 记 Ｊ Ｏ １ 一 （ Ｃ ， 。 ），碾 一［ ，１， 一 × ＋ 。 ３ 一Ｅ ， 。 ） 首 先 ， ａ ａ ａ和 Ｌ ｉ 建 立 了 四 阶 算 子 ０ ＋ 。． Ｃｂｄ ｏｓ Ｅ
第２ ７卷 第 ５期
２１ 年 ｌ ０１ Ｏ月
大 学 数 学
ＣＯＬＬＥＧＥ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ７ № ． １２ ， ５
Ｏｃ ． ０１ ｔ２ １
非 线 性 四阶周 期 边 值 问题 正 解 的存 在 性 和多 重 性
．
杨 和
（ 北师范大学 数 学与信息科学学院 ， 肃 兰州 ７０７） 西 甘 ３０ ０
［ 稿 日期 ］ ２ ０—２２ 收 ０ ８１—２
３ ４
大 学 数 学
Hale Waihona Puke 第２ ７卷 一一
ｌ ｆ ｎ＿ ｉ ｉ ， ｍ ｎ ｍｉ
Ⅱ Ｏ 十 ｔ Ｉ Ｅ
—
，
７ 一ｌ ｐ ｘ 。 ｉ ｓ ， ｍ ｕ ｍａ ＿
＂ ０ 斗 ＋ ｔ 』 Ｅ
，
．
ｌ ｆ ｎ ｉ ｉ ｍ ｎ ｍｉ
种不 同的 四阶边值 问题 ［ ． 文研 究 四 阶常微分 方程 周期 边值 问题 （ Ｂ ） １本 ］ Ｐ ＶＰ ：
“ （） ￡ 一 （） 口 ｆ 一ｆ ｔ ｒ ｆ） ， ｔ ［ ，３ ｔ ＋ （） （， （） ） （ ∈ ０１，
‘ ０ （ ）一 ‘ １ ， ｉ １ ２ ３， （ ） 一 ， ，
“ ＋。 一 。 ｔ Ｅ “
，
—ｌ ｕ ｘ￡ ｉ ｓｐ ｍ ｍａ
“ ＋∞ 一 ｔ Ｉ ６ Ｕ
一
因此 ， 文献 ［］ 很大程 度 上推 广 了 文献 ［ ，］ ５在 ３ ４ 的结 论． 近 ， 献 Ｅ３ 文 献 ［ ］ 最 文 ６在 ５ 的基 础 上 当 ＞ ａ，
＞ ａ时 ， 加序 条件 增
（） ＜ ＜（＋丌 ，８－丌 ＋ ＋ ＞ ． Ｐ 。 ０ ａ 导 ２） ＞ ２ ， ： １ ｏ ２
若 下列 条 件之 一成 立 ：
（） ｉ ＜ 口， ＞ ａ ； （ ）ｆ ＞ 口 ， ｉ ｏ ｉ ＜ ａ，
则 Ｐ ＶＰ １ 一 （ ） Ｂ （ ） ２ 至少 有一 个正 解． 这里
Ｌ 一 “ ＋ ａ 在周 期边 界条 件下 的极 大值 原理 ， 运用 该 极大值 原 理证 明 了周 期边 值 问题
ｆ“ （）＝ｆ ｔ“ ￡） ｔ Ｅ ，］ ＝ （， （） ， ∈ ｏ １ ， ＝
Ｉ“ （ ） ’Ｏ 一 “ （ ） ｉ １ ２ ３ １ ， 一 ， ，
［ 中图分类号］Ｏ１ ５ １ ７．５
［ 文献标识 码］ Ａ
［ 文章编号］１ ７—４ ４ ２ １ ） ５０ ３ —６ ６２１ ５ （０ １０ —０ ３０
１ 引
言
在数 学 上 ， 弹性梁 的平衡 态 是通 过 四阶边 值 问题来 描 述 的． 据 梁 两端 支 撑 条 件 的不 同 ， 引 出各 根 会
（ Ｈ ）存 在 Ｐ＞ ０ ０＜ ＜ １ 使 得 ｆ ｔ ， ， （， ）＜ ａ ｐ， ｔ ， Ｊ Ｅ
当 厂 ＜ ａ， 。 ＜ 口时 ， ０ ｆ。 增加 序条 件 （ ）存在 Ｐ＞ ０ ０＜ 口＜ １ 使 得 ｆ ｔ Ｈ２ ， ， （， ）＞ ａ ｐ， ｔ ， Ｉ Ｅ
≤ ≤ Ｐ；
≤ ≤ Ｐ ，
证 明了 Ｐ ＶＰ １ 一 （ ） Ｂ （ ） ２ 至少 有两 个正解 ， 广 了文 献 ［ ］ 推 ５ 的结论 ． 受文 献［ ，］ ５ ６ 的启 发 ， 文在 ｆ ｔ 本 （， ）变 号且下 有界 的情 形下 ， 先运 用锥 上 的不动点 指数 理论 证 明了 当 ｆ ｔ （， ）在其 定义 域 中某 些有 界集 合上 增
该 问题 已被许 多作 者研究
． 在 实际应 用 中， 但 只有其 正解 才有 重要 意义 ． 文运 用锥 上 的不 动点 本
指数理 论研 究 Ｐ ＶＰ １ 一（ ） 解 的存在 性 ， Ｂ （） ２正 多重 性和 不存 在性 ． 称 ∈ Ｃ Ｅ ，］是 Ｐ ＶＰ １ 一 （ ） ｏ １ Ｂ （ ） ２ 的
解 的存 在性 和上 下解 单调 迭代 方法 的有 效性 ． 文献 Ｅ － 立 了四阶算 子 Ｌ 一 一 ５１ 建 “ 存在 性 ， 即 定理 Ａ 设 ｒ 三 ｔ， × （） ｆ： 一 连续， ， ∈ ａ 满足 条件
＋ ａ 在 周期 边
界 条件 下 的极 大值 原 理 ， 且运 用锥 上 的不动 点 指数 理论 证 明 了当 ｒ 并 （）三 ｔ Ｐ ＶＰ（ ） （ ） 时 Ｂ １ 一 ２ 正解 的
［ 摘 要］研究 了四阶两参 数常微分方程周期边值问题
ｆ“ （） 卢 ￡ ＋ ａ （）一 ｆ ｔ“ ｒ ） ， ｔ Ｅ ，３ 一 “ （） “ ￡ （， （（） ） ∈ ０ １，
ｌ 【
“ Ｏ “ （ ）＝ “ １ ， ｉ一 １ ２， “（ ） ， ３
正解 的存 在 性 、 重性 和不 存 在 性 ． 非 线 性 项 ｆ ｔ“ 变 号 的 情 形 下 ， 锥 上 的 不 动 点 指 数 理 论 证 明 了 该 问 多 在 （， ） 用 题 至 少 个 甚 至 无 穷 多 个 正 解 的 存 在 性 ， 且 获 得 了 该 问 题 正 解 的不 存 在 性 定 理 ． 并 ［ 键 词 ］ 存 在 性 ； 重 性 ； 穷 多 个 正 解 ； 存 在 性 ； 号 非 线 性 项 关 多 无 不 变