不考虑交互作用的正交试验设计041019200448

的 各 列 的 平 方 和 。 SS eSS STS SSA 是B 误 差 平 方 和 。 可 以 证 明 ，
分别是表 头为
A, B,
m
SST SS ，即总j 平方和等于各列的平方和之和，所以， SSe 也就是空白列的平方和 j1
之和。
fT n 1 是 总 自 由 度 ， f f A r B 1 是 各 因 子 的 自 由 度 ，
；若因子 的
作
A
位置会有一个向右的偏移。
若因子 B 的作用不显著，则
F
B
MS B MSe
～ F( f B, f ) e
B
；若因子 的作用显著，
则
FB 的值会偏大，统计量 FB 的分布，相对于 F( f , f ) 分布B 来e说，峰值的位置会有一
个向右的偏移。
所以，像在方差分析中一样，只要给定显著水平 ，就可以用 F 分布检验因子 A, B, 的作用是否显著。
W
W
到与这一列中各水平对应的均值 X
1j

1j
nr
,
X2j
2j
nr ,
,X
rj
rj n r
。
然后，从
X 1,jX , 2 j , X r j 出 发 ， 求 出 这 一 列 的 平 方 和
SS j
n r
r i1
(X
ij
X
)2 ，
其中，X

1 n X 是 总 均 值 。 具 体 算 法 是 ， 把
n k1 k
X 1,jX , 2 j , X r j 看作样本， X 就是样本均值， SS 就是j 样本方差再乘以 n （或修
１６１
正样本方差再乘以 n(r 1) r ） 。
（5）列方差分析表，作显著性检验。
来源 平方和
自由度
均方
A
SS A
f A r 1 MS A SS A f A
B
SS B

19.0
F0.95 (2, 2) 19.0
因为 F B 6.33 19.0 F ( 1f, f ) B，所e以因子 B 作用不显著。
因为 F C 13.00 19.0 F ( 1f, f )C，所e以因子 C 作用也不显著。
(6) 寻找最优水平组合。
对于因子 A ，因为 A 的均1值 X 41 ，1A1 的均值 X 2 48 ， A3 的均21
§6.5 不考虑交互作用的正交试验设计
下面我们先来看一种比较简单的情形，即不考虑因子之间交互作用的情形。不考虑交 互作用的正交试验设计和数据处理，可按下列步骤进行：
（1）选正交表 Lnr( m ) 。
选择的原则是： r 要等于因子的水平数； m 要大于或等于因子的个数； n 是试验
次数，要尽可能小。
表头
ABC
列号 试验号
1
2
34
1
1
1
11
观测值（收得率） X k
31
2
1
2
22
54
3
1
3
33
38
4
2
1
23
53
5
2
2
31
49
6
2
3
12
42
7
3
1
32
57
8
3
2
13
62
9
3
3
21
64
X1j
41 47 45 48
X2j
48 55 57 51
X3j
61 48 48 51
X 1 n X 50 n k1 k
试验观测
复出现 n r 次。设与这一列中的数字 1 对应的那几行的试验观测值值之：和X为, W1 j ，与这
一列中的数字 2 对应的那几行的试验观测值之和为 W2 j ， ，与X这, 一,列X中的数字 r
n
对应的那几行的试验观测值之和为
Wr
j
。将
W
,
W
,
1
j
, W 分别除以 n r ，就得
2j
rj
W
f e f Tf f A 是B 误差自由度。
MS A SS f A， MAS SS fB ， B是各B因子的均方， MS SS fe 是误 e
e
差均方。
可以证明，若因子 A 的作用不显著，则
F
A

MS A MSe
～
F(
f A, f
)e
用显著，则 FA 的值会偏大，统计量 FA 的分布，相对于 F( f , f ) 分布A 来说e ，峰值的
１６２
（6）寻找最优水平组合。 对每一个因子，在以它为表头的那一列中，比较各水平的均值的大小，可以确定哪一 个水平最优。 由于不考虑交互作用，所以，只要将各因子的最优水平组合起来，就是最优水平组合。 下面看一个实际例子。
例 1 某化工厂为提高产品的收得率（单位：%） ，进行 3 因子 3 水平正交试验。
所取的因子和水平分别为：
因子 A 是反应温度， A 是180C， A 是 852C， A 是 90C3 ；
Hale Waihona Puke 因子 B 是反应时间， B 是190 分钟， B 是 1220 分钟， B3 是 150 分钟 ；
因子 C 是用碱量，C 是15% ，C 是 6%2，C3 是 7% 。
要求进行不考虑交互作用的正交试验设计，检验因子 A, B, C 的作用是否显著（显
值 X 3348 ，其中 X 57 最23 大，所以 C2 是最优水平。
把 3 个因子的最优水平组合起来，就得到最优水平组合 (A , B3, C 2) ，即2 反应温度
为 90C，反应时间为 120 分钟，用碱量为 6% 。
由于因子 B 很不显著，即反应时间的不同对于收得率没有显著的影响，为了节省反 应时间，也可以考虑把反应时间改为 90 分钟，选用水平组合 (A , B 3, C 1) 。 2
值 X 3161 ，其中 X 61 3最1 大，所以 A 是最优水平3 。
对于因子 B ，因为 B 的均1值 X 47 ，1B2 2 的均值 X 55 ， B3 的均22
值 X 3248 ，其中 X 55 最22 大，所以 B2 是最优水平。
对于因子 C ，因为 C 的均1值 X 45 ，13C 的均值 X 2 57 ， C3 的均23
因子 C 也不十分显著，即用碱量的不同对于收得率也没有太大的影响，如果希望节 省用碱量，还可以考虑把用碱量改为 5%，选用水平组合 (3A , 1B , C1 ) 。
得到最优水平组合后，还可以对它以及在它的附近再做几次试验，看看它是否确实最 优，是否还可以作改进，进一步得到更好的结果。
１６４
57
F 6.33
117
B
FC 13.00
误差 SSe 18
8222 2 9
总和 SST 984
n 1 8
因为 F A 34.33 19.0 F ( 1f, f ) A，所e以因子 A 作用显著。
F 0.95
分位数
(2, 2)
19.0
F 0.95
(2,
2)
（3）按照设计做试验，取得试验观测值。
正交表的每一行代表一种水平组合，对每一种水平组合做一次试验。按照第 k 行的
水平组合所做的第 k 次试验，所得到的观测值记为 X 。正交k 表有 n 行，所以，一共
12
要做。 n 次
（4）在正交表的每一列中，求出与各水平对应的均值，以及试这验一，列共的平方和。
设我们考虑的是第 j 列。在这一列中，表示水平的数字 1, 2得, 到 ,nr个，每一个都重
f r 1 MS B SS B f B
B
F值
F A

MS
A
MSe
F B

MS B MSe
分位数
F1(f , fA) e
F(f,f)
1 B e
误差 总和
SSe SST
其中， SS T
fe f n 1
T
n
( X X)2
k1
k
MSe SS fee 是SS总A, 平SS方,和B。
SS j
618 114 234 18
n
SST (X X k) k 1
m
2 j1
SS 984
j
１６３
（5）列方差分析表，作显著性检验。
来源 平方和
自由度
均方
F值
A SS A 618
r 1 2
309 FA 34.33
B SSB 114 C SSC 234
r 1 2 r 1 2
16
，大于因子的个数
4，符合要求。在符合要求的正交表中，还要选试验次数 n 尽可能小的那一个表。显然，
在 L(2 7) 中， =8n为最小，所以，我们最后选定正交表
8
（2）设计表头。
8 7 L (2 )
。
将各因子安排在正交表的各列上方，每个因子占 1 列，这称为表头。在不考虑交互作
用的正交试验设计中，表头上的因子可以任意安放。表头上不放因子的列，称为空白列。
著水平 0.05 ） ，并且找出最优水平组合。
解
（1）选正交表。按照 r 3， m 3， n 尽可能小的原则，选用
（2）设计表头。将因子 A, B, C 依次安排在第 1, 2, 3 列。
L(34) 。
9
（3）按照设计做试验，取得试验观测值。试验得到的观测值见下表。 （4）求各列与各水平对应的均值和各列的平方和。计算结果见下表。
例如，问题中有 4 个因子，每个因子都是 2 个水平。选正交表时，首先要选 r =2 的