正n边形的画法

正四边形的画法
正四边形:过任意两点AB作直线,在直线上截取AC,分别以A、C为圆心，AC、CA为半径作圆，作以A、C为顶点的两个平角的角平分线（作直角或垂直的方法），分别交⊙A于D、E，交⊙C于F、G，连接DF、EG，则四边形ABFD ABGE为所求作正四边形。

正五边形的画法
正五边形：作直线AB，截取线段AB，作BC⊥BA，且AB=2BC（作AB的垂直平分线），连接AC。

以C为圆心，BC为半径作圆交AC于P，再以A为圆心，AP为半径作圆，交AB于M。

以M为圆心，MB为半径作圆交AB的垂直平分线于D，以A、D为圆心，AD、AB为半径作圆交于一点E，以B、D为圆心，BD、AB为半径作圆交于一点F。

连接AD、BD、AE、BF、EF。

则五边形ADBFE 为正五边形。

一先画个圆
2 在画出这个圆的一对成直角的直径
3 随便选你画的直径上你任何一个半径，找到它的中点
4 用圆规以这个你找的中点为一点，量出与你找中点所在半径所垂直的半径与圆的边的交点的长度
5 保持这个长度
6 以你所找的中点为圆心，以你找的长度画圆
7 我们就可以看见中点所在的直径上有有了一个点
8 找到新的点，还是用圆规量出与你点所在半径垂直的半径与圆边的交点的距离
9 保持这个距离在圆的边上找一点，画个圆，得到3个点，在分别用其他两个点画园，又可以得到两个点
11 连接5个点
正六边形的画法
正六边形：作⊙O，及过O点作直线AB，交⊙O于A、B。

分别以A、B为圆心，AO、BO 为半径作圆交⊙O于C、D、E、F（C、E在AB同侧），连接AC、AD、BE、BF、CD、EF，则六边形ACEBFD为所求作正六边形。

圆内接正七边形的画法如下：
①以定长R为半径作圆，并过圆心O作互相垂直的纵横两条直径MN、HP.
②过N点任作一射线NS，用圆规取七等分，把端点T与M连结起来，然后过NT上的各点推出MT的平行线，把MN七等分.
③以M为圆心，MN为半径画弧，和PH的延长线相交于K点，从K向MN上各分点中的偶数点或奇数点（图中是1、3、5、7各点）引射线，与交于A、B、C、M.再分别以AB、BC、CM为边长，在圆周上从A点（或M点）开始各截一次，得到其他三点，把这些点依次连结起来，即得近似的正七边形.
这种画法适用画圆内接任意正多边形.
正八边形的画法
正八边形：作一个正四边形ABCD，连接AC、BD交于O，以O为圆心，OA 为半径作圆，则A、B、C、D在圆上，作AB、BC的垂直平分线交⊙O于E、F、G、H（E、H在AC的同侧），连接AE、AG、BE、BH、CH、CF、DF、DG，则八边形AEBHCFDG为所求作正八边形。

正十二边形的画法
正十二边形：在圆内作正六边形，并作每边的垂直平分线交圆于六个点，顺次连接这十二个点，则十二边形为所求作正十二边形。

（正十边形、正十六边形也可这样作）。

用无刻度直尺和圆规作出正十七边形
正十七边形的画法
1、作圆O。

2、作相互垂直的直径AB、CD。

3、作点E，使EO=1/4AO，连结CE。

4、作∠CEB的平分线EF。

5、作∠FEB的平分线EG，交CO于P。

6、作∠GEH=45°，交CD于Q。

7、以CQ为直径作圆，交OB于K。

8、以P为圆心，PK为半径作圆，交CD于L、M。

9、分别过M、L作CD的垂线，交圆O于N、R。

10、作弧NR的中点S，以SN为半径将圆O分成17等份。

正四边形:过任意两点AB作直线,在直线上截取AC,分别以A、C为圆心，AC、CA为半径作圆，作以A、C为顶点的两个平角的角平分线（作直角或垂直的方法），分别交⊙A于D、E，交⊙C于F、G，连接DF、EG，则四边形ABFD、ABGE为所求作正四边形。

正五边形：作直线AB，截取线段AB，作BC⊥BA，且AB=2BC（作AB的垂直平分线），连接AC。

以C为圆心，BC为半径作圆交AC于P，再以A为圆心，AP为半径作圆，交AB于M。

以M为圆心，MB为半径作圆交AB的垂直平分线于D，以A、D为圆心，AD、AB为半径作圆交于一点E，以B、D为圆心，BD、AB为半径作圆交于一点F。

连接AD、BD、AE、BF、EF。

则五边形ADBFE 为正五边形。

正六边形：作⊙O，及过O点作直线AB，交⊙O于A、B。

分别以A、B为圆心，AO、BO为半径作圆交⊙O于C、D、E、F（C、E在AB同侧），连接AC、AD、BE、BF、CD、EF，则六边形ACEBFD为所求作正六边形。

正八边形：作一个正四边形ABCD，连接AC、BD交于O，以O为圆心，OA 为半径作圆，则A、B、C、D在圆上，作AB、BC的垂直平分线交⊙O于E、F、G、H（E、H在AC的同侧），连接AE、AG、BE、BH、CH、CF、DF、DG，则八边形AEBHCFDG为所求作正八边形。

正十二边形：在圆内作正六边形，并作每边的垂直平分线交圆于六个点，顺次连接这十二个点，则十二边形为所求作正十二边形。

（正十边形、正十六边形也可这样作）。

5月28日
正n边形画法——高斯
高斯最终在1801年对整个问题给出了一个漂亮的回答。

高斯指出，如果仅用圆规和直尺，作圆内接正n 边形，当n满足如下特征之一方可做出：
1) n=2^m；（m为正整数）
2) 边数n为素数且形如n=2^(2^t) +1（t=0 、1、2……）。

简单说，为费马素数。

3) 边数n具有n=2^m*p1*p2*p3...pk ，其中p1、p2、p3…pk为互不相同的费马素数。

正17边形的高斯做法
做正17边形
等于求方程x^17-1=0的根即(x-1)(x^16+x^15+.....+x+1)=f(x)(x-1)=0的根注意f(x)=0有16个根e1～e16,令其中的单位原根为e1并令ei=e^i
根据韦达定理，16个根的和为x^15项的系数乘-1
第一步,把16个根分成两组∑1和∑2
∑1=(e1+e2+e4+e8)+(e1+e2+e4+e8)
∑2=(e3+e5+e6+e7)+(e3+e5+e6+e7)
(这里用下划线表示共扼根)
注意∑1+∑2=-1（韦达定理）
而∑1*∑2=-4（有兴趣的朋友可以验算一下）
于是根据韦达定理，∑1和∑2分别是方程x^2+x-4=0的根,可解出;
第二步,把∑1分成两组,
∑11=(e1+e8)+(e1+e8)
∑12=(e2+e4)+(e2+e4)
注意∑11+∑12=∑1
而∑11*∑12=∑2（有兴趣的朋友可以验算一下）
因为∑1和∑2在前面已经解出
所以∑11、∑12可以从方程x^2-(∑1)x+(∑2)=0解出(韦达定理)
下面的步骤相似,可继续把∑11分解为∑111=e1+e1 和∑112=e8+e8
∑111+∑112=∑11
∑111*∑112=∑12
同样可用韦达定理解出;
最后就简单了
∑111=e1+e1 而e1*e1 =1
所以就可利用韦达定理解出e1来了！
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将你要画的正17边形的边长为d，它的外接圆的半径为R。

则d和R的关系是Sin(360度/(17*2))=d/(2R)
正17边形的边对应的圆心角度数为360/17,正17边形的一条边和其两个端点与圆心连接的半径成为一个等边三角形；
然后从圆心作出一条垂线到边上，就能得出一个直角三角形，圆心的那个角是圆心角的一半，即360度/(17*2)，对边是d/2,斜边是R，所以得出Sin(360度/(17*2))=d/(2R)
最后，根据该公式，如果你想画出一个边长为1厘米的正17边形，则把d=1代入公式，得出R的值。

1、先画一个R半径的圆；
2、用圆规支脚支在圆周的一个点上，取d为半径，交圆周于一点，然后把这两点连起来，就是17边形的一条边了；
3、如此类推，把17条边画完就是一个正17边形了
证明:
设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a
故sin16a=-sina,而
sin16a=2sin8acos8a=2方sin4acos4acos8a=
=2的4次方sinacosacos2acos4acos8a
因sina不等于0,两边除之有:
16cosacos2acos4acos8a=-1
又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有
2(cosa+cos2a+ +cos8a)=-1
注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令
x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a
y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a
有:
x+y=-1/2
又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)
=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+ +cosa+cos15a)
经计算知xy=-1
又有
x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4
其次再设:
x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a
y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a
故有x1+x2=(-1+根号17)/4
y1+y2=(-1-根号17)/4
解之可有:
(大家自己解解吧,太难打啦!!!~~~~)
最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2
可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合,
故正17边形可用尺规作出
正十七边形步骤一：
给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，
作C点使OC＝1/4OB，
作D点使∠OCD＝1/4∠OCA，
作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度。

步骤二：
作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，
再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。

步骤三：
过G4作OA垂直线交圆O于P4，
过G6作OA垂直线交圆O于P6，
则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。

连接P4P6，以1/2P4P6为半径，在圆上不断截取，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。