正n边形的画法

正四边形的画法

正四边形:过任意两点AB作直线,在直线上截取AC,分别以A、C为圆心，AC、CA为半径作圆，作以A、C为顶点的两个平角的角平分线（作直角或垂直的方法），分别交⊙A于D、E，交⊙C于F、G，连接DF、EG，则四边形ABFD ABGE为所求作正四边形。

正五边形的画法

正五边形：作直线AB，截取线段AB，作BC⊥BA，且AB=2BC（作AB的垂直平分线），连接AC。以C为圆心，BC为半径作圆交AC于P，再以A为圆心，AP为半径作圆，交AB于M。以M为圆心，MB为半径作圆交AB的垂直平分线于D，以A、D为圆心，AD、AB为半径作圆交于一点E，以B、D为圆心，BD、AB为半径作圆交于一点F。连接AD、BD、AE、BF、EF。则五边形ADBFE 为正五边形。

一先画个圆

2 在画出这个圆的一对成直角的直径

3 随便选你画的直径上你任何一个半径，找到它的中点

4 用圆规以这个你找的中点为一点，量出与你找中点所在半径所垂直的半径与圆的边的交点的长度

5 保持这个长度

6 以你所找的中点为圆心，以你找的长度画圆

7 我们就可以看见中点所在的直径上有有了一个点

8 找到新的点，还是用圆规量出与你点所在半径垂直的半径与圆边的交点的距离

9 保持这个距离在圆的边上找一点，画个圆，得到3个点，在分别用其他两个点画园，又可以得到两个点

11 连接5个点

正六边形的画法

正六边形：作⊙O，及过O点作直线AB，交⊙O于A、B。分别以A、B为圆心，AO、BO 为半径作圆交⊙O于C、D、E、F（C、E在AB同侧），连接AC、AD、BE、BF、CD、EF，则六边形ACEBFD为所求作正六边形。

圆内接正七边形的画法如下：

①以定长R为半径作圆，并过圆心O作互相垂直的纵横两条直径MN、HP.

②过N点任作一射线NS，用圆规取七等分，把端点T与M连结起来，然后过NT上的各点推出MT的平行线，把MN七等分.

③以M为圆心，MN为半径画弧，和PH的延长线相交于K点，从K向MN上各分点中的偶数点或奇数点（图中是1、3、5、7各点）引射线，与交于A、B、C、M.再分别以AB、BC、CM为边长，在圆周上从A点（或M点）开始各截一次，得到其他三点，把这些点依次连结起来，即得近似的正七边形.

这种画法适用画圆内接任意正多边形.

正八边形的画法

正八边形：作一个正四边形ABCD，连接AC、BD交于O，以O为圆心，OA 为半径作圆，则A、B、C、D在圆上，作AB、BC的垂直平分线交⊙O于E、F、G、H（E、H在AC的同侧），连接AE、AG、BE、BH、CH、CF、DF、DG，则八边形AEBHCFDG为所求作正八边形。

正十二边形的画法

正十二边形：在圆内作正六边形，并作每边的垂直平分线交圆于六个点，顺次连接这十二个点，则十二边形为所求作正十二边形。（正十边形、正十六边形也可这样作）。

用无刻度直尺和圆规作出正十七边形

正十七边形的画法

1、作圆O。

2、作相互垂直的直径AB、CD。

3、作点E，使EO=1/4AO，连结CE。

4、作∠CEB的平分线EF。

5、作∠FEB的平分线EG，交CO于P。

6、作∠GEH=45°，交CD于Q。

7、以CQ为直径作圆，交OB于K。

8、以P为圆心，PK为半径作圆，交CD于L、M。

9、分别过M、L作CD的垂线，交圆O于N、R。

10、作弧NR的中点S，以SN为半径将圆O分成17等份。

正四边形:过任意两点AB作直线,在直线上截取AC,分别以A、C为圆心，AC、CA为半径作圆，作以A、C为顶点的两个平角的角平分线（作直角或垂直的方法），分别交⊙A于D、E，交⊙C于F、G，连接DF、EG，则四边形ABFD、ABGE为所求作正四边形。

正五边形：作直线AB，截取线段AB，作BC⊥BA，且AB=2BC（作AB的垂直平分线），连接AC。以C为圆心，BC为半径作圆交AC于P，再以A为圆心，AP为半径作圆，交AB于M。以M为圆心，MB为半径作圆交AB的垂直平分线于D，以A、D为圆心，AD、AB为半径作圆交于一点E，以B、D为圆心，BD、AB为半径作圆交于一点F。连接AD、BD、AE、BF、EF。则五边形ADBFE 为正五边形。

正六边形：作⊙O，及过O点作直线AB，交⊙O于A、B。分别以A、B为圆心，AO、BO为半径作圆交⊙O于C、D、E、F（C、E在AB同侧），连接AC、AD、BE、BF、CD、EF，则六边形ACEBFD为所求作正六边形。

正八边形：作一个正四边形ABCD，连接AC、BD交于O，以O为圆心，OA 为半径作圆，则A、B、C、D在圆上，作AB、BC的垂直平分线交⊙O于E、F、G、H（E、H在AC的同侧），连接AE、AG、BE、BH、CH、CF、DF、DG，则八边形AEBHCFDG为所求作正八边形。

正十二边形：在圆内作正六边形，并作每边的垂直平分线交圆于六个点，顺次连接这十二个点，则十二边形为所求作正十二边形。（正十边形、正十六边形也可这样作）。

5月28日

正n边形画法——高斯

高斯最终在1801年对整个问题给出了一个漂亮的回答。高斯指出，如果仅用圆规和直尺，作圆内接正n 边形，当n满足如下特征之一方可做出：

1) n=2^m；（m为正整数）

2) 边数n为素数且形如n=2^(2^t) +1（t=0 、1、2……）。简单说，为费马素数。

3) 边数n具有n=2^m*p1*p2*p3...pk ，其中p1、p2、p3…pk为互不相同的费马素数。

正17边形的高斯做法

做正17边形

等于求方程x^17-1=0的根即(x-1)(x^16+x^15+.....+x+1)=f(x)(x-1)=0的根注意f(x)=0有16个根e1～e16,令其中的单位原根为e1并令ei=e^i

根据韦达定理，16个根的和为x^15项的系数乘-1

第一步,把16个根分成两组∑1和∑2

∑1=(e1+e2+e4+e8)+(e1+e2+e4+e8)

∑2=(e3+e5+e6+e7)+(e3+e5+e6+e7)

(这里用下划线表示共扼根)

注意∑1+∑2=-1（韦达定理）

而∑1*∑2=-4（有兴趣的朋友可以验算一下）

于是根据韦达定理，∑1和∑2分别是方程x^2+x-4=0的根,可解出;

第二步,把∑1分成两组,

∑11=(e1+e8)+(e1+e8)

∑12=(e2+e4)+(e2+e4)

注意∑11+∑12=∑1

而∑11*∑12=∑2（有兴趣的朋友可以验算一下）

因为∑1和∑2在前面已经解出

所以∑11、∑12可以从方程x^2-(∑1)x+(∑2)=0解出(韦达定理)

下面的步骤相似,可继续把∑11分解为∑111=e1+e1 和∑112=e8+e8

∑111+∑112=∑11

∑111*∑112=∑12

同样可用韦达定理解出;

最后就简单了