不等式教材分析与教学建议

《不等式》教材分析与教学建议 20XX 年9月28日增城中学 程泽兵不等关系在现实生活中大量存在，不等式是刻画现实世界中的不等关系的数学模型，反映了在量上的区别，是研究函数的工具。

在这次课程改革中，新教材与旧教材相比，对“不等式”这块内容进行了调整，课程内容有了较大的变化。

我们就新教材必修模块数学5“不等式”的课程内容、教学目标要求、课程关注点、内容处理等方面的变化进行简要的分析，并对数学教学中应注意的几个问题谈一些设想和教学建议，供大家参考。

一．新教材中“不等式”与原课程中“不等式”的比较1．课程理念的变化：以往的高中数学内容中，不等式部分重在理论阐述、推导、和解不等式的技巧训练，新课程则强调不等式的现实背景和实际应用。

把不等式作为刻画现实世界中不等关系的数学工具，作为描述、刻画优化问题的一种数学模型，而不是从数学到数学的纯理论探讨。

新课程标准特别强调发展学生的数学应用意识，新教材的各个章节无论是在问题的提出还是例题配备上实际背景的应用题随处可见，这是新教材的一大特色；另外，新课程标准要求与时俱进地认识“双基”，把算法内容作为新的数学基础知识和基本技能融入到数学课程的各个相关部分。

不等式这一节内容中要求学生尝试设计一元二次不等式的求解流程图，这是新教材的又一特色；2．课程内容的变化：理念的变化必然导致教材内容的变化，新教材中“不等式” 与旧教材相比，删减的内容有三项： ①不等式的性质；②不等式的证明；③含有绝对值的不等式。

增加的内容也有三项：①二元一次不等式表示的平面区域；②二元一次不等式组表示的平面区域；③简单的线性规划问题。

3．教学要求的变化旧教材对不等式的教学要求是：①理解不等式的性质与证明。

②掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。

③掌握用分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。

④掌握二次不等式、简单的绝对值不等式和简单的分式不等式的解法。

⑤理解不等式b a b a b a +≤+≤-。

新教材对不等式的教学要求是：（1）不等关系：通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。

（2）一元二次不等式：①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。

②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的函数、方程的联系。

③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。

（3）二元一次不等式组与简单线性规划：①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。

③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

（4）基本不等式：)0,(2>+≤b a b a ab ①探索并了解基本不等式的证明过程。

②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

由此可以看出，新教材在以下三个方面，加强或提高了要求：①对知识发生的过程提出了较高的要求。

多处使用了“经历”、“感受”、“探索”等情感、态度与价值观要求的行为动词，如对不等关系要求“通过具体情境，感受”不等关系，对一元二次不等式（组）、简单二元线性规划问题等要求“经历从实际情境中抽象出”来的过程②对一元二次不等式要求尝试设计求解的程序框图。

③对简单二元线性规划提出了较高的要求，不但能“从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题”而且能“加以解决”。

4．课程关注点的变化旧教材中，比较关注不等式的解法。

而新教材中强调不等式是刻画和描述现实世界中事物在量上的区别的一种工具，是描述刻画优化问题的一种数学模型。

淡化了解不等式的技巧性要求，突出了不等式的实际背景及其应用。

例如，线性规划问题在原教材中是放在“直线与圆”这一节的，而新教材将线性规划问题作为不等式的应用来处理，突出了不等式的几何意义及在解决优化问题中的作用。

为学生理解不等式的本质，体会优化思想奠定了基础。

5．内容处理上的变化（1）新教材在内容的处理上突出了它们的现实背景和实际应用。

有利于学生认识数学与现实世界和实际生活的联系，培养和发展学生的数学应用意识。

（2）将函数与方程、不等式相联系。

从连续与离散的角度认识函数，从函数与方程、不等式的联系中理解函数，有助于提升学生对函数思想的理解水平。

（3）突出了不等式的实际背景和应用，将不等式作为解决优化问题的工具，用不等式组刻画区域，解决一些简单的线性规划问题，用基本不等式解决一些简单的最值问题。

有助于学生体会优化思想和数学在解决优化问题中的广泛应用。

二．教学中应注意的几个问题及教学建议旧教材中，不等式部分重在理论阐述、推导和解不等式的技巧训练，而新教材则强调不等式的现实背景和实际应用。

把不等式作为刻画现实世界中不等关系的数学工具，作为描述刻画优化问题的一种数学模型，而不是从数学到数学的纯理论探讨。

因此，在教学中应强化以下几种意识1．要强化实际应用的意识对于简单线性规划，新教材要求不但能“从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题”，而且要能“加以解决”。

这是因为简单线性规划是数学应用的一个重要内容之一，其蕴涵的优化思想方法是数学中的基本思想方法。

它一方面体现了数学的应用价值，另一方面体现了数学内容的丰富多彩。

建议在教学中一方面要引导学生从社会生产、生活实际中提取可以归结为二元线性规划问题，培养学生的建模能力，另一方面要使学生经历列出的约束条件、目标函数、画出可行域、数形结合求出最优解的解决问题的过程，提高学生建模的能力。

2．要强化实际情境的意识对于不等关系、一元二次不等式、二元一次不等式组与简单的线性规划问题等内容，新教材要求“通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系”，“经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程”，新教材强调要“从实际情境中抽象出二元一次不等式组”，而不是像以往那样从纯数学角度提出问题。

因此在教学中要把“从实际情境中抽象出”一元二次不等式、二元一次不等式组、简单的线性规划问题等放在首位。

建议为学生创设丰富实际情境，使学生经历知识发生的过程，实现新教材的课程目标要求。

3．要强化数形结合的意识数形结合的重要思想在不等式这一节体现得淋漓尽致。

一元二次不等式的求解其本质就是数形结合。

新教材要求“通过函数图像了解一元二次不等式与相应的函数、方程的联系”；对于二元一次不等式（组），新教材十分强调几何意义，要求能用平面区域表示二元一次不等式组。

这种从点与数的对应，线与方程的对应，到平面区域与不等式组的对应的过渡和提升，能使学生进一步体会到数形结合的思想的实质及其重要性，也是体现数形结合的好素材。

因此在一元二次不等式的解法的教学中，要充分利用二次函数的图象进行教学；在二元一次不等式组的教学中，建议从两个方面加强“数”与“形”的结合：一是从数到形，即能用平面区域表示二元一次不等式组；二是从形到数，即给出平面区域能写出对应的二元一次不等式组。

4.要强化算法思想的意识算法是一个全新的内容，新课程标准把算法内容作为新的数学基础知识和基本技能列入教材，可见它的重要性。

对一元二次不等式的求解，新教材“尝试设计求解程序框图”，从而融入了算法的思想，这是过去的旧教材中所没有的，这个结合点选择得非常恰当，一方面，算法找到了其用武之地；另一方面，实现了解不等式的程序化，使人们对不等式的求解过程以及不等式本身的结构的认识显得更加清晰，更能看清问题的本质。

事实上，教学中还有很多地方可启发学生尝试设计算法流程图。

例如，可引导学设计用比较法比较两数大小的算法流程图 （如上图）。

有兴趣的学生还可设计用作商法比较两数大小的算法流程图（如下图）。

三．课时分配建议：约21课时，具体分配如下：1．不等关系（3节）（1）不等关系（2）比较大小2．一元二次不等式（5节）（1）一元二次不等式的解法（2）一元二次不等式的应用3．基本不等式（4节）（1）基本不等式（2）基本不等式与最大（小）值4．简单线性规划（7节）（1）二元一次不等式（组）与平面区域（2）简单线性规划5．复习小结（2节）四．教材中几处值得商榷的地方及处理建议：1．教材第82页A 组第5题中的“合理”改为“合算”似乎更恰当一些。

2．教材第113页在探究y x z +=2的值的变化规律时，仅凭教材所列举的5条直线的方程就归纳出“当直线0l 向上平移时，所对应的z 随之增大；当直线0l 向下平移时，所对应的z 随之减小”让人感觉很不踏实。

事实上，只要将y x z +=2变形为z x y +-=2，问题就转化为探究直线z x y +-=2在y 轴上的截距z 的大小与将直线0l 向上、向下平移的关系了。

显而易见，将直线0l 向上平移，截距z 就随之增大，将直线0l 向下平移，截距z 就随之减小。

这样处理，直观、明了，给人以“一捶定音”的感觉。

既体现了数形结合的重要思想，又揭示了本质，何乐而不为？3．在判断一元二次不等式)0(0<>++C By Ax 所表示的区域时，通过具体的例子可归纳总结出以下的结论：当0>A 时，直线0=++C By Ax 的右侧区域即为0>++C By Ax 所表示的区域；而其左侧区域恰为0<++C By Ax 所表示的区域。

利用这一结论，可以快速、准确的判定出所给不等式所表示的区域。