三角形内切圆的性质及其应用_彭代光

三角形内切圆的性质及其应用

彭代光

(四川省成都市郫县犀浦镇实验学校,611731)

初中数学中内切圆的内容看似简单,其实它有丰富的内涵,也是初中几何中一个重要的知识点,三角形内切圆的应用与三角形的面积、三角形的全等及相似等知识有着密切的联系.本文旨在对三角形内切圆的性质及应用作一些分析.

一、三角形内切圆的基本性质

三角形内切圆的圆心称为内心.由三角形内切圆的定义可以直接得到下面的结论:

1.内心的位置由三角形任意两个角的平分线的交点确定,反过来内心与三角形的每个顶点的连线平分这个角.

2.内心到三角形三边的距离相等,这个距离就是三角形内切圆的半径.

例1　如图1,已知点O 是 A B C 的内心,∠A O C=110°,∠A O B=130°,求 A B C 的三个内角的度数.

简析　可设∠B A C =x ,∠A B C =y ,∠A C B=z .

据上述结论,再结合三角形内角和定理,可得:

12x +1

2y=180-130,12x +1

2z =180-110.∴x

+y=100,x +z =140.∴

z =80,

y=40.

∴x=60,y=40,

z =80.

于是三个内角便可求得.

例2　如图2,已知⊙O 是R t A B C 的内切圆,∠C=90°,切点分别是点D ,E ,F .连接A O 并延长交B C 于点G .求证:A F ·A G=A O ·A C .

简析　由题设知O 是内心,那么根据结论1知A O 就是∠B A C 的平分线,连接O F ,由

格标上数1或-1.如果能使60个方格剪成15块符合要求的“四连格”,则每一“四连格”中数字之和为2或-2.设其中数字之和为2的有x 块

,数字之和为-2的有y 块,由于方格中“1”和“-1”的个数是相同的,故有

x +y=15,

2x-2y=0.解得

x=15

2,

y=

152

.这与x 、y 都为整数相矛盾.

因此,余下的方格不能剪成15块符合要求的“四连格”.

请注意:倘若按上述推理方法,对某一类似的图形则得x ,y 为整数.不能断定可以剪成若干块形如图1的“四连格”,你能举出这样的例子吗?

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7·第12期 初中数学教与学

切线的性质知O F⊥A B .于是∠C=∠A F O ,那么 A F O∽ A C G .根据相似三角形的性质以及比例的性质就可得结论.

二、三角形内切圆的三个切点到各个顶点的距离

若已知三角形的三边长,则可以求出其内切圆的三个切点分别到三角形各个顶点的距离.

如图3,已知: A B C 的三边分别为a ,b ,c .⊙O 是内切圆,切点分别是点D ,E ,F .

设A D=A E=x ,B D=B F=y ,C E=C F =z .

运用切线长定理可得

x +y=c ,y +z =a ,x +z =b

.

解得x=b +c -a

2,y=

a+c -b

2

,z=a+b-c 2

.

为了方便记忆,

如果我们设三角形三边和的一半为q ,即q=

a+b +c

2

.显然有x=q -a ,y=q -b ,

z=q -c .于是得到A D =A E=q -a ,

B D=B F =q-b ,

C F=C E=q -c .

三、三角形的面积、三边长与内切圆半径之间的关系

如图4,连接A O ,B O ,C O ,D O ,E O ,F O ,由

切线的性质以及三角形面积公式得:

S A B C =S B O C +S A O C +S A O B =12a r +12b r +1

2c r =

12

r (a+b+c ).另海伦公式是重要的三角形面积公式,即:

S=

q (q -a )(q -b )(q -c ),

(其中q=

a+b +c

2

).这样若知道三角形的三条边的长度,就可以求出内切圆的半径与面积.

例3　如图4,已知 A B C 的三边为a ,b ,c ,并且a=14c m ,b =13c m ,c =15c m .求这个三角形的内切圆的面积.

解　∵a 2

+b 2

≠c 2

,

∴ A B C 显然不是直角三角形.∴q=

13+14+15

2=21,

由S=12

r (a+b+c )r=q r ,则

21(21-14)(21-13)(21-15)=21r ,得r =

84

21

=4.

∴ A B C 的内切圆面积为:πr 2

=π×42

=16π(c m 2

).四、直角三角形的内切圆半径

如图5,⊙O 是R t A B C 的内切圆,∠A C B

=90°,三边分别是a ,b ,c .切点分别是点D ,E ,F .连接O E ,O F ,显然∠C=∠O E C=∠O F C =90°,则四边形O E C F 是矩形.又O E=O F=

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8·初中数学教与学 2010年

r ,所以四边形O E C F 是正方形.并且由勾股定理a 2

+b 2

=c 2

,及直角三角形面积S=1

2

a b ,我们可进一步推导发现新的规律.

由上述结论可得12a b=1

2

r (a+b +c ),容易得r =

a b

a+b +c

.于是我们就得到直角三

角形的内切圆半径为:

r=

a +

b -

c 2=a b

a+b +c

.通过对以上这个等式的变形,很容易就得到a 2

+b 2

=c 2

.这也是证明勾股定理的一种方法.

掌握好内切圆的上述几个知识点,并能够灵活应用,就能解决较为复杂的数学问题.

例4　如图6,已知A D 是R t A B C 斜边B C 上的高.∠B A C=90°,⊙O 1,⊙O 2,⊙O 分别是R t A B D ,R t A D C ,R t A B C 的内切圆.圆心分别是O 1,O 2,O

,求证:(1) A B O 1∽ C A O 2;(2)S ⊙O 1

∶S ⊙O 2

=B

D∶C D ;(3)S ⊙O =S ⊙O 1

+S ⊙O 2

.

提示　(1)在此条件中容易得到∠B A D =∠A C D ,∠A B D =∠D A C ,可运用结论1知A O 1平分∠B A D ,B O 1平分∠A B D ,A O 2平分∠D A C ,C O 2平分∠A

C D ,可得结论.(2)S ⊙O 1

∶S ⊙O

2

=r 2

1

∶r 22

=r

1

r 2

2

=A B 2

A C

2.(3)直接应用(2)的结论,有:

S ⊙O 1

S ⊙O +S ⊙O 2

S ⊙O

=A B 2B C 2+A C

2

B C 2=1.例5　抛物线y=x 2

-4x +k +2与x 轴有两个不同的交点.

(1)求k 的取值范围.

(2)当两个交点的横坐标的平方和等于10时,求这个抛物线的解析式.

(3)在(2)的条件下,设抛物线的顶点为M ,它与x 轴的两个交点从左到右依次为A ,B ,与y 轴的交点为P ,求 P M B 的内切圆与外接圆半径之比.(成都市中考题)

略解　(1)k<2;(2)y=x 2

-4x +3;(3)P B=32+32

=32,

P M =22+(3+1)2

=25,M B=

12+12

=2.

根据勾股定理逆定理,可判断 P M B 为直角三角形,P M 为斜边.设 P M B 的外接圆半径为R ,内切圆半径为r ,则R = P M

2

=5.由上述结论知:

S P M B =12(P B+M B+P M )r .于是1

2

2·32

=

1

2

(32+2+25)·r .整理得r =22-5.∴

r R =22-5

5

=210-5

5

.可见,三角形内切圆的知识有着广泛的应用,它可与全等三角形、相似三角形、面积、函数等知识结合起来形成综合题型,表现出代数与几何知识的有机融合.熟练应用这些知识,能够培养学生思维的灵活性、严密性,提高分析问题解决问题的能力,有利于养成良好的数学思维品质.

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9·第12期 初中数学教与学