轴对称——最短路径问题

联想旧知
B
A C l B′ 用旧知解决新知
A
C
l B
提示：本题也可作A点关于直线l的对称点
变式练习1
如图，牧马人要把马从马棚A牵到草地边吃草，
然后到河边饮水，最后再回到马棚A.
A
小 河
问题：请你确定这一过程的最短路径.
转化为数学问题
如图，在l1、l2之间有一点A,要使AM+MN+NA最小, 点M、N应该在 l1、l2的什么位置 ?
联想： 如果点A、B在直线l的异侧时
A
C l
B
分析：
B
A
A
C
l
C
l
B
思考： 能把A、B两点从直线 l 的同侧转化为异侧吗？
作法及思路分析 1.作点B关于直线 l 的对称点B′ ，连接CB′。
B
A C
l
B′
2.由上步可知AC+CB=AC +CB′，
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最 短？
A B
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
轴对称
最短路径问题
饮马问题
如图，牧马人从马棚A牵马到河边 l 饮水，然 后再到帐蓬B．问：在河边的什么地方饮水，可使 所走的路径最短？
B AA l
B
l
分析：
B A l A C C B
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC+CB的和最小？
根据前面的分析，我们认为的 最短路径是AC+CB=AC+C B′= AB′ 略证： 在直线 l 上取一个与 C点不重合的点C′ 新路径= A C′ + C′B =A C′ + C′B′ 试比较新路径与AB′的大小
A
C′ C
B
l
B′
结论： AC+CB这条路径最短．
问题1 归纳
B A l
解决实 际问题 转化为数学问题 A C B l
A’
l1 A l2
A’’
M
N
走A-M- N 路线最短.
A’
l1 A
M N
l2
A’’
变式练习2
如图：某一天牧马人要从马棚A牵出马到草地边吃草， 再到河边饮水，最后回到帐篷B，请你帮他确定这一天 的最短路线。
P
N
Q
A
l1 M
B
l l2
A’
P
Q
B’ A
l1
B
Leabharlann Baidu
l2
归纳小结
1.学了三种情况下的最短路径问题
(2)一点在两相交直线内部 (3)两点在两相交直线内部 l1
(1)两点在一条直线同侧
l1
l2
l2
2.关键：
作对称点，利用轴对称的性质将线段转化，
从而利用“两点之间，线段最短”来解决
（1）如图所示，A，B两点在直线l的 一侧，在l上找一点C，使点C到点A、 B的距离之差最大．
（2）若A，B两点在直线l的两侧，在l 上找一点C，使点C到点A、B的距离之 差最大．