中考数学压轴题专题培优
四边形的相关概念、判定及性质(压轴突破)(解析版)—2024年中考数学【高分突破】压轴题培优专题精练
A ．134,55æöç÷èø【答案】A【分析】过点E 作EH 5OB OA AB ===，求得∵点()1,0A ，()0,2B ∴1,2OA OB ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴90BAD Ð=°，AD,Q==PD BC AD\Ð=Ð，DPA DAP在矩形ABCD中，Q ABC BAD,==PC AB CDÐ=Ð=∴DPC CDP Ð=Ð，ACD BAC Ð=Ð，∴APD CDP ACD DPC BAC Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，∵DPC DAP Ð>Ð，∴DPC BAC DAP BAC Ð+Ð>Ð+Ð，∴APD BADÐ>Ð∴ABC APD Ð<Ð；\B 项为真命题，不符合题意；如图，∵PC PD =，∴PCD PDC Ð=Ð，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD P ，90ADC BAD Ð=Ð=°，∴PCD BAC PDC Ð=Ð=Ð，∵90PDC PDA BAC PAD Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴PAD PDA Ð=Ð；故选项C 是真命题，不符合题意；如图，当PB PD =时，无法证明APB ACD Ð>Ð，故D 选项是假命题，符合题意．故选：D ．3．如图，菱形OABC 边OA 在x 轴的正半轴上，且点B 的纵坐标为4，点P 从点O 开始向点A 运动，至点A 停止，过P 点与x 轴垂直的直线与菱形另一边交点为M ，记OP x =，OPM V 的面积为S ，且S 与x 的函数关系图象如右图，则cos AOC Ð的值为（ ）A ．35B ．45C ．32【答案】A【分析】根据题意得OD a =，OA b OC ==，CD AE ==中，OD a =，2OC a =+，4CD =，利用勾股定理求得根据题意得OD a =，OA b ==∴2n a =，222n b a =+=+，在Rt OCD △中，OD a =，OC ∴()22242a a +=+，A ．2B ．65【答案】C 【分析】利用勾股定理得出答案．60A Ð=°Q ，四边形ABCD 是菱形，60GDE \Ð=°，30GED \Ð=°，设GD x =，则2DE x =，EGA．两问都正确B．两问都不正确C．第（1）问正确，第（2）问错误D．第（1）问错误，第（2）问正确【答案】A=，再根据中位线的判定，得出EO是V 【分析】根据平行四边形的性质，得出OA OC3,1B．A．()【答案】A【分析】根据题意易得OA=A．甲、乙正确B．甲、丙正确【答案】C【分析】尺规作图，得到AE平分是菱形，利用菱形的性质，勾股定理，含出结论．【点睛】本题考查角平分线，中垂线的作图，矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，含A．先是平行四边形，平移3个单位长度后是菱形B．先是平行四边形，平移3个单位长度后是矩形，再平移2C．先是平行四边形，平移3个单位长度后是矩形，再平移3V平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形D．在Rt BCD【答案】B【分析】根据平移过程逐步分析，排除正方形的可能，再分矩形和菱形，利用性质求出平移距离即可．继续平移，当AB与C D¢¢共线时，¢¢是菱形，此时AB B D¢⊥，即四边形AB C D此时的总平移距离为333==，BD AD即再平移23个单位长度后是菱形；¢¢综上可得：平移过程中，四边形AB C D位长度后是菱形，故选B．【点睛】此题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定和性质，勾股定理，含利用了特殊四边形的判定和性质．二、填空题Т=．（1）EFD（2）线段AE的长是【答案】135°23Ð+Ð【分析】（1）证明AEF DFE∵菱形ABCD ，60ABC Ð=°，AD ∥∴18060120A BCD Ð=°-°=°=Ð，Ð∵A E AB ¢⊥，120EA C A ¢Ð=Ð=°，∴1209030BGC Ð=°-°=°，又∵60ABC Ð=°，∴603030BCG Ð=°-°=°，【答案】 75 84-【点睛】本题考查作图-轴对称变换，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．12．如图，将一副三角板放置在盒子中，动，12cm AC EF ==，则线段【答案】()(623cm AD -££【分析】依题意可知，当点B 度最大，分别求出两个最值即可得解．∵四边形BCHG 是矩形，∴BG CH =，GH BC =，BC ∵BC GH ∥，30ACB Ð=°∵90,CBG DBF DEF Ð=°Ð=Ð同理可得：6cmDH CH ==∴()636cmAD AH DH =-=-即()max 636cmAD =-【答案】 2 74【分析】根据题意可得BE =得到答案；连接CG ，作OM 2BI ED ==，HI GH =，Ð由题意可得2BI ED ==，HI 到BC 的距离，在Rt BGH △和Rt BIH V 中，GH IH BH BH =ìí=î，()Rt Rt HL BGH BIH \V V ≌，【答案】25【分析】当G ，E ，C 三点在同一条直线上时，过点的中点得到12AG DG ==∵点G 是矩形ABCD 的边∴132AG DG AD ===∵90D Ð=°，CD AB =【答案】(16,8)OA的解析式为y=【分析】根据题意求出直线1点1C，2C，3C，4C，的坐标即可．【详解】解：∵点1A坐标为(1,1)，四边形1A BBC，\===(2,1)OB A B BB1,1,【答案】26【分析】证明四边形GCEF 是矩形，4AB BC CD AD ====，ECD Ð1212CEFG S S S +=正方形，设ED BG =()23121138322S S S x x =+-=+-=【详解】解：∵CE CG ⊥，EF ⊥HE点拨1：如图②，延长EH 交AD 于点M ，由题意可知AD EF P ，易证：()AAS AMH FEH V V ≌，可得∵四边形ABCD与四边形CEFG P∴AD EF∴AMH FEHÐ=Ð，MAHÐ又∵点H是AF的中点，即=(1)求证：AG GFAB=，AD=(2)若6【答案】(1)证明见解析(2)5CH=【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例性质(1)若2AD=，1tan2ADMÐ=，求AE(2)若FB NB=．①求ENFÐ的度数；②求证：23DE EC EP=×．【答案】(1)22；∵EN DF ⊥，∴90FEN Ð=°，∵在Rt FEN △中，FB NB =，∴FB EB BN ==，∴12Ð=Ð，设12x Ð=Ð=°，则3122x Ð=Ð+Ð=°，∵四边形ABCD 为正方形∴CD BC =，BCA DCA Ð=Ð，90BCD Ð=°，又AC AC =，∴BCE DCE ≌△△，∴432x Ð=Ð=°，∵90BCD Ð=°，∴1490Ð+Ð=°，即290x x +=，解得：30x =，∴1230Ð=Ð=°，又∵90FEN Ð=°，∴903060ENF Ð=°-°=°；②证明：∵EN DF ⊥，∴90FEN DEG Ð=Ð=°，∵四边形ABCD 为正方形，∴90BCD Ð=°，45BCA DCA Ð=Ð=°，∴180135ECG DCA Ð=°Ð=°－，18090FCG BCD Ð=°Ð=°－，∵90FEN FCG Ð=Ð=°，∴F 、E 、C 、G 四点在以FG 为直径的圆上，∴545ACB Ð=Ð=°，∴1805135EGP Ð=°-Ð=°，∵CEG GEP Ð=Ð，ECG EGP Ð=Ð，∴ECG EGP ∽△△，过点C 作CN AM ∥交DE 的延长线于点N ，则四边AMNC 是平行四边形（依据利用“等积变形”可得：ADEC AMNCS S =正方形平行四边形将AMNC Y 沿直线MQ 向下平移MA 的长度得到A M N C ¢¢¢¢Y 若点A ¢恰好与点Q 重合，即MA AQ =，则A M N C ¢¢¢¢Y 即为QACC ¢Y 延长CC ¢交QP 于点H ，利用“等积变形”可得：QACC QATHS S ¢=四边形四边形ADEC QATHS S =正方形四边形同理：BCFG BPHTS S =正方形四边形∵ABPQ QATH BPHTS S S =+正方形四边形四边形∴ABPQ ACED BCFGS S S =+正方形正方形正方形即222AB AC BC =+(1)上述证明过程中的依据是___________．(2)根据小明的思路，请你帮助小明证明“若点A ¢恰好与点Q 重合”这一猜想．(3)已知：（如图2）正方形ABCD 的边长为8，E 是边CD 上的一个动点，以CE 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连接BD ，BF ，点E 在运动的过程中，DBF V 的面积是否发生变化，若变化说出变化的理由，若不变，请直接写出DBF V 的面积．【答案】(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)证明见解析(3)DBF V 的面积为32【分析】（1）由DE AC ∥，结合AM CN ∥，可得四边形AMNC 是平行四边形，从而可得推理的依据；（2）证明90AQP QAB MAB Ð=Ð=°=Ð，AB AQ =，90D DAC ACE ACB Ð=Ð=Ð=°=Ð，AD AC =，DAM BAC Ð=Ð，再证明ADM ACB V V ≌，可得AM AB =，从而可得结论；（3）设正方形CEFG 边长为a ，由DBF DEF ABD BGF ABCD CEFG S S S S S S =++--V V V V 正方形正方形可得结论．【详解】（1）解：∵正方形ADEC ，∴DE AC ∥，∵AM CN ∥，∴四边形AMNC 是平行四边形，∴依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）∵正方形ABPQ ，∵90AQP QAB MAB Ð=Ð=°=Ð，AB AQ =，∵正方形ADEC ，∴90D DAC ACE ACB Ð=Ð=Ð=°=Ð，AD AC =，∴DAM MAC MAC BAC Ð+Ð=Ð+Ð，∴DAM BAC Ð=Ð，∴ADM ACB V V ≌，∴AM AB =，而AB AQ =，∴AM AQ =，。
中考数学备考之旋转压轴突破训练∶培优 易错 难题篇及详细答案(1)
一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，点D是射线OM 上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）如图1，猜想：△CDE的形状是三角形．（2）请证明（1）中的猜想（3）设OD=m，①当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②是否存在m的值，使△DEB是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）等边；（2）详见解析；（3）3；②当m=2或14时，以D、E、B 为顶点的三角形是直角三角形．【解析】【分析】（1）由旋转的性质猜想结论；（2）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（3）①当6＜m＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；②存在，分四种情况讨论：a）当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；b）当0≤m＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2=m；c）当6＜m＜10时，此时不存在；d）当m＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到m=14．【详解】（1）等边；（2）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE 是等边三角形．（3）①存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得：BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=23，∴△BDE的最小周长=CD+4=23+4；②存在，分四种情况讨论：a）∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；b）当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°．∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°．∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴m=2；c）当6＜m＜10时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；d）当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14，∴m=14．综上所述：当m=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．2．如图1．在△ABC中，∠ACB＝90°，点P为△ABC内一点．（1）连接PB、PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B、C、P的对应点分别为点D、A、E，连接CE．①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP⊥CE，AB＋BP＝9，CE＝33，求AB的长．（2）如图3，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接PA、PB、PC，当AC＝4，AB＝8时，根据此图求PA＋PB＋PC的最小值．【答案】⑴①见解析，②AB ＝6；⑵47.【解析】分析：（1）①根据题意补全图形即可；②连接BD 、CD ．根据平移的性质和∠ACB ＝90°，得到四边形BCAD 是矩形，从而有CD ＝AB ，设CD ＝AB ＝x ，则PB ＝DE ＝9x -， 由勾股定理求解即可；（2）当C 、P 、M 、N 四点共线时，PA ＋PB ＋PC 最小．由旋转的性质和勾股定理求解即可．详解：（1）①补全图形如图所示；②如图：连接BD 、CD ．∵△BCP 沿射线CA 方向平移，得到△DAE ，∴BC ∥AD 且BC ＝AD ，PB ＝DE ．∵∠ACB ＝90°，∴四边形BCAD 是矩形，∴CD ＝AB ，设CD ＝AB ＝x ，则PB ＝9x -，DE ＝BP ＝9x -，∵BP ⊥CE ，BP ∥DE ，∴DE ⊥CE ，∴222CE DE CD +=，∴()()222339x x +-=， ∴6x =，即AB ＝6；（2）如图，当C 、P 、M 、N 四点共线时，PA ＋PB ＋PC 最小．由旋转可得：△AMN ≌△APB ，∴PB ＝MN ．易得△APM 、△ABN 都是等边三角形，∴PA ＝PM ，∴PA ＋PB ＋PC ＝PM ＋MN ＋PC ＝CN ，∴BN ＝AB ＝8，∠BNA ＝60°，∠PAM ＝60°，∴∠CAN ＝∠CAB ＋∠BAN ＝60°＋60°＝120°，∴∠CBN ＝90°．在Rt △ABC 中，易得：22228443BC AB AC --=∴在Rt△BCN中，22486447CN BC BN=+=+=．点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解．3．如图（1）所示，将一个腰长为2等腰直角△BCD和直角边长为2、宽为1的直角△CED 拼在一起．现将△CED绕点C顺时针旋转至△CE’D’，旋转角为a．（1）如图（2），旋转角a=30°时，点D′到CD边的距离D’A=______．求证：四边形ACED′为矩形；（2）如图（1），△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，在BC上如何取点G，使得GD’=E’D；并说明理由．（3）△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，∠CE’D=90°时，直接写出旋转角a的值．【答案】1【解析】分析：（1）过D′作D′N⊥CD于N．由30°所对直角边等于斜边的一半即可得结论．由D’A∥CE且D’A=CE=1，得到四边形ACED’为平行四边形．根据有一个角为90°的平行四边形是矩形，即可得出结论；（2）取BC中点即为点G，连接GD’．易证△DCE’≌△D’CG，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．（3）分两种情况讨论即可．详解：（1）D’A=1．理由如下：过D′作D′N⊥CD于N．∵∠NCD′=30°，CD′=CD=2，∴ND′= 12CD′=1．由已知，D’A∥CE，且D’A=CE=1，∴四边形ACED’为平行四边形．又∵∠DCE=90°，∴四边形ACED’为矩形；（2）如图，取BC中点即为点G，连接GD’．∵∠DCE=∠D’CE’=90°，∴∠DCE’=∠D’CG．又∵D’C= DC，CG=CE’，∴△DCE’≌△D’CG，∴GD’=E’D．（3）分两种情况讨论：①如图1．∵∠CE′D=90°，CD=2，CE′=1，∴∠CDE′=30°，∴∠E′CD=60°，∴∠E′CB=30°，∴旋转角=∠ECE′=180°+30°=210°．②如图2，同理可得∠E′CE=30°，∴旋转角=360°－30°=330°．点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．4．如图①，在ABCD中，AB=10cm，BC=4cm，∠BCD=120°，CE平分∠BCD交AB于点E.点P从A点出发，沿AB方向以1cm/s的速度运动，连接CP，将△PCE绕点C逆时针旋转60°，使CE与CB重合，得到△QCB，连接PQ.（1）求证：△PCQ是等边三角形；（2）如图②，当点P在线段EB上运动时，△PBQ的周长是否存在最小值？若存在，求出△PBQ周长的最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图③，当点P在射线AM上运动时，是否存在以点P、B、Q为顶点的直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.（1）（2）（3）【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析；（3）t为2s或者14s.【解析】分析：（1）根据旋转的性质，证明△PCE≌△QCB，然后根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质证得△BCE为等边三角形，然后根据全等三角形的性质得到△PBQ的周长为4+CP，然后垂线段最短可由直角三角形的性质求解即可；（3）根据点的移动的距离，分类讨论求解即可.详解：（1）∵旋转∴△PCE≌△QCB∴CP=CQ，∠PCE =∠QCB，∵∠BCD=120°，CE平分∠BCD，∴∠PCQ=60°，∴∠PCE +∠QCE=∠QCB+∠QCE=60°，∴△PCQ为等边三角形.（2）存在∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=60 ，∵在平行四边形ABCD 中，∴AB∥CD∴∠ABC=180°﹣120°=60°∴△BCE为等边三角形∴BE=CB=4∵旋转∴△PCE≌△QCB∴EP=BQ，∴C△PBQ=PB+BQ+PQ=PB+EP+PQ=BE+PQ=4+CP∴CP⊥AB时，△PBQ周长最小当CP⊥AB时，CP=BCsin60°=∴△PBQ周长最小为4＋（3）①当点B与点P重合时，P,B,Q不能构成三角形②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠CPE=∠CQB，∠CPQ=∠CPB+∠BPQ=60°则：∠BPQ+∠CQB＝60°，又∵∠QPB+∠PQC+∠CQB+∠PBQ=180°∴∠CBQ=180°—60°—60°=60°∴∠QBP=60°，∠BPQ＜60°，所以∠PQB可能为直角由（1）知，△PCQ为等边三角形，∴∠PBQ=60°，∠CQB＝30°∵∠CQB＝∠CPB∴∠CPB=30°∵∠CEB＝60°，∴∠ACP＝∠APC=30°∴PA=CA=4，所以AP=AE-EP=6-4=2÷=s所以t＝212③当6＜t＜10时，由∠PBQ＝120°＞90°，所以不存在④当t＞10时，由旋转得：∠PBQ=60°，由（1）得∠CPQ=60°∴∠BPQ=∠CPQ+∠BPC=60°+∠BPC，而∠BPC＞0°，∴∠BPQ＞60°∴∠BPQ=90°，从而∠BCP=30°，∴BP=BC=4所以AP=14cm所以t=14s综上所述：t为2s或者14s时，符合题意。
共顶点模型-2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案(全国通用)(原卷版)
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题1共顶点模型模型1：等腰三角形共顶点模型2：等腰直角三角形共顶点模型3：等边三角形共顶点解题策略模型4：相似三角形共顶点【例1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC为等边三角形，D为AC边上一点，连接BD，M为BD的中点，连接AM．(1)如图1，若AB＝2√3+2，∠ABD＝45°，求△AMD的面积；(2)如图2，过点M作MN⊥AM与AC交于点E，与BC的延长线交于点N，求证：AD＝CN；(3)如图3，在（2）的条件下，将△ABM沿AM翻折得△AB′M，连接B'N，当B'N取得最小经典例题值时，直接写出BN−DE的值．MN【例2】（2022·江苏·八年级专题练习）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD，BE，点A、D、E在同一条直线上，则∠AEB的度数为__________，线段AD、BE之间的数量关系__________；（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD，BE，点A、D、E不在一条直线上，请判断线段AD、BE之间的数量关系和位置关系，并说明理由．（3）解决问题：如图3，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=α，则直线AD和BE的夹角为__________．（请用含α的式子表示）【例3】．（2022·江苏·八年级课时练习）如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D 是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．【例4】（2021·福建·闽江学院附中九年级期中）正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为3和1，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转．（1）当旋转至图1位置时，连接BE，DG，则线段BE和DG的关系为；（2）在图1中，连接BD，BF，DF，求在旋转过程中△BDF的面积最大值；（3）在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，求线段BE的长．一、解答题1．（2022·四川自贡·九年级专题练习）问题：如图1，在等边三角形ABC内，点P到顶点A、B、C的距离分别是3，4，5，求∠APB的度数？探究：由于P A、PB、PC不在同一个三角形中，为了解决本题，我们可以将△ABP绕点A 逆时针旋转60°到△ACP′处，连结P P′，这样就将三条线段转化到一个三角形中，从而利用全等的知识，求出∠APB的度数．请你写出解答过程：应用：请你利用上面的方法解答：如图2，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点，且∠EAF=45°，求证：BE2+FC2=EF22．（2022·全国·九年级专题练习）【探究发现】（1）如图1，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足是O，求证：AB2+CD2=AD2+BC2．【拓展迁移】（2）如图2．以三角形ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，求证：CE⊥BG．（3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接GE，若∠EGA=90°，GE=6，AG=8，则培优训练BC的长_____________．（直接填写答案）3．（2022·全国·八年级课时练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE，则△ABD≌△ACE．(1)请证明图1的结论成立；(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．4．（2022·重庆开州·八年级期末）在正方形ABCD中，连接对角线AC，在AC上截取AE=BC，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，延长AF交BC于点M．(1)如图1，连接ME并延长交AD的延长线于点Q，若BC=5，求△AQM的面积；(2)如图2，过点A作AP⊥AM于点A，交CD的延长线于点P，求证：AP−2FM=BE．5．（2022·福建省福州延安中学模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＝BC，D为斜边AB上一动点（不与端点A，B重合），以C为旋转中心，将CD逆时针旋转90°得到CE，连接AE，BE，F为AE的中点．(1)求证：BE⊥AB；(2)用等式表示线段CD，BE，CF三者之间数量关系，并说明理由；(3)若CF＝3，CD＝√5，求tan∠BCE的值．26．（2022·浙江湖州·中考真题）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分别表示∠A，∠B 的对边，a>b．记△ABC的面积为S．(1)如图1，分别以AC ，CB 为边向形外作正方形ACDE 和正方形BGF C ．记正方形ACDE 的面积为S 1，正方形BGFC 的面积为S 2． ①若S 1=9，S 2=16，求S 的值；②延长EA 交GB 的延长线于点N ，连结FN ，交BC 于点M ，交AB 于点H ．若FH ⊥AB （如图2所示），求证：S 2−S 1=2S ．(2)如图3，分别以AC ，CB 为边向形外作等边三角形ACD 和等边三角形CBE ，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2−S1与S之间的等量关系，并说明理由．7．（2022·贵州遵义·三模）某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：(1)发现问题：如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，点M是边BC上任意一点，连接AM，以AM 为腰作等腰△AMN，使AM=AN，∠MAN=∠BAC，连接CN．求证：∠ACN=∠ABM．(2)类比探究：如图2，在等腰△ABC中，∠B=30°，AB=BC，AC=4，点M是边BC上任意一点，以AM为腰作等腰△AMN，使AM=MN，∠AMN=∠B．在点M运动过程中，AN是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．(3)拓展应用：如图3，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，以DE为边作正方形DEFG，H 是正方形DEFG的中心，连接CH．若正方形DEFG的边长为6，CH=2√2，求△CDH的面积．8．（2022·重庆一中七年级期中）如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．(1)如图1，若∠BAC＝90°，当C、D、E共线时，AD的延长线AF⊥BC交BC于点F，则∠ACE ＝______；(2)如图2，连接CD、BE，延长ED交BC于点F，若点F是BC的中点，∠BAC＝∠DAE，证明：AD⊥CD；(3)如图3，延长DC到点M，连接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延长ED、BM交于点N，连接AN，若∠BAC＝2∠NAD，请写出∠ADM、∠DAE它们之间的数量关系，并写出证明过程．9．（2022·重庆巴蜀中学一模）在等边△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，将线段DE 绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，连接CF．(1)如图（1），点D是AB的中点，点E与点C重合，连接AF．若AB=6，求AF的长；(2)如图（2），点G在AC上且∠AGD=60°+∠FCB，求证：CF=DG；(3)如图（3），AB=6，BD=2CE，连接AF．过点F作AF的垂线交AC于点P，连接BP、DP．将△BDP沿着BP翻折得到△BQP，连接QC．当△ADP的周长最小时，直接写出△CPQ 的面积．10．（2022·江苏·八年级课时练习）△ACB和△DCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形．(1)问题发现：如图1，若点A，D，E在同一直线上，连接AE，BE．①求证：△ACD≌△BCE；②求∠AEB的度数．(2)类比探究：如图2，点B、D、E在同一直线上，连接AE，AD，BE，CM为△DCE中DE 边上的高，请求∠ADB的度数及线段DB，AD，DM之间的数量关系，并说明理由．(3)拓展延伸：如图3，若设AD（或其延长线）与BE的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明．11．（2022·浙江·诸暨市浣江初级中学一模）【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE ＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD ＝6，BD＝10，则CD＝．12．（2022·河南周口·九年级期末）观察猜想(1)如图1，在等边△ABC中，点M是边BC上任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN，则∠ABC与∠ACN的数量关系是______．(2)类比探究如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．(3)拓展延伸如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是边BC上任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连按CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．13．（2021·辽宁·东港市第七中学一模）如图，在△ABC、△ADE中，AB=AC，AD=AE，设∠BAC=∠DAE=α．连接BD，以BC、BD为邻边作▱BDFC，连接EF．(1)若α=60°，当AD、AE分别与AB、AC重合时（图1），易得EF=CF．当△ADE绕点A顺时针旋转到（图2）位置时，请直接写出线段EF、CF的数量关系________；(2)若α=90°，当△ADE绕点A顺时针旋转到（图3）位置时，试判断线段EF、CF的数量关系，并证明你的结论；(3)若α为任意角度，AB=6，BC=4，AD=3，△ADE绕点A顺时针旋转一周（图4），当A、E、F三点共线时，请直接写出AF的长度．14．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】(1)如图1，对余四边形中，AB = 5，BC = 6，CD = 4，连接AC，若AC = AB，则cos∠ABC=___________，sin∠CAD=__________．(2)如图2，凸四边形中，AD = BD，AD⊥BD，当2CD2 + CB2 = CA2时，判断四边形ABCD 是否为对余四边形，证明你的结论．【拓展提升】(3)在平面直角坐标中，A（－1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边= u，点D的纵形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC = 90° + ∠ABC．设AEBE坐标为t，请在下方横线上直接写出u与t的函数表达，并注明t的取值范围____________________________ ．15．（2022·陕西咸阳·八年级期末）△ABC和△ADE如图所示，其中∠ABC=∠ACB,∠ADE=∠AED,∠BAC=∠DAE．(1)如图①，连接BE、CD，求证：BE=CD；(2)如图②，连接BE、CD、BD，若∠BAC=∠DAE=60°，CD⊥AE，AD=3，CD=5，求BD的长．16．（2022·河北保定·八年级期末）如图1，∠ACD=90°，AC=DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB；过点C作CE⊥CB，与MN交于点E．(1)连接AD，AD是AC的______倍；(2)直线MN在图1所示位置时，可以得到线段BD和AE的数量关系是______，BD−BA与BC之间的数量关系是______，请证明你的结论；(3)直线MN绕点A旋转到图2的位置，若BD=2，BC=√2，则AB的长为______（直接写结果）；(4)直线MN绕点A旋转到图3的位置时，直接写出线段BA，BC，BD之间的数量关系______．17．（2021·江苏苏州·八年级期中）【理解概念】当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．(1)【巩固新知】如图①，若AD=3，AD=DB=DC，BC=3√2，则四边形ABCD______（填“是”或“否”）真等腰直角四边形．(2)【深度理解】在图①中，如果四边形ABCD是真等腰直角四边形，且∠BDC=90°，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当AD=4，AB=3时，则边BC的长是______．(3)如图②，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且∠BDC=90°，∠ADE=90°，BD＞AD＞AB，对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线．求证：AC=BE．(4)【拓展提高】在图3中，已知：四边形ABCD是等腰直角四边形，对角线BD是这个四边形的等腰直角线．若BD正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且AD=3，AB=4，∠BAD=45°，求AC的长．18．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．(1)求证：BD=CE．(2)求证：AP平分∠BPE．(3)若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由．19．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，点E 为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．（1）如图1，当∠BAC=50°时，则∠AED=_______°；（2）当∠BAC=60°时，①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明；②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE．P为直线CF上一动点．当PE−PD 的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_______，并证明．20．（2021·安徽合肥·八年级阶段练习）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，BD与CE交于点O，BD与AC交于点F．（1）求证：BD＝CE．（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度数．（3）若G为CE上一点，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求证：BD⊥AC．21．（2021·福建省福州延安中学九年级期中）如图，△ABC为等边三角形，点D为线段BC 上一点，将线段AD以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE，点D关于直线BE的对称点为F，BE与DF交于点G，连接DE，EF．（1）求证：∠BDF＝30°（2）若∠EFD＝45°，AC＝√3+1，求BD的长；（3）如图2，在（2）条件下，以点D为顶点作等腰直角△DMN，其中DN＝MN＝√2，连接FM，点O为FM的中点，当△DMN绕点D旋转时，求证：EO的最大值等于BC．22．（2021·河南许昌·九年级期中）如图，在等腰直角三角形ABC和ADE中，AC＝AB，AD ＝AE，连接BD，点M、N分别是BD，BC的中点，连接MN．（1）如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出线段BE与线段MN的数量关系是，位置关系是．（2）当△ADE绕点A旋转时，连接BE，上述结论是否依然成立，若成立，请就图2情况给出证明；若不成立，请说明理由．（3）当AC＝8时，在△ADE绕点A旋转过程中，以D，E，M，N为顶点可以组成平行四边形，请直接写出AD的长．23．（2021·福建莆田·九年级期中）如图1，在等边△ABC中，∠A=60°,AB=AC，点D，E分别在边AB,AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE,DC,BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，∠MPN=；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE，则上面题（1）中的两个结论是否依然成立，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4,AB=10，请直接写出△PMN 周长的最大值24．（2021·四川·成都七中八年级期中）已知，在△ABC中，AB=AC，（1）如图1，∠ABC=2α,∠BDA=α,若α=30°，且点D在CA的延长线上时，求证：CD2= BD2+AD2；（2）如图2，∠ABC=2α,∠BDA=α,若α=30°，试判断AD，BD，CD之间的等量关系，并说明理由（3）如图3，若∠BDA=∠ABC=45°,AD=6√2,BD=5，求CD的长．25．（2021·河南南阳·八年级期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．（1）如图1，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF、求证：△DEF是等腰直角三角形经过分析已知条件AB＝AC，D为BC的中点．容易联想等腰三角形三线合一的性质，因此，连结AD（如图2），以下是某同学由已知条件开始，逐步按层次推出结论的流程图．请帮助该同学补充完整流程图．补全流程图：①___≅____，②∠EDF＝___（2）如果E、F分别为AB、CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，试猜想△DEF 是否仍为等腰直角三角形？请在备用图中补全图形、先作出判断，然后给予证明．26．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级期中）正方形ABCD中，点E、F在BC、CD 上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．（1）如图1，求证AE⊥BF；（2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝√2BN；，求AB的长（3）在（2）的条件下，若tan∠AEB＝3，S△CHN＝95。
四边形的相关概念、判定及性质(压轴突破)(原卷版)—2024年中考数学【高分突破】压轴题培优专题精练
A ．134,55æöç÷èø2．已知点P 在矩形ABCD A ．若PD BC =，则C ．若PC PD =，则A ．35B ．45C ．324．如图，菱形ABCD 中，60A Ð=°，4AB =，点M E 、F ，若点A 与点M 关于直线EF 对称，则:DE BFA ．2B ．65A ．两问都正确B ．两问都不正确C ．第（1）问正确，第（2）问错误D ．第（1）问错误，第（2）问正确6．如图，▱OABC 的顶点()0,0O ，()4,0A ，点()5,1E 是边AB 的中点，则对角线AC ，标为（ ）A ．()3,1B ．7．如图，在矩形ABCD 中，连接AE 、CF ．甲说：图中若A ．先是平行四边形，平移3个单位长度后是菱形B ．先是平行四边形，平移3个单位长度后是矩形，再平移2C ．先是平行四边形，平移3个单位长度后是矩形，再平移3D ．在Rt BCD V 平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形二、填空题9．矩形OABC 在平面直角坐标系如图所示，12OA =，24OC =，点10．如图，沿EF 折叠菱形纸片则12．如图，将一副三角板放置在盒子中，动，12cm AC EF ==，则线段13．如图在矩形ABCD 中，AB 向右下方向平移到IHC V 的位置，新组成的矩形CFGH 与矩形ABCD14．如图，点G 是矩形ABCD 对应点分别是点E ，F ，且点6AD =，4AB =，当G ，E15．如图，在平面直角坐标系中，正方形2B ，3B 都在x 轴上，点C (1,1)，则点4C 的坐标为16．如图，点G 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接过点E 作EF CE ^，过点G 作GF CG ^，EF 和AD 为边作矩形ADHI ．记CEH △的面积为S 4AB =，1233S S S +-=，则CE = ．三、解答题17．阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，已知四边形ABCD H 是AF 的中点，连接DH ，HE ，求证：点拨1：如图②，延长EH 交AD 于点M ，由题意可知AD EF P ，易证：()AAS AMH FEH V V ≌，可得AM EF =，又因为DM AD AM =-，=-DE CD CE ，且CE EF =，所以DM DE =，所以点角三角形MDE 斜边ME 上的中点，所以DH HE ^且1DH HE=．点拨2：如图③，延长使得HM DH =，连接、，，可证得四边形(1)求证：AG GF =(2)若6AB =，AD =19．如图，正方形ABCD 于点F ，过E 作EG过点C 作CN AM ∥交DE 的延长线于点N ，则四边AMNC 是平行四边形（依据利用“等积变形”可得：ADEC AMNCS S =正方形平行四边形将AMNC Y 沿直线MQ 向下平移MA 的长度得到A M N C ¢¢¢¢Y 若点A ¢恰好与点Q 重合，即MA AQ =，则A M N C ¢¢¢¢Y 即为QACC ¢Y 延长CC ¢交QP 于点H ，利用“等积变形”可得：QACC QATHS S ¢=四边形四边形ADEC QATHS S =正方形四边形同理：BCFG BPHTS S =正方形四边形(1)上述证明过程中的依据是___________．(2)根据小明的思路，请你帮助小明证明“若点A¢恰好与点Q重合”这一猜想．(3)已知：（如图2）正方形ABCD的边长为8，E是边CD上的一个动点，以CE为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BD，BF，点E在运动的过程中，DBFV的面积是否发生变化，若变化说出变化的理由，若不变，请直接写出DBFV的面积．。
2023年中考数学压轴题培优教案专题04 一线三等角模型(含答案解析)
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题4一线三等角模型在直线AB 上有一点P,以A,B,P 为顶点的∠1,∠2,∠3相等,∠1,∠2的一条边在直线AB 上,另一条边在AB 同侧,∠3两边所在的直线分别交∠1,∠2非公共边所在的直线于点C,D ． 1．当点P 在线段AB 上,且∠3两边在AB 同侧时． （1）如图,若∠1为直角,则有△ACP ∽△BPD ．（2）如图,若∠1为锐角,则有△ACP ∽△BPD ．2．当点P 在AB 或BA 的延长线上,且∠3两边在AB 同侧时． 如图,则有△ACP ∽△BPD ．3．当点P 在AB 或BA 的延长线上,且∠3两边在AB 异侧时． 如图,则有△ACP ∽△BPD ． 【例1】．（2022·全国·八年级课时练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形．如图1,已知：在△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,直线l 经过点A ,BD ⊥直线l ,CE ⊥直线l ,垂足分别为点D ,E ．求证：DE =BD +CE ．321DBPAC 3CDBP A321CPDBA321CDBAP（2）组员小明想,如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢？如图2,将（1）中的条件改为：在△ABC 中,AB=AC,D,A,E三点都在直线l上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立,请你给出证明；若不成立,请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3,过△ABC的边AB,AC 向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若S△AEG=7,则S△AEI=______．【例2】．（2022·全国·八年级专题练习）在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E,在直线m上方有AB= AC,且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α．(1)如图1,当α=90°时,猜想线段DE,CE之间的数量关系是____________；(2)如图2,当0<α<180°时,问题（1）中结论是否仍然成立？如成立,请你给出证明；若不成立,请说明理由；(3)应用：如图3,在△ABC中,∠BAC是钝角,AB=AC,∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC,直线m与CB的延长线交于点F,若BC=3FB,△ABC的面积是12,求△FBD与△ACE的面积之和．【例3】．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图,△ABC中∠B=∠C=30°,∠DEF=30°,且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转,在旋转过程中,射线DE与线段AB相交于点P,射线EF与射线CA相交于点Q,连结PQ．(1)如图1,当点Q在线段CA上时,①求证：△BPE∽△CEQ；②线段BE,BP,CQ之间存在怎样的数量关系？请说明理由；(2)当△APQ为等腰三角形时,求CQBP 的值．一、解答题1．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时．①请说明△ADC≌△CEB的理由；②请说明DE=AD+BE的理由；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出等量关系,并予以证明．(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等量关系：________．2．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图1,在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2,将（1）中的条件改为：在△ABC中,AB＝AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α,其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立,请给出证明；若不成立,请说明理由．（3）拓展应用：如图3,D,E是D,A,E三点所在直线m上的两动点（D,A,E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD,CE,若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC,求证：△DEF是等边三角形．3．（2022·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上,老师给出了一个模型：如图1,∠BAD=∠ACB=∠AED=90°,由∠1+∠2+∠BAD=180°,∠2+∠D+∠AED=180°,可得∠1==______．我们把这个模型称为“一线三∠D；又因为ACB=∠AED=90°,可得△ABC∽△DAE,进而得到BCAC等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发,将三等角变为非直角,如图2,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点P是BC边上的一个动点（不与B、C,点D是AC边上的一个动点,且∠APD=∠B．①求证：△ABP∽△PCD；②当点P为BC中点时,求CD的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2,当△APD为等腰三角形时,请直接写出BP的长．4．（2022·山东烟台·七年级期末）问题背景：（1）如图①,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D,E,易证：DE=______+______．（2）拓展延伸：如图②,将（1）中的条件改为：在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC,请求出DE,BD,CE三条线段的数量关系,并证明．（3）实际应用：如图③,在△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,点C的坐标为(−2,0),点A的坐标为(−6,3),请直接写出B点的坐标．5．（2021·浙江·义乌市绣湖中学教育集团八年级阶段练习）（1）模型建立,如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,CB＝CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于D,过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：x+3与y轴交于A点,与x轴交于B点,将线段AB绕点B逆时针旋转90度,得到线段BC,过①已知直线y＝34点A,C作直线,求直线AC的解析式；②如图3,矩形ABCO,O为坐标原点,B的坐标为(8,6),A,C分别在坐标轴上,P是线段BC上动点,已知点D在第一象限,且是直线y＝2x﹣5上的一点,若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标．6．（2022·江苏·八年级专题练习）（1）课本习题回放：“如图①,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD=2.5cm,DE=1.7cm．求BE的长”,请直接写出此题答案：BE的长为________．（2）探索证明：如图②,点B,C在∠MAN的边AM、AN上,AB=AC,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,且∠BED=∠CFD=∠BAC．求证：ΔABE≌ΔCAF．（3）拓展应用：如图③,在ΔABC中,AB=AC,AB>BC．点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠BED=∠CFD=∠BAC．若ΔABC的面积为15,则ΔACF与ΔBDE的面积之和为________．（直接填写结果,不需要写解答过程）7．（2022·全国·八年级课时练习）通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题：（1）如图1,∠BAD＝90°,AB＝AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°,得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°,可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝,BC ＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2,∠BAD＝∠CAE＝90°,AB＝AD,AC＝AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；（深入探究）（3）如图,已知四边形ABCD和DEGF为正方形,△AFD的面积为S1,△DCE的面积为S2,则有S1S2（填“＞、＝、＜”）8．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,直线l 经过顶点C,过A、B两点分别作l的垂线AE、BF,E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时,①求证：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．（2）将直线l绕点C顺时针旋转,使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合）,请你探究直线l,EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）9．（2021·四川达州·九年级期中）模型探究：（1）如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作BE⊥ED于点E．求证：BE=CD；模型应用：（2）已知直线l1:y=2x+4与坐标轴交于点A、B,将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2,如图2,求直线l2的函数表达式；x+4上,且AB=4√2．若直线与y轴的交点为M,M为AB中点．试判断（3）如图3,已知点A、B在直线y=12在x轴上是否存在一点C,使得△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形．10．（2022·全国·八年级课时练习）如图,线段AB=6,射线BG⊥AB,P为射线BG上一点,以AP为边做正方形APCD,且点C、D与点B在AP两侧,在线段DP上取一点E,使得∠EAP=∠BAP,直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）,（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系,并说明理由；（3）△AEF的周长是否为定值,若是,请求出这个定值,若不是,请说明理由．11．（2022·全国·八年级课时练习）如图,在△ABC中,AB＝AC＝2,∠B＝40°,点D在线段BC上运动（D不与B,C重合）,连接AD,作∠ADE＝40°,DE交线段AC于E．（1）当∠BDE＝115°时,∠BAD＝°,点D从B向C运动时,∠BAD逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时,△ABD≌△DCE,请说明理由；（3）在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变,判断当∠BAD等于多少时,△ADE是等腰三角形．12．（2022·重庆江北·,在平面直角坐标系中,已知A(a,0)、B(0,b)分别在坐标轴的正半轴上．（1）如图1,若a、b满足(a−4)2+√b−3=0,以B为直角顶点,AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,则点C的坐标是（________）；（2）如图2,若a=b,点D是OA的延长线上一点,以D为直角顶点,BD为直角边在第一象限作等腰直角△BDE,连接AE,求证：∠ABD=∠AED；（3）如图3,设AB=c,∠ABO的平分线过点D(2,−2),直接写出a−b+c的值．13．（2021·湖北·咸宁市第三初级中学八年级期中）如图,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,点A、B分别在x 轴、y轴上．（1）如图①,若点C的横坐标为5,求点B的坐标；的值；（2）如图②,若x轴恰好平分∠BAC,BC交x轴于点M,过点C作CD⊥x轴于点D,求CDAM（3）如图③,若点A的坐标为(−4,0),点B在y轴的正半轴上运动时,分别以OB、AB为边在第一、第二象限中作等腰Rt△OBF,等腰Rt△ABE,连接EF交y轴于点P,当点B在y轴上移动时,PB的长度是否发生改变？若不变求PB的值；若变化,求PB的取值范围．14．（2022·江西·丰城九中七年级期末）综合与探究：在平面直角坐标系中,已知A（0,a）,B（b,0）且a,b满足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0（1）求A,B两点的坐标（2）已知△ABC中AB=CB,∠ABC＝90°,求C点的坐标（3）已知AB＝√10,试探究在x轴上是否存在点P,使△ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在,请直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由．15．（2022·全国·八年级课时练习）如图,在△ABC中,AB＝AC＝2,∠B＝∠C＝40°,点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合）,连接AD,作∠ADE＝40°,DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝105°时,∠EDC＝°,∠DEC＝°；点D从点B向点C运动时,∠BDA逐渐变．（填“大”或“小”）（2）当DC等于多少时,△ABD≌△DCE？请说明理由．（3）在点D的运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以,请直接写出∠BDA的度数；若不可以,请说明理由．16．（2021·北京·北师大实验中学九年级开学考试）在正方形ABCD中,点E在射线CB上（不与点B,C重合）,连接DB,DE,过点E作EF⊥DE,并截取EF=DE（点D,F在BC同侧）,连接BF．（1）如图1,点E在BC边上．①依题意补全图1；②用等式表示线段BD,BE,BF之间的数量关系,并证明；（2）如图2,点E在CB边的延长线上,其他条件均不变,直接写出线段BD,BE,BF之间的数量关系．17．（2022·全国·八年级课时练习）在综合实践课上,李老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知,在等腰△ABC纸片中,CA=CB=5,∠ACB=120°,将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°,∠MPN=30°）按如图所示放置,顶点P在线段BA上滑动（点P不与A,B重合）,三角尺的直角边PM始终经过点C,并与CB的夹角∠PCB=α,斜边PN交AC于点D．（1）当∠BPC=100°时,α=______°；（2）当AP等于何值时,△APD≌△BCP？请说明理由；（3）在点P的滑动过程中,存在△PCD是等腰三角形吗？若存在,请求出夹角α的大小；若不存在,请说明理由．18．（2021·河南·舞阳县教研室八年级期中）如图,等腰直角△ABC中,BC＝AC,∠ACB＝90°,现将该三角形放置在平面直角坐标系中,点B坐标为（0,2）,点C坐标为（6,0）．（1）过点A作AD⊥x轴,求OD的长及点A的坐标；（2）连接OA,若Р为坐标平面内不同于点A的点,且以O、P、C为顶点的三角形与△OAC全等,请直接写出满足条件的点P的坐标；（3）已知OA＝10,试探究在x轴上是否存在点Q,使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在,请求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．19．（2021·山东·肥城市汶阳镇初级中学七年级阶段练习）已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线,CA=CB．E、F是直线CD上两点,∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部,∠BCD>∠ACD．①如图1,∠BCA=90°,∠α=90°,直接写出BE,EF,AF间的等量关系：__________．②如图2,∠α与∠BCA具有怎样的数量关系,能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系,并对结论进行证明；（2）如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,①中的结论是否成立？若成立,进行证明；若不成立,写出新结论并进行证明．20．（2022·全国·八年级课时练习）（1）如图（1）在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD+CE；（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中,AB＝AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α,其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立,请给出证明；若不成立,请说明理由．【例1】．（2022·全国·八年级课时练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形．如图1,已知：在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线l经过点A,BD⊥直线l,CE⊥直线l,垂足分别为点D,E．求证：DE=BD+CE．（2）组员小明想,如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢？如图2,将（1）中的条件改为：在△ABC 中,AB=AC,D,A,E三点都在直线l上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立,请你给出证明；若不成立,请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3,过△ABC的边AB,AC 向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若S△AEG=7,则S△AEI=______．{∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEAAB=AC,∴△ADB≌△CEA（AAS）,∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE．（2）解：成立．理由：如图2中,∵∠BDA=∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,∴∠DBA=∠CAE,在△ADB和△CEA中,{∠BDA=∠AEC ∠DBA=∠CAEAB=AC,∴△ADB≌△CEA（AAS）,∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE．（3）如图3,过E作EM⊥HI于M,GN⊥HI的延长线于N．∴∠EMI=∠GNI=90°由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI和△GNI中,{∠GIN=∠EIM EM=GN∠GNI=∠EMI,∴△EMI≌△GNI（AAS）,∴EI=GI,∴I是EG的中点．S△AEG=3.5．∴S△AEI=12故答案为：3.5．【点睛】本题是四边形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,正方形的性质,直角三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【例2】．（2022·全国·八年级专题练习）在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E,在直线m上方有AB= AC,且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α．(1)如图1,当α=90°时,猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是____________；(2)如图2,当0<α<180°时,问题（1）中结论是否仍然成立？如成立,请你给出证明；若不成立,请说明理由；(3)应用：如图3,在△ABC中,∠BAC是钝角,AB=AC,∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC,直线m与CB的延长线交于点F,若BC=3FB,△12,求△FBD与△ACE的面积之和．【答案】(1)DE＝BD+CE(2)DE＝BD+CE仍然成立,理由见解析(3)△FBD与△ACE的面积之和为4【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°,进而得到∠DBA＝∠EAC,然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC,最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α,进而得到∠DBA＝∠EAC,然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC,最后得到DE＝BD+CE；（3）由∠BAD＞∠CAE,∠BDA＝∠AEC＝∠BAC,得出∠CAE＝∠ABD,由AAS证得△ADB≌△CAE,得出S△ABD＝S△CEA,再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比,得出S△ABF即可得出结果．（1）解：DE＝BD+CE,理由如下,∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°,∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°,∴∠DBA ＝∠EAC ,∵AB ＝AC ,∴△DBA ≌△EAC （AAS ）,∴AD ＝CE ,BD ＝AE ,∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ,故答案为：DE ＝BD +CE ．（2）DE ＝BD +CE 仍然成立,理由如下,∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α,∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α,∴∠DBA ＝∠EAC ,∵AB ＝AC ,∴△DBA ≌△EAC （AAS ）,∴BD ＝AE ,AD ＝CE ,∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；（3）解：∵∠BAD ＜∠CAE ,∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ,∴∠CAE ＝∠ABD ,在△ABD 和△CAE 中,{∠ABD =∠CAE ∠BDA =∠CEA AB =AC,∴△ABD ≌△CAE （AAS ）,∴S △ABD ＝S △CAE ,设△ABC 的底边BC 上的高为h ,则△ABF 的底边BF 上的高为h ,∴S △ABC ＝12BC •h ＝12,S △ABF ＝12BF •h ,∵BC ＝3BF ,∴S △ABF ＝4,∵S △ABF ＝S △BDF +S △ABD ＝S △FBD +S △ACE ＝4,∴△FBD与△ACE的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质,三角形的面积,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．【例3】．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图,△ABC中∠B=∠C=30°,∠DEF=30°,且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转,在旋转过程中,射线DE与线段AB相交于点P,射线EF与射线CA相交于点Q,连结PQ．(1)如图1,当点Q在线段CA上时,①求证：△BPE∽△CEQ；②线段BE,BP,CQ之间存在怎样的数量关系？请说明理由；(2)当△APQ为等腰三角形时,求CQ的值．BP②BE²=BP·CQ,理由如下∶∵△BPE∽△CEQ∴BE CQ=BPCE∴BE·CE=BP·CQ∵点E为边BC的中点,∴BE=CE,∴BE²=BP·CQ；(2)解：①当点Q在线段AC上时,∵∠A=180°-∠B-∠C=120°,为钝角,∴△APQ为等腰三角形时有AP=AQ,∵∠B=∠C,∴AB=AC,∴BP=CQ,∴CQBP=1②当点Q在线段CA的延长线上时,如图：连接PQ∵∠BAC=120°,∴∠BAQ=60°,当△APQ为等腰三角形时,有△APQ为等边三角形设AB=AC=2a,则BC=2√3a,BE=CE=√3a,设AQ=AP=x,则CQ=2a+x,BP=2a-x,由（1）得∶BE²=BP·CQ∴(√3a)²=(2a+x)(2a-x),解得∶x=a,∴BP=a,CQ=3a,∴CQBP=3综上CQBP的值为1或3．【点睛】本题考查三角形相似综合问题,熟练掌握一线三等角的相似三角形模型是解题关键．一、解答题1．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时．①请说明△ADC≌△CEB的理由；②请说明DE=AD+BE的理由；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出等量关系,并予以证明．(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等量关系：________．【答案】(1)①理由见解析；②理由见解析(2)DE=AD−BE,证明见解析(3)DE=BE−AD【分析】本题“一线三垂直”模型即可证明全等,根据全等三角形的性质即可分别在三个图形中证明AD、EB、DE之间的关系．(1)解：①∵AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,∴∠ADC=∠BEC=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,∴∠DAC=∠BCE,在△ADC和△CEB中{∠ADC=∠BEC ∠DAC=∠BCEAC=BC,∴△ADC≌△CEB,②∵△ADC≌△CEB,∴AD=EC,CD=BE,∵DC+CE=DE,∴AD+EB=DE,(2)结论：DE=AD−BE,∵BE⊥EC,AD⊥CE,∴∠ADC=∠BEC=90°,∴∠EBC+∠BCE=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACE+∠BCE=90°,∴∠ACD=∠EBC,∴△ADC≌△CEB,∴AD=EC,CD=BE,∴DE=EC−CD=AD−EB, (3)结论：DE=BE−AD,∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∵BE⊥MN,AD⊥MN,∴∠ADC=∠DEC=90°,∴∠ACD+∠DAC=90°,∴∠DAC=∠BCE,在△ADC和△CEB中{∠ADC=∠BEC ∠DAC=∠BCE AC=BC∴△ADC≌△CEB,∴AD=EC,CD=BE,∴DE=CD−EC=EB−AD．【点睛】本题考查全等三角形的判断和性质,灵活运用“一线三垂直”模型是解题的关键．2．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图1,在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2,将（1）中的条件改为：在△ABC中,AB＝AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α,其中αABD≌△CAE是否成立？如成立,请给出证明；若不成立,请说明理由．（3）拓展应用：如图3,D,E是D,A,E三点所在直线m上的两动点（D,A,E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD,CE,若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC,求证：△DEF是等边三角形．【答案】（1）见详解；（2）成立,理由见详解；（3）见详解【分析】（1）根据BD⊥直线m,CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°,而∠BAC=90°,根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD,然后根据“AAS”可判断ΔADB≌ΔCEA；（2）利用∠BDA=∠BAC=α,则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α,得出∠CAE=∠ABD,然后问题可求证；（3）由题意易得BF=AF=AB=AC,∠ABF=∠BAF=∠FAC=60°,由（1）（2）易证ΔADB≌ΔCEA,则有AE=BD,然后可得∠FBD=∠FAE,进而可证ΔDBF≌ΔEAF,最后问题可得证．【详解】（1）证明：∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,∴∠BDA=∠CEA=90°,∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,∵∠BAD+∠ABD=90°,∴∠CAE=∠ABD,∵在ΔADB和ΔCEA中,{∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEAAB=AC,∴ΔADB≌ΔCEA(AAS)；解：（2）成立,理由如下：∵∠BDA=∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α, ∴∠CAE=∠ABD,∵在ΔADB和ΔCEA中,{∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEAAB=AC,∴ΔADB≌ΔCEA(AAS)；（3）证明：∵△ABF和△ACF均为等边三角形,∴BF=AF=AB=AC,∠ABF=∠BAF=∠FAC=60°,∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−120°,∴∠CAE=∠ABD,∴ΔADB≌ΔCEA(AAS),∴AE=BD,∵∠FBD=∠FBA+∠ABD,∠FAE=∠FAC+∠CAE,∴∠FBD=∠FAE,∴ΔDBF≌ΔEAF（SAS）,∴FD=FE,∠BFD=∠AFE,∴∠BFA=∠BFD+∠DFA=∠AFE+∠DFA=∠DFE=60°,∴△DFE是等边三角形．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定,熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．3．（2022·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上,老师给出了一个模型：如图1,∠BAD=∠ACB=∠AED=90°,由∠1+∠2+∠BAD=180°,∠2+∠D+∠AED=180°,可得∠1=∠D；又因为ACB=∠AED=90°,可得△ABC∽△DAE,进而得到BCAC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发,将三等角变为非直角,如图2,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合）,点D是AC边上的一个动点,且∠APD=∠B．①求证：△ABP∽△PCD；②当点P为BC中点时,求CD拓展：（3）在（2）的条件下如图2,当△APD为等腰三角形时,请直接写出BP的长．【答案】感知：（1）AEDE ；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或113【分析】（1）根据相似三角形的性质,即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C,根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD,即可求证；②根据相似三角形的性质计算,即可求解；（3）分P A=PD、AP=AD、DA=DP三种情况,根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质,即可求解．．综上所述,当△APD为等腰三角形时, BP的长为2或113【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4．（2022·山东烟台·七年级期末）问题背景：（1）如图①,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D,E,易证：DE=______+______．（2）拓展延伸：如图②,将（1）中的条件改为：在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC,请求出DE,BD,CE三条线段的数量关系,并证明．（3）实际应用：如图③,在△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,点C的坐标为(−2,0),点A的坐标为(−6,3),请直接写出B点的坐标．∴△ADB≌△CEA,∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE,即：DE=BD+CE,故答案为：BD；CE；（2）解：数量关系：DE=BD+CE,证明：在△ABD中,∠ABD=180°−∠ADB−∠BAD,∵∠CAE=180°−∠BAC−∠BAD,∠BDA=∠AEC,∴∠ABD=∠CAE,在△ABD和△CAE中,{∠ABD＝∠CAE∠BDA＝∠AECAB＝CA∴△ABD≌△CAE,∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AD+AE=BD+CE；（3）解：如图,作AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,由（1）可知,△AEC≌△CFB,∴CF=AE=3,BF=CE=OE−OC=4,∴OF=CF−OC=1,∴点B的坐标为B(1,4)．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2021·浙江·义乌市绣湖中学教育集团八年级阶段练习）（1）模型建立,如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,CB＝CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于D,过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：x+3与y轴交于A点,与x轴交于B点,将线段AB绕点B逆时针旋转90度,得到线段BC,过①已知直线y＝34点A,C作直线,求直线AC的解析式；②如图3,矩形ABCO,O为坐标原点,B的坐标为(8,6),A,C分别在坐标轴上,P是线段BC上动点,已知点D在第一象限,且是直线y＝2x﹣5上的一点,若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标．综上可知满足条件的点D的坐标分别为(3,1)或(9，13)或(193，233)．【点睛】本题为一次函数的综合应用,涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、分类讨论及数形结合的思想,解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解．6．（2022·江苏·八年级专题练习）（1）课本习题回放：“如图①,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD=2.5cm,DE=1.7cm．求BE的长”,请直接写出此题答案：BE的长为________．（2）探索证明：如图②,点B,C在∠MAN的边AM、AN上,AB=AC,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,且∠BED=∠CFD=∠BAC．求证：ΔABE≌ΔCAF．（3）拓展应用：如图③,在ΔABC中,AB=AC,AB>BC．点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠BED=∠CFD=∠BAC．若的面积为15,则ΔACF与ΔBDE的面积之和为________．（直接填写结果,不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC,根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得∠BEA＝∠AFC,∠4＝∠ABE,根据AAS可证明△ABE≌△CAF；（3）先证明△ABE≌△CAF,得到ΔACF与ΔBDE的面积之和为△ABD的面积,再根据CD=2BD故可求解．【详解】解：（1）∵BE⊥CE,AD⊥CE,∴∠E＝∠ADC＝90°,∴∠EBC＋∠BCE＝90°．∵∠BCE＋∠ACD＝90°,∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中,{∠E=∠ADC∠EBC=∠DCABC=AC∴△CEB≌△ADC（AAS）,∴BE＝DC,CE＝AD＝2.5cm．∵DC＝CE−DE,DE＝1.7cm,∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm,∴BE＝0.8cm故答案为：0.8cm；（2）证明：∵∠1＝∠2,∴∠BEA＝∠AFC．∵∠1＝∠ABE＋∠3,∠3＋∠4＝∠BAC,∠1＝∠BAC,∴∠BAC＝∠ABE＋∠3,∴∠4＝∠ABE．∵∠AEB＝∠AFC,∠ABE＝∠4,AB＝AC,∴△ABE≌△CAF（AAS）．（3）∵∠BED=∠CFD=∠BAC7．（2022·全国·八年级课时练习）通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题：（1）如图1,∠BAD＝90°,AB＝AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°,得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°,可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝,BC ＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2,∠BAD＝∠CAE＝90°,AB＝AD,AC＝AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；（深入探究）（3）如图,已知四边形ABCD和DEGF为正方形,△AFD的面积为S1,△DCE的面积为S2,则有S1S2（填“＞、＝、＜”）【答案】（1）DE；（2）见解析；（3）=【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；（2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H,EQ⊥FG于点Q,进而可得∠BAF=∠ADH,然后可证△ABF≌△DAH,则有AF=DH,进而可得DH=EQ,通过证明△DHG≌△EQG可求解问题；（3）过点D作DO⊥AF交AF于O,过点E作EN⊥OD交OD延长线于N,过点C作CM⊥OD交OD延长线于M,由题意易得∠ADC=∠90°,AD=DC,DF=DE,然后可得∠ADO=∠DCM,则有△AOD≌△DMC,△FOD≌△DNE,进而可得OD=NE,通过证明△ENP≌△CMP及等积法可进行求解问题．【详解】解：（1）∵△ABC≌△DAE,∴AC=DE；（2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H,EQ⊥FG于点Q,如图所示：∴∠DAH+∠ADH=90°,∵∠BAD=90°,∴∠BAF+∠DAH=90°,∴∠BAF=∠ADH,∵BC⊥AF,∴∠BFA=∠AHD=90°,∵AB=DA,∴△ABF≌△DAH,∴AF=DH,同理可知AF=EQ,∴DH=EQ,∵DH⊥FG,EQ⊥FG,∴∠DHG=∠EQG=90°,∵∠DGH=∠EGQ∴△DHG≌△EQG,∴DG=EG,即点G是DE的中点；（3）S1=S2,理由如下：如图所示,过点D作DO⊥AF交AF于O,过点E作EN⊥OD交OD延长线于N,过点C作CM⊥OD交OD延长线于M∵四边形ABCD与四边形DEGF都是正方形∴∠ADC=∠90°,AD=DC,DF=DE∵DO⊥AF,CM⊥OD,∴∠AOD=∠CMD=90°,∠OAD+∠ODA=90°,∠CDM+∠DCM=90°,又∵∠ODA+∠CDM=90°,∴∠ADO=∠DCM,∴△AOD≌△DMC,∴S△AOD=S△DMC,OD=MC,同理可以证明△FOD≌△DNE,∴S△FOD=S△DNE,OD=NE,∴MC =NE,∵EN⊥OD,CM⊥OD,∠EPN=∠CMP,∴△ENP≌△CMP,∴S△ENP=S△CMP,∵S△ADF=S△AOD+S△FOD,S△DCE=S△DCM−S△CMP+S△DEN+S△ENP,∴S△DCE=S△DCM+S△DEN=S△AOD+S△FOD,∴S△DCE=S△ADF即S1=S2．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法,熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．8．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,直线l 经过顶点C,过A、B两点分别作l的垂线AE、BF,E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时,①求证：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．（2）将直线l绕点C顺时针旋转,使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合）,请你探究直线l,EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）【答案】（1）①证明见解析,②EF＝AE+BF；证明见解析；（2）AE＝BF+EF或BF＝AE+EF．【分析】（1）①根据∠AEC＝∠BFC＝90°,利用同角的余角相等证明∠EAC＝∠FCB即可；②根据AAS证△EAC≌△FCB,推出CE＝BF,AE＝CF即可；（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等,求出线段之间的关系即可．【详解】（1）证明：①∵AE⊥EF,BF⊥EF,∠ACB＝90°,∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°,∴∠EAC+∠ECA＝90°,∠ECA+∠FCB＝90°,∴∠EAC＝∠FCB,②EF＝AE+BF；证明：在△EAC和△FCB中,{∠AEC =∠CFB ∠EAC =∠FCB AC =BC,∴△EAC ≌△FCB （AAS ）,∴CE ＝BF ,AE ＝CF ,∴EF ＝CE +CF ＝AE +BF ,即EF ＝AE +BF ；（2）①当AD ＞BD 时,如图①,∵∠ACB ＝90°,AE ⊥l 直线,同理可证∠BCF ＝∠CAE （同为∠ACD 的余角）,又∵AC ＝BC ,BF ⊥l 直线即∠BFC ＝∠AEC ＝90°,∴△ACE ≌△CBF （AAS ）,∴CF ＝AE ,CE ＝BF ,∵CF ＝CE +EF ＝BF +EF ,∴AE ＝BF +EF ；②当AD ＜BD 时,如图②,∵∠ACB ＝90°,BF ⊥l 直线,同理可证∠CBF ＝∠ACE （同为∠BCD 的余角）,又∵AC ＝BC ,BE ⊥l 直线,即∠AEC ＝∠BFC ＝90°．∴△ACE ≌△CBF （AAS ）,∴CF ＝AE ,BF ＝CE ,∵CE ＝CF +EF ＝AE +EF ,∴BF ＝AE +EF ．【点睛】本题考查了三角形综合题,主要涉及到了全等三角形的判定与性质,解题关键是证明△ACE≌△CBF（AAS）,利用全等三角形的性质得出线段之间的关系．9．（2021·四川达州·九年级期中）模型探究：（1）如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作BE⊥ED于点E．求证：BE=CD；模型应用：（2）已知直线l1:y=2x+4与坐标轴交于点A、B,将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2,如图2,求直线l2的函数表达式；x+4上,且AB=4√2．若直线与y轴的交点为M,M为AB中点．试判断（3）如图3,已知点A、B在直线y=12在x轴上是否存在一点C,使得△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形．。
倍长中线模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案(全国通用)(原卷版)
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题5倍长中线模型如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）．如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE＝FD，易证：△FDB≌△EDC（SAS）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．【例1】．（2020·陕西咸阳·一模）问题提出（1）如图，AD是△ABC的中线，则AB+AC__________2AD；（填“>”“<”或“=”）问题探究（2）如图，在矩形ABCD中，CD=3,BC=4，点E为BC的中点，点F为CD上任意一点，当△AEF的周长最小时，求CF的长；②图①图构造全等倍长类中线倍长中线D CBAFFAB CAB CDCA经典例题解题策略问题解决（3）如图，在矩形ABCD中，AC=4,BC=2，点O为对角线AC的中点，点P为AB上任意一点，点Q为AC上任意一点，连接PO、PQ、BQ，是否存在这样的点Q，使折线OPQB的长度最小？若存在，请确定点Q的位置，并求出折线OPQB的最小长度；若不存在，请说明理由．【例2】．（2021·湖北武汉·八年级期中）已知△ABC中，（1）如图1，点E为BC的中点，连AE并延长到点F，使FE=EA，则BF与AC的数量关系是________．（2）如图2，若AB=AC，点E为边AC一点，过点C作BC的垂线交BE的延长线于点D，连接AD，若∠DAC=∠ABD，求证：AE=EC．（3）如图3，点D在△ABC内部，且满足AD=BC，∠BAD=∠DCB，点M在DC的延长线上，连AM交BD的延长线于点N，若点N为AM的中点，求证：DM=AB．【例3】（2020·安徽合肥·二模）如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分∠EAD，交CD于点F．(1)如图1，若点F恰好为CD中点，求证：AE=BE+2CE；(2)在(1)的条件下，求CE的值；BC(3)如图2，延长AF交BC的延长线于点G，延长AE交DC的延长线于点H，连接HG，当CG=DF时，求证：HG⊥AG．【例4】．（2020·江西宜春·一模）将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，OA =OB,OC =OD,∠AOB =∠COD =90°，连接AC,BD ．（1）如图1,若A 、O 、D 三点在同一条直线上，则AC 与BD 的关系是 ；（2）如图2，若A 、O 、D 三点不在同一条直线上,AC 与BD 相交于点E ，连接OE ,猜想AE 、BE 、OE 之间的数量关系，并给予证明；（3）如图3，在(2)的条件下作BC 的中点F ,连接OF ，直接写出AD 与OF 之间的关系．一、解答题1．（2022·全国·八年级）如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8，求AC 边上的中线BD 的取值范围． （1）小聪同学是这样思考的：延长BD 至E ，使DE ＝BD ，连接CE ，可证得△CED ≌△ABD ． ①请证明△CED ≌△ABD ； ②中线BD 的取值范围是 ．（2）问题拓展：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，分别以AB ，BC 为直角边向△ABC 外作等腰直角三角形ABM 和等腰直角三角形BCN ，其中，AB ＝BM ，BC ＝BN ，∠ABM ＝∠NBC ＝∠90°，连接MN ．请写出BD 与MN 的数量关系，并说明理由．培优训练2．（2022·全国·八年级课时练习）【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．在△ABD与△ECD中{BD=DC∠ADB=∠EDCAD=DE∴△ABD≅△ECD（SAS）∴AB＝．又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∴＜AE＜．又∵AE＝2AD．∴＜AD＜．【探索应用】如图②，AB∥CD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为．（直接写答案）【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP．3．（2022·江苏·八年级课时练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．4．（2022·全国·八年级课时练习）已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．5．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝180°．（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝2√2，求OB的长；（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．6．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．(1)如图1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．7．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，在△ABC中，CM是AB边的中线，∠BCN=∠BCM交AB延长线于点N，2CM=CN．（1）求证AC=BN；的值．（2）如图2，NP平分∠ANC交CM于点P，交BC于点O，若∠AMC=120°，CP=kAC，求CPCM 8．（2021·全国·八年级单元测试）（1）如图1，△ABC中，AD为中线，求证：AB+AC＞2AD；（2）如图2，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F．求证：BE+CF＞EF．9．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；（2）如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；（3）如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．10．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM＝BM，点D是线段AM上一动点．（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD＝MC，连接AC，若BD＝17，求AC的长；（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F 是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．（3）如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE，AE＝EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）11．（2022·全国·八年级课时练习）已知：等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．（1）如图1，延长DE交BC于点F，若∠BAE=68°，则∠DFC的度数为；（2）如图2，连接EC、BD，延长EA交BD于点M，若∠AEC=90°，求证：点M为BD中点；（3）如图3，连接EC、BD，点G是CE的中点，连接AG，交BD于点H，AG=9，HG=5，直接写出△AEC的面积．12．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．（1）如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长MP交CN于点E．求证：PM=PE．（2）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时S△BMP+S△CNP=7，BM=1，CN=3，求MN的长度．（3）若过P点作PG⊥直线a于点G．试探究线段PG、BM和CN的关系．13．（2021·陕西·西安市铁一中学八年级开学考试）（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是；中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．14．（2020·辽宁·大连市第三十四中学八年级阶段练习）课堂上，老师出示了这样一个问题：如图1，点D是△ABC边BC的中点，AB=5，AC=3，求AD的取值范围．（1）小明的想法是，过点B作BE//AC交AD的延长线于点E，如图2，从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；（2）请按照上述提示，解决下面问题：在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D边AC延长线上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，过点A作AF⊥AE，且AF=AE，连接EF交BC于点G，连接CF，求证BG=CG．15．（2022·全国·八年级课时练习）如图，点P是∠MON内部一点，过点P分别作PA∥ON交OM于点A，PB∥OM交ON于点B（P A≥PB），在线段OB上取一点C，连接AC，将△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，延长AD交PB于点E，延长CD交PB于点F．（1）如图1，当四边形AOBP是正方形时，求证：DF＝PF；（2）如图2，当C为OB中点时，试探究线段AE，AO，BE之间满足的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，∠ACE的平分线CH交AE于点H，设OA＝a，BE＝b，若∠CAO ＝∠CEB，求△CDH的面积（用含a，b的代数式表示）．16．（2022·全国·八年级专题练习）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），①延长AD到M，使得DM＝AD；②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．17．（2022·全国·八年级课时练习）（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE．利用全等将边AC 转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_________，中线AD的取值范围是_________；（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN．求证：BM＋CN＞MN；（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM 和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由．18．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交CE于点P．（1）如图1，求证：∠BPC＝120°；（2）点M是边BC的中点，连接P A，PM，延长BP到点F，使PF＝PC，连接CF，①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是．②如图3，若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．19．（2022·山东德州·八年级期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB//CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．20．（2021·重庆市渝北中学校九年级阶段练习）（1）如图1．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC ＝6，点D、E分别在边CA，CB上且CD＝3，CE＝4，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是．（提示：延长CF到点M，使FM＝CF，连接AM）（2）将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为．21．（2022·安徽宿州·九年级期末）已知：在矩形ABCD中，连接AC，过点D作DF⊥AC，交AC于点E，交AB于点F．（1）如图1，若tan∠ACD=√2．2①求证：AF=BF；②连接BE，求证：CD=√2BE．（2）如图2，若AF2=AB⋅BF，求cos∠FDC的值．22．（2022·全国·八年级课时练习）阅读理解：（1）如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使得AD=DE，再连接BE，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边关系即可判断中线AD的取值范围是______．（2）解决问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，D是BC边上的中点，延长DA至E，使得AC=BE，求证：∠CAD=∠BED．23．（2022·全国·八年级课时练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，证明：△ACD≌△EBD．【理解与应用】（2）如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，则x的取值范围是________．（3）如图3，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF>EF．24．（2020·福建福州·九年级开学考试）如图1，已知正方形ABCD和等腰RtΔBEF，EF=BE，∠BEF=90°，F是线段BC上一点，取DF中点G，连接EG、CG．（1）探究EG与CG的数量与位置关系，并说明理由；（2）如图2，将图1中的等腰RtΔBEF绕点B顺时针旋转α°(0<α<90°)，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若AD=2，求2GE+BF的最小值．。
备战中考数学备考之旋转压轴突破训练∶培优篇含答案(1)
一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，在□ABCD中，AB=6，∠B= (60°<≤90°). 点E在BC上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转得到线段MN，连接FN，求FN的最小值(用含的代数式表示).【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin(－90°)【解析】【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形得AF∥BE，所以∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA,所以∠BAE=∠FEA，故有AB∥FE，因此四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF,因此可得结论；(2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明∠ENG＝90°－，利用菱形的性质得到∠FEN＝－90°，再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可.【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA, BE=EF，∴∠BAE=∠FEA，∴AB∥FE，∴四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF，∴四边形ABEF是菱形；（2）①如图1，当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G，使MG＝AB，连接GN、EN.∵∠AMN＝∠B＝，∠AMN+∠2＝∠1+∠B∴∠1＝∠2又AM＝NM，AB＝MG∴△ABM≌△MGN∴∠B＝∠3，NG＝BM∵MG＝AB＝BE∴EG＝AB＝NG∴∠4=∠ENG= (180°－)＝90°－又在菱形ABEF中，AB∥EF∴∠FEC＝∠B=∴∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90°②如图2，当点M在线段EC上时，在BC延长线上截取MG＝AB，连接GN、EN.同理可得：∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90°综上所述，∠FEN＝－90°∴当点M在BC上运动时，点N在射线EH上运动(如图3)当FN⊥EH时，FN最小，其最小值为FE·sin(－90°)【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出∠FEN ＝－90°，再运用垂线段最短求出FN的最小值.2．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，点M，N是射线OC上两动点(OM＜ON)，且运动过程中始终保持∠MAN＝45°，小明用几何画板探究其中的线段关系．(1)探究发现：当点M，N均在线段OB上时(如图1)，有OM2+BN2＝MN2．他的证明思路如下：第一步：将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP．第二步：证明△APM≌△ANM，得MP＝MM．第一步：证明∠POM＝90°，得OM2+OP2＝MP2．最后得到OM2+BN2＝MN2．请你完成第二步三角形全等的证明．(2)继续探究：除(1)外的其他情况，OM2+BN2＝MN2的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)新题编制：若点B是MN的中点，请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分)．【答案】(1)见解析；(2)结论仍然成立，理由见解析；(3)见解析.【解析】【分析】（1）将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN=OP．证明△APM≌△ANM，再利用勾股定理即可解决问题；（2）如图2中，当点M，N在OB的延长线上时结论仍然成立．证明方法类似（1）；（3）如图3中，若点B是MN的中点，求MN的长．利用（2）中结论，构建方程即可解决问题．【详解】（1）如图1中，将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP．∵点A(0，4)，B(4，4)，∴OA＝AB，∠OAB＝90°，∵∠NAP＝∠OAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠MAP，∵MA＝MA，AN＝AP，∴△MAN≌△MAP(SAS)．（2）如图2中，结论仍然成立．理由：如图2中，将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP．∵∠NAP＝∠OAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠MAP，∵MA＝MA，AN＝AP，∴△MAN≌△MAP(SAS)，∴MN＝PM，∵∠ABN＝∠AOP＝135°，∠AOB＝45°，∴∠MOP＝90°，∴PM2＝OM2+OP2，∴OM2+BN2＝MN2；（3）如图3中，若点B是MN的中点，求MN的长．设MN＝2x，则BM＝BN＝x，∵OA＝AB＝4，∠OAB＝90°，∴OB＝2，∴OM＝2﹣x，∵OM2+BN2＝MN2．∴2﹣x)2+x2＝(2x)2，解得x＝﹣26或﹣2﹣6(舍弃)∴MN＝﹣26．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．3．已知：如图1，将两块全等的含30º角的直角三角板按图所示的方式放置，∠BAC=∠B1A1C=30°，点B，C，B1在同一条直线上．（1）求证：AB=2BC（2）如图２，将△ABC绕点Ｃ顺时针旋转α°（0＜α＜180），在旋转过程中，设AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．当α等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由．（3）如图3，当△ABC绕点C顺时针方向旋转至如图所示的位置，使AB∥CB1，AB与A1C 交于点D，试说明A1D=CD．【答案】（1）证明见解析（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直.（3）理由见解析【解析】试题分析：(1)由等边三角形的性质得AB=BB1，又因为BB1=2BC，得出AB=2BC;(2) 利用AB与A1B1垂直得∠A1ED=90°，则∠A1DE=90°-∠A1=60°，根据对顶角相等得∠BDC=60°，由于∠B=60°，利用三角形内角和定理得∠A1CB=180°-∠BDC-∠B=60°，所以∠ACA1=90°-∠A1CB=30°，然后根据旋转的定义得到旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直；(3)由于AB∥CB1，∠ACB1=90°，根据平行线的性质得∠ADC=90°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=12AC，再根据旋转的性质得AC=A1C，所以CD=12A1C，则A1D=CD．试题解析：（1）∵△ABB1是等边三角形；∴AB=BB1∵BB1=2BC∴AB=2BC（2）解：当AB与A1B1垂直时，∠A1ED=90°，∴∠A1DE=90°-∠A1=90°-30°=60°，∵∠B=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACA1=90°-60°=30°，即当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直.（3）∵AB ∥CB 1，∠ACB 1=90°， ∴∠CDB=90°，即CD 是△ABC 的高，设BC=a ，AC=b ，则由（1）得AB=2a ，A 1C=b ， ∵1122ABC S BC AC AB CD ∆=⨯=⨯， 即11222ab a CD =⨯⨯ ∴12CD b =，即CD=12A 1C ， ∴A 1D=CD.【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．4．如图，△ABC 是等边三角形，AB=6cm ，D 为边AB 中点．动点P 、Q 在边AB 上同时从点D 出发，点P 沿D→A 以1cm/s 的速度向终点A 运动．点Q 沿D→B→D 以2cm/s 的速度运动，回到点D 停止．以PQ 为边在AB 上方作等边三角形PQN ．将△PQN 绕QN 的中点旋转180°得到△MNQ ．设四边形PQMN 与△ABC 重叠部分图形的面积为S （cm 2），点P 运动的时间为t （s ）（0＜t ＜3）． （1）当点N 落在边BC 上时，求t 的值． （2）当点N 到点A 、B 的距离相等时，求t 的值． （3）当点Q 沿D→B 运动时，求S 与t 之间的函数表达式．（4）设四边形PQMN 的边MN 、MQ 与边BC 的交点分别是E 、F ，直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN 的面积比为2：3时t 的值．【答案】（1）（2）2（3）S=S 菱形PQMN =2S △PNQ =t 2；（4）t=1或【解析】试题分析：（1）由题意知：当点N 落在边BC 上时，点Q 与点B 重合，此时DQ=3； （2）当点N 到点A 、B 的距离相等时，点N 在边AB 的中线上，此时PD=DQ ；（3）当0≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN．（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．试题解析：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形，∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合．∴DQ=3∴2t=3．∴t=；（2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，∴PD=DQ，当0＜t＜时，此时，PD=t，DQ=2t∴t=2t∴t=0（不合题意，舍去），当≤t＜3时，此时，PD=t，DQ=6﹣2t∴t=6﹣2t，解得t=2；综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t当点M在BC边上时，∴MN=BQ∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t∴3t=3﹣2t∴解得t=如图①，当0≤t≤时，S△PNQ=PQ2=t2；∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2，如图②，当≤t≤时，设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，∵△EMF是等边三角形，∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2．；（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，此时＜t＜，t=1或．考点：几何变换综合题5．已知Rt△DAB中，∠ADB=90°，扇形DEF中，∠EDF=30°，且DA=DB=DE，将Rt△ADB的边与扇形DEF的半径DE重合，拼接成图1所示的图形，现将扇形DEF绕点D按顺时针方向旋转，得到扇形DE′F′，设旋转角为α（0°＜α＜180°）（1）如图2，当0°＜α＜90°，且DF′∥AB时，求α；（2）如图3，当α=120°，求证：AF′=BE′．【答案】（1）15°；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）∵∠ADB=90°，DA=DB，∴∠BAD=45°，∵DF′∥AB，∴∠ADF′=∠BAD=45°，∴α=45°﹣30°=15°；（2）∵α=120°，∴∠ADE′=120°，∴∠ADF′=120°+30°=150°，∠BDE′=360°﹣90°﹣120°=150°，∴∠ADF′=∠BDE′，在△ADF′和△BDE′中，，∴△ADF′≌△BDE′，∴AF′=BE′．考点：①旋转性质；②全等三角形的判定和性质．6．如图1，是边长分别为6和4的两个等边三角形纸片ABC和CD1E1叠放在一起．（1）操作：固定△ABC，将△CD1E1绕点C顺时针旋转得到△CDE，连接AD、BE，如图2．探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？并请说明理由；（2）操作：固定△ABC，若将△CD1E1绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE 的延长线交AB于点F，在线段CF上沿着CF方向平移，（点F与点P重合即停止平移）平移后的△CDE设为△PQR，如图3．探究：在图3中，除三角形ABC和CDE外，还有哪个三角形是等腰三角形？写出你的结论（不必说明理由）；（3）探究：如图3，在（2）的条件下，设CQ=x，用x代数式表示出GH的长．【答案】（1）BE=CD．理由见解析；（2）△CHQ是等腰三角形；（3）2-x．【解析】试题分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，然后求出∠ACD=∠BCE，再利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）求出∠ACF=30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CHQ=30°，从而得到∠ACF=∠CHQ，判断出△CHQ是等腰三角形；（3）求出∠CGP=90°，然后利用∠ACF的余弦表示出CG，再根据等腰三角形的性质表示出CH，然后根据GH=CG-CH整理即可得解．试题解析：（1）BE=CD．理由如下：∵△ABC与△CDE是等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°．∴∠ACB-∠ACE=∠ECD-∠ACE，即∠BCE=∠ACD．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD；（2）∵旋转角为30°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=60°-30°=30°，∴∠CHQ=∠RQP-∠ACF=60°-30°=30°，∴∠ACF=∠CHQ，∴△CHQ是等腰三角形；（3）∠CGP=180°-∠ACF-∠RPQ=180°-30°-60°=90°，∴CG=CP•cos30°=（x+4），∵△CHQ是等腰三角形，∴CH=2•CQcos30°=2x•=x，∴GH=CG-CH=（x+4）-x=2-x．考点：几何变换综合题．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长．．【答案】（1）BQ=CP；（2）成立：PC=BQ；（3）434【解析】试题分析：（1）结论：BQ=CP．如图1中，作PH∥AB交CO于H，可得△PCH是等边三角形，只要证明△POH ≌△QPB 即可；（2）成立：PC =BQ ．作PH ∥AB 交CO 的延长线于H ．证明方法类似（1）；（3）如图3中，作CE ⊥OP 于E ，在PE 上取一点F ，使得FP =FC ，连接CF ．设CE =CO =a ，则FC =FP =2a ，EF =3a ，在Rt △PCE 中，表示出PC ，根据PC +CB =4，可得方程(62)24a a ++=，求出a 即可解决问题；试题解析：解：（1）结论：BQ =CP ．理由：如图1中，作PH ∥AB 交CO 于H ．在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，∠A =30°，点O 为AB 中点，∴CO =AO =BO ，∠CBO =60°，∴△CBO 是等边三角形，∴∠CHP =∠COB =60°，∠CPH =∠CBO =60°，∴∠CHP =∠CPH =60°，∴△CPH 是等边三角形，∴PC =PH =CH ，∴OH =PB ，∵∠OPB =∠OPQ +∠QPB =∠OCB +∠COP ，∵∠OPQ =∠OCP =60°，∴∠POH =∠QPB ，∵PO =PQ ，∴△POH ≌△QPB ，∴PH =QB ，∴PC =BQ ．（2）成立：PC =BQ ．理由：作PH ∥AB 交CO 的延长线于H ．在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，∠A =30°，点O 为AB 中点，∴CO =AO =BO ，∠CBO =60°，∴△CBO 是等边三角形，∴∠CHP =∠COB =60°，∠CPH =∠CBO =60°，∴∠CHP =∠CPH =60°，∴△CPH 是等边三角形，∴PC =PH =CH ，∴OH =PB ，∵∠POH =60°+∠CPO ，∠QPO =60°+∠CPQ ，∴∠POH =∠QPB ，∵PO =PQ ，∴△POH ≌△QPB ，∴PH =QB ，∴PC =BQ ．（3）如图3中，作CE ⊥OP 于E ，在PE 上取一点F ，使得FP =FC ，连接CF ．∵∠OPC =15°，∠OCB =∠OCP +∠POC ，∴∠POC =45°，∴CE =EO ，设CE =CO =a ，则FC =FP =2a ，EF =3a ，在Rt △PCE 中，PC =22PE CE + =22(23)a a a ++=(62)a +，∵PC +CB =4，∴(62)24a a ++=，解得a =4226-，∴PC =434-，由（2）可知BQ =PC ，∴BQ =434-．点睛：此题考查几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．8．在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ；在Rt △PMN 中，∠MPN 90°．（1）如图1，若点P 与点O 重合且PM ⊥AD 、PN ⊥AB ，分别交AD 、AB 于点E 、F ，请直接写出PE与PF的数量关系；（2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°<α<45°）．①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；②如图2，在旋转过程中，当∠DOM15°时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；③如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD m·BP时，请直接写出PE与PF的数量关系．【答案】（1）PE=PF；（2）①成立，理由参见解析；②；③PE=2PF，理由参见解析；PE=（m-1）·PF．【解析】试题分析：（1）可利用角平分线性质定理得到PE=PF；（2）①成立，可用角边角定理判定△AOF≌△DOE，从而得到PE=PF；②要想求出EF的长，关键要求出OE的长，由∠DOM15°可得∠AEO=45＋15=60º，作OH⊥AD于H，若正方形的边长为2，则OH=1，可算出EH==，∴OE=，∵△EOF是等腰直角三角形，∴EF即可求出；③构建相似三角形，过P点作PH⊥AB，PK⊥AD ，垂足为H、K，则四边形AHPK为矩形，△PHB和△PKD都是等腰直角三角形，是相似的，∵BD3BP，∴可算出HP:PK的值，然后通过△FHP∽△PKE得到PE与PF的关系．由前面的思路可得出当BD=m·BP时，BD:PD=（m-1）：1，∴PE:PF=（m-1）：1，从而确定PE与PF的数量关系．试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAF=∠OAE=45º，又∵PM⊥AD、PN⊥AB，∴PE=PF；（2）①成立，PE仍等于PF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAF=∠ODE=45º，OA=OD，又∵∠AOF和∠DOE都是∠AOE的余角，∴∠AOF=∠DOE，∴△AOF≌△DOE（ASA），∴OE=OF，即PE=PF；②作OH⊥AD于H，由∠DOM15°可得∠AEO=45＋15=60º，∠HOE=30°，若正方形的边长为2，则OH=1，在Rt△HEO中，可算出EH==，∴OE=，∵△EOF是等腰直角三角形，∴EF=OE=×=；③构建相似三角形，过P点作PH⊥AB，PK⊥AD ，垂足为H、K，则四边形AHPK为矩形，∵∠PHB=∠PKD=90°∠PBH=∠PDK=45°，∴△PHB∽△PKD，∴，∵BD=3BP，∴=，∵∠HPF+∠FPK=90°∠KPE+∠FPK=90°，∴∠HPF=∠KPE，又∵∠PHF=∠PKE=90°，∴△PHF∽△PKE，∴=，即PE="2PF" ；当BD=m·BP时，BD:PD=（m-1）：1，△PHF∽△PKE，PE:PF=BD:PD=（m-1）：1，∴PE=（m-1）·PF．考点：1．正方形性质；2．三角形相似的判定；3．旋转性质；4．探索线段的数量关系规律．。
2023年中考数学复习《二次函数综合压轴题》培优提升专题训练(含解析)
2023年春九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》培优提升专题训练（附答案）1．已知：抛物线y＝x2+x+m交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中点B在点A的右侧，且AB＝7．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D在第一象限内抛物线上，连接CD，AD，AD交y轴于点E．设点D 的横坐标为d，△CDE的面积为S，求S与d之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DH⊥CE于点H，点P在DH上，连接CP，若∠OCP＝2∠DAB，且HE：CP＝3：5，求点D的坐标及相应S的值．2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B，C，D的坐标分别（1，0），（3，0），（3，4），以A为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D匀速运动，过点P作PE⊥x轴，交对角线AC于点N．设点P运动的时间为t（秒）．（1）求抛物线的解析式；（2）若PN分△ACD的面积为1：2的两部分，求t的值；（3）若动点P从A出发的同时，点Q从C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D匀速运动，点H为线段PE上一点．若以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形，求t的值．3．如图1，过原点的抛物线与x轴交于另一点A，抛物线顶点C的坐标为，其对称轴交x轴于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使△ACD 面积最大时点D的坐标；（3）在对称轴上是否存在点P，使得点A关于直线OP的对称点A'满足以点O、A、C、A'为顶点的四边形为菱形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．综合与探究如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点D坐标；（2）在直线l上是否存在一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在x轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线，AD，AC于点E，F，G．①判断线段FP与FG的数量关系，并说明理由②连接EA，ED，CD，当m为何值时，四边形AEDC的面积最大？最大值为多少？5．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）与双曲线y＝相交于点A、B，已知点A坐标（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．（1）求实数a、b、k的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P使得△POB为等腰三角形？若存在请求出所有的P点的坐标，若不存在请说明理由．（3）在坐标系内有一个点M，恰使得MA＝MB＝MO，现要求在y轴上找出点Q使得△BQM的周长最小，请求出M的坐标和△BQM周长的最小值．6．如图，已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，过点A的直线y＝kx+k与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若k＝﹣1，当PE＝2DE时，求点P坐标；（3）当（2）中直线PD为x＝1时，是否存在实数k，使△ADE与△PCE相似？若存在请求出k的值；若不存在，请说明你的理由．7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交BC于点H．当点P 运动到何处时满足PC＝CH？求出此时点P的坐标；（3）若m≤x≤m+1时，二次函数y＝ax2+bx+3的最大值为m，求m的值．9．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（2，0），点C在y轴上，其坐标为（0，﹣3），抛物线经过点A，B，C．P为第三象限内抛物线上一动点．（1）求该抛物线的解析式．（2）连接AC，过点P作PD⊥AC，PE∥y轴交AC于点E，当△PDE的周长最大时，求P点的坐标和△PDE周长的最大值．（3）若点M为x轴上一动点，点F为平面直角坐标系内一点．当点M，B，C，F构成菱形时，请直接写出点F的坐标．10．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，CA＝4，将∠ABC对折，使点C 的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（1）求过A，B，O三点的抛物线解析式；（2）若在线段AB上有一动点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于M，连接MB，MA，求△MAB的面积的最大值；（3）若点E在抛物线上，点F在对称轴上，且以O，A，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．11．如图，矩形AOBC放置在平面直角坐标系xOy中，边OA在y轴的正半轴上，边OB在x轴的正半轴上，抛物线的顶点为F，对称轴交AC于点E，且抛物线经过点A（0，2），点C，点D（3，0）．∠AOB的平分线是OE，交抛物线对称轴左侧于点H，连接HF．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上有动点M，线段BC上有动点N，求四边形EAMN的周长的最小值；（3）该抛物线上是否存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式，并指出抛物线的顶点坐标．（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△P AC的周长；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△P AM＝S△P AC，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点．（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．15．如图，已知直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+3经过B、C两点并与x轴的另一个交点为A，且OC＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）点R为直线BC上方对称轴右侧抛物线上一点，当△RBC的面积为时，求R点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接CR，作RH⊥x轴于H，连接CH、AC，点P为线段CR上一点，点Q为线段CH上一点，满足QH＝CP，过点P作PE∥AC交x轴于点E，连接EQ，当∠PEQ＝45°时，求CP的长．16．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A和点C，抛物线y ＝ax2﹣3x+c经过A，C两点，并且与x轴交于另一点B．点D为第四象限抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，连接BE．设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当∠ECD＝∠EDC时，求出此时m的值；（3）点D在运动的过程中，△EBF的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（4，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形P AOC的周长最小？若存在，求出四边形P AOC的周长最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图②，点Q是OB上的一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点A（﹣3，0），与y轴交于点B（0，4），在第一象限内有一点P（m，n），且满足4m+3n＝12．（1）求二次函数解析式．（2）若以点P为圆心的圆与直线AB、x轴相切，求点P的坐标．（3）若点A关于y轴的对称点为点A′，点C在对称轴上，且2∠CBA+∠P A′O＝90◦．求点C的坐标．19．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式．（2）在抛物线上是否存在点D，使得△ABD的面积等于△ABC的面积的倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF的最大值和最小值．20．如图，抛物线y＝ax2+6x﹣5交x轴于A，B两点，交y轴于C点，点B的坐标为（5，0），直线y＝x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，求△BCP面积S的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）过点A的直线交直线BC于点M，连接AC当直线AM与直线BC的一个夹角等于∠ACB的3倍时，请直接写出点M的坐标．21．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出当x满足什么值时y＜0？（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），顶点为C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点C的坐标；（2）点A关于抛物线对称轴的对应点为点D，联结OD、BD，求∠ODB的正切值；（3）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，使顶点C落在点E处，点B落在点F处，如果BE＝BF，求t的值．24．如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2+bx+c过点B，并且顶点D的坐标为（﹣2，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线与直线AB的另一个交点为F，点C是线段BF的中点，过点C作BF的垂线交抛物线于点P，Q，求线段PQ的长度；（3）在（2）的条件下，点M是直线AB上一点，点N是线段PQ的中点，若PQ＝2MN，直接写出点M的坐标．25．如图，直线y＝﹣x+m与抛物线y＝ax2+bx都经过点A（6，0），点B，过B作BH垂直x轴于H，OA＝3OH．直线OC与抛物线AB段交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点C的纵坐标是时，求直线OC与直线AB的交点D的坐标；（3）在（2）的条件下将△OBH沿BA方向平移到△MPN，顶点P始终在线段AB上，求△MPN与△OAC公共部分面积的最大值．26．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+（a+）x+c（a≠0）经过点A （﹣3，﹣2），与y轴交于点B（0，﹣2），抛物线的顶点为点C，对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点E是x轴正半轴上的一点，如果∠AED＝∠BCD，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是位于y轴左侧抛物线上的一点，如果△P AE是以AE为直角边的直角三角形，求点P的坐标．27．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、C（3，0），点B为抛物线顶点，直线BD为抛物线的对称轴，点D在x轴上，连接AB、BC，∠ABC＝90°，AB与y轴交于点E，连接CE．（1）求顶点B的坐标并求出这条抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC的面积为S，点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．28．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x＝2．点G是抛物线y ＝ax2+bx+c位于直线y＝﹣x+3下方的任意一点，连接PB、GB、GC、AC．（1）求该抛物线的解析式；（2）求△GBC面积的最大值；（3）连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．（1）由y＝x2+x+m，令y＝0，则（x+2）（x﹣m）＝0，∴AO＝2，BO＝m，∴A（﹣2，0），B（m，0），∵AB＝7，∴m﹣（﹣2）＝7，m＝5，∴y＝；（2）过点D作DK⊥x轴于点K，设∠DAB＝α，则D（d，﹣），∴＝．∴EO＝AO•tanα＝5﹣d，CE＝5﹣（5﹣d）＝d，∴；（3）过点E作CE的垂线，过C作∠OCP的平分线交DE于点J，交CE的垂线于点F，过点F作ED的平行线交HD于点N．∴∠ECF＝∠HDE＝α，HE＝3k，CP＝5k，CE＝HD＝d，∵CE＝HD，∠CEF＝∠CHD＝90°，∴△CEF≌△DHE（ASA），∵EF∥DN，NF∥DE，∴四边形EDNF为平行四边形，∴EF＝HE＝DN＝3k，CF＝DE＝FN，∴△CFN为等腰直角三角形，∴∠PCN＝∠FNC＝45°，∴∠PCN＝∠PNC＝45°﹣α，∴PC＝PN＝5k，∴PD＝2k，∴CH＝d﹣3k，PH＝d﹣2k，∴（d﹣3k）2+（d﹣2k）2＝（5k）2，∴（d﹣6k）（d+k）＝0，∴d＝6k，∴在Rt△DHE中，tan，由（2）知，∴．∴d＝4，∴D（4，3），∴＝＝8．2．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，且B（1，0），C（3，0），D（3，4），∴A（1，4），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将C（3，0）代入y＝a（x﹣1）2+4，得0＝4a+4，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（2）∵PE⊥x轴，DC⊥x轴，∴PE∥DC，∴△APN∽△ADC，∵PN分△ACD的面积为1：2的两部分，∴＝或，当＝时，＝＝，∵AD＝2，∴AP＝，∴t的值为×2＝；当＝时，＝＝，∵AD＝2，∴AP＝，∴t的值为×2＝，综上所述，t的值为或；（3）如图2﹣1，当CN为菱形的对角线时，点P，N的横坐标均为，设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（1，4），C（3，0）代入y＝kx+b，得，解得，∴直线AC的表达式为y＝﹣2x+6，将点N的横坐标代入y＝﹣2x+6，得，即EN＝4﹣t，由菱形CQNH可得，CQ＝NH＝t＝CH，可得EH＝（4﹣t）﹣t＝4﹣2t，∵，∴，在Rt△CHE中，∵CE2+EH2＝CH2，∴，解得，t1＝，t2＝4（舍）；如图2﹣2，当CN为菱形的边时，由菱形CQHN可得，CQ＝CN＝t，在Rt△CNE中，∵NE2+CE2＝CN2，∴（4﹣t）2+（2﹣t）2＝t2，解得，t1＝20﹣8，t2＝20+8（舍）；综上所述，t的值为或．3．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，（a≠0）∵顶点，∴，又∵图象过原点，∴，解出：，∴，即；（2）令y＝0，即，解得：x1＝0，x2＝4，∴A（4，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A（4，0），代入，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，过点D作DF∥y轴交AC于点F，设，则，∴，∴＝，∴当m＝3时，S△ACD有最大值，当m＝3时，，∴；（3）∵∠CBO＝∠CBA＝90°，OB＝AB＝2，，∴，∴OA＝OC＝AC＝4，∴△AOC为等边三角形，①如图3﹣1，当点P在C时，OA＝AC＝CA'＝OA'，∴四边形ACA'O是菱形，∴；②作点C关于x轴的对称点C'，当点A'与点C'重合时，OC＝AC＝AA'＝OA'，∴四边形OCAA'是菱形，∴点P是∠AOA'的角平分线与对称轴的交点，记为P2，∴，∵∠OBP2＝90°，OB＝2，∴OP2＝2BP2，设BP2＝x，∴OP2＝2x，又∵，∴（2x）2＝22+x2，解得或，∴；综上所述，点P的坐标为或．4．解：（1）由抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；由y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，得，点D坐标为（﹣1，4）；（2）在直线l上存在一点M，到点B的距离与到点C的距离之和最小，根据抛物线对称性MA＝MB，∴MB+MC＝MA+MC，∴使MB+MC的值最小的点M应为直线AC与对称轴l：x＝﹣1的交点，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），设直线AC解析式为直线y＝kx+b，把A（﹣3，0）、C（0，3）分别代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线AC解析式为y＝x+3，把x＝﹣1代入y＝x+3得，y＝2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）①PF＝2FG，理由如下，设直线AD解析式为y＝k'x+b'，把A（﹣3，0）、D（﹣1，4）分别代入直线y＝k'x+b'，得，，解得，∴直线AD解析式为y＝2x+6，则点F的坐标为（m，2m+6），同理G的坐标为（m，m+3），则FG＝（2m+6）﹣（m+3）＝m+3，FP＝2m+6＝2（m+3），∴FP＝2FG；②根据题意得点E的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），设直线l与x轴交于点N，EF＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（2m+6）＝﹣m2﹣4m﹣3＝﹣（m+2）2+1∴S△AED＝S△AEF+S△EFD＝＝，∴当m为﹣2时，S△AED的最大值为1，如图，过点D作DH∥x轴，交y轴于点H，在△DHC中，∠DHC＝180°﹣∠AOB＝90°，，在Rt△AOC中，，在Rt△ADN中，，∵，∴DC2+AC2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴，∴，∴当m为﹣2时，四边形AEDC的面积最大，最大值为4．5．解：（1）将A（1，4）代入y＝，得，k＝4，∴双曲线解析式为y＝，设B（m，）（m＜0），连接AB，交x轴于点C，设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（1，4），B（m，）代入，得，解得，，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，当y＝0时，x＝m+1，∴C（m+1，0），OC＝﹣m﹣1，∴S△AOB＝OC•（y A﹣y B）＝（﹣m﹣1）（4﹣），∵△AOB的面积为3，∴（﹣m﹣1）（4﹣）＝3，整理，得2m2+3m﹣2＝0，解得，m1＝（舍去），m2＝﹣2，∴B（﹣2，﹣2），将A（1，4），B（﹣2，﹣2）代入y＝ax2+bx，得，，解得，，∴抛物线的解析式为y＝x2+3x，∴a＝1，b＝3，k＝4；（2）在抛物线y＝x2+3x中，对称轴为x＝﹣，设P（﹣，y），∵O（0，0），B（﹣2，﹣2），∴PO2＝+y2，OB2＝8，PB2＝+（y+2）2，∵△POB为等腰三角形，∴①PO2＝OB2时，+y2＝8，解得，y＝±，∴P1（﹣，﹣），P2（﹣，）；②PB2＝OB2时，+（y+2）2＝8，解得，y＝﹣2±，∴P3（﹣，﹣2﹣），P4（﹣，﹣2+）；③PB2＝OP2时，+（y+2）2＝+y2，解得，y＝﹣，∴P5（﹣，﹣）；综上所述，点P的坐标为P1（﹣，﹣），P2（﹣，），P3（﹣，﹣2﹣），P4（﹣，﹣2+），P5（﹣，﹣）；（3）设M（x，y），∵A（1，4），B（﹣2，﹣2），O（0，0），∴MO2＝x2+y2，MA2＝（x﹣1）2+（y﹣4）2，MB2＝（x+2）2+（y+2）2，又∵MO＝MA＝MB，∴，解得，，∴M（﹣，），作B关于y轴的对称点B'（2，﹣2），连接B'M交y轴于Q，则此时MQ+BQ的值最小，理由是两点之间，线段最短，又∵MB的长度为定值，∴此时△BQM的周长最小，C△BQM＝MB+MQ+BQ＝MB+MB'＝＝，∴M的坐标为（﹣，），△BQM周长的最小值为．6．解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c，得，，解得，，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）当k＝﹣1时，直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，设P（x，x2﹣3x﹣4），则E（x，﹣x﹣1），D（x，0），则PE＝|x2﹣3x﹣4﹣（﹣x﹣1）|＝|x2﹣2x﹣3|，DE＝|x+1|，∵PE＝2ED，∴|x2﹣2x﹣3|＝2|x+1|，当x2﹣2x﹣3＝2（x+1）时，解得，x1＝﹣1（舍去），x2＝5，∴P（5，6）；当x2﹣2x﹣3＝﹣2（x+1）时，解得，x1＝﹣1（舍去），x2＝1，∴P（1，﹣6）；综上所述，点P的坐标为（5，6）或（1，﹣6）；（3）存在，理由如下；∵∠AED＝∠PEC，∴要使△ADE与△PCE相似，必有∠EPC＝∠ADE＝90°或∠ECP＝∠ADE＝90°，①当∠EPC＝∠ADE＝90°时，如图1，CP∥x轴，∵P（1，﹣6），根据对称性可得C（2，﹣6），将C（2，﹣6），代入直线AC解析式中，得2k+k＝﹣6，解得，k＝﹣2；②当∠ECP＝∠ADE＝90°时，如图2，过C点作CF⊥PD于点F，则有∠FCP＝∠PEC＝∠AED，则△PCF∽△AED，∴＝，在直线y＝kx+k上，当x＝1时，y＝2k，∴E（1，2k），∴DE＝﹣2k，由，得或，∴C（k+4，k2+5k），∴F（1，k2+5k），∴CF＝k+3，FP＝k2+5k+6，∴＝，解得，k1＝k2＝﹣1，k3＝﹣3（此时C与P重合，舍去），综上，当k＝﹣2或﹣1时，△ADE与△PCE相似．7．（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，∴，∴，∴抛物线解析式为；（2）如图1，过点A作AH∥y轴交BC于H，交BE于G，由（1），C（0，﹣2），将B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线BC的解析式为，∵H（1，y）在直线BC上，∴，∴，将点B（3，0），E（0，﹣1）代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线BE的解析式为y＝x﹣1，∴G（1，﹣），∴GH＝，∵直线BE：y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+x﹣2相交于F，B，∴F（，﹣），∴S△FHB＝GH×（x B﹣x F）＝××（3﹣）＝；（3）如图2，由（1）y＝﹣x2+x﹣2＝﹣（x﹣2）2+，∴顶点D（2，），∵动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，∴设M（2，m），m＞，∴OM2＝m2+4，BM2＝m2+1，OB2＝9，∵∠OMB＝90°，∴OM2+BM2＝OB2，∴m2+4+m2+1＝9，∴m1＝，m2＝﹣（舍），∴M（2，），∴MD＝﹣，∴，∴当时，∠OMB＝90°．8．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入y＝kx+3，得，k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），过点C作CM⊥PH于点M，则CM＝x，PH＝﹣x2+3x，当CP＝CH时，PM＝MH，∠MCH＝∠MCP，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∵CM∥OB，∴∠MCH＝∠OBC＝45°，∴∠PCH＝90°，∴MC＝PH＝（﹣x2+3x），即x＝（﹣x2+3x），解得，x1＝0（舍去），x2＝1，∴P（1，4）；（3）在y＝﹣x2+2x+3中，对称轴为x＝1，若m+1≤1，即m≤0时，当x＝m+1时，函数有最大值m，∴﹣（m+1）2+2（m+1）+3＝m，解得，m1＝（舍去），m2＝；若m＜1＜m+1，即0＜m＜1时，当x＝1时，函数有最大值为m＝4（舍）；若m＞1，当x＝m时，函数有最大值为m，∴﹣m2+2m+3＝m，解得，m1＝（舍去），m2＝，综上所述，m的值为或．9．解：（1）∵抛物线经过点A，B，它们的坐标分别为（﹣4，0）、（2，0），∴设其解析式为y＝a（x+4）（x﹣2），将点C（0，﹣3）代入y＝a（x+4）（x﹣2），解得，，∴抛物线的解析式为；（2）∵OA＝4，OC＝3，∠AOC＝90°，∴AC＝＝5，∵PD⊥AC，∠PDE＝∠AOC＝90°，又∵PE∥y轴，∴∠PED＝∠ACO，∴△PDE∽△AOC，∴PD：AO＝DE：OC＝PE：AC，即PD：4＝DE：3＝PE：5，∴，∴△PDE的周长＝，则要使△PDE周长最大，PE取最大值即可，设直线AC的解析式为y＝kx﹣3，将点A（﹣4，0）代入y＝kx﹣3，得，k＝﹣，∴直线AC的解析式为，设点，则，∴当a＝﹣2时，取得最PE大值，最大值为，则，∴P（﹣2，﹣3），△PDE周长的最大值为；（3）如右图，①当BM为对角线时，显然，点F在y轴上，根据对称性得到点F的坐标为（0，3）；②当BM为边时，∵，则有以下几种情况：（I）BC为边时，BM＝BC＝，点M在x轴负半轴上时，点M是点B向左平移个单位长度得到的，∴M（2﹣，0），∴点C（0，﹣3）向左平移个单位长度得到点F；点M在x轴正半轴上时，点M是点B向平右移个单位长度得到的，∴M（2+，0），∴点C（0，﹣3）向右平移个单位长度得到点F；（II）BC为对角线时，设OM＝x，在直角三角形OMC中，由勾股定理可得OM2+OC2＝MC2，即x2+32＝（x+2）2，解得，x＝，∴菱形的边长为2+＝，∴CF＝，∴F（，﹣3），综上所述，点F的坐标为（0，3）或或或．10．解：（1）在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，由翻折知，△BCO≌△BHO，∴BH＝BC＝3，∴AH＝AB﹣BH＝2，∵∠HAO＝∠CAB，∠OHA＝∠BCA＝90°，∴△AHO∽△ACB，∴＝，即＝，∴AO＝，∴A（，0），B（﹣，3），∵抛物线经过原点O，∴可设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，将点A（，0），B（﹣，3）代入，得，解得，，∴过A，B，O三点的抛物线解析式为y＝x2﹣x；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（，0），B（﹣，3）代入，得，解得∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，∴可设P（x，﹣x+），则M（x，x2﹣x），∴PM＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2+x+，∴S△MAB＝PM（x A﹣x B）＝（﹣x2+x+）×4＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+4，∴当x＝时，△MAB的面积取最大值4；（3）在y＝x2﹣x中，对称轴为x＝，①如图3﹣1，当OA为平行四边形的一边时，OA平行且等于EF，∵OA＝，∴EF＝，∵x F＝，∴x E＝±＝或﹣，当x E＝或﹣，时y E＝，∴点E的坐标为（，）或（﹣，）；②如图3﹣2，当OA为平行四边形的对角线时，OA与EF互相平分，则点E在抛物线顶点处，∵当x＝时，y＝﹣，∴点E的坐标为（，﹣），综上所述，点E的坐标为（，）或（﹣，）或（，﹣）．11．解：（1）∵AE∥x轴，OE平分∠AOB，∴∠AEO＝∠EOB＝∠AOE，∴AO＝AE，∵A（0，2），∴E（2，2），∴点C（4，2），设二次函数解析式为y＝ax2+bx+2，∵C（4，2）和D（3，0）在该函数图象上，∴，得，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2；（2）作点A关于x轴的对称点A1，作点E关于直线BC的对称点E1，连接A1E1，交x 轴于点M，交线段BC于点N．根据对称与最短路径原理，此时，四边形AMNE周长最小．易知A1（0，﹣2），E1（6，2）．设直线A1E1的解析式为y＝kx+b，，得，∴直线A1E1的解析式为．当y＝0时，x＝3，∴点M的坐标为（3，0）．∴由勾股定理得AM＝，ME1＝，∴四边形EAMN周长的最小值为AM+MN+NE+AE＝AM+ME1+AE＝；（3）不存在．理由：过点F作EH的平行线，交抛物线于点P．易得直线OE的解析式为y＝x，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2＝，∴抛物线的顶点F的坐标为（2，﹣），设直线FP的解析式为y＝x+b，将点F代入，得，∴直线FP的解析式为．，解得或，∴点P的坐标为（，），FP＝×（﹣2）＝，，解得，或，∵点H是直线y＝x与抛物线左侧的交点，∴点H的坐标为（，），∴OH＝×＝，易得，OE＝2，EH＝OE﹣OH＝2﹣＝，∵EH≠FP，∴点P不符合要求，∴不存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形．12．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴，得，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，4），即该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）点A关于对称轴的对称点是点B，连接CB与对称轴的交点为P，此时点P即为所求，设过点B（3，0），点C（0，3）的直线解析式为y＝kx+m，，得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴点P的坐标为（1，2），∵点A（﹣1，0），点C（0，3），点B（3，0），∴AC＝，BC＝3，∴△P AC的周长是：AC+CP+P A＝AC+CB＝，即点P的坐标为（1，2），△P AC的周长是；（3）存在点M（不与C点重合），使得S△P AM＝S△P AC，∵S△P AM＝S△P AC，∴当以P A为底边时，只要两个三角形等高即可，即点M和点C到P A的距离相等，当点M在点C的上方时，则CM∥P A时，点M和点C到P A的距离相等，设过点A（﹣1，0），点P（1，2）的直线l1解析式为：y＝kx+m，，得，∴直线AP的解析式为y＝x+1，∴直线CM的解析式为y＝x+3，由得，，，∴点M的坐标为（1，4）；当点M在点C的下方时，则点M所在的直线l2与AP平行，且直线l2与直线AP之间的距离与直线l1与直线AP 之间的距离相等，∴直线l2的的解析式为y＝x﹣1，由得，，，∴M的坐标为（，）或（，）；由上可得，点M的坐标为（1，4），（，）或（，）．13．（1）证明：△＝b2﹣4ac＝[﹣3（a﹣1）]2﹣4a（2a﹣6）＝a2+6a+9＝（a+3）2，∵a＞0，∴（a+3）2＞0，∴抛物线与x轴有两个交点；（2）解：令y＝0，则ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6＝0，∴或，∵a＞0，∴且x1＞x2，∴x1＝2，，∴，∴t＝a﹣5；（3）解：当a＝1时，则y＝x2﹣4，向上平移一个单位得y＝x2﹣3，令y＝0，则x2﹣3＝0，得，∴，，∵OP＝1，∴直线，联立：，解得，，，即，，∴AO＝，在Rt△AOP中，AP＝＝2，过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，∵CN∥x轴，∴∠GCM＝∠P AO，又∵∠AOP＝∠CGM＝90°，∴△AOP∽△CGM，∴＝＝，∴，∵B到CN最小距离为CH，∴MB+GM的最小值为CH的长度，∴2MB+MC的最小值为．14．解：（1）令x＝0，得y＝x﹣2＝﹣2，则B（0，﹣2），令y＝0，得0＝x﹣2，解得x＝4，则A（4，0），把A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c（a≠0）中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）∵PM∥y轴，∴∠ADC＝90°，∵∠ACD＝∠BCP，∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：①当∠CBP＝90°时，如图1，过P作PN⊥y轴于N，设P（x，x2﹣x﹣2），则C（x，x﹣2），∵∠ABO+∠PBN＝∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠PBN＝∠OAB，∵∠AOB＝∠BNP＝90°，∴△AOB∽△BNP，∴，即＝，解得：x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣5）；②当∠CPB＝90°时，如图2，则B和P是对称点，当y＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝﹣2，∴x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣2）；综上，点P的坐标是（，﹣5）或（，﹣2）；（3）∵OA＝4，OB＝2，∠AOB＝90°，∴∠BOA≠45°，∴∠BQP≠2∠BOA，∴分两种情况：①当∠PBQ＝2∠OAB时，如图3，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，∴OE＝AE，∴∠OAB＝∠AOE，∴∠OEB＝2∠OAB＝∠PBQ，∵OB∥PG，∴∠OBE＝∠PHB，∴△BOE∽△HPB，∴，由勾股定理得：AB＝＝2，∴BE＝，∵GH∥OB，∴，即，∴BH＝x，设P（x，x2﹣x﹣2），则H（x，x﹣2），∴PH＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+4x，∴，解得：x1＝0，x2＝3，∴点P的横坐标是3；②当∠BPQ＝2∠OAB时，如图4，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，过O作OF⊥AB于F，连接AP，则∠BPQ＝∠OEF，设点P（t，t2﹣t﹣2），则H（t，t﹣2），∴PH＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+4t，∵OB＝2，OA＝4，∴AB＝2，∴OE＝BE＝AE＝，OF＝＝＝，∴EF＝＝＝，S△ABP＝＝，∴2PQ＝4（﹣t2+4t），PQ＝，∵∠OFE＝∠PQB＝90°，∴△PBQ∽△EOF，∴，即，∴BQ＝，∵BQ2+PQ2＝PB2，∴＝，化简得，44t2﹣388t+803＝0，即：（2t﹣11）（22t﹣73）＝0，解得：t1＝5.5（舍），t2＝；综上，存在点P，使得△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，其P点的横坐标为3或．15．解：（1）在直线y＝﹣x+3中，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝4，∴C（0，3），B（4，0），∴OC＝3，∵OC＝3OA，∴OA＝1，∴A（﹣1，0），把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3，得，，解得，a＝﹣，b＝，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）如图1，连接RO，RC，RB，设R（t，﹣t2+t+3），则S△RBC＝S△OCR+S△OBR﹣S△OBC＝×3t+×4（﹣t2+t+3）﹣×3×4＝﹣t2+6t，∵S△RBC＝，∴﹣t2+6t＝，解得，t1＝1，t2＝3，∵点R为直线BC上方对称轴右侧，∴R（3，3）；（3）如图2﹣1，在RH上截取RM＝OA，连接CM、AM，AM交PE于G，作QF⊥OB 于H，∵CR＝CO，∠CRM＝∠COA，∴△CRM≌△COA（SAS），∴CM＝CA，∠RCM＝∠OCA，∴∠ACM＝∠OCR＝90°，∴∠CAM＝∠CMA＝45°，∵AC∥PE，∴∠CAM＝∠AGE＝45°，∴∠PEQ＝45°，∴∠AGE＝∠PEQ，∴AM∥QE，∴∠MAH＝∠QEF，∵∠QFE＝MHA＝90°，∴△QEF∽△MAH，∴＝，∴EF＝2QF，设CP＝m，∴QH＝CP＝m，∵OC＝OH，∴∠OHC＝45°，∴QF＝FH＝m，∴EF＝2m，∴EH＝3m，∵四边形ACPE为平行四边形，∴AE＝CP＝m，∵EH＝AH﹣AE＝4﹣m，∴3m＝4﹣m，∴m＝1，∴CP＝1；如图2﹣2，在RH上截取RM＝OA，连接CM、AM，AM交PE于G，交QE于N，作QF ⊥OB于H，∵CR＝CO，∠CRM＝∠COA，∴△CRM≌△COA（SAS），∴CM＝CA，∠RCM＝∠OCA，∴∠ACM＝∠OCR＝90°，∴∠CAM＝∠CMA＝45°，∵AC∥PE，∴∠CAM＝∠AGE＝45°，∴∠PEQ＝45°，∴∠AGE＝∠PEQ＝45°，∴∠ENG＝∠ENA＝90°，∵∠EQF+∠QEF＝90°，∠EAN+∠QEF＝90°，∴∠EQF＝∠MAB，∵∠QFE＝∠AHM＝90°，∴△QEF∽△AMH，∴＝，∴QF＝2EF，设CP＝m，∴QH＝CP＝m，∵OC＝OH，∴∠OHC＝45°，∴QF＝FH＝m，∴EF＝m，∴EH＝m，∵四边形ACPE为平行四边形，∴AE＝CP＝m，∵EH＝AH﹣AE＝4﹣m，∴4﹣m＝m，∴m＝，∴CP＝，综上所述，CP的长度为1或．16．解：（1）在y＝x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4；当y＝0时，x＝4．∴A（4，0），C（0，﹣4）把A（4，0），C（0，﹣4）代入y＝ax2﹣3x+c中，得，解得，∴抛物线的解析式是y＝x2﹣3x﹣4．（2）如图1，过点E作EH⊥y轴，垂足为H．∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠ACO＝45°，∴∠HEC＝∠HCE＝45°．∵点D（m，m2﹣3m﹣4），E（m，m﹣4），∴EH＝HC＝m，ED＝（m﹣4）﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+4m．∴，∴当∠ECD＝∠EDC时，EC＝ED．∴，解得m＝0（舍去）或；（3）存在．∴点D为第四象限抛物线上一动点（不与点A，C重合），∴0＜m＜4，在抛物线y＝x2﹣3x﹣4中，当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴点B坐标为（﹣1，0）．∵∠F AE＝∠FEA＝45°，∴EF＝AF．设△BFE的周长为n，则n＝BF+FE+BE＝BF+AF+BE＝AB+BE，∵AB的值不变，∴当BE最小，即BE⊥AC时，△BFE的周长最小．∵当BE⊥AC时，∠EBA＝∠BAE＝45°，∴BE＝AE，∴BF＝AF＝2.5．∴m＝4﹣2.5＝1.5时，△BEF的周长最小．17．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）、B（4，0），∴，解得，∴该抛物线的解析式：y＝x+3；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（4，0），∴A、B关于对称轴对称，。
中考数学总复习《几何压轴题》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《几何压轴题》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________专题02三角形之直角、等腰问题 题型训练训练题01【2023·内蒙古·中考真题】如图，在Rt ABC △中90,3,1ACB AC BC ∠=︒==，将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒，得到AB C ''△．连接BB '，交AC 于点D ，则AD DC 的值为 ．训练题02【2023·山东菏泽·中考真题】无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度BC ，无人机在空中点P 处，测得点P 距地面上A 点80米，点A 处俯角为60︒，楼顶C 点处的俯角为30︒，已知点A 与大楼的距离AB 为70米（点A ，B ，C ，P 在同一平面内），求大楼的高度BC （结果保留根号）训练题03【2023·广东·中考真题】2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂10m AC BC ==，两臂夹角100ACB ∠=︒时，求A ，B 两点间的距离．(结果精确到0.1m ，参考数据sin500.766︒≈ cos500.643︒≈ tan50 1.192︒≈)训练题04【2023·湖北黄冈·中考真题】综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD 的中点A 处竖直上升30米到达B 处，测得博雅楼顶部E 的俯角为45︒，尚美楼顶部F 的俯角为30︒，已知博雅楼高度CE 为15米，则尚美楼高度DF 为 米．（结果保留根号）训练题05【2023·河北沧州·模拟预测】如图1，嘉淇在量角器的圆心O 处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点M ．(1)在图1中，过点A 画出水平线，并标记观测M 的仰角α．若铅垂线在量角器上的读数为53︒，求α的值；(2)如图2，已知嘉淇眼睛离地1.5米，站在B 处观测M 的仰角为（1）中的α，向前走1.25米到达D 处，此时观测点M 的仰角为45︒，求树MN 的高度．（注：3tan 374︒≈ 3sin 375︒≈ 4cos375≈︒） 训练题06【2023·四川成都·八年级期末联考】如图 在等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF == DG EF ⊥于点G 点M N 分别是DE DG 上的动点 且DN EM = 则FM FN +的最小值为 ．训练题07【2022·陕西西安·滨河期末】如图 直线y ＝x ﹣3分别交x 轴 y 轴于B A 两点 点C （0 1）在y 轴上 点P 在x 轴上运动 则2PC ＋PB 的最小值为 ．训练题08【2021·四川甘孜·中考真题】如图 腰长为22+2的等腰ABC 中 顶角∠A ＝45° D 为腰AB 上的一个动点将ACD 沿CD 折叠 点A 落在点E 处 当CE 与ABC 的某一条腰垂直时 BD 的长为 ．训练题09【2022·福建泉州·九年级联考】如图 ABC 和AGF 是等腰直角三角形 90BAC G ∠=∠=︒ AGF 的边AF AG 交边BC 于点D E ．若4=AD 3AE = 则BEDC 的值是 ．训练题10【2021·宁夏固元·联考一模】如图在直角△BAD中延长斜边BD到点C 使得BD=2DC 连接AC 如果则的值是（）A．B．C．D．答案&解析5 tanB3=tan CAD∠3 3351315训练题01【2023·内蒙古·中考真题】【答案】5【简证】因为tan 311tan 4522ABC CD ABD α∠=⎧⇒=⇒=⎨∠=︒⎩ 故5AD DC =【常规法】解：过点D 作DF AB ⊥于点F∵90ACB ∠=︒ 3AC = 1BC =∴223110AB =+=∵将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AB C ''△∴==10AB AB ' 90BAB '∠=︒∴ABB '是等腰直角三角形∴45ABB '∠=︒又∵DF AB ⊥∴45FDB ∠=︒∴DFB △是等腰直角三角形∴DF BF =∵1122ADB S BC AD DF AB =⨯⨯=⨯⨯ 即=10AD DF ∵ 90C AFD ∠=∠=︒ CAB FAD ∠=∠∴AFDACB ∴DF AF BC AC= 即3AF DF = 又∵=10AF DF -45°α∴10=4 DF∴105=10=42AD⨯51=3=22CD-∴52==512ADCD故答案为：5．训练题02【2023·山东菏泽·中考真题】【答案】大楼的高度BC 为303m ．【分析】如图 过P 作PH AB ⊥于H 过C 作CQ PH ⊥于Q 而CB AB ⊥ 则四边形CQHB 是矩形 可得QH BC = BH CQ = 求解3sin 60804032PH AP =︒=⨯= cos6040AH AP =︒= 可得704030CQ BH ==-= tan 30103PQ CQ =︒= 可得403103303BC QH ==-=．【详解】解：如图 过P 作PH AB ⊥于H 过C 作CQ PH ⊥于Q 而CB AB ⊥则四边形CQHB 是矩形 ∴QH BC = BH CQ =由题意可得：80AP = 60PAH ∠=︒ 30PCQ ∠=︒ 70AB = ∴3sin 60804032PH AP =︒=⨯= cos6040AH AP =︒= ∴704030CQ BH ==-= ∴tan 30103PQ CQ =︒=∴403103303BC QH ==-= ∴大楼的高度BC 为303m ．训练题03【2023·广东·中考真题】【答案】15.3m【分析】连接AB 作作CD AB ⊥于D 由等腰三角形“三线合一”性质可知2AB AD = 1502ACD ACB ∠=∠=︒ 在Rt ACD △中利用sin AD ACD AC∠=求出AD 继而求出AB 即可．【详解】解：连接AB 作CD AB ⊥于D∵AC BC = CD AB ⊥∴CD 是边AB 边上的中线 也是ACB ∠的角平分线∴2AB AD = 1502ACD ACB ∠=∠=︒ 在Rt ACD △中 10m AC = 50ACD ∠=︒ sin AD ACD AC ∠= ∴sin 5010AD ︒= ∴10sin50100.7667.66AD =︒≈⨯=∴()227.6615.3215.3m AB AD =≈⨯=≈答：A B 两点间的距离为15.3m ．训练题04【2023·湖北黄冈·中考真题】【答案】3053-/5330-+【分析】过点E 作EM AB ⊥于点M 过点F 作FN AB ⊥于点N 首先证明出四边形ECAM 是矩形 得到15AM CE == 然后根据等腰直角三角形的性质得到15AC EM BM === 进而得到15==AD AC 然后利用30︒角直角三角形的性质和勾股定理求出53BN = 即可求解．【详解】如图所示 过点E 作EM AB ⊥于点M 过点F 作FN AB ⊥于点N由题意可得 四边形ECAM 是矩形 ∴15AM CE == ∵30AB = ∴15BM AB AM =-= ∵博雅楼顶部E 的俯角为45︒ ∴45EBM ∠=︒ ∴45BEM ∠=︒ ∴15AC EM BM ===∵点A 是CD 的中点 ∴15==AD AC 由题意可得四边形AMFN 是矩形 ∴15NF AD == ∵尚美楼顶部F 的俯角为30︒ ∴60NBF ∠=︒ ∴30BFN ∠=︒ ∴2BF BN =∴在Rt BNF △中 222BNNF BF += ∴()222152BN BN +=∴解得53BN =∴3053FD AN AB BN ==-=-．故答案为：3053-．训练题05【2023·河北沧州·模拟预测】【答案】(1)37︒(2)树MN 的高度为5.25米【分析】(1)根据互余的性质计算即可．(2) 过点A 作AP MN ⊥ 垂足为P 则 1.5PN AB ==米．设MN x =米．解直角三角形求解即可．【详解】（1）如图1；905337α=︒-︒=︒；（2）如图 过点A 作AP MN ⊥ 垂足为P 则 1.5PN AB ==米．设MN x =米． 在Rt APM △中 4( 1.5)tan 373MP AP x ==-︒（米） 在Rt MCP 中 1.5CP MP x ==-（米） 4( 1.5)( 1.5) 1.253AC AP CP x x ∴=-=---=（米） 解得 5.25x =． 答：树MN 的高度为5.25米．训练题06【2023·四川成都·八年级期末联考】【答案】23【分析】过点E 作AE EF ⊥ 使得2AE DF == 证得AEM FDN ≅ 利用全等三角形的性质证得FN AM = 求FM FN +的最小值即求FM AM +的最小值 此时只有A M F 在一条直线上时 FM AM +的最小 即为AF 的长 在Rt AEF 中利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点E 作AE EF ⊥ 使得2AE DF == 如图所示∵等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF ==∴45DEF ∠=︒ 222222EF =+=∴9045AEM DEF ∠=︒-∠=︒∵等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF == DG EF ⊥∴45FDN ∠=︒∴FDN AEM ∠=∠在AEM △和FDN 中AE DF AEM FDN EM DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEM FDN≅()SAS ∴FN AM =∴求FM FN +的最小值即求FM AM +的最小值 此时只有A M F 在一条直线上时 FM AM +的最小 即为AF 的长∴在Rt AEF 中()222222223AF AE EF =+=+=的最小值为23即FM FN故答案为：23训练题07【2022·陕西西安·滨河期末】【答案】4【分析】过P作PD⊥AB于D依据△AOB是等腰直角三角形可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD进而得到△BDP是等腰直角三角形故PD22=PB当C P D在同一直线上时CD⊥AB PC+PD的最小值等于垂线段CD的长求得CD的长即可得出结论．【详解】如图所示过P作PD⊥AB于D∵直线y＝x﹣3分别交x轴y轴于B A两点令x＝0 则y＝﹣3；令y＝0 则x＝3∴A（0 ﹣3）B（3 0）∴AO＝BO＝3又∵∠AOB＝90°∴△AOB是等腰直角三角形∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD∴△BDP是等腰直角三角形∴PD22=PB∴2PC+PB2=（PC22+PB）2=（PC+PD）当C P D在同一直线上即CD⊥AB时PC+PD的值最小最小值等于垂线段CD 的长此时△ACD是等腰直角三角形又∵点C（0 1）在y轴上∴AC＝1+3＝4∴CD22=AC＝22即PC+PD的最小值为22∴2PC+PB的最小值为222⨯=4 故答案为：4．训练题08【2021·四川甘孜·中考真题】【答案】2或22【分析】分两种情况：当CE ⊥AB 时 设垂足为M 在Rt △AMC 中 ∠A ＝45° 由折叠得：∠ACD ＝∠DCE ＝22.5° 证明△BCM ≌△DCM 得到BM ＝DM 证明△MDE 是等腰直角三角形 即可得解；当CE ⊥AC 时 根据折叠的性质 等腰直角三角形的判定与性质计算即可；【详解】当CE ⊥AB 时 如图设垂足为M 在Rt △AMC 中 ∠A ＝45°由折叠得：∠ACD ＝∠DCE ＝22.5°∵等腰△ABC 中 顶角∠A ＝45°∴∠B ＝∠ACB ＝67.5°∴∠BCM ＝22.5°∴∠BCM ＝∠DCM在△BCM 和△DCM 中90BMC DMC CM CM BCM DCM ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BCM ≌△DCM （ASA ）∴BM ＝DM由折叠得：∠E ＝∠A ＝45° AD ＝DE∴△MDE 是等腰直角三角形∴DM ＝EM设DM ＝x 则BM ＝x DE 2=x∴AD 2=x ．∵AB＝22+2∴2x2x＝22+2 解得：x2=∴BD＝2x＝22；当CE⊥AC时如图∴∠ACE＝90°由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝45°∵等腰△ABC中顶角∠A＝45°∴∠E＝∠A＝45°AD＝DE∴∠ADC＝∠EDC＝90°即点D E都在直线AB上且△ADC△DEC△ACE都是等腰直角三角形∵AB＝AC＝＝22+2∴AD22=AC＝22BD＝AB﹣AD＝（22+2）﹣（22）2=综上BD的长为2或22．故答案为：2或22．训练题09【2022·福建泉州·九年级联考】【答案】916【分析】利用等腰直角三角形的性质先证明AED BEA ∽ 可得34BE AE AB AD ==,设3BE x = 则4AB x AC ==,再证明ADE CDA △∽△ 可得34AC AE CD AD == 可得163CD x = 从而可得结论． 【详解】解：∵ABC 和AGF 是等腰直角三角形 ∴45,B F FAG AB AC ∠=∠=∠=︒=∵AEB AED ∠=∠∴AED BEA ∽∴AD AE DE AB BE AE ==,而4=AD 3AE = ∴34BE AE AB AD == 设3BE x = 则4AB x AC ==同理可得：ADE CDA △∽△∴AD AE DE CD AC AD == ∴34AC AE CD AD == ∴BE AC AB CD = ∴344x x x CD =,即163CD x = ∴3916163BE x CD x ==.训练题10【2021·宁夏固元·联考一模】【答案】D【详解】解：如图 延长AD 过点C 作CE ⊥AD 垂足为E∵ 即∴设AD ＝5x 则AB ＝3x∵∠CDE ＝∠BDA ∠CED ＝∠BAD∴△CDE ∽△BDA∴∴CE ＝ DE ＝∴AE ＝ ∴tan ∠CAD ＝．5tanB 3=53AD AB =12CE DE CD AB AD BD ===32x 52x 152x 15CE AE =。
培优专题02 四边形压轴题综合(解析版)
培优专题02 四边形压轴题综合本考点是中考五星高频考点，难度中等及中等偏上，在全国各地市的中考试卷中都有考查。
（2022年攀枝花中考试卷第16题）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）．【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．【分析】①利用SAS证明△EFB≌△ACB，得出EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；根据两边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ADFE是平行四边形，即可判断结论①正确；②当∠BAC＝150°时，求出∠EAD＝90°，根据有一个角是90°的平行四边形是矩形即可判断结论②正确；③先证明AE＝AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断结论③正确；④根据正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四边形是正方形即可判断结论④正确．【解答】解：①∵△ABE、△CBF是等边三角形，∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°；∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF；∴△EFB≌△ACB（SAS）；∴EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；由AE＝DF，AD＝EF即可得出四边形ADFE是平行四边形，故结论①正确；②当∠BAC＝150°时，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°，由①知四边形AEFD 是平行四边形，∴平行四边形ADFE 是矩形，故结论②正确；③由①知AB ＝AE ，AC ＝AD ，四边形AEFD 是平行四边形，∴当AB ＝AC 时，AE ＝AD ，∴平行四边形AEFD 是菱形，故结论③正确；④综合②③的结论知：当AB ＝AC ，且∠BAC ＝150°时，四边形AEFD 既是菱形，又是矩形，∴四边形AEFD 是正方形，故结论④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查了平行四边形及矩形、菱形、正方形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定方法和性质是解答此题的关键．特殊四边形综合题是中考数学中的一大重点，也是一大难点。
中考数学重难题型押题培优导练案【原卷版】
专题01新定义创新型综合压轴问题（北京13-22年最后一题+真题10道模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢新定义＂型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂;（3）定义新概念.这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。
北京中考最后一题的新定义主要涉及函数与圆的有关新定义问题，属于函数的范畴，已经考过“对应点”、“关联线段”、“平移距离”“闭距离”、“相关矩形”、“反称点”、“有界函数”、“关联点”等新定义。
在平时的教学过程中要从细节中挖掘出数学的本质特征，引领学生找到解决问题的思想方法. 解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决．【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分【例1】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义：将点P 向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图，点M(1,1),点N在线段OM的延长线上，若点P(−2,0),点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；OM;②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=12<t<1)，若P为⊙O外一点，点Q为(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t(12点P的“对应点”，连接PQ.当点M在⊙O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）【例2】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′,C′分别是B,C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A,B1,C1,B2,C2,B3,C3的横､纵坐标都是整数．在线段B1C1,B2C2,B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是______________；（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0,t)，其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB=1,AC=2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′,B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是；在点P1,P2,P3,P4中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为(2,32)，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．2（2019·北京·中考真题）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果DE⌢上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称DE⌢为△ABC的中内弧．例如，下图中DE⌢是△ABC的一条中内弧．（1）如图，在Rt△ABC中，AB=AC=2√2，D，E分别是AB，AC的中点．画出△ABC的最长的中内弧DE⌢，并直接写出此时DE⌢的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，B(0,0)，C(4t,0)(t>0)，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t=12，求△ABC的中内弧DE⌢所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧DE⌢，使得DE⌢所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．3．（2018·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d（M，N）．已知点A（−2，6），B（−2，−2），C（6，−2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（−1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G，若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．4.（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1(12,0),P2(12,√32),P3(52,0)中，⊙O的关联点是_______________．②点P在直线y=-x上，若P为⊙O 的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C 的圆心在x轴上，半径为2，直线y=-x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．5．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．下图为点P，Q 的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（1，0）．①若点B的坐标为（3，1）求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3）．若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．6．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O的半径为1时．，0），T（1，√3）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；①分别判断点M（2，1），N（32②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；x+2√3与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣√33点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．7．（2014·北京·中考真题）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足−M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．(x>0)和y=x+1(−4<x≤2)是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（1）分别判断函数y=1x（2）若函数y=−x+1(a⩽x⩽b,b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2(−1≤x≤m，m≥0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么≤t≤1范围时，满足348．（2013·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点．已知点D（，），E（0，－2），F（，0）（1）当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的关联点是；②过点F作直线交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题1．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，AB=1，且A，B两点中至少有一点在⊙O外．给出如下定义：平移线段AB，得到线段A′B′（A′，B′分别为点A，B的对应点），若线段A′B′上所有的点都在⊙O的内部或⊙O上，则线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．(1)如图1，点A 1，B 1的坐标分别为（－3，0），（－2，0），线段A 1B 1到⊙O 的“平移距离”为___，点A 2，B 2的坐标分别为（－12，√3），（12，√3），线段A 2B 2到⊙O 的“平移距离”为___；(2)若点A ，B 都在直线y =√3x +2√3上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d ，求d 的最小值；(3)如图2，若点A 坐标为（1，√3），线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B 形成的图形（不需证明）．2．（2022·北京北京·二模）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于线段PQ 给出如下定义：若线段PQ 与⊙O 有两个交点M ，N ，且PM =MN =NQ ，则称线段PQ 是⊙O 的“倍弦线”．(1)如图，点A ，B ，C ，D 的横、纵坐标都是整数．在线段AB ，AD ，CB ，CD 中，⊙O 的“倍弦线”是_____________； (2)⊙O 的“倍弦线”PQ 与直线x =2交于点E ，求点E 纵坐标y E 的取值范围；(3)若⊙O 的“倍弦线”PQ 过点(1,0)，直线y =x +b 与线段PQ 有公共点，直接写出b 的取值范围．3．（2022·北京大兴·二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和直线y =1，给出如下定义：若点P 在直线y =1上，且以点P 为顶点的角是45°，则称点P 为直线y =1的“关联点”．(1)若在直线x =1上存在直线y =1的“关联点”P ．则点P 的坐标为_____；(2)过点P(2,1)作两条射线，一条射线垂直于x轴，垂足为A；另一条射线、交x轴于点B，若点P为直线y=1的“关联点”．求点B的坐标；(3)以点O为圆心，1为半径作圆，若在⊙O上存在点N，使得∠OPN的顶点P为直线y=1的“关联点”．则点P的横坐标a的取值范围是________．4．（2022·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形G及过定点P(3,0)的直线l，有如下定义：过图形G上任意一点Q作QH⊥l于点H，若QH+PH有最大值，那么称这个最大值为图形G关于直线l的最佳射影距离，记作d(G,l)，此时点Q称为图形G关于直线l的最佳射影点．(1)如图1，已知A(2,2)，B(3,3)，写出线段AB关于x轴的最佳射影距离d(AB,x轴)=____________；(2)已知点C(3,2)，⊙C的半径为√2，求⊙C关于x轴的最佳射影距离d（⊙C，x轴），并写出此时⊙C关于x轴的最佳射影点Q的坐标；(3)直接写出点D(0,√3)关于直线l的最佳射影距离d(点D,l)的最大值．5．（2022·北京·清华附中一模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM=QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．(1)如图1，已知点A(0,3)，B(2,3)；①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是______，最大值是______；,0)，P2(1,4)，P3(−3,0)这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是______．②在P1(32(2)如图2，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为（5，0）．若点E(x,2)在第一象限，且点D与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；(3)如图3，已知点H(−3,0)，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点C(a,b)（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC=5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若HK上的任意两个点都是⊙C 的一对平衡点，直接写出b的取值范围．6．（2022·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，T（0，t）为y轴上一点，P为平面上一点．给出如下定义：若在⊙O上存在一点Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，则称点P 为⊙O的“等直点”，△TQP为⊙O的“等直三角形”．如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．(1)当t＝2时，在点A，B，C，D中，⊙O的“等直点”是；(2)当t＝3时，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求CP的值．OQ7．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果线段OP与图形W无公共点，则称点P为关于图形W的“阳光点”；如果线段OP与图形W有公共点，则称点P为关于图形W的“阴影点”．(1)如图1，已知点A（1，3），B（1，1），连接AB．①在P1（1，4），P2（1，2），P3（2，3），P4（2，1）这四个点中，关于线段AB的“阳光点”是；②线段A1B1∥AB，A1B1上的所有点都是关于线段AB的“阴影点”，且当线段A1B1向上或向下平移时，都会有A1B1上的点成为关于线段AB的“阳光点”，若，A1B1的长为4，且点A1在B1的上方，则点A1的坐标为．(2)如图2，已知点C（1，√3），⊙C与y轴相切于点D，若⊙E的半径为3，圆心E在直线l：y=−√3x+4√32上，且⊙E的所有点都是关于⊙C的“阴影点”，求点E的横坐标的取值范围；(3)如图3，⊙M的半径为3，点M到原点的距离为5，点N是⊙M上到原点距离最近的点，点Q和T是坐标平面的两个动点，且⊙M上的所有点都是关于△NQT的“阴影点”直接写出△NQT的周长的最小值．8．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”，已知O（0，0），A（1，√2），B（m，n），C（m，n+2）是平面直角坐标系中四点．(1)根据上述定义，完成下面的问题：①当m＝2√2，n=√2时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是；②当m＝2√2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是√2，则n的取值范围是；(2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为√2的圆上，当n≥√2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为√2，线段BC的中点为M．直接写出点M 随线段BC运动所走过的路径长．9．（2022·北京市师达中学模拟预测）如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少．．一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy中，点E，F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．(1)分别以点A（1，0），B（1，1），C（3，2）为圆心，1为半径作圆，得到⊙A，⊙B和⊙C，其中是∠EOF 的角内圆的是；(2)如果以点D（t，2）为圆心，以1为半径的⊙D为∠EOF的角内圆，且与直线y=x有公共点，求t的取值范围；(3)点M在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点P（2，2√3）的圆为∠EMO的角内相切圆，直接写出∠EOM的取值范围．10．（2021·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，∠AOB的度数为点O对线段AB的可视度．√3)，M2(1,√3)，M3(2,3)中，对线段ON的可视度为60º的点是______．（1）已知点N（2，0），在点M1(0,23（2）如图2，已知点A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2），E（0，4）．①直接写出点E对四边形ABCD的可视度为______°；②已知点F（a，4），若点F对四边形ABCD的可视度为45°，求a的值．11．（2022·北京四中模拟预测）在平面内，对点组A1，A2，...，An和点P给出如下定义：点P与点A1，A2，...，An的距离分别记作d1，d2，...，dn，数组d1，d2，...，dn的中位数称为点P对点组A1，A2，...，An的中位距离．例如，对点组A1（0，0），A2（0，3），A3（4，1）和点P（4，3），有d1＝5，d2＝4，d3＝2，故点P对点组A1，A2，A3的中位距离为4．(1)设Z1（0，0），Z2（4，0），Z3（0，4），Y（0，3），直接写出点Y对点组Z1，Z2，Z3的中位距离；(2)设C1（0，0），C2（8，0），C3（6，6），则点Q1（7，3），Q2（3，3），Q3（4，0），Q4（4，2）中，对点组C1，C2，C3的中位距离最小的点是，该点对点组C1，C2，C3的中位距离为；(3)设M（1，0），N(0,√3)，T1（t，0），T2（t+2，0），T3（t，2），若线段MN上任意一点对点组T1，T2，T3的中位距离都不超过2，直接写出实数t的取值范围．12．（2020·北京·人大附中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于平面中的点P，Q和图形M，若图形M上存在一点C，使∠PQC=90°，则称点Q为点P关于图形M的“折转点”，称△PCQ为点P关于图形M的“折转三角形”（1）已知点A(4,0)，B(2,0)①在点Q1(2,2)，Q2(1,−√3)，Q3(4,−1)中，点O关于点A的“折转点”是______；②点D在直线y=−x上，若点D是点O关于线段AB的“折转点”，求点D的横坐标x D的取值范围；（2）⊙T的圆心为(t,0)，半径为3，直线y=x+2与x，y轴分别交于E，F两点，点P为⊙T上一点，若线段EF上存在点P关于⊙T的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t的取值范围．13．（2020·北京市陈经纶中学分校三模）平面直角坐标系xOy中，对于点M和图形W，若图形W上存在一点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称点M与图形W是“中心轴对称”的对于图形W1和图形W2，若图形W1和图形W2分别存在点M和点N（点M，N可以重合），使得点M与点N 关于一条经过原点的直线l对称，则称图形W1和图形W2是“中心轴对称”的．特别地，对于点M和点N，若存在一条经过原点的直线l，使得点M与点N关于直线l对称，则称点M和点N是“中心轴对称”的．（1）如图1，在正方形ABCD中，点A(1,0)，点C(2,1)，①下列四个点P1(0,1)，P2(2,2)，P3(−12,0)，P4(−12,−√32)中，与点A是“中心轴对称”的是________；②点E在射线OB上，若点E与正方形ABC D是“中心轴对称”的，求点E的横坐标x E的取值范围;（2）四边形GHJK的四个顶点的坐标分别为G(−2,2)，H(2,2)，J(2,−2)，K(−2,−2),一次函数y=√3x+b 图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段与四边形GHJK是“中心轴对称”的，直接写出b的取值范围．14．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点Q，给出如下定义：将图形G绕点Q 顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形G关于点Q的“垂直图形”，例如，图1中线段OD为线段OC关于点O的“垂直图形”．(1)线段MN关于点M(1,1)的“垂直图形”为线段MP．①若点N的坐标为(1,2)，则点P的坐标为__________；②若点P的坐标为(4,1)，则点N的坐标为__________；(2)E(−3,3),F(−2,3),H(a,0)．线段EF关于点H的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点的对应点为F′．①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．15．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B为⊙O上任意一点，给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，p=0），最大值为q，的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d（A，⊙O）那么把p+q2(1)如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数①d（D，⊙O）＝__________；②若点M在线段EF上，求d（M，⊙O）的取值范围；(2)若点N在直线y=√3x+2√3上，直接写出d（N，⊙O）的取值范围；(3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P，⊙O）的最小值为1，最大值为√10，直接写出m的最小值和最大值．16．（2022·北京平谷·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d(P,Q)．已知点A(−2,2)，B(2,2)，连接AB．(1)d（点O，AB）＝；(2)⊙O半径为r，若d(⊙O,AB)=0，直接写出r的取值范围；(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°(0°<α<180°)，得到点A′．①当α=30°时d(⊙O,A′)=0，求出此时r的值；②对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A′)=0，直接写出r的范围．17．（2022·北京密云·二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P(2,3)与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”．(1)如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点．①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______．②点M(m,0)为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围．(2)已知一次函数y=x+1的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．18．（2022·北京门头沟·二模）我们规定：如图，点H在直线MN上，点P和点P′均在直线MN的上方，如果HP= HP′，∠PHM=∠P′HN，点P′就是点P关于直线MN的“反射点”，其中点H为“V点”，射线HP与射线HP′组成的图形为“V形”．在平面直角坐标系xOy中，(1)如果点P(0,3) ，H(1.5,0)，那么点P关于x轴的反射点P′的坐标为；(2)已知点A(0,a) ，过点A作平行于x轴的直线l．①如果点B(5,3) 关于直线l的反射点B′和“V点”都在直线y=−x+4上，求点B′的坐标和a的值；②⊙W是以(3,2) 为圆心，1为半径的圆，如果某点关于直线l的反射点和“V点”都在直线y=−x+4上，且形成的“V形”恰好与⊙W有且只有两个交点，求a的取值范围．19．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，则称点C为图形G的“友好点”．(1)已知点O(0,0)，M(4,0)，在点C1(0,4)，C2(1,4)，C3(2,−1)中，线段OM的“友好点”是_______；(2)直线y=−x+b分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点C(2,1)为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；(3)已知直线y=x+d(d>0)分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的⊙O的“友好点”，直接写出d的取值范围．20．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点R和线段PQ，给出如下定义：M为线段PQ 上任意一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段PQ的长，则称点R为线段PQ的“等距点”．(1)已知点A(5,0)．①在点B1(−3,4)，B2(1,5)，B3(4,−3)，B4(3,6)中，线段OA的“等距点”是______；②若点C在直线y=2x+5上，并且点C是线段OA的“等距点”，求点C的坐标；(2)已知点D(1,0)，点E(0,−1)，图形W是以点T(t,0)为圆心，1为半径的⊙T位于x轴及x轴上方的部分．若图形W上存在线段DE的“等距点”，直接写出t的取值范围．21．（2022·北京市十一学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意一点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)已知，点A(−4√2,2)，B(2√2,2)．①原点O到线段AB上一点的最大距离为_______，最小距离为_______；②当点C的坐标为(0,m)时，且△ABC的“全距”为4，求m的取值范围；(2)已知OM=7，等边△DEF的三个顶点均在半径为3的⊙M上．求△DEF的“全距”d的取值范围．22．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M、N可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系(1)如图1，点C(√3,0),D(0,−1),E(0,1)，点P在线段CE上运动（点P可以与点C，E重合），连接OP,DP．①线段OP的最小值为__________，最大值为__________；线段DP的取值范围是__________；②在点O，点D中，点__________与线段EC满足限距关系；(2)在（1）的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点F横坐标的取值范围；(3)⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，2为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．23．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于△ABC和直线l给出如下定义：若△ABC的一条边关于直线l的对称线段PQ是⊙O的弦，则称△ABC是⊙O的关于直线l的“关联三角形”，直线l是“关联轴”．(1)如图1，若△ABC是⊙O的关于直线l的“关联三角形”，请画出△ABC与⊙O的“关联轴”（至少画两条）；(2)若△ABC中，点A坐标为(2,3)，点B坐标为(4,1)，点C在直线y=−x+3的图像上，存在“关联轴l”使△ABC 是⊙O的关联三角形，求点C横坐标的取值范围；(3)已知A(√3,1)，将点A向上平移2个单位得到点M，以M为圆心MA为半径画圆，B，C为⊙M上的两点，且AB=2（点B在点A右侧），若△ABC与⊙O的关联轴至少有两条，直接写出OC的最小值和最大值，以及OC 最大时AC的长．24．（2022·北京市十一学校二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．(1)已知点A（6，8），在点Q1(5,0)，Q2(−2,4)，Q3(9,5)中，________是点A的“直角点”；(2)已知点B（-4，4），C（3，4），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；(3)在（2）的条件下，已知点D（m-1，0），E（m，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，求m的取值范围．25．（2022·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意―点，将点P 到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)如图，点A(−√3,1)，B(√3,1)．①原点O到线段AB上一点的最大距离为______，最小距离为______；②当点C的坐标为(0,m)时，且△ABC的“全距”为1，求m的取值范围；(2)已知OM＝2，等边△DEF的三个顶点均在半径为1的⊙M上．请直接写出△DEF的“全距”d的取值范围．26．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．(1)已知点A(1，2)，求点A的“关联三角形”的面积；(2)如图，已知点B(m，n)，⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，直接写出m的取值范围；(3)已知⊙O的半径为r，OP=2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围．27．（2022·北京一七一中一模）已知平面直角坐标系xOy中，对于线段MN及P、Q，若∠MPN=45°且线段MN关于点P的中心对称线段M′N′恰好经过点Q，则称Q是点P的线段MN−45°对经点.(1)设点A(0,2)，①Q1(4,0)，Q2(2,2)，Q3(2+√7,1)，其中为某点P的线段OA−45°对经点的是___________.②选出①中一个符合题意的点Q，则此时所对应的对称中心P的坐标为.③已知B(0,1)，设⊙B的半径是r，若⊙B上存在某点P的线段OA−45°对经点，求r的取值范围.(2)已知C(0,t)，D(0,−t)(t>0)，若点Q(4,0)同时是相异两点P1，P2的线段CD−45°对经点，直接写出t的取值范围.28．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，已知点A，过点A作直线MN．对于点A和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直线MN与⊙O有两个交点时，则称MN是⊙O的“双关联直线”，与⊙O有一个交点P时，则称MN是⊙O的“单关联直线”，AP是⊙O的“单关联线段”．(1)如图1，A(0,4)，当MN与y轴重合时，设MN与⊙O交于C，D两点．则MN是⊙O的“______关联直线”的值为______；（填“双”或“单”）；ACAD(2)如图2，点A为直线y=−3x+4上一动点，AP是⊙O的“单关联线段”．①求OA的最小值；②直接写出△APO面积的最小值．29．（2022·北京市燕山教研中心一模）对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△PQR 使得S△PQR=PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ的“等幂点”．(1)已知A(2,0)．①在点P1(2,4),P2(1,2),P3(−4,1),P4(1,−4)中，线段OA的“等幂点”是____________；②若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；(2)已知点C的坐标为C(2,−1)，点D在直线y=x−3上，记图形M为以点T(1,0)为圆心，2为半径的⊙T位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形”△CDE为锐角三角形，直接写出点D的横坐标x D的取值范围．30．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r，对于平面上任一点P，我们定义：若在⊙O上存在一点A，使得点P关于点A的对称点点B在⊙O内，我们就称点P为⊙O的友好点．(1)如图1，若r为1．①已知点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，0）中，是⊙O的友好点的是；②若点P（t，0）为⊙O的友好点，求t的取值范围；(2)已知M（0，3），N（3，0），线段MN上所有的点都是⊙O的友好点，求r取值范围．。
2023年九年级数学中考综合培优测试卷《相似三角形综合》压轴题【含答案】
2023年九年级数学中考综合培优测试卷《相似三角形综合》压轴题1．如图，CD是等腰直角△ABC斜边AB的中线，以点D为顶点的∠EDF绕点D旋转，角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE 与BC交于点N，且∠EDF＝45°．（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；（2）如图2，若CE≠CF，求证：CD2＝CE•CF；（3）如图2，过D作DG⊥BC于点G，若CD＝2，CF＝，求DN的长．2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，动点P从点A开始以每秒4个单位长度的速度匀速沿A﹣C﹣A运动，回到A点时停止运动，动点Q同时从点C开始以每秒1个单位长度的速度匀速沿C﹣B运动，到达B点时停止运动，点D为AB的中点，连接PQ，DP，DQ．设运动时间为t秒．（1）当点P沿A﹣C运动时，①BQ＝ ，PC＝ （用含t的式子表示）；②当DP⊥AB时，求t的值；（2）当△CPQ与△ABC相似时，直接写出t的值．3．如图，在平面直角坐标系中，已知▱ABCD，AD＝6，OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．（1）AB＝ ；（直接写出结果）（2）若点E在x轴上，且S△AOE＝．①E点坐标为 ；（直接写出结果）②求证：△AOE∽△DAO．（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A，C，F，M 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，动点E从点A出发沿AC方向运动，动点F从点C出发沿CB方向运动，点E，F同时出发，且速度均为1cm/s，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．过E作线段EP∥BC，且EP＝BC，连接EF，PF，解答下列问题：（1）当点F运动到BC中点时，求EC的长；（2）连接PC，当△PFC的面积为1cm2时，求t的值；（3）是否存在某一时刻t，使△EFP为直角三角形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．5．已知矩形ABCD，点E为线段BC上的一点，连接AE，过点B作线段AE的垂线分别交线段AE，CD交于点G，F，延长CG交边AB于点M．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且点M为边AB的中点，①求证：BE＝CF；②若正方形ABCD的边长为2，求证：；（2）如图2，若GC平分∠FGE，若，求的值．6．在等边△ABC中，点D是BC的中点，点E为AC上一点，将线段DE绕点D逆时针方向旋转60°得线段DF，（1）如图1，当DF与AB交于点G时，求证：BD2＝BG•EC；（2）如图2，在（1）的条件下，连接FE交AB于点H，当时，求AH：HG：GB；（3）若AB＝4，当点E在线段AC上运动时，△BDF能否成为直角三角形，若能，请求出此时DF的值，若不能，请说明理由．7．【模型建立】（1）如图1，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC边上，∠ADE＝60°，求证：AB•CE＝BD•DC；【模型应用】（2）如图2，在ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，AE＝AD，点F在DC边上，∠EFD＝60°，则的值为 ；【模型拓展】（3）如图3，在钝角△ABC中，∠ABC＝60°，点D、E分别在BC、AC 边上，∠DAE＝∠ADE＝60°，若AB＝5，CE＝6，求DC的长．8．已知△ABC为直角三角形，点D在直线CB上，以AD为直角边做直角三角形ADE，连接CE．（1）如图1，当时，请直接写出线段BD与线段CE的数量关系与位置关系；（2）如图2，当时，请猜想线段BD与线段CE的数量关系与位置关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在射线CB上，且时，连接BE，分别取线段BE，DE的中点M，N，连接MN，CM，CN，若，请直接写出△CMN 的面积．9．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是AB，AD边上的动点，EF∥BD．将△AEF沿直线EF对折，点A对应点为点G，连结DG．（1）如图2，当点G落在对角线BD上时，求DG的长；（2）如图3，当∠DGF＝Rt∠时，求AF的长；（3）若直线FG交BD于点H，在点E的运动过程中，是否存在某一位置，使得以E，H，G为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求出AE的长；若不存在，请说明理由．10．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D 在BC上，连接CE．（1）如图1，当＝1时，则线段BD与线段CE的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图2，当＝3时，请猜想线段BD与线段CE的数量关系与位置关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，分别取线段BE，DE的中点M，N，连接MN，MC，NC，若AB＝，∠ADB＝60°，求出△MNC的面积．11．几何学的产生，源于人们对土地测量的需要，后来由实际问题抽象成为数学问题．初中数学常见的几何模型有很多，通过整理归纳，可以从这些基本模型中找到其所藻蕴含的规律．【提出问题】如图1，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，△ADE绕点A旋转，连结BD、EC，小明通过探究得到∠ABD与∠BCE的大小存在某种数量关系，具体探究过程如下．【探究问题】小明先将上述问题“特值化”，如图1，令AB＝1，AD＝，∠ABD＝100°，则可证明△ABD和△ACE相似，进而可求得∠BCE的度数．请你帮助小明完成解答过程．【解决问题】将问题“一般化”，如图2，在△ADE绕点A旋转过程中，∠ABD与∠BCE满足的数量关系为 ．【拓展应用】如图3，过线段AB的端点B作射线BM⊥AB，Rt△ADE的直角顶点D在射线BM上运动，连结BE，若AB＝4，＝，则BE的最小值为 ．12．[基础巩固]（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，AF交DE于点G，求证：＝．[尝试应用]（2）如图2，已知D、E为△ABC的边BC上的两点，且满足BD＝2DE＝4CE，一条平行于AB的直线分别交AD、AE和AC于点L、M和N，求的值．[拓展提高]（3）如图3，点E是正方形ABCD的边CD上的一个动点，AB＝3，延长CD至点F，使DF＝2DE，连接AE，BF，AE与BF相交于点G，连接CG，求CG的最小值．13．（1）例题再现：如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D，则AD的长为 ．（2）类比探究：如图2，△ABC中，AC＝14，BC＝6，点D，E分别在线段AB，AC上，∠EDB＝∠ACB＝60°，DE＝2．求AD的长．（3）拓展延伸：如图3，△ABC中，点D，点E分别在线段AB，AC上，∠EDB＝∠ACB＝60°．延长DE，BC交于点F，AD＝4，DE＝5，EF＝6，求BD的长．14．如图，已知在菱形ABCD中，AB＝5，cos B＝，点E、F分别在边BC、CD上，AF的延长线交BC的延长线于点G，且∠EAF＝∠BAD．（1）求证：AE2＝EC•EG；（2）如果点F是边CD的中点，求S△ABE的值．（3）延长AE、DC交于点H，联结GH、AC，如果△AGH与△ABC相似，求线段BE 的长．15．已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（点D不与点B重合），连接AD，以AD为一边构造Rt△ADE，使∠DAE＝90°，连接CE．（1）如图1，当＝＝1时，直接写出线段BD与线段CE的数量关系与位置关系：①数量关系： ；②位置关系： ；（2）如图2，当＝＝2时，请猜想线段BD与线段CE的数量关系与位置关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，分别取线段BE，DE的中点M，N，连接MN，CM，CN，若AB＝2，∠ADB＝45°，请直接写出△CMN的面积．16．定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有OP'＝k⋅OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，（1）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．点P在AB上，点Q 在AC上，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上且∠APQ＝120°，在△ABC及其内部，以点A为位似中心，请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N'，且使菱形P'Q'M'N'的面积最大（不要求尺规作图）；（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面积；（3）如图，四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形，CD、EF相交于点M，连接BG、CF．请用定义证明：△ABG与△MCF位似．17．定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图1，在△ABC与△AED中，BA＝BC，EA＝ED，且△ABC～AED，所以称△ABC与△AED为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为α，连接EB，DC，则称为“关联比”．下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：（1）当△ABC与△AED为“关联等腰三角形”，且α＝90°时，①如图2，若点E落在AB上，则“关联比”＝ ；②如图3，探究△ABE与△ACD的关系，并求出“关联比”的值．（2）如图4，当△ABC与△AED为“关联等腰三角形”，且α＝120°时，“关联比”＝ ．[迁移运用]（3）如图5，△ABC与△AED为“关联等腰三角形”．若∠ABC＝∠AED＝90°，AC＝4，点P为AC边上一点，且PA＝1，点E为PB上一动点，求点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长．18．阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A，B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么我们就把点E叫四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，那么我们就把点E叫四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：（1）如图1，∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由．（2）如图2，在矩形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长均为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点．（3）如图3，将矩形ABCD沿着CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．19．如图，把两块全等的等腰直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点E与三角板ABC的斜边中点重合，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠C＝∠F＝45°，AB＝DE＝6．把三角板ABC固定不动，三角板DEF由图1所示的位置绕点E沿顺时针方向旋转，设旋转角为α，其中0°＜α＜90°．设射线ED与射线BA相交于点P，射线EF与线段CA相交于点Q（当三角板旋转到图3所示位置时，线段EP交线段CA于点M）．（1）如图1，当射线EF经过点A，即点Q与点A重合时，易证△BPE∽△CEQ．此时，BP•CQ＝ ；（2）当三角板DEF转到如图2的位置时，BP•CQ的值是否改变？说明你的理由；（3）在三角板DEF旋转的过程中，两三角板重合部分的面积是否可能为？若可能，直接写出此时CQ的长；若不可能，请说明理由．20．如图①，已知在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，以BE为斜边构造等腰直角△BEF，将△BEF绕点B在平面内作逆时针旋转．（1）如图②，当∠EBC＝30°时，若CG＝，则BG＝ ；AG＝ ；（2）如图③，延长BE，与AC、DC分别相交于点G、N，延长BF，与AC、AD分别相交于点H、M，求证：△AMH∽△CGN；（3）如图④，连接CE、DE，请直接写出当DE+4CE取得最小值时，∠ECB的正切值．参考答案1．（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中线，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠BCE＝∠ACF＝90°，∴∠DCE＝∠DCF＝135°，在△DCE与△DCF中，，∴△DCE≌△DCF（SAS），∴DE＝DF；（2）证明：∵∠DCE＝∠DCF＝135°，∴∠CDF+∠F＝180°﹣135°＝45°，∵∠CDF+∠CDE＝45°，∴∠F＝∠CDE，∴△CDF∽△CED，∴＝，即CD2＝CE•CF；（3）解：如图，∵DG⊥BF，∴∠DGN＝∠ECN＝90°，CG＝DG，当CD＝2，CF＝时，由CD2＝CE•CF可得，CE＝，在Rt△DCG中，CG＝DG＝CD•sin∠DCG＝2×sin45°＝，∵∠ECN＝∠DGN，∠ENC＝∠DNG，∴△CEN∽△GDN，∴＝＝＝2，∴GN＝CG＝，∴DN＝＝＝．2．解：（1）∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，∴AC＝12，①BQ＝BC﹣CQ＝5﹣t，PC＝AC﹣AP＝12﹣4t，故答案为：5﹣t，12﹣4t；②如图1，∵∠C＝∠ADP＝90°，∴cos A＝，∴，∴t＝，∴当t＝时，PD⊥AB；（2）∵∠C＝∠C，∴△CPQ∽△CAB或△CPD∽△CBA，∴或，当0＜t≤3时，＝或，∴t＝或t＝，当3＜t≤6时，或，∴t＝（舍去）或t＝，综上所述：t＝或或．3．解：（1）解x2﹣7x+12＝0，得x1＝4，x2＝3，∵OA＞OB，∴OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，由勾股定理有AB＝＝＝5．故答案为：5．（2）①∵点E在x轴上，S△AOE＝，∴AO×OE＝，∴OE＝，∴E（，0）或E（﹣，0）．故答案为：（，0）或（﹣，0）．②在△AOE中，∠AOE＝90°，OA＝4，OE＝，在△AOD中，∠OAD＝90°，＝4，AD＝6，∵＝，∠AOE＝∠DAO，∴△AOE∽△DAO．（3）存在，理由如下：由题意，OB＝OC＝3，∴AO平分∠BAC，①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF＝AC＝5，所以点F与B重合，即F（﹣3，0）．②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，点F（3，8）．③AC是对角线时，AC解析式为y＝﹣x+4，AC的垂直平分线经过点（，2），解析式为y＝x+，由题意直线AB的解析式为y＝x+4，由，解得，联立直线L与直线AB求交点，∴F（﹣，﹣）．④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN＝，勾股定理得出，AN＝＝＝．作点A关于N的对称点即为F，AF＝，过F作y轴垂线，垂足为G，FG＝×＝，∴F（﹣，）．综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8），F2（﹣3，0），F3（﹣，﹣），F4（﹣，）．4．解：（1）∵AB＝3cm，AC＝4cm，∴BC＝＝＝5（cm），∵F为BC的中点，∴CF＝BC＝cm，∴AE＝cm，∵AC＝4cm，∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝（cm）；（2）过点E作EM⊥CB于M，∵∠EMC＝∠A＝90°，∠ECM＝∠ACB，∴△EMC∽△BAC，∴，∴，∴EM＝，过点P作PG⊥CF，交BC的延长线于G，∵EP∥BC，EM⊥BC，四边形EMGP是矩形，∴EM＝PG＝（cm），∵S△PFC＝CF•PG＝1，∴＝1，解得t＝，∴当t＝时，△PFC的面积为1cm2；（3）存在．分两种情况：①若∠FEP＝90°时，∵EP∥BC，∴EF⊥BC，∵∠EFC＝∠A，∠ECF＝∠ACB，∴△EFC∽△BAC，∴，∴，解得t＝；②当∠EFP＝90°时，过点E作EM⊥BC，过点P作PG⊥BC，交BC的延长线于G，由（2）可知EM＝（cm），，∴CM＝（cm），∴MF＝CM﹣CF＝﹣t＝（cm），∵EP＝MG＝5cm，∴FG＝5﹣MF＝5﹣＝（cm），∵∠EFM+∠PFG＝90°，∠PFG+∠FPG＝90°，∴∠EFM＝∠FPG，又∵∠EMF＝∠PGF，∴△EMF＝∽△FGP，∴，∴EM2＝FG•MF，∴，∴2t2﹣3t＝0，解得t＝或t＝0（舍去），综上所述，t＝或t＝时，△EFP为直角三角形．5．（1）证明：①∵BG⊥AE，∴∠BGA＝90°，∴∠BAG+∠ABG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF；②∵∠AGB＝90°，点M为AB的中点，∴GM＝BM＝1，∴∠MGB＝∠MBG，∵∠CGF＝∠MGB，∠CFB＝∠ABG，∴∠CFG＝∠CGF，∴CF＝CG，在Rt△CBM中，由勾股定理得，CM＝，∴CF＝CG＝CM﹣MG＝，∴；（2）解：由（1）同理可得△∽△BCF，∴，延长DC和AE交于点N，作CK⊥CG，交AN于K，∵DC∥AB，∴∠N＝∠BAE＝∠CBG，∵CG平分∠EGF，∴∠CGE＝45°，∵CK⊥CG，∴CK＝CG，∠BCG＝∠KCN，∴△BCG≌△NCK（AAS），∴CN＝CB，∵，∴，∵CN∥AB，∴，设CE＝2m，BE＝3m，则FC＝2m，CN＝5m，AB＝，∴，∴，∴，∴AM＝m，∴＝．6．（1）证明：∵点D是BC的中点，故BD＝CD，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵∠CED+∠CDE＝180°﹣∠C＝120°，∠CDE+∠FDB＝180°﹣∠EDF＝120°，∴∠CED＝∠FDB，∵∠B＝∠C＝60°，∴△CED∽△BDG，∴，∵BD＝CD，∴BD2＝BG•EC；（2）解：当时，设AE＝3x，则EC＝5x，∵DE＝DF，∠EDF＝60°，∴△EFD为等边三角形，则∠FED＝60°，∵∠AEH+∠CED＝120°，而∠AHE+∠AEH＝180°﹣∠BAC＝120°，∴∠CED＝∠AHE且∠HAC＝∠C＝60°，∴△AHE∽△CED，∴，∴AH＝，∵BD2＝BG•EC，即（4x）2＝BG×5x，∴BG＝x，∴GH＝AB﹣AH﹣BG＝8x﹣﹣＝，∴AH：HG：GB＝75：21：64；（3）解：能，理由：①如图3，当∠FDB为直角时，由（1）知，△CED∽△BDF，∴∠DEC＝∠BDF＝90°，在Rt△CDE中，DE＝CD sin C＝2×＝＝DF，∴DF＝；②当∠FBD为直角时，如图4，过点D作DM⊥AC，由（1）知，∠DEC＝∠FDB，∵∠EMD＝∠FBD＝90°，DE＝DF，∴△EMD≌△DBF（AAS），∴DM＝BF，由①得：DM＝＝BF，在Rt△BDF中，DF＝＝＝；③当∠BFD为直角时，如图5，过点D作DM⊥AC，由（1）知，∠DEC＝∠FDB，∵∠EMD＝∠BFD＝90°，DF＝DE，∴△EMD≌△DFB（ASA），∴BD＝ED＝DF，即BD＝DF，这与∠BFD为直角矛盾，故该情况不存在，综上，DF＝或．7．（1）证明：∵△ABC是等边三角形；，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠ADB+∠BAD＝180°﹣∠B＝120°．∵∠ADE＝60°，∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠ADE＝120°，∴∠BAD＝∠EDC，∴△BAD∽△CDE，∴，∴AB•CE＝BD•DC；（2）解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，∴∠C＝30°．∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠BAD＝30°，∴∠DAE＝60°．∵AE＝AD，∴△ADE为等边三角形，∴DE＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°．∵∠AED＝∠C+∠EDC＝60°，∴∠EDC＝∠C＝30°，∴DE＝EC．∵∠EFD＝60°，∴∠DEF＝180°﹣∠EFD﹣∠EDC＝90°，∴DF＝2EF．∵∠DFE＝∠C+∠FEC＝60°，∴∠FEC＝∠C＝30°，∴EF＝FC，∴DF＝2FC，即＝2，故答案为：2；（3）解：在DC上截取DF＝EF，如图，∵∠DAE＝∠ADE＝60°，∴∠DAE＝∠ADE＝∠AED＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE．∵∠ABC＝60°，∠ADE＝60°，∴∠ADB+∠BAD＝120°，∠ADB+∠EDF＝120°，∴∠BAD＝∠EDF，在△BAD和△FDE中，，∴△BAD≌△FDE（SAS），∴∠B＝∠EFD＝60°，∴∠EFC＝120°．∵∠AED＝60°，∴∠DEC＝120°，∴∠EFC＝∠DEC，∵∠C＝∠C，∴△EFC∽△DEC，∴，∴，∴CF2+5CF﹣36＝0，∵CF＞0，∴CF＝4．∴DC＝DF+CF＝5+4＝9．8．解：（1）BD与线段CE的数量关系为：BD＝CE，它们的位置关系为：BD⊥EC，理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE．∵＝1，∴△BAD∽△CAE，∴＝1，∠ABD＝∠ACE，∴BD＝EC，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ACB＝90°，即：∠BCE＝90°，∴BD⊥EC；（2）线段BD与线段CE的数量关系为：，位置关系为：BD⊥EC，理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE．∵＝1，∴△BAD∽△CAE，∴＝，∠ABD＝∠ACE，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ACB＝90°，即：∠BCE＝90°，∴BD⊥EC；（3）①当点D在线段CB上时，过点A作AF⊥BD于点F，如图，∵，tan∠ABC＝，∴tan∠ABC＝2，∵tan∠ABC＝，∴＝2，设BF＝k，则AF＝2k，∴AB＝＝k＝2，∴k＝2，∴AF＝4，BF＝2．∵tan∠ADB＝＝，∴DF＝3，∴BD＝DF+BF＝3+2＝5．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE．∵＝，∴△BAD∽△CAE，∴＝，∠ABD＝∠ACE，∴EC＝2BD＝10．∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ACB＝90°，即：∠BCE＝90°，∴BD⊥EC；∵点N为DE的中点，点M为BE的中点，∴CN＝NE＝DN＝DE，CM＝EM＝BM＝BE，在△CMN和△EMN中，，∴△CMN≌△EMN（SSS），∴S△CMN＝S△EMN．∵点N为DE的中点，店M为BE的中点，∴M，N为△EDB的中位线，∴MN∥BD，MN＝BD，∴△EMN∽△EBD，∴．∵BD•EC＝5×10＝25，∴S△EMN＝，∴．②当点D在线段CB的延长线上时，过点A作AF⊥BD于点F，如图，∵，tan∠ABC＝，∴tan∠ABC＝2，∵tan∠ABC＝，∴＝2，设BF＝k，则AF＝2k，∴AB＝＝k＝2，∴k＝2，∴AF＝4，BF＝2．∵tan∠ADB＝＝，∴DF＝3，∴BD＝DF﹣BF＝3﹣2＝1．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE．∵＝，∴△BAD∽△CAE，∴＝，∠ABD＝∠ACE，∴EC＝2BD＝2．∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ACB＝90°，即：∠BCE＝90°，∴BD⊥EC；∵点N为DE的中点，点M为BE的中点，∴CN＝NE＝DN＝DE，CM＝EM＝BM＝BE，在△CMN和△EMN中，，∴△CMN≌△EMN（SSS），∴S△CMN＝S△EMN．∵点N为DE的中点，店M为BE的中点，∴M，N为△EDB的中位线，∴MN∥BD，MN＝BD，∴△EMN∽△EBD，∴．∵BD•EC＝1×2＝1，∴S△EMN＝，∴S．综上，△CMN的面积为或．9．解：（1）连结AG，如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，∠BAD＝90°，∴BD＝＝＝10，由折叠的性质得：AG⊥EF，∵EF∥BD，∴AG⊥BD，∴∠AGD＝90°，∵∠ADG＝∠BDA，∴△AGD∽△BAD，∴＝，即＝，解得：DG＝，即DG的长为；（2）当∠DGF＝90°时，此时点D，G，E三点共线，由折叠的性质得：FG＝FA，∵EF∥BD，∴△AEF∽△∠ABD，∴＝＝＝，设AF＝3t，则FG＝3t，AE＝4t，DF＝6﹣3t，在Rt△DFG中，由勾股定理得：DG2＝DF2﹣FG2＝（6﹣3t）2﹣（3t）2＝36﹣36t，∵∠GDF＝∠ADE，∠DGF＝∠DAE，∴△DGF∽△DAE，∴＝，即，解得：t＝，经检验，t＝是原方程的解，且符合题意，∴AF＝3t＝．（3）①当点E与点B重合时，点H与点D重合，如图4，此时，△EHG与△AEF全等，符合条件．∴AE＝8．②当△GHE∽△AEF时，如图5，则，∴，设AF＝3t，则AE＝4t，∴FG＝3t，DF＝6﹣3t，GE＝4t，，∴，由折叠的性质得：∠AFE＝∠GFE，∵EF∥BD，∴∠AFE＝∠ADB，∠GFE＝∠DHF，∴∠AFE＝∠ADB＝∠DHF，∴DF＝FH，即，解得：，∴AE＝；③当△GHE∽△AFE时，如图6，∴＝＝，∴，由折叠的性质得：FG＝AF，GE＝AE，设AF＝3t，则AE＝4t，∴FG＝3t，DF＝6﹣3t，GE＝4t，GH＝3t，∴FH＝FG+GH＝3t+3t＝6t，同②得：DF＝FH，∴6﹣3t＝6t，解得：，∴AE＝；综上所述，在点E的运动过程中，存在某一位置，使得以E，H，G为顶点的三角形与△AEF相似，AE的长为8或或．10．解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，又∵＝1，∴△ABD∽△ACE，∴＝＝1，∠B＝∠ACE，∴BD＝CE，∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠B＝90°，∴BD⊥CE，故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；（2）CE＝3BD，BD⊥CE，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，又∵＝3，∴△ABD∽△ACE，∴＝＝3，∠B＝∠ACE，∴CE＝3BD，∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠B＝90°，∴BD⊥CE；（3）如图3，过点A作AH⊥BC于H，∵，AB＝，∴AC＝3，∴BC＝＝＝10，∵S△ABC＝×AB×AC＝×BC×AH，∴AH＝＝3，∴BH＝＝＝1，∵∠ADB＝60°，AH⊥BC，∴∠DAH＝30°，∴AH＝DH，∴DH＝，∴BD＝1+，∵CE＝3BD，∴CE＝3+3，∴S△BDE＝×BD×CE＝6+3，∵点M是BE的中点，点N是DE的中点，∠BCE＝90°，∴CM＝BE，CN＝DE，MN＝BD，∴＝，∴△MNC∽△BDE，∴＝，∴S△MNC＝×（6+3）＝．11．解：【探究问题】如图1，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴AB＝CB＝1，AD＝ED＝，∴AC＝＝＝，AE＝＝＝2，∴＝＝，∵∠BAC＝∠BCA＝45°，∠DAE＝∠DEA＝45°，∴∠CAE＝∠BAD＝45°﹣∠BAE，∴△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD＝100°，∴∠BCE＝∠ACE﹣∠BCA＝100°﹣45°＝55°，∴∠BCE的度数是55°．【解决问题】如图2，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴AB＝CB，AD＝ED，∴AC＝＝＝AB，AE＝＝＝AD，∴＝＝，∵∠BAC＝∠BCA＝45°，∠DAE＝∠DEA＝45°，∴∠BAD＝∠CAE＝45°+∠BAE，∴△BAD∽△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABD﹣∠BCE＝∠ACE﹣∠BCE＝45°，故答案为：∠ABD﹣∠BCE＝45°．【拓展应用】如图3，延长BG到点G，使BG＝3，连结AG，∵AB＝4，＝，∴＝＝，∵BM⊥AB，∠ADE＝90°，∴∠ABG＝∠ADE＝90°，∴△ABG∽△ADE，∴＝，∠BAG＝∠DAE，∴＝，∠BAG﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∴∠GAE＝∠BAD，∴△GAE∽△BAD，∴∠AGE＝∠ABD＝90°，∴点E在过点G且垂直于AG作BF⊥EG于点F，则∠GFB＝∠ABG＝90°，∵∠FGB＝∠BAG＝90°﹣∠AGB，∴△FGB∽△BAG，∴＝，∵BG＝3，GA＝＝＝5，∴FB＝＝＝，∵BE≥BF，∴BE≥，∴BE的最小值为，故答案为：．12．（1）证明：∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABF，△AGE∽△AFC，∴，＝，∴，∴；（2）解：如图2，过点M作MG∥BC，交AB于点G，交AD于点H，交AC于点F，∵MG∥BC，∴△AHG∽△ADB，△AMH∽△AED，∴，＝，∴＝，∴＝＝2，∴GH＝2HM，同理可得：HM＝2MF，∴GH＝4MF，GF＝7MF，∵NL∥AB，∴△FMN∽△FAG，∴＝，∴MN＝AG，∵NL∥AB，∴△MHL∽△GHA，∴＝，∴ML＝AG，∴＝；（3）解：如图3，连接DG，并延长DG交AB于Q，∵AB∥CD，∴△ABG∽△EFG，△AQG∽△EDG，∴，，∴，∵DF＝2DE，∴EF＝3DE，∴＝，∴AQ＝1，∴QD＝＝＝，∵点G在QD上运动，∴当CG⊥QD时，CG有最小值，此时，∠CGD＝∠DAQ＝90°，∵AB∥CD，∴∠AQD＝∠CDG，∴△AQD∽△GDC，∴＝，∴CG＝＝．13．解：（1）∵∠ADE＝∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∵AB＝10，AC＝8，AE＝5，∴＝，解得：AD＝4，故答案为：4；（2）如图2，在AC上截取CH＝CB，连接BH，∵∠ACB＝60°，∴△BCH为等边三角形，∴CH＝BH＝BC＝6，∠CHB＝60°，∴AH＝AC﹣CH＝8，∠AHB＝120°，∵∠EDB＝60°，∴∠ADE＝120°，∴∠ADE＝∠AHB，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△AHB，∴＝，即＝，解得：AD＝；（3）过点B作BM⊥DE于点M，过点E作EN⊥AB于点N，∴∠BMD＝∠BME＝∠ANE＝90°，∵∠EDN＝60°，∴∠DEN＝30°，∴DN＝DE＝，则EN＝＝，∴AN＝AD+DN＝4+＝，设DM＝a，∵∠BDM＝60°，∠DMB＝30°，∴∠MBD＝30°，∴BD＝2a，∴BM＝＝a，∵DE＝5，EF＝6，∴MF＝DE+EF﹣DM＝11﹣a，∵∠BCA＝∠F+∠FEC，∠BDE＝∠A+∠AED，∠AED＝∠FEC，∠BCA＝∠BDE，∴∠A＝∠F，∴△AEN∽△FMB，∴＝，即＝，解得：a＝，∴BD＝2a＝．14．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∠BAC＝∠CAD＝∠BAD，又∵∠EAF＝∠BDA，∴∠CAD＝∠EAF，∴∠EAC＝∠DAF，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠G，∴∠EAC＝∠G，又∵∠AEC＝∠GAE，∴△AEC∽△GAE，∴，即AE2＝EC•EG；（2）解：过点A作AH⊥BC交CB于点H，∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝BC＝CD＝5，AD∥BC，∵AD∥BC，点F是CD的中点，，∴CG＝AD＝5，设BE＝x，则EC＝5﹣x，EG＝EC+CG＝5﹣x+5＝10﹣x，则AE2＝EC•EG＝（5﹣x）（10﹣x），在Rt△ABH中，cos B＝，而AB＝5，则HB＝3，AH＝4，则EH ＝3﹣x ，在Rt △AEH 中，AE 2＝AH 2+EH 2，即AE 2＝（3﹣x ）2+42，∴（3﹣x ）2+42＝（5﹣x ）（10﹣x ），解得x ＝＝BE ，则S △ABE ＝BE ×AH ＝××4＝；（3）解：由（1）知，∠EAC ＝∠DAF ，则∠BAE ＝∠CAG ，∴∠BAC ＝∠EAF ，∴当或时，△AGH 与△ABC 相似，当时，∵∠BAC ＝∠BAD ，∠EAF ＝∠BAD ，∴∠BAC ＝∠EAF ，∴∠BAE ＝∠CAG ，∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠AHC ，∴∠CAG ＝∠AHC ，又∵∠EAC ＝∠AGC ，∴△AHC ∽△GAC ，∴，又，∴CH ＝AB ，∵AB ∥CD ，∴，∴BE ＝EC ＝BC ＝；当时，同理可得：△AHC ∽△GAC ，∴，又∵，∴CG＝AB，由（2）知，此时BE＝，综上，BE＝或．15．解：（1）①∵＝＝1，∴AC＝AB，AE＝AD，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，故答案为：BD＝CE；②由①可知△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ECA，∵∠ABD+∠ACB＝90°，∴∠ECA+∠ACB＝90°，∴∠CEB＝90°，∴CE⊥BD，故答案为：CE⊥BD；（2）EC＝2BD，CE⊥BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ECA，∵＝＝2，∴△BAD∽△CAE，∴＝2，∴EC＝2BD，∵∠ABD+∠ACB＝90°，∴∠ECA+∠ACB＝90°，∴∠CEB＝90°，∴CE⊥BD，∴综上所述，EC＝2BD，CE⊥BD；（3）当D点在线段BC上时，如图1，过点A作AF⊥BD交于F点，由（2）知，AC＝2AB，∴tan∠ABC＝2＝，∴AF＝2BF，∵AB＝2，∴AF＝4，BF＝2，∵∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝4，∴BD＝2+4＝6，∵＝2，∴EC＝12，∴S△EBD＝×BD×EC＝×12×6＝36，∵M、N分别是BE、DE的中点，∴MN∥BD，MN＝BD，∴＝，∵∠ECD＝90°，∴CN＝ED，CM＝BE，∴EN＝CN，EM＝CM，∴△CMN≌△EMN（SSS），∴＝，∴S△CMN＝9；当D点在CB的延长线上时，如图2，过A点作AG⊥BD交于点G，同理可得BD＝4﹣2＝2，∵＝2，∴EC＝4，∴S△EBD＝×BD×EC＝×4×2＝4，∵＝，∴S△CMN＝1；综上所述：△CMN的面积为1或9．16．解：（1）如图：（2）∵四边形P'Q'M'N'在△ABC内，∴当M'点在BC上时，菱形P'Q'M'N'的面积最大，∵四边形PQMN是菱形，四边形P'Q'M'N'是菱形，∴Q'M'∥AB，M'N'∥PQ，∴∠QPB＝∠M'N'B＝60°，∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∴△BM'N'是等边三角形，∴M'B＝M'N'＝Q'M'，∵AB＝6cm，∴BC＝3cm，∴CM'＝3﹣BM'，在Rt△CM'Q'中，∠CQ'M'＝30°，∴Q'M'＝2CM'，∴BM'＝2（3﹣BM'），解得BM'＝2，在△BM'N'中，过点M'作M'E⊥BN'交于点E，∵BM'＝2，∠B＝60°，∴M'E＝，∴菱形P'Q'M'N'的面积＝2；（3）延长GF、BC交于O点，连接AO，∵四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形，∴AG＝AB，∠AGF＝∠ABC，∴∠OGB＝∠OBG，∴OG＝BO，∵GF＝BC，∴OF＝OC，∴＝，连接OM，∵∠GFE＝∠BCD，∴∠MFO＝∠MCO，∵∠OFC＝∠FCO，∴CM＝FM，∴△MOF≌△MOC（SAS），∴∠FOM＝∠COM，∵AG＝AB，∠AGO＝∠ABO，GO＝BO，∴△AGO≌△ABO（SAS），∴∠FOA＝∠BOA，∴MO与AO重合，∴A、M、O三点共线，∴GF、BC、AM的延长线交于一点O，∴MF∥AG，∴＝，∵CM∥AB，∴＝，∴＝＝，∴△ABG与△MCF位似．17．解：（1）①∵△ABC与△AED为等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠EAD＝45°，，∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAD﹣∠EAC，∴∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴，故答案为：；②∵∠AED＝∠CBA＝90°，∴DE∥CB，∴＝＝，故答案为：；（2）如图1，作EF⊥AD于F，∴∠AFE＝90°，∵AE＝DE，∠AED＝120°，∴∠EAD＝∠EDA＝30°，AF＝DF，∴AE＝2EF，AF＝EF，∴AD＝2AF＝2EF，∴，同理可证：△CAD∽△BAE，∴，故答案为：；（3）如图2，同理可得：△CAD∽△BAE，∴∠ACD＝∠ABE，∴点D所经过的路径是线段CD，此时CP＝AC﹣AP＝1，PE＝DE＝1，∠CPD＝90°，∴CD＝＝＝，∴自点B运动至点P时，点D所经过的路径长为：．18．解：（1）结论：点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由：∵∠A＝∠DEC＝50°∴∠ADE+∠AED＝130°，∠BEC+∠AED＝130°，∴∠ADE＝∠BEC，又∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点；（2）如图中所示的点E和点F为AB上的强相似点；（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM，由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM＝∠DCM，CE＝CD，∴∠BCE＝∠BCD＝30°，CE＝AB，在Rt△BCE中，cos∠BCE＝，∴＝，∴＝，∴AB＝BC．19．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，且点E是BC的中点，∴∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，BE＝AE，∴∠BEP＝∠AEP＝∠EAC＝45°，∴△BPE∽△CEQ，∴，∴BP•CQ＝BE•CE＝（BC）2＝（•AB）2＝18；故答案为：18；（2）BP•CQ的值不变，理由如下：由（1）可知：△BPE∽△CEQ，∴，∴BP•CQ＝BE•CE＝BE•BE＝BE2＝18；（3）过E点作EN⊥AC于点N，此时重叠部分为△MEQ，设CQ为x，∵BP•CQ＝18，∴BP＝，∴AP＝，∵EN⊥AC，∴∠ENC＝90°＝∠BAC，∴EN∥AB，∴△ENM∽△PAM，∴，即，解得：AM＝＝，∴MQ＝6﹣AM﹣CQ＝6﹣x﹣，∴y＝＝（6﹣x﹣）×3，当y＝时，代入得：＝（6﹣x﹣）×3，整理可得：2x2﹣7x+6＝0，∵x＝或x＝2，∴存在CQ使面积为．20．（1）解：过点G作GH⊥BC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∴GH＝CH＝1，∵∠EBC＝30°，∴BH＝，BG＝2，∴+1，∴AC＝BC＝+，∴AG＝，故答案为：2，；（2）证明：∵∠EBF＝∠ACB＝45°，∴∠CGN＝45°+∠CBN＝∠MBC，∵AD∥BC，∴∠AMH＝∠MBC，∴∠AMH＝∠CGN，∵∠MAH＝∠GCN＝45°，∴△AMH∽△CGN；（3）解：连接BD，在BD上取点G，使BG＝，连接EG，∵BE＝BC，BD＝BC，∴＝，∵∠EBG＝∠DBE，∴△EBG∽△DBE，∴EG＝DE，∴DE+4CE＝4（DE+CE）＝4（EG+CE），∴点C、E、G三点共线时，EG+CE最小．过点G作GH⊥BC于H，设BG＝x，则BE＝x，BC＝2x，∴BH＝GH＝，∴CH＝，∴tan∠BCE＝＝．。
培优冲刺03 四边形压轴题综合(原卷版)-【查漏补缺】2024年中考数学复习冲刺过关(全国通用)
培优冲刺03四边形压轴题综合1、四边形与翻折的综合2、四边形与旋转的综合3、四边形与新定义的综合4、四边形与中点的综合题型一：四边形与翻折的综合有翻折必有全等，并且是轴对称类型的全等，所以，当四边形压轴题出现翻折或折叠时，一般都是从轴对称类的全等入手思考！【中考真题练】1．（2023•西宁）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．【操作】如图1，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D落在点D′处，MD′与BC交于点N．【猜想】MN＝CN．【验证】请将下列证明过程补充完整：∵矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，∴∠CMD＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC（矩形的对边平行），∴∠CMD＝（），∴＝（等量代换），∴MN＝CN（）．【应用】如图2，继续将矩形纸片ABCD折叠，使AM恰好落在直线MD′上，点A落在点A′处，点B落在点B′处，折痕为ME．（1）猜想MN与EC的数量关系，并说明理由；（2）若CD＝2，MD＝4，求EC的长．2．（2023•衢州）如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝4，AD＝8，点E为AD边上一点（0＜AE ＜3），连结EO并延长，交BC于点F．四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，线段B′F交AD边于点G．（1）求证：GE＝GF．（2）当AE＝2DG时，求AE的长．（3）令AE＝a，DG＝b．①求证：（4﹣a）（4﹣b）＝4．②如图2，连结OB′，OD，分别交AD，B′F于点H，K．记四边形OKGH的面积为S1，△DGK的面积为S2，当a＝1时，求的值．3．（2023•烟台）【问题背景】如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q．【问题提出】在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，求线段CQ的长；【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连接OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长；方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ的长．请你任选其中一种方案求线段CQ的长．【中考模拟练】1．（2024•天山区校级一模）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重合），将△ADE 沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C．给出下列四个结论：①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB＝45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为；④当∠ADE＝30°时，△A1BE的面积为．其中正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．42．（2024•曲阜市一模）如图1，菱形纸片ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，如图2，翻折∠ABC，∠ADC，使两个角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕．设AE＝x（0＜x＜2），给出下列判断：①当x＝1时，DP的长为；②EF+GH的值随x的变化而变化；③六边形AEFCHG面积的最大值是；④六边形AEFCHG周长的值不变．其中正确的是（）A．①②B．①④C．②③④D．①③④3．（2024•辽宁模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，点E为射线BA上一点（点E不与点B 重合），将△BCE沿EC折叠，得到△FCE，点P为线段FC上一点，再将△EFP沿EP折叠，得到△EGP，PG的延长线与边BC相交于点Q．（1）如图1，连接EQ，求证：QB＝QG．（2）如图2，当点E与点A重合时，若点G落在边AD上，连接BF，EC与BF相交于点M，与PQ相交于点N，求MN的长．（3）若点G落在边AD上，且，CE所在直线与AD所在直线相交于点H．①如图3，当点E在线段BA延长线上时，求HG的长；②当点E在线段AB上时，请直接写出HG的长．题型二：四边形与旋转的综合旋转的性质是不改变图形的形状与大小，并且旋转中两对应点与旋转中心连线的三角形是等腰三角形，各等腰三角形间均相似；所以四边形与旋转结合考察的综合题，谨记以下几点：①有旋转就会出现全等三角形、新形成的等腰三角形、新形成的相似三角形、旋转相似必成对！【中考真题练】1．（2023•南充）如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC．（1）求证：ED＝EC；（2）将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B′落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时（点M不与B，C重合），判断△CMB′的形状，并说明理由．（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，当∠DEB′＝45°时，求BM的长．2．（2023•绍兴）在平行四边形ABCD中（顶点A，B，C，D按逆时针方向排列），AB＝12，AD＝10，∠B为锐角，且sin B＝．（1）如图1，求AB边上的高CH的长；（2）P是边AB上的一动点，点C，D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C'，D'，①如图2，当C'落在射线CA上时，求BP的长；②当△AC'D'是直角三角形时，求BP的长．3．（2023•丹东）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，点D是BC的中点．四边形DEFG 是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），∠EDG＝60°，且DE＝2，菱形DEFG可以绕点D旋转，连接AG和CE，设直线AG和直线CE所夹的锐角为α．（1）在菱形DEFG绕点D旋转的过程中，当点E在线段DC上时，如图①，请直接写出AG与CE的数量关系及α的值；（2）当菱形DEFG绕点D旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）设直线AG与直线CE的交点为P，在菱形DEFG绕点D旋转一周的过程中，当EF所在的直线经过点B时，请直接写出△APC的面积．【中考模拟练】1．（2023•宁阳县一模）如图，Rt△ABE中，∠B＝90°，AB＝BE，将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，过D作DC⊥BE交BE的延长线于点C，连接BH并延长交DC于点F，连接DE交BF于点O．下列结论：①DE平分∠HDC；②DO＝OE；③H是BF的中点；④BC﹣CF＝2CE；⑤CD＝HF，其中正确的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个2．（2024•永修县一模）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且A（0，3）、B（5，3），将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），若点B的对应点B′恰好落在坐标轴上，则点C的对应点C′的坐标为．3．（2024•天津一模）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，点A （5，0），点B在第一象限，点P在边OA（点P不与点O，A重合），过点P作PQ⊥OA，交△OAB 的直角边于点Q，将线段QP绕点Q逆时针旋转90°得到线段QM，点P的对应点为M，连接PM．（1）如图①，若点M落在AB上，点B的坐标是，点M的坐标是；（2）设△PQM与△OAB重合部分面积为S，OP＝t．①如图②，若重合部分为四边形PQEF，与边AB交于点E，F，试用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当1≤t≤4时，求S的取值范围．（请直接写出结果即可）题型三：四边形与新定义的综合新定义类问题解题时，一般第一问都会先考察学生对所给新定义的准确理解，所以不需要深入，新定义给什么就用什么即可；新定义第二问一般要结合一个和所给新定义比较接近的一个图形的性质，此时需要把新老知识结合应用，同时思考；新定义最后一问，通常要在两个性质的考点之上拓展延伸，这时就要回归老知识，重点从老知识上来挖掘新定义能带给我们什么！【中考真题练】1．（2023•宁波）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD 为邻等四边形．（2）如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．（3）如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠BCD为邻等角，连结AC，过B 作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC＝8，DE＝10，求四边形EBCD的周长．2．（2023•常州）对于平面内的一个四边形，若存在点O，使得该四边形的一条对角线绕点O旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点O是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形MNPQ中，对角线MP、NQ相交于点T，则点T是矩形MNPQ的一个“旋点”．（1）若菱形ABCD为“可旋四边形”，其面积是4，则菱形ABCD的边长是；（2）如图1，四边形ABCD为“可旋四边形”，边AB的中点O是四边形ABCD的一个“旋点”．求∠ACB的度数；（3）如图2，在四边形ABCD中，AC＝BD，AD与BC不平行．四边形ABCD是否为“可旋四边形”？请说明理由．3．（2023•淮安）综合与实践定义：将宽与长的比值为（n为正整数）的矩形称为n阶奇妙矩形．（1）概念理解：当n＝1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（AD）与长（CD）的比值是．（2）操作验证：用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图（2））：第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EF，连接CE；第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK．试说明：矩形GDCK是1阶奇妙矩形．（3）方法迁移：用正方形纸片ABCD折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点E为正方形ABCD 边AB上（不与端点重合）任意一点，连接CE，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．【中考模拟练】1．（2024•泰兴市一模）【定义呈现】有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形．其中，这两个内角称为倍角．例如：如图1，在四边形ABCD中，∠A＝2∠C，∠D＝2∠B，那么我们就叫这个四边形是倍对角四边形，其中∠A，∠D称为倍角．【定义理解】如图1，四边形ABCD是倍对角四边形，且∠A，∠D是倍角．求∠B+∠C的度数；【拓展提升】如图2，四边形BDEC是倍对角四边形，且∠DEC，∠BDE是倍角，延长BD、CE交于点A．在BC下方作等边△BCF，延长FC、DE交于点G．若AB＝AC，BC＝2，FG＝kAB，四边形BDEC 的周长记为l．（1）用k的代数式表示l；（2）如图3，把题中的“AB＝AC”条件舍去，其它条件不变．①求证：CE＝EG；②探究是否为定值．如果是定值，求这个定值，如果不是，请说明理由．当题目中出现2个及以上中点时，注意联系中位线的性质及相关规律！1．（2023•镇江）[发现]如图1，有一张三角形纸片ABC，小宏做如下操作：①取AB、AC的中点D、E，在边BC上作MN＝DE．②连接EM，过点D、N作DG⊥EM、NH⊥EM，垂足分别为G、H．③将四边形BDGM剪下，绕点D旋转180°至四边形ADPQ的位置，将四边形CEHN剪下，绕点E旋转180°至四边形AEST的位置．④延长PQ、ST交于点F．小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：①点Q、A、T在一条直线上；②四边形FPGS是矩形；③△FQT≌△HMN；④四边形FPGS与△ABC的面积相等．[任务1]请你对结论①进行证明．[任务2]如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，P、Q分别是AB、CD的中点，连接PQ．求证：PQ＝（AD+BC）．[任务3]如图3，有一张四边形纸片ABCD，AD∥BC，AD＝2，BC＝8，CD＝9，sin∠DCB＝，小丽分别取AB、CD的中点P、Q，在边BC上作MN＝PQ，连接MQ，她仿照小宏的操作，将四边形ABCD分割、拼成了矩形．如果她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的长．2．（2023•东营）（1）用数学的眼光观察如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．（2）用数学的思维思考如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F．（3）用数学的语言表达如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．【中考模拟练】1．（2024•泗阳县校级二模）综合与实践探究几何元素之间的关系11问题情境：四边形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，点E 是直线AC 上的一个动点（点E 与点C ，O ，A 都不重合），过点A ，C 分别作直线BE 的垂线，垂足分别为F ，G ，连接OF ，OG．（1）初步探究：如图1，已知四边形ABCD 是正方形，且点E 在线段OC 上，求证AF ＝BG ；（2）深入思考：请从下面A ，B 两题中任选一题作答，我选择题．A ．探究图1中OF 与OG 的数量关系并说明理由；B ．如图2，已知四边形ABCD 为菱形，且点E 在AC 的延长线上，其余条件不变，探究OF 与OG 的数量关系并说明理由；（3）拓展延伸：请从下面AB 两题中任选一题作答，我选择题．如图3，已知四边形ABCD 为矩形，且AB ＝4，∠BAC ＝60°．A ．点E 在直线AC 上运动的过程中，若BF ＝BG ，则FG 的长为．B ．点E 在直线AC 上运动的过程中，若OF //BC ，则FG 的长为．。
2020年九年级数学中考三轮压轴专题培优卷：《三角形综合》(解析版)
三轮压轴专题培优卷：《三角形综合》1．（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD＝CE，②∠DCE＝120°；（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：①∠DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；②连结BE，若BE＝10，BC＝6，直接写出AE的长．证明：（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝∠B＝60°，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；②∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；（2）∠DCE＝90°，BD2+CD2＝DE2．证明：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；（3）①（2）中的结论还成立．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°＝∠ECD，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；②∵Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6，∴CE＝＝＝8，∴BD＝CE＝8，∴CD＝8﹣6＝2，∴Rt△DCE中，DE＝＝＝，∵△ADE是等腰直角三角形，∴．2．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D 移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．【探究发现】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC∴∠CAB＝∠CBA＝45°∵CD∥AB∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD∴∠DCB＝∠DBC＝45°∴DB＝DC即DP＝DB；【数学思考】证明：（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°∴∠DCG＝∠DGC＝45°∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，∵∠BDP＝∠CDG＝90°∴∠CDP＝∠BDG，在△CDP和△GDB中，，∴△CDP≌△GDB（ASA）∴DP＝DB．3．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC和AC上，AD与BE相交于点F．（1）如图1，若∠BAC＝60°，BD＝CE，求证：∠1＝∠2；（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，若CF⊥BF，求证：BF＝2AF；（3）如图3，∠BAC＝∠BFD＝2∠CFD＝90°，若S△ABC ＝2，求S△CDF的值．（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠1＝∠2；（2）如图2，过B作BH⊥AD，垂足为H，∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∵∠ABF+∠CBE＝60°，∴∠BFD＝∠ABF+∠BAD＝60°，∴∠FBH＝30°，∴BF＝2FH，在△AHB和△BFC中，∴△AHB≌△BFC（AAS），∴BF＝AH＝AF+FH＝2FH，∴AF＝FH，∴BF＝2AF；（3）如图3，过C作CM⊥AD交AD延长线于M，过C作CN⊥BE交BE延长线于N，∵∠BFD＝2∠CFD＝90°，∴∠EFC＝∠DFC＝45°，∴CF是∠MFN的角平分线，∴CM＝CN，∵∠BAC＝∠BFD＝90°，∴∠ABF＝∠CAD，在△AFB和△CMA中，∴△AFB≌△CMA（AAS）∴BF＝AM，AF＝CM，∴AF＝CN，∵∠FMC＝90°，∠CFM＝45°，∴△FMC为等腰直角三角形，∴FM＝CM，∴BF＝AM＝AF+FM＝2CM，∴S△BDF ＝2S△CDF，∵AF＝CM，FM＝CM，∴AF＝FM，∴F是AM的中点，∴S△AFC ＝S△AMC＝S△AFB，∵AF⊥BF，CN⊥BF，AF＝CN，∴S△AFB ＝S△BFC，设S△CDF ＝x，则S△BDF＝2x，∴S△AFB ＝S△BFC＝3x∴S△AFC ＝S△AFB＝x，则3x+3x+x＝2，解得，x＝，即S△CDF＝．4．在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N．（1）如图①，若∠BAC＝110°，则∠MAN＝40 °，若△AMN的周长为9，则BC＝9 ．（2）如图②，若∠BAC＝135°，求证：BM2+CN2＝MN2；（3）如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA 的延长线于点H．若AB＝5，CB＝12，求AH的长．解：（1）∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，∵AB边的垂直平分线交BC边于点M，∴AM＝BM，∴∠BAM＝∠B，同理：NA＝NC，∴∠NAC＝∠C，∴∠MAN＝110°﹣（∠BAM+∠NAC）＝40°，∵△AMN的周长为9，∴MA+MN+NA＝9，∴BC＝MB+MN+NC＝MA+MN+NA＝9，故答案为：40；9；（2）如图②，连接AM、AN，∵∠BAC＝135°，∴∠B+∠C＝45°，∵点M在AB的垂直平分线上，∴AM＝BM，∴∠BAM＝∠B，同理AN＝CN，∠CAN＝∠C，∴∠BAM+∠CAN＝45°，∴∠MAN＝∠BAC﹣（∠BAM+∠CAN）＝90°，∴AM2+AN2＝MN2，∴BM2+CN2＝MN2；（3）如图③，连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC，∴PH＝PE，∵点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝CP，在Rt△APH和Rt△CPE中，，∴Rt△APH≌Rt△CPE（HL），∴AH＝CE，在△BPH和△BPE中，，∴△BPH≌△BPE（AAS）∴BH＝BE，∴BC＝BE+CE＝BH+CE＝AB+2AH，∴AH＝（BC﹣AB）÷2＝3.5．5．（1）问题发现：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试写出线段DE，BD和CE之间的数量关系为DE＝BD+CE；（2）思考探究：如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．解：（1）如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE；（2）（1）中结论成立，理由如下：如图2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（3）△DEF是等边三角形，理由如下：如图3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，即∠DBF＝∠AFE，∵在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS）∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE ＝∠DFA +∠AFE ＝∠DFA +∠BFD ＝60°，∴△DEF 为等边三角形．6．如图所示，直线AB 交x 轴于点A （4，0），交y 轴于点B （0，﹣4）．（I ）如图①，若C 的坐标为（﹣1，0），且AH ⊥BC 于点H ，AH 交OB 于点P ，试求点P 的坐标；（II ）如图②，在（I ）的条件下，连接OH ，求∠OHC 的度数；（III ）如图③，若点D 为AB 的中点，点M 为y 轴正半轴上一动点，连接MD ，过D 作DN ⊥DM 交x 轴于N 点，当M 点在y 轴正半轴上运动的过程中，式子S △BDM ﹣S △ADN 的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．解：（I ）由题意，OA ＝OB ＝4，∵∠AHC ＝90°，∠BOC ＝90°，∴∠CAH ＝∠CBO ，在△OAP 和△OBC 中，，∴△OAP ≌△OBC （ASA ），∴OP ＝OC ＝1，则点P 的坐标为（0，﹣1）；（II ）如图②，过O 分别作OM ⊥BC 于M ，作ON ⊥AH 于N ，则四边形MONH 为矩形，∴∠MON ＝90°，∵∠COP ＝90°，∴∠COM ＝∠PON ，在△COM 和△PON 中，，∴△COM ≌△PON （AAS ）∴OM ＝ON ，又OM ⊥BC ，作ON ⊥AH ，∴HO 平分∠MHN ，∴∠OHC ＝∠MHN ＝45°；（III ）式子S △BDM ﹣S △ADN 的值不发生改变，等于4．理由如下：如图③，连接OD ，∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，点D 为AB 的中点，∴OD ⊥AB ，OD ＝AD ＝BD ＝，∠OAB ＝45°，∴∠BOD ＝45°，∴∠MOD ＝135°，∴∠MOD ＝∠NAD ＝135°，∵∠ODA ＝90°，∠MDN ＝90°，∴∠MDO ＝∠NDA ，在△MOD 和△NAD 中，，∴△MOD ≌△NAD （ASA ）∴S △MDO ＝S △NDA ，∴S △BDM ﹣S △ADN ＝S △BDM ﹣S △ODM ＝S △BDO ＝××4×4＝4．7．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．（1）求证：AE＝BD；（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；（3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：2，CD＝，求线段AB的长．（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°，∴∠EAD＝90°，在Rt△ADE中，AE2+AD2＝ED2，且AE＝BD，∴BD2+AD2＝ED2，∵ED＝CD，∴BD2+AD2＝2CD2，（3）解：连接EF，设BD＝x，∵BD：AF＝1：2，则AF＝2x，∵△ECD都是等腰直角三角形，CF⊥DE，∴DF＝EF，由（1）、（2）可得，在Rt△FAE中，EF＝＝＝3x，∵AE2+AD2＝2CD2∴，解得x＝1，∴AB＝2+4．8．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE．（1）如图1，若点D是AC的中点，求证：AD＝CE；（2）如图2，若点D不是AC的中点，AD＝CE是否成立？证明你的结论；（3）如图3，若点D在线段AC的延长线上，试判断AD与CE的大小关系，并说明理由．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，∵D为AC中点，∴∠DBC＝30°，AD＝DC，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝30°＝∠E，∴CD＝CE，∵AD＝DC，∴AD＝CE；（2）成立，如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，则∠ADF＝∠ACB＝60°，∵∠A＝60°，∴△AFD是等边三角形，∴AD＝DF＝AF，∠AFD＝60°，∴∠BFD＝∠DCE＝180°﹣60°＝120°，∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBE＝∠E，在△BFD和△DCE中，∴△BFD≌△DCE（AAS），∴CE＝DF＝AD，即AD＝CE．（3）AD＝CE．证明：如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，∵△ABC是等边三角形，∴△APD也是等边三角形，∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD，∴∠PDB＝∠DEC，在△BPD和△DCE中，，∴△BPD≌△DCE（AAS），∴PD＝CE，∴AD＝CE．9．如图（a），△ABC、△DCE都为等腰直角三角形，B、C、E三点在同一直线上，连接AD．（1）若AB＝2，CE＝，求△ACD的周长；（2）如图（b），点G为BE的中点，连接DG并延长至F，使得GF＝DG，连接BF、AG．（i）求证：BF∥DE；（ii）探索AG与FD的位置关系，并说明理由．（1）解：∵△ABC、△DCE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝45°，DC＝DE，∠DCE＝45°，∴∠ACD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△DCE中，DC2+DE2＝CE2＝（）2＝2，∴DC＝DE＝1，由勾股定理得，AD＝＝＝，∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝3+；（2）（i）证明：在△BGF和△EGD中，，∴△BGF≌△EGD（SAS）∴∠GBF＝∠E，∴BF∥DE；（ii）AG⊥FD，理由如下：如图（b）连接AF，∵△DEG≌△FBG，∴BF＝DE＝CD，∠GBF＝∠E＝45°，∵∠ABF＝∠ABC+∠GBF＝90°，∴∠ABF＝∠ACD，在△ACD和△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴AF＝AD，又∵DG＝FG，∴AG⊥FD．10．如图1，点M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN，（1）M点如图1的位置时，如果AM＝5，求BN的长；（2）M点在如图2位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系AB+BM＝BN；（3）M点在如图3位置时，当BM＝AB时，证明：MN⊥AB．（1）解：∵△PAB，△PMN都是等边三角形，∴∠APB＝MPN＝60°，PA＝PB，PM＝PN，∴∠APB﹣∠MPB＝MPN﹣∠MPB，即∠APM＝∠BPN，在△PAM和△PBN中，∴△PAM≌△PBN（SAS）∴AM＝BN＝5；（2）解：AB+BM＝BN，理由如下：∵△PAB，△PMN都是等边三角形，∴∠APB＝MPN＝60°，PA＝PB，PM＝PN，∴∠APB+∠MPB＝MPN+∠MPB，即∠APM＝∠BPN，在△PAM和△PBN中，∴△PAM≌△PBN（SAS）∴AM＝BN，∴BN＝AM＝AB+BM，故答案为：AB+BM＝BN；（3）证明：∵△PAB是等边三角形，∴AB＝PB，∠ABP＝60°，∵BM＝AB，∴PB＝BM，∴∠BPM＝∠PMB，∵∠ABP＝60°，∴∠BPM＝∠PMB＝30°，∵△PMN是等边三角形，∴∠PMN＝60°，∴∠AMN＝90°，∴MN⊥AB．11．如图1，张老师在黑板上画出了一个△ABC，其中AB＝AC．让同学们进行探究．（1）探究一：如图2，小明以BC为边在△ABC内部作等边△BDC，连接AD．请直接写出∠ADB的度数150°；（2）探究二：如图3，小彬在（1）的条件下，又以AB为边作等边△ABE，连接CE．判断CE与AD的数量关系，并说明理由；（3）探究三：如图3，小聪在（2）的条件下，连接DE．若∠DEC＝60°，DE＝2，求AE 的长．解：（1）探究一：∵△BDC是等边三角形，∴BD＝DC，∠BDC＝60°，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝360°﹣60°，∴∠ADB＝150°，故答案为：150°．（2）探究二：结论：CE＝AD．理由：∵△BDC、△ABE都是等边三角形∴∠ABE＝∠DBC＝60°，AB＝BE，BD＝DC．∴∠ABE﹣∠DBE＝∠DBC﹣∠DBE∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（SAS）．∴AD＝CE．（3）探究三：∵△ABD≌△EBC，∴∠BDA＝∠ECB＝150°，∵∠BCD＝60°，∴∠DCE＝90°，∵∠DEC＝60°，∴∠CDE＝30°，∵DE＝2，∴CE＝1，由勾股定理得，DC＝BC＝，∵∠BDE＝60°+30°＝90°，DE＝2，BD＝．由勾股定理得，BE＝＝．∵△ABE是等边三角形∴AE＝BE＝．12．（1）发现：如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E，由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D，又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；（2）应用：如图2，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝BD，∠CAD＝90°，AB＝6，请求出△ABC的面积；（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣1，﹣4），点B为平面内一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．解：（1）AC＝DE，BC＝AE；故答案为：DE，AE；（2）作AE⊥CD于E，如图2所示：∵AC＝AD，∠CAD＝90°，∴AE＝CD＝DE＝CE，∴AD＝AC＝AE，设AE＝DE＝CE＝x，则AC＝AD＝BD＝x，∴BE＝x+x，BC＝2x+x，∴AB2＝（x+x）2+x2＝62，解得：x2＝18﹣9，∴△ABC的面积＝BC×AE＝（2x+x）×x＝×（2+）×x2＝×（2+）×（18﹣9）＝18；（3）分两种情况：①过A作AC⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，如图3所示：则∠C＝90°，∵点A的坐标为（﹣1，﹣4），∴AD＝1，OD＝CE＝4，∵∠OBO＝90°，∴∠OBE+∠ABC＝90°，∵∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠OBE，在△ABC与△BOE中，，∴△ABC≌△BOE（AAS），∴AC＝BE，BC＝OE，设OE＝x，则BC＝OE＝CD＝x，∴AC＝BE＝x+1，∴CE＝BE+BC＝x+1+x＝OD＝4，∴x＝，x+1＝，∴点B的坐标（，）；②如图4，同理可得，点B的坐标（﹣，﹣），综上所述，点B的坐标为（，）或（﹣，﹣）．13．模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C 的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为 5 ．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC ＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，故答案为：5；模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．14．已知，平面直角坐标系中，A在x轴正半轴，B（0，1），∠OAB＝30°．（1）如图1，已知AB＝2．点C在y轴的正半轴上，当△ABC为等腰三角形时，直接写出点C的坐标为（0，3）；（2）如图2，以AB为边作等边△ABE，AD⊥AB交OA的垂直平分线于D，求证：BD＝OE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE交AB于F，求的值．（1）解：∵B（0，1），∴OB＝1，∵AB＝2，点C在y轴的正半轴上，△ABC为等腰三角形，∴BC＝AB＝2，∴OC＝OB+BC＝3，∴点C的坐标为（0，3），故答案为：（0，3）；（2）证明：连接OD，如图2所示：∵△ABE是等边三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∵∠OAB＝30°，∴∠OAE＝30°+60°＝90°，∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90°＝∠OAE，∠OAD＝90°﹣30°＝60°，∵MN是OA的垂直平分线，∴OD＝AD，∴△OAD是等边三角形，∴AO＝AD，在△ABD和△AEO中，，∴△ABD≌△AEO（SAS），∴BD＝OE；（3）解：作EH⊥AB于H，如图3所示：∵△ABE是等边三角形，EH⊥AB，∴AH＝AB，∵∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，∴OB＝AB，∴AH＝OB，在Rt△AEH和Rt△BAO中，，∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），∴EH＝AO＝AD，在△HFE和△AFD中，，∴△HFE≌△AFD（AAS），∴EF＝DF，∴DE＝2DF，∴＝．15．在平面直角坐标系中，M（m，n）且m、n满足m2+2n2﹣2mn+4n+4＝0，B（0，b）为y轴上一动点，绕B点将直线BM顺时针旋转45°交x轴于点C，过C作AC⊥BC交直线BM于点A（a，t）．（1）求点M的坐标；（2）如图1，在B点运动的过程中，A点的横坐标是否会发生变化？若不变，求a的值；若变化，写出A点的横坐标a的取值范围；（3）如图2，过T（a，0）作TH⊥BM（垂足H在x轴下方），在射线HB上截取HK＝HT，连OK，求∠OKB的度数．解：（1）m2+2n2﹣2mn+4n+4＝0，m2+n2﹣2mn+n2+4n+4＝0，（m﹣n）2+（n+2）2＝0，则m﹣n＝0，n+2＝0，解得，m＝﹣2，n＝﹣2，∴点M的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）过A作AT⊥x轴，MD⊥x轴于D，连接OM，CM，在Rt△ACB中，∠ABC＝45°，∴CA＝CB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACT+∠TCB＝90°，∵∠BOC＝90°，∴∠BCO+∠TCB＝90°，∴∠ACT＝∠CBO，在△CBO和△ACT中，，∴△CBO≌△ACT（AAS），∴CT＝BO＝﹣b，AT＝CO＝t，∴a＝b+t，∵DO＝DM，∴∠DOM＝45°，∴∠MOC＝135°，∴∠MOC+∠ABC＝180°，∴O、M、B、C四点共圆，∴∠CMB＝∠COB＝90°，∵CA＝CB，∴M为AB中点，∴b+t＝﹣4，∴a＝﹣4；（3）连TM、OM，过O作ON⊥BM于N，由（2）可知T（﹣4，0），∴OT＝4，又点M的坐标为（﹣2，﹣2），∴△TMO为等腰直角三角形，∴MT＝MO，∵∠THM＝90°，∠TMO＝90°，∴∠TMH＝∠MON，在△HTM和△NMO中，，∴△HTM≌△NMO（AAS），∴HT＝MN，HM＝ON，∴HK＝KN，∴KN＝ON，∴∠OKB＝45°．16．在等边三角形ABC中，点P从点B出发沿射线BA运动，同时点Q从点C出发沿线段AC 的延长线运动，P、Q两点运动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，过点P作PE∥AC交BC于点E，求证：EP＝CQ．（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为F．①当点P在线段BA上运动时，求证：BF+CD＝BC．②当点P在线段BA延长线上运动时，直接写出BF、CD与BC之间的数量关系．（1）证明：由题意得：BP＝CQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝∠ABC＝60°，∵PE∥AC，∴∠BPE＝∠BAC＝60°，∠BEP＝∠BCA＝60°，∴∠B＝∠BPE＝∠BEP，∴△BPE是等边三角形，∴EP＝BP，∴EP＝CQ．（2）①证明：过点P作PE∥AC交BC于点E，如图②所示：由（1）得：EP＝CQ，∠BEP＝∠ACB＝60°，△BPE是等边三角形，∴∠DEP＝∠DCQ＝120°，∵PF⊥BC，∴BF＝EF，在△DPE和△DQC中，，∴△DPE≌△DQC（AAS），∴ED＝CD，∴BF+CD＝EF+ED＝BC．②解：当点P在线段BA延长线上运动时，BC+2CD＝2BF，理由如下：过点P作PE∥AC交BC于点E，如图③所示：同①得：△BPE是等边三角形，△DPE≌△DQC，∴ED＝CD，∵PF⊥BC，∴BF＝EF，∵BC﹣BF＝CF，∴BC﹣BF＝EF﹣2CD＝BF﹣2CD，∴BC+2CD＝2BF．17．问题情境：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．问题初探：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为直线AB上的一个动点（D与A，B 不重合），连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，连接BE．（1）当点D在线段AB上时，AD与BE的数量关系是AD＝BE；位置关系是AD⊥BE；AB，BD，BE三条线段之间的关系是AB＝BD+BE．类比再探：（2）如图2，当点D运动到AB的延长线上时，AD与BE还存在（1）中的位置关系吗？若存在，请说明理由．同时探索AB，BD，BE三条线段之间的数量关系，并说明理由．能力提升：（3）如图3，当点D运动到BA的延长线上时，若AB＝7，AD＝2，则AE＝9 ．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°，∴∠ABE＝90°，即AD⊥BE，∴AB＝BD+AD＝BD+BE；故答案为：AD＝BE；AD⊥BE；AB＝BD+BE；（2）AD⊥BE，理由如下：∵∠ACB＝90°AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠A＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，∴AB⊥BE，即AD⊥BE，∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，∴BE＝AB+BD；（3）∵△ABC、△CDE是等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE与△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）∴AE＝BD＝AD+AB＝9，故答案为：9．18．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：△ADC≌△BEC；（2）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AD∥BC；（3）如图2，若AD＝AB，已知AF＝10，AE＝4，求BC的长．证明：（1）∵∠BAC＝∠EDF＝60°，△ABC和△DEF为等腰三角形，∴△ABC、△DEF为等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ADC和△BEC中，，∴△ADC≌△BEC（SAS）；（2）证明：由（1）得：△ADC≌△BEC，∴∠DAC＝∠EBC＝60°，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC；（3）解：在FA上截取FM＝AE，连接DM，如图2所示：∵∠BAC＝∠EDF，∴∠AED＝∠MFD，在△AED和△MFD中，，∴△AED≌△MFD（SAS），∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，在△ABC和△DAM中，，∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AM＝BC，∴AE+BC＝FM+AM＝AF．∴BC＝AF﹣AE＝10﹣4＝6．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC上的点，AD，BE相交于点P，∠EBC＝∠BAD．（1）如图1，求证：∠APE＝∠C；（2）作AF∥BC交DE延长线于点F，PE＝EC．①如图2，求证：AD＝AF；②如图3，过点E作EG⊥BC于点G，若DP＝1，DC＝7，直接写出DG的长为 4 ．（1）证明：∠APE＝∠ABP+∠BAD，∠ABC＝∠ABP+∠EBC，∵∠EBC＝∠BAD，∴∠APE＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∴∠APE＝∠C；（2）①证明：如图2，作EG⊥DC于G，EH⊥AD于H，在△EHP和△EGC中，，∴△EHP≌△EGC（AAS）∴EH＝EG，又EG⊥DC，EH⊥AD，∴∠ADF＝∠CDF，∵AF∥BC，∴∠F＝∠CDF，∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF；②解：如图3，作EH⊥AD于H，由（2）①可知，△EHP≌△EGC，∴PH＝GC，在△DEH和△DEG中，，∴△DEH≌△DEG（AAS）∴DH＝DG，∴DG＝DH＝DP+PH＝1+GC，∴1+GC+GC＝7，解得，GC＝3，∴DG＝DC﹣GC＝7﹣3＝4，故答案为：4．20．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．（1）当AC＝BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E．△ACD与△CBE是否全等，并说明理由；（2）当AC＝9cm，BC＝6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M 在AC上，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．①当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值；②当△MDC与△CEN全等时，求t的值．解：（1）△ACD与△CBE全等．理由如下：∵AD⊥直线l，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）①由题意得，AM＝t，FN＝3t，则CM＝8﹣t，由折叠的性质可知，CF＝CB＝6，∴CN＝6﹣3t，点N在BC上时，△CMN为等腰直角三角形，当点N沿C→B路径运动时，由题意得，9﹣t＝3t﹣6，解得，t＝，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，9﹣t＝18﹣3t，解得，t＝，综上所述，当t＝秒或秒时，△CMN为等腰直角三角形；②由折叠的性质可知，∠BCE＝∠FCE，∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，∴∠NCE＝∠CMD，∴当CM＝CN时，△MDC与△CEN全等，当点N沿F→C路径运动时，9﹣t＝6﹣3t，解得，t＝﹣（不合题意），当点N沿C→B路径运动时，9﹣t═3t﹣6，解得，t＝，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，9﹣t＝18﹣3t，解得，t＝，当点N沿C→F路径运动时，由题意得，9﹣t＝3t﹣18，解得，t＝，综上所述，当t＝秒或秒或6秒时，△MDC与△CEN全等．。
2023年中考数学压轴题培优教案专题03 对角互补模型(含答案解析)
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题3对角互补模型模型1：全等形——90°对角互补模型模型2：全等形——120°对角互补模型模型3：全等形——任意角对角互补模型模型4：相似形——90°对角互补模型【例1】．（2021·全国·1,在四边形ABCD 中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,点E,F 分别在四边形ABCD 的边BC,CD 上,∠EAF=12∠BAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF 之间的数量关系．（1）思路梳理将△ABE 绕点A 逆时针旋转至△ADG,使AB 与AD 重合,由∠B+∠ADC=180°,得∠FDG=180°,即点F,D,G 三点共线,易证△AFG ≌△AFE,故EF,BE,DF 之间的数量关系为__；（2）类比引申如图2,在图1的条件下,若点E,F 由原来的位置分别变到四边形ABCD 的边CB,DC 延长线上,∠EAF=12∠BAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系,并给出证明．（3）联想拓展如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E均在边BC上,且∠DAE=45°,若BD=1,EC=2,直接写出DE的长为________________.【例2】．（2019·山东枣庄·中考真题）在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D,（1）如图1,点M,N分别在AD,AB上,且∠BMN=90°,当∠AMN=30°,AB=2时,求线段AM的长；（2）如图2,点E,F分别在AB,AC上,且∠EDF=90°,求证：BE=AF；（3）如图3,点M在AD的延长线上,点N在AC上,且∠BMN=90°,求证：AB+AN=√2AM;【例3】．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图①,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E,F分别是∠BAD．请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系：__________；边BC,CD上的点,且∠EAF=12∠BAD,（2）如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF=12（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD所在直线上的点,且∠EAF=1∠BAD．请画出图形（除图②外）,并直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系．2【例4】．（2022·全国·八年级课时练习）四边形ABCD是由等边ΔABC和顶角为120°的等腰ΔABD排成,将一个60°角顶点放在D处,将60°角绕D点旋转,该60°交两边分别交直线BC、AC于M、N,交直线AB于E、F两点．（1）当E、F都在线段AB上时（如图1）,请证明：BM+AN=MN；（2）当点E在边BA的延长线上时（如图2）,请你写出线段MB,AN和MN之间的数量关系,并证明你的结论；（3）在（1）的条件下,若AC=7,AE=2.1,请直接写出MB的长为．一、解答题1．（2022·陕西·西安市第三中学七年级期末）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且EF=BE+FD,探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．FD到点G,使DG=BE．连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF ≌△AGF,可得出结论,他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点,且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立,并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,若点E在CB的延长线上,点F在CD 的延长线上,如图3所示,仍然满足EF=BE+FD,请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．2．（2021·陕西·交大附中分校八年级开学考试）问题探究（（1）如图①,已知∠A=45°,∠ABC=30°,∠ADC=40°,则∠BCD的大小为___________；（2）如图②,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠ADC=90°,对角线BD=6．求四边形ABCD的面积；小明这样来计算．延长DC,使得CE=AD,连接BE,通过证明△ABD≌△CBE,从而可以计算四边形ABCD的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD的面积；问题解决（3）如图③,四边形ABCD是正在建设的城市花园,其中AB=BC,∠ABC=60°,∠ADC=30°,DC=40米,AD=30米．请计算出对角线BD的长度．3．（2021·福建三明·八年级期中）感知：如图①,AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°,∠B=90°．判断DB与DC的大小关系并证明．探究：如图②,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°,DB与DC的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③,四边形ABDC中,∠B=45°,∠C=135°,DB=DC=m,则AB与AC差是多少（用含m的代数式表示）4．（2021·辽宁大连·九年级期中）如图1,正方形ABCD中,BD是对角线,点E在AB上,点F在BC上,连接EF（EF 与BD不垂直）,点G是线段EF的中点,过点G作GH⊥EF交线段BD于点H．（1）猜想GH与EF的数量关系,并证明；（2）探索AE,CF,DH之间的数量关系,并证明；（3）如图2,若点E在AB的延长线上,点F在BC的延长线上,其他条件不变,请直接写出AE,CF,DH之间的数量关系．5．（2020·河南洛阳·八年级期中）在∠MAN内有一点D,过点D分别作DB⊥AM,DC⊥AN,垂足分别为B,C．且BD=CD,点E,F分别在边AM和AN上．（1）如图1,若∠BED=∠CFD,请说明DE=DF；（2）如图2,若∠BDC=120°,∠EDF=60°,猜想EF,BE,CF具有的数量关系,并说明你的结论成立的理由．6．（2020·江西萍乡·八年级期末）【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于90°的角）与旋转角的关系．【问题初探】线段AB绕点O顺时针旋转得到线段CD,其中点A与点C对应,点B与点D对应,旋转角的度数为α,且0°＜α＜180°．（1）如图①,当α＝60°时,线段AB、CD所在直线夹角（锐角）为；（2）如图②,当90°＜α＜180°时,直线AB与直线CD所夹锐角与旋转角α存在怎样的数量关系？请说明理由；【形成结论】旋转图形中,当旋转角小于平角时,对应线段所在直线的夹角与旋转角．【运用拓广】运用所形成的结论解决问题：（3）如图③,四边形ABCD中,∠ABC＝60°,∠ADC＝30°,AB＝BC,CD＝3,BD＝√19,求AD的长．7．（2021··九年级专题练习）如图,在△ABC中,∠ACB=120°,BC>AC,点E在BC上,点D在AB上,CE=CA,连接DE,∠ACB+∠ADE=180°,CH⊥AB,垂足为H．证明：DE+AD=2√3CH．8．（2020·湖南湘西·中考真题）问题背景：如图1,在四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠BCD=90°,BA= BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE,CF,EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G,使CG=AE,连接BG,先证明△BCG≌△BAE,再证明△BFC≌△BFE,可得出结论,他的结论就是_______________；探究延伸1：如图2,在四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠BCD=90°,BA=BC,∠ABC=2∠MBN,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”）,不要说明理由．探究延伸2：如图3,在四边形ABCD中,BA=BC,∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC=2∠MBN,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图4,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进,同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进,1.2小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处,且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离．9．（2019·重庆·西南大学附中八年级阶段练习）如图1,四边形ABCD中,BD⊥AD,E为BD上一点,AE＝BC,CE⊥BD,CE＝ED（1）已知AB＝10,AD＝6,求CD；（2）如图2,F为AD上一点,AF＝DE,连接BF,交BF交AE于G,过G作GH⊥AB于H,∠BGH＝75°．求证：BF＝2√2GH+√2EG．10．（2021·全国·九年级专题练习）探究问题：(1)方法感悟：如图①,在正方形ABCD中,点E,F DC,BC边上的点,且满足∠BAF＝45°,连接EF,求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法,并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,此时AB与AD重合,由旋转可得：AB＝AD,BG＝DE,∠1＝∠2,∠ABG＝∠D＝90°,∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°,因此,点G,B,F在同一条直线上．∵∠EAF＝45°∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．∵∠1＝∠2,∠1＋∠3＝45°．即∠GAF＝∠________．又AG＝AE,AF＝AE∴△GAF≌△________．∴_________＝EF,故DE＋BF＝EF．(2)方法迁移：∠DAB．试猜想如图②,将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点,且∠EAF＝12DE,BF,EF之间有何数量关系,并证明你的猜想．11．（2021·全国·八年级专题练习）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”．（1）在①平行四边形,②菱形,③矩形,④正方形中,一定为“完美”四边形的是（请填序号）；（2）在“完美”四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,连接AC．①如图1,求证：AC平分∠BCD；小明通过观察、实验,提出以下两种想法,证明AC平分∠BCD：想法一：通过∠B+∠D=180°,可延长CB到E,使BE=CD,通过证明△AEB≌△ACD,从而可证AC平分∠BCD；想法二：通过AB=AD,可将△ACD A顺时针旋转,使AD与AB重合,得到△AEB,可证C,B,E三点在条直线上,从而可证AC平分∠BCD．请你参考上面的想法,帮助小明证明AC平分∠BCD；②如图2,当∠BAD=90°,用等式表示线段AC,BC,CD之间的数量关系,并证明.12．（2019·全国·九年级专题练习）如图,△ABC是边长为4的等边三角形,点D是线段BC的中点,∠EDF=120°,把∠EDF绕点D旋转,使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时,求证：BE=CF；（2）在旋转过程中,BE+CF是否为定值？若是,求出这个定值；若不是,请说明理由13．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示,ΔABC为等边三角形,边长为4,点O为BC边中点,∠EOF=120°,其两边分别交AB和CA的延长线于E,F,求AE−AF的值.14．（2019·全国·九年级专题练习）如图所示,ΔABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DF,长直角边为DE）,将三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.（1）在如图所见中,DE交AB于M,DF交BC于N,证明DM=DN；（2）继续旋转至如图所见,延长AB交DE于M,延长BC交DF于N,证明DM=DN.15．（2019·江西·南昌市第十九中学九年级阶段练习）一位同学拿了两块45°三角尺ΔMNK,ΔACB做了一个探究活动：将ΔMNK的直角顶点M放在ΔACB的斜边AB的中点处,设AC=BC=4.（1）如图1所示,两三角尺的重叠部分为ΔACM ,则重叠部分的面积为______,周长为______.（2）将如图1所示中的ΔMNK 绕顶点M 逆时针旋转45°,得到如图2所示,此时重叠部分的面积为______,周长为______.（3）如果将ΔMNK 绕M 旋转到不同于如图1所示和如图2所示的图形,如图3所示,请你猜想此时重叠部分的面积为______.（4）在如图3所示情况下,若AD =1,求出重叠部分图形的周长.16．（2019·江苏常州·一模）我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．（1）如图①,四边形ABCD 为对直角四边形,∠B=90°,若AB 2-AD 2=4,求CD 2-BC 2的值；（2）如图②,四边形ABCD 中,∠ABC=90°,AB=BC,若BD 平分∠ADC,求证：四边形ABCD 为对直角四边形；（3）在（2）的条件下,如图③,连结AC,若S △ACDS △ABC =35,求tan ∠ACD 的值．17．（2021·全国·九年级专题练习）阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1,点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC,CD 上,∠EAF=45°,连结EF,则EF=BE+DF,试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题,首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,最后发现线段AB,AD是共点并且相等的,于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE 绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG,再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法,解决下列问题：（1）如图3,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°．若∠B,∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足_ 关系时,仍有EF=BE+DF；（2）如图4,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°,若BD=1, EC=2,求DE 的长．18．（2021·全国·八年级专题练习）已知：∠ABC=∠ADC=90°,AD=DC,求证：BC+AB=√2BD．【例1】．（2021·全国·九年级专题练习）如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,点E,F分别在四边形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=12∠BAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系．（1）思路梳理将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,使AB与AD重合,由∠B+∠ADC=180°,得∠FDG=180°,即点F,D,G三点共线,易证△AFG≌△AFE,故EF,BE,DF之间的数量关系为__；（2）类比引申如图2,在图1的条件下,若点E,F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB,DC延长线上,∠EAF=12∠BAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系,并给出证明．（3）联想拓展如图3,在△ABC中,∠点D,E均在边BC上,且∠DAE=45°,若BD=1,EC=2,直接写出DE的长为________________.【答案】（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明见解析；（3）√5.【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,使AB与AD重合,首先证明F,D,G三点共线,求出∠EAF＝∠GAF,然后证明△AFG≌△AFE,根据全等三角形的性质解答；（2）将△ABE绕点A逆时针旋转,使AB与AD重合,得到△ADE',首先证明E',D,F三点共线,求出∠EAF＝∠E'AF,然后证明△AFE≌△AFE',根据全等三角形的性质解答；（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD',使AB与AC重合,连接ED',同（1）可证△AED≌AED',求出∠ECD'＝90°,再根据勾股定理计算即可．【详解】解：（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,使AB与AD重合,∵∠B＋∠ADC＝180°,∴∠FDG＝180°,即点F,D,G三点共线,∵∠BAE＝∠DAG,∠EAF＝12∠BAD,∴∠EAF＝∠GAF,在△AFG和△AFE中,{AE＝AG∠EAF＝∠GAFAF＝AF,∴△AFG≌△AFE,∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明：将△ABE绕点A逆时针旋转,使AB与AD重合,得到△ADE',则△ABE≌ADE',∴∠DAE'＝∠BAE,AE'＝AE,DE'＝BE,∠ADE'＝∠ABE,∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ABC＋∠ABE＝180°,∴∠ADE'＝∠ADC,即E',D,F三点共线,∵∠EAF＝12∠BAD,∴∠E'AF＝∠BAD−（∠BAF＋∠DAE'）＝∠BAD−（∠BAF＋∠BAE）＝∠BAD−∠EAF＝12∠BAD,∴∠EAF＝∠E'AF,在△AEF和△AE'F中,{AE＝AE′∠EAF＝∠E′AFAF＝AF,∴△AFE≌△AFE'（SAS）,∴FE＝FE',又∵FE'＝DF−DE',∴EF＝DF−BE；（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD',使AB与AC重合,连接ED',同（1）可证△AED≌AED',∴DE＝D'E．∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°,∴∠ECD'＝90°,在Rt△ECD'中,ED'＝√EC2+D′C2=√EC2+BD2=√5,即DE＝√5,故答案为：√5．【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识,灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【例2】．（2019·山东枣庄·中考真题）在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D,（1）如图1,点M,N分别在AD,AB上,且∠BMN=90°,当∠AMN=30°,AB=2时,求线段AM的长；（2）如图2,点E,F分别在AB,AC上,且∠EDF=90°,求证：BE=AF；（3）如图3,点M在AD的延长线上N在AC上,且∠BMN=90°,求证：AB+AN=√2AM;；(2)见解析；(3)见解析.【答案】(1) AM=√2−2√33【分析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到AD＝BD＝DC＝√2,求出∠MBD＝30°,根据勾股定理计算即可；（2）证明△BDE≌△ADF,根据全等三角形的性质证明；（3）过点M作ME∥BC交AB的延长线于E,证明△BME≌△AMN,根据全等三角形的性质得到BE＝AN,根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．【详解】（1）解：∵∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【例3】．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图①,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E,F分别是∠BAD．请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系：__________；边BC,CD上的点,且∠EAF=12∠BAD,（2）如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF=12（1（3）在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD所在直线上的点,且∠EAF=1∠BAD．请画出图形（除图②外）,并直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系．2【答案】（1）EF=BE+FD；（2）成立,理由见解析；（3）图形见解析,EF=BE−FD【分析】（1）延长EB到G,使BG=DF,连接AG．证明△AGE和△AEF全等,则EF=GE,则EF=BE+DF,证明△ABE和△AEF中全等,那么AG=AF,∠1=∠2,∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=1∠BAD．从而得出EF=GE；2（2）思路和作辅助线的方法同（1）；（3）根据（1）的证法,我们可得出DF=BG,GE=EF,那么EF=GE=BE-BG=BE-DF．【详解】（1）延长EB至G,使BG=DF,连接AG,∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°,AB=AD,∴△ABG≌△ADF,∴AG=AF,∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD,∴∠GAE=∠EAF,在△GAE和△FAE中,∵{AG=AF∠GAE=∠EAFAE=AE,∴△GAE≌△FAE(SAS),∴EG=EF,∵EG=BE+BG,∴EF=BE+FD．故答案为：EF=BE+FD（2）（1）中的结论仍成立,证明：延长CB至M,使BM=DF,∵∠ABC+∠D=180°,∠1+∠ABC=180°,∴∠1=∠D,在△ABM和△ADF中,{AB=AD ∠1=∠D BM=DF,∴△ABM≌△ADF(SAS),∴AF=AM,∠2=∠3,∵∠EAF=12∠BAD,∴∠2+∠4=12∠BAD=∠EAF,∴∠3+∠4=∠EAF即∠MAE=∠EAF,在△AME和△AFE中,{AM=AF∠MAE=∠EAFAB=AE,∴△AME≌△AFE(SAS),∴EF=ME,即EF=BE+BM．（3）EF=BE−FD,证明：在BE上截取BG使BG=DF,连接AG,∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,∴∠B=∠ADF,∵在△ABG和△ADF中,{AB=AD∠ABG=∠ADFBG=DF,∴△ABG≌△ADF(SAS),∴∠BAG=∠DAF,AG=AF,∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=12∠BAD,∴∠GAE=∠EAF,在△AEG和△AEF中,{AG=AF∠GAE=∠EAFAE=AE,∴△AEG≌△AEF(SAS),∴EG=EF,∵EG=BE−BG,∴EF=BE−FD．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质,通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键,没有明确的全等三角形时,要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联的全等三角形.【例4】．（2022·全国·八年级课时练习）四边形ABCD是由等边ΔABC和顶角为120°的等腰ΔABD排成,将一个60°角顶点放在D处,将60°角绕D,该60°交两边分别交直线BC、AC于M、N,交直线AB于E、F两点．（1）当E、F都在线段AB上时（如图1）,请证明：BM+AN=MN；（2）当点E在边BA的延长线上时（如图2）,请你写出线段MB,AN和MN之间的数量关系,并证明你的结论；（3）在（1）的条件下,若AC=7,AE=2.1,请直接写出MB的长为．【答案】（1）证明见解析；（2）MB=MN+AN．证明见解析；（3）2.8．【分析】（1）把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ,根据旋转的性质可得DM=DQ,AQ=BM,∠ADQ=∠BDM,然后求出∠QDN=∠MDN,利用“边角边”证明△MND和△QND全等,根据全等三角形对应边相等可得MN=QN,再根据AQ+AN=QN整理即可得证；（2）把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP,根据旋转的性质可得DN=DP,AN=BP,根据∠DAN=∠DBP=90°可知点P在BM上,然后求出∠MDP=60°,然后利用“边角边”证明△MND和△MPD全等,根据全等三角形对应边相等可得MN=MP,从而得证；（3）过点M作MH∥AC交AB于G,交DN于H,可以证明△BMG是等边三角形,根据等边三角形的性质可得BM=MG=BG,根据全等三角形对应角相等可得∠QND=∠MND,再根据两直线平行,内错角相等可得∠QND=∠MHN,然后求出∠MND=∠MHN,根据等角对等边可得MN=MH,然后求出AN=GH,再利用“角角边”证明△ANE和△GHE全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=GE,再根据BG=AB-AE-GE代入数据进行计算即可求出BG,从而得到BM的长．【详解】解：（1）证明：把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ,则DM=DQ,AQ=BM,∠ADQ=∠BDM,∠QAD=∠CBD=90°,∴点Q在直线CA上,∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°,∴∠QDN=∠MDN=60°,∵在△MND和△QND中,{DM＝DQ∠QDN＝∠MDNDN＝DN,∴△MND≌△QND（SAS）,∴MN=QN,∵QN=AQ+AN=BM+AN,∴BM+AN=MN；（2）：MB=MN+AN.理由如下：如图,把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP,则DN=DP,AN=BP,∵∠DAN=∠DBP=90°,∴点P在BM上,∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°,∴∠MDP=∠MDN=60°,∵在△MND和△MPD中,{DN＝DP∠MDP＝∠MDNDM＝DM,∴△MND≌△MPD（SAS）,∴MN=MP,∵BM=MP+BP,∴MN+AN=BM；（3）如图,过点M作MH∥AC交AB于G,交DN于H,∵△ABC 是等边三角形,∴△BMG 是等边三角形,∴BM =MG =BG ,根据（1）△MND ≌△QND 可得∠QND =∠MND ,根据MH ∥AC 可得∠QND =∠MHN ,∴∠MND =∠MHN ,∴MN =MH ,∴GH =MH -MG =MN -BM =AN ,即AN =GH ,∵在△ANE 和△GHE 中,{∠QND ＝∠MHN∠AEN ＝∠GEH AN ＝GH,∴△ANE ≌△GHE （AAS ）,∴AE =EG =2.1,∵AC =7,∴AB =AC =7,∴BG =AB -AE -EG =7-2.1-2.1=2.8,∴BM =BG =2.8．故答案为：2.8【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质,根据等边三角形的性质,旋转变换的性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键,（3）作平行线并求出AN =GH 是解题的关键,也是本题的难点．一、解答题1．（2022·陕西·西安市第三中学七年级期末）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且EF=BE+FD,探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE．连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF ≌△AGF,可得出结论,他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点,且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立,并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,若点E在CB的延长线上,点F在CD 的延长线上,如图3所示,仍然满足EF=BE+FD,请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．【答案】（1）∠BAE+∠F AD=∠EAF；（2）仍成立,理由见解析；（3）∠EAF=180°-12∠DAB【分析】（1）延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,可判定△ABE≌△ADG,进而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判定△AEF≌△AGF,可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF,据此得出结论；（2）延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先判定△ABE≌△ADG,进而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判定△AEF≌△AGF,可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；（3）在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,先判定△ADG≌△ABE,再判定△AEF≌△AGF,得出∠F AE=∠F AG,最后根据∠F AE+∠F AG+∠GAE=360°,推导得到2∠F AE+∠DAB=360°,即可得出结论．【详解】解：（1）∠BAE+∠F AD=∠EAF．理由：如图1,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,∵∠B=∠ADF=90°,∠ADG=∠ADF=90°,∴∠B=∠ADG=90°,又∵AB=AD,∴△ABE≌△ADG（SAS）,∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,∴△AEF≌△AGF（SSS）,∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；故答案为：∠BAE+∠F AD=∠EAF；（2）仍成立,理由：如图2,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=180°,∴∠B=∠ADG,又∵AB=AD,∴△ABE≌△ADG（SAS）,∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,∴△AEF≌△AGF（SSS）,∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；∠DAB．（3）∠EAF=180°-12证明：如图3,在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠ABE=180°,∴∠ADC=∠ABE,又∵AB=AD,∴△ADG≌△ABE（SAS）,∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,∴△AEF≌△AGF（SSS）,∴∠F AE=∠F AG,∵∠F AE+∠F AG+∠GAE=360°,∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）=360°,∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）=360°,即2∠F AE+∠DAB=360°,∴∠EAF=180°-1∠DAB．2【点睛】本题属于三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．2．（2021·陕西·交大附中分校八年级开学考试）问题探究（（1）如图①,已知∠A=45°,∠ABC=30°,∠ADC=40°,则∠BCD的大小为___________；（2）如图②,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠ADC=90°,对角线BD=6．求四边形ABCD的面积；小明这样来计算．延长DC,使得CE=AD,连接BE,通过证明△ABD≌△CBE,从而可以计算四边形ABCD的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD的面积；问题解决（3）如图③,四边形ABCD是正在建设的城市花园,其中AB=BC,∠ABC=60°,∠ADC=30°,DC=40米,AD=30米．请计算出对角线BD的长度．在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,∴∠A+∠BCD=180°,∵∠BCE+∠BCD=180°,∴∠A=∠BCE,在△ABD和△CBE中,{AB=BC ∠A=∠BCE AD=CE,∴△ABD≌△CBE,∴BE=BD,∠ABD=∠CBE,S△ABD=S△CBE,∵∠ABC=90°,即∠ABD+∠DBC=90°,∴∠CBE+∠DBC=90°,即∠DBE=90°,∵BD=BE=6,∠DBE=90°,∴S△BDE=12×BE×BD=18,∴S△BDE=S△CBE+S△DBC=S△ABD+S△DBC=S四边形ABCD=18；（4）如图,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAF,连接FD,∴△BCD≌△BAF,∠FBD=60°,∴BF=BD,AF=CD=40,∠BDC=∠BF A,∴△BFD是等边三角形,∴BF=BD=DF,∵∠ADC=30°,∴∠ADB+∠BDC=30°,∴∠BF A+∠ADB=30°,∵∠FBD+∠BF A+∠BDA+∠AFD+∠ADF=180°,∴60°+30°+∠AFD+∠ADF=180°,∴∠AFD+∠ADF=90°,∴∠F AD=90°,∴DF=√AF2+AD2=√402+302=50,∴BD=50(米)．答：对角线BD的长度为50米．【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理等知识,添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．3．（2021·福建三明·八年级期中）感知：如图①,AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°,∠B=90°．判断DB与DC的大小关系并证明．探究：如图②,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°,DB与DC的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③,四边形ABDC中,∠B=45°,∠C=135°,DB=DC=m,则AB与AC差是多少（用含m的代数式表示）【答案】感知：DB=DC,证明见详解；探究：DB与DC的大小关系不变,理由见详解；应用：AB与AC差是与BD不垂直）,点G是线段EF的中点,过点G作GH⊥EF交线段BD于点H．（1）猜想GH与EF的数量关系,并证明；（2）探索AE,CF,DH之间的数量关系,并证明；（3）如图2,若点E在AB的延长线上,点F在BC的延长线上,其他条件不变,请直接写出AE,CF,DH之间的数量关系．∴HI=HJ,∵HG垂直平分EF,∴HE=HF,∵∠HIE=∠HJF=90°,∴△HIE≌△HJF(HL),∴∠IHE=∠JHF,又∵∠IHJ=∠IHE+∠EHJ=90°,∴∠EHF=∠JHF+EHJ=90°,∴△HEF为等腰直角三角形,∵G为斜边的中点,∴GH=1EF．2（2）AE+CF=√2DH,理由如下：由（1）中△HIE≌△HJF(HL),∴EI=FJ,由下图：∠A=∠AIH=∠AKH=90°,∴四边形AIHK为矩形,∴AI=KH,在△DHK中,由正方形的性质知,∠HDK=45°,∵∠HKD=90°,∴∠DHK=90°−45°=45°∴△DKH为等腰直角三角形,又∴∠D=∠HKD=∠HLD=90°,∴四边形HKDL为正方形,∴HL=KH,同理四边形HLCJ为矩形,∴HL=JC∴AI=KH=HL=JC,AE=AI+EI,CF=JC−FJ,∴AE+CF=AI+JC=2AI=2KH,在△DHK中,由正方形的性质知,∠HDK=45°,∵∠HKD=90°,∴∠DHK=90°−45°=45°∴△DKH为等腰直角三角形,∴DH=√2KH,∴AE+CF=√2DH．（3）AE−CF=√2DH,理由如下：过点H作AB,BC垂线,分别交AB,BC,CD,AD于I,J,L,K,连接HE,HF,∵HI=HJ,HE=HF,∠HIE=∠HJF=90°,∴△HIE≌△HJF,∴EI=FJ,由（2）得AI=KH=HL=JC,CF=FJ−JC,AE=AI+EI,∴AE−CF=AI+JC=2AI=2KH,由（2）可得：DH=√2KH,△DKH为等腰直角三角形,∴AE−CF=√2DH．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定及性质、等腰直角三角形、解题的关键是添加适当的辅助线,掌握相关的知识点,通过等量代换的思想进行求解．5．（2020·河南洛阳·八年级期中）在∠MAN内有一点D,过点D分别作DB⊥AM,DC⊥AN,垂足分别为B,C．且BD=CD,点E,F分别在边AM和AN上．（1）如图1,若∠BED=∠CFD,请说明DE=DF；（2）如图2,若∠BDC=120°,∠EDF=60°,猜想EF,BE,CF具有的数量关系,并说明你的结论成立的理由．理由：过点D作∠CDG=∠BDE,交AN于点G,在ΔBDE和ΔCDG中,{∠EBD=∠GCDBD=CD∠BDE=∠CDG,∴ΔBDE≅ΔCDG(ASA),∴DE=DG,BE=CG．∵∠BDC=120°,∠EDF=60°,∴∠BDE+∠CDF=60°．∴∠FDG=∠CDG+∠CDF=60°,∴∠EDF=∠GDF．在ΔEDF和ΔGDF中,{DE=DG∠EDF=∠GDFDF=DF,∴ΔEDF≅ΔGDF(SAS)．∴EF=GF,∴EF=FC+CG=FC+BE．【点睛】本题考查全等三角形的判定、解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答．6．（2020·江西萍乡·八年级期末）【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于90°的角）与旋转角的关系．【问题初探】线段AB绕点O顺时针旋转得到线段CD,其中点A与点C对应,点B与点D对应,旋转角的度数为α,且0°＜α＜180°．（1）如图①,当α＝60°时,线段AB、CD所在直线夹角（锐角）为；（2）如图②,当90°＜α＜180°时,直线AB与直线CD所夹锐角与旋转角α存在怎样的数量关系？请说明理由；【形成结论】旋转图形中,当旋转角小于平角时,对应线段所在直线的夹角与旋转角．【运用拓广】运用所形成的结论解决问题：（3）如图③,四边形ABCD中,∠ABC＝60°,∠ADC＝30°,AB＝BC,CD＝3,BD＝√19,求AD的长．【答案】（1）60°；（2）互补,理由见解析；【形成结论】相等或互补；（3）√10【分析】（1）由旋转的性质可得AB=CD,OA=OC,BO=DO,可证ΔAOB≅ΔCOD(SSS),可得∠B=∠D,由三角形内角和定理可求解；（2）由旋转的性质可得AB=CD,OA=OC,BO=DO,可证ΔAOB≅ΔCOD(SSS),可得∠B=∠D,由平角的定义和四边形内角和定理可求解；【形成结论】由（1）（2）可知对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补；【运用拓广】（3）将ΔBCD绕点B顺时针旋转60°,得到ΔBAF,连接FD,由旋转的性质可得BF=BD,AF=CD=3,由三角形内角和定理可求∠FAD=90°,由勾股定理可求解．【详解】解：（1）如图1,延长DC交AB于F,交BO于E,∵α=60°,∴∠BOD=60°,∵线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD,∴AB=CD,OA=OC,BO=DO,∴ΔAOB≅ΔCOD(SSS),∴∠B=∠D,∵∠B=∠D,∠OED=∠BEF,∴∠BFE=∠EOD=60°,故答案为：60°；（2）直线AB与直线CD所夹锐角角与旋转角α互补,理由如下：如图2,延长AB,DC交于点E,∵线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD,∴AB=CD,OA=OC,BO=DO,∴ΔAOB≅ΔCOD(SSS),∴∠ABO=∠D,∵∠ABO+∠EBO=180°,∴∠D+∠EBO=180°,∵∠EBO+∠E+∠D+∠BOD=360°,∴∠E+∠BOD=180°,∴直线AB与直线CD所夹锐角角与旋转角α互补．形成结论由（1）（2）（3）可知：旋转图形中,当旋转角小于平角时,对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补．故答案为：相等或互补．运用拓广（3）如图3,将ΔBCD绕点B顺时针旋转60°,得到ΔBAF,连接FD,延长FA,DC交于点E,∴旋转角∠ABC=60°,∵ΔBCD≅ΔBAF,∴∠AED=∠ABC=60°,AF=CD=3,BD=BF,∵∠ADC=30°,∴∠FAD=∠AED+∠ADC=90°,又∵∠FBD=∠ABC=60°,BF=BD,∴ΔBFD是等边三角形,∴BF=BD=DF,∴在RtΔDAF中,AD=√DF2−AF2=√19−9=√10．【点睛】本题是几何变换综合题,考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质等知识,添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．7．（2021··九年级专题练习）如图,在△ABC中,∠ACB=120°,BC>AC,点E在BC上,点D在AB上,CE=CA,连接DE,∠ACB+∠ADE=180°,CH⊥AB,垂足为H．证明：DE+AD=2√3CH．【答案】见解析【分析】如图,延长BA到点F,使AF=DE,连接CF、CD,根据四边形的内角和和邻补角互补可得∠CAF=∠CED,进而可根据SAS证明△AFC≌△EDC,可得CF=CD,∠ACF=∠ECD,进一步即可求得∠FCD=120°,然后利用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识即可证得结论．【详解】证明：如图,延长BA到点F,使AF=DE,连接CF、CD,∵∠ACB+∠ADE=180°,∴∠CAD+∠CED=360°−180°=180°,∵∠CAD+∠CAF=180°,∴∠CAF=∠CED,∵AC=EC,AF=ED,∴△AFC≌△EDC,。
2020年中考数学压轴培优练习：一次函数图像类(附解析)
中考数学压轴培优练习：一次函数图像类一．选择题1．如图，直线y＝x，点A 1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2019的坐标为（）A．（22017，0）B．（22018，0）C．（22020，0）D．（24034，0）2．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1.5小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，t＝或t＝，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图所示，在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，甲乙同时出发，甲车先到达目的地，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（km）与行驶时间（h）的函数关系的图象，下列说法错误的是（）A．出发2h后，两车相遇B．乙的速度是48km/hC．出发3h后，甲车距离B地96kmD．甲车到B地比乙车到A地早h4．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（）A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x5．一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：会员年卡类型办卡费用（元）每次游泳收费（元）A类50 25B类200 20C类400 15例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20＝550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于40～50次之间，则最省钱的方式为（）A．购买A类会员卡B．购买B类会员年卡C．购买C类会员年卡D．不购买会员年卡6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+分别与x轴、y轴交于点P、Q，在Rt△OPQ中从左向右依次作正方形A1B1C1C2、A2B2C2C3、A3B3C3C4…A n B n∁n C n+1，点A1、A2、A3…A n在x轴上，点B1在y轴上，点C1、C2、C3…C n+1在直线PQ上；再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，其中每个小正方形的边都与坐标轴平行，从左至右的小正方形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n，则S n可表示为（）A．．B．．C．．D．．7．如图A、B两地相距50km．甲于某日下午1点骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车从A地出发驶往B地．图中折线PQR和线段MN分别表示甲和乙行驶的路程s与该日下午时间t之间的关系．下列说法正确的有（）①甲、乙两人同时到达目的地；②乙出发后30分钟后追上甲；③甲的平均速度是10km/h，乙的速度是50km/h；④甲、乙相遇时距出发地25km．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y＝和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形．如果点A1（1，1），那么点A2019的纵坐标是（）A．（）2019B．（）2018C．（）2019D．（）20189．如图所示，把Rt△ABC放在平面直角坐标系中，∠CAB＝90°，BC＝5，点A，B的坐标分别为（2，0），（5，0），将△ABC沿与y轴平行的方向向下平移，当点C落在y ＝x﹣2上时，线段BC扫过的面积为（）A．3 B．7.5 C．15 D．2510．如图，直线l：y＝x+1交y轴于点A1，在x轴正方向上取点B1，使OB1＝OA1；过点B1作A2B1⊥x轴，交l于点A2，在x轴正方向上取点B2，使B1B2＝B1A2；过点B2作A3B2⊥x轴，交l于点A3，在x轴正方向上取点B3，使B2B3＝B2A3；…记△OA1B1面积为S1，△B1A2B2面积为S2，△B2A3B3面积为S3，…则S2017等于（）A．24030B．24031C．24032D．24033二．填空题11．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C（0，n）是y轴上一点，将△ABC沿直线AC折叠，使得点B恰好落在轴x轴上，则点C的坐标为．12．小亮和妈妈从家出发到长嘉汇观看国庆灯光秀，妈妈先出发，2分钟后小亮沿同一路线出发去追妈妈，当小亮追上妈妈时发现相机落在途中了，妈妈立即返回找相机，小亮继续前往长嘉汇，当小亮到达长嘉汇时，妈妈刚好找到了相机并立即前往长嘉汇（妈妈找相机的时间不计），小亮在长嘉汇等了一会，没有等到妈妈，就沿同一路线返回接妈妈，最终与妈妈会合，小亮和妈妈的速度始终不变，如图是小亮和妈妈两人之间的距离y（米）与妈妈出发的时间x（分钟）的图象；则小亮开始返回时，妈妈离家的距离为米．13．暑假假期，小明和小亮两家相约自驾车从重庆出发前往相距172千米的景区游玩两家人同时同地出发，以各自的速度匀速行驶，出发一段时间后，小明家因故停下来休息了15分钟，为了尽快追上小亮家，小明家提高速度后仍保持匀速行驶（加速的时间忽略不计），小明家追上小亮家后以提高后的速度直到景区，小亮家保持原速，如图是小明家、小亮家两车之间的距离s（km）与出发时间t（h）之间的函数关系图象，则小明家比小亮家早到景区分钟．14．如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，正方形ADEF的边AD与AB在同一宜线上，AF与OA在同一直线上，且AB＝AD，OA边和AB边所在直线的解析式分别为：y＝x和y＝﹣x+，则点E的坐标为．15．如图，正方形A1B1C1O、A2B2C2C1……按照如图所示的方式放置，点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，已知B1（1，1），B2（3，2），B3（7，4），则B2019的坐标是．16．一列慢车从A地驶往B地，一列快车从B地驶往A地，两车同时出发，分别驶向目的地后停止．如图，折线表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的关系，求当快车到达A地时，慢车与B地的距离为千米．17．如图所示，直线y＝x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，D、E 分别是直线AB、y轴上的动点，当△CDE周长最小时，点D的坐标为．18．如图，直线y＝x+1与直线y＝mx﹣n相交于点M（1，b），则关于x，y的方程组的解为．19．已知A、B两地之间的距离为20千米，甲步行，乙骑车，两人沿着相同路线，由A地到B地匀速前行，甲、乙行进的路程s与x（小时）的函数图象如图所示．（1）乙比甲晚出发小时；（2）在整个运动过程中，甲、乙两人之间的距离随x的增大而增大时，x的取值范围是．20．直线y＝x+1与x轴交于点D，与y轴交于点A1，把正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1和A3B3C3C2按如图所示方式放置，点A2、A3在直线y＝x+1上，点C1、C2、C3在x轴上，按照这样的规律，则正方形A2019B019C2019C2018中的点B2019的坐标为．三．解答题21．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在同一条公路上，匀速行驶，相向而行，到两车相遇时停止．甲车行驶一段时间后，因故停车0.5小时，故障解除后，继续以原速向B 地行驶，两车之间的路程y（千米）与出发后所用时间x（小时）之间的函数关系如图所示．（1）求甲、乙两车行驶的速度V甲、V乙．（2）求m的值．（3）若甲车没有故障停车，求可以提前多长时间两车相遇．22．甲、乙两位同学从学校出发沿同一条绿道到相距学校1500m的图书馆去看书，甲步行，乙骑自行车．图1中OD，AC分别表示甲、乙离开学校的路程y（m）与甲行走的时间x（min）之间的函数图象（1）求线段AC所在直线的函数表达式；（2）设d（m）表示甲、乙两人之间的路程，在图2中补全d关于x的函数图象；（标注必要的数据）（3）当x在什么范围时，甲、乙两人之间的路程至少为180m．23．已知A（2，0），直线y＝（2﹣）x﹣2交x轴于点F，y轴于点B，直线l∥AB且交y轴于点C，交x轴于点D，点A关于直线l的对称点为A'，连接AA'，A'D．直线l从AB开始，以1个单位每秒的速度沿y轴正方向向上平移，设移动时间为t．（1）求A'点的坐标（用t的代数式表示）；（2）请猜想AB与AF长度的数量关系，并说明理由；（3）过点C作直线AB的垂线交直线y＝（2﹣）x﹣2于点E，以点C为圆心CE 为半径作⊙C，求当t为何值时，⊙C与△AA′D三边所在直线相切？24．已知：甲、乙两车分别从相距300km的A，B两地同时出发相向而行，甲到B地后立即返回，如图是它们离各自出发地的距离y与行驶时间x之间的函数图象．（1）求甲车离出发地的距离y与行驶时间x之间的函数关系式，并标明自变量x的取值范围；（2）若已知乙车行驶的速度是40千米/小时，求出发后多长时间，两车离各自出发地的距离相等；（3）它们在行驶过程中有几次相遇？并求出每次相遇的时间．25．A、B两地相距60km，甲从A地去B地，乙从B地去A地，图中L1、L2分别表示甲、乙俩人离B地的距离y（km）与甲出发时间x（h）的函数关系图象．（1）根据图象，直接写出乙的行驶速度；（2）解释交点A的实际意义；（3）甲出发多少时间，两人之间的距高恰好相距5km；（4）若用y3（km）表示甲乙两人之阐的距离，请在坐标系中画出y3（km）关于时间x （h）的的数关系图象，注明关键点的数据．参考答案一．选择题1．解：由题意可得，点A 1坐标为（1，0），点B1的坐标为（1，），点A2坐标为（2，0），点B2的坐标为（2，2），点A3坐标为（4，0），点B3的坐标为（4，4），……∴点A2019的坐标为（22018，0），故选：B．2．解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，故①正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，把（5，300）代入可求得k＝60，∴y甲＝60t，把y＝150代入y甲＝60t，可得：t＝2.5，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，把（1，0）和（2.5，150）代入可得，解得，∴y乙＝100t﹣100，令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，解得t＝2.5，即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，乙的速度：150÷（2.5﹣1）＝100，乙的时间：300÷100＝3，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故②错误；甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③错误；令|y甲﹣y乙|＝40，可得|60t﹣100t+100|＝40，即|100﹣40t|＝40，当100﹣40t＝40时，可解得t＝，当100﹣40t＝﹣40时，可解得t＝，又当t＝时，y甲＝40，此时乙还没出发，当t＝时，乙到达B城，y甲＝260；综上可知当t的值为或或或t＝时，两车相距40千米，故④不正确；故选：A．3．解：A、出发2h后，其距离为零，即两车相遇，正确；B、乙的速度是＝48km/h，正确；C、甲的速度为：km/h，240﹣72×3＝24km，错误；D、h，即甲车到B地比乙车到A地早h，正确；故选：C．4．解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC 于C，∵正方形的边长为1，∴OB＝3，∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴两边分别是4，∴三角形ABO面积是5，∴OB•AB＝5，∴AB＝，∴OC＝，由此可知直线l经过（，3），设直线方程为y＝kx，则3＝k，k＝，∴直线l解析式为y＝x，故选：C．5．解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：y A＝50+25x，y B＝200+20x，y C＝400+15x，当40≤x≤50时，1050≤y A≤1300；1000≤y B≤1200；1000≤y C≤1150；由此可见，C类会员年卡消费最低，所以最省钱的方式为购买C类会员年卡．故选：C．6．解：∵P（13，0），Q（0，），∴tan∠OPQ＝，∵每个小正方形的边都与坐标轴平行，∴∠OA1B1＝∠OA2B2＝…＝∠OA n B n，∴每组小正方形的边长都是该组小长方形边长的两直角边之差，正方形A1B1C1C2中，设点C1（a1，b1），∴b1＝4a1，将点C1（a1，4a1）代入直线y＝﹣x+，∴a1＝1，b1＝3，∴正方形A1B1C1C2中阴影正方形边长为2；∴阴影部分面积4；正方形A2B2C2C3中，设点C2（a2，b2），∴a2＝4a1﹣＝4，b2＝b1﹣a1＝3，∴正方形A2B2C2C3中阴影正方形边长为×2＝；∴阴影部分面积，；正方形A3B3C3C3中，设点C3（a3，b3），∴a3＝4a1+3a2＝，b2＝b1﹣a1﹣a2＝，∴正方形A3B3C3C3中阴影正方形边长××2＝；∴阴影部分面积；以此推理，第n个阴影正方形的边长为2×；∴阴影部分面积；故选：A．7．解：①乙比甲早到B城，早了5﹣3＝2个小时；所以甲、乙两人同时到达目的地是错误的；②由图可知：M（2，0），N（3，50），Q（2，20），R（5，50）设直线QR的函数表达式为s1＝k1t+b1，直线MN的函数表达式为s2＝k2t+b2，将各点坐标代入对应的表达式，得：解得：，，解得：，∴s1＝10t，s2＝50t﹣100，联立两式可得直线QR、MN的交点的坐标为O（2.5，25）所以乙出发半小时后追上甲，故乙出发后30分钟后追上甲是正确的；③乙的速度为＝50千米/时，甲的平均速度为＝12.5千米/时，故甲的平均速度是10km/h，乙的速度是50km/h，是错误的；④因为乙出发半小时后追上甲，所以甲、乙相遇时距出发地25km，是正确的；故选：B．8．解：∵A1（1，1）在直线y＝∴b＝∴y＝x+设A2（x2，y2），A3（x3，y3），A4（x4，y4），…，A2019（x2019，y2019）则有y2＝x2+，y3＝x3+，…y2019＝x2019+．又∵△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形．∴x2＝2y1+y2，x3＝2y1+2y2+y3，…x2019＝2y1+2y2+2y3+…+2y2018+y2019．将点坐标依次代入直线解析式得到：y2＝y1+1y3＝y1+y2+1＝y2y4＝y3…y2019＝y2018又∵y1＝1∴y2＝y3＝（）2y4＝（）3…y2019＝（）2018故选：B．9．解：∵∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为（2，0）、（5，0），∴AC＝4，当点C落在y＝x﹣2上时，如图，∴四边形BB′C′C是平行四边形，把x＝2代入直线y＝x﹣2，解得y＝﹣1，即AC′＝1，∴CC′＝5，∴平行四边形BB′C′C的面积＝AB×A′C′＝5×3＝15；故选：C．10．解：∵OB1＝OA1；过点B1作A2B1⊥x轴，B1B2＝B1A2；A3B2⊥x轴，B2B3＝B2A3；…∴△△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3是等腰直角三角形，∵y＝x+1交y轴于点A1，∴A1（0，1），∴B1（1，0），∴OB1＝OA1＝1，∴S1＝×1×1＝×12，同理S2＝×2×2＝22，S3＝4×4＝42；…∴S n＝22n﹣2＝22n﹣3，∴S2017＝22×2017﹣3＝24031，故选：B．二．填空题（共10小题）11．解：当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，∴点B的坐标为（0，3）；当y＝0时，有﹣x+3＝0，∴x＝4，∴点A的坐标为（4，0）．∴AB＝＝5．①当点B恰好落在x轴负半轴时，设该点为B′，如图1所示．根据折叠的性质可知：CB′＝CB，AB′＝AB，∵点C的坐标为（0，n），∴OC＝n，CB′＝3﹣n，OB′＝1，∵CB′2＝OB′2+OC2，即（3﹣n）2＝1+n2，∴n＝，∴点C的坐标为（0，）；②当点B恰好落在x轴正半轴时，设该点为B″，如图2所示．根据折叠的性质可知：CB″＝CB，AB″＝AB，∵点C的坐标为（0，n），∴OC＝﹣n，CB″＝3﹣n，OB″＝9，∵CB″2＝OB″2+OC2，即（3﹣n）2＝92+（﹣n）2，∴n＝﹣12，∴点C的坐标为（0，﹣12）．故答案为：（0，）或（0，﹣12）．12．解：妈妈的速度为：100÷2＝50（米/分），小亮的速度为：[100+50（12﹣2）]÷（12﹣2）＝60（米/分），相遇时行走的路程为：12×50＝600（米），观察图象在x＝18时，小亮和妈妈的相距最大，可知是小亮到达长嘉汇所经历的时间，所以家到长嘉汇的距离为：60×（18﹣2）＝960（米），由（18﹣12＝6分钟）可知妈妈返回找到相机行走路程为：6×50＝300（米），此时设小亮在长嘉汇等妈妈的时间为t分钟，由图象知小亮与妈妈会合所用时间为27﹣18＝9分钟可建立方程如下：60×（9﹣t）+50×9═960﹣（600﹣300），解得t＝5.5（分钟），∴小亮开始返回时，妈妈离家的距离为：50×（18+5.5﹣6×2）＝575（米）．故答案为：57513．解：设出发时小明家的速度是a千米/小时，小亮家的速度是b千米/小时，且a＞b，由题意得：0.8（a﹣b）＝8，a＝b+10，小明家因故停下来休息了15分钟，可知A（1.05，12），小亮的速度为：＝80（千米/小时），∴小明家的速度是90千米/小时，设小明加速后的速度为m千米/小时，根据题意得：×80＝（﹣1.05）m+0.8×90，m＝100，﹣﹣1.05，＝0.1（小时），＝6（分），即小明家比小亮家早到景区6分钟．故答案为：6．14．解：联立OA边和AB边所在直线的解析式成方程组，，解得：，∴点A的坐标为（4，3）．过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥N于点N，连接CE，则点A为线段CE 的中点，如图所示．∵∠CON+∠AOC+∠AOM＝180°，∠AOC＝90°，∴∠CON+∠AOM＝90°．∵∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠CON＝∠OAM．在△AOM和△OCN中，，∴△AOM≌△OCN（AAS），∴ON＝AM，CN＝OM，∴点C的坐标为（﹣3，4）．∵点A为线段CE的中点，∴点E的坐标为（11，2）．故答案为：（11，2）．15．解：∵点B1、B2的坐标分别为（1，1），（3，2），∴A1（0，1），A2（1，2），∵点A1，A2在直线y＝kx+b上，∴，解得，∴y＝x+1，∵点B2的坐标为（3，2），∴点A3的坐标为（3，4），∴点B3的坐标为（7，4），∴点A4的坐标为（7，8），∴点B4坐标为（15，8），…，∴Bn的横坐标是：2n﹣1，纵坐标是：2n﹣1．∴B n的坐标是（2n﹣1，2n﹣1），∴B2019的坐标是（22019﹣1，22018）．故答案为（22019﹣1，22018）．16．解：由图象可得，慢车的速度为：1200÷10＝120（千米/小时），快车的速度为：1200÷4﹣120＝180（千米/小时），则快车到达A地的所用的时间为：1200÷180＝（小时），故当快车到达A地时，慢车与B地的距离为：1200﹣120×＝400（千米），故答案为：400．17．解：如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG，∵直线y＝x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，∴B（﹣2，0），C（﹣1，0），∴BO＝2，OG＝1，BG＝3，易得∠ABC＝45°，∴△BCF是等腰直角三角形，∴BF＝BC＝1，由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG，当点F，D，E，G在同一直线上时，△CDE的周长＝CD+DE+CE＝DF+DE+EG＝FG，此时△DEC周长最小，设直线FG的解析式为：y＝kx+b，∵F（﹣2，1），G（1，0），∴，∴，直线FG的解析式为：y＝﹣x+，解得，∴点D的坐标为（﹣，），故答案为：（﹣，）．18．解：∵直线y＝x+1经过点M（1，b），∴b＝1+1，解得b＝2，∴M（1，2），∴关于x的方程组的解为，故答案为：．19．（1）由函数图象可知，乙比甲晚出发1小时．故答案为：1．（2）在整个运动过程中，甲、乙两人之间的距离随x的增大而增大时，有两种情况：一是甲出发，乙还未出发时：此时0≤x≤1；二是乙追上甲后，直至乙到达终点时：设甲的函数解析式为：y＝kx，由图象可知，（4，20）在函数图象上，代入得：20＝4k，∴k＝5，∴甲的函数解析式为：y＝5x①设乙的函数解析式为：y＝k′x+b，将坐标（1，0），（2，20）代入得：，解得，∴乙的函数解析式为：y＝20x﹣20 ②由①②得，∴，故≤x≤2符合题意．故答案为：0≤x≤1或≤x≤2．20．解：由题意可得，点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），点B3的坐标为（7，4），点B4的坐标为（15，8），…，则点B2019的坐标为（22019﹣1，22018），故答案为：（22019﹣1，22018）．三．解答题（共5小题）21．解：（1）由图可得，，解得，，答：甲的速度是60km/h乙的速度是80km/h；（2）m＝（1.5﹣1）×（60+80）＝0.5×140＝70，即m的值是70；（3）甲车没有故障停车，则甲乙相遇所用的时间为：180÷（60+80）＝，若甲车没有故障停车，则可以提前：1.5﹣＝（小时）两车相遇，即若甲车没有故障停车，可以提前小时两车相遇．22．解：（1）设AC表达式为y＝kx+b，把（6，0）、（21，25）代入得解得k＝100，b＝﹣600，所以AC所在直线的函数表达式y＝100x﹣600；（2）设甲出发x分钟后两人相遇，则解得x＝15，即甲出发15分钟后两人相遇，此时d＝0，21分钟后乙到图书馆，甲距图书馆1500﹣60×21＝240米，因此图象如下：（3）设甲出发x分钟甲、乙两人之间的路程至少为180m．①当乙没出发时，60x≥180，解得x≥3；当甲乙相遇前，即x≤15时60x﹣（100x﹣600）≥180解得x≤10.5，即3≤x≤10.5时甲、乙两人之间的路程至少为180m；③当甲乙相遇后，即x＞15时100x﹣600﹣60x≥180，解得x≥19.5，即19.5≤x≤21时甲、乙两人之间的路程至少为180m；④乙到达终点后，1500﹣60x≥180，解得≤22；综上当3＜x≤10.5或19.5≤x≤22分钟时甲、乙两人之间的路程至少为180m．23．解：（1）∵l∥AB．∴∠ODC＝∠OAB，∵A（2，0）B（0，﹣2），∴tan∠OAB＝，∴∠ODC＝∠OAB＝30°．∵BC＝t，∴OC＝2﹣t，∴OD＝（2﹣t），∴AD＝t．∵点A关于直线l的对称点为A'，∴A'D＝AD＝t∠A'DA＝60°，∴△A'DA是正三角形．过点A'作A'H⊥AD于H，∴AH＝tA'H＝t，∴A'点的坐标为（2﹣t，t）．（2）AB＝AF．说明：∵F（4+2，0），∴AF＝4，在Rt△OAB中，OA＝2，OB＝2，∴AB＝4，∴AB＝AF．（3）∵直线l是点A和A'的对称轴，∴直线l是∠A'DA的平分线，∴点C到直线AD和A'D的距离相等，∴当⊙C与AD相切时，也一定与A'D相切．∵∠OAB＝30°且AB＝AF，∴∠ABF＝15°，∴∠CBF＝75°．∵CE⊥AB∠OBA＝60°，∴∠BCE＝30°，∴∠CEB＝75°，∴CB＝CE．∵⊙C与AD相切，∴OC＝CE＝CB，∴t＝1．当⊙C与AA'相切于点M时，CE＝CB＝CM，∴CM＝t，∵CM＝DM﹣CD，在Rt△OCD中，∠ODC＝30°，OC＝t﹣2，∴CD＝2t﹣4，∴2t﹣4+t＝t，∴t＝．24．解：（1）当0≤x≤3时，是正比例函数，设为y＝kx，x＝3时，y＝300，代入解得k＝100，所以y＝100x；当3＜x≤时，是一次函数，设为y＝kx+b，代入两点（3，300）、（，0），得，解得，所以y＝540﹣80x．综合以上得甲车离出发地的距离y与行驶时间x之间的函数关系式为：y＝；（2）设出发后a小时，两车离各自出发地的距离相等．由题意﹣80a+540＝40a，解得a＝s，答：出发后小时，两车离各自出发地的距离相等．（3）由题意有两次相遇．①当0≤x≤3，100x+40x＝300，解得x＝；②当3＜x≤时，（540﹣80x）+40x＝300，解得x＝6．综上所述，两车第一次相遇时间为第小时，第二次相遇时间为第6小时．25．【解答】解：（1）由图象可得，乙的行驶速度为：60÷（3.5﹣0.5）＝20km/h；（2）设l1对应的函数解析式为y1＝k1x+b1，，解得，即l1对应的函数解析式为y1＝﹣30x+60；设l2对应的函数解析式为y2＝k2x+b2，，解得，即l2对应的函数解析式为y2＝20x﹣10，，解得，即点A的坐标为（1.4，18），∴点A的实际意义是在甲出发1.4小时时，甲乙两车相遇，此时距离B地18km；（3）由题意可得，|（﹣30x+60）﹣（20x﹣10）|＝5，解得，x1＝1.3，x2＝1.5，答：当甲出发1.3h或1.5h时，两人之间的距离恰好相距5km；（4）由题意可得，当0≤x≤0.5时，y3＝﹣30x+60，当0.5＜x≤1.4时，y3＝y1﹣y2＝（﹣30x+60）﹣（20x﹣10）＝﹣50x+70，当1.4＜x≤2时，y3＝y2﹣y1＝（20x﹣10）﹣（﹣30x+60）＝50x﹣70，当2＜x≤3.5时，y3＝20x﹣10，y3（km）关于时间x（h）的函数关系图象如右图（图2）所示．。
数学数学中考数学压轴题的专项培优练习题(含答案
一、中考数学压轴题1．如图，等腰△ABC ，AB ＝CB ，边AC 落在x 轴上，点B 落在y 轴上，将△ABC 沿y 轴翻折，得到△ADC（1）直接写出四边形ABCD 的形状：______；（2）在x 轴上取一点E ，使OE ＝OB ，连结BE ，作AF ⊥BC 交BE 于点F ．①直接写出AF 与AD 的关系：____（如果后面的问题需要，可以直接使用，不需要再证明）；②取BF 的中点G ，连接OG ，判断OG 与AD 的数量关系，并说明理由；（3）若四边形ABCD 的周长为8，直接写出GE 2＋GF 2＝____．2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线239334y x x =--x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）过点C 的直线5334y x =-x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，且在对称轴的右侧，过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ，作//PN x 轴交对称轴于点N ，以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x 轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动时间的最小值：（2）如图2， 将ABC ∆绕点B 顺时针旋转至A BC ''∆的位置， 点A C 、的对应点分别为A C ''、，且点C '恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC '．点E 是y 轴上的一个动点，连接AE C E '、， 将AC E ∆'沿直线C E '翻折为A C E ∆''， 是否存在点E ， 使得BAA ∆'为等腰三角形?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图1，平面直角坐标系xoy 中，A (－4，3)，反比例函数(0)k y k x=<的图象分别交矩形ABOC 的两边AC ，BC 于E ，F （E ，F 不与A 重合），沿着EF 将矩形ABOC 折叠使A ，D 重合．（1）①如图2，当点D 恰好在矩形ABOC 的对角线BC 上时，求CE 的长；②若折叠后点D 落在矩形ABOC 内（不包括边界），求线段CE 长度的取值范围． （2）若折叠后，△ABD 是等腰三角形，请直接写出此时点D 的坐标．4．如图，已知抛物线()2y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值；（3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若AF=2EF ，求出点E 的坐标．（3）如图3，点M 的坐标为（32，0），点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP 沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在x 轴正半轴上，2ABC ACB ∠=∠．（1）求直线BC 的解析式；（2）点D 是射线BC 上一点，连接AD ，设点D 的横坐标为t ，ACD ∆的面积为S ()0S ≠，求S 与t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，AD 与y 轴交于点E ，连接CE ，过点B 作AD 的垂线，垂足为点H ，直线BH 交x 轴于点F ，交线段CE 于点M ，直线DM 交x 轴于点N ，当:7:12NF FC =时，求直线DM 的解析式．7．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．（概念感知）（1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=︒，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．（问题探究）（2）如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求AB BC 的值．（拓展提升） （3）如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上．105AB BC =，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα︒<<︒得到A B C ''，线段A C '交1l 于点D ．①当30α=︒时，则CD =_________；②如图4，当点B 落在直线1l 上时，求AD CD 的值．8．一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，第一颗弹珠弹出后其速度1y （米/分钟）与时间x （分钟）前2分钟满足二次函数21y ax =，后3分钟满足反比例函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分钟．（1）求第一颗弹珠的速度1y （米/分钟）与时间x （分钟）之间的函数关系式；（2）第一颗弹珠弹出1分钟后，弹出第二颗弹珠，第二颗弹珠的运行情况与第一颗相同，直接写出第二颗弹珠的速度2y （米/分钟）与弹出第一颗弹珠后的时间x （分钟）之间的函数关系式；（3）当两颗弹珠同时在轨道上时，第____分钟末两颗弹珠的速度相差最大，最大相差______；（4）判断当两颗弹珠同时在轨道上时，是否存在某时刻速度相同？请说明理由，并指出可以通过解哪个方程求出这一时刻．9．如图①，四边形ABCD 中，//,90AB CD ADC ∠=︒．（1）动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿路线A B C D →→→运动到点D 停止，设运动时间为a ，AMD ∆的面积为,S S 关于a 的函数图象如图②所示，求AD CD 、的长．（2）如图③动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿路线A D C →→运动到点C 停止，同时，动点Q 从点C 出发，以每秒5个单位的速度沿路线C D A →→运动到点A 停止，设运动时间为t ，当Q 点运动到AD 边上时，连接CP CQ PQ 、、，当CPQ ∆的面积为8时，求t 的值．10．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(03，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．11．对于平面内的点M 和点N ，给出如下定义：点P 为平面内的一点，若点P 使得PMN 是以M ∠为顶角且M ∠小于90°的等腰三角形，则称点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点P ．如图，点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点．在平面直角坐标系xOy 中，点O 是坐标原点．（1）已知点(2,0)A ，在点123(0,2),(13),(13)P P P -，4(2,2)P -中，是点O 关于点A 的锐角等腰点的是___________．（2）已知点(3,0)A ，点C 在直线2y x b =+上，若点C 是点O 关于点A 的锐角等腰点，求实数b 的取值范围．（3）点D 是x 轴上的动点，(,0),(2,0)D t E t -，点(,)F m n 是以D 为圆心，2为半径的圆上一个动点，且满足0n ≥．直线24y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点H K ，，若线段HK 上存在点E 关于点F 的锐角等腰点，请直接写出t 的取值范围．12．如图1，在O 中，弦AB ⊥弦CD ，垂足为点E ，连接AD 、BC 、AO ，AD AB =．（1）求证：2CAO CDB ∠=∠（2）如图2，过点O 作OH AD ⊥，垂足为点H ，求证：2OH CE DE +=（3）如图3，在（2）的条件下，延长DB 、AC 交于点F ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，交AB 于N ，若12BC =，3AF BF =，求MN 的长．13．如图，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，52-）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．(1) 求抛物线214y x bx c =++与直线32y kx =+的解析式； (2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点.①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由;②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值．14．在菱形ABCD 中，点P 是对角线BD 上一点，点M 在CB 的延长线上，且PC PM =， 连接PA ．()1如图①，求证：PA PM =；()2如图②，连接,AM PM与AB交于点,120PC AM；∠=求证 =O ADC︒()3连接AM，当90∠=时，PC与AM的数量关系是ADC︒A，，点15．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点(3)()B，点(0,0)0, 3O⊥交AB于点E，沿着DE折(I)过边OB上的动点D (点D不与点B，O重合)作DE OB叠该纸片，点B落在射线BO上的点F处．①如图，当D为OB中点时，求E点的坐标；∆为直角三角形时，求E点坐标：②连接AF，当AEF∆沿OP所在的直线折叠，得到(Ⅱ)P是AB边上的动点(点P不与点B重合)，将AOP∆，连接''A OPBA取得最小值时，求P点坐标(直接写出结果即可)．BA，当'16．如图，平面直角坐标系中，抛物线228y ax ax a =--与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 右侧），与y 轴交于点A ，连接AB ，25AB =．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在第二象限的抛物线上，连接PB 交y 轴于D ，取PB 的中点E ，过点E 作EH x ⊥轴于点H ，连接DH ，设点P 的横坐标为t .ODH 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，作PF y ⊥轴于F ，连接CP 、CD ，CP CD =，点S 为PF 上一点，连接BS 交y 轴于点T ，连接BF 并延长交抛物线于点R .SBC FBO 45∠+∠=︒，在射线CS 上取点Q.连接QF ，QF RF =，求直线TQ 的解析式． 17．ABC 内接于O ，AB BC =，连接BO ；（1）如图1，连接CO 并延长交O 于点M ，连接AM ，求证：//AM BO ；（2）如图2，延长BO 交AC 于点H ，点F 为BH 上一点，连接AF ，若AH HF AB BF =，求证：BAF HAF ∠=∠；（3）在（2）的条件下，如图3，点E 为AB 上一点，点D 为O 上一点，连接ED 、OE ，若CBD 3ABH 90∠+∠=︒，若OF 3=，FH 4=，13623EBD S ∆=，连接OE ，求线段OE 的长．18．如图，四边形AOBC 是正方形，点C 的坐标是(82,0)．（1）正方形AOBC 的边长为 ，点A 的坐标是 ；（2）将正方形AOBC 绕点O 顺时针旋转45︒，点A ，B ，C 旋转后的对应点为A '，B '，C '，求点A '的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；（3）动点P 从点O 出发，沿折线OACB 方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q 从点O 出发，沿折线OBCA 方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t 秒，当它们相遇时同时停止运动，当OPQ △为等腰三角形时，求出t 的值（直接写出结果即可）．19．如图，在⊙O 中，直径AB ＝10，tanA ＝3． （1）求弦AC 的长；（2）D 是AB 延长线上一点，且AB ＝kBD ，连接CD ，若CD 与⊙O 相切，求k 的值； （3）若动点P 以3cm/s 的速度从A 点出发，沿AB 方向运动，同时动点Q 以32cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为t （0＜t ＜103），连结PQ ．当t 为何值时，△BPQ 为Rt △？20．在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题（2）如图 1，如果 AB ∥CD ∥EF ，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF ＝（ ）A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°（1）请写出这道题的正确选项；（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，AB ∥EF ，请直接写出∠BAD ，∠ADE ，∠DEF 之间的数量关系．（3）善于思考的龙洋同学想：将图1平移至与图2重合（如图3所示），当AD ，ED 分别平分∠BAC ，∠CEF 时，∠ACE 与∠ADE 之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．（4）彭敏同学又提出来了，如果像图4这样，AB ∥EF ，当∠ACD=90°时，∠BAC 、∠CDE 和∠DEF 之间又有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．21．如图1，Rt △ABC 中，点D ，E 分别为直角边AC ，BC 上的点，若满足AD 2+BE 2＝DE 2，则称DE 为R △ABC 的“完美分割线”．显然，当DE 为△ABC 的中位线时，DE 是△ABC 的一条完美分割线．（1）如图1，AB ＝10，cos A ＝45，AD ＝3，若DE 为完美分割线，则BE 的长是 ． （2）如图2，对AC 边上的点D ，在Rt △ABC 中的斜边AB 上取点P ，使得DP ＝DA ，过点P 画PE ⊥PD 交BC 于点E ，连结DE ，求证：DE 是直角△ABC 的完美分割线．（3）如图3，在Rt △ABC 中，AC ＝10，BC ＝5，DE 是其完美分割线，点P 是斜边AB 的中点，连结PD 、PE ，求cos ∠PDE 的值．22．如图1，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠．(1)若80A ∠=︒，则BDC ∠的度数为______；(2)若A α∠=，直线MN 经过点D ．①如图2，若//MN AB ，求NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示)；②如图3，若MN 绕点D 旋转，分别交线段,BC AC 于点,M N ，试问在旋转过程中NDC MDB ∠-∠的度数是否会发生改变?若不变，求出NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示)，若改变，请说明理由：③如图4，继续旋转直线MN ，与线段AC 交于点N ，与CB 的延长线交于点M ，请直接写出NDC ∠与MDB ∠的关系(用含α的代数式表示)．23．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 为反比例函数()4x 0x y =>的图像上两点，A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1，将()4x 0xy =>的图像绕原点O 顺时针旋转90°，A 点的对应点为A’，B 点的对应点为B’．（1）点A’的坐标是 ，点B’的坐标是 ； （2）在x 轴上取一点P ，使得PA+PB 的值最小，直接写出点P 的坐标． 此时在反比例函数()4x 0xy =>的图像上是否存在一点Q ，使△A’B’Q 的面积与△PAB 的面积相等，若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AB’，动点M 从A 点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动；动点N 同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动．当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，试探究：是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t 值．若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．24．在综合与实践课上老师将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点P 、M 、N 、Q ，（1）如图①所示．当∠CNG ＝42°，求∠HMC 的度数．（写出证明过程）（2）将直尺向下平移至图 2 位置，使直尺的边缘通过点 C ，交 AB 于点 P ，直尺另一侧与三角形交于 N 、Q 两点。
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元调综合专练4
2、已知一元二次方程013)13(2
=
-++-x x 的两根为21,x x ，则2
22
1x x +=_______.
4、如图,ABC ∆中,∠60=BAC 0,∠45=ABC 0,22=AB ,D 是线段BC 上的一个动点,以AD 为直径画⊙O 分别交AC AB ,于F E ,,连接EF ,则线段EF 长度的最小值为___________ 8、（1）观察发现 如图（1）：若点A 、B 在直线m 同侧，在直线m 上找一点P ，使AP+BP 的值最小，做法如下：
作点B 关于直线m 的对称点B ′，连接AB ′，与直线m 的交点就是所求的点P ，
线段AB ′的长度即为AP+BP 的最小值．
如图（2）：在等边三角形ABC 中，AB=2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP+PE 的值最小，做法如下：
作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点P ，故BP+PE 的最小值为 ． （2）实践运用如图（3）：已知⊙O 的直径CD 为2，∠AOC 的度数为60°，点B 是弧AC 的中点，在直径CD 上找一点P ，使BP+AP 的值最小，则BP+AP 的最小值为 （3）拓展延伸：如图（4）：点P 是四边形ABCD 内一点，分别在边AB 、BC 上作出点M 、点N ，使PM+PN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法．
（图3）A B D
O C （图4）A B
D P 第4题图
图3
A
B
C
D P 0
A
C
B
P
图2
C
A
P
B
图1
30º
3km 4km
A
B
C
图4
11、(1)阅读证明
①如图1，在ABC ∆所在平面上存在一点P ，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P 为ABC ∆的费马点，此时PC PB PA ++的值为ABC ∆的费马距离．
②如图2，已知点P 为等边ABC ∆外接圆的BC ⌒上任意一点．求证：PA PC PB =+.
(2)知识迁移
根据(1)的结论，我们有如下探寻ABC ∆ (其中C B A ∠∠∠,,均小于︒120)的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图3，在ABC ∆的外部以BC 为边长作等边BCD ∆及其外接圆；
第二步：在BC ⌒
上取一点0P ，连接D P C P B P A P 0000,,,.易知
A P C P
B P A P
C P B P A P 0000000)(=++=++＋ ；
第三步：根据(1)①中定义，在图3中找出ABC ∆的费马点P ，线段 的长度即为
ABC ∆的费马距离. (3)知识应用
已知三村庄C B A ,,构成了如图4所示的ABC ∆ (其中C B A ∠∠∠,,均小于︒120)，现选取一点P 打水井，使水井P 到三村庄C B A ,,所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．。