数据包络分析法资料

( D) : MinVD
X k Yk 0, ( k 1,2,, n) T s.t . X 0 1 , 0
T T
s.t .
X
k 1 n
k
k
k S X 0
k S Y0
Y
k 1
为了说明DEA模型的建模思路，我们看下面的例子
假设有5个生产任务相同的工厂，每个工厂都有两种投入和一种产出 表一：各产具体情况
工厂 (DMU) 投入1 投入2 产出 A 10 17 120 B 5 1 20 C 1 1 6 D 3 2 24 E 1 2 10
我们如何判定这五个工厂谁的生产情况好一点呢？
即 T X k T Yk 0
T V X T X 0 ( t V )T X 0 t V T X 0 T 0 1 V X0
( P ) : MaxV p T Y0
T X k T Yk 0, ( k 1,2,, n) T s.t . X 0 1 , 0
• 为了便于比较，现把5个DMU的各项投入和产出按比例算好，使其产 出相同，这样就可以只比较投入了。 如表二：
DMU A B C D E
投入1
10
30
20
15
Байду номын сангаас12
投入2
17
6
20
10
24
产出
120
120
120
120
120
C2R模型及其基本性质
1. C2R模型
设有n个部门(企业)，称为n个决策单元，每个决策单 元都有p种投入和q种产出，分别用不同的经济指标表示。 这样，由n个决策单元构成的多指标投入和多指标产出的 评价系统，可以用下图表示：
1
2
…
n
投 入 项 目
1 2 … p
X11 X21 … Xp1
X12 X22 … Xp2
… … … …
X1n X2n … Xpn
1
y11 y21 … yq1
2
y12 y22 … yq2
…
… … … …
n
y1n y2n … yqn
决策单元 权重
1 2 … q
产 出 项 目
u1 u2 : uq
设投入指标和产出指标的权系数向量分别为 V=(v1，v2，…，vp)T ，U=(u1，u2，…， uq)T
上述模型中 xik,yrk为已知数（可由历史资料或预测数据得到）， vi,uj为变量 。模型的含义是以权系数 vi,uj为变量，以所有决策单元的效率指标h0为约束 ，以第k0个决策单元的效率指数为目标。即评价第k0个决策单元的生产效率
是否有效，是相对于其他所有决策单元而言的。
记 X k ( x1k , x2k ,, x pk )T , Yk ( y1k , y2k ,, yqk )T , 则有矩阵形式 (P )
展开可写为：
MaxVP y1k0 1 y2k0 2 yqk0 q
s.t . ( x11 1 x p1 p ) ( y11 1 yq1 q ) 0
… … … … … … … … … … … … … … … … … …
yq1 1 yqn n yqk0
k 0, k 1,2,, n;为自由变量
为了方便计算，我们引入引入剩余变量和松弛变量
T T S ( s1 , s2 ,, s ( s1 , s2 ,, sq ) , p) 、S
将不等式约束化为等式约束，得
Max h0
u
j 1 p i 1
q
j
y jk0
v i x ik0

u1 y1k0 u2 y 2 k0 uq y qk0 v1 x1k0 v 2 x 2k0 v p x pk0
q u j y jk u y u y u y j 1 1 1k 2 2k q qk 1, ( k 1,2, , n) p s .t . v 1 x1k v 2 x 2 k v p x pk v x i ik i 1 u j , v i 0, j 1,2, , q; i 1,2, , p
一、产生背景
DEA 的优点吸引众多的应用者 , 应用范围已扩展到美国军 用飞机的飞行,基地维修与保养,以及陆军征兵,城市,银行 等方面 . 目前,这一方法应用的领域在不断地扩大 . 它也可 以用来研究多种方案之间的相对有效性 (例如投资项目的 评价);研究在决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效 果如何(例如建立新厂后,新厂相对于已有的一些工厂是否 为有效 ).DEA 是对其决策单元（同类型的企业或部门）的 投入规模、技术有效性作出评价，即对各同类型的企业投 入一定数量的资金、劳动力等资源后，其产出的效益（经 济效益和社会效益）作一个相对有效性评价。
s.t. ( x11 1 x1n n ) x1k0
… … … … … … … … … … … …
( x p1 1 x pn n ) x pk0
y11 1 y1n n y1k0
… … … … … … … … …
k
k 0, k 1,2,, n; S , S 0
定义1
如果线性规划(P)的最优解满足下列条件 VP = 0T · Y0 = 1 则称决策单元 k0 为弱DEA有效。 定义2 如果线性规划(P)的最优解满足条件 VP = 0T · Y0 = 1 ，并且 0＞0, 0＞0 则决策单元 k0 为DEA有效。
数据包络分析（DEA） Data Envelopment Analysis
主讲： 孙玉虎
中国矿业大学徐海学院
一、产生背景 1978年由著名的运筹学家A.Charnes(查恩斯), W.W.Cooper(库伯), 及E.Rhodes(罗兹)首先提出了一个被称 为数据包络分析（Data Envelopment analysis, 简称DEA模 型）的方法，用于评价相同部门间的相对有效性（因此被 称为DEA有效）.他们的第一个模型被命名为C2R模型.从生 产函数的角度看,这一模型是用来研究具有多个输入,特别 是具有多个输出的“生产部门”,同时为“规模有效”与“ 技术有效”((即：总体有效性))的十分理想且卓有成效的方 法.1985年查恩斯,库伯,格拉尼(B.Golany),赛福德(L.Seiford) 和斯图茨(J.Stutz)给出另一个模型(称为C2GS2模型),这一模 型用来研究生产部门间的“技术有效性”.
对每一个决策单元 k ，定义一个效率评价指 标 q
hk u1 y1k uq y qk v1 x1k v p x pk
u
j 1 p
j
y jk
v
i 1
, k 1,2,, n
i
x ik
即：效率指标 hk等于产出加权之和除以投入加权之和，表示第 k 个决 策单元多指标投入和多指标产出所取得的经济效率。
二、DEA模型概述
二、DEA模型概述
决策单元(DMU)我们把具有相同类型的部门、企业或者同一企业不同 时期的相对效率进行评价，这些部门、企业或时期称为。评价的依据是决 策单元的一组投入指标数据和一组产出指标数据。 投入指标是指决策单元在经济和管理活动中需要耗费的经济量，例如 固定资产原值、流动资金平均余额、自筹技术开发资金、职工人数、占用 土地等。 产出指标是指决策单元在某种投入要素组合下，表明经济活动产生成 效的经济量，例如总产值、销售收入、利税总额、产品数量、劳动生产率、 产值利润率等。 指标数据是指实际观测结果，根据投入指标数据和产出指标数据评价 决策单元的相对效率，即评价部门、企业或时期之间的相对有效性。 DEA方法就是评价多指标投入和多指标产出决策单元相对有效性的多 目标决策方法。
j=1
∑ x ≤ E xij0 j=1 j ij
1）
n
n
（i = 1，2，…，p，E＜ （j = 1，2，…，n）
∑ = 1 ，j ≥0 j=1 j
这说明 j0 决策单元不处于生产前沿面上。
三.评价系统的DEA有效性
三.评价系统的DEA有效性：决策单元 k0 为DEA有效的定义
( P ) : MaxV p T Y0
定理1 线性规划(P)及其对偶规划(D)都有可行解，因而都有最优解，并 且最优值 Vp = V D≤ 1 定理2 关于对偶规划(D)，有 ① 如果(D)的最优值VD=1，则决策单元k0为弱DEA有效；反之亦然； ② 如果(D)的最优值VD=1，并且每个最优解都满足条件： s0- = 0, s0+ = 0 ，则决策单元k0为DEA有效；反之亦然。 定理3 决策单元的最优效率指标Vp与投入指标值Xik及产出指标值Ykj的量纲选 取无关。
( x1n 1 x pn p ) ( y1n 1 yqn q ) 0
x1k0 1 x pk0 p 1
i , j 0, i 1,2,, p; j 1,2,, q
其对偶规划为：
MinVD
U T Y0 则: T t U T Y0 (t U )T Y0 T Y0 V X0 U T Yk t U T Yk (t U )T Yk T Yk T 1, T T T V X k t V X k (t V ) X k X k
可以适当地选择权系数 U、V，使得 hk≤1。
现在，建立评价第 K0 个决策单元相对有效性的C2R模型。 设第k0个决策单元的投入向量和产出向量分别为：
X 0 ( x1k0 , x2k0 ,, x pk0 )T , Y0 ( y1k0 , y2k0 ,, yqk0 )T
效率指标 h0=hk0 ,在效率评价指标 hk ≤1(k=1,2,…，n)的 约束条件下，选择一组最优权系数 U和V，使得h0 达到最 大值，构造优化模型(分式规划)
U T Y0 Max h0 T V X0
U T Yk 1, T s .t . V X k U ,V 0
( k 1,2, , n)
接下来，作Charnes-Cooper变换，转化为一个等价的线性 规划模型。
1 令 t T , t V , t U V X0
一、产生背景 1987年查恩斯,库伯,魏权龄和黄志明又得到了称为锥比 率的数据包络模型 —— C2WH 模型。这一模型可用来处理 具有过多的输入及输出的情况,而且锥的选取可以体现决策 者的“偏好”.灵活地应用这一模型,可以将C2R模型中确定 出的DEA有效决策单元进行分类或排队. 数据包络分析是运筹学的一个新的研究领域 .查恩斯和 库伯等人的第一个应用DEA的十分成功的案例,就是评价为 弱智儿童开设公立学校项目的效果.在评估中,输出包括“自 尊”等无形的指标;输入包括父母的照料和父母的文化程度 等,无论哪种指标都有无法与市场价格相比较,也难以轻易定 出适当的权重(权系数),这也是DEA的优点之一.
( D) : MinVD
s.t .
X
k 1 n
k
k
k S X 0
Y
k 1
k
k S Y0
k 0, k 1,2,, n; S , S 0
小结:构建DEA 模型的思路 衡量某一决策单元 j0是否DEA有效——是否 处于由包络线组成的生产前沿面上，先构造一个 由 n 个决策单元组成（线性组合成）的假想决策 单元。如果该假想单元的各项产出均不低于 j0 决 策单元的各项产出，它的各项投入均低于 j0 决策 单元的各项的各项投入。 n 即有： ∑j yrj ≥ yr k0 （r = 1，2，…，q）
设：n 个决策单元（ j = 1，2，…，n ） 每个决策单元有相同的 p项投入（输入）（i = 1，2，…，p） 每个决策单元有相同的 q项产出（输出） （r = 1，2，…，q ） XiJ ——第 j 决策单元的第 i 项投入 yrj——第 j 决策单元的第 r 项产出
决策单元 权重 v1 v2 : : vp