用导数求函数的最大值与最小值.ppt
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3.3.3函数的最大(小)值与导数 课件
函数最值的逆向问题 例 2 已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数 a、 b，使 f(x)在[－1,2]上取得最大值 3，最小值－29？若存在， 求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由．
[分析] 函数最值的逆向问题，通常是已知函数的最值 求函数关系式中字母的值的问题．解决时应利用函数的极 值与最值相比较，综合运用求极值、最值的方法确定系数 的方程(组)，解之即可．
所以 f(x)在(0，12)，(2，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)，(12，
2)内是减函数．
(2)由条件 a∈[－2,2]可知 Δ＝9a2－64<0，从而 4x2＋3ax ＋4>0 恒成立．
当 x<0 时，f′(x)<0；当 x>0 时，f′(x)>0. 因此函数 f(x)在[－1,1]上的最大值是 f(1)与 f(－1)两者中 的较大者．
2．函数 y＝|x－1|，下列结论正确的是( ) A．y 有极小值 0，且 0 也是最小值 B．y 有最小值 0，但 0 不是极小值 C．y 有极小值 0，但 0 不是最小值 D．因为 y 在 x＝1 处不可导，所以 0 既非最小值也非极 值
解析：最小值与极小值定义的应用．故选 A. 答案：A
3．函数 f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )
当 a＝－130时，f′(x)＝x(4x2－10x＋4)＝2x(2x－1)(x－2)．
令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝12，x3＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0)
0
(0，12)
1 2
(12，2)
2
(2，＋∞)
f′(x) －
0
高等数学课件5第五节(2)函数的最大值最小值ppt
故 在 x2 2 2 处 达 到 最 大 利 润.
例7. 由直线 y 0, x 8 及抛物线 y x2 围成一个 曲边三角形, 在曲边 y x2 上求一点, 使曲线在该 点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形 面积最大．
解: 如图,
y
设所求切点为P( x0, y0 ),
解: 设A点到水面的垂直距离为AO h1,
B点到水面的垂直距离为BQ h2 , OQ l. 设OP x,
则光线从 A 到 B 所需要的传播时间为 A
T( x) h12 x2 h22 (l x)2 , x [0, l]. h1
v1
v2
Ox P
T( x) 1 x 1 l x v1 h12 x2 v2 h22 (l x)2
计算 f (3) 23;
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
比较得 最大值 f (4) 142, 最小值 f (1) 7.
例2. 求函数 f ( x) x2 3x 2 在 [3,4] 上的 最大值与最小值.
解:
x2 3x 2,
f
(
x)
x2
3
x
2,
x [3,1] [2,4] x (1,2).
解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为
1 b(d 2 b2 ), b(0,d) 6
令 W 1 (d 2 3b2 ) b 1 d
6
3
从而有
2
h
d 2 b2
d 3
dh b
即
d :h:b 3 : 2 :1
由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个, 故所求
结果就是最好的选择 .
A 若 f ( x0 ) 0 且 f ( x0 ) 0, 则 f ( x)在 x0(
例7. 由直线 y 0, x 8 及抛物线 y x2 围成一个 曲边三角形, 在曲边 y x2 上求一点, 使曲线在该 点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形 面积最大．
解: 如图,
y
设所求切点为P( x0, y0 ),
解: 设A点到水面的垂直距离为AO h1,
B点到水面的垂直距离为BQ h2 , OQ l. 设OP x,
则光线从 A 到 B 所需要的传播时间为 A
T( x) h12 x2 h22 (l x)2 , x [0, l]. h1
v1
v2
Ox P
T( x) 1 x 1 l x v1 h12 x2 v2 h22 (l x)2
计算 f (3) 23;
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
比较得 最大值 f (4) 142, 最小值 f (1) 7.
例2. 求函数 f ( x) x2 3x 2 在 [3,4] 上的 最大值与最小值.
解:
x2 3x 2,
f
(
x)
x2
3
x
2,
x [3,1] [2,4] x (1,2).
解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为
1 b(d 2 b2 ), b(0,d) 6
令 W 1 (d 2 3b2 ) b 1 d
6
3
从而有
2
h
d 2 b2
d 3
dh b
即
d :h:b 3 : 2 :1
由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个, 故所求
结果就是最好的选择 .
A 若 f ( x0 ) 0 且 f ( x0 ) 0, 则 f ( x)在 x0(
2019-2020学年人教A版选修2-2 函数的最大(小)值与导数 课件(50张)
这些命题中，真命题的个数是________． 【解析】 ②③正确． 【答案】 2
(2)[a，b]上连续不断的函数 f(x)在(a，b)上满足 f′(x)＞0，则 f(a)是函数的最______值，f(b)是函数的最______值．
【答案】 小，大
题型二 闭区间上函数的最值
例 2 求下列函数的最大值和最小值． ππ
y′
＋
0
－
0＋
y －2
2
－2
2
由上表知 f(x)最大值为 2.
【答案】 C
x－1 (2)求 y＝ ，x∈[0，4]的最大值和最小值．
x2＋1 【解析】 y′＝－（xx2＋2＋21x）＋21，
令 y′＝0，得 x＝1＋ 2和 x＝1－ 2(舍)． 又 f(0)＝－1，f(4)＝137，f(1＋ 2)＝ 22－1， ∴ymax＝ 22－1，ymin＝－1.
x f′(x)
f(x)
π －2
π 2
ππ (－ 2 ，－ 6 )
π －6
－
0
π－3 3 6
ππ (－ 6 ， 6 )
＋
π x
6
f′(x)
0
3 3－π f(x)
6
ππ (6，2)
－
π 2
π －2
π
π
从上表可知，最大值为 2 ，最小值为－ 2 .
(2)f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0，得 x＝±1. ∵f(－3)＝(－3)3－3×(－3)＋3＝－15， f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋3＝5， f(1)＝13－3×1＋3＝1， f(32)＝(32)3－3×32＋3＝185， ∴函数的最大值是 5，最小值是－15.
互动 2 函数的最大(小)值可以有多个吗？最大(小)值点 呢？
(2)[a，b]上连续不断的函数 f(x)在(a，b)上满足 f′(x)＞0，则 f(a)是函数的最______值，f(b)是函数的最______值．
【答案】 小，大
题型二 闭区间上函数的最值
例 2 求下列函数的最大值和最小值． ππ
y′
＋
0
－
0＋
y －2
2
－2
2
由上表知 f(x)最大值为 2.
【答案】 C
x－1 (2)求 y＝ ，x∈[0，4]的最大值和最小值．
x2＋1 【解析】 y′＝－（xx2＋2＋21x）＋21，
令 y′＝0，得 x＝1＋ 2和 x＝1－ 2(舍)． 又 f(0)＝－1，f(4)＝137，f(1＋ 2)＝ 22－1， ∴ymax＝ 22－1，ymin＝－1.
x f′(x)
f(x)
π －2
π 2
ππ (－ 2 ，－ 6 )
π －6
－
0
π－3 3 6
ππ (－ 6 ， 6 )
＋
π x
6
f′(x)
0
3 3－π f(x)
6
ππ (6，2)
－
π 2
π －2
π
π
从上表可知，最大值为 2 ，最小值为－ 2 .
(2)f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0，得 x＝±1. ∵f(－3)＝(－3)3－3×(－3)＋3＝－15， f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋3＝5， f(1)＝13－3×1＋3＝1， f(32)＝(32)3－3×32＋3＝185， ∴函数的最大值是 5，最小值是－15.
互动 2 函数的最大(小)值可以有多个吗？最大(小)值点 呢？
5.3.2函数的极值与最大(小)值课件(人教版)
最小值．
高中数学
探究新知
问题4 最大（小）值与极值有什么区分和联系？
最大（小）值与极值的区分是：
1.极值是函数的局部性质，最大（小）值是函数
的整体性质；
高中数学
探究新知
2.函数的极大(小)值可以有多个，而最大(小)值
是唯一的；
高中数学
探究新知
3.函数的极大值不一定大于极小值，极小值不
一定小于极大值，而最大值一定大于最小值(常值函
解: 函数定义域为(∞，+∞).
1
3
因为 f(x)= x34x+4，所以f′(x)=x24=(x+2)(x2).
令 f′(x)=0，解得x=2或x=2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示
高中数学
知识应用
x (∞，2) 2
f′(x)
+
0
f(x) 单调递增
(2，2)
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值
（maximum value）.
高中数学
探究新知
问题1 函数的最大值与最小值的定义是什么？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在
实数m满足：
(1)∀x∈I，都有f(x)≥m；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)=m．
那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值
0
+
f(x) 单调递减 0 单调递增
所以，当x=1时，f(x)取得最小值.
1
所以f(x)≥f(1)=0. 即 1+lnx≥0.
1
所以当x>0时，1 ≤lnx.
高中数学
知识应用
小结 求函数在某区间上的最大（小）值，
高中数学
探究新知
问题4 最大（小）值与极值有什么区分和联系？
最大（小）值与极值的区分是：
1.极值是函数的局部性质，最大（小）值是函数
的整体性质；
高中数学
探究新知
2.函数的极大(小)值可以有多个，而最大(小)值
是唯一的；
高中数学
探究新知
3.函数的极大值不一定大于极小值，极小值不
一定小于极大值，而最大值一定大于最小值(常值函
解: 函数定义域为(∞，+∞).
1
3
因为 f(x)= x34x+4，所以f′(x)=x24=(x+2)(x2).
令 f′(x)=0，解得x=2或x=2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示
高中数学
知识应用
x (∞，2) 2
f′(x)
+
0
f(x) 单调递增
(2，2)
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值
（maximum value）.
高中数学
探究新知
问题1 函数的最大值与最小值的定义是什么？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在
实数m满足：
(1)∀x∈I，都有f(x)≥m；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)=m．
那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值
0
+
f(x) 单调递减 0 单调递增
所以，当x=1时，f(x)取得最小值.
1
所以f(x)≥f(1)=0. 即 1+lnx≥0.
1
所以当x>0时，1 ≤lnx.
高中数学
知识应用
小结 求函数在某区间上的最大（小）值，
人教版高中数学选择性必修2《函数的极值与最大(小)值》PPT课件
根据以上信息，我们画出f（x）的大致图象如图所示.
（3）方程（）＝（ ∈ ）的解的个数为函数＝（）的图象与直线＝的
交点个数.
1
由（1）及图可得，当＝ − 2时，（）有最小值（ − 2）＝− e2.
所以，关于方程（）＝（ ∈ ）的解的个数有如下结论：
1
当 < − e2时，解为0个；
结合上面两图以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数＝（）的所有极值连同
端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
在开区间（，）上函数的最值常见的有以下几种情况：
图（1）中的函数＝（）在（，）上有最大值而无最小值；
图（2）中的函数＝（）在（，）上有最小值而无最大值；
（2），（4），（6）是函数＝（）的极大值.
探究：进一步地，你能找出函数＝（）在区间［，］上的最小值、最大值吗？
从图中可以看出，函数＝（）在区间［，］上的最小值是（3 ），最大值是（）.
在下面两图中，观察［，］上的函数＝（）和＝（）的图象，它们在［，］上
当半径 < 2时， ′（） < 0，（）单调递减，即半径越大，利润越低.
（1）半径为6 cm时，利润最大.
（2）半径为2 cm时，利润最小，这时（2） < 0，表示此种瓶内饮料的利润还不
够瓶子的成本，此时利润是负值.
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数（）的图象上观察，你
＝（）＝0.2 ×
4
3
π
3
−
3
2
0.8π ＝0.8π
3
− 2 ，0 < ≤ 6.
所以 ′（）＝0.8π（2 − 2）.
令 ′（）＝0，解得＝2.
当 ∈ （0，2）时， ′（） < 0；当 ∈ （2，6）时， ′（） > 0.
人教A版高中数学选修1-1课件-函数的最大(小)值与导数
∴当 x＝－23时， f(x)有极大值2227＋c. 又 f(－1)＝12＋c，f(2)＝2＋c， ∴当 x∈[－1,2]时， f(x)的最大值为 f(2)＝2＋c. ∵当 x∈[－1,2]时， f(x)<c2 恒成立． ∴c2>2＋c，解得 c<－1 或 c>2， ∴c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
[解析] (1)解：f′(x)＝－ax2＋2eax－1x＋2，f′(0)＝2. 因此曲线 y＝f(x)在(0，－1)处的切线方程是 2x－y－1＝0. (2)证明：当 a≥1 时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x. 令 g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则 g′(x)＝2x＋1＋ex＋1. 当 x<－1 时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当 x>－1 时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 所以 g(x)≥g(－1)＝0.因此 f(x)＋e≥0.
4．函数 f(x)＝sin x＋cos x 在 x∈[－2π，π2]上的最大值为___2___，最小值为 ___－__1__.
[解析] f′(x)＝cos x－sin x， 令 f′(x)＝0，即 cos x＝sin x， ∵x∈[－π2，2π]，∴x＝4π. f(4π)＝ 2，f(－2π)＝－1，f(2π)＝1， ∴f(x)在区间[－2π，π2]上的最大值为 2，最小值为－1.
[思路分析] 本题主要考查导数的几何意义，极值的逆用和不等式的恒成立问题，求解第(2)小题的关 键是求出函数f(x)在[－1,2]上的最大值．
[解析] (1)f′(x)＝3x2－x＋b, f(x)的图象上有与 x 轴平行的切线，则 f′(x)＝ 0 有实数解，
即方程 3x2－x＋b＝0 有实数解， ∴Δ＝1－12b≥0，解得 b≤112. 故 b 的取值范围为(－∞，112]．
高中数学选择性必修二 课件 5 3 2 第2课时函数的最大(小)值与导数课件(共58张)
[跟进训练] 1．已知函数 f (x)＝excos x－x. (1)求曲线 y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数 f (x)在区间0，π2上的最大值和最小值．
[解] (1)因为 f (x)＝excos x－x，所以 f ′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f ′(0)＝0. 又因为 f (0)＝1，所以曲线 y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为 y＝1.
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函 数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多 个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点 取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为 最值，最值只要不在端点必定是极值．
当连续函数 f (x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若 在这一点处 f (x)有极大值(或极小值)，则可以判定 f (x)在该点处取得 最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．
4．函数 y＝3x－4x3 在区间[0，2]上的最大值是( ) A．1 B．2 C．0 D．－1 A [设 f (x)＝3x－4x3，∴f ′(x)＝－12x2＋3＝3(2x＋1)(1－2x)． ∵x∈[0，2]，∴当 x＝12时，f ′(x)＝0. 又 f (0)＝0，f 12＝1，f (2)＝－26， ∴函数 y＝3x－4x3 在区间[0，2]上的最大值是 1.]
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 第2课时 函数的最大(小)值与导数
学习目标
核心素养
1.理解函数的最值的概念．(难点) 1.通过函数最大(小)值存在性的
2．了解函数的最值与极值的区别 学习，体现直观想象核心素养．
高中数学第四章导数应用22最大值最小值问题课件北师大版选修11
二、最值的概念 函数的__最__大__值__和__最__小__值__统称最值．
三、最值点的可能位置
函数的最值可能在__极__值__点__取得，也可能在_区__间__的__端__点___取得．
四、求函数最大(小)值的步骤 设 y＝f(x)是定义在[a，b]上的函数，y＝f(x)在(a，b)内可导，求函数 y＝f(x)在[a，b]上的 最大(小)值，可分两步进行：
令f′(x)＝0，即b2x2－a2(1－x)2＝0，
解得x＝a＋a b.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0，a＋a b
f′(x) －
a a＋b
0
a＋a b，1 ＋
f(x)
极小值
从上表看出，函数在x＝
a a＋b
处取得极小值，且f
a a＋b
＝(a＋b)2.所以函数f(x)
在区间(0,1)内的极小值也就是最小值，即函数f(x)＝
1．求下列各函数的最值． (1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]； (2)f(x)＝x24＋x 1，x∈[－2,2]； (3)f(x)＝1－x x＋ln x，x∈12，2.
解析：(1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，x∈[－1,1]． ∵f′(x)在[－1,1]上恒大于0， ∴f(x)在[－1,1]上为增函数． ∴当x＝－1时，f(x)取得最小值－12， 当x＝1时，f(x)取得最大值2. ∴f(x)的最小值为－12，最大值为2.
2．求下列函数的最大值与最小值： (1)f(x)＝2sin x－x(x∈[－π2，π2])； (2)f(x)＝x3－3x＋3(x∈[0，t])．
解析：(1)∵f′(x)＝2cos x－1，
三、最值点的可能位置
函数的最值可能在__极__值__点__取得，也可能在_区__间__的__端__点___取得．
四、求函数最大(小)值的步骤 设 y＝f(x)是定义在[a，b]上的函数，y＝f(x)在(a，b)内可导，求函数 y＝f(x)在[a，b]上的 最大(小)值，可分两步进行：
令f′(x)＝0，即b2x2－a2(1－x)2＝0，
解得x＝a＋a b.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0，a＋a b
f′(x) －
a a＋b
0
a＋a b，1 ＋
f(x)
极小值
从上表看出，函数在x＝
a a＋b
处取得极小值，且f
a a＋b
＝(a＋b)2.所以函数f(x)
在区间(0,1)内的极小值也就是最小值，即函数f(x)＝
1．求下列各函数的最值． (1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]； (2)f(x)＝x24＋x 1，x∈[－2,2]； (3)f(x)＝1－x x＋ln x，x∈12，2.
解析：(1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，x∈[－1,1]． ∵f′(x)在[－1,1]上恒大于0， ∴f(x)在[－1,1]上为增函数． ∴当x＝－1时，f(x)取得最小值－12， 当x＝1时，f(x)取得最大值2. ∴f(x)的最小值为－12，最大值为2.
2．求下列函数的最大值与最小值： (1)f(x)＝2sin x－x(x∈[－π2，π2])； (2)f(x)＝x3－3x＋3(x∈[0，t])．
解析：(1)∵f′(x)＝2cos x－1，
函数的最大值和最小值[1].ppt1
![函数的最大值和最小值[1].ppt1](https://img.taocdn.com/s3/m/41c90214a8114431b90dd8d1.png)
函数的最大值 和最小值
一、复习提问:
用导数来确定函数的极值步骤： （1）先求函数的导数 f / (x);（注意定义域） （2）再求方程 f /(x) = 0 的根； （3）列出导函数值符号变化规律表；
f’(x)符号
f (x)
+ 增函数
(-∞,a)
a
（a,b）
0
极大值
0 + 减函数 极小值 增函数
b
a 2 b 3 29 当x 0时.最大值为 3 ，求得b 3.
小
函数最小值为 16a b 29 可 可 - -1 0 0 + 2 能 能 f(x) a 2 3 小
-1 (-1,0)
0
(0,2)
2 (2,4)
4 3
f/(x)
五、练习题: 已知函数 y x3 3x 2 9 x a
f/(x)
-
0 4
+
0 5
-
五、练习题:
• 求下列函数在指定区间上的最大值与最小值：
( 1 ) y x 12 x 16 , x [ 3 ,3 ]
3
先求函数的导数 y 3( x 4 ) 驻点为x1 2、x2 2.
-3 (-3,-2)
/
2
-2 (-2,2)
2
(2,3)
-2 (-2,-1)
/
2
-1
(-1,1)
1
(1,2)
2
f/(x) f(x)
-1
+
0 11
0 -1
+
11
当x 1或2时，函数有最大值 11 ； 当x 2或1时，函数有最小值 1。
(3)求函数 f ( x ) 5 x 2 x 3 4 x的值域．
一、复习提问:
用导数来确定函数的极值步骤： （1）先求函数的导数 f / (x);（注意定义域） （2）再求方程 f /(x) = 0 的根； （3）列出导函数值符号变化规律表；
f’(x)符号
f (x)
+ 增函数
(-∞,a)
a
（a,b）
0
极大值
0 + 减函数 极小值 增函数
b
a 2 b 3 29 当x 0时.最大值为 3 ，求得b 3.
小
函数最小值为 16a b 29 可 可 - -1 0 0 + 2 能 能 f(x) a 2 3 小
-1 (-1,0)
0
(0,2)
2 (2,4)
4 3
f/(x)
五、练习题: 已知函数 y x3 3x 2 9 x a
f/(x)
-
0 4
+
0 5
-
五、练习题:
• 求下列函数在指定区间上的最大值与最小值：
( 1 ) y x 12 x 16 , x [ 3 ,3 ]
3
先求函数的导数 y 3( x 4 ) 驻点为x1 2、x2 2.
-3 (-3,-2)
/
2
-2 (-2,2)
2
(2,3)
-2 (-2,-1)
/
2
-1
(-1,1)
1
(1,2)
2
f/(x) f(x)
-1
+
0 11
0 -1
+
11
当x 1或2时，函数有最大值 11 ； 当x 2或1时，函数有最小值 1。
(3)求函数 f ( x ) 5 x 2 x 3 4 x的值域．
高中数学(新课标)选修2课件1.3.3函数的最大(小)值与导数
当12<a<2e时，令 g′(x)＝0，得 x＝ln(2a)∈(0,1)， 所以函数 g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1] 上单调递增．
于是，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－ 2aln(2a)－b. 综上所述，当 a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)＝1－b； 当12<a<2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－2aln(2a) －b； 当 a≥2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)＝e－2a－b.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－ 2) － 2 (－ 2， 2) 2 ( 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2；
当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.
对 f(x)求导，得 f′(x)＝4ax3ln x＋ax4×1x＋4bx3＝ x3(4aln x＋a＋4b)． 由题意知 f′(1)＝0， 得 a＋4b＝0，解得 a＝12. 因为 f′(x)＝48x3ln x(x>0)， 令 f′(x)＝0，解得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)为减函数； 当 x>1 时，f′(x)>0，此时 f(x)为增函数． 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－3－c， 并且此极小值也是最小值．
状元随笔 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是
在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函 数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
于是，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－ 2aln(2a)－b. 综上所述，当 a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)＝1－b； 当12<a<2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－2aln(2a) －b； 当 a≥2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)＝e－2a－b.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－ 2) － 2 (－ 2， 2) 2 ( 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2；
当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.
对 f(x)求导，得 f′(x)＝4ax3ln x＋ax4×1x＋4bx3＝ x3(4aln x＋a＋4b)． 由题意知 f′(1)＝0， 得 a＋4b＝0，解得 a＝12. 因为 f′(x)＝48x3ln x(x>0)， 令 f′(x)＝0，解得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)为减函数； 当 x>1 时，f′(x)>0，此时 f(x)为增函数． 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－3－c， 并且此极小值也是最小值．
状元随笔 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是
在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函 数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
第3讲导数与函数的极值最值课件共83张PPT
2．导数与函数的最值 (1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条 07 ___连__续__不__断___的曲线， 那么它必有最大值和最小值． (2)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数 y＝f(x)在(a，b)上的 08 _极__值___. ②将函数 y＝f(x)的各极值与 09 __端__点__处__的__函__数__值__f(_a_)_，__f(_b_)_比较，其中 10 __最__大__的一个是最大值， 11 _最__小___的一个是最小值．
即 2x＋y－13＝0.
解
(2)显然 t≠0，因为 y＝f(x)在点(t,12－t2)处的切线方程为 y－(12－t2)＝
－2t(x－t)，
令
x＝0，得
y＝t2＋12，令
y＝0，得
t2＋12 x＝ 2t ，
所以 S(t)＝12×(t2＋12)·t2＋2|t1| 2.
不妨设 t＞0(t＜0 时，结果一样)，
例 1 (2021·南昌摸底考试)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)， 且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
单调递减，所以 x＝1 是 f(x)的极大值点．②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x＝1
或 x＝－1a.因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a<0.综合①②
1.3.3函数的最大(小)值与导数课件新人教A版选修2-2
新知导学 f(g) f(b) 1．下图中的函数f(x)的最大值为 _____，最 小值为_____．
f(d)，f(g)
f(c)，f(e)
而极大值为__________，极小值为
2．由上图还可以看出，假设函数y＝f(x)在闭 区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线， 最大值 最小值 可导的 与 该函数在 [a ，b]上一定能够取得_________ _________，若该函数在(a，b)内是 不一定 _________，该函数的最值必在极值点或区 间端点取得．但在开区间(a，b)内可导的函 数f(x)__________有最大值与最小值．
1 3 4．(2014· 枣庄市期中)若1、3为函数f(x)＝3x ＋bx2＋cx(b、 c∈R)的两个极值点，则曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线 的斜率为( A．8 C．4 ) B．6 D．0
[答案] A [解析] f ′(x)＝x2＋2bx＋c，由条件知，1、3 是方程f ′(x)＝0的两个实根，∴b＝－2，c＝3， ∴f ′(－1)＝8，故选A.
第二步，建联系，确定解题步骤． 先求f ′(x)，利用极值条件建立a、b的方程组， 解方程组求a、b；从而得到f(x)解析式；再解 不等式f ′(x)>0(或f ′(x)<0)确定f(x)的单调性； 最后由极大值求c，再求f(x)在[－3,3]上的最 小值． 第三步，规范解答．
[解析] (1)∵f(x)＝ax3＋bx＋c，∴f ′(x)＝3ax2＋b， ∵f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
f ′2＝0， ∴ f2＝c－16， 12a＋b＝0， 即 8a＋2b＋c＝c－16. a＝1， 解得 b＝－12.
12a＋b＝0， 化简得 4a＋b＝－8.
高中数学选修1-1课件：第3章 最大值、最小值问题 参考课件2
教材 习题 4——2 A组
1， 2.
预习下节内容.
第十一页，编辑于星期一：点 三十二分。
利用导数求函数极值的步骤：
（1） 求导数f/(x)； （2） 解方程 f/(x)=0; （3） 列表，分析方程f/(x)=0的根左右两
侧的符号，从而确定极值点与极值.
• “左-右+ ”，极小值点； • “左+右-”，极大值点.
3
3.
比较 f(-2), f(2), f(-3), f(5)这四个数，
可知:函数在区间[-3,5]上的最大值是
77
3,
领悟整合
最小值是
-4. 3
利用导数求f(x)在[a,b]上的最值的步骤:
1. 求导数； 2. 解方程； ３. 列表;
４. 求出f(a) , f(b)和各个极值；
５. 将上述各值比较，最大的就是最大值，最小 的就是最小值.
第十二页，编辑于星期一：点 三十二分。
f(x0)
称为函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值.
函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值点x0指的 是：函数在这个区间上所有点的函数值都不
小于f(x0).
f(x0)称
为函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值.
函数的最大值和最小值通称为函数的最值.
第三页，编辑于星期一：点 三十二分。
观察图形：1.找出最大值点和最小值点.
(1). 函数的极值表示函数在某一点附近的变化情况 ，是在局部上对函数值的比较；而最值则表示函数
在整个 区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比 较. (2). 若函数在一个闭区间上存在最大值或最小值，则只
能各有一个; 而极大值和极小值，可能有一个可能多
1， 2.
预习下节内容.
第十一页，编辑于星期一：点 三十二分。
利用导数求函数极值的步骤：
（1） 求导数f/(x)； （2） 解方程 f/(x)=0; （3） 列表，分析方程f/(x)=0的根左右两
侧的符号，从而确定极值点与极值.
• “左-右+ ”，极小值点； • “左+右-”，极大值点.
3
3.
比较 f(-2), f(2), f(-3), f(5)这四个数，
可知:函数在区间[-3,5]上的最大值是
77
3,
领悟整合
最小值是
-4. 3
利用导数求f(x)在[a,b]上的最值的步骤:
1. 求导数； 2. 解方程； ３. 列表;
４. 求出f(a) , f(b)和各个极值；
５. 将上述各值比较，最大的就是最大值，最小 的就是最小值.
第十二页，编辑于星期一：点 三十二分。
f(x0)
称为函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值.
函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值点x0指的 是：函数在这个区间上所有点的函数值都不
小于f(x0).
f(x0)称
为函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值.
函数的最大值和最小值通称为函数的最值.
第三页，编辑于星期一：点 三十二分。
观察图形：1.找出最大值点和最小值点.
(1). 函数的极值表示函数在某一点附近的变化情况 ，是在局部上对函数值的比较；而最值则表示函数
在整个 区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比 较. (2). 若函数在一个闭区间上存在最大值或最小值，则只
能各有一个; 而极大值和极小值，可能有一个可能多
函数的最大值与最小值》课件
最优决策
在资源分配、投资决策等场景中，企业需要找到 最优决策，这通常涉及到最大化或最小化某个目 标函数。
在物理中的应用
能量最小化
01
在物理问题中，能量通常是最小化的目标，例如在弹性力学中，
物体的变形能就是最小化的目标。
振动分析
02
在分析物体的振动时，通常需要找到振幅的最大值和最小值，
这涉及到求函数的极值问题。
率至关重要。
电流的最大值和最小值取决 于电路中的电阻、电压和电
感等参数。
通过分析电路中的电流最大值 和最小值，工程师可以优化电 路设计，提高电路的性能和稳
定性。
THANKS
感谢观看
凹凸性判定法
在极值点处，函数的凹凸性发生改变。
如果函数在某点之前为下凸，之后为上凸，则该点为极大值点；如果函数在某点之前为上凸，之后为下 凸，则该点为极小值点。
凹凸性可以通过绘制函数图像或计算二阶导数来判断。
特殊函数的极值判定法
对于一些特殊函数，如常数函数、一次函数、二次函数等，可以根据函数的特性直接判断极值点。
商品价格的最优策略分析
在商品价格最优策略分析中，企业需要确定商品 价格的最大值和最小值，以实现利润最大化。
企业பைடு நூலகம்以根据市场需求、竞争状况、成本等因素， 制定最优的商品价格策略。
商品价格的最优策略需要考虑市场需求的变化、 竞争对手的价格策略以及成本等因素。
电路中的电流最大值与最小值分析
在电路分析中，电流的最大值 和最小值对于电路的安全和效
二阶导数判定法
01
二阶导数大于0的点可能是极 小值点，二阶导数小于0的点 可能是极大值点。
02
在二阶导数等于0的点两侧， 判断函数的凹凸性，如果凹凸 性发生改变，则该点为极值点 。
在资源分配、投资决策等场景中，企业需要找到 最优决策，这通常涉及到最大化或最小化某个目 标函数。
在物理中的应用
能量最小化
01
在物理问题中，能量通常是最小化的目标，例如在弹性力学中，
物体的变形能就是最小化的目标。
振动分析
02
在分析物体的振动时，通常需要找到振幅的最大值和最小值，
这涉及到求函数的极值问题。
率至关重要。
电流的最大值和最小值取决 于电路中的电阻、电压和电
感等参数。
通过分析电路中的电流最大值 和最小值，工程师可以优化电 路设计，提高电路的性能和稳
定性。
THANKS
感谢观看
凹凸性判定法
在极值点处，函数的凹凸性发生改变。
如果函数在某点之前为下凸，之后为上凸，则该点为极大值点；如果函数在某点之前为上凸，之后为下 凸，则该点为极小值点。
凹凸性可以通过绘制函数图像或计算二阶导数来判断。
特殊函数的极值判定法
对于一些特殊函数，如常数函数、一次函数、二次函数等，可以根据函数的特性直接判断极值点。
商品价格的最优策略分析
在商品价格最优策略分析中，企业需要确定商品 价格的最大值和最小值，以实现利润最大化。
企业பைடு நூலகம்以根据市场需求、竞争状况、成本等因素， 制定最优的商品价格策略。
商品价格的最优策略需要考虑市场需求的变化、 竞争对手的价格策略以及成本等因素。
电路中的电流最大值与最小值分析
在电路分析中，电流的最大值 和最小值对于电路的安全和效
二阶导数判定法
01
二阶导数大于0的点可能是极 小值点，二阶导数小于0的点 可能是极大值点。
02
在二阶导数等于0的点两侧， 判断函数的凹凸性，如果凹凸 性发生改变，则该点为极值点 。
4.2.2利用导数研究函数的极值、最值-2021届高三数学(新高考)一轮复习课件(共23张PPT)
(2)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1 的极值点，则 f(x)的极小 值为( )
A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1
答案：A 解析：∵f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，∴f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－ 1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.又 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1 的极值点，所以－2 是 x2＋(a＋2)x＋a－1＝0 的根，所以 a＝－1.∴f′(x) ＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1，令 f′(x)＝0 得 x＝－2 或 x＝1， 令 f′(x)<0 得－2<x<1，所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1) 上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当 x＝1 时，f(x)取得极小 值，且 f(x)极小值＝－1.
当 m>0 时，令 f′(x)>0 得 0<x<2mm，令 f′(x)<0 得 x>2mm，
所以
f(x)在0，
2mm上单调递增，在
2mm，＋∞上单调递减．
(2)由(1)知，当 m≤0 时，f(x)无最大值；
当
m>0
时，f(x)在0，
2mm上单调递增，在
2mm，＋∞上单调递减．
所以
f(x)max＝f
2mm＝ln
2mm－2m·41m－n＝－ln
2－12ln
m－12－n＝
－ln 2，所以 n＝－12ln m－12，所以 m＋n＝m－12ln m－12，
令 h(x)＝x－12ln x－12(x>0)，则 h′(x)＝1－21x＝2x2－x 1，
所以 h(x)在0，12上单调递减，在21，＋∞上单调递增． 所以 h(x)min＝h12＝12ln 2，所以 m＋n 的最小值为12ln 2.